● 竹ｏ 。 ０· ’· ● 专题研究 稚 除 鸯小薰在 谖 善 磊 数极限 巷摩 带 庶 ◎闻 卉 （湖北工业大学理学院，湖北 武汉４３００６８） 【摘要】本文通过具体的例题分析同阶无穷小量在证明 二元函数极限不存在中的应用，给出了这类题目的解题 技巧． 【关键词】二元函数；极限不存在；同阶无穷小量 １．引 言 二元函数极限的存在性是多元函数微积分教学中的重 点内容，而证明二元函数极限的不存在则是学生学习过程 中普遍存在的难点．下面通过具体例题分析如何借助同阶 无穷小量来证明二元函数的极限不存在，并给出这类题目 的解题技巧． ２．实例 例１ 设，（ ，Ｙ）＝ ，证明： ｌｉｍ ，（ ， ）不存在． ＋ｙ （ ．，）＿＋（ｏ，ｏ） 解极限的类型为罟型未定式，故可设 ＋，，＝ｋｘ２（ＨＯ ＋Ｙ与 为当 一０时的同阶无穷小量），其中ｋ为任意常 数且不为零，由此得Ｙ＝ｋｘ 一 ． 因为ｌｉｍ，（ ，Ｙ）＝÷与ｋ值有关，故 ｌｉｍ，（ ，ｙ） ＿．Ｏ （ ，ｙ）＿＋（ｏ，ｏ） ＝ｋｘ２一 不存在． 例２ 设，（ ，Ｙ）＝÷，证明：ｌｉｍ ，（ ，Ｙ）不存在． 十ｙ （ ，，）＿＋（ｏ，ｏ） 解极限的类型为 型未定式，若将 与Ｙ视为相同 的变量，则 与 ＋Ｙ具有相同的次幂，故可设Ｙ＝ｋｘ，其中ｋ 为任意常数且不为零． ［］￣ ｌ ｉｍ。ｆ（ｘ，，，） 与 值有关，故（ （ ，ｙ） 不存在． 例３ 设，（ ，ｙ）＝ ＿＿，证明： 。．。 （ ，ｙ）不 十Ｖ ｔ ，ｙ Ｊ＿＋【ｕ，”） 存在． 解极限的类型为 型未定式，若将 与Ｙ视为相同 的变量，则ｘｙ与 ＋Ｙ 具有相同的次幂，故可设Ｙ＝ｋｘ，其 中ｋ为任意常数且不为零． 因为 ｎ，（ ，），）＝ 与 值有关，故 。，。 （ ，ｙ） ， ｋｘ 不存在． 例４ 设，（ ，），）＝ ！ ，证明： （ ，ｙ）不 十Ｖ Ｌ ，，Ｊ＿＋【ｕ， Ｊ 存在． 解极限的类型为罟型未定式，若将 与Ｙ 视为相同 的变量，则ｘｙ 与 Ｙ 具有相同的次幂，故可设Ｙ ＝ｋｘ，其 中ｋ为任意常数且不为零． 因为ｌ ｉ ｍ。，（ ，，，） 与 值有关，故（ ）１ｉｍ（。，。 （ ， ｙ３＝ｈ ｙ）不存在． ３．小结 通过上述例题可以看出，人为选取特殊的路径，即设置 ｙ的表达式，使得，（ ，Ｙ）中的分子分母为同阶无穷小量，从 而利用极限结果的不唯一性证明了这类多元函数极限的不 存在性． 【参考文献】 ［１］蔡光兴，李德宜．微积分［Ｍ］．北京：科学出版 社。２００８． ［２］李逢高，郑列，等．高等数学应用与提高［Ｍ］．北京： 科学出版社，２００９．
数学学习与研究２０１５。１
