2010-2017年高考数学全国卷试题汇编(不等式选讲部分)

2017年高考数学试题分类汇编：不等式1（2017北京文）已知，，且x +y =1，则的取值范围是__________．【考点】3W ：二次函数的性质．【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；49 ：综合法；51 ：函数的性质及应用． 【分析】利用已知条件转化所求表达式，通过二次函数的性质求解即可． 【解答】解：x ≥0，y ≥0，且x +y=1，则x 2+y 2=x 2+（1﹣x ）2=2x 2﹣2x +1，x ∈[0，1]，则令f （x ）=2x 2﹣2x +1，x ∈[0，1]，函数的对称轴为：x=，开口向上， 所以函数的最小值为：f （）==．最大值为：f （1）=2﹣2+1=1． 则x 2+y 2的取值范围是：[，1]． 故答案为：[，1]．【点评】本题考查二次函数的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．2（2017浙江）已知a R ，函数在区间[1，4]上的最大值是5，则的取值范围是___________．【考点】3H ：函数的最值及其几何意义．【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；49 ：综合法；51 ：函数的性质及应用． 【分析】通过转化可知|x +﹣a |+a ≤5且a ≤5，进而解绝对值不等式可知2a ﹣50x ≥0y ≥22x y +∈4()||f x x a a x=+-+a≤x+≤5，进而计算可得结论．【解答】解：由题可知|x+﹣a|+a≤5，即|x+﹣a|≤5﹣a，所以a≤5，又因为|x+﹣a|≤5﹣a，所以a﹣5≤x+﹣a≤5﹣a，所以2a﹣5≤x+≤5，又因为1≤x≤4，4≤x+≤5，所以2a﹣5≤4，解得a≤，故答案为：（﹣∞，]．【点评】本题考查函数的最值，考查绝对值函数，考查转化与化归思想，注意解题方法的积累，属于中档题．3（2017新课标Ⅲ文数）[选修4—5：不等式选讲]（10分）f x=│x+1│–│x–2│.已知函数()f x≥1的解集；（1）求不等式()f x≥x2–x +m的解集非空，求实数m的取值范围.（2）若不等式()【考点】R4：绝对值三角不等式；R5：绝对值不等式的解法．【专题】32 ：分类讨论；33 ：函数思想；4C ：分类法；4R：转化法；51 ：函数的性质及应用；5T ：不等式．【分析】（1）由于f（x）=|x+1|﹣|x﹣2|=，解不等式f（x）≥1可分﹣1≤x≤2与x＞2两类讨论即可解得不等式f（x）≥1的解集；（2）依题意可得m≤[f（x）﹣x2+x]max，设g（x）=f（x）﹣x2+x，分x≤1、﹣1＜x＜2、x≥2三类讨论，可求得g（x）max=，从而可得m的取值范围．【解答】解：（1）∵f（x）=|x+1|﹣|x﹣2|=，f（x）≥1，∴当﹣1≤x≤2时，2x﹣1≥1，解得1≤x≤2；当x＞2时，3≥1恒成立，故x＞2；综上，不等式f（x）≥1的解集为{x|x≥1}．（2）原式等价于存在x∈R使得f（x）﹣x2+x≥m成立，即m≤[f（x）﹣x2+x]max，设g（x）=f（x）﹣x2+x．由（1）知，g（x）=，当x≤﹣1时，g（x）=﹣x2+x﹣3，其开口向下，对称轴方程为x=＞﹣1，∴g（x）≤g（﹣1）=﹣1﹣1﹣3=﹣5；当﹣1＜x＜2时，g（x）=﹣x2+3x﹣1，其开口向下，对称轴方程为x=∈（﹣1，2），∴g（x）≤g（）=﹣+﹣1=；当x≥2时，g（x）=﹣x2+x+3，其开口向下，对称轴方程为x=＜2，∴g（x）≤g（2）=﹣4+2+3=1；综上，g（x）max=，∴m 的取值范围为（﹣∞，]．【点评】本题考查绝对值不等式的解法，去掉绝对值符号是解决问题的关键，突出考查分类讨论思想与等价转化思想、函数与方程思想的综合运用，属于难题．4（2017新课标Ⅲ理数）．[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知函数f （x ）=│x +1│–│x –2│． （1）求不等式f （x ）≥1的解集；（2）若不等式f （x ）≥x 2–x +m 的解集非空，求m 的取值范围．解：（1）当1x ≤-时()()()1231f x x x =-++-=-≤无解当12x -<<时()1(2)212111f x x x x x x =++-=--≥≥∴12x <<当2x ≥时()1(2)3312f x x x x =+--=>∴≥Q 综上所述()1f x ≥的解集为 [1,)+∞.（2）原式等价于存在x R ∈，使2()f x x x m -+≥ 成立，即 2max [()]f x x x m -+≥设2()()g x f x x x =-+由（1）知 2223,1()31,123,2x x x g x x x x x x x ⎧-+-≤-⎪=-+--<<⎨⎪-++≥⎩当1x ≤-时，2()3g x x x =-+-5（2017新课标Ⅱ文）[选修4−5：不等式选讲]（10分） 已知330,0,2a b a b >>+=.证明：（1）55()()4a b a b ++≥； （2）2a b +≤. 【解析】（1）()()()()()5565562333344222244++=+++=+-++=+-≥a b ab a ab a b b a ba b ab a b ab a b（2）因为()()()()()33223233323+3+3+2++244a +=+++=+≤=+b a a b ab b ab a b a b a b a b所以()3+8≤a b ，因此a+b≤2.6（2017新课标Ⅱ理）[选修4—5：不等式选讲]（10分）已知330,0,2a b a b >>+=．证明：（1）55()()4a b a b ++≥； （2）2a b +≤． 【解析】（1）()()()()()5565562333344222244++=+++=+-++=+-≥a b ab a ab a b b a ba b ab a b ab a b（2）因为()()()()()33223233323+3+3+2++244a +=+++=+≤=+b a a b ab b ab a b a b a b a b所以()3+8≤a b，因此a+b≤2.7（2017新课标Ⅰ文数）[选修4—5：不等式选讲]（10分）已知函数f （x ）=–x 2+ax +4，g (x )=│x +1│+│x –1│. （1）当a =1时，求不等式f （x ）≥g （x ）的解集；（2）若不等式f （x ）≥g （x ）的解集包含[–1，1]，求a 的取值范围.解：（1）当1a =时，不等式()()f x g x ≥等价于2|1||1|40x x x x -+++--≤.①当1x <-时，①式化为2340x x --≤，无解；当11x -≤≤时，①式化为220x x --≤，从而11x -≤≤；当1x >时，①式化为240x x +-≤，从而1x <≤.所以()()f x g x ≥的解集为{|1x x -<≤. （2）当[1,1]x ∈-时，()2g x =.所以()()f x g x ≥的解集包含[1,1]-，等价于当[1,1]x ∈-时()2f x ≥.又()f x 在[1,1]-的最小值必为(1)f -与(1)f 之一，所以(1)2f -≥且(1)2f ≥，得11a -≤≤.所以a 的取值范围为[1,1]-.8（2017新课标Ⅰ理数）设x 、y 、z 为正数，且235x y z==，则A ．2x <3y <5zB ．5z <2x <3yC ．3y <5z <2xD ．3y <2x <5z【考点】72：不等式比较大小．【专题】35 ：转化思想；51 ：函数的性质及应用；59 ：不等式的解法及应用．【分析】x、y、z为正数，令2x=3y=5z=k＞1．lgk＞0．可得x=，y=，z=．可得3y=，2x=，5z=．根据==，＞=．即可得出大小关系．另解：x、y、z为正数，令2x=3y=5z=k＞1．lgk＞0．可得x=，y=，z=．==＞1，可得2x＞3y，同理可得5z＞2x．【解答】解：x、y、z为正数，令2x=3y=5z=k＞1．lgk＞0．则x=，y=，z=．∴3y=，2x=，5z=．∵==，＞=．∴＞lg＞＞0．∴3y＜2x＜5z．另解：x、y、z为正数，令2x=3y=5z=k＞1．lgk＞0．则x=，y=，z=．∴==＞1，可得2x＞3y，==＞1．可得5z＞2x．综上可得：5z ＞2x ＞3y ．解法三：对k 取特殊值，也可以比较出大小关系． 故选：D ．【点评】本题考查了对数函数的单调性、换底公式、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9（2017新课标Ⅰ理数）．[选修4—5：不等式选讲]（10分）已知函数f （x ）=–x 2+ax +4，g (x )=│x +1│+│x –1│. （1）当a =1时，求不等式f （x ）≥g （x ）的解集；（2）若不等式f （x ）≥g （x ）的解集包含[–1，1]，求a 的取值范围.【解析】（1）当1a =时，不等式()()f x g x ≥等价于2|1||1|40x x x x -+++--≤.①10（2017天津文）若a，b∈R，0ab>，则4441a bab++的最小值为 .【考点】7F：基本不等式．【专题】34 ：方程思想；4R：转化法；5T ：不等式．【分析】【方法一】两次利用基本不等式，即可求出最小值，需要注意不等式等号成立的条件是什么．【方法二】将拆成+，利用柯西不等式求出最小值．【解答】解：【解法一】a，b∈R，ab＞0，∴≥==4ab+≥2=4，当且仅当，即，即a=，b=或a=﹣，b=﹣时取“=”；∴上式的最小值为4．【解法二】a，b∈R，ab＞0，∴=+++≥4=4，当且仅当，即，即a=，b=或a=﹣，b=﹣时取“=”；∴上式的最小值为4．故答案为：4．【点评】本题考查了基本不等式的应用问题，是中档题．11（2017天津理）若,a b ∈R ，0ab >，则4441a b ab++的最小值为___________. 【答案】4 【解析】442241414a b a b ab ab+++≥≥ ，当且仅当21a b ==时取等号12（2017山东文）若直线1(00)x y a b a b+=＞，＞ 过点（1,2）,则2a +b 的最小值为 . 【答案】8（7）（2017山东理）若0a b >>，且1ab =，则下列不等式成立的是（A ）()21log 2a b a a b b +<<+ （B ）()21log 2a b a b a b<+<+ （C ）()21log 2a b a a b b +<+< （D ）()21log 2a b a b a b +<+< 【答案】B【解析】221,01,1,log ()log 1,2a b a b a b ><<∴<+>= 12112log ()a b a a b a a b b b+>+>+⇒+>+ ，所以选B.13（2017江苏）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则的值是 ▲ ．【解析】总费用600900464()4240x x x x +⨯=+≥⨯=，当且仅当900x x=，即30x =时等号成立.14(2017年江苏卷)［选修4-5：不等式选讲］（本小题满分10分）已知为实数，且证明： 【解析】由柯西不等式可得22222()()()a b c d ac bd ++≥+， 即2()41664ac bd +≤⨯=，故8ac bd +≤.15（2017北京理）能够说明“设a ，b ，c 是任意实数．若a ＞b ＞c ，则a +b ＞c ”是假命题的一组整数a ，b ，c 的值依次为______________________________． x 4x x ,,,a b c d 22224,16,a b c d +=+=8.ac bd +≤【考点】FC：反证法．【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；4O：定义法；5L ：简易逻辑．【分析】设a，b，c是任意实数．若a＞b＞c，则a+b＞c”是假命题，则若a＞b ＞c，则a+b≤c”是真命题，举例即可，本题答案不唯一【解答】解：设a，b，c是任意实数．若a＞b＞c，则a+b＞c”是假命题，则若a＞b＞c，则a+b≤c”是真命题，可设a，b，c的值依次﹣1，﹣2，﹣3，（答案不唯一），故答案为：﹣1，﹣2，﹣3【点评】本题考查了命题的真假，举例说明即可，属于基础题．16.（2017•新课标Ⅲ文数）设x，y满足约束条件则z=x﹣y的取值范围是（）A．[﹣3，0]B．[﹣3，2]C．[0，2]D．[0，3]【考点】7C：简单线性规划．【专题】11 ：计算题；31 ：数形结合；35 ：转化思想；5T ：不等式．【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解目标函数的范围即可．【解答】解：x，y满足约束条件的可行域如图：目标函数z=x﹣y，经过可行域的A，B时，目标函数取得最值，由解得A（0，3），由解得B（2，0），目标函数的最大值为：2，最小值为：﹣3，目标函数的取值范围：[﹣3，2]．故选：B．【点评】本题考查线性规划的简单应用，目标函数的最优解以及可行域的作法是解题的关键．。

全国卷2017-2010文数学试题及答案分类汇编六、不等式和线性规划1、(2010全国文数1) (3)若变量,x y 满足约束条件1,0,20,y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩则2z x y =-的最大值(A)4 (B)3 (C)2 (D)12、(2010全国文数1) (13)不等式02322>++-x x x 的解集是 . 3、2010全国文数2)（２）不等式32x x -<+的解集为（ ）（Ａ）{|23}x x -<< （Ｂ）{|2}x x <- （Ｃ）{|23}x x x <->或 （Ｄ） {|3}x x >4、(2010全国文数2) (5) 若变量,x y 满足约束条件1,,325x y x x y -⎧⎪⎨⎪+⎩≥≥≤，则2z x y =+的最大值为(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D)45、(2010全国文数3)（11）已知▱ABCD 的三个顶点为A （﹣1，2），B （3，4），C （4，﹣2），点（x ，y ）在▱ABCD 的内部，则z=2x ﹣5y 的取值范围是（ ） A ．（﹣14，16）B ．（﹣14，20） C ．（﹣12，18）D ．（﹣12，20）6、(2011全国文数1) (4)若变量x ，y 满足约束条件63-21x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则=23z x y +的最小值为（A ）17 （B ）14 （C ）5 （D ）37、(2011全国文数1) (5)下面四个条件中，使a b >成立的充分而不必要的条件是（A ）1a b +＞ （B ）1a b -＞ （C ）22a b ＞ （D ）33a b ＞8、设x ，y 满足约束条件1300x y x y x y -≥-⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，则2z x y =-的取值范围为___________。

9、（2012全国文数2）（5）已知正三角形ABC 的顶点A(1,1)，B(1,3)，顶点C 在第一象限，若点（x ，y ）在△ABC 内部，则z x y =-+的取值范围是（A ）(1－3，2) （B ）(0，2) （C ）(3－1，2) （D ）(0，1+3) 10、(2013全国文数1)（14）设x ，y 满足约束条件13,10,x x y ≤≤⎧⎨-≤-≤⎩则z ＝2x －y 的最大值为______．11、(2013全国文数2)(3)设x ，y 满足约束条件10,10,3,x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩则z ＝2x －3y 的最小值是( )．A ．－7B ．－6C ．－5D ．－312、(2013全国文数2)（8）设a ＝log 32，b ＝log 52，c ＝log 23，则( )． A ．a ＞c ＞b B ．b ＞c ＞a C ．c ＞b ＞a D ．c ＞a ＞b 13、(2013全国文数3)（4）不等式|x 2－2|＜2的解集是( )．A ．(－1,1)B ．(－2,2)C ．(－1,0)∪(0,1)D ．(－2,0)∪(0,2)14、(2013全国文数3)，(15)若x ，y 满足约束条件0,34,34,x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩则z ＝－x ＋y 的最小值为______．15、（2014全国文数1）（11）设x ，y 满足约束条件，且z=x+ay 的最小值为7，则a=（ ）A ． ﹣5B ． 3C ． ﹣5或3D ． 5或﹣3 16、（2014全国文数2）（9）设x ，y 满足约束条件，则z=x+2y 的最大值为（ ）A ． 8B ． 7C ． 2D ． 117、（2015全国文数1）若x ，y 满足约束条件，则z=3x+y 的最大值为 ．18、(2015全国文数2)（14）若x,y 满足约束条⎪⎩⎪⎨⎧+=≤+-≥--≤-+的最大值为则y x z y x y x y x 2,012,012,05 。

2010-2017年高考数学全国卷试题汇编（不等式选讲部分）1.【2010年新课标】设函数()241f x x =-+.（Ⅰ）画出函数()y f x =的图像； （Ⅱ）若不等式()f x ≤ax 的解集非空，求a 的取值范围.2.【2011年新课标】设函数()3f x x a x =-+,其中0a >.（Ⅰ）当1a =时,求不等式()32f x x ≥+的解集；（Ⅱ）若不等式()0f x ≤的解集为{}|1x x ≤-,求a 的值.3.【2012年新课标】已知函数()2f x x a x =++-（Ⅰ）当3a =-时,求不等式()3f x ≥的解集；（Ⅱ）若()4f x x ≤-的解集包含[1,2],求a 的取值范围.4.【2013年新课标1】已知函数a x x x f ++-=212)(,3)(+=x x g . （Ⅰ）当2-=a 时求不等式)()(x g x f <的解集；（Ⅱ）设1->a 且当)21,2[a x -∈时)()(x g x f ≤求a 的取值范围.5.【2013年新课标2】设,,a b c 均为正数,且1a b c ++=,证明:（Ⅰ）13ab bc ca ++≤；（Ⅱ）2221a b c b c a++≥. 6.【2014年新课标1】若,0,0>>b a 且ab ba =+11 （I ）求33b a +的最小值；（II ）是否存在b a ,,使得632=+b a ？并说明理由. 7.【2014年新课标2】设函数()f x =1(0)x x a a a++->.（Ⅰ）证明:()2f x ≥；（Ⅱ）若()35f <,求a 的取值范围.8.【2015年新课标1】已知函数()12,0f x x x a a =+-->.（I ）当1a =时,求不等式()1f x >的解集；（II ）若()f x 的图像与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围. 9.【2015年新课标2】设,,,a b c d 均为正数，且a b c d +=+.证明：（I ）若ab cd >，则a b c d +>+； （II ）a b c d +>+是a b c d -<-的充要条件. 10.【2016年新课标1】 已知函数()123f x x x =+--. （I ）画出()y f x =的图像； （II ）求不等式()1f x >的解集． 11.【2016年新课标2】已知函数11()||||22f x x x =-++，M 为不等式()2f x <的解集.（I ）求M ；（II ）证明：当,a b M ∈时，|||1|a b ab +<+.12.【2016年新课标3】已知函数()|2|f x x a a =-+．（I ）当2a =时，求不等式()6f x ≤的解集；（II ）设函数()|21|g x x =-.当x R ∈时，()()3f x g x +≥，求a 的取值范围．13.【2017年新课标1】已知函数2()4f x x ax =-++，()|1|1g x x x =++-.（I ）当1a =时，求不等式()()f x g x ≥的解集；（II ）若不等式()()f x g x ≥的解集包含[]1,1-，求a 的取值范围. 14.【2017年新课标2】已知220,0,2a b a b >>+=，证明：（I ）()()334a b a b ++≥；（II ）2a b +≤． 15.【2017年新课标3】已知函数|2||1|)(--+=x x x f ．(I)求不等式1)(≥x f 的解集；(II)若不等式m x x x f +-≥2)(的解集非空，求m 的取值范围．。

2010年全国各地高考数学真题分章节分类汇编之不等式一、填空题：1．（2010年高考陕西卷理科15）(不等式选做题)不等式的解集为.【答案】【解析】（方法一）当时，∵原不等式即为，这显然不可能，∴不适合.当时，∵原不等式即为，又，∴适合.当时，∵原不等式即为，这显然恒成立，∴适合.故综上知，不等式的解集为，即.（方法二）设函数，则∵∴作函数的图象，如图所示，并作直线与之交于点.又令，则，即点的横坐标为.故结合图形知，不等式的解集为.二、解答题：1．（2010年高考福建卷理科21）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲已知函数。

（Ⅰ）若不等式的解集为，求实数的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围。

【命题意图】本小题主要考查绝对值的意义、绝对值不等式等基础知识，考查运算求解能力。

【解析】（Ⅰ）由得，解得，又已知不等式的解集为，所以，解得。

（Ⅱ）当时，，设，于是=，所以当时，；当时，；当时，。

2．（2010年高考江苏卷试题21）选修4-5：不等式选讲（本小题满分10分）设a、b是非负实数，求证：。

[解析] 本题主要考查证明不等式的基本方法，考查推理论证的能力。

满分10分。

（方法一）证明：因为实数a、b≥0，所以上式≥0。

即有。

（方法二）证明：由a、b是非负实数，作差得当时，，从而，得；当时，，从而，得；所以。

3. (2010年全国高考宁夏卷24）（本小题满分10分）选修4-5，不等式选讲设函数（Ⅰ）画出函数的图像（Ⅱ）若不等式≤的解集非空，求a的取值范围。

（24）解：（Ⅰ）由于则函数的图像如图所示。

（Ⅱ）由函数与函数的图像可知，当且仅当或时，函数与函数的图像有交点。

故不等式的解集非空时，的取值范围为。

4．（2010年高考辽宁卷理科24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知均为正数，证明：，并确定为何值时，等号成立。

2010年高考真题分类汇编（新课标）考点33 不等式选讲1（2010·辽宁高考理科·Ｔ24）已知c b a ,,均为正数，证明：36)111(2222≥+++++c b a c b a ，并确定c b a ,,为何值时，等号成立。

【命题立意】本题考查了不等式的性质，考查了均值不等式。

【思路点拨】把222111a b c a b c++++分别用均值不等式，相加后，再用均值不等式。

【规范解答】（证法一）∵,,a b c 均为正数，由均值不等式得 222233()a b c abc ++≥…………………………①131113()abc a b c-++≥， ∴223111()9()abc a b c-++≥……………………② 22222233111()3()9()a b c abc abc a b c -∴+++++≥+22333()9()abc abc -+≥=又∴原不等式成立。

当且仅当a=b=c 时，①式和②式等号成立，当且仅当22333()9()abc abc -=时，③式等号成立。

即当a=b=c ＝143时原式等号成立。

（证法二）∵a,b,c 都是正数，由基本不等式得 222222222a b abb c bc c a ac+≥+≥+≥ ∴222a b c ab bc ac ++≥++………………………………① 同理111111a b c ab bc ac++≥++………………………………② ∴2222111()111333a b c a b c ab bc ac ab bc ac+++++≥+++++≥∴原不等式成立当且仅当a=b=c 时，①式和②式等号成立，当且仅当a=b=c,222()()()3ab bc ac ===时，③式等号成立。

即当a=b=c ＝143时原式等号成立。

2.（2010·福建高考理科·Ｔ21）已知函数f (x )=x a -．(Ⅰ)若不等式f (x )≤3的解集为｛x -1≤x ≤5｝，求实数a 的值；(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下，若f (x )+f (5x +)≥m 对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围。

2010-2017年高考数学全国卷试题汇编（不等式选讲部分）1.【2010年新课标】设函数()241f x x =-+.（Ⅰ）画出函数()y f x =的图像；（Ⅱ）若不等式()f x ≤ax 的解集非空，求a 的取值范围.2.【2011年新课标】设函数()3f x x a x =-+,其中0a >. （Ⅰ）当1a =时,求不等式()32f x x ≥+的解集； （Ⅱ）若不等式()0f x ≤的解集为{}|1x x ≤-,求a 的值.3.【2012年新课标】已知函数()2f x x a x =++- （Ⅰ）当3a =-时,求不等式()3f x ≥的解集；（Ⅱ）若()4f x x ≤-的解集包含[1,2],求a 的取值范围.4.【2013年新课标1】已知函数a x x x f ++-=212)(,3)(+=x x g . （Ⅰ）当2-=a 时求不等式)()(x g x f <的解集；（Ⅱ）设1->a 且当)21,2[a x -∈时)()(x g x f ≤求a 的取值范围.5.【2013年新课标2】设,,a b c 均为正数,且1a b c ++=,证明:（Ⅰ）13ab bc ca ++≤； （Ⅱ）2221a b c b c a++≥.6.【2014年新课标1】若,0,0>>b a 且ab ba =+11（I ）求33b a +的最小值； （II ）是否存在b a ,,使得632=+b a ？并说明理由.7.【2014年新课标2】设函数()f x =1(0)x x a a a ++->.（Ⅰ）证明:()2f x ≥； （Ⅱ）若()35f <,求a 的取值范围.8.【2015年新课标1】已知函数()12,0f x x x a a =+-->. （I ）当1a =时,求不等式()1f x >的解集；（II ）若()f x 的图像与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围.9.【2015年新课标2】设,,,a b c d 均为正数，且a b c d +=+.证明： （I ）若ab cd >>（II>a b c d -<-的充要条件.10.【2016年新课标1】 已知函数()123f x x x =+--. （I ）画出()y f x =的图像； （II ）求不等式()1f x >的解集．11.【2016年新课标2】已知函数11()||||22f x x x =-++，M 为不等式()2f x <的解集.（I ）求M ； （II ）证明：当,a b M ∈时，|||1|a b ab +<+.12.【2016年新课标3】已知函数()|2|f x x a a =-+． （I ）当2a =时，求不等式()6f x ≤的解集；（II ）设函数()|21|g x x =-.当x R ∈时，()()3f x g x +≥，求a 的取值范围．13.【2017年新课标1】已知函数2()4f x x ax =-++，()|1|1g x x x =++-.（I ）当1a =时，求不等式()()f x g x ≥的解集；（II ）若不等式()()f x g x ≥的解集包含[]1,1-，求a 的取值范围.14.【2017年新课标2】已知220,0,2a b a b >>+=，证明： （I ）()()334a b a b ++≥； （II ）2a b +≤．15.【2017年新课标3】已知函数|2||1|)(--+=x x x f ．(I)求不等式1)(≥x f 的解集；(II)若不等式m x x x f +-≥2)(的解集非空，求m 的取值范围．。

一．基础题组1。

【2011全国1，文4】2。

【2010全国1，文3】若变量x ， y 满足约束条件120y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩则z＝x －2y 的最大值为（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 【答案】：B3. 【2014全国1,文15】设函数()113,1,,1,x e x f x x x -⎧<⎪=⎨⎪≥⎩则使得()2f x ≤成立的x 的取值范围是________。

【答案】(,8]-∞【解析】由于题中所给是一个分段函数，则当1x <时，由12x e -≤，可解得：1ln 2x ≤+，则此时：1x <；当1x ≥时，由132x≤,可解得:328x ≤=，则此时：18x ≤≤，综合上述两种情况可得:(,8]x ∈-∞ 4. 【2012全国1，文14】若x ，y 满足约束条件10,30,330,x y x y x y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪+-≥⎩则z ＝3x－y 的最小值为__________． 【答案】：－1【解析】：由题意画出可行域，由z ＝3x －y 得y ＝3x －z ，要使z 取最小值，只需截距最大即可，故直线过A （0，1)时，z 最大．∴z max ＝3×0－1＝－1.5. 【2010全国1，文13】不等式2232x x x -++＞0的解集是__________．【答案】：{x ｜－2＜x ＜－1，或x ＞2｝6。

【2008全国1，文13】若x y ，满足约束条件03003x y x y x ⎧+⎪-+⎨⎪⎩，，，≥≥≤≤则2z x y =-的最大值为 ． 【答案】9【解析】如图,作出可行域，作出直线l 0:y=2x ，将l 0平移至过点A 处时，函数z=2x —y 有最大值9．7。

【2015高考新课标1，文15】若x ，y 满足约束条件20210220x y x y x y +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪-+≥⎩，则z =3x +y 的最大值为 ． 【答案】4考点：简单线性规划解法 二．能力题组1。

（2010福建）（7分）(3)选修4—5：不等式选讲已知函数f(x)＝|x－a|.①若不等式f(x)≤3的解集为{x|－1≤x≤5}，求实数a的值；②在①的条件下，若f(x)＋f(x＋5)≥m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围．答案：法一：①由f(x)≤3，得|x－a|≤3，解得a－3≤x≤a＋3.又已知不等式f(x)≤3的解集为{x|－1≤x≤5}，所以31,35,aa=⎧⎨+=⎩－－解得a＝2.②当a＝2时，f(x)＝|x－2|. 设g(x)＝f(x)＋f(x＋5)，于是g(x)＝|x－2|＋|x＋3|＝21,3, 5,32, 21, 2.x xxx x<⎧⎪≤≤⎨⎪+>⎩－－－－所以当x＜－3时，g(x)＞5；当－3≤x≤2时，g(x)＝5；当x＞2时，g(x)＞5.综上可得，g(x)的最小值为5.从而，若f(x)＋f(x＋5)≥m，即g(x)≥m对一切实数x恒成立，则m的取值范围为(－∞，5]．法二：①同解法一．②当a＝2时，f(x)＝|x－2|，设g(x)＝f(x)＋f(x＋5)．由|x－2|＋|x＋3|≥|(x－2)－(x＋3)|＝5(当且仅当－3≤x≤2时等号成立)得，g(x)的最小值为5.从而，若f(x)＋f(x＋5)≥m，即g(x)≥m对一切实数x恒成立，则m的取值范围为(－∞，5]．（2010湖北）15．(理)设a＞0，b＞0，称2aba b+为a，b的调和平均数．如图，C为线段AB上的点，且AC＝a，CB＝b，O为AB中点，以AB为直径作半圆．过点C作AB的垂线交半圆于D.连结OD，AD，BD.过点C作OD的垂线，垂足为E.则图中线段OD的长度是a，b的算术平均数，线段______的长度是a，b的几何平均数，线段______的长度是a，b的调和平均数．答案：CD DE解析：∵△ACD∽△DCB，∴ACCD＝CDCB，CD∵Rt△ECD∽Rt△COD，∴DE＝2CDOD＝2aba b+＝2aba b+.（2010江西）3．(理)不等式|2x x-＞2x x -的解集是( ) A ．(0,2) B ．(－∞，0)C ．(2，＋∞)D ．(－∞，0)∪(0，＋∞)答案：A 2x x-＞2x x -，∴2x x -＜0.∴0＜x ＜2. (2010全国卷新课标)24．（10分）选修4－5：不等式选讲设函数f(x)＝|2x －4|＋1.(1)画出函数y ＝f(x)的图像；(2)若不等式f(x)≤ax 的解集非空，求a 的取值范围．答案： (1)由于f (x )＝⎧⎨≥⎩－2x+5,x<2,2x －3,x 2,则函数y ＝f (x )的图像如图所示．(2)由函数y ＝f (x )与函数y ＝ax 的图像可知，当且仅当a ≥12或a ＜－2时，函数y ＝f (x )与函数y ＝ax 的图像有交点．故不等式f (x )≤ax 的解集非空时，a 的取值范围为(－∞，－2)∪[12，＋∞)． （2010山东）14．(理)若对任意x ＞0，231x x x ++≤a 恒成立，则a 的取值范围是________． 答案： [15，＋∞) 解析：法一：当x ＞0时，211313x x x x x=++++ ∵x ＋1x≥2(当且仅当x ＝1时取等号)∴x＋1x＋3≥5∴113xx++≤15∴a≥1 5 .法二：原式 ax2＋(3a－1)x＋a≥0对任意x＞0恒成立．显然a≤0时不恒成立．当a＞0时，Δ≤0或312aaa⎧<⎪⎨⎪>⎩－－，得a≥15.（2010陕西）15.A．(不等式选做题)不等式|x＋3|－|x－2|≥3的解集为__________．答案：{x|x≥1}B.169C．(－1,1)，(1,1)解析：A.x≥2时，|x＋3|－|x－2|＝5，－3≤x＜2时，|x＋3|－|x－2|＝2x＋1≥3 x≥1，x＜－3时，|x＋3|－|x－2|＝－5，因此综上有|x＋3|－|x－2|≥3的解集为{x|x≥1}．（210四川）12．(理)设a＞b＞c＞0，则2a2＋1ab＋1()a a b-－10ac＋25c2的最小值是( )A．2 B．4C．．5答案：B 因为a＞b＞c＞0,2a2＋1ab＋1()a a b-－10ac＋25c2＝a2＋()a b bab a b-+-＋(a－5c)2＝a2＋1()b a b-＋(a－5c)2≥a2＋212b a b+-⎛⎫⎪⎝⎭＋(a－5c)2＝a2＋24a＋(a－5c)2≥4＋(a－5c)2≥4.当且仅当a2b＝5c时取等号．（2010浙江）23．（10分） (1)设正实数a，b，c，满足abc≥1.求222222 a b ca b b c c a+++++的最小值；(2)已知m∈R，解关于x的不等式：1－x≤|x－m|≤1＋x.答案：解：(1)因为(222222a b ca b b c c a+++++)[(a＋2b)＋(b＋2c)＋(c＋2a)]≥(a＋b。

历年考题细目表题型年份考点试题位置解答题2019 不等式选讲2019年新课标1文科23解答题2018 综合测试题2018年新课标1文科23解答题2017 综合测试题2017年新课标1文科23解答题2016 综合测试题2016年新课标1文科24解答题2015 综合测试题2015年新课标1文科24解答题2014 综合测试题2014年新课标1文科24解答题2013 综合测试题2013年新课标1文科24解答题2012 综合测试题2012年新课标1文科24解答题2011 综合测试题2011年新课标1文科24解答题2010 综合测试题2010年新课标1文科24历年高考真题汇编十年真题（2010）高考数学真题分类汇编专题15不等式选讲文（含解析）1．【2019年新课标1文科23】已知a，b，c为正数，且满足abc＝1．证明：（1）a2+b2+c2；（2）（a+b）3+（b+c）3+（c+a）3≥24．【解答】证明：（1）分析法：已知a，b，c为正数，且满足abc＝1．要证（1）a2+b2+c2；因为abc＝1．就要证：a2+b2+c2；即证：bc+ac+ab≤a2+b2+c2；即：2bc+2ac+2ab≤2a2+2b2+2c2；2a2+2b2+2c2﹣2bc﹣2ac﹣2ab≥0（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2≥0；∵a，b，c为正数，且满足abc＝1．∴（a﹣b）2≥0；（a﹣c）2≥0；（b﹣c）2≥0恒成立；当且仅当：a＝b＝c＝1时取等号．即（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2≥0得证．故a2+b2+c2得证．（2）证（a+b）3+（b+c）3+（c+a）3≥24成立；即：已知a，b，c为正数，且满足abc＝1．（a+b）为正数；（b+c）为正数；（c+a）为正数；（a+b）3+（b+c）3+（c+a）3≥3（a+b）•（b+c）•（c+a）；当且仅当（a+b）＝（b+c）＝（c+a）时取等号；即：a＝b＝c＝1时取等号；∵a，b，c为正数，且满足abc＝1．（a+b）≥2；（b+c）≥2；（c+a）≥2；当且仅当a＝b，b＝c；c＝a时取等号；即：a＝b＝c＝1时取等号；∴（a+b）3+（b+c）3+（c+a）3≥3（a+b）•（b+c）•（c+a）≥3×8••24abc＝24；当且仅当a＝b＝c＝1时取等号；故（a+b）3+（b+c）3+（c+a）3≥24．得证．故得证．2．【2018年新课标1文科23】已知f（x）＝|x+1|﹣|ax﹣1|．（1）当a＝1时，求不等式f（x）＞1的解集；（2）若x∈（0，1）时不等式f（x）＞x成立，求a的取值范围．【解答】解：（1）当a＝1时，f（x）＝|x+1|﹣|x﹣1|，由f（x）＞1，∴或，解得x，故不等式f（x）＞1的解集为（，+∞），（2）当x∈（0，1）时不等式f（x）＞x成立，∴|x+1|﹣|ax﹣1|﹣x＞0，即x+1﹣|ax﹣1|﹣x＞0，即|ax﹣1|＜1，∴﹣1＜ax﹣1＜1，∴0＜ax＜2，∵x∈（0，1），∴a＞0，∴0＜x，∴a∵2，∴0＜a≤2，故a的取值范围为（0，2]．3．【2017年新课标1文科23】已知函数f（x）＝﹣x2+ax+4，g（x）＝|x+1|+|x﹣1|．（1）当a＝1时，求不等式f（x）≥g（x）的解集；（2）若不等式f（x）≥g（x）的解集包含[﹣1，1]，求a的取值范围．【解答】解：（1）当a＝1时，f（x）＝﹣x2+x+4，是开口向下，对称轴为x的二次函数，g（x）＝|x+1|+|x﹣1|，当x∈（1，+∞）时，令﹣x2+x+4＝2x，解得x，g（x）在（1，+∞）上单调递增，f（x）在（1，+∞）上单调递减，∴此时f（x）≥g（x）的解集为（1，]；当x∈[﹣1，1]时，g（x）＝2，f（x）≥f（﹣1）＝2．当x∈（﹣∞，﹣1）时，g（x）单调递减，f（x）单调递增，且g（﹣1）＝f（﹣1）＝2．综上所述，f（x）≥g（x）的解集为[﹣1，]；（2）依题意得：﹣x2+ax+4≥2在[﹣1，1]恒成立，即x2﹣ax﹣2≤0在[﹣1，1]恒成立，则只需，解得﹣1≤a≤1，故a的取值范围是[﹣1，1]．4．【2016年新课标1文科24】已知函数f（x）＝|x+1|﹣|2x﹣3|．（Ⅰ）在图中画出y＝f（x）的图象；（Ⅱ）求不等式|f（x）|＞1的解集．【解答】解：（Ⅰ）f（x），由分段函数的图象画法，可得f（x）的图象，如右：（Ⅱ）由|f（x）|＞1，可得当x≤﹣1时，|x﹣4|＞1，解得x＞5或x＜3，即有x≤﹣1；当﹣1＜x时，|3x﹣2|＞1，解得x＞1或x，即有﹣1＜x或1＜x；当x时，|4﹣x|＞1，解得x＞5或x＜3，即有x＞5或x＜3．综上可得，x或1＜x＜3或x＞5．则|f（x）|＞1的解集为（﹣∞，）∪（1，3）∪（5，+∞）．5．【2015年新课标1文科24】已知函数f（x）＝|x+1|﹣2|x﹣a|，a＞0．（Ⅰ）当a＝1时，求不等式f（x）＞1的解集；（Ⅱ）若f（x）的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当a＝1时，不等式f（x）＞1，即|x+1|﹣2|x﹣1|＞1，即①，或②，或③．解①求得x∈∅，解②求得x＜1，解③求得1≤x＜2．综上可得，原不等式的解集为（，2）．（Ⅱ）函数f（x）＝|x+1|﹣2|x﹣a|，由此求得f（x）的图象与x轴的交点A（，0），B（2a+1，0），故f（x）的图象与x轴围成的三角形的第三个顶点C（a，a+1），由△ABC的面积大于6，可得[2a+1]•（a+1）＞6，求得a＞2．故要求的a的范围为（2，+∞）．6．【2014年新课标1文科24】若a＞0，b＞0，且．（Ⅰ）求a3+b3的最小值；（Ⅱ）是否存在a，b，使得2a+3b＝6？并说明理由．【解答】解：（Ⅰ）∵a＞0，b＞0，且，∴2，∴ab≥2，当且仅当a＝b时取等号．∵a3+b3 ≥224，当且仅当a＝b时取等号，∴a3+b3的最小值为4．（Ⅱ）∵2a+3b≥22，当且仅当2a＝3b时，取等号．而由（1）可知，2246，故不存在a，b，使得2a+3b＝6成立．7．【2013年新课标1文科24】已知函数f（x）＝|2x﹣1|+|2x+a|，g（x）＝x+3．（Ⅰ）当a＝﹣2时，求不等式f（x）＜g（x）的解集；（Ⅱ）设a＞﹣1，且当x∈[，]时，f（x）≤g（x），求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当a＝﹣2时，求不等式f（x）＜g（x）化为|2x﹣1|+|2x﹣2|﹣x﹣3＜0．设y＝|2x﹣1|+|2x﹣2|﹣x﹣3，则y，它的图象如图所示：结合图象可得，y＜0的解集为（0，2），故原不等式的解集为（0，2）．（Ⅱ）设a＞﹣1，且当x∈[，]时，f（x）＝1+a，不等式化为1+a≤x+3，故x≥a﹣2对x∈[，]都成立．故a﹣2，解得a，故a的取值范围为（﹣1，]．8．【2012年新课标1文科24】已知函数f（x）＝|x+a|+|x﹣2|①当a＝﹣3时，求不等式f（x）≥3的解集；②f（x）≤|x﹣4|若的解集包含[1，2]，求a的取值范围．【解答】解：（1）当a＝﹣3时，f（x）≥3 即|x﹣3|+|x﹣2|≥3，即，可得x≤1；，可得x∈∅；，可得x≥4．取并集可得不等式的解集为 {x|x≤1或x≥4}．（2）原命题即f（x）≤|x﹣4|在[1，2]上恒成立，等价于|x+a|+2﹣x≤4﹣x在[1，2]上恒成立，等价于|x+a|≤2，等价于﹣2≤x+a≤2，﹣2﹣x≤a≤2﹣x在[1，2]上恒成立．故当 1≤x≤2时，﹣2﹣x的最大值为﹣2﹣1＝﹣3，2﹣x的最小值为0，故a的取值范围为[﹣3，0]．9．【2011年新课标1文科24】设函数f（x）＝|x﹣a|+3x，其中a＞0．（Ⅰ）当a＝1时，求不等式f（x）≥3x+2的解集（Ⅱ）若不等式f（x）≤0的解集为{x|x≤﹣1}，求a的值．【解答】解：（Ⅰ）当a＝1时，f（x）≥3x+2可化为|x﹣1|≥2．由此可得x≥3或x≤﹣1．故不等式f（x）≥3x+2的解集为{x|x≥3或x≤﹣1}．（Ⅱ）由f（x）≤0得|x﹣a|+3x≤0此不等式化为不等式组或即或因为a＞0，所以不等式组的解集为{x|x}由题设可得1，故a＝210．【2010年新课标1文科24】设函数f（x）＝|2x﹣4|+1．（Ⅰ）画出函数y＝f（x）的图象：（Ⅱ）若不等式f（x）≤ax的解集非空，求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由于f（x），函数y ＝f （x ）的图象如图所示．（Ⅱ）由函数y ＝f （x ）与函数y ＝ax 的图象可知，极小值在点（2，1）当且仅当a ＜﹣2或a 时，函数y ＝f （x ）与函数y ＝ax 的图象有交点．故不等式f （x ）≤ax 的解集非空时，a 的取值范围为（﹣∞，﹣2）∪[，+∞）．考题分析与复习建议本专题考查的知识点为：解绝对值不等式、证明不等式、利用不等式恒成立求参数的值或范围，求含有绝对值的函数最值也是考查的热点．求解的一般方法是去掉绝对值，也可以借助数形结合求解.历年考题主要以解答题题型出现，重点考查的知识点为解绝对值不等式、证明不等式、利用不等式恒成立求参数的值或范围，求含有绝对值的函数最值也是考查的热点．预测明年本考点题目会比较稳定，备考方向以知识点解绝对值不等式、利用不等式恒成立求参数的值或范围，证明不等式为重点较佳.最新高考模拟试题 1．已知函数()22()f x x a x a R =-+-∈.（1）当2a =时，求不等式()2f x >的解集；（2）若[2,1]x ∈-时不等式()32f x x ≤-成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）2{|3x x <或()4cos(2)6f x x π=-；（2）空集. 【解析】 解：（1）不等式()2f x >，即2222x x -+->.可得22222x x x ≥⎧⎨-+->⎩，或122222x x x <<⎧⎨-+->⎩或12222x x x ≤⎧⎨--+>⎩， 解得23x <或2x >，所以不等式的解集为2{|2}3x x x <>或. （2）当[2,1]x ∈-时，220x -<，所以()22f x x a x =-+-，由()32f x x ≤-得1x a -≤，即11a x a -≤≤+，则1211a a -≤-⎧⎨+≥⎩，该不等式无解， 所以实数a 的取值范围是空集（或者∅）.2．已知()221f x x x =-++．（1）求不等式()6f x <的解集；（2）设m 、n 、p 为正实数，且()3m n p f ++=，求证：12mn np pm ++≤．【答案】(1) ()1,3- (2)见证明【解析】（1）①2x ≥时，()24133f x x x x =-++=-，由()6f x <，∴336x -<，∴3x <，即23x ≤<，②12x -<<时，()4215f x x x x =-++=-，由()6f x <，∴56x -<，∴1x >-，即12x -<<， ③1x ≤-时，()42133f x x x x =---=-，由()6f x <，∴336x -<，∴1x >-，可知无解， 综上，不等式()6f x <的解集为()1,3-；（2）∵()221f x x x =-++，∴()36f =，∴()36m n p f ++==，且,,m n p 为正实数∴()222222236m n p m n p mn mp np ++=+++++=，∵222m n mn +≥，222m p mp +≥，222n p np +≥，∴222m n p mn mp np ++≥++，∴()()2222222363m n p m n p mn mp np mn mp np ++=+++++=≥++又,,m n p 为正实数，∴可以解得12mn np pm ++≤．3．[选修4—5：不等式选讲]已知函数()|||2|(0)f x x m x m m =--+>.（1）当1m =，求不等式()1f x ≥的解集；（2）对于任意实数,x t ，不等式()21f x t t <++-恒成立，求实数m 的取值范围.【答案】（1）113x x ⎧⎫-≤≤-⎨⎬⎩⎭；（2）()0,2【解析】（1）当1m =时，()1f x ≥为：1211x x --+≥当1x ≥时，不等式为：1211x x ---≥，解得：3x ≤-，无解 当112x -≤<时，不等式为：1211x x -+--≥，解得：13x ≤-，此时1123x -≤≤- 当12x <-时，不等式为：1211x x -+++≥，解得：1x -≥，此时112x -≤<- 综上所述，不等式的解集为113x x ⎧⎫-≤≤-⎨⎬⎩⎭（2）对于任意实数x ，t ，不等式()21f x t t <++-恒成立等价于()()max min |2||1|f x t t <++- 因为|2||1||(2)(1)|3t t t t ++-≥+--=，当且仅当(2)(1)0t t +-≤时等号成立所以()min |2||1|3t t ++-= 因为0m >时，()2f x x m x m =--+=2,23,22,m x m x m x x m x m x m ⎧+<-⎪⎪⎪--≤≤⎨⎪-->⎪⎪⎩，函数()f x 单调递增区间为(,)2m -∞-，单调递减区间为(,)2m -+∞ ∴当2m x =-时，()max 322m m f x f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭ 332m ∴<，又0m >，解得：02m << ∴实数m 的取值范围()0,24．选修4-5不等式选讲已知关于x 的不等式20x m x -+≤的解集为{|2}x x ≤-，其中0m >.（1）求m 的值；（2）若正数a ，b ，c 满足a b c m ++=，求证：2222b c a a b c++≥. 【答案】（1）2m =（2）见证明【解析】（1）由题意知：20x m x -+≤即20x m x m x ≥⎧⎨-+≤⎩或20x m m x x ≤⎧⎨-+≤⎩化简得：3x m m x ≥⎧⎪⎨≤⎪⎩或x m x m ≤⎧⎨≤-⎩ 0m > ∴不等式组的解集为{}x x m ≤-2m ∴-=-，解得：2m =（2）由（1）可知，2a b c ++= 由基本不等式有：22b a b a +≥，22c b c b+≥，22a c a c +≥ 三式相加可得：222222b c a a b c b c a a b c+++++≥++ 222b c a a b c a b c ∴++≥++，即：2222b c a a b c++≥ 5．选修4-5：不等式选讲已知函数()13f x x x a =+++（1）当1a =-时，解不等式()2f x ≥；（2）若存在0x 满足00()211f x x ++<，求实数a 的取值范围.【答案】(1) 1|02x x x ⎧⎫≤≥⎨⎬⎩⎭或 (2) 24a << 【解析】（1）当1a =-时，()|1||31|f x x x =++-， 当13x ≥时，不等式等价于1312x x ++-≥，解得12x ≥，12x ∴≥； 当113x -<<时，不等式等价于1312x x +-+≥，解得0x ≤，10x ∴-<≤； 当1x ≤-时，不等式等价于1312x x ---+≥，解得12x ≤-，1x -∴≤. 综上所述，原不等式的解集为1|02x x x ⎧⎫≤≥⎨⎬⎩⎭或. （2）由()00211f x x ++<，得003131x x a +++<， 而()()000000313333333|3|x x a x x a x x a a +++=+++≥+-+=-，（当且仅当()()003330x x a ++≤时等号成立）由题可知min (()2|1|)1f x x ++<，即31a -<，解得实数a 的取值范围是24a <<.6．已知函数()|2|f x ax =-.（Ⅰ）当4a =时，求不等式()|42|8f x x ++≥的解集；（Ⅱ）若[2,4]x ∈时，不等式()|3|3f x x x +-≤+成立，求a 的取值范围.【答案】（I ）(,1][1,)-∞-+∞；（II ）[1,2]-【解析】（I ）当4a =时，原不等式即|42||42|8x x -++≥，即|21||21|4x x -++≥. 当12x ≥时，21214x x -++≥，解得1x ≥，∴1x ≥；当1122x -≤≤时，12214x x -++≥，无解； 当12x ≤-时，12214x x ---≥，解得1x ≤-，∴1x ≤-； 综上，原不等式的解集为(,1][1,)-∞-+∞（II ）由()|3|3f x x x +-≤+得|2||3|3ax x x -+-≤+（*）当[2,3]x ∈时，（*）等价于|2|33|2|2ax x x ax x -+-≤+⇔-≤ 即22a x -≤，所以2222a x x -+≤≤+恒成立，所以813a -≤≤ 当(3,4]x ∈时，（*）等价于|2|33|2|6ax x x ax -+-≤+⇔-≤即48ax -≤≤，所以48a x x-≤≤恒成立，所以12a -≤≤ 综上，a 的取值范围是[1,2]-7．已知函数()21f x x x a =-++，()2g x x =+．（1）当1a =-时，求不等式()()f x g x <的解集；（2）设12a >-，且当1,2x a ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭，()()f x g x ≤，求a 的取值范围． 【答案】（1）()0,2；（2）11,23⎛⎤-⎥⎝⎦ 【解析】（1）当1a =-时，不等式()()f x g x <化为：21120x x x -+---< 当12x ≤时，不等式化为12120x x x -+---<，解得：102x <≤ 当112x <≤时，不等式化为21120x x x -+---<，解得：112x <≤ 当1x >时，不等式化为21120x x x -+---<，解得：12x <<综上，原不等式的解集为()0,2（2）由12a x -≤<，得221a x -≤<，21210a x --≤-< 又102x a a ≤+<+则()()211f x x x a x a =--++=-++∴不等式()()f x g x ≤化为：12x a x -++≤+得21a x ≤+对1,2x a ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭都成立 21a a ∴≤-+，解得：13a ≤ 又12a >-，故a 的取值范围是11,23⎛⎤- ⎥⎝⎦8．已知函数()|2|f x x =-．（Ⅰ）求不等式()|1|f x x x <++的解集；（Ⅱ）若函数5log [(3)()3]y f x f x a =++-的定义域为R ，求实数a 的取值范围．【答案】（I ）1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭（II ）(,1)-∞【解析】解：（I ）由已知不等式()|1|f x x x <++，得|2||1|x x x -<++，当2x ≥时，不等式为21x x x -<++，解得3x >-，所以2x ≥；当12x -<<时，不等式为21x x x -<++，解得13x >，所以123x <<； 当1x ≤-时，不等式为21x x x -<--，解得3x >，此时无解． 综上：不等式的解集为1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭．（II ）若5log [(3)()3]y f x f x a =++-的定义域为R ，则(3)()30f x f x a ++->恒成立．∵，当且仅当[1,2]x ∈-时取等号．∴330a ->，即1a <．所以实数a 的取值范围是(,1)-∞．9．已知函数()123f x x x =-+-．（Ⅰ）解关于x 的不等式()4f x ≤；（Ⅱ）若()20f x m m -->恒成立，求实数m 的取值范围．【答案】（Ⅰ）111,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（Ⅱ）()2,1-. 【解析】解：（I ）当1x ≤时，不等式为：()1234x x -+-≤，解得1x ≥，故1x =．当13x <<时，不等式为：()1234x x -+-≤，解得1x ≥，故13x <<1＜x ＜3，当3x ≥时，不等式为：()1234x x -+-≤，解得113x ≤，故1133x ≤≤． 综上，不等式()4f x ≤的解集为111,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦． （II ）由()20f x m m -->恒成立可得()2m m f x +<恒成立．又()37,35,1337,1x x f x x x x x -≥⎧⎪=-+<<⎨⎪-+≤⎩，故()f x 在(],1-∞上单调递减，在()1,3上单调递减，在[)3,+∞上单调递增， ∴()f x 的最小值为()32f =．∴22m m +<，解得21m -<<．即m 的最值范围是()2,1-．10．已知函数()211f x x x =-++.（Ⅰ）解不等式()3f x ≥；（Ⅱ）记函数()f x 的最小值为m ，若,,a b c 均为正实数，且232a b c m ++=，求222a b c ++的最小值.【答案】（Ⅰ）{}11x x x ≤-≥或；（Ⅱ）914. 【解析】 （Ⅰ）由题意， 3,11()2,1213,2x x f x x x x x ⎧⎪-≤-⎪⎪=--<<⎨⎪⎪≥⎪⎩， 所以()3f x ≥等价于133x x ≤-⎧⎨-≥⎩或11223x x ⎧-<<⎪⎨⎪-≥⎩或1233x x ⎧≥⎪⎨⎪≥⎩.解得：1x ≤-或1x ≥，所以不等式的解集为{}11x x x ≤-≥或；（Ⅱ）由(1)可知,当12x =时, ()f x 取得最小值32, 所以32m =，即233a b c ++=， 由柯西不等式得2222222()(123)(23)9a b c a b c ++++≥++=， 整理得222914a b c ++≥， 当且仅当123a b c ==时, 即369,,141414a b c ===时等号成立. 所以222a b c ++的最小值为914. 11．已知函数()12f x x a x =+++.（Ⅰ）求1a =时，()3f x ≤的解集；（Ⅱ）若()f x 有最小值，求a 的取值范围，并写出相应的最小值.【答案】（Ⅰ）[3,0]-；（Ⅱ）见解析.【解析】（Ⅰ）当1a =时，232()12121231x x f x x x x x x --≤-⎧⎪=+++=-<<-⎨⎪+≥-⎩∵()3f x ≤当2x -≤时()233f x x =--≤解得32x -≤≤-当21x -<<-时()13f x =≤恒成立当1x -≥时()233f x x =+≤解得10x -≤≤综上可得解集[3,0]-. （Ⅱ）(1)212()12(1)2121(1)211a x a x f x x a x a x a x a x a x -+--≤-⎧⎪=+++=-+--<<-⎨⎪+++≥-⎩当(1)0a -+>，即1a <-时，()f x 无最小值；当(1)0a -+=，即1a =-时，()f x 有最小值1-；当(1)0a -+<且10a -≤，即11a -<≤时， min ()(1)f x f a =-=当(1)0a -+<且10a ->，即1a >时， min ()(2)1f x f =-=综上：当1a <-时，()f x 无最小值；当1a =-时，()f x 有最小值1-；当11a -<≤时， min ()(1)f x f a =-= ；当1a >时， min ()(2)1f x f =-=；12．选修4-5：不等式选讲已知函数()|23||1|f x x x =--+.（1）求不等式()6f x ≤的解集；（2）设集合M 满足：当且仅当x M ∈时，()|32|f x x =-，若,a b M ∈，求证：228223a b a b -++≤. 【答案】(1) {}210x x -≤≤；(2)见解析.【解析】 （1）()4,1323132,1234,2x x f x x x x x x x ⎧⎪-+<-⎪⎪=--+=-+-≤≤⎨⎪⎪->⎪⎩当1x <- 时，46x -+≤ ，得2x -≥ ，故21x -≤<-； 当312x -≤≤时，326x -+≤ ，得43x ≥- ，故312x -≤<； 当32x > 时，46x -≤ ，得10x ≤ ，故3102x <≤； 综上，不等式()6f x ≤的解集为{}210x x -≤≤（2）由绝对值不等式的性质可知()231(23)(1)32f x x x x x x =--+≤-++=- 等价于23(1)32x x x -≤-++-，当且仅当(23)(1)0x x -+≤，即213x -≤≤ 时等号成立，故21,3M ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦所以221,133a b -≤≤-≤≤， 所以222510(1),4(1)99a b ≤-≤-≤--≤-， 即228(1)(1)3a b ---≤. 13．[选修4—5：不等式选讲]已知函数()31f x x m x m =----（1）若1m =，求不等式()1f x <的解集.（2）对任意的x R ∈，有()(2)f x f ≤，求实数m 的取值范围.【答案】（1）(,3)-∞；（2）1123m -≤≤ 【解析】（1）()141f x x x =---<， 所以11441(4)11(4)1141x x x x x x x x x <≤≤>⎧⎧⎧⎨⎨⎨---<---<--+<⎩⎩⎩或或 解之得不等式()1f x <的解集为(,3)-∞.(2) 当131,2m m m +>>-时，由题得2必须在3m+1的右边或者与3m+1重合， 所以1231,3m m ≥+∴≤，所以1123m -<≤， 当131,2m m m +==-时，不等式恒成立， 当131,2m m m +<<-时，由题得2必须在3m+1的左边或者与3m+1重合， 由题得1231,3m m ≤+≥，所以m 没有解. 综上，1123m -≤≤. 14．已知()21f x x x =+-．（1）证明()1f x x +≥；（2）若,,a b c +∈R ，记33311134abc a b c +++的最小值为m ，解关于x 的不等式()f x m <．【答案】(1)见证明；(2) 2433x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭ 【解析】 （1）()2212211f x x x x x x +=+-≥-+=．当且仅当()2x 2x 10-≤,等号成立（2）∵333333311131333333234444abc abc abc abc m a b c a b c abc abc +++≥+=+≥⋅==，当且仅当a=b=c 等号成立由不等式()3f x <即()213f x x x =+-<．由()31,01211,02131,2x x f x x x x x x x ⎧⎪-+≤⎪⎪=+-=-<<⎨⎪⎪-≥⎪⎩得：不等式()3f x <的解集为2433x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭． 15．选修4—5：不等式选讲已知函数()11f x x mx =++-，m R ∈。

2010-2017年高考数学全国卷试题汇编（不等式选讲部分）1.【2010年新课标】设函数()241f x x =-+. （Ⅰ）画出函数()y f x =的图像；求a 2.【()f x =（Ⅱ{|x x3.【()f x =求a 4.【a x x x f ++-=212)(,3)(+=x x g . （Ⅰ）当2-=a 时求不等式)()(x g x f <的解集；（Ⅱ）设1->a 且当21,2[a x -∈时)()(x g x f ≤求a 的取值范围.5.【2013年新课标2】设,,a b c 均为正数,且1a b c ++=,证明:（Ⅰ）13ab bc ca ++≤；（Ⅱ）2221a b c b c a++≥. ,0,0>b 且）是否存. 设函数()35f <,知函数（I ）当1a =时,求不等式()1f x >的解集；?（II ）若()f x 的图像与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围.? 9.【2015年新课标2】设,,,a b c d 均为正数，且a b c d +=+.证明：? （I ）若a b c d >，?（II）>是a b c d -<-的充要条件. 10.【2016年新课标1】 已知函数()123f x x x =+--. （I ）画出()y f x =的图像； （II11.【（I ||a b +12.【()f x =（I ）（II 13.【()f x =（()()f x g x ≥的解集；（II ）若不等式()()f x g x ≥的解集包含[]1,1-，求a 的取值范围. 14.【2017年新课标2】已知220,0,2a b a b >>+=，证明：?（I ）()()334a b a b ++≥；?（II ）2a b +≤． 15.【2017年新课标3】已知函数|2||1|)(--+=x x x f ．m 的解集。

2017年高考数学《不等式》真题汇编1.（全国卷Ⅰ）设z y x 、、均为正数，且235x y z==，则（D ）A ．235x y z <<B ．523z x y <<C ．352y z x <<D ．325y x z << 2（全国卷Ⅰ）已知函数2()4,()|1||1|f x x ax g x x x =-++=++-（1）当1a =时，求不等式f （x ）≥g （x ）的解集；（2）若不等式f （x ）≥g （x ）的解集包含[–1，1]，求a 的取值范围.解：（1）当时，不等式()()f x g x ≥等价于2|1||1|40x x x x -+++--≤ ①当1x <-时，①式化为2340x x --≤，无解；当11x -≤≤时，①式化为220x x --≤，从而11x -≤≤； 当1x >时，①式化为240x x +-≤，从而11712x -+<≤ 所以()()f x g x ≥的解集为117{|1}2x x -+-≤≤（2）当[1,1]x ∈-时，()2g x = 所以()()f x g x ≥的解集包含[1,1]-，等价于当[1,1]x ∈-时()2f x ≥又()f x 在[1,1]-的最小值必为(1)f -与(1)f 之一，所以(1)2f -≥且(1)2f ≥，得11a -≤≤ 所以a 的取值范围为[1,1]-3.（全国卷Ⅱ）已知330,0,2a b a b >>+=，证明：（1）55()()4a b a b ++≥；（2）2a b +≤．解：（1）556556()()a b a b a ab a b b ++=+++3323344()2()a b a b ab a b =+-++ 2224()ab a b =+-4≥（2）因为33223()33a b a a b ab b +=+++23()ab a b =++1a =23()2()4a b a b +≤++33()24a b +=+ 所以3()8a b +≤，因此2a b +≤.4.（全国卷Ⅲ）已知函数()||||f x x x =+1--2．（1）求不等式()f x ≥1的解集；（2）若不等式()f x x x m 2≥-+的解集非空，求m 的取值范围．解：（1）3,1,()21,12,3,2x f x x x x -<-⎧⎪=--≤≤⎨⎪>⎩当1x <-时，()1f x ≥无解；当12x -≤≤时，由()1f x ≥得，211x -≥，解得12x ≤≤；当2x >时，由()1f x ≥解得2x >，所以()1f x ≥的解集为{|1}x x ≥（2）由2()f x x x m ≥-+得2|1||2|m x x x x ≤+---+，而22|1||2|||1||2||x x x x x x x x +---+≤++--+235(||)24x =--+54≤ 且当32x =时，25|1||2|4x x x x +---+=，故m 的取值范围为5(,]4-∞5.（山东卷（理））若0a b >>，且1ab =，则下列不等式成立的是（B ）（A ）()21log 2a b a a b b +<<+（B ）()21log 2a b a b a b<+<+ （C ）()21log 2a b a a b b +<+<（D ）()21log 2a b a b a b +<+< 6.（山东卷（文））若直线1(00)x y a b a b +=＞，＞ 过点（1,2），则2a b +的最小值为8 7.（天津卷（理））已知奇函数()f x 在R 上是增函数，()()g x xf x =.若2(log 5.1)a g =-，0.8(2)b g =， (3)c g =，则a ，b ，c 的大小关系为（C ）（A ）a b c <<（B ）c b a <<（C ）b a c << （D ）b c a <<8.（天津卷（理））若,a b ∈R ，0ab >，则4441a b ab++的最小值为___________4 9.（江苏卷）已知,,,a b c d 为实数，且22224,16a b c d +=+=，证明：8ac bd +≤. 证明：由柯西不等式可得：22222()()()ac bd a b c d +≤++，因为22224,16a b c d +=+=所以2()64ac bd +≤，因此8ac bd +≤10.（浙江卷）已知数列{x n }满足：1111,ln(1)(*)n n n x x x x n N ++==++∈证明：当n ∈N*时，（Ⅰ）10n n x x +<<； （Ⅱ）1122n n n n x x x x ++-≤； （Ⅲ）121122n n n x ++≤≤ 证明：（Ⅰ）用数学归纳法证明：0n x >当1n =时，110x =>假设n k =时，0k x >，那么1n k =+时，若10k x +≤，则110ln(1)0k k k x x x ++<=++≤，矛盾，故10k x +>因此*0()n x n N >∈，所以111ln(1)n n n n x x x x +++=++> 因此*10()n n x x n N +<<∈（Ⅱ）由11ln(1)n n n x x x ++=++得，2111111422(2)ln(1)n n n n n n n n x x x x x x x x ++++++-+=-+++ 记函数2()2(2)ln(1)(0)f x x x x x x =-+++≥22()ln(1)0(0)1x x f x x x x +'=++>>+， 函数()f x 在[0,)+∞上单调递增，所以()(0)0f x f ≥=，因此2111112(2)ln(1)()0n n n n n x x x x f x +++++-+++=≥， 故*112()2n n n n x x x x n N ++-≤∈ （Ⅲ）因为11111ln(1)2n n n n n n x x x x x x +++++=++≤+=， 所以112n n x -≥，由1122n n n n x x x x ++≥-得 111112()022n n x x +-≥->， 所以12111111112()...2()2222n n n n x x x ----≥-≥≥-=， 故212n n x -≤ 综上，*1211()22n n n x n N --≤≤∈。

2017年高考试题分类汇编（不等式）考点1 解不等式或不等式的证明 考法1 解不等式1.（2017·全国卷Ⅰ·文科）已知集合{}2A x x =<，{}320B x x =->，则A ．32AB x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭ B.A B =∅C ．32A B x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭ D.A B R =2.（2017·全国卷Ⅰ·理科）已知集合{}1A x x =<,{}31x B x =<,则 A.{|0}A B x x =< B.A B R = C.{|1}A B x x => D.A B =∅ 3.（2017·全国卷Ⅰ·理科）函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数．若(11)f =-，则满足21()1x f --≤≤的x 的取值范围是A ．[2,2]-B ．[1,1]-C ．[0,4]D ．[1,3] 4.（2017·天津卷·文科）设x ∈R ，则“20x -≥”是“|1|1x -≤”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 考法2不等式的证明1.（2017·全国卷Ⅰ·理科）设,,x y z 为正数，且235x y z ==，则 A ．235x y z << B ．523z x y << C ．352y z x << D ．325y x z <<2.（2017·天津卷·理科）已知奇函数()f x 在R 上是增函数，()()g x xf x =.若2(log 5.1)a g =-，0.8(2)b g =，(3)c g =，则,,a b c 的大小关系为A.a b c <<B.c b a <<C.b a c <<D.b c a << 3.（2017·北京卷·文科）能够说明“设,,a b c 是任意实数．若a b c >>，则a b c +>”是假命题的一组整数,,a b c 的值依次为_____________．4.（2017·山东卷·理科）已知命题p :任意0x >，ln(1)0x +>；命题q :若a b >,则22a b >.下列命题为真命题的是A ．p q ∧B ．p q ∧⌝C ．p q ⌝∧D ．p q ⌝∧⌝5．（2017·山东卷·理科）若0a b >>，且1ab =，则下列不等式成立的是A ．21log ()2a b a a b b +<<+B ．21log ()2a b a b a b <+<+C ．21log ()2a b a a b b +<+<D ．21log ()2a ba b a b +<+<6.（2017·山东卷·文科）已知命题p ：存在x R ∈:210x x -+≥；命题q ：若22a b <,则a b <.下列命题为真命题的是A.p q ∧B.C.p q ⌝∧D.p q ⌝∧⌝ 考点2 简单线性规划1.（2017·全国卷Ⅰ·理科）设,x y 满足约束条件21210x y x y x y +≤⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩，则32z x y =-的最小值为 .2.（2017·全国卷Ⅲ·理科）若x ，y 满足约束条件y 0200x x y y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则z 34x y=-的最小值为____．3.（2017·全国卷Ⅲ·文科）设,x y 满足约束条件326000x y x y +-≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩，则z x y =-的取值范围是A.[]3,0-B.[]3,2-C.[]0,2D.[]0,34.（2017·北京卷·文理科）若,x y 满足32x x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩,则2x y +的最大值为 A.1 B.3 C.5 D.95.（2017·全国卷Ⅱ·文理科）设x ，y 满足约束条件2330233030x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的最小值是A ．15-B ．9-C ．1D ．96.（2017·天津卷·理科）设变量,x y 满足约束条件2022003x y x y x y +≥⎧⎪+-≥⎪⎨≤⎪⎪≤⎩,则目标函数z x y =+的最大值为A.23B.1C.32D.3 7.（2017·山东卷·理科）已知,x y 满足约束条件3035030x y x y x -+≤⎧⎪++≤⎨⎪+≥⎩,则2z x y =+的最大值是A ．0B ．2C ．5D ．68.（2017·山东卷·文科）已知,x y 满足约束条件250302x y x y -+≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩,则2z x y =+的最大值是A.3-B.1-C.1D.39.（2017·浙江卷）若,x y 满足约束条件03020x x y x y ≥⎧⎪+->⎨⎪-≤⎩,则2z x y =+的取值范围是A.[]0,6B.[]0,4C.[)6,+∞D.[)4,+∞10.（2017·全国卷Ⅰ·文科）设,x y 满足约束条件3310x y x y y +≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩，则z x y =+的最大值为A ．0B ．1C ．2D ．3 考点3 不等式选讲1.（2017·全国卷Ⅰ·文理科）已知函数2()4f x x ax =-++，()11g x x x =++-. （Ⅰ）当1a =时，求不等式()()f x g x ≥的解集；（Ⅱ）若不等式()()f x g x ≥的解集包含[]1,1-，求a 的取值范围.2.（2017·全国卷Ⅱ·文理科）已知0a >，0b >，332a b +=，证明： （Ⅰ）55()()4a b a b ++≥； （Ⅱ）2a b +≤．3.（2017·全国卷Ⅲ·文理科）已知函数()12f x x x =+--． （Ⅰ）求不等式()1f x ≥的解集；（Ⅱ）若不等式2()f x x x m ≥-+的解集非空，求m 的取值范围．。

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专题18 不等式选讲不等式选讲大题:10年10考，而且是作为2个选做题之一出现的，主要考绝对值不等式的解法（出现频率太高了，应当高度重视），偶尔也考基本不等式．全国卷很少考不等式小题，如果说有考的话，可以认为在其它小题中考一些解法之类的问题．不等式作为一种工具，解题经常用到,不单独命小题显然也是合理的．不等式的证明一般考在函数与导数综合题中出现．1．（2019年）已知a，b，c为正数，且满足abc＝1．证明：（1)1a+1b+1c≤a2+b2+c2;（2）（a+b）3+（b+c)3+（c+a）3≥24．【解析】（1）要证1a+1b+1c≤a2+b2+c2;因为abc＝1．就要证:abca+abcb+abcc≤a2+b2+c2；即证：bc+ac+ab≤a2+b2+c2；即:2bc+2ac+2ab≤2a2+2b2+2c2;2a2+2b2+2c2﹣2bc﹣2ac﹣2ab≥0（a﹣b)2+(a﹣c）2+（b﹣c）2≥0；∵a，b,c为正数，且满足abc＝1．∴(a﹣b)2≥0；（a﹣c）2≥0;（b﹣c)2≥0恒成立；当且仅当：a＝b＝c＝1时取等号．即（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c)2≥0得证．故1a+1b+1c≤a2+b2+c2得证．（2）证（a+b)3+(b+c）3+（c+a）3≥24成立；即:已知a，b，c为正数，且满足abc＝1．（a+b）为正数；（b+c）为正数;（c+a)为正数；（a+b）3+（b+c）3+（c+a）3≥3（a+b）•(b+c)•（c+a）；当且仅当（a+b)＝（b+c)＝（c+a）时取等号；即:a＝b＝c＝1时取等号;∵a,b，c为正数，且满足abc＝1．（a+b）≥2（b+c（c+a当且仅当a＝b，b＝c;c＝a时取等号;即：a＝b＝c＝1时取等号；∴(a+b）3+（b+c）3+（c+a）3≥3（a+b）•（b+c）•（c+a24abc＝24；当且仅当a＝b＝c＝1时取等号;故（a+b）3+（b+c)3+（c+a)3≥24．得证．故得证．2．（2018年)已知f(x）＝｜x+1|﹣|ax﹣1|．（1）当a＝1时，求不等式f(x）＞1的解集;(2）若x∈（0,1)时不等式f（x）＞x成立，求a的取值范围．【解析】(1）当a＝1时,f（x）＝｜x+1｜﹣|x﹣1|＝2,12,11 2,1xx xx>⎧⎪-≤≤⎨⎪-<-⎩，由f（x）＞1，∴2111xx>⎧⎨-≤≤⎩或211x>⎧⎨>⎩，解得x＞12，故不等式f(x）＞1的解集为（12，+∞)，(2)当x∈（0，1）时不等式f（x）＞x成立，∴|x+1|﹣|ax﹣1|﹣x＞0，即x+1﹣｜ax﹣1|﹣x＞0，即|ax﹣1｜＜1，∴﹣1＜ax﹣1＜1，∴0＜ax＜2，∵x∈(0，1），∴a＞0，∴0＜x＜2a，∴a＜2x，∵2x＞2，∴0＜a≤2，故a的取值范围为（0，2]．3．（2017年）已知函数f（x）＝﹣x2+ax+4，g(x)＝|x+1｜+|x﹣1｜．（1）当a＝1时,求不等式f（x）≥g（x)的解集；(2）若不等式f（x)≥g(x)的解集包含［﹣1，1］，求a的取值范围．【解析】（1）当a＝1时，f（x）＝﹣x2+x+4，是开口向下，对称轴为x＝12的二次函数，g（x）＝|x+1｜+｜x﹣1｜＝2,12,11 2,1x xxx x>⎧⎪-≤≤⎨⎪-<-⎩，当x∈(1,+∞）时，令﹣x2+x+4＝2x，解得x,g（x）在（1，+∞)上单调递增，f（x）在(1,+∞)上单调递减，∴此时f（x)≥g（x)的解集为（1,12］;当x∈［﹣1，1］时,g(x)＝2，f(x）≥f（﹣1)＝2．当x∈（﹣∞，﹣1)时，g（x）单调递减，f（x)单调递增，且g（﹣1）＝f（﹣1）＝2．综上所述，f（x）≥g(x）的解集为［﹣1，12]；（2)依题意得：﹣x2+ax+4≥2在［﹣1,1］恒成立，即x2﹣ax﹣2≤0在［﹣1，1]恒成立，则只需()()2211201120a a ⎧-⨯-≤⎪⎨--⨯--≤⎪⎩,解得﹣1≤a ≤1, 故a 的取值范围是［﹣1,1]．4．（2016年)已知函数f (x ）＝|x +1｜﹣｜2x ﹣3|． (1)在图中画出y ＝f (x ）的图象； （2）求不等式｜f （x )|＞1的解集．【解析】（1）f (x ）＝4,1332,1234,2x x x x x x ⎧⎪-≤-⎪⎪--<<⎨⎪⎪-≥⎪⎩，由分段函数的图象画法，可得f (x ）的图象，如图：（2）由｜f （x ）｜＞1，可得当x ≤﹣1时，|x ﹣4｜＞1,解得x ＞5或x ＜3,即有x ≤﹣1；当﹣1＜x ＜32时,｜3x ﹣2|＞1，解得x ＞1或x ＜13，即有﹣1＜x ＜13或1＜x ＜32;当x ≥32时，｜4﹣x |＞1，解得x ＞5或x ＜3，即有x ＞5或32≤x ＜3．综上可得,x ＜13或1＜x ＜3或x ＞5．则｜f （x ）|＞1的解集为（﹣∞，13)∪(1,3）∪(5，+∞)．5．（2015年)已知函数f （x ）＝｜x +1｜﹣2|x ﹣a |，a ＞0． （1）当a ＝1时，求不等式f （x ）＞1的解集；（2）若f （x ）的图象与x 轴围成的三角形面积大于6,求a 的取值范围． 【解析】（1）当a ＝1时,不等式f (x ）＞1，即｜x +1｜﹣2|x ﹣1｜＞1，即()11211x x x <-⎧⎪⎨---->⎪⎩①，或()111211x x x -≤<⎧⎪⎨+-->⎪⎩②,或()11211x x x ≥⎧⎪⎨+-->⎪⎩③．解①求得x ∈∅，解②求得23＜x ＜1,解③求得1≤x ＜2．综上可得，原不等式的解集为（23，2)．(2）函数f （x )＝|x +1｜﹣2|x ﹣a |＝12,1312,112,x a x x a x a x a x a --<-⎧⎪+--≤≤⎨⎪-++>⎩，由此求得f （x )的图象与x 轴的交点A （213a -，0），B （2a +1,0）, 故f (x ）的图象与x 轴围成的三角形的第三个顶点C (a ，a +1）， 由△ABC 的面积大于6，可得12［2a +1﹣213a -]（a +1）＞6，求得a ＞2．故要求的a 的范围为(2,+∞)．6．（2014年）若a ＞0,b ＞0，且1a +1bab ．（1）求a 3+b 3的最小值;（2）是否存在a ,b ，使得2a +3b ＝6？并说明理由．【解析】（1)∵a ＞0，b ＞0，且1a +1b abab 1a +1b≥1ab ab ≥2，当且仅当a ＝b 2时取等号． ∵a 3+b 3≥()3ab 3242，当且仅当a ＝b 2时取等号，∴a 3+b 3的最小值为42（2）∵2a +3b ≥223a b ⋅＝6ab 2a ＝3b 时，取等号． 而由(1）可知，26ab 12436， 故不存在a ，b ，使得2a +3b ＝6成立．7．（2013年)已知函数f （x ）＝|2x ﹣1|+｜2x +a |，g （x ）＝x +3． （1）当a ＝﹣2时，求不等式f (x )＜g （x ）的解集;（2）设a ＞﹣1,且当x ∈[2a -，12］时，f （x )≤g (x ），求a 的取值范围．【解析】（1）当a ＝﹣2时，求不等式f （x )＜g （x ）化为|2x ﹣1｜+|2x ﹣2｜﹣x ﹣3＜0．设y ＝|2x ﹣1|+|2x ﹣2|﹣x ﹣3，则y ＝15,212,1236,1x x x x x x ⎧-<⎪⎪⎪--≤≤⎨⎪->⎪⎪⎩,它的图象如图所示：结合图象可得，y ＜0的解集为（0，2），故原不等式的解集为（0，2）．（2）设a ＞﹣1，且当x ∈［2a -，12］时，f （x ）＝1+a ，不等式化为1+a ≤x +3，故x ≥a ﹣2对x ∈［2a -,12]都成立．故2a-≥a ﹣2，解得a ≤43，故a 的取值范围为（﹣1,43］．8．（2012年）已知函数f （x ）＝｜x +a ｜+|x ﹣2｜ （1）当a ＝﹣3时，求不等式f （x ）≥3的解集；（2)f （x ）≤｜x ﹣4｜若的解集包含[1，2］，求a 的取值范围． 【解析】(1）当a ＝﹣3时，f （x ）≥3 即｜x ﹣3|+|x ﹣2｜≥3，即 2323x x x ≤⎧⎨-+-≥⎩，可得x ≤1; 23323x x x <<⎧⎨-+-≥⎩，可得x ∈∅;3323x x x ≥⎧⎨-+-≥⎩，可得x ≥4． 取并集可得不等式的解集为 {x ｜x ≤1或x ≥4}．（2）原命题即f （x )≤｜x ﹣4｜在[1，2]上恒成立，等价于|x +a ｜+2﹣x ≤4﹣x 在［1，2]上恒成立，等价于|x +a ｜≤2，等价于﹣2≤x +a ≤2，﹣2﹣x ≤a ≤2﹣x 在［1，2]上恒成立． 故当 1≤x ≤2时，﹣2﹣x 的最大值为﹣2﹣1＝﹣3,2﹣x 的最小值为0， 故a 的取值范围为[﹣3,0]．9．（2011年）设函数f (x ）＝｜x ﹣a ｜+3x ，其中a ＞0． （1)当a ＝1时，求不等式f (x ）≥3x +2的解集（2）若不等式f （x )≤0的解集为｛x |x ≤﹣1},求a 的值． 【解析】(1）当a ＝1时，f （x )≥3x +2可化为|x ﹣1｜≥2． 由此可得x ≥3或x ≤﹣1．故不等式f （x ）≥3x +2的解集为｛x |x ≥3或x ≤﹣1}． （2）由f （x )≤0得｜x ﹣a |+3x ≤0，此不等式化为不等式组30x a x a x ≥⎧⎨-+≤⎩或30x a a x x <⎧⎨-+≤⎩,即4x a a x ≥⎧⎪⎨≤⎪⎩或2x aa x <⎧⎪⎨≤-⎪⎩，因为a ＞0,所以不等式组的解集为｛x ｜x 2a ≤-｝，由题设可得2a-＝﹣1,故a ＝2．10．（2010年）设函数f （x ）＝|2x ﹣4|+1． （1）画出函数y ＝f (x )的图象；（2）若不等式f （x ）≤ax 的解集非空，求a 的取值范围．【解析】（1）由于f（x）＝25,2 23,2x xx x-+<⎧⎨-≥⎩，函数y＝f（x）的图象如图所示．（2）由函数y＝f(x)与函数y＝ax的图象可知，极小值在点(2,1）当且仅当a＜﹣2或a≥12时，函数y＝f（x）与函数y＝ax的图象有交点．故不等式f(x）≤ax的解集非空时,a的取值范围为（﹣∞,﹣2)∪[12，+∞）．。

新课标全国卷I文科数学汇编不等式选讲」、解答题【2017, 23】已知函数f x X2ax 4，g x |x 1 x 1 .(1 )当a 1时，求不等式f x g x的解集；(2)若不等式f x g x的解集包含1,1，求a的取值范围.【2016, 23】已知函数f(x) x 1 2x 3 .(I)在答题卡第(24)题图中画出y f (x)的图像;(n)求不等式f(x) 1的解集.(i)当a 1时求不等式f x 1的解集;(II)若f x的图像与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围【2015, 24】已知函数x x 1 2 x a, a 0.【2014, 24)】若a 0,b 0,且丄丄job.a b(i )求a3b3的最小值；(n)是否存在a,b，使得2a 3b 6?并说明理由【2013，24】已知函数f(x)=|2x—1|+ |2x+ a|, g(x) = x+ 3.(1)当a=—2时，求不等式f(x)v g(x)的解集；a 1⑵设a>—1,且当x€ 二丄时，f(x)駕(x)，求a的取值范围.2 2(n)若不等式f(x) 0的解集为x|x 1 ，求a的值。

【2012, 24】已知函数f(x) |x a |【2011, 24】设函数f (x) x a 3x ,其中a 0。

(i)当a 1时，求不等式f(x) 3x 2的解集；|x 2|。

(1)当 a 3时，求不等式f(x)3的解集；(2 )若f(x) |x 4|的解集包含[1 , 2],求a 的取值范围。

、解答题【2017, 23】已知函数f x x2ax 4,(1)当a 1时，求不等式f x的解集;【解析】( 若不等式f X g x的解集包含1 )当a 1 时，f x上单调递增,1, 1 时，g x,1 时，gx2 x 42x, x 12 , 1 w x w 1，当2x, x 11,1 ,求a的取值范围.是开口向下，对称轴x (1,)时，令x2x -的二次函数.2上单调递减，•••此时fX单调递减，f X综上所述，f X > g x解集(2)依题意得：x2 ax 4 > 2 在1, 12 /1 a 12 w 0 则只须 21 a ，解出:1 2 w 0单调递增，且g 1恒成立.即x ax4 2x，解得x号'，gx在解集为1,旦21, 1恒成立.1 w a w 1.故a取值范围是1, 1【2016, 23】已知函数f(x) x 1 2x 3 .(I)在答题卡第(24)题图中画出y f (x)的图像;(n)求不等式f(x) 1的解集.【解析】：⑴如图所示:(n)若不等式f(x) 0的解集为x|x 1 ，求a的值。

2010年高考数学试题分类汇编——不等式一、选择题1、（2010某某文数）15.满足线性约束条件23,23,0,0x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩的目标函数z x y =+的最大值是（ ）（A ）1. （B ）32. （C ）2. （D ）3. 解析：当直线z x y =+过点B(1,1)时，z 最大值为22、（2010某某理数）（7）若实数x ，y 满足不等式组330,230,10,x y x y x my +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩且x y +的最大值为9，则实数m =（A ）2-（B ）1- （C ）1 （D ）2解析：将最大值转化为y 轴上的截距，将m 等价为斜率的倒数，数形结合可知答案选C ，本题主要考察了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题3、（2010全国卷2理数）（5）不等式2601x x x ---＞的解集为 （A ）{}2,3x x x -＜或＞ （B ）{}213x x x -＜，或＜＜ （C ） {}213x x x -＜＜，或＞ （D ）{}2113x x x -＜＜，或＜＜ 【答案】C【命题意图】本试题主要考察分式不等式与高次不等式的解法.【解析】利用数轴穿根法解得-2＜x ＜1或x ＞3，故选C4、（2010全国卷2文数）(5)若变量x,y 满足约束条件1325x y x x y ≥-⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩则z=2x+y 的最大值为（A ）1 (B)2 (C)3 (D)4 【解析】C ：本题考查了线性规划的知识。

∵ 作出可行域，作出目标函数线，可得直线与y x = 与325x y +=的交点为最优解点，∴即为（1，1），当1,1x y ==时max 3z =5、（2010全国卷2文数）（2）不等式32x x -+＜0的解集为 （A ）{}23x x -<< （B ）{}2x x <- （C ）{}23x x x <->或 （D ）{}3x x > 【解析】A ：本题考查了不等式的解法∵32x x -<+，∴23x -<<，故选A6、（2010某某理数）3.不等式 22x x xx -->的解集是（ ） A.(02)， B.(0)-∞， C.(2)+∞， D.(0)∞⋃+∞（-，0）， 【答案】 A【解析】考查绝对值不等式的化简.绝对值大于本身，值为负数.20x x-<，解得A 。

2010年全国各地高考数学真题分章节分类汇编之不等式一、填空题：1．（2010年高考陕西卷理科15）(不等式选做题)不等式的解集为.【答案】【解析】（方法一）当时，∵原不等式即为，这显然不可能，∴不适合.当时，∵原不等式即为，又，∴适合.当时，∵原不等式即为，这显然恒成立，∴适合.故综上知，不等式的解集为，即.（方法二）设函数，则∵∴作函数的图象，如图所示，并作直线与之交于点.又令，则，即点的横坐标为.故结合图形知，不等式的解集为.二、解答题：1．（2010年高考福建卷理科21）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲已知函数。

（Ⅰ）若不等式的解集为，求实数的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围。

【命题意图】本小题主要考查绝对值的意义、绝对值不等式等基础知识，考查运算求解能力。

【解析】（Ⅰ）由得，解得，又已知不等式的解集为，所以，解得。

（Ⅱ）当时，，设，于是=，所以当时，；当时，；当时，。

2．（2010年高考江苏卷试题21）选修4-5：不等式选讲（本小题满分10分）设a、b是非负实数，求证：。

[解析] 本题主要考查证明不等式的基本方法，考查推理论证的能力。

满分10分。

（方法一）证明：因为实数a、b≥0，所以上式≥0。

即有。

（方法二）证明：由a、b是非负实数，作差得当时，，从而，得；当时，，从而，得；所以。

3. (2010年全国高考宁夏卷24）（本小题满分10分）选修4-5，不等式选讲设函数（Ⅰ）画出函数的图像（Ⅱ）若不等式≤的解集非空，求a的取值范围。

（24）解：（Ⅰ）由于则函数的图像如图所示。

（Ⅱ）由函数与函数的图像可知，当且仅当或时，函数与函数的图像有交点。

故不等式的解集非空时，的取值范围为。

4．（2010年高考辽宁卷理科24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知均为正数，证明：，并确定为何值时，等号成立。

2017年全国卷高考数学复习专题——不等式选讲考点一不等式的性质和绝对值不等式1.(2014广东,9,5分)不等式|x-1|+|x+2|≥5的解集为. 答案{x|x≤-3或x≥2}2.(2014湖南,13,5分)若关于x的不等式|ax-2|<3的解集为x-53<x<13,则a= .答案-33.(2014重庆,16,5分)若不等式|2x-1|+|x+2|≥a2+12a+2对任意实数x恒成立,则实数a的取值范围是.答案-1,124.(2014课标Ⅰ,24,10分)选修4—5:不等式选讲若a>0,b>0,且1a +1b=ab.(1)求a3+b3的最小值;(2)是否存在a,b,使得2a+3b=6?并说明理由.解析(1)由ab=1a +1b≥ab,得ab≥2,且当a=b=2时等号成立.故a3+b3≥23b3≥42,且当a=b=2时等号成立. 所以a3+b3的最小值为4.(2)由(1)知,2a+3b≥2由于43>6,从而不存在a,b,使得2a+3b=6.5.(2014课标Ⅱ,24,10分)选修4—5:不等式选讲设函数f(x)= x+1a+|x-a|(a>0).(1)证明:f(x)≥2;(2)若f(3)<5,求a的取值范围.解析(1)证明:由a>0,得f(x)= x+1a +|x-a|≥ x+1a-(x-a)=1a+a≥2.所以f(x)≥2.(2)f(3)=3+1a+|3-a|.当a>3时,f(3)=a+1a ,由f(3)<5得3<a<5+212.当0<a≤3时,f(3)=6-a+1a ,由f(3)<5得1+52<a≤3.综上,a的取值范围是1+52,5+212.6.(2014福建,21(3),7分)选修4—5:不等式选讲已知定义在R 上的函数f(x)=|x+1|+|x-2|的最小值为a. (1)求a 的值;(2)若p,q,r 是正实数,且满足p+q+r=a,求证:p 2+q 2+r 2≥3. 解析 (1)因为|x+1|+|x-2|≥|(x+1)-(x-2)|=3, 当且仅当-1≤x≤2时,等号成立, 所以f(x)的最小值等于3,即a=3.(2)证明:由(1)知p+q+r=3,又因为p,q,r 是正实数, 所以(p 2+q 2+r 2)(12+12+12)≥(p×1+q×1+r×1)2 =(p+q+r)2=9, 即p 2+q 2+r 2≥3.7.(2014辽宁,24,10分)选修4—5:不等式选讲设函数f(x)=2|x-1|+x-1,g(x)=16x 2-8x+1,记f(x)≤1的解集为M,g(x)≤4的解集为N. (1)求M;(2)当x∈M∩N 时,证明:x 2f(x)+x[f(x)]2≤14. 解析 (1)f(x)=3x -3,x ∈[1,+∞),1-x ,x ∈(-∞,1).当x≥1时,由f(x)=3x-3≤1得x≤43,故1≤x≤43; 当x<1时,由f(x)=1-x≤1得x≥0,故0≤x<1. 所以f(x)≤1的解集为M= x |0≤x ≤43 . (2)证明:由g(x)=16x 2-8x+1≤4得16 x -14 2≤4,解得-14≤x≤34.因此N= x |-14≤x ≤34 ,故M∩N= x |0≤x ≤34 . 当x∈M∩N 时, f(x)=1-x,于是x 2f(x)+x·[f(x)]2 =xf(x)[x+f(x)]=x·f(x)=x(1-x)=14- x -12 2≤14.考点二 不等式的证明8.(2014江苏,21D,10分)选修4—5:不等式选讲 已知x>0,y>0,证明:(1+x+y 2)(1+x 2+y)≥9xy. 证明 因为x>0,y>0, 所以1+x+y 2≥3 xy 23>0, 1+x 2+y≥3 x 2y 3>0,故(1+x+y 2)(1+x 2+y)≥3 xy 23·3 x 2y 3=9xy.9.(2014天津,19,14分)已知q和n均为给定的大于1的自然数.设集合M={0,1,2,…,q-1},集合A={x|x=x1+x2q+…+xnq n-1,xi∈M,i=1,2,…,n}.(1)当q=2,n=3时,用列举法表示集合A;(2)设s,t∈A,s=a1+a2q+…+anq n-1,t=b1+b2q+…+bnq n-1,其中ai,bi∈M,i=1,2,…,n.证明:若an<bn,则s<t.解析(1)当q=2,n=3时,M={0,1},A={x|x=x1+x2·2+x3·22,xi∈M,i=1,2,3}.可得,A={0,1,2,3,4,5,6,7}.(2)证明:由s,t∈A,s=a1+a2q+…+anq n-1,t=b1+b2q+…+bnq n-1,ai,bi∈M,i=1,2,…,n及an<bn,可得s-t=(a1-b1)+(a2-b2)q+…+(an-1-bn-1)q n-2+(an-bn)q n-1≤(q-1)+(q-1)q+…+(q-1)q n-2-q n-1=(q-1)(1-q n-1)1-q-q n-1=-1<0. 所以s<t.。