数学建模2

传染病模型分析
09级
数学与运用数学
二班
组长：杨金梅20091501227
组员：牟芃颖20091501220
浦琼2009150122
摘要：传染病数学模型的研究有着悠久的历史，现以出现许多传染病数学模型，本文对传染病模型进行分析，全面考虑在不同模型中，传染人数，易感人数，无免疫性人数，
有免疫性人数等因素的关系。

相同点：
各模型都是对传染病的传染过程与结果进行分析与预测，都是为了更好的研究与预防各类传染病。

分析受感染人数的变化规律，预报传染病高潮到来的时刻，预防传染病蔓延的途径以达到控制病情扩散，降低传染比率。

不同点：
一、各模型假设差异
模型一已感染人数（病人）i(t)
假设每个病人每天有效接触(足以使人致病)人数为λ
模型二区分已感染者(病人)和未感染者(健康人)
假设1）总人数N不变，病人和健康人的比例分别为i(t),s(t)——SI 模型
2）每个病人每天有效接触人数为λ, 且使接触的健康人致病——λ ~ 日接触率
模型三传染病无免疫性——病人治愈成为健康人，健康人可再次被感染——SIS 模型
假设在模型二的假设中增加假设
3）病人每天治愈的比例为μ——μ ~日治愈率
模型四传染病有免疫性——病人治愈后即移出感染系统，称移出者——SIR模型
假设1）总人数N不变，病人、健康人和移出者的比例分别为i(t),s(t),r(t)
2）病人的日接触率λ , 日治愈率μ,
接触数σ = λ / μ
模型五 SARS预测模型
假设从潜伏期感染者(I)出发，经过一段时间后发病
(F)，有症状的感染者具有传染性，一部分可以直
接确诊为SARS病人(c)，另一部分先经过疑似病人
(P)阶段而被确诊(c)，确诊后经过一段时间可以
治愈或者死亡(R)，被治愈的病人不再感染SAILS，
各状态的人群之间可以单向流动。

潜伏期感染人
群按来源分为两部分，一般人群和隔离人群。

一
般人群即感染来源于一般人群，由社会上没有被
监控的散在传染源所造成的传染。

隔离人群即在
密切监控的人群中所发生的感染。

模型六 SARS模型
假设①因为人们的活动是随机的．为了简化模型可以假设病人与被感染者的个体在人群中混合是均
匀的．并且人群个体间是没有差异的。

②某一时段，某一地区的迁入迁出相对较稳定且占
总人数比率较小．故可不考虑人群的迁出和迁入
对总人数、潜伏期患者及病人的影响。

③因为SARS感染后都有一定的潜伏期．所以假设
每一个病人都经历了潜伏期，也就是说任意的
病人都是由潜伏期患者转化而来的。

④根据有关SARS报道，假设潜伏期患者必定会转化
为病人。

⑤假设S(t)，I(t)，E(t)，R(t)是随时间连续变
化的。

⑥将SARS的传播途径均视为与病源的直接接触。

⑦疑似病例与病人被完全隔离，不再具有传染性。

⑧不考虑被隔离，而实际未得病的情况，因为即
使有，这部分人是没有自由的，所以他们也不会
对传染过程产生影响。

分析：前四个模型中，模型一、二的假设说明染病者一旦
得病就不会痊愈，也不会死亡，即永远属于()
I t类。

此假设存在不合理性需改进。

模型三只是针对部分
传染病，此传染病的得病者可以治好，得病者不因
得病而死亡，也不因疾病治好而具有免疫力，即疾
病治好以后仍可能的病，如感冒，痢疾等。

模型四
则针对永久性的传染病，该病的得病者因病而死亡
或病好而具有免疫力，他们退出传染病系统。

模型
五针对SARS 病的预测。

模型六假设全面，对传染病问题深入分析，具有较高研究价值。

二、 结果分析
模型一：
模型二：
模型三： λ ~ 日接触率
1/μ ~感染期
1)()(=+t i t
s t
t i t i t t i ∆=-∆+)()()(λ0)0(i i i dt di
==λt e
i t i λ0)(=∞
→⇒∞→i t t
t i t Ns t i t t
i N ∆=-∆+)()]([)]()([
λ1
→⇒∞→i t t
t Ni t t i t Ns t i t t i N ∆-∆=
-∆+)()()()]()([μλ⎪⎩⎪⎨⎧=--=0)0()1(i i i i i dt di μλ11([σ
λ---=i i dt di si dt di λ=
模型四：
模型五：dI/dt=-αI+(p+c) ×r c +r g F dF/dt=αI －βF
dP/dt=βF －θP
dC/dt=βF ＋θP －ωC
dR/dt=ωR
模型六：I ＇=εM －qI ＋a 2 H
S ＇=Ha 1－λMS
R ＇=qI
H ＇=－a 1H －a 2H ＋λMS α
M ＇=λMS(1－α) －εM
结论分析：
①I ∞=0，即传染病最终消除。

由于S(t)，S ＇=-λSI <0，S(t)单调下降，S ∞存在；又R ＇>=0，R(t)<=1，可知，R ∞存在，而I=1-S-R →I ∞存在。

若I ∞=ε＞0，由R ＇=μI ，对充分大的t ，由dR/dT>με/2，则R(t)严格单调增加，可得R ∞ =∞,矛盾。

② S ∞＞0即任意时刻总会有人不得病。

1
)()()(=++t r t i t s t t Ni t t i t Ns t i t t i N ∆-∆=-∆+)()()()]()([μλt
t i t Ns t s t t s N ∆-=-∆+)()()]()([λ
由dS/dR=-λS/μ=-σS解得 S(t)=S0e-σR
>=S0e-σ>0③因S(t)单调上升，I(t)先升后降，传染病曲线如图所示。

即曲线的最大值点在直线S=1/σ上，若初值(S0，I0）落在S=1/σ的左边，I(t)先升后降趋于0.
S=1/σ称为阈值。

由于σ=λ/μ，当人们的卫生水平提高，日接触率λ越小，医疗水平越高，治愈率μ越大，于是σ越小。

所以，提高卫生和医疗水平有助于传染病的蔓延。

由SIR分析，当S0 <=1/σ时，传染病不会蔓延。

所以，为防止蔓延，一方面提高卫生和医疗水平，使1/σ变大，另一方面，扩大移出类，即减少S0，这可通过预防接种、群体免疫的办法实现。

总人口一定（R0变大，S0边笑），或当病人的比例初值很小时，可忽略不计，有S0=1- R0, 于是传染病不会流行。

条件S0<=1/σ,即为R0>=1-1/σ,即只要通过群体免疫，使初始时刻移出类的比例R0满足R0>=1-1/σ,就可以制止传染病的流行。

分析模型一知，若有效接触的是病人，则不能使病人数增加→必须区分已感染者(病人)和未感染者(健康人)，所以建立模型二知存在可治愈病人。

模型三知感染期内有效接触感染的健康者人数不超过病人数。

模型四可采取有效措施预防传染病蔓延。

小组总结：通过此次建模学习，了解到原来日常生活中遇到的许多问题都可以通过建设数学模型去解决。

而且数学模型有一个好处，就是能用最简便，最恰当的方式去解决问题，使我们能付出最少而获得最多。

由于数学建模有这个优势，所以对日常生活有很大的贡献，我们必须也很应该去学习，去实践。

对传染病建立的数学模型让我们清晰的认识到传染病的传播途径与蔓延速度，何时达到最高峰，让病况得以缓解。