二元函数极限不存在性研究

证明二重极限不存在证明二重极限不存在如何判断二重极限(即二元函数极限)不存在,是二元函数这一节的难点,在这里笔者对这一问题不打算做详细的讨论,只是略谈一下在判断二重极限不存在时,一个值得注意的问题。

由二重极限的定义知,要讨论limx→x0y→y0f(x,y)不存在,通常的方法是:找几条通过(或趋于)定点(x0,y0)的特殊曲线,如果动点(x,y)沿这些曲线趋于(x0,y0)时,f(x,y)趋于不同的值,则可判定二重极限limx→x0y→y0f(x,y)不存在,这一方法一般人都能掌握,但是在找一些特殊曲线时,是有一定技巧的,不过不管找哪条曲线,这条曲线一定要经过(x0,y0),并且定点是这条曲线的非孤立点,这一点很容易疏忽大意,特别是为图方便,对于型如limx→x0y→y0f(x,y)g(x,y)的极限,在判断其不存在时,不少人找的曲线是f(x,y)-g(x,y)=0,这样做就很容易出错。

例如,容易知道limx→0y→0x+yx2+y2=0,但是若沿曲线x2y-(x2+y2)=0→(0,0)时,所得的结论就不同(这时f(x,y)→1)。

为什么会出现这种情况呢?仔细分析一下就不难得到答案2若用沿曲线，( ，y)一g( ，y)=0趋近于( ，y0)来讨论，一0g ，Y 。

可能会出现错误，只有证明了( ，)不是孤立点后才不会出错。

[关键词】二重极限;存在性;孤立点[中图分类号]o13 [文献标识码]A [文章编号]1673-3878(2008)0l__0l02__02 如何判断二重极限(即二元函数极限)不存在。

是二元函数这一节的难点，在这里笔者对这一问题不打算做详细的讨论。

只是略谈一下在判断二重极限不存在时。

一个值得注意的问题。

由二重极限的定义知，要讨论limf(x，y)不存在，通常x—’10 y—’y0 的方法是：找几条通过(或趋于)定点(xo，Yo)的特殊曲线，如果动点(x，Y)沿这些曲线趋于(xo，Y。

二元函数极限不存在的判别①桂　咏　新(数学系) 摘　要　本文根据二元函数的结构特征,给出了判定二元函数极限不存在的几种路径选取方法.关键词　二重极限;λ次齐次函数;广义零次齐次函数 本文只讨论点(x 0,y 0)=(0,0)的情形,若(x 0,y 0)≠(0,0)而x 0,y 0均为有限数时,可令x =x 0+s y =y 0+t =,便有lim x →x 0y →y 0f (x ,y )=lim s →0t →0f (x 0+s ,y 0+t ).二元函数极限的归结原则是判定二元函数极限不存在的主要依据,然而,关于路径的选取,却没有详细论述,本文给出了一些结果.命题:设f (x ,y )在区域D 上有定义,(0,0)是D 的一个聚点,y =y 1(x ),y =y 2(x )是D 中两条不同的连续曲线,满足lim x →0y i (x )=0(i =1,2)如果lim x →0f (x ,y i (x ))=A i ,而A 1≠A 2;或者对其一个i (i =1或2),lim x →0f (x ,y i (x ))不存在,则lim x →0y →0f (x ,y )不存在.这个命题给出了判定二元函数极限不存在的基本方法,显然曲线路径y =y (x )的选取完全取决于函数f (x ,y )本身的结构.下面结合某些函数类型说明路径的选取方法.1　零次齐次函数选取直线路径y =kx设f (x ,y )是不恒为常数的零次齐次函数,即f (tx ,ty )≡t 0f (x ,y ),且f (x ,y ) C.令t =1x,则有f (x ,y )=f (1,y x ) C ∴lim x →0y →kx f (x ,y )=lim x →0y =kx →0f (1,y x)=f (1,k ) C 所以,对于不恒为常数的零次齐次函数的极限问题,直线路径y =kx 是适用的.例1:f (x ,y )=xy/(x 2+y 2)为零次齐次函数.lim x →0y =kx →0xy x 2+y 2=lim x →0x ・kx/(x 2+k 2x 2)=k/(k 2+1)此结果因k 而异　∴lim x →0y =→0xy/(x 2+y 2)不存在.2　广义零次齐次函数选取曲线路径y =l x βα如果函数f (x ,y )满足f (t αx ,t βy )≡t 0f (x ,y )(α,β>0)称f (x ,y )为广义零次齐次函数.当t =x -1α时有f (x ,y )≡f (1,yx -βα)当(x ,y )沿曲线路径y =l x βα(x >0)超于(0,0)时lim x →0y =lx βα→0f (x ,y )=lim x →0y =lx βα→0f (1,yx -βα)=f (1,l )其结果是l 的函数.故对于不恒为常数的广义零次齐次函数可以选取曲线路径y =l x βα.例2:f (x ,y )=x 4y 4/(x 4+x 2)3第17卷第3期 咸宁师专学报(自然科学版) 1997年8月①收稿日期:1997—04—11 ∵f (t x ,t 2y )≡t 0f (x ,y ) ∴可取曲线路径y =l x 2于是lim x →0y =lx 2→0x 4y 4/(x 4+y 2)3=lim x →0x 4(l x 2)4/[x 4+(l x 2)2]3=l 4/(l 2+1)3∴lim x →0y →0x 4y 4/(x 4+y 2)3不存在.3　λ次齐次函数(λ≠0)曲线路径的选取引入极坐标变换x =ρcos θy =ρsin θ(　(0≤ρ<+∞,-π<θ≤π)则f (x ,y )=f (ρcos θ,ρsin θ)≡ρλf (cos θ,sin θ),常常可以很简便地选取适用路径ρ=ρ(θ).例3:讨论当(x ,y )→(0,0)时,f (x ,y )=(2x 3+x 2y +5xy 2-2y 3)y 233x 13(x 2+y 2)32的极限是否存在.显然f (x ,y )是13次齐次函数.f (ρcos θ,ρsin θ)=ρ13sin 23θ3cos 13θ(2cos 3θ+cos 2θsin θ+5cos θsin 2θ-2sin 3θ)容易看出,若取ρ=ρ(θ)=cos θ,ρ(±π2)=0,有lim θ→π2ρ=cos θ→0f (ρcos θ,ρsin θ)=-23而ρ=cos θ正是圆(x -12)2+y 2=(12)2,亦即:y =±x -x 2(0≤x ≤1)而取y =kx 时lim x →0y =kx →0f (x ,y )=lim x →0f (x ,kx )=0∴f (x ,y )的极限不存在.4　根据定义域的边界线,选取曲线路径 设函数f (x ,y )=x m y n /(y -ψ(x ))不妨设ψ(0)=0,ψ′+(0)存在,且lim x →0+ψ(x )x r=c ≠0,(r >0);又m ≥1,n 是正整数.显然(0,0)位于f (x ,y )定义域D 的边界线y =ψ(x )上.对于这类函数,选取曲线路径y =ψ(x )+lx α其中,x >0,l >0,α>α0=max {1,r}.显然,y ′+(0)=ψ′+(0),即沿D 的边界线y =ψ(x )在(0,0)点的切线方向选取曲线路径.事实上　∵lim x →0+y =ψ(x )+lx 2→0f (x ,y )=lim x →0+x m [ψ(x )+lx α]n lxα=0 α0<α<m +nrc nl α=m +nr /∴lim x →0y →0x m y m /(y -ψ(x ))不存在.例4　考查函数f (x ,y )=(x 3+y 3)/(x 2+y )在点(0,0)的极限.选取曲线路径y =ψ(x )=-x 2+lx 3(l >0)则有lim x →0y =-x 2+lx 3→0(x 3+y 3)/(x 2+y )=lim x →0x 3+(-x 2+lx 3)3/lx 3=1l 可见lim x →0y →0(x 3+y 3)/(x 2+y )不存在.参　考　文　献1　[美]W ・弗列明著,庄业栋译.多元函数(上、下册).北京:人民教育出版社,19812　[苏]B ・A 卓里奇著,蒋铎等译.数学分析.北京:高等教育出版社,19883　何琛,史济怀,徐森林.数学分析.北京:高等教育出版社,19834　华东师范大学数学系编.数学分析(下册).北京:高等教育出版社.5　薛宗慈等编.数学分析习作课讲义(下册).北京:北京师范大学出版社.91第3期 桂咏新 二元函数极限不存在的判别。

二元函数的极限与一元函数的极限类似，对于二元函数z= f (x ,y )同样可以讨论当自变量x 与y 趋向于有限数值x 0与y 0时，函数z 的变化趋势，即二元函数的极限。

1.二元函数极限的定义定义：设函数z= f (x ,y )在点P 0 (x 0,y 0)的某一去心邻域内有定义，P (x ,y )为该邻域内任意一点，当P (x ,y )以任意方式趋于P 0 (x 0,y 0)时，函数f (x ,y )的值都趋于一个确定的常数A ，则称A 是函数z= f (x ,y )当P (x ,y )趋于P 0 (x 0,y 0)时的极限，记作0lim (,)x x y y f x y A →→=00(,)(,)lim (,)x y x y f x y A →=0lim (,)P P f x y A→=或x 、y 趋于x 0 、y 0可看作成点P (x ,y )趋向点P 0 (x 0,y 0) ，又可记作在xOy 平面上，点P (x ,y )趋向点P 0 (x 0,y 0)的方式可以时多种多样的，因此二元函数的情况要比一元函数复杂得多。

说明（1）定义中的方式可能是多种多样的，方向可能任意多，路径可以是千姿百态的，所谓极限存在是指当动点从四面八方以可能有的任何方式和任何路径趋于定点时，函数都趋于同一常数。

——这是产生本质差异的根本原因。

0P P →∙00(,)x y (,)x y (,)x y (,)x y (,)x y (,)x y xo y (,)x y（2）二元函数的极限也叫二重极限（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似如局部有界性、局部保号性、夹逼准则、无穷小、等价无穷小代换等，建议自行复习，写出有关结论以巩固和加深理解。

一元极限与二元极限的区别？一元函数在某点的极限存在的充要不同点而多元函数于P 0时,条件是左右极限都存在且相等;都有极限,且相等.()f P 必需是点P 在定义域内以任何方式和途径趋确定二重极限关于二元函数的极限概念可相应地推广到n 元函数上去.不存在的方法(1)(2)此时也可断言找两种不同趋近方式,但两者不相等,00lim (,)x x y y f x y →→使处极限不存在.存在,(,)f x y 在点),(000y x P 令点P (x ,y )沿直线y =kx 或者其他方式如：沿抛物线y =kx 2等趋向于点P 0 (x 0,y 0)若极限值与k 有关,则可断言极限不存在;22(,)x y f x y x y =+222200lim (,)lim x x y kx k x f x y x k x →→==+则有21kk =+k 值不同极限不同!例1 讨论函数的极限.在点(0,0)解设沿直线y = k x 趋于点,(,)P x y (0,0)(,)f x y 在点极限不存在.故(0,0)362(,)x y f x y x y =+36626200lim (,)lim 1x x y kx kx k f x y x k x k →→===++则有k 值不同极限不同!例2 讨论函数的极限.在点(0,0)解设沿曲线y = k x 3趋于(0,0)点,(,)P x y (,)f x y 在点极限不存在.故(0,0)例3222200sin()lim x y x y x y →→++求220,00u x y x y u =+→→→解：令，有，222200sin()lim x y x y x y →→++故，0sin =lim 1u u u →=说明，二元极限问题有时可以转化为一元函数的极限问题例4222222(,)(0,0)1cos()lim ()x y x y x y x y e →-++求222222222222222(,)(0,0)(,)(0,0)1cos()1cos()1lim lim 00()2()x y x y x y x y x y x y x y x y x y e e →→-+-++=⋅=⋅=++解：多元函数的极限的基本问题有三类(1) 研究二元函数极限的存在性.常研究若其依赖于k,则欲证明极限存在,*特别对于*),,(lim 00y x f y x →→),(lim 00y x f y x →→不存在.常用定义或夹逼定理.欲证明极限不存在(通过观察、猜测),常选择两条不同路径,求出不同的极限值.(2) 求极限值.常按一元函数极限的求法求之.(罗必达法则除外)),,(lim y x f 0→x 0→=kx y。

二元函数极限证明题目：二元函数极限的证明引言：在微积分中，函数极限是一个重要的概念。

在实际问题中，许多函数都是多元函数，即变量的个数大于一。

而二元函数是一种常见的多元函数形式，它包含两个自变量和一个因变量。

本文将对二元函数极限进行详细的讨论和证明。

一、二元函数极限的定义设函数 f(x, y) 在点 P(x0, y0) 的某邻域内有定义，若对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得当点 P(x, y) 满足不等式 0 < \sqrt {(x-x_0 )^2 + (y-y_0 )^2} < δ时，有 |f(x,y)-A|<ε 成立，则称函数 f(x, y) 在点 P(x0, y0) 处的极限为 A，记作lim_(x,y)→(x0,y0) f(x,y)=A二、二元函数极限的性质与一元函数极限类似，二元函数极限也具有以下性质：1. 二元函数极限的唯一性：若极限存在，则极限唯一；2. 夹逼准则：若函数 f(x,y) 在点 P(x0, y0) 的某邻域内有定义，并且存在函数 h(x,y) 和 g(x,y)，满足h(x,y)≤f(x,y)≤g(x,y) 在点P(x0, y0) 的某邻域内成立，并且lim_(x,y)→(x0,y0)h(x,y)=lim_(x,y)→(x0,y0) g(x,y)=A，则必有lim_(x,y)→(x0,y0) f(x,y)=A；3. 四则运算法则：若函数 f(x,y) 和 g(x,y) 分别在点 P(x0, y0) 的某邻域内有定义，并且lim_(x,y)→(x0,y0) f(x,y)=A、lim_(x,y)→(x0,y0) g(x,y)=B，则有lim_(x,y)→(x0,y0) (f(x,y)+g(x,y))=A+B,lim_(x,y)→(x0,y0) (f(x,y)-g(x,y))=A-B,lim_(x,y)→(x0,y0) f(x,y)g(x,y)=AB 和lim_(x,y)→(x0,y0) f(x,y)/g(x,y)=A/B (B≠0)；4. 复合函数极限：若函数 f(x,y) 在点 P(x0, y0) 的某邻域内有定义，并且lim_(u,v)→(x0,y0) g(u,v)=P(x0, y0)，lim_(x,y)→(u,v)f(x,y)=L，则lim_(x,y)→(x0,y0) f(g(x,y))=L。

219理论研究证明二元函数极限不存在的方法与技巧杨万娟,杨子艳,木绍良（云南大学旅游文化学院 信息学院,云南 丽江 674100）摘　要：本文主要解决在证明二元函数极限不存在的问题时选择特殊路径的方法和技巧。

关键词：二元函数极限；无穷小量；无穷小量的阶；特殊路径DOI:10.16640/ki.37-1222/t.2019.19.1961　二元函数极限概念分析 二元函数的极限存在,是指点沿任意路径无限接近某一点时,函数总是无限接近某一固定的数A 。

此时称A 为二元函数在时的极限,记作。

定理（1）设函数在内有定义,则；（2）设函数在有定义,且,则。

由定理可知,在求二元函数极限时,通过选择特殊的路径可转化为一元函数极限问题,所以,当沿着不同的路径趋于时（即当时,沿着不同的趋近于）函数趋于不同的值,那么就可以断定此函数的极限不存在。

但是找到特殊路径对学生来说不是一件容易的事,因此很有必要探究该问题。

本文对常见的两种类型作了讨论,其思路为：考虑分母中的最高次幂与分子中的最低次幂保持一致,通过化解可知极限是否与有关,若与有关,则可知极限不存在。

2　证明二元函数极限不存在时找特殊路径的方法2.1　类型一：证明(,)(0,0)lim a bm mx y x y x y →±极限不存在时找特殊路径的方法 （1）当且时,令； （2）当时,令。

例1 证明233(,)(0,0)limx y x yx y →−极限不存在。

证明：，故令， 显然,当k 不同时,31k k −便不同,所以极限233(,)(0,0)lim x y x yx y →−不存在。

例2 证明极限(,)(0,0)lim +x y xyx y→不存在。

证明：，故令，， 显然,当k 不同时,1k−便不同,所以极限(,)(0,0)lim +x y xyx y →不存在。

2.2　类型二：证明(,)(0,0)+lima b x y x y x y→±极限不存在时找特殊路径的方法 （1）当时,令； （2）当时,令。

高等数学教学过程中二元函数极限求法的研究【摘要】本文旨在研究高等数学教学中二元函数极限求法的方法与应用。

在我们探讨了研究背景、研究意义以及研究方法。

在我们详细介绍了二元函数极限的定义、性质、求法，并探讨了它在高等数学教学中的应用及相应的教学策略。

在我们总结了研究成果，并展望了未来的研究方向。

我们也指出了本研究的局限性。

通过本文的研究，我们可以更好地了解二元函数极限的相关知识，为高等数学教学提供更为有效的指导和支持。

【关键词】高等数学、二元函数、极限、教学、研究、定义、性质、求法、应用、策略、总结、展望、局限性。

1. 引言1.1 研究背景高等数学作为大学数学教育中的重要组成部分，对于培养学生的数学思维能力和解决实际问题的能力具有关键性作用。

在高等数学教学中，二元函数极限的求法是一个重要的内容。

二元函数极限是指当自变量同时趋于某个数值时，函数值的极限趋于某个值。

而对于二元函数极限的求法，涉及到一系列复杂的数学理论和方法。

对于如何更好地教授和学习二元函数极限的求法，具有重要的研究价值。

在当前的高等数学教学中，教师们常常面临着如何有效地传授二元函数极限的求法这一难题。

在教学实践中，也存在着对于二元函数极限的定义、性质以及求法的理解不够深入的情况。

教师们需要更好地理解二元函数极限的概念，并灵活运用各种教学方法和策略，帮助学生更好地掌握这一内容。

对于二元函数极限的教学过程进行研究，可以帮助教师们更好地指导学生，提高教学质量，促进学生对数学的深入理解和应用能力的提升。

通过对二元函数极限的教学过程进行研究，也可以为今后高等数学教学的改进提供借鉴和参考。

1.2 研究意义二元函数极限在高等数学教学中的研究意义主要体现在以下几个方面：1. 提高学生的数学思维能力。

通过学习二元函数极限的求法，学生需要进行复杂的数学推导和计算过程，这有助于培养学生的逻辑思维能力和数学分析能力。

学生在解题过程中需要灵活运用数学知识，培养了学生的综合运用能力，提高了数学问题的解决能力。

二元函数求极限的定义与性质在数学中，二元函数是指依赖于两个自变量的函数。

求二元函数的极限是数学分析中的一个重要概念，用于计算函数在某一点的趋近性。

本文将探讨二元函数求极限的定义及其性质，并进一步讨论其在实际问题中的应用。

定义设函数f(x,y)定义在点P(x0,y0)的某个去心邻域内，如果对于任意给定的正数ε，存在正数δ，使得当点(x,y)满足0 < √((x-x0)² + (y-y0)²) < δ时，总有|f(x,y) - A| < ε成立，那么称A是函数f(x,y)在点P(x0,y0)处的极限，记作lim_(x,y)→(x0,y0) f(x,y) = A。

性质1.函数极限存在的唯一性：如果函数f(x,y)在点(x0,y0)处有极限，那么该极限必定唯一。

2.函数极限的局部结构：函数极限的存在与否与函数在点(x0,y0)处的局部结构有关，例如，如果函数在点(x0,y0)的某个去心邻域内有界，那么函数在该点处必定存在极限。

3.函数极限与路径无关：对于二元函数而言，极限的求取与路径无关，只依赖于点P(x0,y0)附近的情况。

也就是说，如果沿着不同路径趋向于点P(x0,y0)，得到的极限值相同，那么函数在该点处的极限存在。

应用1.二元函数的极限在微积分中有广泛的应用。

例如，在求取二元函数的导数时，常常需要首先求取其极限。

2.二元函数的极限能够帮助我们研究函数在特定点的性质，例如函数的连续性、可导性等。

3.在实际问题中，二元函数的极限也有重要的应用，比如物理学中的质点运动轨迹的研究，经济学中的边际效应分析等。

总结二元函数求极限是数学分析中的重要概念，通过函数在点附近的趋近性，我们可以推导出函数局部的性质和行为。

函数极限的存在与否是判断函数在特定点连续性、可导性等的关键要素。

同时，函数极限的性质也可以帮助我们解决实际问题中的一些复杂情况。

因此，对于二元函数求极限的定义与性质的理解具有重要的意义，为进一步研究和应用数学分析提供了基础。

二元函数求极限的代数性质与解析在学习高等数学的过程中，我们经常会遇到求二元函数的极限问题。

二元函数的极限是指当自变量趋近于某个点时，函数的取值趋近于一个确定的值。

在求解这类问题时，我们需要掌握一些代数性质和解析方法。

一、二元函数的极限定义设函数 f(x, y) 在点 (x0, y0) 的某个去心邻域内有定义，如果对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得当点 (x, y) 满足不等式0 < √((x-x0)²+(y-y0)²) < δ 时，都有 |f(x, y) - A| < ε 成立，则称函数 f(x, y) 在点(x0, y0) 处的极限为A，记作：lim_(x,y)→(x0,y0) f(x, y) = A二、二元函数极限的代数性质1. 唯一性性质：若二元函数 f(x,y) 在点 (x0, y0) 处极限存在，则极限值 A 唯一确定。

2. 有界性质：若二元函数 f(x,y) 在点 (x0, y0) 处极限存在且有限，则 f(x,y) 在点 (x0, y0) 的某个去心邻域内有界。

3. 保号性质：若二元函数 f(x,y) 在点 (x0, y0) 处的极限存在且不为零，则在点 (x0, y0) 的某个去心邻域内，f(x,y) 与 A 的正负号相同。

三、二元函数极限的解析方法在具体的计算中，我们可以通过一些解析方法来求解二元函数的极限。

1. 分别取极限法：当二元函数 f(x,y) 在点 (x0, y0) 处的极限存在，且其极限可以表示为 A = h(x) + k(y)，其中 h(x) 和 k(y) 分别是关于 x 和y 的函数的极限。

则有：lim_(x,y)→(x0,y0) f(x, y) = lim_(x→x0) h(x) + lim_(y→y0) k(y)2. 代数运算法则：对于二元函数与它的极限，可以利用代数运算法则进行运算，如加减乘除、辽有近似计算的阶乘表.png乘幂、复合函数等。

证明极限不存在证明极限不存在二元函数的极限是高等数学中一个很重要的内容,因为其定义与一元函数极限的定义有所不同,需要定义域上的点趋于定点时必须以任意方式趋近,所以与之对应的证明极限不存在的方法有几种.其中有一种是找一种含参数的方式趋近,代入二元函数,使之变为一元函数求极限.若最后的极限值与参数有关,则说明二重极限不存在.但在证明这类型的题目时,除了选y=kx这种趋近方式外,许多学生不知该如何选择趋近方式.本文给出证明一类常见的有理分式函数极限不存在的一种简单方法.例1[1]证明下列极限不存在:(1)lim(x,y)→(0,0)x4y2x6+y6;(2)lim(x,y)→(0,0)x2y2x2y2+(x-y)2.证明一般地,对于(1)选择当(x,y)沿直线y=kxy=kx趋近于(0,0)时,有lim(x,y)→(0,0)x4y2x6+y6=limx→0k2x6(1+k6)x6=k21+k6.显然它随着k值的不同而改变,故原极限不存在.对于(2)若仍然选择以上的趋近方式,则不能得到证明.实际上,若选择(x,y)沿抛物线y=kx2+x(k≠0)(x,y)→(0,0)趋近于(0,0),则有l..2是因为定义域D={(x,y)|x不等于y}吗，从哪儿入手呢，请高手指点沿着两条直线 y=2xy=-2x 趋于(0,0)时极限分别为 -3 和 -1/3 不相等极限存在的定义要求延任何过(0,0)直线求极限时极限都相等所以极限不存在3lim (x 和y)趋向于无穷大 (x^2-5y^2) / (x^2+3y^2)证明该极限不存在lim(x^2-5y^2) / (x^2+3y^2)=lim(x^2+3y^2) / (x^2+3y^2) - 8y^2 / (x^2+3y^2)=1-lim8 / [(x/y)^2+3]因为不知道x、y的大校所以lim (x 和y)趋向于无穷大 (x^2-5y^2) / (x^2+3y^2) 极限不存在4如图用定义证明极限不存在~谢谢!!反证法若存在实数L，使limsin(1/x)=L，取ε=1/2，在x=0点的任意小的邻域X内，总存在整数n，①记x1(n)=1/(2nπ+π/2)∈X，有sin[1/x1(n)]=1，②记x2(n)=1/(2nπ-π/2)∈X，有sin[1/x2(n)]=-1，使|sin[1/x1(n)]-L|和|sin[1/x2(n)]-L|同时成立。

二元函数极限证明二元函数极限证明第一篇：二元函数极限证明二元函数极限证明设p=f教学目的：掌握二元函数的极限的定义，了解重极限与累次极限的区别与联系．教学内容：二元函数的极限的定义；累次极限．基本要求：较高要求：掌握重极限与累次极限的区别与联系，能用来处理极限存在性问题．教学建议：要求学生弄清一元函数极限与多元函数极限的联系与区别，教会他们求多元函数极限的方法．对较好学生讲清重极限与累次极限的区别与联系，通过举例介绍判别极限存在性的较完整的方法．一二元函数的极限先回忆一下一元函数的极限：limf时，f法则。

类似地, 二元函数基本未定型的极限问题也有相似的洛泌达法则。

为了叙述上的方便, 对它的特殊情形= ) 作出如下研究, 并得到相应的法则与定理。

二元函数的极限是反映函数在某一领域内的重要属性的一个基本概念, 它刻划了当自变量趋向于某一个定值时, 函数值的变化趋势。

是高等数学中一个极其重要的问题。

但是, 一般来说, 二元函数的极限比起一元函数的极限, 无论从计算还是证明都具有更大的难度。

本文就二元函数极限的问题作如下探讨。

第四篇：二元函数的极限与连续§3 二元函数的极限与连续定义设二元函数有意义, 若存在常数a,都有则称a是函数当点趋于点或或趋于点时的极限,记作。

的方式无关,即不,当（即）时，在点的某邻域内或必须注意这个极限值与点论p以什么方向和路径（也可是跳跃式地，忽上忽下地）趋向分接近, 就能使。

只要p与充与a 接近到预先任意指定的程度。

注意：点p趋于点点方式可有无穷多种,比一元函数仅有左,右两个单侧极限要复杂的多（图8-7）。

图8-7同样我们可用归结原则,若发现点p按两个特殊的路径趋于点时, 极限在该点存在,但不相等, 则可以判定元函数极限不存在的重要方法之一。

极限不存在。

这是判断多一元函数极限中除了单调有界定理外,其余的有关性质和结论, 在二元函数极限理论中都适用，在这里就不一一赘述了。

高等数学教学过程中二元函数极限求法的研究【摘要】本文主要围绕高等数学教学过程中二元函数极限求法展开研究。

在分析了研究背景、研究意义和研究方法。

接着在详细介绍了二元函数极限的定义和常用的求解方法，同时通过教学实践案例分析、教学效果评估和教学策略探讨来深入探讨该课题。

最后在总结了二元函数极限求法的要点，展望未来研究方向并分享了教学实践经验。

通过本文的研究，有望为高等数学教学提供更有效的教学方法和策略，进一步提升教学质量和学生学习效果。

【关键词】高等数学、二元函数极限、教学过程、研究背景、研究意义、研究方法、二元函数极限的定义、常用的求解方法、教学实践案例分析、教学效果评估、教学策略探讨、二元函数极限求法的总结、展望未来研究方向、教学实践经验分享。

1. 引言1.1 研究背景高等数学作为大学数学课程的重要组成部分，对于培养学生的数学思维能力和解决问题的能力具有重要意义。

在高等数学教学过程中，二元函数极限是一个重要的概念，对于理解多变量函数的性质和行为具有重要意义。

由于二元函数的复杂性和多样性，其极限求法常常是学生难以掌握的难点之一。

研究背景中，我们目前存在的问题是，学生在学习二元函数极限时往往存在着一定的困难和挑战，他们对于二元函数极限的概念理解不深刻，对于常用的求解方法不够熟练，且缺乏实际应用的案例分析经验。

这种情况导致了教学效果的不理想，学生的学习兴趣和动力也受到了一定的影响。

有必要对高等数学教学中二元函数极限求法进行深入研究和探讨，通过总结常用的求解方法，分析具体的教学实践案例，评估教学效果，探讨教学策略，从而提高学生对于二元函数极限的理解和掌握能力。

这对于优化高等数学教学模式，提高教学质量具有积极的促进作用。

1.2 研究意义二元函数极限是高等数学中一个重要的概念，对于深刻理解函数的性质和变化规律具有重要意义。

研究二元函数极限求法不仅可以提高学生对于数学知识的理解和掌握，同时也对于培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力具有重要意义。

极限不存在该证明证明极限需要什么方法呢?极限存在与否该怎么证明呢?下面就是给大家的证明极限不存在内容，希望大家喜欢。

二元函数的极限是高等数学中一个很重要的内容,因为其定义与一元函数极限的定义有所不同,需要定义域上的点趋于定点时必须以任意方式趋近,所以与之对应的证明极限不存在的方法有几种.其中有一种是找一种含参数的方式趋近,代入二元函数,使之变为一元函数求极限.若最后的极限值与参数有关,则说明二重极限不存在.但在证明这类型的题目时,除了选y=kx这种趋近方式外,许多学生不知该如何选择趋近方式.本文给出证明一类常见的有理分式函数极限不存在的一种简单方法.例1[1]证明下列极限不存在:(1)lim(x,y)→(0,0)x4y2x6+y6;(2)lim(x,y)→(0,0)x2y2x2y2+(x-y)2.证明一般地,对于(1)选择当(x,y)沿直线y=kxy=kx趋近于(0,0)时,有lim(x,y)→(0,0)x4y2x6+y6=limx→0k2x6(1+k6)x6=k21+k6.显然它随着k值的不同而改变,故原极限不存在.对于(2)若仍然选择以上的趋近方式,则不能得到证明.实际上,若选择(x,y)沿抛物线y=kx2+x(k≠0)(x,y)→(0,0)趋近于(0,0),则有l..是因为定义域D={(x,y)|x不等于y}吗，从哪儿入手呢，请高手指点沿着两条直线y=2xy=-2x趋于(0,0)时极限分别为-3和-1/3不相等极限存在的定义要求延任何过(0,0)直线求极限时极限都相等所以极限不存在im(x和y)趋向于无穷大(x^2-5y^2)/(x^2+3y^2) 证明该极限不存在lim(x^2-5y^2)/(x^2+3y^2)=lim(x^2+3y^2)/(x^2+3y^2)-8y^2/(x^2+3y^2)=1-lim8/[(x/y)^2+3]因为不知道x、y的大校所以lim(x和y)趋向于无穷大(x^2-5y^2)/(x^2+3y^2)若存在实数L，使limsin(1/x)=L，取ε=1/2，在x=0点的任意小的邻域X内，总存在整数n，①记x1(n)=1/(2nπ+π/2)∈X，有sin[1/x1(n)]=1，②记x2(n)=1/(2nπ-π/2)∈X，有sin[1/x2(n)]=-1，使|sin[1/x1(n)]-L|和|sin[1/x2(n)]-L|同时成立。

二元函数极限证明（精选五篇）第一篇：二元函数极限证明二元函数极限证明设p=f(x,y),p0=(a,b)，当p→p0时f(x,y)的极限是x,y同时趋向于a,b时所得到的称为二重极限。

此外，我们还要讨论x,y先后相继地趋于a,b时的极限,称为二次极限。

我们必须注意有以下几种情形：’(1)两个二次极限都不存在而二重极限仍有可能存在(2)两个二次极限存在而不相等(3)两个二次极限存在且相等，但二重极限仍可能不存在2函数f(x)当x→X0时极限存在，不妨设：limf(x)=a(x→X0)根据定义:对任意ε>0,存在δ>0,使当|x-x0|<δ时,有|f(x)-a|<ε而|x-x0|<δ即为x属于x0的某个邻域U(x0;δ)又因为ε有任意性,故可取ε=1,则有:|f(x)-a|<ε=1,即:a-1再取M=max{|a-1|,|a+1|},则有:存在δ>0,当任意x属于x0的某个邻域U(x0;δ)时,有|f(x)|证毕3首先，我的方法不正规，其次，正确不正确有待考察。

1，y以y=x^2-x的路径趋于0Limitedsin(x+y)/x^2=Limitedsinx^2/x^2=1而y=x的路径趋于0结果是无穷大。

2，3可以用类似的方法，貌似同济书上是这么说的，二元函数在该点极限存在，是p(x,y)以任何方式趋向于该点。

4f(x,y)={(x^2+y^2)/(|x|+|y|)}*sin(1/x)显然有y->0,f->(x^2/|x|)*sin(1/x)存在当x->0,f->(y^2/|y|)*sin(1/x),sin(1/x)再0处是波动的所以不存在而当x->0,y->0时由|sin(1/x)|<=1得|f|<=(x^2+y^2)/(|x|+|y|)而x^2+y^2<=x^2+y^2+2*|x||y|=(|x|+|y|)^2所以|f|<=|x|+|y|所以显然当x->0,y->0时，f的极限就为0这个就是你说的，唯一不一样就是非正常极限是不存在而不是你说的正无穷或负无穷或无穷，我想这个就可以了就我这个我就线了好久了5(一)时函数的极限：以时和为例引入.介绍符号:的意义,的直观意义.定义(和.)几何意义介绍邻域其中为充分大的正数.然后用这些邻域语言介绍几何意义.例1验证例2验证例3验证证……(二)时函数的极限：由考虑时的极限引入.定义函数极限的“”定义.几何意义.用定义验证函数极限的基本思路.例4验证例5验证例6验证证由= 为使需有为使需有于是,倘限制,就有例7验证例8验证(类似有(三)单侧极限:1.定义：单侧极限的定义及记法.几何意义:介绍半邻域然后介绍等的几何意义.例9验证证考虑使的2.单侧极限与双侧极限的关系: Th类似有:例10证明:极限不存在.例11设函数在点的某邻域内单调.若存在,则有=§2函数极限的性质(3学时)教学目的：使学生掌握函数极限的基本性质。