高中数学讲义微专题52 证明等差等比数列

高中数学知识要点重温之等差等比数列江苏 郑邦锁1．公差不为0的等差数列的通项是关于n 的一次函数，一次项系数是公差；前n 项和是关于n 的二次函数，二次项系数是公差之半且常数项为0；即等差数列{n a }中，n a =d n +b 〔d 为公差，n ∈+N 〕，cn n d S n +=22〔n ∈+N 〕。

证明某数列是等差〔比〕数列，通常利用等差〔比〕数列的定义加以证明，即证：a n -a n-1=常数(1-n n a a =常数) 〔)2≥n ，也能够证明连续三项成等差〔比〕数列。

[举例] {n a }、{n b }差不多上各项为正的数列，对任意的+∈N n ，都有n a 、2n b 、1+n a 成等差数列，2n b 、1+n a 、21+n b 成等比数列.试咨询{n b }是否为等差数列，什么缘故？解析：由21+n a =2n b 21+n b 得1+n a =n b 1+n b ，因此n a =1-n b n b 〔)2≥n ，又22n b =n a +1+n a ， ∴22n b =n b 1+n b +1-n b n b 〔)2≥n ，即2n b =1-n b +1+n b 〔)2≥n ，∴数列{n b }是等差数列。

注意：当用定义证明等差〔比〕数列受阻时，不忘了这〝一招〞！上述思路的关键是由〝1+n a =n b 1+n b 〞到〝n a =1-n b n b 〔)2≥n 〞的过渡，即所谓〝升降标〞，这也是处理数列咨询题的一个通法。

[巩固]等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，且55,1052==S S ，那么过两点 ),(n S n P n 、)2,2(2+++n S n Q n 的直线的斜率为：C ．最多有2项等于零D ．可有2项以上等于零2. 等差数列{a n }中，m+n=p+q ，那么a m +a n =a p +a q ，等比数列{a n }中，m+n=p+q ，那么a m a n =a p ·a q 〔m 、n 、p 、q n ∈+N 〕；等差〔等比〕数列中简化运算的技巧多源于这条性质。

专题：等差（等比）数列的证明1.已知数列{}n a 中，15a =且1221n n n a a -=+-（2n ≥且*n ∈N ）.（Ⅰ）证明：数列12n n a -⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列； （Ⅱ）求数列{}n a 的前n 项和n S .2. 已知数列{}n a 中，12a=且1230n n n a a +-+-=（2n ≥且*n ∈N ）.证明：数列{}2n n a +为等差数列；3. 已知数列{}n a 中，14a=且12250n n a a n +---=（2n ≥且*n ∈N ）.证明：数列{}21n a n --为等比数列；4．数列.23,5,2}{1221n n n n a a a a a a -===++满足（1）求证：数列}{1n n a a -+是等比数列；（2）求数列{n a }的通项公式；5.已知各项均为正数的数列{}n a 前n 项和为n S ，首项为1a ，且n a 是12nS和的等差中项. 求数列{}na 的通项公式；6.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且对任意的n ∈N *有a n ＋S n ＝n .(1)设b n ＝a n －1，求证：数列{b n }是等比数列； 7.设数列{}n a 的各项都是正数，且对任意*N n ∈，都有23333231n nSa a a a =+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++，其中nS为数列的前n 项和.（I ）求证：;22n n na S a -=（II ）求数列{}n a 的通项公式；8.数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＋1＝4a n ＋2(n ∈N *)， (1)设b n ＝a n ＋1－2a n ，求证：{b n }是等比数列；（2）.证明数列{a n2n －2}是等差数列(3)设c n ＝a n3n －1，求证：{c n }是等比数列．9.已知正项数列{a n }的前n 项和S n 满足 2S n ＝a n ＋1.求证：{a n }是等差数列．10.设数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ＝S nn＋2(n －1)(n ∈N *)．(1)求证：数列{a n }为等差数列,并求{}n a 的通项公式；(2)求数列{1a n ·a n+1}的前n 项和T n ，11.设n S 是数列{}n a （*N n ∈）的前n 项和，已知41=a ，n n n S a 31+=+，设n n nS b 3-=.（Ⅰ）证明：数列{}n b 是等比数列，并求数列{}n b 的通项公式； （Ⅱ）令2log 22+-=nn n b nb c ，求数列{}n c 的前n 项和n T .12.已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且满足211=a ，)2(021≥-n S S a n n n ＝＋． 问：数列}1{nS 是否为等差数列？并证明你的结论；13.已知等差数列{a n }的公差大于0，且a 3，a 5是方程214450x x -+=的两根，数列{b n }的前n 项的和为S n ，且S n =12nb - (n ∈N *),C n =n a ·n b 。

证明或判断等差（等比）数列的常用方法湖北省 王卫华玉芳翻看近几年的高考题，有关证明、判断数列是等差（等比）数列的题型比比皆是，如何 处理这些题目呢？且听笔者一一道来.一、利用等差（等比）数列的定义等差（等比）数更最主要的方法•如:记 bn""1"1,2,….1 1 所以｛b n ｝是首项为a ，公比为一的等比数列. 42评析：此题并不知道数列｛b n ｝的通项，先写出几项然后猜测出结论，再用定义证明, 这是常规做法。

1猜想：｛b n ｝是公比为一的等比数列.21 1 证明如下：因为b n^a 2n^V-a 2n 2n 42bn,(nN )在数列{a n }中，若a na n-1（d 为常数）或a na n-1q （ q 为常数），则数列｛a n｝为等差（等比） 数列.这是证明数列｛耳｝为例1 • （2005北京卷）设数列｛a n ｝的首项a1 =:a =丄，且a41-an 2 1|a 」 an 4n 为偶数n 为奇数 所以b 1 （n ）判断数列｛b n ｝是否为等比数列，并证明你的结论.)a ? = a 1 ■—4 =a ；，a 3a ?=-2 : * 1 13 1 a4 = a 3 = a，所以 a5 = 4 2 82 1 1 b 2 = 1 1 =a 1a - 4 *3 一 a 1 4 3 4 2 . J a 」， 4 .4(i)求 a ?, 83 ；解：（i 1a 1 ；2 81 3a 4 一 4a16， 1 4」例2 •（ 2005山东卷）已知数列｛a n｝的首项a i =5 ,前n项和为S n ,且Sn 1 =2S n n •5（T N）（i）证明数列｛a n 1｝是等比数列；（n）略.解：由已知S n .1 =2S n • n • 5(n • N*)可得n _ 2时，& -n • 4两式相减得：S n 1 -S n = 2(S n -S ni) 1，即a n 1 = 2a n • 1，从而a n 1 T = 2(a n 1), 当n =1 时，s2=20 1 5，所以a2 a^2a1 6,又q =5，所以a2=11，从而a2 1 ^2(a1 1).a +1故总有a n「仁2(a n 1), n • N ”，又=5, a1 ^0，从而亠2 .a n +1所以数列｛a n 1｝是等比数列.评析：这是常见题型，由依照含S n的式子再类似写出含S n」的式子，得到a n pa n q 的形式，再利用构造的方法得到所要证明的结论.本题若是先求出通项a n的表达式，则较繁.注意事项：用定义法时常采用的两个式子a n—a n」=d和a n 4 -a n = d有差别，前者必a须加上“ n > 2 ”否则n=1时a0无意义，等比中一样有：n > 2时，有亠才|| = q (常a n」数式0 )；②n w N州时，有(常数=0).二•运用等差或等比中项性质a n■ a n2 - 2a n1 ：= ｛a n｝是等差数列，a n a n2 - a n1(a n0) ：= ｛a n｝是等比数列，这是证明数列｛坯｝为等差(等比)数列的另一种主要方法.例3. (2005江苏卷)设数列｛a n｝的前项为S n，已知a1 =1, a2 = 6, a3 = 11，且(5n -8)S n 1 -(5n 2)S n=An B, n =1,2,3,|,其中A, B 为常数.(1 )求A与B的值；(2)证明数列｛a n｝为等差数列；(3)略.解：(1 )由印=1, a2 =6, a3 =11，得S =1, S2 = 7, S3 = 18 .― A B 二-28, 把n =1,2 分别代入(5n-8)S1-(5n 2)S=An B，得2A• B =-48L解得，A = -20 , B = -8 .(n )由(I )知，5n(S n 1—S n) -8S n 1 —2£ = -20n -8，即又 5(n l)a n 2 -8S 2 -2S n i = -20(n 1) —8 . ②②-①得，5(n 1)a n 2 -5na n彳-8a n 2 -2a n* - -20 ,即(5n -3间2 -(5n 2)a. 1 = -20 . ③又(5n 2)a n 3 -(5n 7)% 2 - -20 . ④④-③得，(5n 2)(a n 3 — 2a. .2 a. .J =0 ,二兔3 — 2a. .2 a. 1 =0 ,…a n 3・一a n 2 = 2・一1 | = a3 —玄2 =5，又玄2 —玄1 =5 ,因此，数列是首项为1,公差为5的等差数列.评析：此题对考生要求较高，通过挖掘S n的意义导出递推关系式，灵活巧妙地构造得到中项性质，这种处理大大简化了计算.例4.(高考题改编)正数数列｛a n｝和｛b n｝满足：对任意自然数n, a n, b n, a n..成等差数列，b n, a n i, b n.成等比数列.证明：数列｛Jb n｝为等差数列.证明：依题意，a n 0, b n 0,2b n =a n •a n 1，且a n d ='••、b n b n 1 ,a n =b n」b n(n > 2).2b n 二.b n」b n b n b n 1 .由此可得2 m=.昭「b n?.即._昭-m - bn -兀(门> 2).数列｛.,0｝为等差数列.5na n i . —8S n i. -2S h = _20n -8 , ①评析：本题依据条件得到an与bn的递推关系，通过消元代换构造了关于 f. bj的等差数列，使问题得以解决.三.运算数学归纳法这种方法关键在于猜想要正确，用数学归纳法证明的步骤要熟练，从“n = k时命题成立”到“ n = k • 1时命题成立”要会过渡.例5 . (2004全国高考题)数列的前n项和记为& ,已知a^1 ,n 亠2 i S Ia* 1 = S n(n =1,2」1().证明：数列-n是等比数列.n L n J证明：由a1 -1, a n 1 =Sn (n - 1,2j H)，知a? ― S = 3a1, —1 = 2 ,1 2 2勺=1，猜测 S n 是首项为1,公比为2的等比数列.1 nS下面用数学归纳法证明：令 b^S n .n（1）当 n =2时，b 2 =2b\，成立.⑵当 n = 3时，S 3 = a 1 a 2 a 3 =13 2(1 3) = 12,0 = 4 = 2b 2，成立. 假设n =k 时命题成立，即b k =2b k 」.c k 2S S + ----------------------- 2那么当 n =k 1 时，b k j =汪1 二 S k ' a k 1 Jk+1 k+1k+1综上知 §n 是首项为1，公比为2的等比数列.I n J例6. （2005浙江卷）设点 代（人,0, P n （X n ,2n 」）和抛物线2 * 1G ： y =x - a n X b n （n ・N ）,其中a . = -2 -4n - ^nJ , X n 由以下方法得到：花=1,点P （x 2,2）在抛物线G 注仝 a 1x b 上，点A （x 1,0）到p 的距离是 A 到G 上点的最短距离，…，点P n 1（X n 1,2"）在抛物线C n ： y = X 2 * a n X * b n 上，点A （绻0）到P n 1的距离是A到C n 上点的最短距离.(1 )求X 2及C 1的方程.(2)证明 {X n } 是等差数列. 解：(I)由题意得：A(1,0), G : y =x 2-7x • d .设点 P(x, y)是 C 1 上任意一点，贝U |AP|「(x-1)2 y 2「(x-1)2 (x 2-7x bj 2 令 f (x) =(x -1) (x -7x bi),则f (x) =2(x -1)2(x -7x bi)(2x _7).由题意：f ，(x 2) =0,即 2( x 2 -1) 2(X 22 -7X 2 bj(2x 2 _7) =0.又 F 2(x 2,2)在 C 1 上，2=x 22-7x 2 d,解得：x 2 =3,3 =14.，故 C 1 方程为 y =x 2 -7x • 14.2& = 2b k ,命题成立.(II)设点P(x, y)是C n上任意一点，则I A n PF ・.(X-X n)2• (X2• a n X • b n)2令g(x) =(x -X n)2(X2a n X b n)2,则g'(x) =2(x -X n) 2(X2a n X b n)(2x a n).由题意得 g '(X n 』=O ，即 2(X n 卑—X n )+2(X nf +a n X n 申 +b n )(2X n 出 +a n )=O 又；"2n =Xn] +anXn 卑 +g ,■ (X n 1 -X n ) 2n (2X nia." 0(n 一 1).即(1 2「1)X ni-X n 2匕=0(* )F 面用数学归纳法证明 x n =2n -1①当n 二1时，X-] =1,等式成立.即当n =k T 时，等式成立.由①②知，等式对 n N 成立..｛x n ｝是等差数列.评析：例5是常规的猜想证明题， 考查学生掌握猜想证明题的基本技能、 掌握数列前n 项和 这个概念、用数学归纳法证明等差数列的方法； 例6是个综合性比较强的题目， 通过求二次 函数的最值得到递推关系式，再直接猜想然后用归纳法证明， 解法显得简洁明了， 如果直接 利用递推关系式找通项，反而不好作.四.反证法解决数学问题的思维过程，一般总是从正面入手，即从已知条件出发， 理和运算，最后得到所要求的结论， 但有时会遇到从正面不易入手的情况， 考虑.如：例7.（2000年全国高考（理））设｛a .｝，b n ｝是公比不相等的两等比数列, 明数列｛C n ｝不是等比数列.证明：设｛a n ｝｛ b n ｝的公比分别为p , q , p = q , c^ a n b n ，为证｛q ｝不是等比数 列只需证 c ；工 G L C 3 .事实上， c 2 =（a i p bq ）2 二a ： p 2 b 2q 2 2aib pq二佝 bOG b ?） = （a 「b ）（4 p 2 dq 2） =aip 2 b ^2q 2 a 1b 1（p 2 q 2）Tp^q, p 2+q 2 >2pq ，又a , b 不为零，二c f ^^Lc 3，故｛cj 不是等比数列.评析：本题主要考查等比数列的概念和基本性质、 推理和运算能力， 对逻辑思维能力有较高要求.要证｛c n ｝不是等比数列，只要由特殊项（如c f =6“）就可否定.一般地讲,否定性的命题常用反证法证明， 其思路充分说明特殊化的思想方法与正难则反的思维策略的②假设当n =k 时，等式成立, 即 x k =2k-1,则当n 二k T 时，由（* ）知 k 山1k(1 2 风 - X • 2 % 兰1又 a k = -2 -4k -2 肓X k 1kX k _ 2 a ^- 厂占=2k 1 .经过一系列的推 这时可从反面去五•看通项与前n项和法若数列通项a能表示成a n= a n・b ( a, b为常数)的形式，则数列是等差数列；右通项a n能表示成a n - cq (c, q均为不为0的常数，n・N ) 的形式，则数列^n? 是等比数列.若数列：a n f的前n项和Sn能表示成& = an2• bn(a,b为常数)的形式，则数列：a n f 等差数列；若S n能表示成S n =Aq n-A(A, q 均为不等于0的常数且1)的形式，则数列是公比不为1的等比数列•这些结论用在选择填空题上可大大节约时间.例8 (2001年全国题)若S n是数列牯」的前n项和，S n = n2,则｛a j是( ).A.等比数列，但不是等差数列 B .等差数列，但不是等比数列C.等差数列，而且也是等比数列D.既非等比数列又非等差数列解析：用到上述方法，一下子就知道答案为B,大大节约了时间，同时大大提高了命中率.六•熟记一些常规结论，有助于解题若数列｛a n｝是公比为q的等比数列，则(1)数列｛a n｝｛ a n｝( ■为不等于零的常数)仍是公比为q的等比数列；(2)若｛b n｝是公比为q ■的等比数列，则数列｛a n Lb n｝是公比为qq ■的等比数列；‘1〕 1(3)数列」丄〉是公比为1的等比数列；冃J q(4)｛a n｝是公比为q的等比数列；(5)在数列｛a n｝中，每隔k(k・N )项取出一项，按原来顺序排列，所得新数列仍为等比数列且公比为q k 1；(6) {a n a n 1}{ a n —an 1}{ a2n4}{ a2n}, g a2 a3, a4 a5 a6, a? p等都是等比数列；(7)若m , n , p(m n, p N )成等差数列时，a m, a. , a p成等比数列；(8)S n , S2n _S n , S3^ _ S2n均不为零时，则S , Sn〜, §3^ S2n成等比数列;(9)若｛log b a n｝是一个等差数列，则正项数列｛a n｝是一个等比数列.若数列｛a n｝是公差为d等差数列，则(1) ｛ka n b｝成等差数列，公差为kd (其中k = 0, k, b是实常数)；(2)｛S(n i)k -S kn｝, ( k • N , k为常数)，仍成等差数列，其公差为k2d ；(3) 若｛a n｝｛ b n｝都是等差数列，公差分别为d i, d2，则｛a n二b n｝是等差数列，公差为d^d2;(4)当数列｛a n｝是各项均为正数的等比数列时，数列｛lg a n｝是公差为lgq的等差数列；(5)m, n, p(m, n, p N )成等差数列时，a m，a n，a p成等差数列.例9.(96年全国高考题)等差数列｛a n｝的前n项和为30,前2n项和为100则它的前3n 项和为( ) A. 130 B. 170 C. 210 D. 260解：由上面的性质得：S n, S zn-S, S3n-S2n成等比数列，故2(S2n - S n) =S n (S3n - S2n),.2(100-30) =3O(S3n -100),S3n =210 .故选c.评析：此题若用其它方法，解决起来要花比较多的时间，对于选择题来说得不断尝试. 记住上面这些结论，在做选择填空题时可大大节约时间，并且能提高命中率.。

等差、等比数列证明的几种情况（最终5篇）第一篇：等差、等比数列证明的几种情况等差、等比数列证明的几种情况在高中数学教材中，对等差，等比数列作了如下的定义：一个数列从第二项起，每一项与前一项的差等于一个常数d，则这个数列叫等差数列，常数d称为等差数列的公差。

一个数列从第二项起，每一项与前一项的比等于一个常数q，则这个数列叫等比数列，常数q称为等比数列的公比。

在涉及到用定义来说明一个数列为等差数列或等比数列时，很多时候往往容易忽略定义的完整性，现举一些例子来加以说明。

1、简单的证明例：已知数列前n项和sn=n2+2n，求通项公式an，并说明这个数列是否为等差数列。

解：n=1时，a1=s1=1+2=3；n≥2时，an=sn-sn-1=n2+2n-[(n-1)2+2(n-1)]=2n+1因为n=1时，a1=2⨯1+1=3所以an=2n+1因为n≥2时，an-an-1=2为常数，所以{an}为等差数列。

2、数列的通项经过适当的变形后的证明例：设数列{an}的前n项的和为Sn，且a1=1,Sn+1=4an+2,(n∈N*)。

（1）设bn=an+1-2an，求证：数列{bn}是等比数列；（2）设cn=an，求证：数列{cn}是等差数列； 2n证明：（1）n≥2时Θan+1=Sn+1-Sn=4an-4an-1，∴an+1-2an=2(an-2an-1)，∴bn=2bn-1又b1=a2-2a1=S2-3a1=a1+2=3∴{bn}是首项为3，公比为2的等比数列。

（2）Θbn=3⨯2n-1,∴an+1-2an=3⨯2n-1,∴cn+1-cn=an+1an113n-1()-=a -2a=⨯3⨯2=, n+1n42n+12n2n+12n+1又c1=a11=，2213∴{cn}是首项为，公差为的等差数列。

243、证明一个数列的部分是等差（等比）数列例3：设数列{an}的前n项的和Sn=n2+2n+4,(n∈N+)，⑴写出这个数列的前三项a1,a2,a3；⑵证明：数列{an}除去首项后所成的数列a2,a3,a4Λ是等差数列。

微专题52 等差等比数列的证明在数列的解答题中，有时第一问会要求证明某个数列是等差等比数列，既考察了学生证明数列的能力，同时也为后面的问题做好铺垫。

一、基础知识：1、如何判断一个数列是等差（或等比）数列 （1）定义法（递推公式）：1n n a a d +-=（等差），1n na q a +=（等比） （2）通项公式：n a kn m =+（等差），()0n n a k q q =⋅≠（等比）（3）前n 项和：2n S An Bn =+（等差），nn S k q k =-（等比）（4）等差（等比）中项：数列从第二项开始，每一项均为前后两项的等差（等比）中项2、如何证明一个数列是等差等比数列： （1）通常利用定义法，寻找到公差（公比）（2）也可利用等差等比中项来进行证明，即n N *∀∈，均有：122n n n a a a ++=+ （等差） 212n n n a a a ++=⋅ （等比）二、典型例题：例1：已知数列{}n a 的首项1133,,521nn n a a a n N a *+==∈+． 求证：数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列 思路一：构造法，按照所给的形式对已知递推公式进行构造，观察发现所证的数列存在1na 这样的倒数，所以考虑递推公式两边同取倒数：113121213n n n n n na a a a a a +++=⇒=+即112133n n a a +=+，在考虑构造“1-”：112111111333n n n a a a +⎛⎫-=+-=- ⎪⎝⎭即数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是公比为13的等比数列思路二：代入法：将所证数列视为一个整体，用n b 表示：11n nb a =-，则只需证明{}n b 是等比数列即可，那么需要关于n b 的条件（首项，递推公式），所以用n b 将n a 表示出来，并代换到n a 的递推公式中，进而可从n b 的递推公式出发，进行证明 解：令11n n b a =-，则11n n a b =+ ∴ 递推公式变为：11311311113211n n n n n b b b b b +++=⇒=+++⋅++1113333n n n n b b b b ++⇒+=+⇒={}n b ∴是公比为13的等比数列。

微专题52 等差等比数列的证明在数列的解答题中，有时第一问会要求证明某个数列是等差等比数列，既考察了学生证明数列的能力，同时也为后面的问题做好铺垫。

一、基础知识：1、如何判断一个数列是等差（或等比）数列 （1）定义法（递推公式）：1n n a a d +-=（等差），1n na q a +=（等比） （2）通项公式：n a kn m =+（等差），()0n n a k q q =⋅≠（等比）（3）前n 项和：2n S An Bn =+（等差），n n S kq k =-（等比）（4）等差（等比）中项：数列从第二项开始，每一项均为前后两项的等差（等比）中项 2、如何证明一个数列是等差等比数列： （1）通常利用定义法，寻找到公差（公比）（2）也可利用等差等比中项来进行证明，即n N *∀∈，均有：122n n n a a a ++=+ （等差） 212n n n a a a ++=⋅ （等比）二、典型例题：例1：已知数列{}n a 的首项1133,,521nn n a a a n N a *+==∈+． 求证：数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列 思路一：构造法，按照所给的形式对已知递推公式进行构造，观察发现所证的数列存在1na 这样的倒数，所以考虑递推公式两边同取倒数：113121213n n n n n na a a a a a +++=⇒=+即112133n n a a +=+，在考虑构造“1-”：112111111333n n n a a a +⎛⎫-=+-=- ⎪⎝⎭即数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是公比为13的等比数列思路二：代入法：将所证数列视为一个整体，用n b 表示：11n nb a =-，则只需证明{}n b 是等比数列即可，那么需要关于n b 的条件（首项，递推公式），所以用n b 将n a 表示出来，并代换到n a 的递推公式中，进而可从n b 的递推公式出发，进行证明 解：令11n n b a =-，则11n n a b =+ ∴ 递推公式变为：11311311113211n n n n n b b b b b +++=⇒=+++⋅++1113333n n n n b b b b ++⇒+=+⇒={}n b ∴是公比为13的等比数列。