2018年重庆市綦江区高三上学期期中数学试卷含解析答案(理科)

2018-2019学年重庆一中高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60分）1.已知集合，0，，则A. B. C. 0， D. 0，1，【答案】D【解析】【分析】利用列举法表示集合A，再由并集运算得答案．【详解】∵A={x|﹣1＜x≤2，x∈Z}={0，1，2}，B={﹣1，0，1}，∴A∪B={﹣1，0，1，2}．故选：D．【点睛】本题考查并集及其运算，是基础的计算题．2.等比数列中，若，则（）A. 6B.C. 12D. 18【答案】A【解析】【分析】根据等比数列可知，，所以，故可求出.【详解】因为，所以，故，所以选A.【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式，属于中档题.3.计算的结果是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用诱导公式及二倍角公式计算即可.【详解】因为，故选B.【点睛】本题主要考查了诱导公式及二倍角公式，属于中档题.4.下列函数为奇函数的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据奇函数的定义逐项检验即可.【详解】A选项中故不是奇函数，B选项中故不是奇函数, C选项中故不是奇函数, D选项中，是奇函数，故选D.【点睛】本题主要考查了奇函数的判定，属于中档题.5.已知非零向量的夹角为，且则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据数量积的性质，，展开计算即可.【详解】因为，所以选B.【点睛】本题主要考查了数量积的运算性质，属于中档题.6.已知实数x，y满足约束条件，则的最小值为A. 1B.C.D.【答案】C【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，即可得到结论．【详解】作出不等式组对应的平面区域如图：由z=2x﹣y得y=2x﹣z，平移直线y=2x﹣z，由图象可知当直线y=2x﹣z经过点（0，2）时，直线的截距最大，此时z最小，此时z=﹣0﹣2=﹣2，故选：C．【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键．7.已知圆的半径为2，圆心在轴的正半轴上，直线与圆相切，则圆的方程为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】设圆心 ,则 ,因此圆的方程为即,选D.8.过抛物线的焦点作斜率为的直线，与抛物线在第一象限内交于点，若，则（）A. 4B. 2C. 1D.【答案】B【解析】【分析】设A，根据抛物线的定义知，又，联立即可求出p.【详解】设A，根据抛物线的定义知,又，联立解得，故选B.【点睛】本题主要考查了抛物线的定义及斜率公式，属于中档题.9.已知双曲线过点且其渐近线方程为，的顶点恰为的两焦点，顶点在上且，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据双曲线的渐近线方程可设双曲线方程为，由过点，可得双曲线方程，利用正弦定理可知,根据双曲线方程即可求出.【详解】设双曲线方程为，因为过点，代入得，即双曲线方程为，故，由正弦定理可知，故选A.【点睛】本题主要考查了双曲线的方程和简单性质以及正弦定理，属于中档题.10.若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】令得出，在同一坐标系内画出和，利用图象求出曲线过原点的切线方程，即可求出.【详解】函数，其中，令得出，在同一坐标系内画出和的图象，如图所示：设曲线上点，则，所以过点P的切线方程为，因为直线过原点，所以，解得，所以切线斜率为，所以实数的取值范围是，故选C. 【点睛】本题主要考查了函数零点的应用问题，也考查了直线与对数函数图象交点的应用问题，属于中档题.11.巳知数列的前n项和为，首项，且满足，则等于A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】直接利用递推关系式和猜想法求出数列的通项公式，最后利用数学归纳法进行证明，进一步求出结果．【详解】数列{a n}的前n项和为S n，满足S n+（n≥2），则：，所以：，，当n=2时，=﹣，当n=3时，，…猜想：，下面用数学归纳法来证明：①当n=1时，，②当n=k时，，则当n=k+1时，=﹣=﹣，综上所述：．所以：．故选：D．【点睛】本题考查的知识要点：利用递推关系式求出数列的通项公式，数学归纳法的应用．12.已知双曲线的右顶点为，为坐标原点，以为圆心的圆与双曲线的某渐近线交于两点，，若，且，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：因为且，所以为等边三角形，设，则，渐近线方程为，，取的中点，则，由勾股定理可得，所以①，在中，，所以②，①②结合，可得．故选：A．考点：双曲线的简单性质.二、填空题（本大题共4小题，共20分）13.函数在点处的切线方程为______；【答案】【解析】【分析】根据题意，由函数的解析式计算f（﹣1）的值，即可得切点坐标，进而求出函数的导数，求出f′（﹣1）的值，即可得切线的斜率，由直线的点斜式方程计算可得答案．【详解】根据题意，f（x）=ln（x+2），则f（﹣1）=ln1=0，即切点的坐标为（﹣1，0），又由f′（x）=，则k=f′（﹣1）=1，则切线的方程为：y=1×（x+1），即y=x+1，故答案为：y=x+1．【点睛】本题考查利用导数计算切线的方程，关键掌握导数的几何意义，属于基础题．14.若x，，且，则的最小值为______；【答案】8【解析】【分析】由题意可得+=（+）（x+2y），展开利用基本不等式可得最小值．【详解】∵x＞0，y＞0，且x+2y=1，求∴+=（+）（x+2y）=4++≥3+2=4+4=8当且仅当，并且x+2y=1即x=且y=时取等号，∴+的最小值为8．【点睛】本题考查基本不等式求最值，“1”的代换是解决问题的关键，属基础题．15.已知，是椭圆的左、右焦点，P为椭圆上一点且满足，则的值为______．【答案】36【解析】【分析】根据椭圆的定义知,,再由余弦定理可得，即可解出.【详解】由椭圆定义可知，且，根据余弦定理得：，所以解得，故填36.【点睛】本题主要考查了椭圆的定义，椭圆方程，余弦定理，属于中档题.16.已知函数满足，且对任意恒有，则_________．【答案】【解析】【分析】根据可归纳出函数为周期函数，利用周期函数的性质求解即可. 【详解】令,可得，所以令，可得，所以令，可得，所以令，可得，所以令，可得，所以令，可得，所以令，所以故函数是6为周期的周期函数所以，.【点睛】本题主要考查了抽象函数的周期性，属于中档题.三、解答题（本大题共7小题，共82分）17.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．证明：a，c，b成等比数列若，且，求的周长【答案】（1）见解析（2）9【解析】【分析】（1）直接利用三角函数关系式的恒等变变换和正弦定理求出结果．（2）利用三角函数关系式的变换和余弦定理求出结果．【详解】证明：由正弦定理得：且．整理得：，所以：，所以：，由正弦定理得：，故：a，c，b成等比数列．由，所以：，所以：，解得：．由余弦定理得：，由于：．故：．于是得：，解得：．所以的周长为．【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，正弦定理和余弦定理及三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．18.如图1，在直角中，，，，D，E分别为AC，BD的中点，连结AE并延长交BC于点F，将沿BD折起，使平面平面BCD，如图2所示．Ⅰ求证：；Ⅱ求四棱锥的体积．【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（Ⅰ）利用折叠问题的应用，根据面面垂直转换为线面垂直，进一步求出线线垂直．（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论，进一步利用锥体的体积公式求出结果．【详解】Ⅰ如图所示：证明：由条件可知，E为BD的中点，所以：，又面面BDC，面面，且面ABD，所以：面BCD，又因为平面BCD，所以：．由题给数据知，为等边三角形，E为BD的中点，因此中，，，，因此，，由知面BCD，所以，．【点睛】本题考查的知识要点：相面垂直和面面垂直之间的转换，锥体的体积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．19.已知数列满足，数列满足，且.（Ⅰ）求及；（Ⅱ）令，求数列的前项和．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据题意判断等差数列，等比数列，联立方程即可求解（2）根据数列通项公式，可用错位相减法求和即可.【详解】（1）由题意可得为等差数列，为等比数列，设的公差为，则由题意可得：于是，而，（2）由题意：，由错位相减法，得：两式相减，得：于是：【点睛】本题主要考查了等差数列，等比数列的定义及通项公式，错位相减法求和，属于中档题.20.已知椭圆的左、右焦点分别为，且为抛物线的焦点，的准线被椭圆和圆截得的弦长分别为和.（Ⅰ）求和的方程；（Ⅱ）已知动直线与抛物线相切（切点异于原点），且与椭圆相交于两点，若椭圆上存在点，使得，求实数的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】【分析】（1）根据题意，，即可求出方程（2）设出直线，联立直线与椭圆、抛物线方程，运用韦达定理及向量运算即可求解.【详解】（1）由题得，故（2）由题知存在斜率且不为0，设联立，因为与相切，故联立，两根为，所以，又，因此由，由韦达定理，代入计算得而点在椭圆上，即，代入得令，则【点睛】本题主要考查了椭圆、抛物线的方程的求法，考查存在性问题的处理方法，注意运用联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，属于中档题.21.已知函数．求的单调区间；Ⅱ证明：其中e是自然对数的底数，．【答案】（1）的单调递减区间为或，无递增区间；（2）见解析【解析】【分析】（Ⅰ）定义域是，．令．则对与0的大小，分类讨论，即可得出的最值，再与0比较大小得出单调性．（Ⅱ）即，，分和2种情况研究新构造函数的单调性，即可得出．【详解】Ⅰ根据题意，函数，其定义域为；其导数，令，则，分析可得：在上，，为增函数，在上，，为减函数；则，则有，即函数在其定义域上为减函数，则的单调递减区间为或，无递增区间；Ⅱ证明：即，；分2种情况：，时，，令，则，令，则，，，，故在上单调递增，故，故在上单调递增，于是，所以，所以在上单调递增，因此，时，，即，下面证明时的情况：令，，故在上单调递增，于是时，，即，，令，则，故在上单调递增，故时，，即，．综上所述：．【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、证明不等式的方法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．22.在直角坐标系中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为，直线l的参数方程为：为参数，点A的极坐标为，设直线l与曲线C相交于P，Q两点．Ⅰ写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；Ⅱ求的值．【答案】（1），（2）1【解析】【分析】（Ⅰ）利用极坐标与直角坐标互化直接写出曲线C的直角坐标方程，消去参数即可得到直线l的普通方程；（Ⅱ）点A的直角坐标为（3，），设点P，Q对应的参数分别为t1，t2，点P，Q的极坐标分别为（），（）．将（t为参数）与（x﹣2）2+y2=3联立，得：t1t2=1，|AP||AQ|=1，转化求解|AP|•|AQ|•|OP|•|OQ|的值．【详解】Ⅰ曲线C的直角坐标方程为：，即，直线l的普通方程为Ⅱ点A的直角坐标为，设点P，Q对应的参数分别为，，点P，Q的极坐标分别为，将为参数与联立得：，由韦达定理得：，将直线的极坐标方程与圆的极坐标方程联立得：，由韦达定理得：，即所以，【点睛】本题考查极坐标与参数方程与直角坐标方程的互化，考查转化思想以及计算能力．23.已知函数．（Ⅰ）解不等式；（Ⅱ）记函数的最大值为，若，证明：．【答案】(1) 解集为;(2)见解析.【解析】【分析】（1）去绝对值号转化为分段函数即可求解（2）由（1）知，根据，构造后利用均值不等式即可.【详解】（1），易得的解集为.（2）由（1）知，于是因为，移项即得证.【点睛】本题主要考查了含绝对值不等式的解法，均值不等式在证明中的应用，属于中档题.。

2018-2019学年重庆市第一中学高二上学期期中考试数学（理）试题数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、单选题1．已知抛物线方程，则该抛物线的焦点坐标是A．B．C．D．2．双曲线的渐近线方程为A．B．C．D．3．设是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的是A．若，，则B．若，则C．若，，则D．若,，，则4．已知某圆锥的母线长为4，底面圆的半径为2，则圆锥的全面积为A．B．C．D．5．椭圆上的点到直线的最大距离是A．3 B．C．D．6．已知三棱锥，过点作面为中的一点，，，则点为的A．内心B．外心C．重心D．垂心7．已知是以为焦点的双曲线上的动点，则的重心的轨迹方程为A．B．C．D．8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为A ．B ．C ．D ．9．如图，在三棱锥中，平面平面为等边三角形， 其中分别为的中点，则三棱锥的体积为A ．B ．C ．D ．10．已知抛物线的方程为，过点和点的直线与抛物线没有公共点，则实数取值范围是 A ． B ． C ． D ．11．已知点，若圆上存在点(不同于)，使得，则实数的取值范围是 A ． B ． C ． D ．12．如图在正方体1111ABCD A B C D -中，点O 为线段BD 的中点. 设点P 在线段1CC 上，直线OP 与平面1A BD 所成的角为α，则sin α的取值范围是A ．⎤⎥⎣⎦B ．⎤⎥⎣⎦C ．⎣⎦D ．⎤⎥⎣⎦二、解答题13．已知数列满足：，且对任意的，都有成等差数列. （1）证明数列是等比数列，并求数列的通项公式； （2）求数列的前项和.14．在直三棱柱中， ,点是的中点.（1）求证：平面；（2）求异面直线与所成角的余弦值．15．设分别为椭圆的左、右焦点，过的直线与椭圆相交于两点，直线的倾斜角为，到直线的距离为. (1)求椭圆的焦距； (2)如果，求椭圆的方程16．在直三棱柱中，分别是线段 的中点，过线段的中点作的平行线，分别交于点．（1）证明：平面平面； （2）求二面角的余弦值．17．如图，椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>， x 轴被曲线22:C y x b =-截得的线段长等于1C 的长半轴长。

高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一个是正确的）1．过点P（﹣2，m）和Q（m，4）的直线斜率等于1，那么m的值等于（）A．1或3 B．4 C．1 D．1或42．过点（﹣1，2）且与直线2x﹣3y+4=0垂直的直线方程为（）A．3x+2y﹣1=0 B．3x+2y+7=0 C．2x﹣3y+5=0 D．2x﹣3y+8=03．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+y的最小值为（）A．9 B．4 C．3 D．24．两个圆C1：x2+y2+2x+y﹣2=0与C2=x2+y2﹣4x﹣2y+4=0的公切线有且仅有（）A．1条B．2条 C．3条 D．4条5．将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为A．B． C． D．6．已知圆C：x2+y2+mx﹣4=0上存在两点关于直线x﹣y+3=0对称，则实数m的值（）A．8 B．﹣4 C．6 D．无法确定7．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别是AA1和CC1的中点，则异面直线B1E与BF所成的角的余弦值为（）A．B．C．D．8．经过点M（2，2）且在两轴上截距相等的直线是（）A．x+y=4 B．x+y=2 C．x=2或y=2 D．x+y=4或x=y9．下列说法正确的是（ ）A ．若直线a 与平面α内无数条直线平行，则a ∥αB ．经过两条异面直线中的一条，有一个平面与另一条直线平行C ．平行于同一平面的两条直线平行D ．直线a ，b 共面，直线a ，c 共面，则直线b ，c 共面10．已知点P （a ，b ）（ab ≠0）是圆x 2+y 2=r 2内的一点，直线m 是以P 为中点的弦所在直线，直线l 的方程为ax +by=r 2，那么（ ）A ．m ∥l ，且l 与圆相交B ．m ⊥l ，且l 与圆相切C ．m ∥l ，且l 与圆相离D ．m ⊥l ，且l 与圆相离11．若直线l 过点A （0，a ），斜率为1，圆x 2+y 2=4上恰有1个点到l 的距离为1，则a 的值为（ ）A ．3B ．±3C ．±2D ．±12．在R 上定义运算⊗：x ⊗y=x （1﹣y ），若存在x 1，x 2（x 1≠x 2）使得1⊗（2k ﹣3﹣kx ）=1+成立，则实数k 的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填在答卷相应的横线上）13．已知直线l 1：ax +y +2=0，l 2：3x ﹣y ﹣1=0，若l 1∥l 2则a= ．14．过点（3，1）作圆（x ﹣2）2+（y ﹣2）2=4的弦，其中最短的弦长为 ． 15．某几何体的三视图如图所示，它的体积为 ．16．设集合，B={（x ，y ）|2m ≤x +y ≤2m +1，x ，y ∈R }，若A ∩B ≠∅，则实数m 的取值范围是 ．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知△ABC的三个顶点分别为A（1，2），B（﹣3，4），C（2，﹣6），求：（1）边BC的垂直平分线的方程；（2）AC边上的中线BD所在的直线方程．18．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：（1）B，C，H，G四点共面；（2）平面EFA1∥平面BCHG．19．已知方程x2+y2﹣2mx﹣4y+5m=0的曲线是圆C（1）求m的取值范围；（2）当m=﹣2时，求圆C截直线l：2x﹣y+1=0所得弦长．20．直棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是直角梯形，∠BAD=∠ADC=90°，AB=2AD=2CD=2．P为A1B1的中点（1）求证：DP∥平面ACB1．（2）求证：平面DPD1∥平面CBB1．21．已知圆C的方程为：x2+y2﹣4x+3=0．直线l的方程为2x﹣y=0，点P在直线l上（1）若Q（x，y）在圆C上，求的范围；（2）若过点P作圆C的切线PA，PB切点为A，B．求证：经过P，A，C，B四点的圆必过定点．22．如图，已知定圆C：x2+（y﹣3）2=4，定直线m：x+3y+6=0，过A（﹣1，0）的一条动直线l与直线相交于N，与圆C相交于P，Q两点，M是PQ中点．（Ⅰ）当l与m垂直时，求证：l过圆心C；（Ⅱ）当时，求直线l的方程；（Ⅲ）设t=，试问t是否为定值，若为定值，请求出t的值；若不为定值，请说明理由．参考答案与试题解析一、选择题（本题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一个是正确的）1．过点P（﹣2，m）和Q（m，4）的直线斜率等于1，那么m的值等于（）A．1或3 B．4 C．1 D．1或4【考点】直线的斜率．【分析】利用直线的斜率公式求解．【解答】解：∵过点P（﹣2，m）和Q（m，4）的直线斜率等于1，∴k==1，解得m=1．故选：C．2．过点（﹣1，2）且与直线2x﹣3y+4=0垂直的直线方程为（）A．3x+2y﹣1=0 B．3x+2y+7=0 C．2x﹣3y+5=0 D．2x﹣3y+8=0【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．【分析】根据与已知直线垂直的直线系方程可设与直线2x﹣3y+4=0垂直的直线方程为﹣3x﹣2y+c=0，再把点（﹣1，2）代入，即可求出c值，得到所求方程．【解答】解：∵所求直线方程与直线2x﹣3y+4=0垂直，∴设方程为﹣3x﹣2y+c=0 ∵直线过点（﹣1，2），∴﹣3×（﹣1）﹣2×2+c=0∴c=1∴所求直线方程为3x+2y﹣1=0．故选：A．3．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+y的最小值为（）A．9 B．4 C．3 D．2【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得：C（1，1），化目标函数z=2x+y为y=﹣2x+z，由图可知，当直线y=﹣2x+z过点C（1，1）时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值等于2×1+1=3．故选：C．4．两个圆C1：x2+y2+2x+y﹣2=0与C2=x2+y2﹣4x﹣2y+4=0的公切线有且仅有（）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条【考点】两圆的公切线条数及方程的确定．【分析】先求两圆的圆心和半径，判定两圆的位置关系，即可判定公切线的条数．【解答】解：两圆的圆心分别是（﹣1，﹣），（2，1），半径分别是，1；两圆圆心距离：=＞，说明两圆相离，因而公切线有四条．故选：D．5．将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为（）A．B． C． D．【考点】简单空间图形的三视图．【分析】根据三视图的特点，知道左视图从图形的左边向右边看，看到一个正方形的面，在面上有一条对角线，对角线是由左下角都右上角的线，得到结果．【解答】解：被截去的四棱锥的三条可见棱中，在两条为长方体的两条对角线，它们在右侧面上的投影与右侧面（长方形）的两条边重合，另一条为体对角线，它在右侧面上的投影与右侧面的对角线重合，对照各图，只有D符合．故选D．6．已知圆C：x2+y2+mx﹣4=0上存在两点关于直线x﹣y+3=0对称，则实数m的值（）A．8 B．﹣4 C．6 D．无法确定【考点】直线和圆的方程的应用；恒过定点的直线．【分析】因为圆上两点A、B关于直线x﹣y+3=0对称，所以直线x﹣y+3=0过圆心（﹣，0），由此可求出m的值．【解答】解：因为圆上两点A、B关于直线x﹣y+3=0对称，所以直线x﹣y+3=0过圆心（﹣，0），从而﹣+3=0，即m=6．故选C．7．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别是AA1和CC1的中点，则异面直线B1E与BF所成的角的余弦值为（）A．B．C．D．【考点】异面直线及其所成的角．【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线B1E与BF所成的角的余弦值．【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为2，又E、F分别是AA1和CC1的中点，∴B1（2，2，2），E（2，0，1），B（2，2，0），F（0，2，1），=（0，﹣2，﹣1），=（﹣2，0，1），设异面直线B1E与BF所成的角为θ，则cosθ===，∴异面直线B1E与BF所成的角的余弦值为．故选：A．8．经过点M（2，2）且在两轴上截距相等的直线是（）A．x+y=4 B．x+y=2 C．x=2或y=2 D．x+y=4或x=y【考点】直线的截距式方程．【分析】直线在坐标轴上的截距为零时，直线过原点，用两点式求得直线方程；，当直线在坐标轴上的截距不为零时，设方程为x+y=k，把点M（2，2）代入，求得k=4，可得直线方程，综合可得结论．【解答】解：当直线在坐标轴上的截距为零时，直线过原点，方程为=，即x=y．当直线在坐标轴上的截距不为零时，设方程为x+y=k，把点M（2，2）代入可得2+2=k，求得k=4，可得直线方程为x+y=4．故选：D．9．下列说法正确的是（）A．若直线a与平面α内无数条直线平行，则a∥αB．经过两条异面直线中的一条，有一个平面与另一条直线平行C．平行于同一平面的两条直线平行D．直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面【考点】命题的真假判断与应用．【分析】A，若直线a与平面α内无数条直线平行，则可能a⊂α；B．平移其中一条异面直线使两异面直线相交两条异面直线可确定一个平面，而这条直线与平面中的一条直线平行；C，行于同一平面的两条直线位置关系不能确定；D，直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c可能是异面直线；【解答】解：对于A，若直线a与平面α内无数条直线平行，则可能a⊂α，故错；对于B．平移其中一条异面直线使两异面直线相交两条异面直线可确定一个平面，而这条直线与平面中的一条直线平行，故正确；对于C，平行于于同一平面的两条直线位置关系不能确定，故错；对于D，直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c可能是异面直线，故错；故选：B10．已知点P（a，b）（ab≠0）是圆x2+y2=r2内的一点，直线m是以P为中点的弦所在直线，直线l的方程为ax+by=r2，那么（）A．m∥l，且l与圆相交B．m⊥l，且l与圆相切C．m∥l，且l与圆相离 D．m⊥l，且l与圆相离【考点】直线与圆的位置关系．【分析】由P在圆内，得到P到圆心距离小于半径，利用两点间的距离公式列出不等式a2+b2＜r2，由直线m是以P为中点的弦所在直线，利用垂径定理得到直线OP与直线m垂直，根据直线OP的斜率求出直线m的斜率，再表示出直线l的斜率，发现直线m与l斜率相同，可得出两直线平行，利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线l的距离，利用得出的不等式变形判断出d大于r，即可确定出直线l与圆相离．【解答】解：∵点P（a，b）（ab≠0）在圆内，∴a2+b2＜r2，∵k OP=，直线OP⊥直线m，∴k m=﹣，∵直线l的斜率k l=﹣=k m，∴m∥l，∵圆心O到直线l的距离d=＞=r，∴l与圆相离．故选C．11．若直线l过点A（0，a），斜率为1，圆x2+y2=4上恰有1个点到l的距离为1，则a的值为（）A．3 B．±3C．±2 D．±【考点】直线与圆的位置关系．【分析】由题意可得，圆心（0，0）到直线l的距离等于半径加1，即圆心（0，0）到直线l的距离等于3，再利用点到直线的距离公式求得a的值．【解答】解：由题意可得，直线l的方程为y=x+a，即x﹣y+a=0．圆x2+y2=4上恰有1个点到l的距离为1，可得圆心（0，0）到直线l的距离等于半径加1，即圆心（0，0）到直线l的距离等于3，故有=3，求得a=，故选：B．12．在R上定义运算⊗：x⊗y=x（1﹣y），若存在x1，x2（x1≠x2）使得1⊗（2k﹣3﹣kx）=1+成立，则实数k的取值范围为（）A．B．C．D．【考点】函数与方程的综合运用．【分析】根据运算⊗：x⊗y=x（1﹣y），把存在x1，x2（x1≠x2）使得1﹣2k+3+kx=1+成立，转化为y=k（x﹣2）+3与y=有两个不同的交点，即可求得结果．【解答】解：∵x⊗y=x（1﹣y），若存在x1，x2（x1≠x2）使得1⊗（2k﹣3﹣kx）=1+成立，则1﹣2k+3+kx=1+，即存在x1，x2（x1≠x2）使得k（x﹣2）+3=成立∴y=k（x﹣2）+3与y=有两个不同的交点，y=k（x﹣2）+3与y=相切时，可得k=，过（﹣2，0）时，可得k=∴实数k的取值范围为＜k≤．故选B．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填在答卷相应的横线上）13．已知直线l1：ax+y+2=0，l2：3x﹣y﹣1=0，若l1∥l2则a=﹣3．【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【分析】由﹣a﹣3=0，解得a，再验证即可得出．【解答】解：由﹣a﹣3=0，解得a=﹣3．经过验证满足l1∥l2．故答案为：﹣3．14．过点（3，1）作圆（x﹣2）2+（y﹣2）2=4的弦，其中最短的弦长为2．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】由圆的方程找出圆心与半径，判断得到（3，1）在圆内，过此点最短的弦即为与过此点直径垂直的弦，利用垂径定理及勾股定理即可求出．【解答】解：根据题意得：圆心（2，2），半径r=2，∵=＜2，∴（3，1）在圆内，∵圆心到此点的距离d=，r=2，∴最短的弦长为2=2．故答案为：215．某几何体的三视图如图所示，它的体积为30π．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】先根据三视图判断几何体为半球与圆锥的组合体，再根据球与圆锥的体积公式计算即可．【解答】解：根据几何体的三视图，几何体为一圆锥与一半球的组合体．半球的半径R=3，∴，V 球=πR 3=×27π=18π；圆锥的高h==4，∴V 圆锥=πR 2h=×9×4π=12π； ∴V=V 半球+V 圆锥=30π． 故答案是30π16．设集合，B={（x ，y ）|2m ≤x +y≤2m +1，x ，y ∈R }，若A ∩B ≠∅，则实数m 的取值范围是 [，2+] ．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】根据题意可把问题转换为圆与直线有交点，即圆心到直线的距离小于或等于半径，进而联立不等式组求得m 的范围． 【解答】解：依题意可知，若A ∩B ≠∅，则A ≠∅，必有，解可得m ≤0或m ≥，此时集合A 表示圆环内点的集合或点（2，0），集合B 表示与x +y=0平行的一系列直线的集合，要使两集合不为空集，需至少一条直线与圆有交点或点在某一条直线上，①m=0时，A={（2，0）}，B={（x ，y ）|0≤x +y ≤1}，此时A ∩B=∅，不合题意；②当m ＜0时，有||＜﹣m 或||＜﹣m ；则有﹣m ＞﹣m ，或﹣m ＞﹣m ，又由m ＜0，则（﹣1）m ＜，可得A ∩B=∅，不合题意；③当m ≥时，有||≤m 或||≤m ，解可得：2﹣≤m ≤2+，1﹣≤m ≤1+，又由m ≥，则m 的范围是[，2+]；综合可得m 的范围是[，2+]；故答案为[，2+]．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知△ABC 的三个顶点分别为A （1，2），B （﹣3，4），C （2，﹣6），求： （1）边BC 的垂直平分线的方程； （2）AC 边上的中线BD 所在的直线方程． 【考点】直线的一般式方程．【分析】（1）利用中点坐标公式、和斜率公式，利用斜截式即可得出． （2）利用中点坐标公式和两点式的关系即可得出． 【解答】解：（1）∵A （1，2），B （﹣3，4），C （2，﹣6），∴k BC ==﹣2，∴边BC 的垂直平分线的方程的斜率为，BC 边的中点的坐标为（，），即为（﹣，﹣1），∴边BC 的垂直平分线的方程为y +1=（x +），即为2x ﹣4y ﹣3=0，（2）AC 边上的中点D 的坐标为（，），即为（，﹣2），∴AC边上的中线BD所在的直线方程为=，即为4x+3y=0．18．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：（1）B，C，H，G四点共面；（2）平面EFA1∥平面BCHG．【考点】平面与平面平行的判定．【分析】（1）利用三角形中位线的性质，证明GH∥B1C1，从而可得GH∥BC，即可证明B，C，H，G四点共面；（2）证明平面EFA1中有两条直线A1E、EF分别与平面BCHG中的两条直线BG、BC平行，即可得到平面EFA1∥平面BCHG．【解答】证明：（1）∵G、H分别为A1B1，A1C1中点，∴GH∥B1C1，∵三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC∥B1C1，∴GH∥BC∴B、C、H、G四点共面；（2）∵E、F分别为AB、AC中点，∴EF∥BC∴EF∥BC∥B1C1∥GH又∵E、G分别为三棱柱侧面平行四边形AA1B1B对边AB、A1B1中点，∴四边形A1EBG为平行四边形，A1E∥BG∴平面EFA1中有两条直线A1E、EF分别与平面BCHG中的两条直线BG、BC平行∴平面EFA1∥平面BCHG．19．已知方程x2+y2﹣2mx﹣4y+5m=0的曲线是圆C（1）求m的取值范围；（2）当m=﹣2时，求圆C截直线l：2x﹣y+1=0所得弦长．【考点】直线与圆相交的性质；二元二次方程表示圆的条件．【分析】（1）化简方程为圆的标准形式，然后求解m的取值范围；（2）当m=﹣2时，求出圆的圆心与半径利用圆心到直线的距离，半径，半弦长满足的勾股定理，求圆C截直线l：2x﹣y+1=0所得弦长．【解答】解：（1）（x﹣m）2+（y﹣2）2=m2﹣5m+4，方程x2+y2﹣2mx﹣4y+5m=0的曲线是圆，∴m2﹣5m+4＞0．m＜1或m＞4．（2）设m=﹣2时，圆心C（﹣2，2），半径，圆心到直线的距离为，圆C截直线l：2x﹣y+1=0所得弦长为：．20．直棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是直角梯形，∠BAD=∠ADC=90°，AB=2AD=2CD=2．P为A1B1的中点（1）求证：DP∥平面ACB1．（2）求证：平面DPD1∥平面CBB1．【考点】平面与平面平行的判定；平面与平面平行的性质．【分析】（1）推导出四边形DCB1P是平行四边形，从而DP∥B1C，由此能证明DP∥平面ACB1．（2）推导出DP∥B1C，DD1∥BB1，由此能证明平面DPD1∥平面CBB1．【解答】证明：（1）∵直棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是直角梯形，∠BAD=∠ADC=90°，AB=2AD=2CD=2．P为A1B1的中点∴CD PB1，∴四边形DCB1P是平行四边形，∴DP∥B1C，∵DP⊄平面ACB1，B1C⊂平面ACB1．∴DP∥平面ACB1．（2）由（1）知DP∥B1C，∵直棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，∴由直棱柱性质得DD1∥BB1，∵DD1∩DP=D，B1C∩BB1=B，DD1，DP⊂平面DD1P，B1C，BB1⊂平面CBB1，∴平面DPD1∥平面CBB1．21．已知圆C的方程为：x2+y2﹣4x+3=0．直线l的方程为2x﹣y=0，点P在直线l上（1）若Q（x，y）在圆C上，求的范围；（2）若过点P作圆C的切线PA，PB切点为A，B．求证：经过P，A，C，B四点的圆必过定点．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（1）求得圆的标准方程，写出参数方程，代入k=根据辅助角公式，由正弦函数的性质，即可求得k的范围；（2）由题意求得经过点P，A，C，B四点的圆的圆心坐标为（，t），求得圆的方程，将点代入圆方程恒成立则经过P，A，C，B四点的圆必过定点．．【解答】解：（1）由圆的标准方程：（x﹣2）2+y2=1，由Q（x，y）在圆C上，则x=2+cosθ，y=sinθ，则k==，sinθ﹣kcosθ=2k﹣3，则sin（θ+φ）=2k﹣3，则≥丨2k﹣3丨，解得：≤k≤，∴的范围[，]；（2）证明：由点P在直线2x﹣y=0，则P（t，2t），经过点P，A，C，B四点的圆就是以PC为直径的圆，则圆C的圆心C（2，0），经过点P，A，C，B四点的圆的圆心坐标为（，t），半径为=，则圆的方程为（x﹣）2+（y﹣t）2=，把点的坐标代入圆方程，可知该方程恒成立，则经过点P，A，C，B四点的圆必定过圆，∴经过P，A，C，B四点的圆必过定点．22．如图，已知定圆C：x2+（y﹣3）2=4，定直线m：x+3y+6=0，过A（﹣1，0）的一条动直线l与直线相交于N，与圆C相交于P，Q两点，M是PQ中点．（Ⅰ）当l与m垂直时，求证：l过圆心C；（Ⅱ）当时，求直线l的方程；（Ⅲ）设t=，试问t是否为定值，若为定值，请求出t的值；若不为定值，请说明理由．【考点】直线与圆的位置关系；平面向量数量积的运算；直线的一般式方程．【分析】（Ⅰ）根据已知，容易写出直线l的方程为y=3（x+1）．将圆心C（0，3）代入方程易知l过圆心C．（Ⅱ）过A（﹣1，0）的一条动直线l．应当分为斜率存在和不存在两种情况；当直线l与x轴垂直时，进行验证．当直线与x轴不垂直时，设直线l的方程为y=k（x+1），由于弦长，利用垂径定理，则圆心C到弦的距离|CM|=1．从而解得斜率K来得出直线l的方程为．（Ⅲ）同样，当l与x轴垂直时，要对设t=，进行验证．当l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x+1），代入圆的方程得到一个二次方程．充分利用“两根之和”和“两根之积”去找．再用两根直线方程联立，去找．从而确定t=的代数表达式，再讨论t是否为定值．【解答】解：（Ⅰ）由已知，故k l=3，所以直线l的方程为y=3（x+1）．将圆心C（0，3）代入方程易知l过圆心C．（Ⅱ）当直线l与x轴垂直时，易知x=﹣1符合题意；当直线与x轴不垂直时，设直线l的方程为y=k（x+1），由于，所以|CM|=1．由，解得．故直线l的方程为x=﹣1或4x﹣3y+4=0．（Ⅲ）当l与x轴垂直时，易得M（﹣1，3），，又A（﹣1，0）则，，故．即t=﹣5．当l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x+1），代入圆的方程得（1+k2）x2+（2k2﹣6k）x+k2﹣6k+5=0．则，，即，=．又由得，则．故t=．综上，t的值为定值，且t=﹣5．另解一：连接CA，延长交m于点R，由（Ⅰ）知AR⊥m．又CM⊥l于M，故△ANR∽△AMC．于是有|AM|•|AN|=|AC|•|AR|．由，得|AM|•|AN|=5．故．另解二：连接CA并延长交直线m于点B，连接CM，CN，由（Ⅰ）知AC⊥m，又CM⊥l，所以四点M，C，N，B都在以CN为直径的圆上，由相交弦定理得．21。

2017-2018学年重庆市巴蜀中学高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）已知集合A={1，4，5}，B={2，3，5}，则A∩B=（）A．{1，4}B．{1，5}C．{5}D．{1，4，5}2．（5分）已知sin（α+）=，则cos（2α+）=（）A．B．C．D．3．（5分）已知平面向量，的夹角为30°，并且||=1，||=，则|﹣|=（）A．2 B．1 C．D．4．（5分）根据欧拉在1748年给出的公式：e iθ=cosθ+isinθ，任何一个复数z=r （cosθ+isinθ）都可以表示成z=re iθ的形式，则复数z=2e在复平面对应的点在第（）象限．A．一B．二C．三D．四5．（5分）已知等差数列{a n}满足：a1+a5=8，a3+a7=6，则a2+a6=（）A．4 B．5 C．6 D．76．（5分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的长轴长为4，且椭圆经过点P（1，），则椭圆C的方程为（）A．+=1 B．+=1C．+=1 D．+=17．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输出n=2，那么输入的a的值可以为（）A．4 B．5 C．6 D．78．（5分）已知函数f（x）=xe x（x＞0）的图象上有一点P（x0，e），则以P点为切点的函数图象的切线方程为（）A．ex﹣y﹣e=0 B．2ex﹣y﹣e=0 C．2ex﹣y﹣2e=0 D．ex﹣y﹣2e=09．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（）A．90πB．63πC．42πD．36π10．（5分）某市为缓解拥堵施行车辆限行，具体政策如下：星期一限尾号“1”和“6”，星期二限尾号“2”和“7”；星期三限尾号“3”和“8”；星期四限尾号“4”和“9”；星期五限尾号“5”和“0”．张先生家有一辆车牌尾号为1的轿车，现从周一到周五的五天中任选出两天，该车都不被限行的概率为（）A．B．C．D．11．（5分）已知x，y满足条件，若z=2x+y的最大值为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率，则该双曲线的一条渐近线方程为（）A．y=4x B．y=x C．y=x D．y=x12．（5分）已知抛物线y=x2，AB是过抛物线焦点F的一条长度为2的弦，若点D是AB的垂直平分线与y轴的交点．则点D到原点O的距离|OD|=（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知x＞0，y＞0，且3x+y=2，则xy的最大值是．14．（5分）如图，洋洋用左手练习数数，1大拇指，2食指，3中指，4无名指，5小指，6无名指…，若一直数到2017，对应的指头是．15．（5分）已知奇函数f（x），当x＞0，f（x）=2x﹣1，则f（log2）=．16．（5分）若圆C：（x﹣a）2+y2=4与直线x﹣y﹣1=0相切于第三象限，则a的值是．三、解答题（本大题共5小题，共70分）17．（12分）已知{a n}是递增的等差数列，a1=2，a22=a4+8．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若b n=（），S n=b1+b2+…+b n，求满足S n＞2017的自然数n的最小值．（参考数据：29=512，210=1024，211=2048）18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，PA⊥平面ABCD．PA=3，AD=2，AB=2，BC=6．（Ⅰ）求证：平面PAC⊥平面ABCD；（Ⅱ）若BD⊥平面PAC，求四棱锥P﹣ABCD的体积V．19．（12分）俗话说：秋风起，蟹脚痒，菊花开，问蟹来．随着人民生活水平的不断提高，大闸蟹成为秋冬季节广大市民餐桌上的一道不可或缺的美食．但正宗阳澄湖大闸蟹产量小，不能满足广大人民群众的需求．2016年初，重庆黔江区小南海镇现代水产养殖园从江苏引进了一批蟹种进行养殖．今年，大闸蟹长成后，为和阳澄湖大闸蟹进行对比，在300只阳澄湖大闸蟹，200只小南海大闸蟹中，用分层抽样的方法，从中抽取了50只，先分别统计了每只蟹的后盖直径（单位：mm），再制成如图所示茎叶图．（Ⅰ）由于技术人员工作疏忽，茎叶图中的小南海数据里，第二行数据有一个看不清楚．现在已知小南海的该行的大闸蟹后盖直径的平均值为54，求出污损数据的数值；（Ⅱ）若认定“后背直径不少于70mm”为“极品”．（1）请根据已知条件完成下列2×2列联表：（2）判断是否有90%的把握认为大闸蟹的“极品率”与养殖地有关？附：临界值表以及参考公式：K 2=，n=a +b +c +d ．20．（12分）已知焦点在x 轴的椭圆E 的离心率e=，短轴的一个顶点与两个焦点组成的三角形面积为．（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）若过定点P （1，0）且斜率不为0的直线l ：x=my +1和椭圆E 交于A ，B 两点，点A 关于x 轴的对称点为A 1，则直线A 1B 与x 轴的交点K 是否为定点？若是，求出其坐标；若不是，请说明理由．21．（12分）已知函数f （x ）=xe x ，g （x ）=lnx +1． （Ⅰ）若x ∈R ，求函数f （x ）的极值； （Ⅱ）若x ＞0，求证：f （x ）＞g （x ）． （参考数据：e ≈1.65，e ≈1.40，e ≈1.28）请考生在第22、23两题中任选一题作答[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系中，过点P （﹣1，﹣3）的直线l 的参数方程为：（t 为参数）．以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ=6cosθ，直线l 与曲线C 交于A ，B 两点． （Ⅰ）求曲线C 上的动点到直线l 的距离的最大值； （Ⅱ）求|PA |•|PB |的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知M=x2+xy+y2﹣3（x+y）．（Ⅰ）若x+y=1且xy＞0，求M的取值范围；（Ⅱ）当x，y∈R时，证明M的最小值为﹣3．2017-2018学年重庆市巴蜀中学高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）已知集合A={1，4，5}，B={2，3，5}，则A∩B=（）A．{1，4}B．{1，5}C．{5}D．{1，4，5}【解答】解：集合A={1，4，5}，B={2，3，5}，则A∩B={1，4，5}∩{2，3，5}={5}．故选：C．2．（5分）已知sin（α+）=，则cos（2α+）=（）A．B．C．D．【解答】解：∵sin（α+）=，则cos（2α+）=1﹣2=1﹣2×=，故选：C．3．（5分）已知平面向量，的夹角为30°，并且||=1，||=，则|﹣|=（）A．2 B．1 C．D．【解答】解：∵向量，的夹角为30°，并且||=1，||=，∴•=||•||cos30°=1××=，∴|﹣|2=||2+||2﹣2•=1+3﹣3=1，∴|﹣|=1故选：B．4．（5分）根据欧拉在1748年给出的公式：e iθ=cosθ+isinθ，任何一个复数z=r （cosθ+isinθ）都可以表示成z=re iθ的形式，则复数z=2e在复平面对应的点在第（）象限．A．一B．二C．三D．四【解答】解：由e iθ=cosθ+isinθ，复数z=r（cosθ+isinθ）；∴复数z=2=2（cos+isin）=2（﹣﹣i）=﹣1﹣i，∴z在复平面对应的点在第三象限．故选：C．5．（5分）已知等差数列{a n}满足：a1+a5=8，a3+a7=6，则a2+a6=（）A．4 B．5 C．6 D．7【解答】解：由等差数列的性质可得：2（a2+a6）=a1+a5+a3+a7，∴2（a2+a6）=8+6，解得a2+a6=7，故选：D．6．（5分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的长轴长为4，且椭圆经过点P（1，），则椭圆C的方程为（）A．+=1 B．+=1C．+=1 D．+=1【解答】解：根据题意，椭圆C：+=1（a＞b＞0）的长轴长为4，即2a=4，则a=2，又由椭圆椭圆经过点P（1，），则有+=1，解可得：b2=，则椭圆的方程为：+=1；故选：A．7．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输出n=2，那么输入的a的值可以为（）A．4 B．5 C．6 D．7【解答】解：模拟程序的运行，可得P=0，Q=1，n=0满足条件P≤Q，执行循环体，P=1，Q=3，n=1满足条件P≤Q，执行循环体，P=1+a，Q=7，n=2由题意，此时应该不满足条件P≤Q，即1+a＞7，退出循环，输出n的值为2．可得：a＞6，故选：D．8．（5分）已知函数f（x）=xe x（x＞0）的图象上有一点P（x0，e），则以P点为切点的函数图象的切线方程为（）A．ex﹣y﹣e=0 B．2ex﹣y﹣e=0 C．2ex﹣y﹣2e=0 D．ex﹣y﹣2e=0【解答】解：∵P（x0，e）在f（x）=xe x上，∴xe x=e，解得：x=1，故P（1，e），故f′（x）=（x+1）e x，f′（1）=2e，故切线方程是：y﹣e=2e（x﹣1），整理得：2ex﹣y﹣e=0，故选：B．9．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（）A．90πB．63πC．42πD．36π【解答】解：由三视图可得，直观图为一个完整的圆柱减去一个高为6的圆柱的一半，V=π•32×10﹣•π•32×6=63π，故选：B．10．（5分）某市为缓解拥堵施行车辆限行，具体政策如下：星期一限尾号“1”和“6”，星期二限尾号“2”和“7”；星期三限尾号“3”和“8”；星期四限尾号“4”和“9”；星期五限尾号“5”和“0”．张先生家有一辆车牌尾号为1的轿车，现从周一到周五的五天中任选出两天，该车都不被限行的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：从周一到周五的五天中任选出两天，共有=10种不同情况；该车都不被限行有=6种不同情况；故从周一到周五的五天中任选出两天，该车都不被限行的概率P==，故选：D．11．（5分）已知x，y满足条件，若z=2x+y的最大值为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率，则该双曲线的一条渐近线方程为（）A．y=4x B．y=x C．y=x D．y=x【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=2x+y得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点B时，直线y=﹣2x+z的截距最大，此时z最大．由，解得B（2，0），代入目标函数z=2x+y得z=2×2+0=4．即目标函数z=2x+y的最大值为4．双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为4，=4，可得该双曲线的一条渐近线方程：y==．故选：B．12．（5分）已知抛物线y=x2，AB是过抛物线焦点F的一条长度为2的弦，若点D是AB的垂直平分线与y轴的交点．则点D到原点O的距离|OD|=（）A．B．C．D．【解答】解：抛物线y=x2的焦点F（0，），准线方程为y=﹣，设直线AB的方程为x=m（y﹣），m≠0，代入抛物线的方程y=x2，可得m2y2﹣（m2+1）y+m2=0，则y1+y2=+，由抛物线的定义可得，|AB|=y1+y2+=1+=2，解得m=±1，则y1+y2=，即有AB的中点的纵坐标为，横坐标为或﹣，可得AB的垂直平分线的斜率为﹣1或1，可得AB的垂直平分线方程为y﹣=﹣（x﹣）或y﹣=x+，可令x=0，解得y=，即为D（0，），可得|OD|=．故选：C．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知x＞0，y＞0，且3x+y=2，则xy的最大值是．【解答】解：x＞0，y＞0，且3x+y=2，则2≥，化为：xy≤，当且仅当3x=y=1时取等号．xy的最大值是．故答案为：．14．（5分）如图，洋洋用左手练习数数，1大拇指，2食指，3中指，4无名指，5小指，6无名指…，若一直数到2017，对应的指头是大拇指．【解答】解：∵大拇指对的数是1+8n，小指对的数是5+8n，其中n∈Z，又∵2017=252×8+1，∴数到2017时对应的指头是大拇指．故答案为：大拇指15．（5分）已知奇函数f（x），当x＞0，f（x）=2x﹣1，则f（log2）=﹣2．【解答】解：∵f（x）是奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），而x＞0，f（x）=2x﹣1，则f（log23）==3﹣1=2，故f（log2）=f（﹣log23）=﹣2，故答案为：﹣2．16．（5分）若圆C：（x﹣a）2+y2=4与直线x﹣y﹣1=0相切于第三象限，则a的值是1﹣2．【解答】解：因为圆（x﹣a）2+y2=1与直线y=x相切，所以，解得a=1，因为圆（x﹣a）2+y2=1与直线y=x相切于第三象限，∵圆与直线相切于第三象限，∴a＜0．a=1﹣2，故答案为：1﹣2．三、解答题（本大题共5小题，共70分）17．（12分）已知{a n}是递增的等差数列，a1=2，a22=a4+8．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若b n=（），S n=b1+b2+…+b n，求满足S n＞2017的自然数n的最小值．（参考数据：29=512，210=1024，211=2048）【解答】解：（I）{a n}是递增的等差数列，则公差d＞0，∵a1=2，a22=a4+8．∴（2+d）2=2+3d+8，解得d=2．∴a n=2+2（n﹣1）=2n．（II）b n=（）=2n．S n=b1+b2+…+b n=2+22+…+2n==2n+1﹣2．不等式S n＞2017即2n+1＞2019．由29=512，210=1024，可得n+1≥10，解得n≥9．∴满足S n＞2017的自然数n的最小值为9．18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，PA⊥平面ABCD．PA=3，AD=2，AB=2，BC=6．（Ⅰ）求证：平面PAC⊥平面ABCD；（Ⅱ）若BD⊥平面PAC，求四棱锥P﹣ABCD的体积V．【解答】（Ⅰ）证明：∵PA⊥平面ABCD，且PA⊂平面PAC，∴平面PAC⊥平面ABCD；（Ⅱ）解：在底面四边形ABCD中，由AD∥BC，∠ABC=90°，可知四边形ABCD为直角梯形，由AD=2，AB=2，BC=6，可得，又PA⊥平面ABCD，且PA=3，∴．19．（12分）俗话说：秋风起，蟹脚痒，菊花开，问蟹来．随着人民生活水平的不断提高，大闸蟹成为秋冬季节广大市民餐桌上的一道不可或缺的美食．但正宗阳澄湖大闸蟹产量小，不能满足广大人民群众的需求．2016年初，重庆黔江区小南海镇现代水产养殖园从江苏引进了一批蟹种进行养殖．今年，大闸蟹长成后，为和阳澄湖大闸蟹进行对比，在300只阳澄湖大闸蟹，200只小南海大闸蟹中，用分层抽样的方法，从中抽取了50只，先分别统计了每只蟹的后盖直径（单位：mm），再制成如图所示茎叶图．（Ⅰ）由于技术人员工作疏忽，茎叶图中的小南海数据里，第二行数据有一个看不清楚．现在已知小南海的该行的大闸蟹后盖直径的平均值为54，求出污损数据的数值；（Ⅱ）若认定“后背直径不少于70mm”为“极品”．（1）请根据已知条件完成下列2×2列联表：（2）判断是否有90%的把握认为大闸蟹的“极品率”与养殖地有关？附：临界值表以及参考公式：K2=，n=a+b+c+d．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，第二行数据的平均值为54，设污损数据的数值为x，则=4，解得x=5；（Ⅱ）（1）根据题意填写2×2列联表如下：（2）计算K2=≈0.149＜2.706，没有90%的把握认为大闸蟹的“极品率”与养殖地有关．20．（12分）已知焦点在x轴的椭圆E的离心率e=，短轴的一个顶点与两个焦点组成的三角形面积为．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）若过定点P（1，0）且斜率不为0的直线l：x=my+1和椭圆E交于A，B 两点，点A关于x轴的对称点为A1，则直线A1B与x轴的交点K是否为定点？若是，求出其坐标；若不是，请说明理由．【解答】（Ⅰ）解：设椭圆方程为（a＞b＞0），满足a2=b2+c2，．∵椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为，可得bc=．从而可解得a=2，b=1，所以椭圆方程为=1；（Ⅱ）结论：当m变化时，直线A1B与x轴交于定点（4，0）．理由如下：设A（x1，y1），B（x2，y2），可知：A1（x1，﹣y1），联立，消去x、整理得：（m2+4）y2+2my﹣3=0，设x1+x2=，x2 x1=，则直线A1B的方程为，令y=0，得x===4∴当m变化时，直线A'B与x轴交于定点（4，0）．21．（12分）已知函数f（x）=xe x，g（x）=lnx+1．（Ⅰ）若x∈R，求函数f（x）的极值；（Ⅱ）若x＞0，求证：f（x）＞g（x）．（参考数据：e≈1.65，e≈1.40，e≈1.28）【解答】解：（Ⅰ）∵函数f（x）=xe x，∴f′（x）=e x+xe x，x∈R，当f′（x）=0时，x=﹣1，当x∈（﹣∞，﹣1）时，f′（x）＜0，f（x）是减函数，当x∈（﹣1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）是增函数，=f（﹣1）=﹣e﹣1=﹣．无极大值．∴f（x）在x=﹣1时取得极小值f（x）极小值（Ⅱ）证明：∵f（x）=xe x，g（x）=lnx+1∴设F（x）=f（x）﹣g（x）=xe x﹣lnx﹣1，若f（x）＞g（x）恒成立，只需F（x）min＞0在x∈（0，+∞）恒成立，F′（x）=显然F′（x）在（0，+∞）递增，而F′（）≈﹣1.13＜0，F′（）≈0.47＞0，故∃x0∈（，），使得F（x）在（0，x0）递减，在（x0，+∞）递增，故F（x）min=F（x0）≈F（）≈0.825+ln2﹣1＞0.825+ln﹣1＞0，故f（x）＞g（x）在（0，+∞）恒成立．请考生在第22、23两题中任选一题作答[选修4-4：坐标系与参数方程] 22．（10分）在平面直角坐标系中，过点P（﹣1，﹣3）的直线l的参数方程为：（t为参数）．以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=6cosθ，直线l与曲线C交于A，B两点．（Ⅰ）求曲线C上的动点到直线l的距离的最大值；（Ⅱ）求|PA|•|PB|的值．【解答】解：（Ⅰ）点P（﹣1，﹣3）代入，得l的方程是y=2x﹣1，即2x﹣y﹣1=0，故曲线C的方程是（x﹣3）2+y2=9，圆心C（3，0）到直线l的距离是d==，故曲线C上的动点到直线l的距离的最大值是3+；（Ⅱ）l的参数方程是，代入（x﹣3）2+y2=9得t2﹣t+16=0，此时|PA|•|PB|恰好是方程的两个根，故|PA|•|PB|=16．[选修4-5：不等式选讲]23．已知M=x2+xy+y2﹣3（x+y）．（Ⅰ）若x+y=1且xy＞0，求M的取值范围；（Ⅱ）当x，y∈R时，证明M的最小值为﹣3．【解答】解：（I）由x+y=1且xy＞0，y=1﹣x，x∈（0，1），则M=x2+xy+y2﹣3（x+y）=x2﹣x﹣2，由函数图象开口朝上，且以直线x=，故当x=时，M取最小值﹣，又由x=1，或x=0时，M=﹣2，故M∈[﹣，﹣2）…5分；证明：（Ⅱ）M=x2+xy+y2﹣3（x+y）==≥﹣3，当且仅当y=1，x=1时，M取最小值为﹣3…10分；赠送—高中数学知识点【2.1.1】指数与指数幂的运算 （1）根式的概念①如果,,,1n x a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n n a n 是偶数时，正数a 的正的n n a 表示，负的n 次方根用符号n a -0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．n a n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：()n n a a =；当n 为奇数时，nn a a =；当n 为偶数时，(0)|| (0)nn a a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩． （2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：(0,,,m n m na a a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是： 11()()(0,,,m m m nn n aa m n N a a-+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)rsr sa a aa r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈③()(0,0,)r r rab a b a b r R =>>∈【2.1.2】指数函数及其性质 值域 (0,)+∞过定点 图象过定点(0,1)，即当0x =时，1y =．奇偶性 非奇非偶单调性在R 上是增函数在R 上是减函数函数值的 变化情况1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x >>==<< 1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x <>==>< 变化对图象的影响 在第一象限内，a 越大图象越高；在第二象限内，a 越大图象越低．〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义①若(0,1)xa N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>． （2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）．（4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a M M N N-= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a Na N =⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且【2.2.2】对数函数及其性质图象1a > 01a <<定义域 (0,)+∞值域 R过定点 图象过定点(1,0)，即当1x =时，0y =．奇偶性 非奇非偶单调性在(0,)+∞上是增函数在(0,)+∞上是减函数函数值的 变化情况log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a x x x x x x >>==<<<log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a x x x x x x <>==><<x yO(1,0)1x =log a y x=xyO (1,0)1x =log a y x=。