34 向量的模长问题几何法 高中数学讲义微专题Word版

微专题34 向量的模长问题——几何法

一、基础知识：

1、向量和差的几何意义：已知向量,ab，则有：

（1）若,ab共起点，则利用平行四边形法则求ab，可得ab是以,ab为邻边的平行四边形的对角线

（2）若,ab首尾相接，则利用三角形法则求出ab，可得ab，,ab围成一个三角形

2、向量数乘的几何意义：对于a

（1）共线（平行）特点：a与a为共线向量，其中0时，a与a同向；0时，a与a反向

（2）模长关系：aa

3、与向量模长问题相关的定理：

（1）三角形中的相关定理：设ABC三个内角,,ABC所对的边为,,abc

① 正弦定理：sinsinsinabcABC

② 余弦定理：2222cosabcbcA

（2）菱形：对角线垂直平分，且为内角的角平分线

特别的，对于底角60的菱形，其中一条对角线将此菱形分割为两个全等的等边三角形。

（3）矩形：若四边形ABCD的平行四边形，则对角线相等是该四边形为矩形的充要条件

4、利用几何法求模长的条件：条件中的向量运算可构成特殊的几何图形，且所求向量与几何图形中的某条线段相关，则可考虑利用条件中的几何知识处理模长

二、典型例题：

例1：（2015届北京市重点中学高三8月开学测试数学试卷）已知向量,ab的夹角为45，且1,210aab，则b（

）

A. 2 B. 2 C. 22 D. 32

思路：本题利用几何图形可解，运用向量加减运算作出如下图形：可知2,,104ABBAC，只需利用余弦定理求出BC 即可。

解：如图可得：bBC，在ABC中，有：2222cosACABBCABBCB

即：210422cos4BCBC

22260BCBC解得32BC或2BC（舍）

所以32b，

答案：选D

例2：若平面向量,,abc两两所成的角相等，且1,3abc，则abc等于（ ）

A. 2 B. 5 C. 2或5 D. 2或5

思路：首先由,,abc两两所成的角相等可判断出存在两种情况：一是,,abc同向（如图1，此时夹角均为0），则abc为5 ，另一种情况为两两夹角23 （如图2），以1ab为突破口，由平行四边形法则作图得到ab与,ab夹角相等，1aba（底角为60的菱形性质），且与c反向，进而由图得到2abc，选C

答案：C

例3：已知向量,ab，且1,2ab，则2ba的取值范围是（ ）

A. 1,3 B. 2,4 C. 3,5

D. 4,6

思路：先作出a，即有向线段AB，考虑2ba，将2b的起点与A重合，终点C绕A旋转且24ACb，则2ba即为BC的长度，通过观察可得C与,AB共线时2ba达到最值。所以maxmin25,23baba，且2ba连续变化，所以2ba的取值范围是3,5

答案：C

例4：设,ab是两个非零向量，且2abab，则ab_______

思路：可知,,abab为平行四边形的一组邻边和一条对角线，由2abab可知满足条件的只能是底角为60，边长2a 的菱形，从而可求出另一条对角线的长度为323a

答案：23

例5：已知,ab为平面向量，若ab与a的夹角为3，ab与b的夹角为4，则ab（

）

A. 33 B. 64 C. 53 D. 63

思路：可知,,abab为平行四边形的一组邻边及对角线，通过作图和平行四边形性质得：在ABD中，,,,34ABaADbABDADB，由正弦定理可得：sinsin64sin3sin3ABADBADABD，即63ab

答案：D

例6：已知,ab是单位向量，且,ab的夹角为3，若向量c满足|2|2cab，则||c的最大值为（ ）

A.23 B.23 C.72

D.72

思路：本题已知,ab模长且夹角特殊，通过作图可得2ba为模长为3，设2mcba，则可得2m且2cmba，而m可视为以2ba共起点，终点在以起点为圆心，2为半径的圆上。通过数形结合可得c的最大值为23（此时m的终点位于A点）

答案：A

例7：在ABC中，,33,66BABBC，设D是AB的中点，O是ABC所在平面内的一点，且320OAOBOC，则DO的值是（ ）

A. 12 B. 1 C. 3

D.

2

思路：本题的关键在于确定O点的位置，从而将DO与已知线段找到联系，将320OAOBOC考虑变形为323OAOBOCOAOBOBOCCB，即13OAOBCB，设OEOAOB，则,,ODE三点共线，且OEBC∥，所以由平行四边形性质可得：11126ODOECB

答案：B

例8：已知向量,1aee，对任意的tR，恒有ateae，则eae的值为________

思路：本题以ateae作为突破口，通过作图设,ABaACe，D为直线l上一点，则有ADte。从而可得,aeBCateBD，即BDBC，所以C点为直线l上到B距离最短的线段，由平面几何知识可得最短的线段为B到l的垂线段。所以BCl，即eae，所以有0eae

答案：0

小炼有话说：本题若用图形解决，找到,ateae在图上的位置和两个向量的联系是关键

例9：已知平面向量,,abc满足1,2ab，且1ab，CDBA若向量,acbc的夹角为60，则c的最大值是_________

思路：由,ab条件可得,ab夹角的余弦值1cos1202abab，若用代数方法处理夹角60的条件，则运算量较大。所以考虑利用图形，设,,ABaADbACc，则,CDbcCBac，即60DCB，从而180DCB，可判定,,,ABCD四点共圆，则AC的最大值为四边形ABCD外接圆的直径，即ABD的直径。在ABD中，由余弦定理可得：2222cos7BDABADADAB，所以7BD，由正弦定理可得：2212sin3BDdRBAD，即max2213c

答案：2213

小炼有话说：若条件中向量的夹角为特殊角且很难用数量积，模长进行计算时，可考虑寻找几何图形进行求解。

例10：（2010年，浙江，16）已知平面向量,0,满足=1 ，且与的夹角为120，则的取值范围是___________

思路：本题很难找到与数量积相关的条件，那么考虑利用图形辅助求解。从图中可观察到,,构成BCD，60C，从而可利用正余弦定理求出即CD的取值范围

解：在BCD中，由正弦定理可得：sinsinsinsinBDCDCDBCCDBC

12sinsinsinsin332DBCDBCDBCC

而20,3DBC sin0,1DBC 223sin0,33DBC 答案：的取值范围是230,3

小炼有话说：例题中的部分问题也可采用模长平方的方式，从而转化成为数量积求解。具体解法如下：

例1：解：222224444cos,10abaabbbabb

22260bb，解得32b

例2：解：2222222abcabcabbcac

,,abc夹角相同

当,,abc同向时，可得225abc，所以5abc

当,,abc两两夹角23时，可得133,,222abbcac

24abc，所以2abc

综上所述：2abc或5

例3：解：222244174cos,178cos,bababaababab

因为cos,1,1ab

229,25ba即23,5ba

例4：解：2abab可得22224ababab

代入2ab得2ab 222212ababab

23ab

例8：解：以B为原点，BC为x轴建立直角坐标系。所以9336,0,,22CA，设,Oxy，则933,,,,6,22OAxyOBxyOCxy，由320OAOBOC可得：3913602493336024xxyy，所以1333,44O 因为D为AB中点 933,44D

1OD

例9：解：22ateaeateae

222221aaettaae

22210taetae对tR恒成立

224210aeae即24840aeae

2410ae，所以1ae

20eaeeae