函数极限的求法和极限不存在的判断

求函数极限的八种方法
常见的求函数极限的方法有八种：
1.定义域内求函数极限：在函数的定义域内直接计算函数值，即可得到函数的极限值。

2.不存在极限：若函数在某一点的极限不存在，则在该点处函数没有极限。

3.左右极限存在且相等：若函数在某一点处的左右极限都存在且相等，则在该点处函数的
极限等于左右极限的值。

4.不等式法求极限：通过不等式将函数的上下界确定，从而确定函数的极限值。

5.函数的单调性求极限：通过函数的单调性可以确定函数在某一点处的极限值。

6.函数连续性求极限：通过函数的连续性可以确定函数在某一点处的极限值。

7.函数导数存在求极限：通过函数的导数存在性可以确定函数在某一点处的极限值。

8.无穷小量法求极限：通过考虑无穷小量对函数值的影响，可以确定函数在某一点处的极
限值。

这八种方法都可以用来求解函数的极限，但是在实际应用中，不同的方法适用于不同的情况。

例如，当函数的定义域内有足够的数据时，定义域内求函数极限是最直接的方法；如果函数在某一点处的左右极限都存在且相等，则可以直接使用左右极限的值作为函数在该点处的极限值；如果函数有明显的单调性或连续性，则可以利用这些性质来求解函数的极限；如果函数的导数存在，则可以利用导数的性质来求解函数的极限。

总之，求函数极限有许多方法，选择哪种方法取决于函数的性质和特点。

在实际应用中，应该根据函数的具体情况选择适当的方法，以得到最准确的结果。

函数极限存在的条件是什么
函数极限存在的条件：
1、单调有界准则。

函数在某一点极限存在的充要条件是函数左极限和右极限在某点都存在且相等。

如果左右极限不相同、或者不存在。

则函数在该点极限不存在。

即从左趋向于所求点时的极限值和从右趋向于所求点的极限值相等。

2、夹逼准则，如能找到比目标版数列或者函数权大而有极限的数列或函数，并且又能找到比目标数列或者函数小且有极限的数列或者函数，那么目标数列或者函数必定存在极限。

函数极限求值方法：
当分母等于零时，就不能将趋向值直接代入分母，可以通过下面几个小方法解决：
第一：因式分解，通过约分使分母不会为零。

第二：若分母出现根号，可以配一个因子使根号去除。

第三：以上解法都是在趋向值是一个固定值的时候进行的，如果趋向于无穷，分子分母可以同时除以自变量的最高次方。

（通常会用到这个定理：无穷大的倒数为无穷小）。

高等数学极限求法总结高等数学极限求法总结极限的判断定义是:单调递增有上界则有极限,单调递减有下界则有极限。

下面是小编整理的高等数学极限求法总结，希望对你有帮助！函数极限可以分成而运用ε-δ定义更多的见诸于已知的极极限值的证明题中。

掌握这类证明对初学者深刻理解运用极限定义大有裨益。

限为例，f(x) 在点以A为极限的定义是：对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正数，使得当x满足不等式时，对应的f(x)函数值都满足不等式：，那么常数A就叫做函数f(x)当x→x时的极限。

1.利用极限的四则运算法则：极限四则运算法则的条件是充分而非必要的，因此，利用极限四则运算法则求函数极限时，必须对所给的函数逐一进行验证它是否满足极限四则运算法则条件，满足条件者。

方能利用极限四则运算法则进行求之。

不满足条件者，不能直接利用极限四则运算法则求之。

但是，井非不满足极限四则运算法则条件的函数就没有极限，而是需将函数进行恒等变形，使其符合条件后，再利用极限四则运算法则求之。

而对函数进行恒等变形时，通常运用一些技巧如拆项、分子分母同时约去零因子、分子分母有理化、通分、变量替换等等。

例 1 求 lim( x 2 3x + 5).x→ 2解： lim( x 2 3x + 5) = lim x 2 lim 3x + lim 5= (lim x) 2 3 lim x + lim 5= 2 2 3 2 + 5 = 3.x→2 x →2 x →2 x →2 x →2 x →2 x →22.利用洛必达法则洛必达(L Hopital)法则是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法.简单讲就是，在求一个含分式的函数的极限时，分别对分子和分母求导，在求极限，和原函数的极限是一样的。

一般用在求导后为零比零或无穷比无穷的类型。

利用洛必达求极限应注意以下几点：设函数f(x)和F(x)满足下列条件：（1）x→a时,lim f(x)=0,lim F(x)=0;（2）在点a的某去心邻域内f(x)与F(x)都可导,且F(x)的导数不等于0;（3）x→a时,lim(f(x)/F(x))存在或为无穷大则x→a时,lim(f(x)/F(x))=lim(f(x)/F(x))例1：1-cosx = 1-{1-2[sin(x/2)]^2} = 2[sin(x/2)]^2xsinx = 2xsin(x/2)cos(x/2)原式= lim 2[sin(x/2)]^2 / [2xsin(x/2)cos(x/2)] = tgx / x对分子分母同时求导（洛必达法则）(tgx) = 1 / (cosx)^2(x) = 1原式 = lim 1/(cosx)^2当 x --> 0 时,cosx ---> 1原式 = 13.利用两个重要极限：应用第一重要极限时，必须同时满足两个条件：① 分子、分母为无穷小，即极限为 0 ；② 分子上取正弦的角必须与分母一样。

函数极限相关知识点总结一、函数极限的定义1. 函数极限的定义在数学中，函数极限是描述函数在某一点附近的行为的概念。

具体来说，对于给定的函数f(x)，当自变量x趋于某一点a时，如果函数值f(x)无限接近某个确定的数L，那么我们就称函数f(x)在点a处的极限为L，记作lim_{x→a}f(x) = L。

换句话说，当x在逼近a时，f(x)的取值会趋于L。

这一定义可以用数学符号严格表述为：对于任意正数ε，存在一个正数δ，使得当0＜ |x-a| ＜δ时，都有 |f(x)-L| ＜ε成立。

2. 函数极限的右极限和左极限如果函数f(x)在点a的左侧和右侧分别有极限，则称这两个极限为函数f(x)在点a处的左极限和右极限。

左极限记作lim_{x→a^-}f(x)，右极限记作lim_{x→a^+}f(x)。

当左极限、右极限和函数值在点a处都存在且相等时，我们称函数f(x)在点a处存在极限，且极限为此值。

3. 函数极限的无穷极限当自变量x趋于无穷大时，函数f(x)的极限称为无穷极限。

具体来说，若对于任意正数M，存在一个正数N，使得当|x|＞N时，都有|f(x)|＞M成立，则我们称lim_{x→∞}f(x) = ∞。

类似地，若对于任意正数M，存在一个正数N，使得当|x|＞N时，都有|f(x)|＜M成立，则我们称lim_{x→∞}f(x) = -∞。

4. 函数极限的存在性函数极限在很多情况下是存在的，但也有一些特殊的函数，它们在某些点处的极限并不一定存在。

比如，当函数在某一点的左右极限不相等时，该点处的极限可能不存在；当函数在某一点的极限为无穷大时，该点处的极限也可能不存在。

因此，在研究函数极限时，我们需要考虑函数在极限点处的性质，以确定函数极限是否存在。

二、函数极限的求解方法1. 用极限的定义求解函数极限函数极限的定义是要求对任意给定的ε>0，存在一个δ>0，使得当0<|x-a|<δ时，都有|f(x)-L|<ε成立。

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一、函数极限的定义
定义一：若当x 无限变大时，恒有|f(x)-a|<ε，其中ε是可以任意小的正数，则称当x 趋向无穷大时，函数f （x ）趋向于a ，记作+∞→x lim f(x)=a 或f(x )→a(x →+∞)。

定义二：若当x 无限接近0x 时，恒有|f(x)-a|<ε，其中ε是可以任意小的正数，则称当x 趋向0x 时，函数f （x ）趋向于a ，记作0
x lim →x f(x)=a 或f(x) →a(x-0x )。

二、函数极限的求法
下面我们以相关的概念、定理及公式为依据，解决常见函数极限的求解方法：
1、直接代入法
适用于分子、分母的极限不同时为零或不同时为∞。

例1：求1
352lim 22+-+→x x x x 分析：由于
2lim
→x (22x +x-5)=22lim →x 2x +2lim →x x-2lim →x 5=2·22+2-5=5, 2lim →x （3x+1）=32lim →x x+2
lim →x 1=3·2+1=7 所以采用直接代入法。

解：原式=)13(lim 5x x 2lim 222
x +-+→→x x ）
（=12352222+⋅-+⋅=7
5 2、利用极限的四则运算法则求极限
这是求极限的基本方法，主要应用函数的和、差、积、商的极限法则及若干基本函数的极限结果进行极限的计算，为此有事往往要对函数作一些变形。

定理 若0x lim →x f(x)=A 0x lim →x g （x ）=B。

证明极限不存在的方法证明极限不存在的方法是数学分析中非常重要的一种方法，它可以帮助我们确定一个函数是否存在极限，从而更好地理解函数的性质。

本文将介绍证明极限不存在的方法的主要内容，并以优美的紧凑的排版格式输出。

一、定义在介绍证明极限不存在的方法之前，我们先来回顾一下极限的定义。

设函数$f(x)$在$x_0$的某个去心邻域内有定义，如果对于任意给定的正数$\epsilon$，都存在正数$\delta$，使得当$x$满足$0<|x-x_0|<\delta$时，有$|f(x)-L|<\epsilon$，则称$L$是$f(x)$当$x$趋近于$x_0$时的极限，记作$\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=L$。

二、证明极限不存在的方法1. 构造两个不同的数列证明极限不存在的一种方法是构造两个不同的数列，使得它们分别趋近于不同的极限。

具体来说，如果存在两个数列$\{x_n\}$和$\{y_n\}$，满足$\lim\limits_{n\to\infty}x_n=a$和$\lim\limits_{n\to\infty}y_n=b$，且$a\neq b$，则$f(x)$在$x_0$处的极限不存在。

例如，考虑函数$f(x)=\dfrac{x^2-1}{x-1}$，当$x\neq 1$时，$f(x)=x+1$。

我们可以构造两个数列$\{x_n\}$和$\{y_n\}$，分别为$x_n=1+\dfrac{1}{n}$和$y_n=1-\dfrac{1}{n}$，则有$\lim\limits_{n\to\infty}x_n=1$和$\lim\limits_{n\to\infty}y_n=1$，但是$\lim\limits_{x\to 1}f(x)$不存在，因为当$x\to 1$时，$f(x)$趋近于$2$和$0$，不满足极限存在的条件。

2. 利用夹逼定理夹逼定理是证明极限存在的重要方法，但它也可以用来证明极限不存在。

首先对极限的总结如下极限的保号性很重要就是说在一定区间内，函数的正负与极限一致一极限分为一般极限，还有数列极限，（区别在于数列极限时发散的是一般极限的一种）二解决极限的方法如下：1 等价无穷小的转化，（只能在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用但是前提是必须证明拆分后极限依然存在） e的X次方-1或者（1+x）的a次方-1等价于Ax等全部熟记（x趋近无穷的时候还原成无穷小）2 落笔达法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法）首先他的使用有严格的使用前提！必须是X趋近而不是N趋近（所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限，当然n趋近是x趋近的一种情况而已，是必要条件（还有一点，数列极限的n当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷！）必须是函数的导数要存在！（假如告诉你g（x）,没告诉你是否可导，不能直接用）必须是0比0，无穷大比无穷大！当然还要注意分母不能为0落笔达法则分为3中情况1、0比0、无穷比无穷时候直接用2、0乘以无穷、无穷减去无穷（应为无穷大于无穷小成倒数的关系）所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。

通项之后这样就能变成1、中的形式了3、0的0次方、1的无穷次方、无穷的0次方（对于指数幂数）方程方法主要是取指数还取对数的方法，这样就能把幂上的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了，（这就是为什么只有3种形式的原因，lnx两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0，当他的幂移下来趋近于无穷的时候lnX趋近于0）3 泰勒公式(含有e的x次方的时候，尤其是含有正余旋的加减的时候要特别注意！）E的x展开、sina展开、cos展开、ln1+x展开对题目简化有很好帮助4 面对无穷大比上无穷大形式的解决办法取大头原则最大项除分子分母！5 无穷小与有界函数的处理办法面对复杂函数时候，尤其是正余旋的复杂函数与其他函数相乘的时候，一定要注意这个方法，面对非常复杂的函数，可能只需要知道它的范围结果就出来了！6 夹逼定理（主要对付的是数列极限！）这个主要是看见极限中的函数是方程相除的形式，放缩和扩大。

一、求函数极限的方法 1、运用极限的定义 例: 用极限定义证明:1223lim 22=-+-→x x x x 证: 由244122322-+-=--+-x x x x x x()2222-=--=x x x0>∀ε取εδ= 则当δ<-<20x 时,就有ε<--+-12232x x x由函数极限δε-定义有:1223lim 22=-+-→x x x x 2、利用极限的四则运算性质若A x f x x =→)(lim 0B x g x x =→)(lim 0(I)[]=±→)()(lim 0x g x f x x )(lim 0x f x x →±B A x g x x ±=→)(lim 0(II)[]B A x g x f x g x f x x x x x x ⋅=⋅=⋅→→→)(lim )(lim )()(lim 0(III)若 B ≠0 则：BAx g x f x g x f x x x x x x ==→→→)(lim )(lim )()(lim 000（IV ）cA x f c x f c x x x x =⋅=⋅→→)(lim )(lim 0（c 为常数）上述性质对于时也同样成立-∞→+∞→∞→x x x ,,例：求 453lim 22+++→x x x x解: 453lim 22+++→x x x x =254252322=++⋅+3、约去零因式（此法适用于型时0,0x x →例: 求121672016lim 23232+++----→x x x x x x x解:原式=()())12102(65)2062(103lim2232232+++++--+---→x x x x xx x x x x x=)65)(2()103)(2(lim 222+++--+-→x x x x x x x=)65()103(lim 222++---→x x x x x =)3)(2()2)(5(lim 2+++--→x x x x x=2lim-→x 735-=+-x x4、通分法（适用于∞-∞型） 例: 求 )2144(lim 22xx x ---→解: 原式=)2()2()2(4lim2x x x x -⋅++-→=)2)(2()2(lim2x x x x -+-→=4121lim2=+→x x5、利用无穷小量性质法（特别是利用无穷小量与有界量之乘积仍为无穷小量的性质） 设函数f(x)、g(x) 满足：（I ）0)(lim 0=→x f x x(II)M x g ≤)( (M 为正整数)则：0)()(lim 0=→x f x g x x例: 求 xx x 1sinlim⋅→ 解: 由 0lim=→x x 而 11sin≤x故 原式 =01sinlim=⋅→xx x6、利用无穷小量与无穷大量的关系。

极限的求法1、 利用极限的定义求极限用定义法证明极限，必须有一先决条件，即事先得知道极限的猜测值A ，这种情况一般较困难推测出，只能对一些比较简单的数列或函数推测分析出极限值，然后再去用定义法去证明，在这个过程中，放缩法和含绝对值的不等式总是密切相连的。

例：lim x→x 0f (x )=A 的ε−δ定义是指：∀ε>0,∃δ=δ(0x ,ε)>0,0<|x −0x |<δ |f (x )−A |<ε为了求δ可先对x 0的邻域半径适当限制，如然后适当放大|f (x )−A |≤φ(x )(必然保证φ(x )为无穷小)，此时往往要用含绝对值的不等式：|x +a |=|(x −0x )+(0x +a)|≤|x −0x |+|0x +a|<|0x +a|+δ1或|x +a |=|(x −0x )+(0x +a)|≥|0x +a|−|x −0x |>|0x +a|−δ1 从φ(x )<δ2，求出δ2后，取δ=min (δ1,δ2)，当0<|x −0x |<δ时，就有|f (x )−A |<ε。

例：设lim n→∞x n =a 则有limn→∞x 1+x 2+...x nn=a 。

证明：因为lim n→∞x n =a ，对∀ε>0,∃N 1=N 1(ε)，当n >N 1时，|x n −a |<ε2于是当n >N 1时，|x 1+x 2+...+x nn−a|=|x 1+x 2+...+x n −na |n0<ε<1其中A =|x 1−a |+|x 2−a |+|x N 1−α|是一个定数，再由An <ε2，解得n >2A ε，故取N =max {N 1,[2Aε]}当n >N 时，|x 1+x 2+...+x nn−α|<ε2+ε2=ε。

2、 直接代入法求极限适用于分子、分母的极限不同时为零或不同时为∞。

证明极限不存在证明极限不存在二元函数的极限是高等数学中一个很重要的内容,因为其定义与一元函数极限的定义有所不同,需要定义域上的点趋于定点时必须以任意方式趋近,所以与之对应的证明极限不存在的方法有几种.其中有一种是找一种含参数的方式趋近,代入二元函数,使之变为一元函数求极限.若最后的极限值与参数有关,则说明二重极限不存在.但在证明这类型的题目时,除了选y=kx这种趋近方式外,许多学生不知该如何选择趋近方式.本文给出证明一类常见的有理分式函数极限不存在的一种简单方法.例1[1]证明下列极限不存在:(1)lim(x,y)→(0,0)x4y2x6+y6;(2)lim(x,y)→(0,0)x2y2x2y2+(x-y)2.证明一般地,对于(1)选择当(x,y)沿直线y=kxy=kx趋近于(0,0)时,有lim(x,y)→(0,0)x4y2x6+y6=limx→0k2x6(1+k6)x6=k21+k6.显然它随着k值的不同而改变,故原极限不存在.对于(2)若仍然选择以上的趋近方式,则不能得到证明.实际上,若选择(x,y)沿抛物线y=kx2+x(k≠0)(x,y)→(0,0)趋近于(0,0),则有l..2是因为定义域D={(x,y)|x不等于y}吗，从哪儿入手呢，请高手指点沿着两条直线 y=2xy=-2x 趋于(0,0)时极限分别为 -3 和 -1/3 不相等极限存在的定义要求延任何过(0,0)直线求极限时极限都相等所以极限不存在3lim (x 和y)趋向于无穷大 (x^2-5y^2) / (x^2+3y^2)证明该极限不存在lim(x^2-5y^2) / (x^2+3y^2)=lim(x^2+3y^2) / (x^2+3y^2) - 8y^2 / (x^2+3y^2)=1-lim8 / [(x/y)^2+3]因为不知道x、y的大校所以lim (x 和y)趋向于无穷大 (x^2-5y^2) / (x^2+3y^2) 极限不存在4如图用定义证明极限不存在~谢谢!!反证法若存在实数L，使limsin(1/x)=L，取ε=1/2，在x=0点的任意小的邻域X内，总存在整数n，①记x1(n)=1/(2nπ+π/2)∈X，有sin[1/x1(n)]=1，②记x2(n)=1/(2nπ-π/2)∈X，有sin[1/x2(n)]=-1，使|sin[1/x1(n)]-L|和|sin[1/x2(n)]-L|同时成立。

证明极限不存在的方法引言极限是微积分中的重要概念，用于描述函数在某一点附近的行为。

在某些情况下，我们可能希望证明一个函数的极限不存在，即在某一点上函数无法趋近于一个确定的值。

本文将介绍几种常见的证明极限不存在的方法。

反证法反证法是一种常用的证明方法，用于证明某个命题的否定。

在证明极限不存在时，我们可以假设极限存在，并通过推理得出矛盾的结论，从而得出极限不存在的结论。

步骤：1.假设函数f(x)在点a处存在极限L。

2.利用极限的定义，选择一个足够小的正数ε，使得对于任意的x，只要|x-a|<δ，就有|f(x)-L|<ε。

3.通过推理得出矛盾的结论，例如找到一个特定的x值，使得|f(x)-L|≥ε。

4.得出结论：函数f(x)在点a处的极限不存在。

间隔法间隔法是一种通过构造两个不同的数列来证明极限不存在的方法。

我们可以选择两个不同的数列，使得它们分别趋近于函数极限的两个不同值，从而得出极限不存在的结论。

步骤：1.找到两个不同的数列{xn}和{yn}，使得lim(xn)=a，lim(yn)=b，其中a≠b。

2.利用函数的性质，证明对于任意的ε>0，存在正整数N1和N2，使得当n>N1时，|f(xn)-L1|<ε，当n>N2时，|f(yn)-L2|<ε。

3.选择一个足够小的正数ε，使得ε<|L1-L2|，从而得出矛盾的结论。

4.得出结论：函数f(x)的极限不存在。

Cauchy准则Cauchy准则是一种常用于证明数列极限存在的方法，但也可以用于证明极限不存在。

该准则要求函数在某一点附近的值具有一定的波动性，即存在一对足够接近的点，使得函数在这两个点上的取值差异较大。

步骤：1.假设函数f(x)在点a处存在极限L。

2.利用Cauchy准则，选择一个足够小的正数ε，使得对于任意的x1和x2，只要|x1-a|<δ1，|x2-a|<δ2，就有|f(x1)-f(x2)|<ε。

极限存在与不存在的判定方法极限是微积分中的一个重要概念，它用于描述函数在趋近某一点时的行为。

然而，对于一个给定的函数，如何判定其极限是否存在呢？本文将介绍几种常用的方法来判定极限的存在与否。

一、数列极限的判定方法对于数列的极限，我们可以通过以下方法进行判定：1. 判定法则一：夹逼准则夹逼准则是常用的一种判定数列极限的方法。

它的基本思想是：如果一个数列被两个收敛的数列夹住，并且这两个数列的极限相等，那么原数列也收敛，并且极限等于这两个收敛数列的极限。

2. 判定法则二：单调有界原理单调有界原理是判定数列极限的另一种常用方法。

它的基本思想是：如果一个数列单调递增且有上界（或单调递减且有下界），那么该数列必定收敛。

3. 判定法则三：零点判别法零点判别法适用于一些特殊的数列。

它的基本思想是：如果一个数列的极限等于零，那么这个数列可以通过一些数列变换的方法来判定极限的存在。

二、函数极限的判定方法对于函数的极限，我们可以通过以下方法进行判定：1. 判定法则一：柯西收敛准则柯西收敛准则是判定函数极限的一种常用方法。

它的基本思想是：对于任意一个正数ε，存在一个正数δ，当函数定义域中任意两个点的距离小于δ时，函数值的差的绝对值也小于ε，那么该函数的极限存在且唯一。

2. 判定法则二：函数极限存在的等价定理函数极限存在的等价定理是判定函数极限存在的另一种常用方法。

它的基本思想是：如果一个函数在某一点附近连续，那么该函数在该点必定存在极限。

3. 判定法则三：函数的无穷极限函数的无穷极限判定是用来判断函数在正无穷或负无穷处的极限存在与否。

它的基本思想是：如果一个函数在某一方向上趋于无穷大或无穷小，那么相应的无穷极限也存在。

三、其他方法除了上述常用的判定方法外，还有一些特殊情况下的判定方法可以用于判定极限的存在与否，如洛必达法则、泰勒展开等等。

这些方法在具体问题中的应用较为灵活，需要根据具体情况来选择使用。

综上所述，判定极限的存在与否需要根据不同的情况选择适当的方法。

极限的定义与极限存在的判定方法极限是高等数学中最基础和最重要的概念之一，是计算微积分、微分方程等高级数学问题的基础。

极限的存在性也是判断函数是否可导、连续等重要性质的基础。

那么，什么是极限？极限存在的判定方法又有哪些呢？一、极限的定义极限的定义是通过无穷小和无穷大的概念来描述的。

对于一个函数f(x)，当x趋近于a时，若f(x)可以无限接近于一个确定的数L，则称函数f(x)在x趋近于a时的极限为L，记作：$\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)=L$其中，a为x的极限点。

如果对于任意一个ε>0，都存在一个δ>0，使得当0<|x-a|<δ时，有|f(x)-L|<ε，那么称L为f(x)在x=a时的极限。

二、极限存在的判定方法1. 函数存在左、右极限且相等当a为函数f(x)的间断点，但其左右极限都存在且相等，则f(x)在x=a时的极限存在。

例如：$\lim\limits_{x\rightarrow0}\frac{\sin{x}}{x}=1$在x=0时，函数的左右极限均为1。

2. 夹逼准则对于函数f(x)，若存在两个函数g(x)和h(x)，满足当x趋近于a 时，g(x)≤f(x)≤h(x)，且$\lim\limits_{x\rightarrowa}g(x)=\lim\limits_{x\rightarrow a}h(x)=L$，则函数f(x)在x=a时的极限存在，且等于L。

例如：$\lim\limits_{x\rightarrow0}x\sin(\frac{1}{x})=0$证明：由于|x|≥0，所以-1≤sin(x)≤1，于是有$-|x|\leq x\sin(\frac{1}{x})\leq |x|,\ \ x\neq0$当x趋近于0时，左右两边的夹逼条件都成立，因此可以得到$\lim\limits_{x\rightarrow0}-|x|\leq\lim\limits_{x\rightarrow0}x\sin(\frac{1}{x})\leq\lim\limits_{x\rightarrow0}|x|$即$0\leq \lim\limits_{x\rightarrow0}x\sin(\frac{1}{x})\leq 0$由夹逼准则，可得$\lim\limits_{x\rightarrow0}x\sin(\frac{1}{x})=0$3. 函数具有保号性如果当x趋近于a时，函数f(x)的极限存在，且极限不为0，则函数f(x)在x=a时的符号和极限的符号相同。

函数极限的几种求解方法函数极限是高等数学中很重要的一个概念，其涉及到数列极限、导数、微积分等知识点。

在实际问题中，函数极限可以用来求出某些物理量、经济学问题等的解。

本文将介绍函数极限的几种求解方法，包括直接代入法、夹逼准则、极限的四则运算法则、洛必达法则等。

1. 直接代入法直接代入法是最基本的求解函数极限的方法，其原理是将极限中的变量值代入函数中，看其是否存在极限值。

如果存在，则直接将该数值作为函数极限结果。

例如，求下列函数极限：lim(x→0) [(x+1)^2-1]/x我们可以将变量x → 0 代入函数中得到：[(0+1)^2-1]/0=undefined由于分母等于 0，函数值不存在极限。

2. 夹逼准则夹逼准则是通过构造一个比较函数来求解函数极限。

其原理是通过找到一个比较函数，使得比较函数的极限值等于函数极限，从而判定函数极限是否存在。

我们可以构造一个比较函数 f(x)=1/x，即有：1/x ≤ sin(x)/x ≤ 1当x → ∞ 时，左右两边的极限值都等于 0，因此由夹逼准则可知，sin(x)/x 的极限值也等于 0。

3. 极限的四则运算法则极限的四则运算法则指的是，对于一个由多个函数组成的函数极限，可以根据四则运算规则将其转化为多个简单的函数极限之和、差、积、商的形式，从而求解函数极限。

根据极限的四则运算法则，可以将其转化为两个函数极限的商：[lim(x→0) sin(x)+lim(x→0) cos(x)]/[lim(x→0) 1-cos(x)]由于 sin(x)/x 的极限值为 1，cos(x)/x 的极限值为 0，1-cos(x)/x 的极限值为 0，因此有：4. 洛必达法则洛必达法则是一种求解函数极限的高效方法，其原理是利用洛必达法则，将函数极限转化为一个比值函数的极限值，从而求出函数极限。

洛必达法则的公式为：lim[f(x)/g(x)]=lim[f`(x)/g`(x)]其中 f`(x) 和 g`(x) 分别表示函数 f(x) 和 g(x) 的导数。

函数的极限的求解方法-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1函数的极限的求解方法摘 要：本文介绍了计算函数极限的几种方法，讨论如何运用已掌握的知识方法计算极限．关键词：零因子：初等法：两个重要极限 ：等价无穷小： 等价无穷小替换 ：函数的连续性 ：Hospital L '法 。

引 言极限思想是许多科学领域的重要思想之一. 因为极限的重要性，从而怎样求极限也显得尤其重要. 对于一些复杂极限，直接按照极限的定义来求就显得非常困难，不仅计算量大，而且不一定能求出结果. 为了解决求极限的问题，有不少学者曾探讨了计算极限的方法 . 本文也介绍了计算极限的几种方法，并对文献结论进行了推广，讨论如何利用我们已有的知识计算极限，并且以实例来阐述方法中蕴涵的数学思想.函数的极限主要表现在两个方面：一、自变量x 任意接近于有限值0x ，或讲趋向（于）0x （记0x x →）时，相应的函数值)(x f 的变化情况.二、当自变量x 的绝对值x 无限增大，或讲趋向无穷大（记∞→x ）时，相应的函数值)(x f 的变化情况. 相关知识点（一）“0x x →”形：定义1：如果对0>∀ε（不论它多么小），总0>∃δ，使得对于适合不等式δ<-<00x x 的一切x 所对应的函数值)(x f 满足：ε<-A x f )(，就称常数A 为函数)(x f 当0x x →时的极限，记为 A x f n =∞→)(lim ，或Ax f →)( （当x x →时）注1：“x 与0x 充分接近”在定义中表现为：0>∃δ，有δ<-<00x x ，即),(0δ∧∈x U x .显然δ越小，x 与0x 接近就越好，此δ与数列极限中的N 所起的作用是一样的，它也依赖于ε.一般地，ε越小，δ相应地也小一些.2：定义中00x x -<表示0x x ≠，这说明当0x x →时，)(x f 有无限与)(0x f 在0x 点（是否有）的定义无关（可以无定义，即使有定义，与)(0x f 值也无关）.3：几何解释：对0>∀ε，作两条平行直线εε-=+=A y A y ,.由定义，对此0,>∃δε.当δδ+<<-00x x x ，且0x x ≠时，有εε+<<-A x f A )(.即函数)(x f y =的图形夹在直线εε-=+=A y A y ,之间（)(0x f 可能除外）.换言之：当),(0δ∧∈x U x 时，),()(εA U x f ∈.可见δ不唯一！例1证明32121lim 221=---→x x x x . 证明：对0>∀ε，因为,1≠a 所以)12(313212132121.0122+-=-++=----⇒≠-x xx x x x x x [此处1→x ，即考虑10=x 附近的情况，故不妨限制x 为110<-<x ，即20<<x ，1≠x ].因为31)12(31,112-<+-⇒>+x x xx ，要使ε<----3212122x x x ,只须ε<-31x ，即ε31<-x .取}3,1min{εδ=（利用图形可解释），当δ<-<10x 时，有ε<----3212122x x x .定理1：（保号性）设Ax f xx =→)(lim 0，（i ） 若)0(0<>A A ，则0>∃δ，当),(0δ∧∈x U x 时，0)(>x f )0)((<x f . （ii ） 若)0)((0)(≤≥x f x f ，必有)0(0≤≥A A .注：在(i)中的“>”，“<”不能改为“≥”，“≤”. 在(ii)中，若0)(>x f ，未必有0>A .定义2：对0>∀ε，0>∃δ，当00x x x <<-δ时，[当δ+<<00x x x 时]，有ε<-A x f )(.这时就称A 为)(x f 当0x x →时的左[右]极限，记为Ax f x x =-→)(lim 00或A x f =-)0(.[Ax f x x =+→)(lim 00或A x f =+)0(0]. 定理2：（充要条件）Ax f x f A x f x x x x x x ==⇔=+→-→→)(lim )(lim )(lim 00000.（二）“∞→x ”形：定义3：设)(x f 当)0(>>a a x 时是有定义的，若对)(,0a X >∃>∀ε，当X x >时，有ε<-A x f )(，就称A 为)(x f 当∞→x 时的极限， 记为Ax f x =∞→)(lim 或A x f →)(（当∞→x 时）.注1：设)(x f 在]),((),,[b a -∞+∞上有定义，若对0,0>∃>∀X ε，当)(X x X x -<>时，有ε<-A x f )(，就称A 为)(x f 当)(-∞→+∞→x x 时的极限，记为Ax f x =+∞→)(lim ，或A x f →)(（当+∞→x ）（Ax f x =-∞→)(lim ，或A x f →)(（当-∞→x ））.2：（充要条件）Ax f x f A x f x x x ==⇔=-∞→+∞→∞→)(lim )(lim )(lim .3：若A x f x =∞→)(lim ，就称A y =为)(x f y =的图形的水平渐近线（若Ax f x =+∞→)(lim 或Ax f x =-∞→)(lim ，有类似的渐近线）.例2 证明0sin lim=∞→x xx .证明：对0>∀ε，因为x x x xx 1sin 0sin ≤=-，所以要使得ε<-0sin x x ，只须εε11>⇒<x x，故取ε1=X ，所以当X x >时，有ε<-0sin x x ，所以0sin lim =∞→x x x .（三） 无穷小与无穷大 一、无穷小定义1：对,0>∀ε若)0(0>>∃X δ，使得当)(00X x x x <<-<δ时，有ε<)(x f 成立，就称)(x f 为当)(0+∞→→x x x 时的无穷小，记为)0)(lim (0)(lim 0==+∞→→x f x f x x x .注 1：除上两种之外，还有0,0,,00+→-→+∞→-∞→x x x x x x 的情形.2：无穷小不是一个数，而是一个特殊的函数（极限为0），不要将其与非常小的数混淆，因为任一常数不可能任意地小，除非是0函数，由此得：0是唯一可作为无穷小的常数.定理1：当自变量在同一变化过程0x x →（或∞→x ）中时： （i ） 具有极限的函数等于其极限与一个无穷小之和，即：A 为)(x f 的极限A x f -⇔)(为无穷小.（ii ） 若一函数可表示为一常数与无穷小之和，那么该常数就是其极限.二、无穷大定义2：若对)0(0,0>>∃>∀X M δ，使得当)(00X x x x ><-<δ时，有M x f >)(，就称)(x f 当)(0∞→→x x x 时的无穷大，记作:))(lim ()(lim 0∞=∞=∞→→x f x f x x x .注1：同理还有+∞→-∞→)(,)(x f x f 时的定义.2：无穷大也不是一个数，不要将其与非常大的数混淆.3：若∞=→)(lim 0x f x x 或∞=∞→)(lim x f x ，按通常意义将，)(x f 的极限不存在.定理2：当自变量在同一变化过程中时，（i ）若)(x f 为无穷大，则)(1x f 为无穷小.（ii ）若)(x f 为无穷小，且0)(≠x f ，则)(1x f 为无穷大.（四）函数极限运算法则由极限定义直接来求极限是不可取的，因此需寻求一些方法来求极限.定理1：有限个无穷小的和仍为无穷小，即设0)lim(0lim ,0lim =+⇒==βαβα注1：u 与α都表示函数)(x u 与)(x α，而不是常数.2： “lim ”下放没标自变量的变化过程，这说明对0x x →及∞→x 均成立，但须同一过程.定理2：有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小，即设u 有界，0lim 0lim =⇒=ααu .推论1：常数与无穷小的乘积仍为无穷小，即若k 为常数，0lim 0lim =⇒=ααk .推论2：有限个无穷小的乘积仍为无穷小，设0)lim (0lim lim lim 2121=⇒====n n αααααα .定理3：若B x g A x f ==)(lim ,)(lim ，则)]()(lim[x g x f ±存在， 且)(lim )(lim )]()(lim[x g x f B A x g x f ±=±=±.注：本定理可推广到有限个函数的情形.定理4：若B x g A x f ==)(lim ,)(lim ，则)()(lim x g x f ⋅存在，且)(lim )(lim )()(lim x g x f AB x g x f ⋅==.推论1：)(lim )](lim[x f c x cf =（c 为常数）.推论2：nn x f x f )]([lim )](lim [=（n 为正整数）.定理5：设0)(lim ,)(lim ≠==B x g A x f ，则)(lim )(lim )()(limx g x f B A x g x f ==.定理6：如果)()(x x ψϕ≥，且b x a x ==)(lim ,)(lim ψϕ，则b a ≥. 推论1：设n n n n a x a x a x a x f ++++=--1110)( 为一多项式，当)()(lim 001101000x f a x a x a x a x f n n n nx x =++++=--→ .推论2：设)(),(x Q x P 均为多项式，且0)(0≠x Q ，由定理5，)()()()(lim000x Q x P x Q x P x x =→. 例3 221lim(510)15113x x x →-+=-⨯+=-.（利用定理3）例4 33009070397lim 53530-=+--⨯+=+--+→x x x x x （因为03005≠+-）.注：若0)(0=x Q ，则不能用推论2来求极限，需采用其它手段. 例5 求322lim 221-+-+→x x x x x .（消去零因子法）解：当1→x 时，分子、分母均趋于0，因为1≠x ，约去公因子)1(-x ，所以53322lim 322lim 1221=++=-+-+→→x x x x x x x x .例6 求)1311(lim 31+-+-→x x x .解：当13,11,13++-→x x x 全没有极限，故不能直接用定理3，但当1-≠x 时，12)1)(1()2)(1(1311223+--=+-+-+=+-+x x x x x x x x x x ，所以11)1()1(2112lim )1311(lim 22131-=+-----=+--=+-+-→-→x x x x x x x .例8 证明[][]x x x x ,1lim=∞→为x 的整数部分.证明：先考虑[][]xx x xx -=-1，因为[]x x -是有界函数，且当∞→x 时，01→x ，所以由定理2[][][]1lim0)1(lim 0lim =⇒=-⇒=-⇒∞→∞→∞→x x x x x x x x x x .（五） 极限存在准则、两个重要极限收敛准则： 如果函数)(),(),(x h x g x f 满足下列条件： （i ）当))(,(0M x r x U x >∈∧时，有)()()(x h x f x g ≤≤. （ii ）当)(0∞→→x x x 时，有A x h A x g →→)(,)(. 那么当)(0∞→→x x x 时，)(x f 的极限存在，且等于A . 两个重要极限：()()()()()()()()()00100sin sin limlim 1(0)1lim 1lim 1lim 1(0)x x xx x x x x x xx x x x x e x x ϕϕϕϕϕϕϕϕ→→→∞→→==≠⎛⎫+=+=+=≠⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭例9 1sin lim )sin(lim sin lim0-=-=--=-→-=→→t tx x x x t x t x x ππππππ.（做替换）例10 21)22sin(lim 21)2(sin 2lim cos 1lim 2022020=⋅==-→→→x xx x x x x x x .（先三角变换）22222])211(lim [])211[(lim )21(lim e x x xxx x x x x =+=+=+∞→∞→∞→（六） 无穷小的比较定义：设α与β为x 在同一变化过程中的两个无穷小，(i) 若0lim=αβ，就说β是比α高阶的无穷小，记为)(αβo =；(ii) 若∞=αβlim ，，就说β是比α低阶的无穷小；(iii) 若0lim ≠=C αβ，，就说β是比α同阶的无穷小；(iv) 若1lim =αβ，就说β与α是等价无穷小，记为βα~.注 1：高阶无穷小不具有等价代换性，即：)(),(22x o x x o x ==，但)()(x o x o ≠，因为)(⋅o 不是一个量，而是高阶无穷小的记号；2：显然(iv)是(iii)的特殊情况；3：等价无穷小具有传递性：即γαγββα~~,~⇒；4：未必任意两个无穷小量都可进行比较，例如：当0→x 时，x x 1sin与2x 既非同阶，又无高低阶可比较，因为21sin lim x xx x →不存在；5：对于无穷大量也可作类似的比较、分类；6：用等价无穷小可以简化极限的运算，事实上，有： 定理1：（等价替换法则）若βαβα'',,,均为x 的同一变化过程中的无穷小，且ββαα''~,~，及limk βα'='，那么lim lim k ββαα'=='.例12 求x xx 20sin cos 1lim-→.解：因为当0→x 时，x x ~sin所以21cos 1lim sin cos 1lim 2020=-=-→→x x x x x x . 例13 求x x x x 22arcsin lim 20+→解：因为当0→x 时，x x 2~2arcsin ，所以 原式12222lim 22lim020==+=+=→→x x x x x x .注7：在目前，常用当0→x 时，等价无穷小有：sin ~,tan ~,arcsin ~,arctan ~,x x x x x x x x ，()21ln 1,1,1cos 2x x x e x xx +--；8：用等价无穷小代换适用于乘、除，对于加、减须谨慎！（七）连续性与罗必达法则定理1：设)(x u ϕ=当0x x →时的极限存在且等于a ，即ax x x =→)(lim 0ϕ，又设)(u f y =在a u =处连续，那么，当0x x →时，复合函数))((x f y ϕ=的极限存在，且等于)(a f ，即)())((lim 0a f x f x x =→ϕ.注：可类似讨论∞→x 时的情形.定理2：设函数)(x u ϕ=在点0x x =连续，且00)(u x =ϕ，函数)(u f y =在0u 点连续，那么，复合函数))((x f y ϕ=在点0x x =处连续.例14求x xx sin 2lim 0-→（利用函数的连续性来求极限） 解：因为1sin lim 0=→x x x ，及u -2在1=u 点连续，故由上述定理，1x →===.Hospital L '法则：在求)()(limx F x f ax →或)()(limx F x f x ∞→时，若发现)(),(x F x f 同趋于0，或同趋于∞，则此时上述极限可能存在，也可能不存在.要根据具体的函数来进一步确定，如n m x x x 0lim →，nm x x x ∞→lim ，我们通常把这种极限称为00或∞∞型的未定式（不定式），这种未定式是不能用“商的极限等于极限的商”这一法则来计算的.定理3：（Hospital L '法则）若)(),(x F x f 满足：(i)0)(lim )(lim ==→→x F x f a x a x ；(ii) )(),(x F x f 在a 的某去心邻域内可导，且0)(≠'x F ；(iii)A x F x f ax =''→)()(lim（A 可为有限数，也可为∞+或∞-）；则： Ax F x f a x =→)()(lim.注 1：“a x →”可改为“+∞→x ”或“-∞→x ”，只不过对(ii)作相应的修改，结论仍成立.2：若)()(limx F x f a x ''→仍为00型未定式，则可再次使用法则，这时， =''''=''=→→→)()(lim )()(lim )()(lim x F x f x F x f x F x f a x a x a x 直到极限不是未定式为止.3：Hospital L '法则的三个条件缺一不可，表现在(a)若不是未定式，则不能使用，否则会导致错误；(b)若(iii)不成立，也不能用，否则也会导致错误；4： ∞∞型未定式的Hospital L '法则：可将上定理的(ii)(iii)不变， (i)改为：(i)′：+∞==→→)(lim )(lim x F x f ax ax 即可，结论仍成立.5：其它还有00,0,1,,0∞∞-∞∞⋅∞等型的不定式，但它们经过简单的变形都可化为00型或∞∞型的未定型，然后Hospital L '法则.例15 求x x x 2tan cos 1lim+→π.解：21)2cos (lim cos 1tan 2sin lim tan cos 1lim 322=-=-=+→→→x x x x x x x x x πππ.注：在应用Hospital L '法则时，要注意法则的条件是否满足，不可乱用.例16 x x xx x sin sin lim-++∞→能否用Hospital L '法则 解：若用Hospital L '法则，则有x xx x x x x x cos 1cos 1limsin sin lim-+=-++∞→+∞→不存在，（分子，分母的极限不存在） 10101sin 1sin 1lim sin sin lim =-+=-+=-++∞→+∞→x x x xx x x x x x .【求函数极限的方法总结与例题】在“知识点”部分结合相关知识点，给出一些例题，但有必要将函数极限的求法进行归纳并给出例题.例题的解法突出一题多解或诸方法结合使用.现归纳如下七点：⑴：消去零因子法，既把式子中的0因子消去。

如何证明极限不存在如何证明极限不存在sin-l-1-lsin-l-1-l| 12，同时成立。

这与|1-l|+|-1-l|≥|-|=2发生矛盾。

所以，使limsin=l成立的实数l不存在。

反证法：一个数列{an}极限存在,另一个数列{bn}极限不存在假设两数列之和{n}的极限存在，那么bn=n-an极限也存在矛盾所以原命题成立令=x,lim趋于xx+=limx^2=0令=x^2-x,lim趋于xx+=limx^3-x^2x^2=-1两种情况极限值不同，故原极限不存在2答案：首先需要二项式定理：^n=∑nia^*b^i用数学归纳法证此定理：n=1^1a^*b^0+a^*b^1a+b故此，n=1时，式一成立。

设n1为任一自然数，假设n=n1时，成立，即：^n1=∑n1ia^*b^i则，当n=n1+1时:式二两端同乘*=*=^=∑)ia^-i)*b^i因此二项式定理下面用二项式定理计算这一极限：^n用二项式展开得：^n=1^n++*^2+*^3+…+*^+*^+*^n由于二项展开式系数项的分子乘积的最高次项与的次数相同，而系数为1，因此，最高次项与的相应次方刚好相约，得1，低次项与1n的相应次方相约后，分子剩下常数，而分母总余下n的若干次方，当n-+∞,得0。

因此总的结果是当n-+∞，二项展开式系数项的各项分子乘积与的相应项的次方相约，得1。

余下分母。

于是式一化为：^n=1+1+12!+13!+14!+15!+16!+…+1n!当n-+∞时，你可以用计算机，或笔计算此值。

这一数值定义为e。

第三篇：证明二重极限不存在证明二重极限不存在如何判断二重极限不存在,是二元函数这一节的难点,在这里笔者对这一问题不打算做详细的讨论,只是略谈一下在判断二重极限不存在时,一个值得注意的问题。

由二重极限的定义知,要讨论limx→x0→0f不存在,通常的方法是:找几条通过定点的特殊曲线,如果动点沿这些曲线趋于时,f趋于不同的值,则可判定二重极限limx→x0→0f不存在,这一方法一般人都能掌握,但是在找一些特殊曲线时,是有一定技巧的,不过不管找哪条曲线,这条曲线一定要经过,并且定点是这条曲线的非孤立点,这一点很容易疏忽大意,特别是为图方便,对于型如limx→x0→0fg的极限,在判断其不存在时,不少人找的曲线是f-g=0,这样做就很容易出错。