函数极限存在的条件(精)

0 xn x0 .
从而有 f ( xn ) A ,
故
lim
x
f
(xn )

A.
例如, lim sin x 1 x0 x
y sin x x
lim nsin 1 1,
n
n
lim
n
n sin 1 1, n
lim
n
n2 n
1
sin
n n2
1

1
为更强的形式。如当 x x0 时有：
定理3.9
设函数
f在
x0
的某空心邻域U
0
(
x0
)
内有定义， lim f (x) A xx0
对任何以 x0
为极限的递减数列 xn U0(x0) ，有
lim
n
f
(xn )

A
.
二、单调有界定理 相应于数列极限的单调有界定理，关于上述
例1 证明 lim sin 1 不存在.
x0 x
证
取
xn



1 n
,
y sin 1 x
lim
n
xn

0,
且 xn 0;


取
xn



4n
1
1

,
lim
n
xn

0,
且 xn 0;
2
而 lim sin 1 lim sin n
§ 3.3 函数极限存在的条件
本节介绍函数极限存在的两个充要条件. 仍以极限 lim f (x) 为例
x x0
一 Heine归并原则 —— 函数极限与数列极 限的关系：

n
xn A,
lim g xn B
n
数列极限的四则运算,对任意数列 xn 且
lim x n x0 , xn x0 , 有 lim n
n
f ( xn ) A g ( xn ) B
再根据海涅定理的充分性,有
首页
×
lim f ( x ) f ( xn ) A x f ( x) x0 lim lim x x0 g( x ) n g( x ) B lim g( x ) n
f ( x0 0) sup
0 xU ( x0 )
f ( x ) ; 若 f 递减,则
f ( x ).
首页
0 xU ( x0 )
×
(2) 设 f 为定义在U 0 ( x0 ) 上的递增函数 则
f ( x0 0) sup f ( x), f ( x0 0) inf f ( x) 0
lim f ( x ) A, lim g( x ) B( B 0)
x x0
证 已知 lim f ( x ) A与 lim g( x ) B 根据海涅定理
xn x0 , xn x0 必要性,对任意数列 xn 且 lim n
x x0 x x0
有 lim f
数列 f ( xn ) 的极限都相等.
首页
×
注7 可以利用柯西准则证明函数极限 lim f ( x )
的不存在:
x x0
x x0
设函数 在U ( x0 ; ')内有定义. lim f ( x ) 不存在
的充要条件是：存在 0 0 ,对任意正数 ( ') , 存在 x ', x U ( x0 ; ) , 有 f ( x ') f ( x) 0 .

函数极限存在的条件
极限是一种数学概念，它指函数针对某个变量在某个取值附近一组值集合所向上或向下无限趋近的状态。

极限运算可以用来判断函数是否存在极限，以及求出其值。

在函数的极限存在的条件下，可以使用极限概念来求出函数的行为。

1. 变量不可绝对值取值：函数的极限只有在变量不绝对取值时才存在。

例如，函数f(x)=1/x，当x→0时，这个函数没有定义边界值，因此它没有极限。

3. 函数的连续性：函数的极限只有在函数的连续性情况下才会存在。

数学定义中，连续性指函数被根据变量关系进行连续求值之后，变量的取值域完整无残缺。

换言之，连续的函数随着变量的取值变化，函数的取值也会跟随变化，即使变量取值近似趋于某一值也是如此。

因此，当函数具有连续性时，函数的极限也会存在。

4. 对称性：函数的极限只有在函数具有对称性时才会存在，这是由于对称性会使函数的变化情况一致，从而可以使极限数存在。

例如：函数f(x)=x2-2，其图像呈对称性，并且随着x增大（或减小），函数值逐渐向某一特定值无穷近，因此该函数的极限存在于x=0，且极限值为-2。

x1 , x2 , 使得
, xn ,
, xn U ( x0 , n ),
| f ( xn ) A | 0 , n 1, 2, .
另一方面,
0|
xn
x0
| n
n
,
所以
lim
n
xn
x0 .
这与
lim
n
f
( xn )
A
矛盾.
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注: 1、 若 lim f (x) A 存在, x x0
f
为定义在U
(
x0
)上的单调有界函数,
则右极限 lim f ( x) 存在 . x x0
（相信大家也能够写出关于 lim f ( x) , lim f ( x) ,
x x0
x
lim f ( x) 的单调有界定理 .）
x
y y f (x)
几何意义
f (x0)
•
o a x0 b
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证
从而 f ( x) f ( xN1 ) A . 因此 A f (x) A .
即 lim f ( x) A. x x0
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三、柯西收敛准则
这里 仅给出 lim f ( x) 的柯西收敛准则, 请大家自 x
行写出其他五种极限类型的柯西收敛准则，并证
明之.
定理3.12 设 f (x) 在 的某个邻域{x | x M }上 有定义, 则极限 lim f ( x) 存在的充要条件是:
不妨设
f
在
U
(
x0
)
递减
.
因为 f (x) 有界, 故 sup f ( x) 存在, 设为A .
xU