函数极限存在的条件

§３ 函数极限存在条件引 言在讨论数列极限存在条件时，我们曾向大家介绍过“单调有界定理”和“柯西收敛准则”．我们说数列是特殊的函数，那么对于函数是否也有类似的结果呢？或者说能否从函数值的变化趋势来判断其极限的存在性呢？这是本节的主要任务．本节的结论只对0x x →这种类型的函数极限进行论述，但其结论对其它类型的函数极限也是成立的． 首先介绍一个很主要的结果——海涅(Heine)定理（归结原则）．一、归结原则定理１（Heine 定理） 设f 在00(;)U x δ'内有定义，0lim ()x x f x →存在⇔对任何含于00(;)U x δ'且以0x 为极限的数列{}n x ，极限lim ()n n f x →∞都存在且相等．注１．{}()n f x 是数列，lim ()n n f x →∞是数列的极限．所以这个定理把函数()f x 的极限归结为数列{}()n f x 的极限问题来讨论，所以称之为“归结原则”．由此，可由数列极限的性质来推断函数极限性质． 注２．从Heine 定理可以得到一个说明0lim ()x x f x →不存在的方法，即“若可找到一个数列{}n x ，0lim n n x x →∞=，使得lim ()n n f x →∞不存在；”或“找到两个都以0x 为极限的数列{}{},n n x x '''，使l i m (),l i m (n n n n f x f x →∞→∞'''都存在但不相等，则0lim ()x x f x →不存在． 例１ 证明01lim sinx x→不存在． 注３．对于00,,,x x x x x x +-→→→+∞→-∞这四种类型的单侧极限，相应的归结原则可表示为更强的形式．如当0x x +→时有：定理２ 设函数f 在0x 的某空心邻域00()U x +内有定义，0lim ()x x f x A +→= ⇔对任何以0x 为极限的递减数列{}00()n x U x +⊂，有lim ()n n f x A →∞=.二、单调有界定理相应于数列极限的单调有界定理，关于上述四类单侧极限也有相应的定理．现以0x x +→这种类型为例叙述如下:定理３ 设f 为定义有00()U x +上的单调有界函数，则右极限0lim ()x x f x +→存在．注：定理３可更具体地叙述如下：f 为定义在00()U x +上的函数，若（１）f 在00()U x +上递增有下界，则0l i m ()x x f x +→存在，且0()lim ()inf ()x x x U x f x f x ++→∈=；（２）f 在00()U x +上递减有上界，则0lim ()x x f x +→存在，且00()lim ()sup ()x x x U x f x f x ++→∈=. 三 函数极限的Cauchy 收敛准则定理４（Cauchy 准则） 设函数f 在00(;)U x δ'内有定义，0lim ()x x f x →存在⇔任给0ε>，存在正数()δδ'<，使得对任何00,(;)x x U x δ'''∈有|()()|f x f x ε'''-<．注：按照Cauchy 准则，可以写出0lim ()x x f x →不存在的充要条件：存在0ε>，对任意(0)δ>，存在00,(;)x x U x δ'''∈使得|()()|f x f x ε'''-≥.例：用Cauchy 准则说明01lim sinx x→不存在． 综上所述：Heine 定理和Cauchy 准则是说明极限不存在的很方便的工具． 作业：p55. 1, 2, 4.。

函数极限存在的条件是什么
函数极限存在的条件：
1、单调有界准则。

函数在某一点极限存在的充要条件是函数左极限和右极限在某点都存在且相等。

如果左右极限不相同、或者不存在。

则函数在该点极限不存在。

即从左趋向于所求点时的极限值和从右趋向于所求点的极限值相等。

2、夹逼准则，如能找到比目标版数列或者函数权大而有极限的数列或函数，并且又能找到比目标数列或者函数小且有极限的数列或者函数，那么目标数列或者函数必定存在极限。

函数极限求值方法：
当分母等于零时，就不能将趋向值直接代入分母，可以通过下面几个小方法解决：
第一：因式分解，通过约分使分母不会为零。

第二：若分母出现根号，可以配一个因子使根号去除。

第三：以上解法都是在趋向值是一个固定值的时候进行的，如果趋向于无穷，分子分母可以同时除以自变量的最高次方。

（通常会用到这个定理：无穷大的倒数为无穷小）。

极限存在的充分必要条件引言在数学中，极限是一种基本的概念，它在分析和微积分等领域中起着重要的作用。

极限存在的充分必要条件是一个关键性的问题，其解答对于确保数学推理的准确性至关重要。

本文将讨论极限存在的充分必要条件，旨在帮助读者更好地理解和应用这一概念。

极限的定义在探讨极限存在的充分必要条件之前，我们先回顾一下极限的定义。

设函数f(x)在x趋近于a时有定义，如果对于任意给定的正数ε，存在另一个正数δ，使得当0 < |x - a| < δ时，有 |f(x) - L| < ε成立，其中L为常数，则称函数f(x)在x趋近于a时的极限为L，记作：limx→af(x) = L此定义表明，当x趋近于a时，函数f(x)的值将趋近于L。

那么，极限存在的充分必要条件是什么呢？极限存在的充分必要条件充分条件：确界性质在讨论极限存在的充分必要条件之前，我们先介绍一下确界性质。

设函数f(x)在开区间(a,b)上有定义。

如果存在一个常数M，使得对于任意的x∈(a,b)，有f(x)≤ M成立，那么M称为函数f(x)在区间(a,b)上的一个上界。

类似地，如果存在一个常数m，使得对于任意的x∈(a,b)，有f(x) ≥ m成立，那么m称为函数f(x)在区间(a,b)上的一个下界。

现在我们来讨论极限存在的充分条件。

定理1：如果函数f(x)在点a的某个去心领域内有定义，并且存在常数M > 0，使得对于任意的x∈(a-h,a)∪(a,a+h) (其中h > 0)，有|f(x)| ≤ M成立，则极限limx→af(x)存在。

证明：假设|f(x)| ≤ M对于所有x∈(a-h,a)∪(a,a+h)都成立。

现考虑f(x)和0之间的距离，即|f(x) - 0|。

根据三角不等式，我们有：|f(x) - 0| ≤ |f(x)| + |0| ≤ M + 0 = M因此，在点a的某个去心领域内，|f(x) - 0| ≤ M恒成立，这可以表示为|f(x) - L| ≤ M，其中L=0是一个常数。

§3 函数极限存在的条件【教学目的】函数各类极限的Heine 归并原则，Cauchy 准则。

【教学重点】极限)(lim 0x f x x →的Heine 归并原则，Cauchy 准则。

【教学难点】极限)(lim 0x f x x →的Heine 归并原则，Cauchy 准则。

【教学过程】与讨论数列极限存在的条件一样, 我们将从函数值的变化趋势来判断其极限的存在性。

本节介绍函数极限存在的两个充要条件。

仍以极限)(lim 0x f x x →为例。

一、Heine 归并原则 — 函数极限与数列极限的关系定理1 设函数f 在点0x 的某空心邻域0(;)U x δ'o内有定义。

则极限)(lim 0x f x x →存在⇔对任何0()n x U x ∈o 且)(lim ,0n n n x f x x ∞→→都存在且相等.证 （必要性） 设0lim ()x x f x A →=则对任给的0ε>, 存在正数δδ'≤, 使得当00x x δ<-< 时有|()|f x A ε-<.另一方面, 设数列0{}(;)n x U x δ'⊂o 且0lim n n x x →∞=, 则以上述的0ε>存在0N >, 使得当n N >时有00x x δ<-<, 从而有|()|n f x A ε-<. 这就证明了lim ().n n f x A →∞=（充分性） 设对任何数列0{}(;)n x U x δ'⊂o 且0lim n n x x →∞=，有lim ()n n f x A →∞=,则可用反证法推出0lim ()x x f x A →=。

事实上，倘若当0x x →时f 不以A 为极限, 则存在某00ε>, 对任何0δ> (不论多么小), 总存在一点x , 尽管00x x δ<-<，但有0|()|f x A ε-≥ (§1习题2)。

§3 函数极限存在的条件教学目的：通过本次课的学习，使学生掌握函数极限的归结原则和柯西准则并能加以应用解决函数极限的相关问题。

教学方式：讲授。

教学过程：我们首先介绍0x x →这种函数极限的归结原则（也称Heine 定理）。

定理3.8（归结原则）。

A x f x x =→)(lim 0存在的充要条件是：对任何含于);('0δx U o 且以0x 为极限的数列}{n x ，极限)(lim n n x f ∞→都存在且等于A 。

证：[必要性] 由于A x f x x =→)(lim 0，则对任给的0>ε，存在正数)('δδ≤，使得当δ<-<||00x x 时，有。

另一方面，设数列}{n x ⊂);('0δx U o 且以0x 为极限，则对上述的0>δ，存在0>N ，当N n >时有δ<-<||00x x n ，从而有ε<-|)(|A x f 。

这就证明了A x f n n =∞→)(lim 。

[充分性] 设对任何数列}{n x ⊂);('0δx U o 且以0x 为极限，有A x f n n =∞→)(lim 。

现用反证法推出A x f x x =→)(lim 0。

事实上，倘若当0x x →时f 不以A 为极限，则存在某00>ε，对任何0>δ（无论多么小），总存在一点x ，尽管δ<-<||00x x ，但有0|)(|ε≥-A x f 。

现依次取 ,,,,''2'n δδδδ=，则存在相应的点 ,,,,21n x x x ，使得n n x x '||00δ<-<，而 ,2,1,|)(|0=≥-n A x f n ε显然数列}{n x ⊂);('0δx U o 且以0x 为极限，但当∞→n 时)(n x f 不趋于A 。

这与假设相矛盾，故必有A x f x x =→)(lim 0。