备战2020年高考数学一轮复习第8单元不等式单元训练A卷理含解析

单元训练金卷▪高三▪数学卷（B ）第8单元 不等式注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若0a b <<，那么下列不等式中正确的是（ ） A ．2ab b <B ．2ab a >C ．11a b< D ．11a b> 2．不等式的解集为空集，则的取值范围是（ ）A ．()2,2-B ．[]2,2-C ．D ．3．不等式110x->成立的充分不必要条件是（ ） A ．B ．C ．或D ．或4．已知函数f (x )(x ∈R)的图象如图所示，f ′(x )是f (x )的导函数，则不等式(x 2－2x －3)f ′(x )>0的解集 为（ ）A ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)B ．(－∞，－2)∪(1，2)C ．(－∞，－1)∪(－1，0)∪(2，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(－1，1)∪(3，＋∞)5．若0,0ab >>，且1a b +=，则11a b+的最小值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．56．已知,x y 满足约束条件033x y x y ≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩，且不等式20x y m -+≥恒成立，则实数m 的取值范围为（ ）A ．3m ≥B ．1m ≥C ．0m ≥D ．3m ≥-7．给出平面区域如图所示，若目标函数(0)z x ay a =+≥仅在点(2,2)处取得最大值，则a 的取值范围为（ ）A ．103a <<B ．13a ≥C ．13a >D ．102a <<8．已知12a b ≤-≤，24a b ≤+≤，则42a b -的取值范围是（ ） A ．[3,12]B ．[5,10]C ．[6,12]D ．[3,10]9．函数()log 31a y x =+-（0a >，且1a ≠）的图象恒过定点A ，若点A 在直线02=++ny mx 上（其中,0m n >），则nm 21+的最小值等于（ ） A ．10B ．8C ．6D ．4 10．已知函数若对任意，总有或成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．11．已知函数()221,03,0xx f x x x x ⎧-≤⎪=⎨-->⎪⎩，若不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）A ．B ．此卷只装订不密封 班级 姓名 准考证号 考场号 座位号C ．D ．12．已知在中，角，，所对的边分别为，，，且，点为其外接圆的圆心．已知15BO AC =⋅，则当角取到最大值时的面积为（ ） A ．B ．C ．D ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．若x ，y 满足约束条件2302600x y x y x y +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪-≥⎩，则2y z x +=的取值范围为______．14．不等式()2230x a a x a -++>的解集为{}2|x x a x a <>或，则实数a 的取值范围______． 15．a ，b 为正数，给出下列命题： ①若a 2﹣b 2＝1，则1a b -<；②若111b a-=，则1a b -<； ③1a be e -=，则1a b -<；④若ln ln 1a b -=，则1a b -<． 其中真命题的有_____． 16．若正数满足，则112a b a b+++的最小值为_________．三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）（1）已知234x y <<<<，求x y -，2x y -，xy各自的取值范围． （2）若关于x 的不等式20ax x b -+>的解集为3,12⎛⎫- ⎪⎝⎭，求不等式210bx ax +-≤的解集．18．（12分）已知函数()22()1f x ax a x a =-++，(0)a >． （1）解关于x 的不等式()0f x <； （2）若()0f x >在[2,3]x ∈上恒成立，求实数a 的取值范围．19．（12分）已知x，y满足约束条件2040 250 x yx yx y-+≥+⎧-≥--≤⎪⎨⎪⎩．（1）若取得最小值的最优解有无数多个，求m的值；（2）求的取值范围．20．（12分）若，且．（1）求3311a b+的最小值；（2）是否存在，使得1123a b+的值为321．（12分）私人办学是教育发展的方向，某人准备投资1200万元举办一所中学，为了考虑社会 效益和经济效益，对该地区教育市场进行调查，得出一组数据，列表如下（以班级为单位）： 市场调查表根据物价部门的有关文件，初中是义务教育阶段，收费标准适当控制，预计除书本费、办公费，初中每生每年可收取元，高中每生每年可收取元．因生源和环境等条件限制，办学规模以至个班为宜（含个与个）．教师实行聘任制．初、高中的教育周期均为三年．请你合理地安排招生计划，使年利润最大，大约经过多少年可以收回全部投资？22．（12分）已知函数()322f x x x =-+-． （1）求不等式()5f x <的解集；（2）已知()f x 的最小值为t ，正实数a ，b 满足2a b t +=，求14225a b +++的最小值．单元训练金卷▪高三▪数学卷（B ）第8单元 不等式 答 案第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】D【解析】若0a b <<，则20ab b >>，故A 错；20a ab >>，故B 错；110b aa b ab--=>，故选D ． 2．【答案】B 【解析】因为不等式的解集为空集，所以的图象与轴没有交点或有唯一交点， 有一个或没有实根，240Δm ∴=-≤，解得，的取值范围是[]2,2-，故选B ． 3．【答案】A【解析】由110x->，可得11x <，解得或，据此可得不等式110x->成立的充分不必要条件是．本题选择A 选项．4．【答案】D【解析】由f (x )的图象可知，在(－∞，－1)，(1，＋∞)上，f ′(x )>0；在(－1，1)上，f ′(x )<0．由(x 2－2x －3)f ′(x )>0，得()202_30f x x x ⎧'>->⎪⎨⎪⎩或()20230f x x x ⎧'<--<⎪⎨⎪⎩，即1131x x x x ><->⎩<-⎧⎨或或或1113x x -<<-<<⎧⎨⎩，所以不等式的解集为(－∞，－1)∪(－1，1)∪(3，＋∞)． 5．【答案】C【解析】因为1a b +=，所以()11112b aa b a b a b a b⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭． 因为0,0a b >>，所以0ba >，0a b>．所以2b a a b +≥=，当且仅当b a a b =，即12a b ==时等号成立．所以11222=4b a a b a b+=++≥+，即11a b +的最小值为4．6．【答案】A【解析】由约束条件033x y x y ≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩，作出可行域如图，令2t x y =-，平移直线2y x t =-，则当直线2y x t =-过点()0,3A 时， 直线2y x t =-的纵截距最大，t 有最小值3-，因为不等式20x y m -+≥恒成立，所以30m -+≥，即3m ≥，故选A ．7．【答案】C【解析】画出已知约束条件的可行域为ABC △内部(包括边界)，如图， 易知当0a =时，不符合题意；当0a >时，由目标函数z x ay =+，得1zy x a a=-+， 则由题意得130AC k a-=<-<，故13a >．综上所述，13a >，答案C ． 8．【答案】B【解析】令()()42a b x a b y a b -=-++，即42x y x y +=⎧⎨-+=-⎩，解得x ＝3，y ＝1，即()()423a b a b y a b -=-++．∵12a b ≤-≤，24a b ≤+≤，∴()336a b ≤-≤，∴()()5310a b a b ≤-++≤， 故选B ．9．【答案】D【解析】由对数函数的性质可得，函数()log 31a y x =+-点的图象恒过定点(2,1)A --， 又因为点A 在直线20mx ny ++=，所以22=+n m ，则12112141(2)44222n m m n m n m n m n ⎛⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎝1(44)42=+=， 当且仅当4n m m n =，即1n =，12m =等号成立，所以12m n +的最小值为4，故选D ．10．【答案】C 【解析】由，得，故对时，不成立，从而对任意恒成立， 由于对任意恒成立，如图所示，则必满足0131a a a <<--<⎧⎪⎨⎪⎩，解得．则实数a 的取值范围是．故选C ．11．【答案】D【解析】由函数的解析式易知恒成立，则()221,03,0xx f x x x x ⎧-+≤⎪=⎨+>⎪⎩，原问题等价于函数的图像恒不在函数图像的下方，绘制函数的图像，如图所示，函数表示过定点的直线，很明显时不满足题意，时满足题意，当时，考查如图所示的临界条件，即直线与二次函数相切，，设切点坐标为，切线的斜率为，则切线方程过点，即，数形结合可知，故，此时切线的斜率，故实数的取值范围为．故选D ．12．【答案】A 【解析】设中点为，则()()()12BO AC BD DO AC BD AC BC BA BC BA ⋅=+⋅=⋅=+⋅-221122BC BA =-， 22111522a c ∴-=，即，由知角为锐角，故2222301301cos 21212126a b c b C b ab b b +-+⎛⎫===+≥⨯=⎪⎝⎭， 当且仅当30b b=，即时，最小，又在0,π2⎛⎫⎪⎝⎭递减，故最大． 此时恰有，即为直角三角形，12ABC S bc ==△．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．【答案】2,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】约束条件所表示的平面区域如下图：由目标函数可得，Z 表示点()0,2-的斜率，因此min 02233Z +==，max 1231Z +==． 14．【答案】[0,1]【解析】由题意可得2a 和a 是方程()2230x a a x a -++=的根， 又()()22232410Δa aa a a =+-=-≥，所以20a a -≤，故01a ≤≤．15．【答案】①③【解析】①中，a ，b 中至少有一个大于等于1，则1a b +>，由()()221a b a b a b -=+-=， 所以1a b -<，故①正确； ②中111a b b a ab --==，只需a b ab -=即可，取a =2，23b =，满足上式但413a b -=>，故②错；③构造函数xy x e =-，0x >，10xy e '=-<，函数单调递减， ∵1abe e -=，∴a b >，∴aba eb e <--， ∴1aba b e e -<-=，故③正确；④若ln ln 1a b -=，则a e =，1b =，11a b e -=->，故④不正确， 故答案为①③． 16．【答案】【解析】由题意，设2m a bn a b =+=+⎧⎨⎩，解得，其中，因为，所以，整理得，又由()11111122332n m m n a b a b m n m n m n ⎛⎫+=+=++=++≥+ ⎪++⎝⎭3=+当且仅当2n mm n=，即等号成立，所以112a b a b+++的最小值为．三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【答案】（1）20x y -<-<，023x y <-<，112x y <<；（2）113x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭．【解析】（1）因为234x y <<<<，所以426x <<，43y -<-<-，11143y <<， 所以20x y -<-<，023x y <-<，112xy<<． （2）由题意可知方程20ax x b -+=的两根为3,12-，所以3112312a b a -+=-⨯=⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，解得23a b =-=⎧⎨⎩， 不等式210bx ax +-≤，即为23210x x --≤，其解集为113x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭． 18．【答案】（1）见解析；（2）1,22a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．【解析】（1）因为()0f x <，即(1)()0(0)ax x a a --<>， ①当01a <<时，1a a <，不等式的解集为1|x a x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭；②当1a =时，1a a=，不等式的解集为∅； ③当1a >时，1a a >，不等式的解集为1|x x a a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭． （2）要使()22()10f x ax a x a =-++>在[2,3]x ∈上恒成立， 只须[2,3]x ∈时，()f x 的最小值大于零，①当2132a a+>，03a <<-或3a >+()2(3)9310f a a a =-++>，133a <<，无解；②因为()()222221410a a a =+-=-≥，所以当21232a a+≤≤时，题目条件不成立；③当2122a a+<，22a <<时，()2(2)4210f a a a =-++>，122a <<，解得122a <<， 综上所述1,22a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭． 19．【答案】（1）或；（2）．【解析】作出约束条件的可行域如图：由图形可知：，，，取得最小值的最优解有无数多个，若，则；若，则，故，所以或．的几何意义是可行域内的点与的距离的平方，由图可得2min8z ==；2max ||130z OB ==，．20．【答案】（1）；（2）不存在，使得1123a b+【解析】（1），()a b ∴+=，，，，当且仅当时等号，≥12ab ∴≤，3311a b ∴+≥=≥3311a b ∴+≥时取等号．（2），11233a b ∴+≥=≥， 6233<，不存在，使得1123a b+的值为3．21．【答案】．【解析】设初中编制为个班，高中编制为个班．则依题意有203028581200,x y x y x y ⎧≤+≤⎪+≤⎨⎪∈⎩*N （*），又设年利润为万元，那么()()506001000040150010000 2.44s x y x y =⨯÷+⨯÷--，即．在直角坐标系中作出（*）所表示的可行域，如图所示．问题转化为在如图所示的阴影部分中，求直线在轴上的截距的最大值，如图，虚线所示的为一组斜率为－0．3的直线， 显然当直线过图中的点时，纵截距12y s =取最大值． 解联立方程组3028581200x y x y +=+=⎧⎨⎩，得1812x y ==⎧⎨⎩，将代入中得．设经过年可收回投资，则第年利润为（万元）； 第年利润为（万元），以后每年的利润均为万元，故依题意应有．解得．答：学校规模以初中个班、高中个班为宜，第一年初中招生个班约人，高中招生个班约，从第三年开始年利润为万元，约经过年可以收回全部投资．22．【答案】（1）243x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭；（2）98． 【解析】（1）不等式()5f x <等价于33245x x x >⎧⎨-+-<⎩或233245x x x ≤≤⎧⎨-+-<⎩或23245x x x <⎧⎨--+<⎩，解得34x <<或23x ≤≤或223x <<， 所以不等式()5f x <的解集为243xx ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭． （2）因为37,2()1,2337,3x x f x x x x x -+<⎧⎪=-≤≤⎨⎪->⎩，所以min ()(2)1f x f ==， 所以12yx t =+，21a b +=，则2258a b +++=， 14114(225)2258225a b a b a b ⎛⎫+=++++ ⎪++++⎝⎭(1588191414822588b a a b ++⎛⎫=+++≥++= ⎪++⎝⎭， 当且仅当588225b a a b ++=++，21a b +=，即13a b ==时取等号，所以14225a b +++的最小值为98．。

【课时训练】第40节 空间向量及其运算一、选择题1．(2018泸州模拟)在空间直角坐标系中，点P (m,0,0)到点P 1(4,1,2)的距离为30，则m 的值为( )A ．－9或1B ．9或－1C ．5或－5D ．2或3【答案】B【解析】由题意知|PP 1|＝30，即(m －4)2＋(－1)2＋(－2)2＝30，∴(m －4)2＝25，解得m ＝9或m ＝－1.故选B.2．(2018滨州模拟)已知a ＝(－2,1,3)，b ＝(－1,2,1)，若a ⊥(a －λb )，则实数λ的值为( )A ．－2B ．－143C ．145D ．2 【答案】D【解析】由题意知a·(a －λb )＝0，即a 2－λa·b ＝0，∴14－7λ＝0，∴λ＝2.3．(2018东营质检)已知A (1,0,0)，B (0，－1,1)，OA →＋λOB →与OB →的夹角为120°，则λ的值为( )A ．±66 B ．66 C ．－66 D ．±6 【答案】C【解析】∵OA →＋λOB →＝(1，－λ，λ)，∴cos 120°＝λ＋λ1＋2λ2·2＝－12，得λ＝±66.经检验λ＝66不合题意，舍去，∴λ＝－66.4．(2018贵州遵义模拟)已知a ＝(λ＋1,0,2)，b ＝(6，2μ－1,2λ)．若a ∥b ，则λ与μ的值可以是( )A ．2，12B ．－13，12 C ．－3,2 D ．2,2【答案】A【解析】∵a ∥b ，∴b ＝k a ，即(6,2μ－1,2λ)＝k (λ＋1,0,2)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧6＝k (λ＋1)，2μ－1＝0，2λ＝2k ，解得⎩⎨⎧λ＝2，μ＝12或⎩⎨⎧λ＝－3，μ＝12.5．(2018济南月考)O 为空间任意一点，若OP →＝34OA →＋18OB →＋18OC →，则A ，B ，C ，P 四点( )A ．一定不共面B ．一定共面C ．不一定共面D ．无法判断【答案】B【解析】因为OP →＝34OA →＋18OB →＋18OC →，且34＋18＋18＝1，所以P ，A ，B ，C 四点共面．6．(2018山东聊城一模)已知向量a ＝(1,1,0)，b ＝(－1，0,2)，且k a ＋b 与2a －b 互相垂直，则k 的值是( )A ．－1B ．43 C ．53 D ．75 【答案】D【解析】由题意知k a ＋b ＝(k －1，k,2)，2a －b ＝(3,2，－2)，所以(k a ＋b )·(2a －b )＝3(k －1)＋2k －2×2＝5k －7＝0，解得k ＝75.7．(2018哈尔滨九中月考)若向量c 垂直于不共线的向量a 和b ，d ＝λa ＋μb (λ，μ∈R ，且λμ≠0)，则( )A ．c ∥dB ．c ⊥dC ．c 不平行于d ，c 也不垂直于dD ．以上三种情况均有可能 【答案】B【解析】由题意得c 垂直于由a ，b 确定的平面．∵d ＝λa ＋μb ，∴d 与a ，b 共面，∴c ⊥d.8．(2018杭州模拟)在空间四边形ABCD 中，AB →·CD →＋AC →·DB →＋AD →·BC →＝( )A ．－1B ．0C ．1D ．不确定【答案】B【解析】如图，令AB →＝a ，AC →＝b ，AD →＝c ，则AB →·CD →＋AC →·DB →＋AD →·BC →＝a·(c －b )＋b·(a －c )＋c·(b －a )＝a·c －a·b ＋b·a －b·c ＋c·b －c·a ＝0.二、填空题9．(2018西安联考)已知向量a ＝(0，－1,1)，b ＝(4,1,0)，|λa ＋b |＝29且λ>0，则λ＝________.【答案】3【解析】因为λa ＋b ＝(4，－λ＋1，λ)，所以|λa ＋b |＝16＋(－λ＋1)2＋λ2＝2λ2－2λ＋17＝29，化简整理，得λ2－λ－6＝0，解得λ＝－2或λ＝3，又λ>0，所以λ＝3.10．(2018浙江金华模拟)已知向量a ＝(x,4,1)，b ＝(－2，y ，－1)．若a ∥b ，则a 与b 的夹角为________．【答案】π 【解析】∵a ∥b ，∴x －2＝4y ＝1－1，∴x ＝2，y ＝－4. ∴a ＝(2,4,1)，b ＝(－2，－4，－1)，∴a ＝－b ，∴〈a ，b 〉＝π.11．(2018北京西城模拟)如图所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为 1.若动点P 在线段BD 1上运动，则DC →·AP →的取值范围是________．【答案】[0,1]【解析】由题意可设BP →＝λB D 1→，其中λ∈[0,1]，DC →·AP →＝AB →·(AB →＋BP →)＝AB →·(AB →＋λB D 1→)＝AB →2＋λAB →·B D 1→＝AB →2＋λAB →·(A D 1→－AB →)＝(1－λ)AB →2＝1－λ∈[0,1]，因此DC →·AP →的取值范围是[0,1]．12．(2018江西南昌模拟)在空间四边形ABCD 中，G 为CD 的中点，则AB →＋12(BD →＋BC →)＝________.【答案】AG →【解析】由题意知AB →＋12(BD →＋BC →)＝AB →＋12×2BG →＝AB →＋BG →＝AG →.三、解答题13．(2018山东滨州行知中学期末)已知在四棱锥P－ABCD中，P A⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，∠ABC＝60°，E是BC的中点，M是PD的中点，F是PC上的点．(1)求证：平面AEF⊥平面P AD；(2)当F是PC的中点，且AB＝AP时，求二面角F－AE－M的余弦值．(1)【证明】连接AC.∵底面ABCD为菱形，∠ABC＝60°，∴△ABC是正三角形．∵E是BC的中点，∴AE⊥BC.又∵AD∥BC，∴AE⊥AD.∵P A⊥平面ABCD，AE⊂平面ABCD，∴P A⊥AE.又∵P A∩AD＝A，∴AE⊥平面P AD.又AE ⊂平面AEF ，∴平面AEF ⊥平面P AD .(2)【解】由(1)得，AE ，AD ，AP 两两垂直，以点A 为原点，AE ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系．不妨设AB ＝AP ＝2，则AE ＝3，则A (0,0,0)，C (3，1,0)，D (0,2,0)，P (0，0,2)，E (3，0,0)，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，1，M (0,1,1)，∴AE →＝(3，0,0)，AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，1，AM →＝(0,1,1)．设m ＝(x ，y ，z )是平面AEF 的一个法向量，则⎩⎨⎧m ·AE →＝3x ＝0，m ·AF →＝32x ＋12y ＋z ＝0，取z ＝1，得m ＝(0，－2,1)．同理，平面AME 的一个法向量n ＝(0，－1,1)． 则cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m||n|＝3 1010.由图可知，二面角F －AE －M 的平面角为锐角， ∴二面角F －AE －M 的平面角的余弦值为3 1010.。

教育学习+K12 教育学习+K12 第五节 双曲线 限时规范训练(限时练·夯基练·提能练) A级 基础夯实练 1．(2018·石家庄模拟)已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4，0)，(4，0)，则双曲线的方程为( )

A.x24－y212＝1 B．x212－y24＝1

C.x210－y26＝1 D．x26－y210＝1 解析：选A.已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4，0)，(4，0)，则c＝4，a＝2，b2＝12，即双曲线方程为x24－y212＝1，故选A.

2．(2018·辽宁抚顺模拟)当双曲线M：x2m2－y22m＋6＝1(－2≤m＜0)的焦距取得最小值时，双曲线M的渐近线方程为( ) A．y＝±2x B．y＝±22x C．y＝±2x D．y＝±12x 解析：选C.由题意可得c2＝m2＋2m＋6＝(m＋1)2＋5，当m＝－1时，c2取得最小值，即焦距2c取得最小值，此时双曲线M的方程为x2－y24＝1，所以渐近线方程为y＝±2x.故选C. 3．(2017·全国卷Ⅰ)已知F是双曲线C：x2－y23＝1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是(1，3)，则△APF的面积为( )

A.13 B．12

C.23 D．32 解析：选D.解法一：由题可知，双曲线的右焦点为F(2，0)，当x＝2时，代入双曲线C的方程，得4－y23＝1，解得y＝±3，不妨取点P(2，3)，因为点A(1，3)，所以AP∥x轴，

又PF⊥x轴，所以AP⊥PF，所以S△APF＝12|PF|·|AP|＝12×3×1＝32.故选D. 教育学习+K12 教育学习+K12 解法二：由题可知，双曲线的右焦点为F(2，0)，当x＝2时，代入双曲线C的方程，得4－y23＝1，解得y＝±3，不妨取点P(2，3)，因为点A(1，3)，所以AP→＝(1，0)，PF→＝(0，

－3)，所以AP→·PF→＝0，所以AP⊥PF，所以S△APF＝12|PF|·|AP|＝12×3×1＝32.故选D. 4．(2018·武汉市武昌区调研考试)已知F1，F2是椭圆与双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且|PF1|＞|PF2|，线段PF1的垂直平分线过F2，若椭圆的离心率为e1，双曲

单元检测八立体几何与空间向量(时间：分钟满分：分)第Ⅰ卷(选择题共分)一、选择题(本大题共小题，每小题分，共分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)．下列命题中，错误的是( )．平行于同一平面的两个平面平行．平行于同一直线的两个平面平行．一条直线与两个平行平面中的一个相交，那么这条直线必和另一个平面相交．一条直线与两个平行平面所成的角相等答案解析选项正确，是面面平行的传递性．选项错误，比如正方体的两相邻侧面与一侧棱都平行，但两侧面所在平面相交．选项正确，由反证法，若直线与另一平面不相交，则直线在平面内或直线与平面平行，与直线与第一个平面相交矛盾．选项正确，由线面角定义可知正确．．长方体的一个顶点上三条棱长分别是，且它的个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是( )．π．π．π．都不对答案解析长方体的个顶点都在同一球面上，则这个球是长方体的外接球，所以球的直径等于长方体的体对角线长，即＝＝，所以球的表面积为π＝π·＝π，故选..如图，在多面体中，已知底面是边长为的正方形，∥，＝，且与底面的距离为，则该多面体的体积为( )．．答案解析分别取，的中点，，连接，，，把该多面体分割成一个四棱锥与一个三棱柱，可求得四棱锥的体积为，三棱柱的体积为，进而整个多面体的体积为..如图，长方体—中，∠＝°，∠＝°，那么异面直线与所成角的余弦值是( )答案解析由长方体∠＝°，∠＝°，设＝＝，＝.连接，.由∥，所以异面直线与所成角，即∠.在△中，＝，＝，＝，由余弦定理可得∠＝＝＝，所以异面直线与所成角的余弦值是.．(·嘉兴测试)已知两个不同的平面α，β和三条不同的直线，，，若α∩β＝，⊂α且⊥，⊂β，设α和β所成的一个二面角的大小为θ，直线与平面β所成的角的大小为θ，直线，所成的角的大小为θ，则( )．θ＝θ≥θ．θ≥θ＝θ．θ≥θ，θ≥θ．θ≥θ，θ≥θ答案解析由题意可知θ＝θ或θ＋θ＝π，因为线面角的范围为，二面角的范围为[，π]，所以θ≥θ；当⊥时，θ＝θ，当不与垂直时，θ<θ，所以θ≤θ.故选.．若圆锥的侧面展开图是半径为，圆心角为的扇形，则由它的两条母线所确定的最大截面与底面所成二面角的余弦值为( )答案解析设圆锥底面圆的半径为，由π＝×，得＝，设轴截面顶角大小为θ，则θ＝>，所以θ>，设两条母线所确定的截面最大时，两条母线的夹角为α，则α≤θ，最大截面所对应的三角形的面积＝××α，则α＝，所以两条母线所确定的最大截面为等腰直角三角形，其斜边上的高为，底面圆的圆心到最大截面斜边的距离为＝，则两条母线所确定的最大截面与底面所成二面角的余弦值为＝.．已知三棱锥—的每个顶点都在球的表面上，⊥底面，＝＝，＝，且二面角——的正切值为，则球的表面积为( )．π．π．π．π答案解析设的中点为，连接，，可得＝，则∠是二面角——的平面角，由于二面角——的正切值为，∴＝，由余弦定理知，∠＝＝＝－，∠＝，由正弦定理知，△的外接圆直径＝＝＝，设三棱锥—的外接球半径为，则＋＝，得＝，∴球的表面积为π＝π，故选..(·杭州质检)在三棱锥－中，⊥平面，∠＝°，，分别是，的中点，≠，且>.设与所成角为α，与平面所成角为β，二面角－－为γ，则( )．α<β<γ．α<γ<β．β<α<γ．γ<β<α答案解析由题图可知∠＝α<，∠＝β<，因为⊥平面，所以α＝，β＝.又>，故β>α，则β>α.过点作⊥，垂足为，连接，则∠＝γ，同理可证得γ>β，所以α<β<γ，故选..如图，在四棱锥－中，底面为矩形，侧棱⊥平面，＝，＝，点在线段上，且⊥，则当△的面积最小时，线段的长度为( )．答案解析方法一设＝，＝，则＝＝＋，∵⊥平面，⊂平面，∴⊥，又⊥，∩＝，，⊂平面，又⊂平面，∴⊥，易知＝，＝，在△中，＋＝，即＋＋＋＝(＋)，化简得＝.在△中，＝，＝＝，∴△＝·＝··＝≥＝，当且仅当＝，即＝，＝时取等号，此时＝＋＝.方法二由题意知，，，两两垂直．以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，设＝，(，)，>，则()，()，(，)，(，)，(，)．由⊥，得·＝，即(，)·(－，－)＝－－＝，解得＝＋，而·＝－－＝，∴⊥，∴△＝·＝≥＝，当且仅当即时等号成立，此时＝.．(·温州市高考适应性考试)已知正四面体，为△内的一点，记与平面，，所成的角分别为α，β，γ，则下列式子恒成立的是( )．α＋β＋γ≥．α＋β＋γ≥．α＋β＋γ≤＋＋≤答案解析取点为△的中心，设正面体的棱长为，则α＝β＝γ＝＝，所以α＋β＋γ＝<，排除；所以α＝β＝γ＝－＝，所以α＝β＝γ＝，所以＋＋＝>，排除；取的中点，连接，，易知与平面所成的角为∠，且∠＝＝＝，所以∠＝，所以∠＝>，所以当点靠近点时，与平面所成的角的正切值大于，所以α＋β＋γ>，排除.故选.第Ⅱ卷(非选择题共分)二、填空题(本大题共小题，多空题每题分，单空题每题分，共分．把答案填在题中横线上)．某空间几何体的三视图(单位：)如图所示，则此几何体侧视图的面积为，此几何体的体积为.答案解析此几何体的侧视图为直角三角形，高为，底为＝，面积为××＝；该几何体是以正视图为底面的四棱锥，如图所示，其底面为直角梯形，面积是(＋)×＝()，高为，体积为××＝()．．已知过球面上三点，，的截面到球心的距离等于球半径的一半，且＝＝，＝，则球面面积为．答案π解析如图，设球的半径为，′是△的外心，外接圆半径为，是的中点，则′⊥平面.在△中，＝，则＝.在△中，由正弦定理得＝，得＝，即′＝.在△′中，－＝，得＝，球表＝π×＝π..如图，在平行六面体－中，＝，＝，＝，∠＝°，∠＝∠＝°，则＝.答案解析∵∠＝∠＝°，∴在平面上的射影必落在直线上，∴平面⊥平面，∵＝，＝，＝，＝＋＝＋＋，∴＝(＋＋)＝＋＋＋·＋·＋·＝＋＋＋＋×××＋×××＝，∴＝，∴＝.．(·浙江五校联考)在正三棱锥－中，是的中点，且⊥，底面边长＝，则正三棱锥－的体积为，其外接球的表面积为．答案π解析由正三棱锥的对棱互相垂直可得⊥，又⊥，∩＝，，⊂平面，所以⊥平面，则⊥，⊥.所以正三棱锥－的三个侧面都是等腰直角三角形．又＝，所以＝＝＝，故正三棱锥－是棱长为的正方体的一个角，其体积为··＝，其外接球的直径＝，故外接球的表面积为π＝π..如图，在三棱锥－中，若＝，＝＝＝＝＝，为棱的中点，则直线与所成角的余弦值为，直线与平面所成的角为．答案°解析取的中点，连接，，则直线与所成的角等于直线与所成的角，因为＝，＝＝，∠＝＝＝，所以直线与所成角的余弦值为.取的中点，则⊥，⊥，又∩＝，，⊂平面，即⊥平面，即平面⊥平面，因此直线与平面所成的角为∠，因为＝＝＝，所以∠＝°，因此直线与平面所成的角为°.．如图，已知四棱锥－中，＝＝，＝＝，∠＝°，∠＝°，∥，为棱的中点，三棱锥－的体积为，则点到平面的距离为，二面角－－的正弦值为．答案解析在△中，因为＝＝，∠＝°，所以△＝×××∠＝.设点到平面的距离为，则由题意得，×△×＝××＝，所以＝.作⊥于点，⊥平面于点，连接，则⊥平面，故⊥，故∠为二面角－－的平面角或其补角．过点作⊥于点，过点作⊥的延长线于点(图略)，则＝°＝，又∥，所以＝°＝，所以＝＝，由()知＝＝，所以∠＝＝，设二面角－－的平面角为θ，则θ＝∠＝.．已知边长为的正△′的顶点′在平面α内，顶点，在平面α外的同一侧，点′，′分别为，在平面α内的射影，设′≤′，直线′与平面′′所成的角为φ.若△′′′是以角′为直角的直角三角形，则φ的最小值为．答案解析如图，以点′为坐标原点，′′，′′所在直线分别为轴，轴，建立空间直角坐标系．设(，，)，(，)，则可得＝且<≤，故<≤，又因为＋＝，故<，又＝，故>，又因为φ＝＝，<≤，所以≤φ<，所以φ的最小值为.三、解答题(本大题共小题，共分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) ．(分)如图，在直三棱柱(侧棱垂直于底面)－中，＝，＝，＝，＝，点是的中点．()求证：⊥；()求证：∥平面.证明()∵三棱柱－为直三棱柱，∴⊥平面，又⊂平面，∴⊥.又∵＝，＝，＝，∴＋＝，∴⊥.∵，⊂平面，∩＝，∴⊥平面，又⊂平面，∴⊥.()取的中点，连接，和.∵∥，且＝，∴四边形为平行四边形，∴∥，又∵⊄平面，⊂平面，∴∥平面.∵∥，且＝，∴四边形为平行四边形，∴∥，又∵⊂平面，⊄平面，∴∥平面.∵∩＝，，⊂平面，∴平面∥平面，又⊂平面，∴∥平面.．(分)如图，在四棱锥－中，⊥平面，∥，⊥，＝，＝，＝，＝.()求异面直线与所成角的余弦值；()求证：⊥平面；()求直线与平面所成角的正弦值．()解由已知∥，得∠或其补角即为异面直线与所成的角．因为⊥平面，所以⊥.在△中，由已知，得＝＝，故∠＝＝.所以异面直线与所成角的余弦值为.()证明因为⊥平面，直线⊂平面，所以⊥.又因为∥，所以⊥，又⊥，，⊂平面，∩＝，所以⊥平面.()解过点作的平行线交于点，连接，则与平面所成的角等于与平面所成的角．因为⊥平面，故为在平面上的射影，所以∠为直线和平面所成的角．由于∥，∥，故＝＝，由已知，得＝－＝.又⊥，故⊥，在△中，可得＝＝，在△中，可得∠＝＝.所以，直线与平面所成角的正弦值为.．(分)如图，在四棱锥－中，底面为直角梯形，∠＝∠＝°，＝，＝，＝，∠＝°，且平面⊥平面.()求证：⊥；()在线段上是否存在一点，使二面角－－的大小为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．()证明过点作∥，交于点，连接，则⊥，在△中，＝，＝，∠＝°，则⊥，∵∩＝，，⊂平面，∴⊥平面，又∵⊂平面，∴⊥.()解假设存在点，过点作的平行线交于点，连接，易知，，，四点共面，∵平面∩平面＝，由()知，⊥平面，∥，则⊥平面，又⊂平面，∴⊥，又∥，则⊥，则∠即为二面角－－的平面角，则∠＝＝，得＝，＝－＝－，∴＝＝＝－.．(分)如图，在长方体－中，＝＝，＝，，分别是，的中点．()求与所成的角；()求与平面所成的角．解()取的中点，连接，，.由于，分别是，的中点，为正方形，所以∥，且＝，所以∥，且＝，所以为平行四边形，所以∥，且＝，故与所成的角等于与所成的角，＝，＝，＝，故∠＝°，故与所成的角为°.()因为平面∥平面，所以直线与平面所成的角即为直线与平面所成的角，所以∠即为所求角，而易知∠＝°，所以直线与平面所成的角为°.．(分)如图，四棱锥—中，底面是矩形，平面⊥平面，且△是边长为的等边三角形，＝，点是的中点．()求证：∥平面；()点在上，且满足＝，求直线与平面所成角的正弦值．()证明连接，交于点，连接.因为四边形是矩形，所以点是的中点，又点是的中点，所以∥，又⊄平面，⊂平面，所以∥平面.()解取的中点，则⊥，又平面⊥底面，平面∩底面＝，⊂平面，故⊥平面，连接.在△中，＝＝，所以在△中，＝＝，以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则()，()，(－，)，(－)，(，)，，则＝(－，－)，设(，，)，＝(－，，)，＝(－，)，＝(－，－，)．则由＝得(－，，)＝(－，)，即，则＝.设平面的法向量＝(，，)，则得令＝，则＝－，＝－，故＝(，－，－)，又＝，设直线与平面所成的角为θ，则θ＝〈，〉＝＝＝，故直线与平面所成角的正弦值为.。