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论闭环零点对二阶系统单位阶跃响应的影响

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论闭环零点对二阶系统单位阶跃响应的影响 作者：刘聪 班级：09电本2班 学号：4090208224 摘要 分析二阶系统的单位阶跃响应，对于研究自动控制系统的暂态特性具有重要意义。这是因实际工作中，在一定条件下，忽略一些次要因素，常常可以把一个高阶系统降为二阶系统来处理。二阶系统在欠阻尼时的响应虽有振荡，但阻尼比ξ取值恰当，则系统既有响应的快速性，又有过渡过程的平稳性，因此在控制过程中常把二阶系统设计为欠阻尼。大多数高阶系统中含有一对闭环主导极点，则该系统的动态响应就可以近似的用这对主导极点所描述的二阶系统来表达。 本文是通过直接求解系统在单位阶跃信号作用下的时域响应来分析系统的性能的。通过对设零点系统与未设零点系统上升时间、峰值时间、最大超调量、调节时间暂态特性各个方面的对比，以及零点位置的变化对各动态性能变化趋势最终找到闭环零点对实际二阶系统的作用效果。 关键词：自动控制 二阶系统 动态特性 响应指标

0.引言 由二阶微分方程描述的系统，称为二阶系统。欠阻尼振荡的二阶系统在实际中可以看成是稳定的系统，因此分析欠阻尼系统具有实际意义。二阶系统的单位阶跃响应是反映二阶系统本质的重要表现形式。我们在实际生产过程中，二阶系统总是需要满足工程最佳参数的要求，但是通过改变开环放大系数的方法可能会增大系统稳态误差。因此需要通过设置零点的方法从而达到既满足工程所需的阻尼比，又保证系统稳态精度的目的。正是由于闭环零点对二阶系统如此重要，所以此文主要分析闭环零点对二阶系统单位阶跃响应的影响。

1.二阶系统 一个系统的阶次是由其最简闭环传递函数分母S的最高次项决定的。二阶系统就是S的最高次项为2的闭环传递函数所对应的系统典型。简单来说就是由二阶微分方程描述的系统就叫做二阶系统。 1.1二阶系统结构图

图1-1 二阶系统结构图 由图可知二阶系统开环传递函数为：

n

nKsssW22

二阶系统闭环传递函数为：

2n

n

ω

ss2ξω

cXs

rXs 22

2

2nnnBsssW

1.2二阶系统单位阶跃响应 当输入为单位阶跃信号时 ssXr1

故 2222nnncssssX 取拉氏逆变换有 

tetXdtcnsin112 0t ①

其中nd21 21arctan 1.3二阶系统极点分布图

图1-2二阶系统时极点分布图 1.4二阶系统动态特性 1.4.1 上升时间 rt 令①中rtt 1tXc

则有 0sin12rdttern 得

ndrt21 ②

σ σ 1.4.2 峰值时间 mt 令①中0dttdxc 则第一个峰值对应的时间

ndmt21 ③ 1.4.3 最大超调量 % 由于%100%cccmXXX 且1cX

得 %100%21e ④ 1.4.4 调节时间 st nst3%5 8.00

nst4%2 8.00 ⑤

2.具有零点的二阶系统的动态分析 2.1具有零点的二阶系统结构图及传递函数 带零点的二阶系统结构图：

图2-1带零点的二阶系统： 具有零点的二阶系统的闭环传递函数为：

)2(1)1(2)1()()()(222222nnnnnnBwswsswwswsswsXrsXcsWξτ

τξ

τ

τ——时间常数 令τ1=z，则上式可写为如下形式：

)2()()()(222nnnwswszzswsXrsXcξ

⑥

)2()(222nnnwswszswξ )(sXr )(sX

c 由式⑥可得，其系统的闭环传递函数具有零点-z，是具有零点的二阶系统 将式⑥分解，由

22

22)()(1nnnwswssXrwsXcξ得 )(11)(sXczsXcsXc

2.2具有零点的二阶系统的单位阶跃响应 22

2

2nnnBsssW

1) =0.25, n=2，系统无零点；记做曲线①

2) =0.25, n=2，z=4；记做曲线② 3) =0.25, n=2，z=-0.25；记做曲线③

4) =1.25, n=2，z=-6；记做曲线④ 5 为求其阶跃响应，设ssXr1)(，取初始条件为零，则Xc1(s)和Xc(s)的拉氏反变换为

])2([)(22211nnncwswsswtxξ

dttdxztxsXcsXczstxccc)(1)()](1[)](1[)(1111 ⑦

求出⑦中两项然后相加即得输出量，经过运算得



)1cos(1)1sin(11)(2222θξξθξζξξtwwltwlwzzletxnnnntwc

n

⑧ 上述式子中的l为极点与零点间的距离，在复平面上画出其位置（假设零点在极点左侧）：

Z l -1P nw

θ -Z υ jw σ 由图1可知： υξυξξξsin1cos)1()(22221lwlwzwwzpzlnnnn

故式子⑧可以写成： θυξξξtwzletxntwcn221sin11)( ⑨

式子中：

ξξθ21arctan

nnwzwξξυ

21arctan

2222zwwzzzlnnξ

令zwrnξ，则上式中的zl可以写为 22221rrzlξ

ξ

r代表闭环传递函数的复数极点的实部与零点实部之比。 因此式子⑨可以写为：

)1sin(121)(22222υθξξξξξtwerrtxntwcn 0t

⑩ 由此计算得到了典型的具有零点的二阶系统的单位阶跃响应的公式，即为公式⑩。

3.具有零点的二阶系统的动态性能指标 由公式⑩得到了具有零点的二阶系统的单位阶跃响应的公式： )1sin(121)(22222υθξξξξξξtwerrtxntwcn 0t

3.1上升时间 在动态过程中，系统的输出第一次达到稳态值的时间称为上升时间rt。根据定义在公式⑩中令rtt时，1)(txc，得

)1sin(1222222υθξξξξξtwerrntwn=0

但在t期间，即没有达到最终稳定之前，twnerrξξξξ222212>0，所以使上式为0的原因是)1sin(2υθξtwn=0，因此讨论)1sin(2υθξtwn=0所出现的情况。

由)1sin(2υθξtwn=0得： υθξtwn21=π

nrwt21ξυθπ



由上式可以看出上升时间rt受到nw，ξ，υ，θ的影响，当nw，ξ，θ

一定的时候，上升时间rt只与υ有关。

由图2，图3，图4可以看出随着z值的减小，零点越来越靠近虚轴，υ值逐渐增大，由○11可得rt逐渐减小。 3.2最大超调量σ% 最大超调量发生在第一周期中mtt时刻，即导数为0的时刻。

0)(mttc

dt

tdx

θ -z υ -p1 z 图3-1 零点实部小于极点图3-2零点实部等于极点z -z θ υ -p1 图3-3零点实部大于极点-p1 -z υ θ z 得 ξξυθξ221)1tan(twn 因此 θππξξυθξnntwn221arctan1 即 πυξntwmn21 因为第一次达到最大值经过时间，因此n取值为1，当n=1时，πυξmntw21

nmwt21ξυπ



○12 有式子○12可以看出，mt的值随υ的值增大而减小，结合图2，图3，图4得到结论：z值逐渐减小，υ值逐渐增大，mt逐渐减小。 3.3调节时间st 调节时间st是)(txc与稳态值)(cx之间的偏差达到允许的范围而不再超出的动态过程时间。在动态过程中的偏差为

)1sin(1)()(22υθξξξtwetxxxntwcc

n

当02.005.0或x时采用近似计算法得到： 05.012ξ

ξtwne

（或0.02）

由此求得调节时间为：

nswtξ

3%)5(， 0

nswtξ

4%)2(, 0

由上面的两个式子可以看出，具有零点的二阶系统的调节时间只与ξ和nw有关，与z的大小无关。

3.4振荡次数μ 振荡次数是指在调节时间st内，)(txc波动的次数。根据这一定义可得振

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《自动控制原理》复习题

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第一章 习题1. 闭环和开环控制各有什么优缺点？开环: 结构简单，成本低廉，工作稳定，当输入信号和扰动能预先知道时，控制效果较好。

但不能自动修正被控制量的偏离，系统的元件参数变化以及外来的未知扰动对控制精度影响较大。

闭环:具有自动修正被控制量出现偏离的能力，可以修正元件参数变化及外界扰动引起的误差，控制精度高。

缺点：被控量可能出现振荡，甚至发散。

2．随动、恒值、程序控制系统。

按给定值变化规律分有：随动、恒值、程序控制系统。

3．开环、闭环、复合控制系统。

按系统结构分有：开环、闭环、复合控制系统4. 对一个自动控制系统的性能要求可以概括为哪几个方面 ？ 可以归结为稳定性、准确性（精度）和快速性。

第三章 习题一、基本概念1.最大超调量： 直接说明控制系统的阻尼特性。

2. 过渡过程时间：在过渡过程的稳态线上，用稳态值的百分数∆（通常%2%5=∆=∆或）作一个误差允许范围，过渡过程曲线进入并永远保持在这一允许误差范围内，进入允许误差范围所对应的时间叫过渡过程时间。

3. 峰值时间： 欠阻尼系统单位阶跃响应输出达到最大值时对应的时间。

4. 上升时间：在单位阶跃信号作用下，欠阻尼二阶系统输出第一次达到最终稳态值所对应的时间。

5. 闭环主导极点：假如距虚轴较远的闭环极点的实部与距虚轴最近的闭环极点的实部的比值大于或等于5，且在距虚轴最近的闭环极点的附近不存在闭环零%100)()()(⋅∞∞-=c c tp c p σ点。

这个距虚轴最近的闭环极点将在系统的过渡过程中起主导作用，称之为闭环主导极点。

它常以一对共轭复数极点的形式出现。

6. 稳态误差：稳态误差ess是系统的误差响应达到稳定时的值，是对系统稳态控制精度的度量，是衡量控制系统最终精度的重要指标。

7.开环静态位置放大倍数KP8.开环静态速度放大倍数Kv9.开环静态加速度放大倍数Ka二、问答题1、线性连续系统稳定的充要条件是什么？答：系统特征方程式的根全部具有负实部。

第三章习题

第三章习题

第三章 复习题一、是非题1 传递函数完整地描述了系统的动态特性2 两个元件串联的传递函数就等于单个元件传递函数之积3 引入积分环节就能消除稳态误差4 系统中是否存在稳态误差取决于a) 系统的结构参数b) 外作用的形式(阶跃，斜坡……)5 多输入，多输出系统，当输出输入信号变化时，系统极点会相应改变。

6 闭环系统的稳定性总比开环系统好。

1. 典型欠阻尼二阶系统超调量大于5％，则其阻尼ξ的范围为：(1) ξ>1 (2) 0<ξ<1 (3) 1>ξ>0.707 (4) 0<ξ<0.7072. 二阶系统的闭环增益加大(1) 快速性能好 (2)超调量愈大(3)p t 提前(4)对动态特性无影响3. 欠阻尼二阶系统,n ξω两者都与(1)%σ有关 (2) %σ无关 (3) p t 有关 (4) p t 无关4. 一阶系统的闭环极点越靠近s 平面的原点，其(1)响应速度越慢 (2)响应速度越快 (3)准确度越高 (4)准确度越低5. 系统时间响应的瞬态分量(1)是某一瞬时的输出值 (2)反映系统的准确度(3)反映系统的动特性 (4)只取决于闭环极点6. 典型欠阻尼二阶系统中再加入一个闭环零点，则(1)对动态性能无影响 (2) %σ↓ (3) %σ↑ (4) p t ↑7. 欠阻尼典型二阶系统若n ω不变，ξ变化时(1) 当0.707ξ>时，s t ξ↑→↓ (2) 当0.707ξ>时，s t ξ↑→↑(3) 当0.707ξ<时，s t ξ↑→↓ (4) 当0.707ξ<时，s t ξ↑→不变8. 单位反馈系统，闭环传递函数为11Ts +，()r t t =时，系统稳态误差ss e = (1) ∞ (2) T (3)1T(4)0 9. 已知某系统的型别为v ，输入为()n r t t =(n 为正整数)，则系统稳态误差为零的条件是(1)v n ≥ (2)v n > (3) v n ≤ (4)v n < 10. I 型单位反馈系统的闭环增益为(1)与开环增益有关 (2) 与()r t 形式有关(3) 1 (4)与各环节时间常数有关11. 系统闭环零点影响系统的(1) 稳定性 (2)稳态误差 (3)调节时间 (4)超调量1．已知系统结构图如右所示：其单位阶跃响应的超调量%16.3%σ=，峰值时间1p t =秒求 1)开环传递函数()?G s =2)闭环传递函数()?s Φ=3)根据性能指标%,p t σ，确定参数K 及τ4)计算等速输入(恒速值 1.5A =度/秒)时系统的稳态误差值 解：[]111010(1)(1)().;10(110)1(1)K s s G s K s s s s ττ+==++++开环增益110110K K τ=+ 21222110()(2)() (*)1()(110)102n n nK G s s G s s s K s s ωτξωωΦ===++++++ ⑶依题：%16.3%0.5σξ=→=1 3.6276 (**)p n t ω==→===2211(**)(*) 10 3.6276213.159 1.3159n K K ω→===→=2120.5 3.62761 21100.2631010n n ξωξωττ-⨯⨯-=+→=== 111.31591013.159 3.6250.263110 2.631K K K ττ=⎧∴⇒===⎨=++⎩ 1.5(4)0.4143.625ss A e K ===2系统如下图示)(1)(t t r 时的响应为)(t h求a K K ,,21解：依题可知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-===∞%92218.2%''75.02)(σp t h )1( 22)(2222212221⎪⎩⎪⎨⎧==⇒++=++=Φnn n n n a K s s K K as s K K s ξωωωξωω )2( 21..lim )().(.lim )(1222100==++=Φ=∞→→K sK as s K K s s R s s h s s )4( 75.012=-=n p t ωξπln 0.090.7665%0.09 (5)0.60833(52.55)e πσξβ-=-===⎪===︒⎪⎩:)4()5(→(6) 236.5608.0175.02秒弧=-=πωn)1()6).(5(→⎪⎩⎪⎨⎧==⨯⨯=====237.6236.5608.0224.27236.51222K a K n n ξωω系统极点分布：⎩⎨⎧=︒==236.55.52arccos nωξβ3 如图所示，参考输入r(t)=a ∙t (t), 干扰n(t)=b (t). 求系统总的稳态误差。

02240机械工程控制基础

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02240机械工程控制基础第一章绪论1.1控制理论的发展简史（了解）1.2机械工程控制论的研究对象1）机械工程控制理论主要是研究机械工程技术为对象的控制论问题。

2）当系统已经确定，且输出已知而输入未知时，要求确定系统的输入以使输出并根据输出来分析和研究该控制系统的性能，此类问题称为系统分析°3）最优控制制：当系统已经确定，且输出已知而输入已施加但未知时，要求识别系统的输入以使输出尽可能满足给定的最佳要求。

4）滤波与预测问题当系统已经确定，且输出已知，输入已施加当未知时，要求识别系统的输入（控制）或输入中的有关信5）当输入与输出已知而系统结构参数未知时，要求确定系统的结构与参数，即建立系统的数学模型，此类问题及系统辨识。

6）当输入与输出已知而系统尚未构建时，要求设计系统使系统在该输入条件下尽可能符合给定的最佳要求，此类问题即最优设计。

1.3控制系统的系统的基本概念1）信息传递是指信息在系统及过程中以某种关系动态地传递的过程。

2）系统是指完成一定任务的一些部件的组合。

3）制制系统是指系统的可变输出能按照要求的参考输入或控制输入进行调节的系统。

4）系统分类：按照控制系统的微分方程进行分类分为线性系统、非线性系统。

按照微分方程系数是否随时间变化分为定常系统和时变系统。

按照控制系统传递信号的性质分类分为连续、离散系统。

按照系统中是否存在反馈将系统分为开环控制、闭环控制系统。

5）对控制系统的基本要求有稳定性、快速性、准确性第二章拉普拉斯变换的数学方法2.3典型时间函数的拉式变换（必须牢记）1）单位阶跃函数为，2）单位脉冲函数为，单位脉冲函数具有以下性质3）单位斜坡函数为，L（t）?第三章系统的数学模型....3.1概述1）数学模型概念在控制系统中为研究系统的动态特性而建立的一种模型。

2）建立数学模型的方法有分析法和实验法。

3）线性系统最重要的特性是叠加原理,具体内容是系统在几个外加作用下所产生的响应等于各个外加作用单独作用下的响应之和。

闭环传递函数的零点和极点

闭环传递函数的零点和极点

任务名称：闭环传递函数的零点和极点一、引言闭环控制系统在工程中发挥着重要的作用，而传递函数则是描述该系统的重要工具之一。

闭环传递函数的零点和极点是评估系统性能和稳定性的重要指标。

本文将对闭环传递函数的零点和极点进行全面、详细、深入地探讨。

二、传递函数简介1.传递函数概念传递函数是闭环控制系统中的重要概念，描述了输入和输出之间的关系。

它是输出与输入的比值，通常采用符号G(s)表示。

2.传递函数的形式传递函数的一般形式为：G(s) = N(s)/D(s)，其中N(s)和D(s)分别表示分子和分母多项式。

3.零点和极点的定义传递函数的零点和极点是使其分子和分母等于零的解，分别用zi和pi表示。

零点是使传递函数等于零的输入，极点则是使传递函数的值无穷大的输入。

三、零点的影响1.零点对系统稳定性的影响零点的位置决定了系统的稳定性。

当零点位于左半平面时，系统是稳定的；当零点在右半平面时，系统是不稳定的。

2.零点对系统频率响应的影响零点的位置还会影响系统的频率响应特性。

当零点位于高频处时，系统对高频信号具有抑制作用；当零点位于低频处时，系统对低频信号具有抑制作用。

3.零点对系统阶数的影响零点的个数也会决定系统的阶数。

零点的个数等于传递函数的分子多项式的阶数，系统的阶数等于分子多项式的阶数减去分母多项式的阶数。

四、极点的影响1.极点对系统稳定性的影响极点的位置同样决定了系统的稳定性。

当极点位于左半平面时，系统是稳定的；当极点在右半平面时，系统是不稳定的。

2.极点对系统频率响应的影响极点的位置会进一步影响系统的频率响应特性。

当极点位于高频处时，系统对高频信号具有增益；当极点位于低频处时，系统对低频信号具有增益。

3.极点对系统阶数的影响极点的个数等于传递函数的分母多项式的阶数，系统的阶数等于分母多项式的阶数。

五、总结闭环传递函数的零点和极点是评估系统性能和稳定性的重要指标。

对零点和极点的研究可以帮助我们理解系统的频率响应特性、稳定性以及阶数等方面的问题。