2019年全国高考理科数学数学分类汇编---选考不等式

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2019年全国高考理科数学试题分类汇编1:集合一、选择题1 ．（2019年普通高等学校招生统一考试重庆数学(理）试题（含答案))已知全集{}1,2,3,4U =,集合{}=12A ，，{}=23B ，，则()=U A B ( ）A 。

{}134，，B 。

{}34， C. {}3 D 。

{}4【答案】D2 ．(2019年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD 版)）已知集合{}{}4|0log 1,|2A x x B x x A B =<<=≤=，则A.()01，B.(]02， C 。

()1,2 D 。

(]12， 【答案】D3 ．（2019年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））已知集合A = ｛x ∈R ｜ |x |≤2｝， A = {x ∈R ｜ x ≤1}, 则A B ⋂=(A ） (,2]-∞ (B) ［1,2］ (C) ［2，2］ (D) ［—2,1]【答案】D4 ．（2019年普通高等学校招生统一考试福建数学(理）试题（纯WORD 版））设S ，T ，是R 的两个非空子集，如果存在一个从S 到T 的函数()y f x =满足:(){()|};()i T f x x S ii =∈ 对任意12,,x x S ∈当12x x <时，恒有12()()f x f x <,那么称这两个集合“保序同构".以下集合对不是“保序同构"的是( )A 。

绝密★启用前2019年高考普通高等学校招生全国统一考试（全国1卷）理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）已知集合M＝{x|﹣4＜x＜2}，N＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，则M∩N＝（）A．{x|﹣4＜x＜3}B．{x|﹣4＜x＜﹣2}C．{x|﹣2＜x＜2}D．{x|2＜x＜3} 2．（5分）设复数z满足|z﹣i|＝1，z在复平面内对应的点为（x，y），则（）A．（x+1）2+y2＝1B．（x﹣1）2+y2＝1C．x2+（y﹣1）2＝1D．x2+（y+1）2＝13．（5分）已知a＝log20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．b＜c＜a4．（5分）古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是（≈0.618，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，则其身高可能是（）A．165cm B．175cm C．185cm D．190cm5．（5分）函数f（x）＝在[﹣π，π]的图象大致为（）A．B．C．D．6．（5分）我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是（）A．B．C．D．7．（5分）已知非零向量，满足||＝2||，且（﹣）⊥，则与的夹角为（）A．B．C．D．8．（5分）如图是求的程序框图，图中空白框中应填入（）A．A＝B．A＝2+C．A＝D．A＝1+9．（5分）记S n为等差数列{a n}的前n项和．已知S4＝0，a5＝5，则（）A．a n＝2n﹣5B．a n＝3n﹣10C．S n＝2n2﹣8n D．S n＝n2﹣2n 10．（5分）已知椭圆C的焦点为F1（﹣1，0），F2（1，0），过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为（）A．+y2＝1B．+＝1C．+＝1D．+＝111．（5分）关于函数f（x）＝sin|x|+|sin x|有下述四个结论：①f（x）是偶函数②f（x）在区间（，π）单调递增③f（x）在[﹣π，π]有4个零点④f（x）的最大值为2其中所有正确结论的编号是（）A．①②④B．②④C．①④D．①③12．（5分）已知三棱锥P﹣ABC的四个顶点在球O的球面上，P A＝PB＝PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是P A，AB的中点，∠CEF＝90°，则球O的体积为（）A．8πB．4πC．2πD．π二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

绝密★启用前2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合A ={x |x 2-5x +6>0}，B ={ x |x -1<0}，则A ∩B = A ．(-∞，1) B ．(-2，1)C ．(-3，-1)D ．(3，+∞)2．设z =-3+2i ，则在复平面内z 对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知AB =(2,3)，AC =(3，t )，BC =1，则AB BC ⋅= A ．-3 B ．-2C ．2D ．34．2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日2L 点的轨道运行．2L 点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M１，月球质量为M ２，地月距离为R ，2L 点到月球的距离为r ，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r 满足方程：121223()()M M M R r R r r R+=++.设rRα=，由于α的值很小，因此在近似计算中34532333(1)ααααα++≈+，则r 的近似值为 ABCD5．演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是 A ．中位数 B ．平均数 C ．方差 D ．极差6．若a >b ，则A ．ln(a −b )>0B ．3a <3bC ．a 3−b 3>0D ．│a │>│b │7．设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是 A ．α内有无数条直线与β平行 B ．α内有两条相交直线与β平行 C ．α，β平行于同一条直线 D ．α，β垂直于同一平面8．若抛物线y 2=2px (p >0)的焦点是椭圆2231x y pp+=的一个焦点，则p =A ．2B ．3C ．4D ．89．下列函数中，以2π为周期且在区间(4π，2π)单调递增的是A ．f (x )=│cos 2x │B ．f (x )=│sin 2x │C ．f (x )=cos│x │D ．f (x )= sin │x │10．已知α∈(0，2π)，2sin 2α=cos 2α+1，则sin α=A ．15B．5C3D511．设F 为双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆222x y a +=交于P ，Q 两点.若PQ OF =，则C 的离心率为ABC ．2D ．512．设函数()f x 的定义域为R ，满足(1) 2 ()f x f x +=，且当(0,1]x ∈时，()(1)f x x x =-.若对任意(,]x m ∈-∞，都有8()9f x ≥-，则m 的取值范围是 A ．9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．7,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．8,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．我国高铁发展迅速，技术先进.经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为__________.14．已知()f x 是奇函数，且当0x <时，()e ax f x =-.若(ln 2)8f =，则a =__________. 15．ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若π6,2,3b ac B ===，则ABC △的面积为__________.16．中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有________个面，其棱长为_________.（本题第一空2分，第二空3分.）三、解答题：共70分。

（1） 1专题 20不等式选讲1．【2019 年高考全国Ⅰ卷理数】已知 a ，b ，c 为正数，且满足 abc =1．证明：1 1+ + ≤ a 2 + b 2 + c 2 ；a b c（2） (a + b )3 + (b + c)3 + (c + a)3 ≥ 24 ．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】（1）因为 a 2 + b 2 ≥ 2ab, b 2 + c 2 ≥ 2bc, c 2 + a 2 ≥ 2ac ，又 abc = 1，故有a 2+ b 2+ c 2≥ ab + bc + ca = ab + bc + ca 1 1 1 = + + ．abc a b c所以 1 1 1+ + ≤ a 2 + b 2 + c 2 ．a b c（2）因为 a, b , c 为正数且 abc = 1，故有(a + b )3 + (b + c)3 + (c + a)3 ≥ 3 3 (a + b )3 (b + c)3 (a + c)3=3(a +b )(b +c)(a +c)≥ 3 ⨯ (2 ab ) ⨯ (2 bc ) ⨯ (2 ac )=24．所以 (a + b )3 + (b + c)3 + (c + a)3 ≥ 24 ．【名师点睛】本题考查利用基本不等式进行不等式的证明问题，考查学生对于基本不等式的变形和应用能力，需要注意的是在利用基本不等式时需注意取等条件能否成立．2．【2019 年高考全国Ⅱ卷理数】已知 f ( x ) =| x - a | x + | x - 2 | ( x - a).（1）当 a = 1 时，求不等式 f ( x ) < 0 的解集；（2）若 x ∈ (-∞,1) 时， f ( x ) < 0 ，求 a 的取值范围． 【答案】（1） (-∞,1) ；（2）[1, +∞ )【解析】（1）当 a =1 时， f ( x )=| x - 1| x +|x - 2|(x - 1) ．当 x < 1时， f ( x ) = -2( x - 1)2 < 0 ；当 x ≥ 1时， f ( x ) ≥ 0 ．所以，不等式 f ( x ) < 0 的解集为 (-∞,1) ．⎣ ⎦⎣ ⎦ + ( y - 1) + ( z - a) (2 + a)2 由题设知 ≥ ，解得 a ≤ -3 或 a ≥ -1 ．（2）因为 f (a)=0 ，所以 a ≥ 1 ．当 a ≥ 1 ， x ∈ (-∞,1) 时， f ( x )=(a - x) x+(2 - x)(x - a)=2(a - x)(x - 1)<0 ．所以， a 的取值范围是[1, +∞) ．【名师点睛】本题主要考查含绝对值的不等式，熟记分类讨论的方法求解即可，属于常考题型．3．【2019 年高考全国Ⅲ卷理数】设 x, y , z ∈ R ，且 x + y + z = 1 ．（1）求 ( x - 1)2 + ( y + 1)2 + ( z + 1)2 的最小值；（2）若 ( x - 2)2 + ( y - 1)2 + ( z - a)2 ≥ 13成立，证明： a ≤ -3 或 a ≥ -1 ．【答案】（1） 4 3；（2）见详解．【解析】（1）由于 [( x - 1) + ( y + 1) + ( z + 1)]2= ( x - 1)2 + ( y + 1)2 + ( z + 1)2 + 2[(x - 1)( y + 1) + ( y + 1)(z + 1) + ( z + 1)(x - 1)]≤ 3 ⎡( x - 1)2 + ( y + 1)2 + ( z + 1)2 ⎤ ，故由已知得 ( x - 1)2 + ( y + 1)2 + ( z + 1)2 ≥ 4 3，当且仅当= 5 1 1，y =– ， z = - 时等号成立．3 3 34所以 ( x - 1)2 + ( y + 1)2 + ( z + 1)2 的最小值为 ．3（2）由于 [( x - 2) + ( y - 1) + ( z - a)]2= ( x - 2)2 + ( y - 1)2 + ( z - a)2 + 2[(x - 2)( y - 1) + ( y - 1)(z - a) + ( z - a)( x - 2)]≤ 3 ⎡( x - 2)2 + ( y - 1)2 + ( z - a)2 ⎤ ，(2 + a)2故由已知 ( x - 2)2 2 2 ≥ ，3当且仅当 x = 4 - a 1 - a 2a - 2， y = ， z = 时等号成立．3 3 3因此 ( x - 2)2 + ( y - 1)2 + ( z - a)2 的最小值为 ．3(2 + a)2 13 3综上，原不等式的解集为 {x | x < - 或x > 1} ．【解析】（1）当 a = 1 时， f ( x ) =| x + 1| - | x - 1| ，即 f ( x ) = ⎨2 x , -1 < x < 1, ⎪2, x ≥ 1.【名师点睛】两个问都是考查柯西不等式，属于柯西不等式的常见题型．4．【2019年高考江苏卷数学】设 x ∈ R ，解不等式 |x|+|2 x - 1|>2 ．【答案】{x | x < - 1或x > 1} ．31【解析】当<0时，原不等式可化为 - x + 1 - 2 x > 2 ，解得< - ；3当0≤≤ 12时，原不等式可化为+1–2>2，即<–1，无解；当> 12时，原不等式可化为+2–1>2，解得>1．13【名师点睛】本题主要考查解不等式等基础知识，考查运算求解和推理论证能力．5．【2018 年高考全国Ⅰ卷理数】已知 f ( x ) =| x +1| - | ax -1| ．（1）当 a = 1 时，求不等式 f (x) > 1 的解集；（2）若 x ∈ (0,1)时不等式 f ( x ) > x 成立，求 a 的取值范围．【答案】（1）{x | x > 1} ；（2） (0, 2] ．2⎧-2, x ≤ -1, ⎪ ⎩1故不等式 f ( x ) > 1 的解集为{x | x > } ．2（2）当 x ∈ (0,1) 时 | x + 1| - | ax - 1| > x 成立等价于当 x ∈ (0,1) 时 | ax - 1| < 1 成立．若 a ≤ 0 ，则当 x ∈ (0,1) 时 | ax - 1| ≥ 1 ；若 a > 0 ， | ax - 1| < 1 的解集为 0 < x < 2 2，所以 ≥ 1 ，故 0 < a ≤ 2 ．a a综上， a 的取值范围为 (0, 2] ．6．【2018 年高考全国Ⅱ卷理数】设函数 f ( x ) = 5 - | x + a | - | x - 2| ．（1）当 a = 1 时，求不等式 f ( x ) ≥ 0 的解集；【解析】（1）当 a = 1 时， f ( x ) = ⎨2,-1 < x ≤ 2,⎪-2 x + 6, x > 2.-3x, x < - ,2 【解析】（1） f ( x ) = ⎨ x + 2, - ≤ x < 1, y = f ( x ) 的图像如图所示．2⎩（2）若 f ( x ) ≤ 1 ，求的取值范围．【答案】（1）{x | -2 ≤ x ≤ 3} ；（2） (-∞, -6] U [2, +∞) ．⎧2 x + 4, x ≤ -1,⎪ ⎩可得 f ( x ) ≥ 0 的解集为{x | -2 ≤ x ≤ 3} ．（2） f ( x ) ≤ 1 等价于 | x + a | + | x - 2 |≥ 4 ．而 | x + a | + | x - 2 |≥| a + 2 | ，且当 x = 2 时等号成立．故 f ( x ) ≤ 1 等价于 | a + 2 |≥ 4 ．由 | a + 2 |≥ 4 可得 a ≤ -6 或 a ≥ 2 ，所以 a 的取值范围是 (-∞, -6] U [2, +∞) ．7．【2018 年高考全国Ⅲ卷理数】设函数 f (x ) = 2x + 1 + x - 1 ．（1）画出 y = f (x )的图像；（2）当 x ∈[ 0 ，+ ∞ )， f (x )≤ ax + b ，求 a + b 的最小值．【答案】（1）图像见解析；（2） a + b 的最小值为 5 ．⎧1 ⎪ ⎪⎪1 ⎪⎪3x, x ≥ 1. ⎪= = 时，不等式取等号，此时 x = ，y = ，z = ，1（2）由（1）知， y = f ( x ) 的图像与 y 轴交点的纵坐标为 2 ，且各部分所在直线斜率的最大值为3 ，故当且仅当 a ≥ 3 且 b ≥ 2 时， f ( x ) ≤ ax + b 在 [0, +∞) 成立，因此 a + b 的最小值为 5 ．8．【2018 年高考江苏卷数学】若，y ，为实数，且+2y +2=6，求 x 2 + y 2 + z 2 的最小值．【答案】 x 2 + y 2 + z 2 的最小值为 4．【解析】由柯西不等式，得 ( x 2 + y 2 + z 2 )(12 + 22 + 22 ) ≥ ( x + 2 y + 2 z )2 ．因为 x + 2 y + 2 z =6 ，所以 x 2 + y 2 + z 2 ≥ 4 ，当且仅当 x y z 2 4 41 2 2 3 3 3所以 x 2 + y 2 + z 2 的最小值为 4．9．【2017 年高考全国Ⅰ卷理数】已知函数 f ( x ) = - x 2 + ax + 4 ， g ( x ) =| x +1| + | x -1| ．（1）当 a = 1 时，求不等式 f ( x ) ≥ g ( x ) 的解集；（2）若不等式 f ( x ) ≥ g ( x ) 的解集包含[–，1]，求 a 的取值范围．【答案】（1）{x | -1 ≤ x ≤ -1 + 17 } ；（2） [-1,1]．2【解析】（1）当 a = 1 时，不等式 f ( x ) ≥ g ( x ) 等价于 x 2 - x + | x + 1| + | x - 1| -4 ≤ 0 ．①当 x < -1时，①式化为 x 2 - 3x - 4 ≤ 0 ，无解；当 -1 ≤ x ≤ 1 时，①式化为 x 2 - x - 2 ≤ 0 ，从而 -1 ≤ x ≤ 1 ；利 ， ( ( ) 2 2当 x > 1 时，①式化为 x 2 + x - 4 ≤ 0 ，从而1 < x ≤-1 + 17 2．所以 f ( x ) ≥ g ( x ) 的解集为{x | -1 ≤ x ≤-1 + 172} ．（2）当 x ∈ [-1,1]时， g ( x ) = 2 ．所以 f ( x ) ≥ g ( x ) 的解集包含 [-1,1]，等价于当 x ∈ [-1,1]时 f ( x ) ≥ 2 ．又 f ( x ) 在 [-1,1]的最小值必为 f (-1) 与 f (1)之一，所以 f (-1) ≥ 2 且 f (1) ≥ 2 ，得 -1 ≤ a ≤ 1 ．所以 a 的取值范围为[-1,1]．【名师点睛】形如| x - a | + | x - b |≥ c （或 ≤ c ）型的不等式主要有两种解法：（1）分段讨论法： 用绝对值号内式子对应方程的根将数轴分为(-∞, a]， a , b ] ， b , +∞（此处设a < b ） 三个部分，将每部分去掉绝对值号并分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集．（2）图像法：作出函数 y =| x - a | + | x - b | 和 y = c 的图像，结合图像求解．1210．【2017 年高考全国Ⅱ卷理数】已知 a > 0, b > 0, a 3 + b 3 = 2 ．证明：（1） (a + b )(a 5 + b 5 ) ≥ 4 ；（2） a + b ≤ 2 ．【答案】（1）证明略；（2）证明略．【解析】（1） (a + b )(a 5 +b 5 )= a 6 + ab 5 + a 5b + b 6= (a 3 + b 3 )- 2a 3b 3 + ab (a 4 + b 4 ) = 4 + ab (a 2 - b 2 )≥ 4.（2）因为 (a + b )3 = a 3 + 3a 2b + 3ab 2 + b 3= 2 + 3ab (a + b )≤ 2 +3 (a + b )24(a + b )3 (a + b )3= 2 +,4【答案】（1） x x ≥ 1 ；（2） -∞， ⎥【解析】（1） f (x ) = ⎨2 x - 1,-1 ≤ x ≤ 2 ， ⎪3,x > 2 { }⎛ x + 1 - x - 2 - x + x ≤ x + 1 + x - 2 - x+ x = - x - ⎪ + ≤ ， 且当 x = 3故 m 的取值范围为 -∞， ⎥ ．所以 (a + b )3 ≤ 8 ，因此 a + b ≤ 2 ．【名师点睛】利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，证明思路是从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理最后转化为需证问题．若不等式恒等变形之后与二次函数有关，可用配方法．11．【2017 年高考全国Ⅲ卷理数】已知函数 f （）=│+1│–│–2│．（1）求不等式 f （）≥1 的解集；（2）若不等式 f (x ) ≥ x 2 - x + m 的解集非空，求 m 的取值范围．5 ⎤ ⎝4 ⎦⎧-3,x < -1⎪ ⎩当 x < -1时， f (x ) ≥ 1 无解；当 -1 ≤ x ≤ 2 时，由 f (x ) ≥ 1 得， 2x -1 ≥ 1 ，解得1 ≤ x ≤ 2 ；当 x > 2 时，由 f (x ) ≥ 1 解得 x > 2 ．所以 f (x ) ≥ 1 的解集为 {x x ≥ 1}．（2）由 f (x ) ≥ x 2 - x + m 得 m ≤ x + 1 - x - 2 - x 2 + x ，而⎛3 ⎫2 5 5 2 2 ⎝2 ⎭ 4 45时， x + 1 - x - 2 - x 2 + x =． 24⎛ 5⎤ ⎝4 ⎦【名师点睛】绝对值不等式的解法有三种：法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．12．【2017 年高考江苏卷数学】已知 a, b , c , d 为实数，且 a 2 + b 2 = 4, c 2 + d 2 = 16, 证明： ac + bd ≤ 8.22 ≥ 2 i 22【答案】见解析【解析】由柯西不等式可得 (ac + bd )2 ≤ (a 2 + b 2 )(c 2 + d 2 ) ，因为 a 2 + b 2 = 4, c 2 + d 2 = 16 ，所以 (ac + bd )2 ≤ 64 ，因此 ac + bd ≤ 8 ．【名师点睛】柯西不等式的一般形式：设 a 1，a 2，…，a n ，b 1，b 2，…，b n 为实数，则（ a 1 + a 2 + L + a n ）（ b 12 + b 2 + L + b n ）（a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ），当且仅当 b i ＝0 或存在一个数，使 a i ＝b （i ＝1， ，…，n ）时，等号成立．本题中，由柯西不等式可得(ac + bd )2 ≤ (a 2 + b 2 )(c 2 + d 2 ) ，代入即得结论．。

2019年考试大纲解读10 不等式、推理与证明（十三）不等式1．不等关系了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式（组）的实际背景.2．一元二次不等式（1）会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型.（2）通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.（3）会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图.3．二元一次不等式组与简单线性规划问题（1）会从实际情境中抽象出二元一次不等式组.（2）了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组.（3）会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决.4．基本不等式：（1）了解基本不等式的证明过程.（2）会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题.（十八）推理与证明1．合情推理与演绎推理（1）了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用. （2）了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理.（3）了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异.2．直接证明与间接证明（1）了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点.（2）了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程、特点. 3．数学归纳法了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.这部分内容与2018考纲相比没有什么变化，主要以客观题的形式出现，命题方向如下:不等式的命题方向为：（1）选择题、填空题中以简单的线性规划、不等式的性质为主，有时也与其他知识相交汇，试题难度中等；（2）解答题中通常以其他知识为主，结合不等式的相关知识或有关不等式问题的证明等，试题难度中等偏上.推理与证明的命题方向为：（1）选择题或填空题中常将有关归纳方法的应用与其他知识相交汇，有时以数学文化为背景，试题难度中等；（2）解答题中通常以其他知识为主，通过推理与证明来解决相关问题，注意反证法的应用，试题难度中等或中等偏上.考向一 解不等式样题1 （2018新课标全国Ⅲ理科）设0.2log 0.3a =，2log 0.3b =，则A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】∵0.2log 0.3a =，2log 0.3b =，，，,即，又，，即，故选B.考向二 一元二次不等式的解法ð样题2 （2018新课标全国Ⅰ理科）已知集合，则A=RA．B．C．D．【答案】B【解析】解不等式得，所以，所以可以求得，故选B．样题3 若不等式的解集为,则不等式的解集为A．或B．C ．D．或【答案】B考向三目标函数的最值问题样题4（2018新课标I理科）若x，y满足约束条件，则32=+的最大值为z x y_____________．【答案】6【解析】根据题中所给的约束条件，画出其对应的可行域，如图所示：由32z x y =+可得，画出直线32y x =-，将其上下移动，结合2z的几何意义，可知当直线过点B 时，z 取得最大值，由，解得()2,0B ，此时，故答案为6.【名师点睛】该题考查的是有关线性规划的问题，在求解的过程中，首先需要正确画出约束条件对应的可行域，之后根据目标函数的形式，判断z 的几何意义，之后画出一条直线，上下平移，判断哪个点是最优解，从而联立方程组，求得最优解的坐标，代入求值，要明确目标函数的形式大体上有三种：斜率型、截距型、距离型，根据不同的形式，应用相应的方法求解.样题5 已知,x y 满足，则的取值范围是A ．121,812⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．121,732⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[]65,73 D ．[]65,81【答案】A【解析】作出不等式组所表示的平面区域，如图中阴影部分所示，目标函数表示点()3,4P -- 与可行域内点的距离的平方，点P 到直线4x y +=的距离：，点P 到坐标原点的距离加上半径：，则目标函数的取值范围是121,812⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故选A ．考向四利用线性规划解决实际问题样题6某颜料公司生产两种产品，其中生产每吨产品，需要甲染料1吨，乙染料4吨，丙染料2吨，生产每吨产品，需要甲染料1吨，乙染料0吨，丙染料5吨，且该公司一天之内甲、乙、丙三种染料的用量分别不超过50吨、160吨和200吨，如果产品的利润为300元/吨，产品的利润为200元/吨，则该颜料公司一天之内可获得的最大利润为A．14000元B．16000元C．16000元D．20000元【答案】A【解析】依题意，将题中数据统计如下表所示：学-科网设该公司一天内安排生产产品吨、产品吨，所获利润为元，依据题意得目标函数为，约束条件为,欲求目标函数的最大值，先画出约束条件表示的可行域，如图中阴影部分所示，则点，，，，作直线，当移动该直线过点时，取得最大值，则也取得最大值（也可通过代入凸多边形端点进行计算，比较大小求得）.故.所以工厂每天生产产品40吨，产品10吨时，才可获得最大利润，为14000元.选A．考向五 推理样题7 （2017新课标全国Ⅱ理科）甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则 A ．乙可以知道四人的成绩 B ．丁可以知道四人的成绩 C ．乙、丁可以知道对方的成绩 D ．乙、丁可以知道自己的成绩【答案】D考向六 数学归纳法样题8 设数列{a n }的前n 项和为S n ，且方程x 2－a n x －a n =0有一根为S n －1(n ∈N *)． （1）求a 1，a 2；（2）猜想数列{S n }的通项公式，并给出证明．【解析】（1）当n =1时，方程x 2－a 1x －a 1=0有一根为S 1－1=a 1－1， ∴(a 1－1)2－a 1(a 1－1)－a 1=0，解得a 1=12.当n =2时，方程x 2－a 2x －a 2=0有一根为S 2－1=a 1+a 2－1=a 2－12，∴⎝⎛⎭⎫a 2－122－a 2⎝⎛⎭⎫a 2－12－a 2=0，解得a 2=16.下面用数学归纳法证明这个结论． ①当n =1时，结论成立．②假设n =k (k ∈N *，k ≥1)时结论成立，即S k =kk ＋1，当n =k +1时，S k +1=12－S k=12－k k ＋1=k ＋1k ＋2=1(1)1k k +++. 即当n =k +1时结论成立．由①②知S n =nn ＋1对任意的正整数n 都成立．。

2019年全国1卷省份高考模拟理科数学分类----选考不等式1.（2019安徽理科模拟）已知函数f（x）＝|2x﹣3|﹣|x+1|．（Ⅰ）求不等式f（x）≤6的解集；（Ⅱ）设集合M满足：当且仅当x∈M时，f（x）＝|3x﹣2|，若a，b∈M，求证：．【解答】（Ⅰ）解：，＜，，＞，当x＜﹣1时，﹣x+4≤6，得x≥﹣2，故﹣2≤x＜﹣1；当时，﹣3x+2≤6，得，故＜；当＞时，x﹣4≤6，得x≤10，故＜；综上，不等式f（x）≤6的解集为{x|﹣2≤x≤10}．（Ⅱ）证明：由绝对值不等式的性质可知f（x）＝|2x﹣3|﹣|x+1|≤|（2x﹣3）+（x+1）|＝|3x﹣2|，等价于|2x﹣3|≤|﹣（x+1）|+|3x﹣2|，当且仅当（2x﹣3）（x+1）≤0，即时等号成立，故，，所以，，所以0≤（a+1）2，（b﹣1）2≤4，所以（a+1）2﹣（b﹣1）2．即．2.（2019安徽淮南理科模拟）已知函数．求不等式的解集；若对任意恒成立，求的最小值．【答案】解：，，或或解得或，故的解集为或．由函数的解析式得：，，，即，当且仅当时等号成立，，，解得，当且仅当时等号成立，故的最小值为．【解析】通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可；求出函数的最小值，根据基本不等式的性质求出的最小值即可．本题考查了解绝对值不等式问题，考查基本不等式的性质，是一道中档题．3.（2019福建理科模拟）已知函数的图象如图所示.（1）求的值；（2）设，的最大值为，若正数，满足，证明：.【答案】（1）；（2）见解析【解析】（1）由图知和，得；（2）写出的分段形式，求得函数的最大值，由展开利用基本不等式即可得证.【详解】（1）解：由，得，即.由，得，所以.（2）证明：由（1）知，所以，显然的最大值为6，即.因为，所以.因为（当且仅当，时取等号），所以.【点睛】本题主要考查了绝对值函数性质的研究，基本不等式的应用，属于中档题.4.（2019福建漳州理科模拟）已知．若的解集为，求a的值；若对任意，不等式恒成立，求实数a的取值范围．【答案】解：不等式，即，两边平方整理得，由题意知0和2是方程的两个实数根，即，解得；因为，所以要使不等式恒成立，只需，当时，，解得，即；当时，，解得，即；综上所述，a的取值范围是．【解析】利用两边平方法解含有绝对值的不等式，再根据根与系数的关系求出a的值；利用绝对值不等式求出的最小值，把不等式化为只含有a的不等式，求出不等式解集即可．本题考查了含有绝对值的不等式解法与应用问题，也考查了分类讨论思想，是中档题．5.（2019广州理科模拟）己知函数f(x) =|2x-l|-a．(1)当a=l时，解不等式f(x)>x+1；(2)若存在实数x ，使得f(x)< f(x+1)成立，求实数a 的取值范围.（1）解：当1a =时，由()f x x >，得2111x x -->+．当12x ≥时，2111x x -->+， 解得3x >．当12x <时，1211x x -->+，解得13x <-． 综上可知，不等式()1f x x >+的解集为 133x x x ⎧⎫><-⎨⎬⎩⎭或．（2）解法1：由1()(1)2f x f x <+，得1212122a x a x --<+-． 则22121a x x >--+． 令()22121g x x x =--+， 则问题等价于min (())a g x >因为123,,211()61,,22123,,2x x g x x x x x ⎧-+<-⎪⎪⎪=-+-≤≤⎨⎪⎪->⎪⎩min 1()22g x g ⎛⎫==- ⎪⎝⎭．所以实数a 的取值范围为(2,)-+∞．解法2：因为2121(21)(21)x x x x --+≤--+， 即221212x x -≤--+≤，则21212x x --+≥-．所以()2121212212g x x x x x =--++-≥-+-≥-， 当且仅当12x =时等号成立． 所以min ()2g x =-．所以实数a 的取值范围为(2,)-+∞． 6.（2019（1）当2a =时，解不等式()113x f x -+≥； （2）设不等式()13x f x x -+≤的解集为M ，若11,32M ⎡⎤⊆⎢⎥⎣⎦，求实数a 的取值范围． ．解：（1）当2a =时，原不等式可化为3123x x -+-≥， ……………………1分 ①当13x ≤时，1323x x -+-≥，解得0x ≤，所以0x ≤； …………………………2分 ②当123x <<时，3123x x -+-≥，解得1x ≥，所以12x ≤<； …………………3分 ③当2x ≥时，3123x x -+-≥，解得32x ≥，所以2x ≥． …………………………4分综上所述，当2a =时，不等式的解集为{}|01x x x ≤≥或． …………………………5分（2）不等式()13x f x x -+≤可化为313x x a x -+-≤， 依题意不等式313x x a x -+-≤在11,32x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立， ……………………………6分 所以313x x a x -+-≤，即1x a -≤，即11a x a -≤≤+，…………………………8分所以113112a a ⎧-≤⎪⎪⎨⎪+≥⎪⎩，解得1423a -≤≤，故所求实数a 的取值范围是14,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦． ………………………………10分 7.（2019华中师大一附中理科模拟）已知11)(+++=ax x x f 。

2019年高考（理科）数学真题专题09 不等式、推理与证明1．【2019年高考全国II 卷理数】2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日2L 点的轨道运行．2L 点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M １，月球质量为M ２，地月距离为R ，2L 点到月球的距离为r ，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r 满足方程：121223()()M M M R r R r r R +=++.设rRα=，由于α的值很小，因此在近似计算中34532333(1)ααααα++≈+，则r 的近似值为 ABC．D【答案】D 【解析】由rRα=，得r R α= 因为121223()()M M M R r R r r R +=++，所以12122222(1)(1)M M M R R R ααα+=++，即543232221133[(1)]3(1)(1)M M αααααααα++=+-=≈++，解得3α=所以3.r R α==【名师点睛】由于本题题干较长，所以，易错点之一就是能否静心读题，正确理解题意；易错点之二是复杂式子的变形出错．2．【2019年高考全国II 卷理数】若a >b ，则 A ．ln(a −b )>0 B ．3a <3b C ．a 3−b 3>0 D ．│a │>│b │【答案】C【解析】取2,1a b ==，满足a b >，ln()0a b -=，知A 错，排除A ；因为9333a b =>=，知B 错，排除B ；取1,2a b ==-，满足a b >，12a b =<=，知D 错，排除D ，因为幂函数3y x =是增函数，a b >，所以33a b >，故选C ．【名师点睛】本题主要考查对数函数性质、指数函数性质、幂函数性质及绝对值意义，渗透了逻辑推理和运算能力素养，利用特殊值排除即可判断．3．【2019年高考北京卷理数】若x ，y 满足|1|x y ≤-，且y ≥−1，则3x+y 的最大值为 A ．−7 B ．1C ．5D ．7【答案】C【解析】由题意1,11yy x y-≤⎧⎨-≤≤-⎩作出可行域如图阴影部分所示.设3,3z x y y z x =+=-,当直线0:3l y z x =-经过点()2,1-时,z 取最大值5.故选C ．【名师点睛】本题是简单线性规划问题的基本题型,根据“画､移､解”等步骤可得解.题目难度不大,注重了基础知识､基本技能的考查.4．【2019年高考北京卷理数】在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m 2−m 1=52lg 21E E ，其中星等为m k 的星的亮度为E k （k =1，2）．已知太阳的星等是−26.7，天狼星的星等是−1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为 A ． 1010.1B ． 10.1C ． lg10.1D ． 10–10.1【答案】A【解析】两颗星的星等与亮度满足12125lg 2E m m E -=,令211.45,26.7m m =-=-, ()10.111212222lg( 1.4526.7)10.1,1055E E m m E E =⋅-=-+==. 故选：A ．【名师点睛】本题以天文学问题为背景,考查考生的数学应用意识､信息处理能力､阅读理解能力以及指数对数运算.5．【2019年高考天津卷理数】设变量,x y 满足约束条件20,20,1,1,x y x y x y +-≤⎧⎪-+≥⎪⎨-⎪⎪-⎩……，则目标函数4z x y =-+的最大值为 A ．2 B ．3C ．5D ．6【答案】D【解析】已知不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分. 目标函数的几何意义是直线4y x z =+在y 轴上的截距， 故目标函数在点A 处取得最大值.由20,1x y x -+=⎧⎨=-⎩，得(1,1)A -，所以max 4(1)15z =-⨯-+=.故选C.【名师点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域，分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值或范围．即：一画，二移，三求． 6．【2019年高考天津卷理数】设x ∈R ，则“250x x -<”是“|1|1x -<”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】化简不等式，可知 05x <<推不出11x -<， 由11x -<能推出05x <<，故“250x x -<”是“|1|1x -<”的必要不充分条件， 故选B.【名师点睛】本题考查充分必要条件，解题关键是化简不等式，由集合的关系来判断条件.7．【2019年高考浙江卷】若实数,x y 满足约束条件3403400x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪+≥⎩，则32z x y =+的最大值是A ． 1-B ． 1C ． 10D ． 12【答案】C【解析】画出满足约束条件的可行域如图中阴影部分所示。

专题23不等式选讲【母题来源一】【2019年高考全国Ⅱ卷理数】已知()|||2|().f x x a x x x a =-+--（1）当1a =时，求不等式()0f x <的解集；（2）若(,1)x ∈-∞时，()0f x <，求a 的取值范围．【答案】（1）(,1)-∞；（2）[1,)+∞【母题来源二】【2018年高考全国Ⅱ卷理数】设函数()5|||2|f x x a x =-+--．（1）当1a =时，求不等式()0f x ≥的解集；（2）若()1f x ≤，求a 的取值范围．【答案】（1）{|23}x x -≤≤；（2）(,6][2,)-∞-+∞U ．【母题来源三】【2017年高考全国Ⅱ卷理数】已知330,0,2a b a b >>+=．证明：（1）55()()4a b a b ++≥；（2）2a b +≤．【答案】（1）证明略；（2）证明略．【命题意图】1．理解绝对值的几何意义，并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式：（1）a b a b +≤+.（2） a b a c c b -≤-+-.（3）会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：; ; ax b c ax b c x a x b c +≤+≥-+-≥.2．了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法.3．主要考查逻辑推理能力、运算求解能力，考查分类讨论、数形结合思想方法，考查逻辑推理、数学运算等核心【命题规律】从近三年高考情况来看，此类知识点以解答题的形式出现，主要考查绝对值不等式的解法、不等式的证明、求最值问题等.【方法总结】（一）解绝对值不等式的常用方法有：（1）公式法：对于形如|f (x )|>g (x )或|f (x )|<g (x )，利用公式|x|<a ⇔−a<x<a (a>0)和|x|>a ⇔x>a 或x<−a (a>0)直接求解不等式；（2）平方法：对于形如|f (x )|≥|g (x )|，利用不等式两边平方的技巧，去掉绝对值，需保证不等式两边同正或同负，即|f (x )|≥|g (x )|⇔f (x )2≥g 2(x )；（3）零点分段法：对于形如|f (x )|±|g (x )|≥a ，|f (x )|±|g (x )|≤a ，利用零点分区间法脱去绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)求解；（4）几何法：对于形如|x±a|±|x±b|≤c ，|x±a|±|x±b|≥c ，利用绝对值三角不等式的性质求解，即 ①定理1:如果a ，b 是实数，则|a+b|≤|a|+|b|，当且仅当ab ≥0时，等号成立.②定理2:如果a ，b ，c 是实数，那么|a −c|≤|a −b|+|b −c|，当且仅当(a −b )(b −c )≥0时，等号成立.③推论1:||a|−|b||≤|a+b|.④推论2:||a|−|b||≤|a −b|.（5）图象法：对于形如|f (x )|+|g (x )|≥a 可构造y=|f (x )|+|g (x )|−a 或y=|f (x )|+|g (x )|与y=a ，在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的图象，利用函数图象求解或通过移项构造一个函数.（二）含绝对值不等式的恒成立问题的常见类型及其解法：（1）分享参数法运用“max min ()(),()()f x a f x a f x a f x a ≤⇔≤≥⇔≥”可解决恒成立中的参数范围问题.求最值的思路：利用基本不等式和不等式的相关性质解决；将函数解析式用分段函数形式表示，作出函数图象，求得最值；利用性质“||||||||||||a b a b a b -≤±≤+”求最值.（2）更换主元法不少含参不等式恒成立问题，若直接从主元入手非常困难或不可能解决时，可转换思维角度，将主元与参数互换，常可得到简捷的解法.（3）数形结合法在研究曲线交点的恒成立问题时，若能数形结合，揭示问题所蕴含的几何背景，发挥形象思维和抽象思维各自的优势，可直接解决问题.（三）不等式的证明（1）比较法证明不等式最常用的是差值比较法，其基本步骤是：作差—变形—判断差的符号—下结论.其中“变形”是证明的关键，一般通过因式分解或配方将差式变形为几个因式的积或配成几个代数式平方和的形式，当差式是二次三项式时，有时也可用判别式来判断差值的符号.个别题目也可用柯西不等式来证明.（2）基本不等式:如果a ，b>0，那么2a b +≥，当且仅当a=b 时，等号成立.用语言可以表述为:两个正数的算术平均数不小于(即大于或等于)它们的几何平均数.（3）算术平均—几何平均定理(基本不等式的推广):对于n 个正数a 1，a 2，…，a n ，它们的算术平均数不小于它们的几何平均数，即12n a a a n+++≥L a 1=a 2=…=a n 时，等号成立.1．【陕西省汉中市2019届高三全真模拟考试数学试题】已知函数()f x x a x b =++-.（1）当1a =，1b =时，求不等式()4f x ≤的解集；（2）若0a >，0b >，()f x 的最小值为2，求12a b +的最小值.【答案】（1）{}22x x -≤≤；（2）32+2．【重庆西南大学附属中学校2019届高三第十次月考数学试题】设函数()333()442f x x x g x x a x =-+-=-++，． （1）解不等式()10f x >；（2）若对于任意1x ∈R ，都存在2x ∈R ，使得12()()f x g x =成立，试求实数a 的取值范围．【答案】（1）{}41x x x ><-或；（2）[4,0]-.3．【辽宁省葫芦岛市普通高中2019届高三第二次模拟考试数学试题】已知函数()|3|f x x =-.（1）若()1f x ≤，求x 的取值范围；（2）在（1）的条件下，求()g x =.【答案】（1）[2,4]；（2.4．【甘肃省、青海省、宁夏回族自治区2019届高三5月联考数学试题】已知函数()|2|f x x =+.（1）求不等式()(2)4f x f x x +-<+的解集； （2）若x ∀∈R ，使得()()(2)f x a f x f a ++…恒成立，求a 的取值范围. 【答案】（1）{}|22x x -<<；（2）22,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦.5．【黑龙江省哈尔滨市第三中学2019届高三第二次模拟数学试题】（1）已知,,a b c +∈R ，且1a b c ++=，证明1119a b c++≥；（2）已知,,a b c +∈R ，且1abc =111a b c ≤++. 【答案】（1）见解析（2）见解析6．【宁夏石嘴山市第三中学2019届高三四模考试数学试题】已知关于x 的不等式20x m x -+≤的解集为{|2}x x ≤-，其中0m >.（1）求m 的值；（2）若正数a ，b ，c 满足a b c m ++=，求证：2222b c a a b c++≥. 【答案】（1）2m =；（2）见证明.7．【海南省海口市2019年高考调研测试卷数学试题】已知函数()221f x x x =++-.（1）求()f x 的最小值；（2）若不等式()0f x x a +-<的解集为(,)m n ，且6n m -=，求a 的值.【答案】（1）3（2）8a =8．【青海省西宁市第四高级中学、第五中学、第十四中学三校2019届高三4月联考数学试题】已知()2321f x x x =+--.（1）求不等式()2f x <的解集；（2）若存在x ∈R ，使得()32f x a >-成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）(),0-∞；（2）2,23⎛⎫-⎪⎝⎭.9．【新疆乌鲁木齐市2019届高三第二次诊断性测试数学试题】已知函数0,))0((f x x a x b a b =+-->>. （1）当1,2a b ==时，解关于x 的不等式()2f x >；（2）若函数()f x 的最大值是3，求12a b+的最小值.【答案】（1）32x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭；（2）(133+.10．【重庆市南开中学2019届高三第三次教学质量检测考试数学试题】已知函数()2145f x x x =++-的最小值为M .（1）求M ；（2）若正实数a ，b ，c 满足a b c M ++=，求证：2222227a b a c b c c b a+++++≥. 【答案】（1）72；（2）详见解析.。

E单元不等式E1 不等式的概念与性质6.B6,B7,E1[2019·全国卷Ⅱ]若a>b,则()A.ln(a-b)>0B.3a<3bC.a3-b3>0D.|a|>|b|6.C[解析]因为a>b,不妨设a=-1,b=-2,则ln(a-b)=ln1=0,3-1>3-2,|-1|<|-2|,选项A,B,D均错,故选C.E2 绝对值不等式的解法3.A2,E2,E3[2019·天津卷]设x∈R,则“x2-5x<0”是“|x-1|<1”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.B[解析]设一元二次不等式x2-5x<0的解集为A,绝对值不等式|x-1|<1的解集为B,则A={x|0<x<5},B={x|0<x<2},易知B⫋A,所以“x2-5x<0”是“|x-1|<1”的必要而不充分条件.E3 一元二次不等式的解法1.A1,E3[2019·全国卷Ⅰ]已知集合M={x|-4<x<2},N={x|x2-x-6<0},则M∩N=()A.{x|-4<x<3}B.{x|-4<x<-2}C.{x|-2<x<2}D.{x|2<x<3}1.C[解析]因为N={x|x2-x-6<0}={x|-2<x<3},所以M∩N={x|-4<x<2}∩{x|-2<x<3}={x|-2<x<2}.1.A1,E3[2019·全国卷Ⅱ]设集合A={x|x2-5x+6>0},B={x|x-1<0},则A∩B=()A.(-∞,1)B.(-2,1)C.(-3,-1)D.(3,+∞)1.A[解析]因为A=(-∞,2)∪(3,+∞),B=(-∞,1),所以A∩B=(-∞,1).1.A1,E3[2019·全国卷Ⅲ]已知集合A={-1,0,1,2},B={x|x2≤1},则A∩B=()A.{-1,0,1}B.{0,1}C.{-1,1}D.{0,1,2}1.A[解析]因为A={-1,0,1,2},B={x|x2≤1}={x|-1≤x≤1},所以A∩B={-1,0,1}.3.A2,E2,E3[2019·天津卷]设x∈R,则“x2-5x<0”是“|x-1|<1”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.B[解析]设一元二次不等式x2-5x<0的解集为A,绝对值不等式|x-1|<1的解集为B,则A={x|0<x<5},B={x|0<x<2},易知B⫋A,所以“x2-5x<0”是“|x-1|<1”的必要而不充分条件.E4 简单的一元高次不等式的解法E5 简单的线性规划问题5.E5[2019·北京卷]若x,y满足|x|≤1-y,且y≥-1,则3x+y的最大值为()A.-7B.1C.5D.75.C[解析]作出可行域,如图中阴影部分所示,其中A(2,-1),B(-2,-1),C(0,1).设z=3x+y,当直线z=3x+y经过点A(2,-1)时,z=3×2-1=5;当直线z=3x+y经过点B(-2,-1)时,z=3×(-2)-1=-7;当直线z=3x+y经过点C(0,1)时,z=3×0+1=1.由于线性目标函数的最值在三角形ABC的顶点处取到,所以z=3x+y 的最大值为5.故选C .2.E5[2019·天津卷] 设变量x ,y 满足约束条件{x +y -2≤0,x -y +2≥0,x ≥-1,y ≥-1,则目标函数z=-4x+y 的最大值为( )A .2B .3C .5D .62.C [解析] 作出可行域,如图所示,由图可知,当直线y=4x+z 经过直线x=-1与直线x-y+2=0的交点M (-1,1)时,目标函数z=-4x+y 取得最大值5.3.E5[2019·浙江卷] 若实数x , y 满足约束条件{x -3y +4≥0,3x -y -4≤0,x +y ≥0,则z=3x+2y 的最大值是 ( )A .-1B .1C .10D .123.C [解析] 作出可行域如图中阴影部分所示.由z=3x+2y ,得y=-32x+z2,易知当直线y=-32x+z2过点A 时,z 取得最大值,由{x -3y +4=0,3x -y -4=0,得A (2,2),所以z=3x+2y 的最大值为10.E6 2a bab + 21.H5,H8,H9,E6[2019·全国卷Ⅱ] 已知点A (-2,0),B (2,0),动点M (x ,y )满足直线AM 与BM 的斜率之积为-12.记M 的轨迹为曲线C. (1)求C 的方程,并说明C 是什么曲线.(2)过坐标原点的直线交C 于P ,Q 两点,点P 在第一象限,PE ⊥x 轴,垂足为E ,连接QE 并延长交C 于点G.(i)证明:△PQG 是直角三角形; (ii)求△PQG 面积的最大值.21.解:(1)由题设得yx+2·yx -2=-12,化简得x 24+y 22=1(|x|≠2),所以C 为中心在坐标原点,焦点在x 轴上的椭圆,不含左右顶点.(2)(i)证明:设直线PQ 的斜率为k ,则其方程为y=kx (k>0).由{y =kx,x 24+y 22=1得x=±2√1+2k .记u=1+2k ,则P (u ,uk ),Q (-u ,-uk ),E (u ,0),于是直线QG 的斜率为k2,方程为y=k2(x-u ).由{y =k2(x -u),x 24+y 22=1得(2+k 2)x 2-2uk 2x+k 2u 2-8=0.① 设G (x G ,y G ),则-u 和x G 是方程①的解,故x G =u(3k 2+2)2+k2,由此得y G =uk32+k2,从而直线PG 的斜率为uk 32+k 2-uk u(3k 2+2)2+k 2-u =-1k ,所以PQ ⊥PG ,即△PQG 是直角三角形. (ii)由(i)得|PQ|=2u √1+k 2,|PG|=2uk √k 2+12+k2,所以△PQG 的面积S=12|PQ||PG|=8k(1+k 2)(1+2k 2)(2+k 2)=8(1k +k )1+2(1k+k )2.设t=k+1k ,则由k>0得t ≥2,当且仅当k=1时取等号.因为S=8t1+2t 2在[2,+∞)单调递减,所以当t=2, 即k=1时,S 取得最大值, 最大值为169. 因此,△PQG 面积的最大值为169.10.E6、H2[2019·江苏卷] 在平面直角坐标系xOy 中,P 是曲线y=x+4x (x>0)上的一个动点,则点P 到直线x+y=0的距离的最小值是 . 10.4 [解析] 方法一:由已知可设P (x,x +4x ),x>0, 所以点P 到直线x+y=0的距离d=|x+x+4x |√2=2x+4x √2≥2√2x ·4x√2=4,当且仅当2x=4x ,即x=√2时取等号,故点P 到直线x+y=0的距离的最小值为4.方法二:作直线x+y=0的平行线x+y+C=0(图略),当直线x+y+C=0与曲线y=x+4x (x>0)相切于点P 时,点P 到直线x+y=0的距离最小.由{x +y +C =0,y =x +4x,得2x 2+Cx+4=0,所以Δ=C 2-32=0,解得C=±4√2.因为x>0,所以y>0,所以C<0,则C=-4√2,则所求距离的最小值为√2=4.13.E6 [2019·天津卷] 设x>0,y>0,x+2y=5,则xy的最小值为 .13.4√3 [解析] 因为x>0,y>0,x+2y=5, 所以(x+1)(2y+1)xy =2xy+(x+2y)+1xy =2xy+6xy =2(√xy 3xy)≥4√3, 当且仅当x=3,y=1或x=2,y=32时等号成立,故√xy 的最小值为4√3.5.A2,E6[2019·浙江卷] 设a>0,b>0,则“a+b ≤4”是“ab ≤4”的 ( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充分必要条件 D .既不充分也不必要条件 5.A [解析] 由题知a>0,b>0,若a+b ≤4,则ab ≤(a+b 2)2≤4,当且仅当a=b=2时等号成立;若ab ≤4,取a=6,b=12,则a+b>4.所以“a+b ≤4”是“ab ≤4”的充分不必要条件.21.H7,H8,E6[2019·浙江卷] 如图1-4,已知点F (1,0)为抛物线y 2=2px (p>0)的焦点.过点F 的直线交抛物线于A ,B 两点,点C 在抛物线上,使得△ABC 的重心G 在x 轴上,直线AC 交x 轴于点Q ,且Q 在点F 的右侧.记△AFG ,△CQG 的面积分别为S 1,S 2.图1-4(1)求p 的值及抛物线的准线方程; (2)求S1S 2的最小值及此时点G 的坐标.21.解:(1)由题意得p2=1,即p=2. 所以,抛物线的准线方程为x=-1.(2)设A (x A ,y A ),B (x B ,y B ),C (x C ,y C ),重心G (x G ,y G ).令y A =2t ,t ≠0,则x A =t 2. 由于直线AB 过点F ,故直线AB 的方程为x=t 2-12t y+1,代入y 2=4x ,得y 2-2(t 2-1)ty-4=0,故2ty B =-4,即y B =-2t ,所以B (1t 2,-2t ).又由于x G =13(x A +x B +x C ),y G =13(y A +y B +y C )及重心G 在x 轴上,故2t-2t +y C =0, 得C ((1t -t)2,2(1t -t)),G (2t 4-2t 2+23t 2,0). 所以,直线AC 的方程为y-2t=2t (x-t 2),得Q (t 2-1,0). 由于Q 在焦点F 的右侧,故t 2>2.从而S 1S 2=12|FG|·|y A |12|QG|·|y C |=|2t 4-2t 2+23t 2-1|·|2t||t 2-1-2t 4-2t 2+23t 2|·|2t -2t |=2t 4-t 2t 4-1=2-t 2-2t 4-1.令m=t 2-2,则m>0,S1S 2=2-m m 2+4m+3=2-1m+3m +4≥2-2√m ·3m +4=1+√32.当m=√3时,S 1S 2取得最小值1+√32,此时G (2,0).E7 不等式的证明方法20.E7,B11,B12[2019·天津卷] 设函数f (x )=e x cos x ,g (x )为f (x )的导函数. (1)求f (x )的单调区间;(2)当x ∈[π4,π2]时,证明f (x )+g (x )(π2-x)≥0;(3)设x n 为函数u (x )=f (x )-1在区间(2nπ+π4,2nπ+π2)内的零点,其中n ∈N,证明2n π+π2-x n <e -2nπsin x0-cos x 0. 20.解:(1)由已知,有f'(x )=e x (cos x-sin x ).因此,当x ∈(2kπ+π4,2kπ+5π4)(k ∈Z)时,有sin x>cos x ,得f'(x )<0,则f (x )单调递减;当x ∈(2kπ-3π4,2kπ+π4)(k ∈Z)时,有sin x<cos x ,得f'(x )>0,则f (x )单调递增.所以,f (x )的单调递增区间为[2kπ-3π4,2kπ+π4](k ∈Z),f (x )的单调递减区间为[2kπ+π4,2kπ+5π4](k ∈Z).(2)证明:记h (x )=f (x )+g (x )(π2-x).依题意及(1),有g (x )=e x (cos x-sin x ),从而g'(x )=-2e x sin x ,当x ∈(π4,π2)时,g'(x )<0,故h'(x )=f'(x )+g'(x )(π2-x)-g (x )=g'(x )(π2-x)<0. 因此,h (x )在区间[π4,π2]上单调递减,进而h (x )≥h (π2)=f (π2)=0. 所以,当x ∈[π4,π2]时,f (x )+g (x )(π2-x)≥0.(3)证明:依题意,u (x n )=f (x n )-1=0,即e x n cos x n =1.记y n =x n -2n π,则y n ∈(π4,π2),且f (y n )=e y n cosy n =e x n -2nπcos(x n -2n π)=e -2n π(n ∈N).由f (y n )=e -2n π≤1=f (y 0)及(1),得y n ≥y 0.由(2)知,当x ∈(π4,π2)时,g'(x )<0,所以g (x )在[π4,π2]上为减函数,因此g (y n )≤g (y 0)<g (π4)=0.又由(2)知,f (y n )+g (y n )(π2-y n )≥0,故π2-y n ≤-f(y n )g(y n)=-e -2nπg(y n)≤-e -2nπg(y 0)=e -2nπe y 0(sin y 0-cos y 0)<e -2nπsin x 0-cos x 0.所以,2n π+π2-x n <e -2nπsin x0-cos x 0.E8 不等式的综合应用4.E8, M1[2019·全国卷Ⅰ] 古希腊时期,人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是√5-12(√5-12≈0.618,称为黄金分割比例),著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外,最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是√5-12.若某人满足上述两个黄金分割比例,且腿长为105 cm,头顶至脖子下端的长度为26 cm,则其身高可能是( )图1-1A .165 cmB .175 cmC .185 cmD .190 cm4.B [解析] 设此人肚脐至足底的长度为x cm,则头顶至肚脐的长度约为0.618x cm,而x>105,所以身高约为x+0.618x>1.618×105≈170(cm);头顶至咽喉的长度小于26 cm,所以头顶至肚脐的长度小于26+260.618≈68(cm),所以身高小于68+680.618≈178(cm).结合选项可知选B .14.E8[2019·北京卷] 李明自主创业,在网上经营一家水果店,销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃,价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.为增加销量,李明对这四种水果进行促销:一次购买水果的总价达到120元,顾客就少付x 元.每笔订单顾客网上支付成功后,李明会得到支付款的80%.①当x=10时,顾客一次购买草莓和西瓜各1盒,需要支付 元;②在促销活动中,为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折,则x 的最大值为 .14.130 15 [解析] ①一次购买草莓和西瓜各1盒,总价为60+80=140(元),超过120元,所以顾客少付10元,即顾客只需要支付130元.②设促销前总价为T 元,依题意得,(T-x )×80%≥0.7T 对T ≥120恒成立,所以x ≤18T 对T ≥120恒成立,等价于x ≤(18T )min=18×120=15,所以x 的最大值为15.E9 单元综合8.[2019·黑龙江大庆一中模拟] 已知p :2xx -1<1,q :(x+a )(x-3)>0,若p 是q 的充分不必要条件,则实数a 的取值范围是 ( ) A .(-3,-1] B .[-3,-1] C .(-∞,-1]D .(-∞,-3]8.C [解析] 由2xx -1<1得x+1x -1<0,解得-1<x<1.因为p 是q 的充分不必要条件,所以-a ≥1,则a ≤-1.故选C .8.[2019·陕西汉中联考] 已知x>0,函数f (x )=(e x -a)2+(e -x +a)2e x -e -x的最小值为6,则a= ( )A .-2B .-1或7C .1或-7D .28.B[解析] f (x )=e 2x +e -2x -2a(e x -e -x )+2a 2e x -e -x=(e x -e -x )2-2a(e x -e -x )+2a 2+2e x -e -x=e x -e -x +2a 2+2e x -e -x-2a ≥2√2a 2+2-2a=6(当且仅当e x -e -x =√2a 2+2时取等号),此时a 2-6a-7=0,解得a=-1或7,故选B .11.[2019·辽宁联考] 已知函数f (x )=2x -12x +1+x+sin x ,若正实数a ,b 满f (4a )+f (b-9)=0,则1a +1b 的最小值是( )A .1B .92 C .9 D .1811.A [解析] 因为f (x )=2x -12x +1+x+sin x (x ∈R),所以f (-x )=2-x -12-x +1-x-sin x=-(2x -12x +1+x+sinx)=-f (x ),所以函数f (x )为奇函数,又正实数a ,b 满f (4a )+f (b-9)=0,所以4a+b-9=0,所以1a +1b =19×(1a +1b )(4a+b )=19×(4+b a +4a b +1)=19×(5+b a +4a b )≥19(5+2√4)=1,当且仅当b a =4a b,即b=2a=3时,取等号.故选A .。