振动力学第8章第2节

x2 , 则方程(8.3-1)可以用两个一 令 x x1 , x 阶微分方程来代替 1 x2 , x 2 x1 1 x12 x2 0 x (8.3-2)
显然，原点是一个平衡点。为了了解这个平衡点 的性质，列出下面线性化系统的系数矩阵
0 1 a 1
图 8.3-5
反之，若扰动后的相轨迹远离极限环，其中 只要有一侧的相轨线是离开极限环的，则这样的 极限环称为不稳定的，如图8.3-5中的M1和M3。
不稳定的极限环是实际系统不能实现的运动， 它是用几何作图法画不出来的。稳定的极限环对 应于系统的稳态周期运动，即自激振动。 自激振动在各种技术问题中占有极重要的地 位，因此确定极限环的存在及其稳定性就成为非 线性自治系统理论中的一个重要问题。从上面的 定性分析可知，极限环的存在是明显的，但是对 于一个给定的系统要想从理论上证实极限环的存 在并具体地找到该极限环却是困难的。在很多情 况下，问题的解决还是要借助于图解法。
一个具有极限环系统的经典例子是范德波振 子。这个例子可以说明极限环的一些性质。 范德波振子是由下面的微分方程所描述，即
x0 x x 2 1 x
0
(8.3-1)
上式可认为是一个具有可变阻尼的振子。确实, x 2 1 这一项可以看成一个与振幅相关的阻尼 系数。对于|x|<1这个系数是负的，而对|x|>1它是 正的。因此当运动在|x|<1的范围内时负阻尼有助 于增加振幅，而当|x|>1时正阻尼有助于减小振幅 ，所以预期会有极限环而且确实得到了极限环。
基本的摄动方法
摄动方法是针对所谓弱非线性系统的渐近的 解析法，也称为小参数法，它是求解非线性振动 方程最有效的方法之一，是由庞加莱和李亚普诺 夫所拟定、在解决各种问题时广泛应用的方法， 其基本做法是把解展开成小参数 的幂级数，以 寻求满足一定误差要求的渐近解。 求解非线性振动的摄动法中有各种渐近的解 析方法，包括基本摄动法和各种奇异摄动法。奇 异摄动法主要包括林斯泰特法和KBM法等。非线 性振动的许多特性都可以用摄动渐近解描述出来。

第8章 实验模态分析初步
23
EMEC @ Shanghai Jiaotong University
Email: yuzy@ Tel: 54743053
第8章 实验模态分析初步
24
EMEC @ Shanghai Jiaotong University
Email: yuzy@ Tel: 54743053
20世纪30年代提出的电学比拟方法，去描述振动系统 的机械动态特性。直到60年代后电测技术发展。
机械阻抗，mechanical impedance
定义1：线性定常机械系统中激励力与速度响应之比。 定义2：使物体产生简谐振动的激振力与其振动速度的 比值，反映了稳态振动过程中的阻力的影响。
第8章 实验模态分析初步
频响函数
s j
取 0
则
s j
X ( s) 1 H ( s) 2 F ( s) ms cs k
X ( ) 1 H ( ) 2 F ( ) k m jc
X ( ) x(t )e
0 jt
dt , F ( ) f (t )e jt dt
第8章 实验模态分析初步
21
EMEC @ Shanghai Jiaotong University
Email: yuzy@ Tel: 54743053
第8章 实验模态分析初步
22
EMEC @ Shanghai Jiaotong University
Email: yuzy@ Tel: 54743053
9
串联
第8章 实验模态分析初步
EMEC @ Shanghai Jiaotong University
Email: yuzy@ Tel: 54743053

y
y vy vx x
v x t
vy
v y x
x
vx
vx x
x
v y t
线变形运动
x方向的速度差
v B x vA x v x x x v C x v D x v x x x
y方向的速度差
vD yvA y v y y y vC yvB y v y y y
AB、DC在δt时间内伸长
y
vx
vx x
x
vx y
y
vy
vy x
x
vx
vx x
x
平移运动
矩形ABCD各角 点具有相同的速 度 分 量 vx 、 vy 。 导 致 矩 形 ABCD 平 移 vxδt, 上 移 vyδt, ABCD的形 状不变。
vy
vy y
y
vx
vx y
y
vy
v y x
x
v y y
y
vx
vx x
x
vx y
角变形速度的平均值
z
1 2
vy x
vx y
x
1 2
vz y
vy z
y
1 2
vx z
vz x
v x y t y
y
x
v y x t x
旋转运动
v x y t y
y
x
vy x t x
流体微团只发生角变形
流体微团只发生旋转，不发生角变形
流体微团在发生角变形的同时，还要发生旋转运动
亥姆霍兹速度分解定理
在一般情况下微小流体质团的运动可以分解为三部分： （1）随质团中某点（基点）一起前进的平移运动； （2）绕该点的旋转运动； （3）含有线变形和角变形的变形运动。

6
而大多数情况下, 振动会产生不良、甚至严 重、灾难性的后果。 由于振动, 降低了机器的动态精度和其它使 用性能; 由于振动, 机器在使用过程中产生巨大的反 复变动的荷载, 导致使用寿命的降低; 有时候振动甚至酿成灾难性事故, 如大桥因 共振而倒塌, 烟囱因风振而倾倒, 飞机因颤振而 坠落等等。
通常系统设计要依赖于响应分析， 所以在实际工作中，响应分析和系统设 计这两个问题是交替进行的。
第1 章 导 论
13
（3）系统识别 已知振动系统的激励(输入)和响应(输出)求系
统参数,以便了解系统的特性。 系统识别包括物理参数识别(确定系统的物理
参数:质量、刚度、阻尼等)和模态参数识别(确定 或估计系统的固有特性:固有频率、振型等)。 （4）环境预测
确定性激励下的响应不一定是确定的 ，但随机激励下的响应一定是随机的。
第1 章 导 论
10
2. 工程振动分析的类别 振动分析：研究振动系统、激励(输入)和
响应(输出)三者之间的关系。
理论上讲，只要知道两者就可以确定第 三 者 。 这样，工程振动分析所要解决的问题 可以归纳为下面几类。
第1 章 导 论
周期的倒数称为频率，是系统每秒钟振动 的次数,单位为1/秒(1/s)或赫兹(Hz)。记作 f
f 1 n T 2
第2章 单自由度系统自由振动
2.2 自由振动系统
35
固有频率n和频率 f 只相差常数2，因
此经常通称为固有频率。是振动分析中极
其重要的参数。
显然
n
2
T
2
f
因此n的物理意义是在2时间内振动的
第2章 单自由度系统自由振动
2.2 自由振动系统
24
m-k系统的自由振动 (P6) m-k 系 统 虽 然 非 常 简 单 ，