二阶系统的阶跃响应

c(t) 1
1
e e ( 2 1)nt
( 2 1)nt
2 2 1 ( 2 1) ( 2 1)
特征方程还可为
12
s2
2
ns
2 n
(s
1 )( s
T1
1 T2
)
0
-0.2
-0.4
0
0.2 0.4 0.6 0.8
1
1.2 1.4 1.6 1.8
2
Time (sec)
误差也呈阻尼正弦振荡。当稳态时，即当时 t ，
有lim e(t) 0，表示欠阻尼二阶系统能够完全跟踪输入单位 阶跃t信号，没有稳态误差。
9
3.3 二阶系统的阶跃响应
两阶系统的瞬态响应
⒊当 1 时，极点为： s1,2 n
⒊ 当 1 时，特征方程有一对相等的实根，称为临界阻尼系
统，系统的阶跃响应为非振荡过程。
⒋ 当 1时，特征方程有一对不等的实根，称为过阻尼系统，
系统的阶跃响应为非振荡过程。
3
3.3 二阶系统的阶跃响应
二、典型二阶系统的阶跃响应
当输入为单位阶跃函数时，R(s) 1 ，有：
C(s)
(s)
1 s
注意：当不同时，特征根有不同的形式，系统的阶跃响应形式 也不同。它的阶跃响应主要有振荡和非振荡两种情况。
⒈ 当 0 时，特征方程有一对共轭的虚根，称为零(无)阻尼系 统，系统的阶跃响应为持续的等幅振荡。
⒉ 当 0 1 时，特征方程有一对实部为负的共轭复根，称
为欠阻尼系统，系统的阶跃响应为衰减的振荡过程。
2
1
0 02
46
nt
8 10 12
8
3.3 二阶系统的阶跃响应
输入阶跃信号和阶跃响应之间的误差 ：
1
e(t) r(t) y(t) 1 y(t) 0.8
e n t
1 2
sin(n
1 2t
0.6 0.4
0.2
Step Response
=0.3,n=10
Amplitude
tg 1 1 2 )，t 0
开环传递函数为: 闭环传递函数为:
G(s)
s2
2 n
2
ns
(s)
G(s) 1 G(s)
s2
2 n
2 ns
n2
(s) 称为典型二阶系统的传递函数， 称为阻尼系数，n 称为 无阻尼振荡频率或自然频率。这两个参数称为二阶系统特征参
数。
2
3.3 二阶系统的阶跃响应
特征方程为：
s2
2
ns
2 n
0
特征根为： s1,2 n n 2 1
1 2
),
t0
7
3.3 二阶系统的阶跃响应
两阶系统的瞬态响应
c(t) 1
e nt sin(
1 2
1 2nt tg1
1 2
),
t0
系统极点为：
s1,2 n jn 1 2
极点的负实部 n 决定了指数 衰减的快慢，虚部d n 1 2 是振荡频率。称d 为阻尼振荡 圆频率。注意：d n 。
C(t)
b
eat sin(bt)
(s a)2 b2
1
s n
1 2n
s (s n )2 ( 1 2n )2 1 2 (s n )2 ( 1 2n )2
y(t) 1 ent[cos( 1 2nt)
sin(
1 2
1 2nt)],
t0
y(t) 1
e nt sin(
1 2
1 2nt tg 1
s2
n2 2 n s
n2
s
1 s
c(t)
L1[(s)
1] s
L1[ s2
n2 2 n s
n2
1] s
⒈当 0 时，极点为：s jn
C(t)
2
C(s)
n2 s(s2 n2 )
1 s
s2
s
n2
1
c(t) 1 cosnt t 0
此时输出将以频率 n 做等幅振荡，
所以, 称为n无阻尼振荡频率。
⒋当 1 时，极点为： s1,2 n n 2 1
即特征方程为
两阶系统的瞬态响应
s2
2
n
s
2 n
[s n (
2 1)][s n (
2 1)]
C(s)
2 n
R(s) [s n ( 2 1)][s n ( 2 1)]
C(s)
2 n
1
[s n ( 2 1)][s n ( 2 1)] s
Step Response 1
0.9
0.8 0.7 0.6
Amplitude
0.5 0.4 0.3 0.2
0.1
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
Time (sec)
随着时间的增加，误差越来越小，到稳态时误差变为零。
通常，在临界阻尼情况下，二阶系统的单位阶跃响应称为临
界阻尼响应。
11
3.3 二阶系统的阶跃响应
1 s
s2
2
ns
s 2 ( n )2
n
(
n
)2
2 n
1
s n n
s (s n )2 ( 1 2n )2
1
s n
n
s (s n )2 ( 1 2n )2 (s n )2 ( 1 2n )2
6Baidu Nhomakorabea
3.3 二阶系统的阶跃响应
sa (s a)2 b2
eat
cos(bt)
0 02
4
6
nt
8 10 12
4
3.3 二阶系统的阶跃响应
输入阶跃信号和阶跃响应之间的误差 ：
e(t) r(t) y(t) 1 y(t) cosnt，t 0
Step Response
1
0.8
n 2
误差曲线呈现等
0.6
幅振荡形式。即
0.4
系统在无阻尼情
0.2
况下，不能跟踪
0
输入的单位阶跃
-0.2
信号。
Amplitude
-0.4
-0.6
-0.8
-1
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
Time (sec)
5
3.3 二阶系统的阶跃响应
⒉ 当0 1时，系统极点为：p1,2 n jn 1 2 d n 1 2 称为阻尼振荡频率。
Y(s) 1
n2
1 s 2n
s s2 2ns n2 s s2 2ns n2
阶跃响应函数为：
C(s)
1 s
s2
n2 2ns
n2
n2 s(s n)2
1 s
s
1 n
(s
n n )2
c(t) 1 ent (1 nt)
C(t)
2
1
0
nt
0 2 4 6 8 10 12
10
33..33.2 典二型阶二阶系系统统的的单位阶阶跃跃响响应 应
输入阶跃信号和阶跃响应之间的误差 ：
e(t) r(t) y(t) 1 y(t) ent (1 nt)，t 0
3.3 二阶系统的阶跃响应
第三节 二阶系统的阶跃响应
1
3.3 二阶系统的阶跃响应
一、典型二阶系统的数学模型
由二阶微分方程描述的系统称为二阶系统。它在控制工程
中的应用极为广泛。许多高阶系统在一定的条件下，也可简化
为二阶系统来研究。
R(s)
2 n
C(s)
典型结构的二阶系统如图所示。
- s(s 2 n )