特级教师彭海燕精编高考数学全国卷基本不等式

§7.5直接证明与间接证明1.直接证明综合法分析法定义从已知条件和某些数学定义、定理、公理等出发，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立.从要证明的结论出发，逐步寻求使结论成立的充分条件，最后把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件.思维过程由因导果执果索因证题步骤P(已知)⇒P1⇒P2⇒…⇒P n⇒Q(结论)Q(结论)⇐Q1⇐Q2⇐…⇐Q n⇐P(已知)文字语言因为…，所以…或由…，得…要证…，只需证…，即证…符号语言⇒⇐2.反证法定义要证明某一结论Q是正确的，但不直接证明，而是先去假设Q不成立(即Q的反面非Q是正确的)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设非Q是错误的，从而断定结论Q是正确的，这种证明方法叫做反证法.证明步骤(1)分清命题的条件和结论；(2)假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；(3)由假设出发进行正确的推理，直到推出矛盾为止；(4)由矛盾断言假设不成立，从而肯定原命题的结论成立.适用范围(1)否定性命题；(2)命题的结论中出现“至少”、“至多”、“惟一”等词语的；(3)当命题成立非常明显，而要直接证明所用的理论太少，且不容易说明，而其逆否命题又是非常容易证明的； (4)要讨论的情况很复杂，而反面情况很少.1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)综合法是直接证明，分析法是间接证明.( × ) (2)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件. ( × ) (3)用反证法证明结论“a >b ”时，应假设“a <b ”. ( × ) (4)反证法是指将结论和条件同时否定，推出矛盾.( × )(5)在解决问题时，常常用分析法寻找解题的思路与方法，再用综合法展现解决问题的过程.( √ )(6)证明不等式2＋7<3＋6最合适的方法是分析法. ( √ ) 2.若a ，b ，c 为实数，且a <b <0，则下列命题正确的是( )A.ac 2<bc 2B.a 2>ab >b 2C.1a <1bD.b a >a b答案 B解析 a 2－ab ＝a (a －b )，∵a <b <0，∴a －b <0，∴a 2－ab >0，∴a 2>ab . ① 又ab －b 2＝b (a －b )>0，∴ab >b 2，②由①②得a 2>ab >b 2.3.设a ＝lg 2＋lg 5，b ＝e x (x <0)，则a 与b 的大小关系为( )A.a >bB.a <bC.a ＝bD.a ≤b答案 A解析 a ＝lg 2＋lg 5＝1，b ＝e x ，当x <0时，0<b <1， ∴a >b .4.用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a ，b ，c 中恰有一个偶数”正确的反设为( ) A.a ，b ，c 中至少有两个偶数B.a ，b ，c 中至少有两个偶数或都是奇数C.a ，b ，c 都是奇数D.a，b，c都是偶数答案 B解析自然数a，b，c中为偶数的情况为a，b，c全为偶数；a，b，c中有两个数为偶数；a，b，c全为奇数；a，b，c中恰有一个数为偶数，所以反设为a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数.5.如果a a＋b b>a b＋b a，则a、b应满足的条件是________.答案a≥0，b≥0且a≠b解析∵a a＋b b－(a b＋b a)＝a(a－b)＋b(b－a)＝(a－b)(a－b)＝(a－b)2(a＋b).∴当a≥0，b≥0且a≠b时，(a－b)2(a＋b)>0.故a a＋b b>a b＋b a成立的条件是a≥0，b≥0且a≠b.题型一综合法的应用例1对于定义域为[0,1]的函数f(x)，如果同时满足：①对任意的x∈[0,1]，总有f(x)≥0；②f(1)＝1；③若x1≥0，x2≥0，x1＋x2≤1，都有f(x1＋x2)≥f(x1)＋f(x2)成立，则称函数f(x)为理想函数.(1)若函数f(x)为理想函数，证明：f(0)＝0；(2)试判断函数f(x)＝2x(x∈[0,1])，f(x)＝x2(x∈[0,1])，f(x)＝x(x∈[0,1])是否是理想函数.思维启迪(1)取特殊值代入计算即可证明；(2)对照新定义中的3个条件，逐一代入验证，只有满足所有条件，才能得出“是理想函数”的结论，否则得出“不是理想函数”的结论.(1)证明取x1＝x2＝0，则x1＋x2＝0≤1，∴f(0＋0)≥f(0)＋f(0)，∴f(0)≤0.又对任意的x∈[0,1]，总有f(x)≥0，∴f(0)≥0.于是f(0)＝0.(2)解对于f(x)＝2x，x∈[0,1]，f(1)＝2不满足新定义中的条件②，∴f(x)＝2x，(x∈[0,1])不是理想函数.对于f(x)＝x2，x∈[0,1]，显然f(x)≥0，且f(1)＝1.任意的x1，x2∈[0,1]，x1＋x2≤1，f(x1＋x2)－f(x1)－f(x2)＝(x1＋x2)2－x21－x22＝2x1x2≥0，即f(x1)＋f(x2)≤f(x1＋x2).∴f(x)＝x2(x∈[0,1])是理想函数.对于f(x)＝x，x∈[0,1]，显然满足条件①②.对任意的x1，x2∈[0,1]，x1＋x2≤1，有f2(x1＋x2)－[f(x1)＋f(x2)]2＝(x1＋x2)－(x1＋2x1x2＋x2)＝－2x1x2≤0，即f2(x1＋x2)≤[f(x1)＋f(x2)]2.∴f(x1＋x2)≤f(x1)＋f(x2)，不满足条件③.∴f(x)＝x(x∈[0,1])不是理想函数.综上，f(x)＝x2(x∈[0,1])是理想函数，f(x)＝2x(x∈[0,1])与f(x)＝x(x∈[0,1])不是理想函数.思维升华用综合法证题是从已知条件出发，逐步推向结论，综合法的适用范围：(1)定义明确的问题，如证明函数的单调性、奇偶性，求证无条件的等式或不等式.(2)已知条件明确，并且容易通过分析和应用条件逐步逼近结论的题型.在使用综合法证明时，易出现的错误是因果关系不明确，逻辑表达混乱.定义：若数列{A n}满足A n＋1＝A2n，则称数列{A n}为“平方递推数列”.已知数列{a n}中，a1＝2，点(a n，a n＋1)在函数f(x)＝2x2＋2x的图象上，其中n为正整数，证明：数列{2a n＋1}是“平方递推数列”.证明∵点(a n，a n＋1)在函数f(x)＝2x2＋2x的图象上，∴a n＋1＝2a2n＋2a n，∴2a n＋1＋1＝4a2n＋4a n＋1＝(2a n＋1)2，∴{2a n＋1}是“平方递推数列”.题型二 分析法的应用例2 已知m >0，a ，b ∈R ，求证：(a ＋mb 1＋m )2≤a 2＋mb 21＋m .思维启迪 将要证分式化成整式，再合并同类项. 证明 ∵m >0，∴1＋m >0. 所以要证原不等式成立，只需证(a ＋mb )2≤(1＋m )(a 2＋mb 2)， 即证m (a 2－2ab ＋b 2)≥0， 即证(a －b )2≥0， 而(a －b )2≥0显然成立， 故原不等式得证.思维升华 分析法的特点和思路是“执果索因”，即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”或本身已经成立的定理、性质或已经证明成立的结论等，运用分析法必须考虑条件的必要性是否成立.通常采用“欲证—只需证—已知”的格式，在表达中要注意叙述形式的规范.已知a ，b ∈(0，＋∞)，求证：(a 3＋b 3)31<(a 2＋b 2)21.证明 因为a ，b ∈(0，＋∞)，所以要证原不等式成立，只需证[(a 3＋b 3)31]6<[(a 2＋b 2)21]6，即证(a 3＋b 3)2<(a 2＋b 2)3，即证a 6＋2a 3b 3＋b 6<a 6＋3a 4b 2＋3a 2b 4＋b 6， 只需证2a 3b 3<3a 4b 2＋3a 2b 4. 因为a ，b ∈(0，＋∞)， 所以即证2ab <3(a 2＋b 2).而a 2＋b 2≥2ab,3(a 2＋b 2)≥6ab >2ab 成立， 以上步骤步步可逆，所以(a 3＋b 3)31<(a 2＋b 2)21.题型三 反证法的应用例3 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋S n ＝2. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)求证：数列{a n }中不存在三项按原来顺序成等差数列.思维启迪 (1)先利用S n －S n －1＝a n (n ≥2)两式相减得a n 和a n ＋1的关系，再求a n ； (2)用反证法证明.(1)解 当n ＝1时，a 1＋S 1＝2a 1＝2，则a 1＝1. 又a n ＋S n ＝2，所以a n ＋1＋S n ＋1＝2， 两式相减得a n ＋1＝12a n ，所以{a n }是首项为1，公比为12的等比数列，所以a n ＝12n －1.(2)证明 反证法：假设存在三项按原来顺序成等差数列，记为a p ＋1，a q ＋1，a r ＋1(p <q <r ，且p ，q ，r ∈N *)，则2·12q ＝12p ＋12r ，所以2·2r －q ＝2r －p ＋1.①又因为p <q <r ，所以r －q ，r －p ∈N *.所以①式左边是偶数，右边是奇数，等式不成立. 所以假设不成立，原命题得证.思维升华 (1)当一个命题的结论是以“至多”、“至少”、“唯一”或以否定形式出现时，可用反证法来证，反证法关键是在正确的推理下得出矛盾，矛盾可以是与已知条件矛盾，与假设矛盾，与定义、公理、定理矛盾，与事实矛盾等.(2)用反证法证明不等式要把握三点：①必须否定结论；②必须从否定结论进行推理；③推导出的矛盾必须是明显的.在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 、b 、c 三边的倒数成等差数列，求证：∠B <90°.证明 假设∠B <90°不成立，即∠B ≥90°，从而∠B 是△ABC 的最大角，∴b 是△ABC 的最大边， 即b >a ，b >c . ∴1a >1b ，1c >1b，相加得1a ＋1c >1b ＋1b ＝2b ，这与1a ＋1c ＝2b 矛盾. 故∠B ≥90°不成立，即∠B <90°.混淆特殊值检验和一般性证明致误典例：(12分)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，若函数f (x ＋1)与f (x )的图象关于y 轴对称，求证：f (x ＋12)为偶函数. 易错分析 在证明f (x ＋12)是偶函数时，用特殊值f (32＋12)＝f (－32＋12)成立来判断f (x ＋12)是偶函数. 规范解答证明 由函数f (x ＋1)与f (x )的图象关于y 轴对称， 可知f (x ＋1)＝f (－x ).[4分] 将x 换成x －12代入上式可得f (x －12＋1)＝f [－(x －12)]，即f (x ＋12)＝f (－x ＋12)，[10分]由偶函数的定义可知f (x ＋12)为偶函数.[12分]温馨提醒 在证明数学命题时，必须通过严格的推理来证明对任意满足题意的条件，命题的结论都成立，特殊值的检验不能代替一般性的证明.方法与技巧1.分析法的特点：从未知看需知，逐步靠拢已知.2.综合法的特点：从已知看可知，逐步推出未知.3.分析法和综合法各有优缺点.分析法思考起来比较自然，容易寻找到解题的思路和方法，缺点是思路逆行，叙述较繁；综合法从条件推出结论，较简捷地解决问题，但不便于思考.实际证题时常常两法兼用，先用分析法探索证明途径，然后再用综合法叙述出来. 失误与防范1.用分析法证明数学问题时，要注意书写格式的规范性，常常用“要证(欲证)…”“即要证…”“就要证…”等分析到一个明显成立的结论.2.利用反证法证明数学问题时，要假设结论错误，并用假设命题进行推理，没有用假设命题推理而推出矛盾结果，其推理过程是错误的.A 组 专项基础训练 (时间：40分钟)一、选择题1.若a ，b ∈R ，则下面四个式子中恒成立的是( )A.lg(1＋a 2)>0B.a 2＋b 2≥2(a －b －1)C.a 2＋3ab >2b 2D.a b <a ＋1b ＋1答案 B解析 在B 中，∵a 2＋b 2－2(a －b －1)＝(a 2－2a ＋1)＋(b 2＋2b ＋1)＝(a －1)2＋(b ＋1)2≥0， ∴a 2＋b 2≥2(a －b －1)恒成立.2.在△ABC 中，sin A sin C <cos A cos C ，则△ABC 一定是( )A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不确定答案 C解析 由sin A sin C <cos A cos C 得， cos A cos C －sin A sin C >0， 即cos(A ＋C )>0，∴A ＋C 是锐角， 从而B >π2，故△ABC 必是钝角三角形.3.已知m >1，a ＝m ＋1－m ，b ＝m －m －1，则以下结论正确的是( )A.a >bB.a <bC.a ＝bD.a ，b 大小不定答案 B 解析 ∵a ＝m ＋1－m ＝1m ＋1＋m，b ＝m －m －1＝1m ＋m －1.而m ＋1＋m >m ＋m －1，∴1m ＋1＋m <1m ＋m －1，即a <b .4.已知a >0，b >0，则1a ＋1b ＋2ab 的最小值是( )A.2B.2 2C.4D.5答案 C解析 因为1a ＋1b ＋2ab ≥21ab＋2ab ＝2(1ab＋ab )≥4. 当且仅当1a ＝1b且1ab＝ab ， 即a ＝b ＝1时，取“＝”.5.用反证法证明命题“若a ，b ∈N ，ab 能被3整除，那么a ，b 中至少有一个能被3整除”时，假设应为( )A.a ，b 都能被3整除B.a ，b 都不能被3整除C.b 不能被3整除D.a 不能被3整除答案 B解析 由反证法的定义可知，否定结论，即“a ，b 中至少有一个能被3整除”的否定是“a ，b 都不能被3整除”，故选B. 二、填空题6.6＋7与22＋5的大小关系为________. 答案6＋7>22＋ 5解析 要比较6＋7与22＋5的大小， 只需比较(6＋7)2与(22＋5)2的大小， 只需比较6＋7＋242与8＋5＋410的大小， 只需比较42与210的大小， 只需比较42与40的大小， ∵42>40，∴6＋7>22＋ 5.7.已知“整数对”按如下规律排成一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，…，则第60个“整数对”是________. 答案 (5,7)解析 依题意，把“整数对”的和相同的分为一组，不难得知每组中每个“整数对”的和为n ＋1，且每组共有n 个“整数对”，这样的前n 组一共有n (n ＋1)2个“整数对”，注意到10(10＋1)2<60<11(11＋1)2，因此第60个“整数对”处于第11组(每个“整数对”的和为12的组)的第5个位置，结合题意可知每个“整数对”的和为12的组中的各对数依次为(1,11)，(2,10)，(3,9)，(4,8)，(5,7)，…，因此第60个“整数对”是(5,7).8.凸函数的性质定理：如果函数f (x )在区间D 上是凸函数，则对于区间D 内的任意x 1，x 2，…，x n ，有f (x 1)＋f (x 2)＋…＋f (x n )n ≤f (x 1＋x 2＋…＋x n n )，已知函数y ＝sin x 在区间(0，π)上是凸函数，则在△ABC 中，sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值为________. 答案332解析 ∵f (x )＝sin x 在区间(0，π)上是凸函数，且A 、B 、C ∈(0，π). ∴f (A )＋f (B )＋f (C )3≤f (A ＋B ＋C 3)＝f (π3)，即sin A ＋sin B ＋sin C ≤3sin π3＝332，所以sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值为332. 三、解答题9.已知非零向量a ⊥b ，求证：|a |＋|b ||a －b |≤ 2. 证明 ∵a ⊥b ，∴a ·b ＝0.要证|a |＋|b ||a －b |≤2，只需证：|a |＋|b |≤2|a －b |， 平方得：|a |2＋|b |2＋2|a ||b |≤2(|a |2＋|b |2－2a ·b )，只需证：|a |2＋|b |2－2|a ||b |≥0，即(|a |－|b |)2≥0，显然成立.故原不等式得证.10.已知四棱锥S －ABCD 中，底面是边长为1的正方形，又SB ＝SD ＝2，SA ＝1.(1)求证：SA ⊥平面ABCD ；(2)在棱SC 上是否存在异于S ，C 的点F ，使得BF ∥平面SAD ？若存在，确定F 点的位置；若不存在，请说明理由.(1)证明 由已知得SA 2＋AD 2＝SD 2，∴SA ⊥AD .同理SA ⊥AB .又AB ∩AD ＝A ，∴SA ⊥平面ABCD .(2)解 假设在棱SC 上存在异于S ，C 的点F ，使得BF ∥平面SAD .∵BC ∥AD ，BC ⊄平面SAD .∴BC ∥平面SAD .而BC ∩BF ＝B ，∴平面SBC ∥平面SAD .这与平面SBC 和平面SAD 有公共点S 矛盾，∴假设不成立.故不存在这样的点F ，使得BF ∥平面SAD .B 组 专项能力提升(时间：30分钟)1.已知函数f (x )＝(12)x ，a ，b 是正实数，A ＝f (a ＋b 2)，B ＝f (ab )，C ＝f (2ab a ＋b)，则A 、B 、C 的大小关系为 ( )A.A ≤B ≤CB.A ≤C ≤BC.B ≤C ≤AD.C ≤B ≤A答案 A 解析 ∵a ＋b 2≥ab ≥2ab a ＋b，又f (x )＝(12)x 在R 上是减函数. ∴f (a ＋b 2)≤f (ab )≤f (2ab a ＋b)，即A ≤B ≤C . 2.若a 、b 、c 是不全相等的正数，给出下列判断：①(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2≠0；②a >b 与a <b 及a ＝b 中至少有一个成立；③a ≠c ，b ≠c ，a ≠b 不能同时成立.其中判断正确的个数是( ) A.0 B.1 C.2D.3 答案 C解析 ①②正确，③中，a ≠c ，b ≠c ，a ≠b 可能同时成立，如a ＝1，b ＝2，c ＝3.3.a 2＋2＋2a 2＋2与22的大小关系是________. 答案 a 2＋2＋2a 2＋2>2 2 解析 利用基本不等式，但不能取等号.4.已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图象与x 轴有两个不同的交点，若f (c )＝0，且0<x <c 时，f (x )>0.(1)证明：1a是函数f (x )的一个零点； (2)试用反证法证明1a>c . 证明 (1)∵f (x )图象与x 轴有两个不同的交点，∴f (x )＝0有两个不等实根x 1，x 2，∵f (c )＝0，∴x 1＝c 是f (x )＝0的根，又x 1x 2＝c a ，∴x 2＝1a (1a≠c )， ∴1a 是f (x )＝0的一个根.即1a是函数f (x )的一个零点.(2)假设1a <c ，又1a>0，由0<x <c 时，f (x )>0， 知f (1a )>0与f (1a )＝0矛盾，∴1a≥c ， 又∵1a ≠c ，∴1a>c . 5.已知数列{a n }满足：a 1＝12，3(1＋a n ＋1)1－a n ＝2(1＋a n )1－a n ＋1，a n a n ＋1<0(n ≥1)，数列{b n }满足：b n ＝a 2n ＋1－a 2n (n ≥1).(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)证明：数列{b n }中的任意三项不可能成等差数列.(1)解 由题意可知，1－a 2n ＋1＝23(1－a 2n ). 令c n ＝1－a 2n ，则c n ＋1＝23c n. 又c 1＝1－a 21＝34，则数列{c n }是首项为c 1＝34， 公比为23的等比数列，即c n ＝34·(23)n －1， 故1－a 2n ＝34·(23)n －1⇒a 2n ＝1－34·(23)n －1. 又a 1＝12>0.a n a n ＋1<0， 故a n ＝(－1)n －11－34·(23)n －1. b n ＝a 2n ＋1－a 2n ＝[1－34·(23)n ]－[1－34·(23)n －1] ＝14·(23)n －1. (2)证明 用反证法证明.假设数列{b n }存在三项b r ，b s ，b t (r <s <t )按某种顺序成等差数列，由于数列{b n }是首项为14，公比为23的等比数列， 于是有b r >b s >b t ，则只能有2b s ＝b r ＋b t 成立.∴2·14(23)s －1＝14(23)r －1＋14(23)t －1，两边同乘以3t－121－r，化简得3t－r＋2t－r＝2·2s－r3t－s. 由于r<s<t，∴上式左边为奇数，右边为偶数，故上式不可能成立，导致矛盾.故数列{b n}中任意三项不可能成等差数列.。

2021年高考数学第六章第4课时基本不等式知能演练轻松闯关新人教A版1．(xx·高考福建卷)下列不等式一定成立的是( )A．lg(x2＋14)>lg x(x>0)B．sin x＋1sin x≥2(x≠kπ，k∈Z)C．x2＋1≥2|x|(x∈R)D．1x2＋1>1(x∈R)解析：选C．取x＝12，则lg⎝⎛⎭⎪⎫x2＋14＝lg x，故排除A；取x＝32π，则sin x＝－1，故排除B；取x＝0，则1x2＋1＝1，故排除D．2．(xx·河北教学质量检测)“a2＋b2ab≤－2”是“a>0且b<0”的( )A．必要不充分条件B．充要条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A．a2＋b2ab≤－2⇔a2＋b2ab＋2＝（a＋b）2ab≤0⇔ab<0⇔⎩⎨⎧a<0b>0或⎩⎨⎧a>0b<0.3．(xx·江南十校联考)已知a>0，b>0，a，b的等比中项是1，且m＝b＋1 a ，n＝a＋1b，则m＋n的最小值是( )A．3 B．4 C．5 D．6解析：选B．由已知得ab＝1，m＋n＝a＋b＋1a＋1b＝2(a＋b)≥4ab＝4，当且仅当a＝b＝1时取等号，m＋n取得最小值4.4．(xx·高考福建卷)若2x＋2y＝1，则x＋y的取值范围是( ) A．[0，2] B．[－2，0]C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2]解析：选D．∵2x＋2y≥22x＋y，2x＋2y＝1，∴22x＋y≤1，∴2x＋y≤14＝2－2，∴x＋y≤－2，即(x＋y)∈(－∞，－2]．5．(xx·浙江十校联考)若正数x，y满足4x2＋9y2＋3xy＝30，则xy的最大值是( )A．43B．53C．2 D．5 4解析：选C．由x>0，y>0知4x2＋9y2＋3xy≥2×(2x)×(3y)＋3xy(当且仅当2x＝3y时等号成立)，∴12xy＋3xy≤30，即xy≤2.6．若0＜x＜25，则y＝2x－5x2的最大值为________．解析：y＝2x－5x2＝x(2－5x)＝15·5x·(2－5x)．∵0<x<25，∴5x<2，2－5x>0，∴5x(2－5x)≤(5x＋2－5x2)2＝1，∴y≤15，当且仅当5x＝2－5x，即x＝15时，y max＝15.答案：1 57．某公司购买一批机器投入生产，据市场分析每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为y＝－x2＋18x－25(x∈N*)．则当每台机器运转__________年时，年平均利润最大，最大值是__________万元．解析：每台机器运转x年的年平均利润为yx＝18－(x＋25x)，而x＞0，故yx≤18答案：5 88．已知函数f (x )＝x ＋p x －1(p 为常数，且p >0)，若f (x )在(1，＋∞)上的最小值为4，则实数p 的值为________．解析：由题意得x －1>0，f (x )＝x －1＋p x －1＋1≥2p ＋1，当且仅当x ＝p＋1时取等号，因为f (x )在(1，＋∞)上的最小值为4，所以2p ＋1＝4，解得p ＝94. 答案：949．设a 、b 均为正实数，求证：1a 2＋1b2＋ab ≥2 2.证明：由于a 、b 均为正实数， 所以1a 2＋1b 2≥21a 2·1b 2＝2ab， 当且仅当1a 2＝1b2，即a ＝b 时等号成立．又因为2ab＋ab ≥22ab·ab ＝22，当且仅当2ab＝ab 时等号成立，所以1a 2＋1b 2＋ab ≥2ab＋ab ≥22，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧1a 2＝1b 2，2ab ＝ab即a ＝b ＝42时取等号．10．(1)当x <32时，求函数y ＝x ＋82x －3的最大值；(2)设0<x <2，求函数y ＝x （4－2x ）的最大值． 解：(1)y ＝12(2x －3)＋82x －3＋32＝－⎝⎛⎭⎪⎫3－2x 2＋83－2x ＋32. 当x <32时，有3－2x >0，∴3－2x 2＋83－2x≥23－2x 2·83－2x＝4， 当且仅当3－2x 2＝83－2x ，即x ＝－12时取等号． 于是y ≤－4＋32＝－52，故函数的最大值为－52.(2)∵0<x <2， ∴2－x >0，∴y＝x（4－2x）＝2·x（2－x）≤2·x＋2－x2＝2，当且仅当x＝2－x，即x＝1时取等号，∴当x＝1时，函数y＝x（4－2x）的最大值为 2.[能力提升]1．设a>0，b>0，且不等式1a＋1b＋ka＋b≥0恒成立，则实数k的最小值等于( )A．0 B．4C．－4 D．－2解析：选C．由1a＋1b＋ka＋b≥0得k≥－（a＋b）2ab，而（a＋b）2ab＝ba＋ab＋2≥4(a＝b时取等号)，所以－（a＋b）2ab≤－4，因此要使k≥－（a＋b）2ab恒成立，应有k≥－4，即实数k的最小值等于－4.2．(xx·浙江嘉兴调研)已知正实数a，b满足a＋2b＝1，则a2＋4b2＋1 ab 的最小值为( )A．72B．4C．16136D．172解析：选D．因为a>0，b>0，1＝a＋2b≥22ab，所以ab≤18，当且仅当a＝2b＝12时取等号．又因为a2＋4b2＋1ab≥2a·(2b)＋1ab＝4ab＋1ab，令t＝ab，所以f(t)＝4t＋1t，因为f(t)在⎝⎛⎦⎥⎤0，18上单调递减，所以f(t)min＝f⎝⎛⎭⎪⎫18＝172，此时a＝2b＝12，故选D．3．规定记号“⊗”表示一种运算，即a⊗b＝ab＋a＋b(a、b为正实数)．若1⊗k＝3，则k的值为________，此时函数f(x)＝k⊗xx的最小值为________．解析：1⊗k＝k＋1＋k＝3，即k＋k－2＝0，∴k＝1或k＝－2(舍去)．∴k＝1.f(x)＝1⊗xx＝x＋x＋1x＝1＋x＋1x≥1＋2＝3，当且仅当x＝1x，即x＝1时等号成立．答案：1 34．(原创题)设a≥b＞0，a＋b≤22，(a－b)2＝4ab，则log(a－1)(b＋1)＝________．解析：(a ＋b )2＝(a －b )2＋4ab ＝4ab＋4ab ≥8，①∴a ＋b ≥2 2.又a ＋b ≤22，∴a ＋b ＝22，② 由①中等号成立条件得ab ＝1，③联立②、③得a ＝2＋1，b ＝2－1，log (a －1)(b ＋1)＝1. 答案：15．正数x ，y 满足1x ＋9y＝1.(1)求xy 的最小值； (2)求x ＋2y 的最小值． 解：(1)由1＝1x ＋9y ≥21x ·9y ，得xy ≥36，当且仅当1x ＝9y，即y ＝9x ＝18时取等号，故xy 的最小值为36.(2)由题意可得x ＋2y ＝(x ＋2y )⎝⎛⎭⎪⎫1x ＋9y ＝19＋2y x ＋9x y ≥19＋22yx·9xy＝19＋62，当且仅当2yx＝9xy，即9x 2＝2y 2时取等号，故x ＋2y 的最小值为19＋6 2.6．(选做题)某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6吨，每吨面粉的价格为1 800元，面粉的保管等其他费用为平均每吨每天3元，购买面粉每次需支付运费900元．(1)求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？(2)某提供面粉的公司规定：当一次购买面粉不少于210吨时，其价格可享受9折优惠，问该厂是否考虑利用此优惠条件？请说明理由．解：(1)设该厂应每隔x天购买一次面粉，其购买量为6x吨，由题意可知，面粉的保管等其他费用为3[6x＋6(x－1)＋6(x－2)＋…＋6×1]＝9x(x＋1)．设平均每天所支付的总费用为y1元，则y1＝[9x（x＋1）＋900]x＋1 800×6＝900x＋9x＋10 809≥2900x·9x＋10 809＝10 989，当且仅当9x＝900x，即x＝10时取等号．即该厂应每隔10天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少．(2)因为不少于210吨，每天用面粉6吨，所以至少每隔35天购买一次面粉．设该厂利用此优惠条件后，每隔x(x≥35)天购买一次面粉，平均每天支付的总费用为y2元，则y2＝1x[9x(x＋1)＋900]＋6×1 800×0.90＝900x＋9x＋9 729(x≥35)．令f (x )＝x ＋100x(x ≥35)，x 2>x 1≥35，则f (x 1)－f (x 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋100x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋100x 2＝（x 2－x 1）（100－x 1x 2）x 1x 2∵x 2>x 1≥35，∴x 2－x 1>0，x 1x 2>0，100－x 1x 2<0， ∴f (x 1)－f (x 2)<0，f (x 1)<f (x 2)，即f (x )＝x ＋100x，当x ≥35时为增函数，∴当x ＝35时，f (x )有最小值，此时y 2<10 989.∴该厂应接受此优惠条件．37396 9214 鈔! 31229 79FD 秽21322 534A 半•Kz;20344 4F78 佸Ms25425 6351 捑%。

2021年高考数学理新课标A版一轮总复习开卷速查必修部分36基本不等式1．下列命题正确的是( )A．若x≠kπ，k∈Z，则sin2x＋1sin2x≥4B．若a＜0，则a＋4a≥－4C．若a＞0，b＞0，则lg a＋lg b≥2lg a·lg bD．若a＜0，b＜0，则ab＋ab≥2解析：当sin2x＝1时，1＋1＝2＜4，所以A错；若a＜0，则a＋4a≤－4，B错；因为lg a，lg b可以小于零，C错；由a＜0，b＜0，所以ba，ab都大于零，D正确．答案：D2．若正实数x，y满足x＋y＋1x＋1y＝5，则x＋y的最大值是( )A．2 B．3 C．4 D.5解析：∵xy≤x＋y24，x＞0，y＞0，∴1xy≥4x ＋y2，x ＋y xy ≥4x ＋y. ∴x ＋y ＋4x ＋y ≤5.设x ＋y ＝t ，即t ＋4t≤5，得到t 2－5t ＋4≤0，解得1≤t ≤4，∴x ＋y 的最大值是4.答案：C3．已知a ，b ∈R ，且ab ≠0，则下列结论恒成立的是( )A ．a ＋b ≥2abB.a b ＋ba≥2C.⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b ＋b a ≥2 D.a 2＋b 2＞2ab 解析：当a ，b 都是负数时，A 不成立，当a ，b 一正一负时，B 不成立，当a ＝b 时，D 不成立，因此只有C 是正确的．答案：C4．若正数a ，b 满足1a ＋1b ＝1，则1a －1＋9b －1的最小值为( )A ．1 B.6 C ．9 D.16解析：方法一：因为1a ＋1b ＝1，所以a ＋b ＝ab ⇒(a －1)(b －1)＝1，所以1a －1＋9b －1≥21a －1·9b －1＝2×3＝6.方法二：因为1a ＋1b ＝1，所以a ＋b ＝ab ，1a －1＋9b －1＝b －1＋9a －9ab －a －b ＋1＝b ＋9a－10＝(b ＋9a )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b －10≥16－10＝6.方法三：因为1a ＋1b ＝1，所以a －1＝1b －1，所以1a －1＋9b －1＝(b －1)＋9b －1≥29＝2×3＝6. 答案：B5．设a ＞0，b ＞0.若3是3a 与32b 的等比中项，则2a ＋1b的最小值为( )A ．8B.4 C ．1D.14解析：由题意可知3＝3a 32b ＝3a ＋2b ，即a ＋2b ＝1. 因为a ＞0，b ＞0，所以2a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b (a ＋2b )＝a b ＋4ba＋4≥2a b ·4ba＋4＝8，当且仅当a b ＝4b a ，即a ＝2b ＝12时取“＝”． 答案：A6．若x ，y ∈(0,2]且xy ＝2，使不等式a (2x ＋y )≥(2－x )(4－y )恒成立，则实数a 的取值范围为( )A ．a ≤12B.a ≤2C ．a ≥2 D.a ≥12解析：由x ，y ∈(0,2]，xy ＝2，得a ≥2－x 4－y2x ＋y＝10－22x ＋y2x ＋y＝102x ＋y－2. 又由2x ＋y ≥22xy ＝4，∴a ≥12.答案：D7．已知正数x ，y 满足x ＋2y ＝2，则x ＋8yxy的最小值为__________．解析：由已知得x ＋2y 2＝1，则x ＋8y xy ＝1y ＋8x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1y ＋8x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2y 2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫10＋x y ＋16y x ≥12(10＋216)＝9，当且仅当x ＝43，y ＝13时取等号．答案：98．已知集合A ＝{x |x 2－2x －3＞0}，B ＝{x |ax 2＋bx ＋c ≤0}，若A ∩B ＝{x |3＜x ≤4}，A ∪B ＝R ，则b 2a ＋ac2的最小值为__________．解析：∵x 2－2x －3＞0，∴x ＜－1或x ＞3. ∵A ∩B ＝{x |3＜x ≤4}，A ∪B ＝R ， ∴B ＝{x |－1≤x ≤4}．∴－1和4是ax 2＋bx ＋c ＝0的根．∴－1＋4＝－b a ，(－1)×4＝ca .∴b ＝－3a ，c ＝－4a ，且a ＞0.∴b 2a ＋ac 2≥2b 2c 2＝2b c ＝－6a －4a ＝32， 当且仅当b 2a ＝ac 2取等号．答案：329．若实数a ，b ，c 满足2a ＋2b ＝2a ＋b,2a ＋2b ＋2c ＝2a ＋b ＋c ，则c 的最大值是__________．解析：由基本不等式得2a ＋2b ≥22a 2b ＝2×2a ＋b 2，即2a ＋b ≥2×2a ＋b 2，所以2a ＋b ≥4.令t ＝2a ＋b ，由2a ＋2b ＋2c ＝2a ＋b ＋c 可得2a ＋b ＋2c ＝2a ＋b ·2c ，所以2c ＝t t －1＝1＋1t －1，由t ≥4，得1＜t t －1≤43，即1＜2c ≤43，所以0＜c ≤log 243＝2－log 23，故答案为2－log 23.答案：2－log 2310．设关于x 的不等式|x －2|＜a (a ∈R )的解集为A ，且32∈A ，－12∉A .(1)∀x ∈R ，|x －1|＋|x －3|≥a 2＋a 恒成立，且a ∈N ，求a 的值；(2)若a ＋b ＝1，求13|b |＋|b |a的最小值，并指出取得最小值时a 的值． 解析：(1)∵32∈A ，－12∉A ，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪32－2＜a ，⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12－2≥a ，即12＜a ≤52.∵|x －1|＋|x －3|≥|(x －1)－(x －3)|＝2， ∴a 2＋a －2≤0，∴－2≤a ≤1，∴12＜a ≤1.又a ∈N ，∴a ＝1.(2)∵12＜a ≤52，∴13|b |＋|b |a ＝a ＋b 3|b |＋|b |a ＝b 3|b |＋a 3|b |＋|b |a ≥－13＋2a 3|b |×|b |a ＝23－13.当且仅当⎩⎨⎧ b ＜0，a 2＝3b 2，即⎩⎨⎧a ＝33－1，b ＝－13－1时上式取等号．又∵12＜33－1＝3＋32≤52，∴13|b |＋|b |a 的最小值是23－13，取最小值时a ＝3＋32. B 级 能力提升练11．已知正实数a ，b 满足a ＋2b ＝1，则a 2＋4b 2＋1ab的最小值为( )A.72 B.4C.16136D.172解析：因为1＝a ＋2b ≥22ab ，所以ab ≤18，当且仅当a ＝2b ＝12时取等号．又因为a 2＋4b 2＋1ab≥2a 2·4b 2＋1ab＝4ab ＋1ab .令t ＝ab ，所以f (t )＝4t ＋1t 在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，18单调递减，所以f (t )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫18＝172.此时a ＝2b ＝12.答案：D12．已知函数y ＝x －4＋9x ＋1(x ＞－1)，当x ＝a 时，y 取得最小值b ，则a ＋b ＝( )A ．－3 B.2 C ．3D.8解析：y ＝x －4＋9x ＋1＝x ＋1＋9x ＋1－5，由x ＞－1，得x ＋1＞0，9x ＋1＞0，所以由基本不等式得y ＝x ＋1＋9x ＋1－5≥2x ＋1×9x ＋1－5＝1，当且仅当x ＋1＝9x ＋1，即(x ＋1)2＝9，所以x ＋1＝3，即x ＝2时取等号，所以a ＝2，b ＝1，a ＋b ＝3.答案：C13．[xx·武汉模拟]经观测，某公路段在某时段内的车流量y (万辆/小时)与汽车的平均速度v (千米/小时)之间有函数关系y ＝92vv 2＋3v ＋1 600(v ＞0)．(1)在该时段内，当汽车的平均速度v 为多少时车流量y 最大？最大车流量为多少？(2)为保证在该时段内车流量至少为1万辆/小时，则汽车的平均速度应控制在什么范围内？解析：(1)y ＝92vv 2＋3v ＋1 600＝92v ＋1 600v＋3≤922v ·1 600v＋3＝9283≈1.108. 当v ＝1 600v，即v ＝40千米/小时，车流量最大，最大值约为1.108万辆/小时．(2)据题意有92vv 2＋3v ＋1 600≥1，化简得v 2－89v ＋1 600≤0，即(v －25)(v －64)≤0，所以25≤v ≤64.所以汽车的平均速度应控制在[25,64](千米/小时)这个范围内．14．为了净化空气，某科研单位根据实验得出，在一定范围内，每喷洒1个单位的净化剂，空气中释放的浓度y (单位：毫克/立方米)随着时间x (单位：天)变化的函数关系式近似为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧168－x －1，0≤x ≤4，5－12x ，4＜x ≤10.若多次喷洒，则某一时刻空气中的净化剂浓度为每次投放的净化剂在相应时刻所释放的浓度之和．由实验知，当空气中净化剂的浓度不低于4(毫克/立方米)时，它才能起到净化空气的作用．(1)若一次喷洒4个单位的净化剂，则净化时间可达几天？(2)若第一次喷洒2个单位的净化剂，6天后再喷洒a (1≤a ≤4)个单位的药剂，要使接下来的4天中能够持续有效净化，试求a 的最小值(精确到0.1，参考数据：2取1.4)．解析：(1)因为一次喷洒4个单位的净化剂，所以浓度f (x )＝4y ＝⎩⎨⎧648－x －4，0≤x ≤4，20－2x ，4＜x ≤10.则当0≤x ≤4时，由648－x－4≥4，解得0≤x ≤8， 所以此时0≤x ≤4.当4＜x ≤10时，由20－2x ≥4，解得x ≤8， 所以此时4＜x ≤8.综合得0≤x ≤8，若一次投放4个单位的净化剂，则有效净化时间可达8天． (2)设从第一次喷洒起，经x (6≤x ≤10)天， 浓度g (x )＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫5－12x ＋a ⎣⎢⎡⎦⎥⎤168－x －6－1＝10－x ＋16a 14－x －a ＝(14－x )＋16a14－x－a －4≥214－x·16a14－x－a －4＝8a －a －4.因为14－x ∈[4,8]，a－4.令8a－a－4≥4，解得24－162≤a≤4，所以a的最小值为24－162≈1.6.31124 7994 禔32464 7ED0 绐23618 5C42 层38715 973B 霻Q30678 77D6 矖€23703 5C97 岗^(x .27106 69E2 槢。

版2021年版高考数学一轮复习第7章不等式4第4讲基本不等式教案理第4讲基本不等式(3)其中1．基本不等式：ab≤a＋b2(1)基本不等式成立的条件：a≥0，b≥0.(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．a＋b称为正数a，b的算术平均数，ab称为正数a，b的几何平均数．2222．几个重要的不等式(1)a＋b≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．?a＋b?(2)ab≤?(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．?2??2a2＋b2?a＋b?2(3)≥?(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．2?2??(4)＋≥2(a，b同号)，当且仅当a＝b时取等号．3．利用基本不等式求最值已知_≥0，y≥0，则baab(1)如果积_y是定值p，那么当且仅当_＝y时，_＋y有最小值是2p．(简记：积定和最小)(2)如果和_＋y是定值s，那么当且仅当_＝y时，_y有最大值是．(简记：和定积最大)判断正误(正确的打“√”，错误的打“_”)(1)函数y＝_＋的最小值是2.( )s241_?a＋b?(2)ab≤?成立的条件是ab>0.( )?2??_yy_32(3)“_>0且y>0”是“＋≥2”的充要条件．( )(4)若a>0，则a＋的最小值是2a.( )答案：(1)_ (2)_ (3)_ (4)_1a2(教材习题改编)设_＞0，y＞0，且_＋y＝18，则_y的最大值为( )B．77A．80D．82C．81?_＋y??18?解析：选C._y≤?＝??＝81，当且仅当_＝y＝9时等号成立，故选C.??2??2?若_221_A．有最小值，且最小值为2B．有最大值，且最大值为2C．有最小值，且最小值为－2D．有最大值，且最大值为－2解析：选D.因为_0，－_＋1≥21＝2，当且仅当_＝－1时，等号成立，所－_若_>1，则_＋解析：_＋以_＋≤－2.1_4的最小值为________．_－144＝_－1＋＋1≥4＋1＝5._－1_－14，即_＝3时等号成立．_－1答案：5当且仅当_－1＝(教材习题改编)若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________．解析：设矩形的长为_m，宽为ym，则_＋y＝10，?_＋y?所以S＝_y≤?＝25，当且仅当_＝y＝5时取等号．?2??答案：25 m22利用基本不等式求最值(高频考点)利用基本不等式求最值是高考的常考内容，题型主要为选择题、填空题．高考对利用基本不等式求最值的考查常有以下三个命题角度： (1)求不含等式条件的函数最值； (2)求含有等式条件的函数最值； (3)已知不等式恒成立求参数范围． [典例引领](1)函数f(_)＝角度一求不含等式条件的函数最值_(_>0)的最大值为________．_2＋3_＋11的最大值为________．4_－511_·＋3_＝，当且仅当_＝(2)已知_54【解析】 (1)因为_>0，则f(_)＝_1＝≤_2＋3_＋11_＋＋32_151_则f(_)＝4_－2＋时等号成立．(2)因为_0，541?1?＝－?5－4_＋＋3≤－2＋3＝1.5－4_?4_－5??1，即_＝1时，等号成立．5－4_1的最大值为1.4_－515当且仅当5－4_＝故f(_)＝4_－2＋【答案】 (1) (2)1角度二求含有等式条件的函数最值(1)(____·高考山东卷)若直线＋＝1(a>0，b>0)过点(1，2)，则2a＋b的最小值为________．_yab(2)已知_>0，y>0，_＋2y＋2_y＝8，则_＋2y的最小值为________．【解析】 (1)由题设可得＋＝1，因为a>0，b>0，12ab所以2a＋b＝(2a＋b)?＋?＝2＋＋＋2≥4＋2ab?ab??12?b4ab4a·＝ab??8?当且仅当＝，即b＝2a时，等号成立?.??故2a＋b的最小值为8.(2)因为_>0，y>0，b4aab?_＋2y?所以8＝_＋2y＋_·2y≤(_＋2y)＋?，?2??令_＋2y＝t，则228≤t＋，即t＋4t－32≥0，解得t≥4或t≤－8，t24即_＋2y≥4或_＋2y≤－8(舍去)，当且仅当_＝2y，即_＝2，y＝1时等号成立．【答案】 (1)8 (2)4角度三已知不等式恒成立求参数范围?1a?已知不等式(_＋y)?＋?≥9对任意的正实数_，y恒成立，则正实数a的最小值为?_y?________．ya_?1a?2【解析】 (_＋y)?＋?＝1＋a＋＋≥1＋a＋2a＝(a＋1)(_，y，a>0)，?_y?_y当且仅当y＝a_时取等号，??2所以(_＋y)·?＋?的最小值为(a＋1)，于是(a＋1)≥9恒成立．所以a≥4.【答案】 421a?_y?利用基本不等式求最值的方法(1)知和求积的最值：“和为定值，积有最大值”．但应注意以下两点：①具备条件——正数；②验证等号成立．(2)知积求和的最值：“积为定值，和有最小值”，直接应用基本不等式求解，但要注意利用基本不等式求最值的条件．(3)构造不等式求最值：在求解含有两个变量的代数式的最值问题时，通常采用“变量替换”或“常数1”的替换，构造不等式求解．[通关练习]1．(____·石家庄市教学质量检测(一))已知直线l：a_＋by－ab＝0(a>0，b>0)经过点(2，3)，则a＋b的最小值为________．解析：因为直线l经过点(2，3)，所以2a＋3b－ab＝0，则＋＝1，32ab??所以a＋b＝(a＋b)?＋?＝5＋＋32?ab?3b2a≥5＋26.ab3b2a，ab当且仅当＝即a＝3＋6，b＝2＋6时等号成立．答案：5＋26 2．(____·高考天津卷)若a，b∈R，ab>0，则a4＋4b4＋1的最小值为________．ab14ab·＝4，ab解析：因为ab＞0，所以a4＋4b4＋124a4b4＋14a2b2＋11≥＝＝4ab＋≥2ababababa2＝2b2，??a4＋4b4＋1当且仅当?时取等号，故的最小值是4.1abab＝?2?答案：42_ 3．当_∈R时，3－(k＋1)3＋2>0恒成立，则k的取值范围是________．解析：由3－(k＋1)·3＋2>0，解得k＋12____23_?_因为3＋≥22?当且仅当3_＝，即_＝log32时，?_23_23_ 等号成立))，23__所以3＋的最小值为22.2_又当_∈R时，3－(k＋1)3＋2>0恒成立，所以当_∈R时，k＋1??2?，?min即k＋1答案：(－∞，22－1)利用基本不等式解决实际问题[典例引领]某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本1y(元)与月处理量_(吨)之间的函数关系可近似地表示为y＝_2－200_＋80 000，且每处理一2吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使单位不亏损？【解】 (1)由题意可知，二氧化碳每吨的平均处理成本为＝_＋200≥2y_1280 000－_180 000_·－200＝200，2_。

一、自我诊断 知己知彼1．若0x >，则2x x+的最小值为________.【答案】【解析】利用基本不等式2x x +≥2x x=，即x =. 2. 若0x >，0y >，且18x y +=，则xy 的最大值是________. 【答案】81【解析】由已知2()812x y xy +≤=，当且仅当9x y ==时等号成立. 3．已知x ，y R +∈，且满足134x y+=，则xy 的最大值为________. 【答案】3【解析】134x y +=≥3xy ≤，当且仅当1342x y ==时等号成立.4．设0a b <<，则下列不等式中正确的是( )A. 2a b a b<<+< B. 2a ba b +<<<C. 2a b a b<+<D.2a b a b<<+<【答案】B【解析】由0a b << 2a b <+.又a <2a b b+<，故选B. 5．圆222410x y x y ++-+=关于直线220ax by -+= (,)a b R ∈对称，则ab 的取值范围是( )A. 1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ B. 10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦ C. 1,04⎛⎫- ⎪⎝⎭ D. 1,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【答案】A【解析】22(1)(2)4x y ++-=圆心为(1,2)-，有圆关于直线对称，故圆心在直线上.可得1a b +=，又,a b R ∈，故当,a b 均正时21()24a b ab +≤=.而当,a b 一正一负时，0ab <.综上可得14ab ≤，故答案为A.二、温故知新 夯实基础12a b+≤(1)基本不等式成立的条件：0,0a b >>. (2)等号成立的条件：当且仅当a b =时取等号.2．几个重要的不等式(1) 2a b ab +≥(a ，b ∈R ). (2) 2b aa b+≥ (a ，b 同号).(3) 2()2a bab +≤ (a ，b ∈R ). (4)222()22a b a b ++≥(a ，b ∈R ). 3．利用基本不等式求最值问题已知0,0x y >>，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x y +有最小值是简记：积定和最小)(2)如果和x y +是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是24p .(简记：和定积最大)4. 利用基本不等式求最值的条件在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误.对于公式2a b ab +≥，2()2a b ab +≤，要弄清它们的作用和使用条件及内在联系，两个公式也体现了ab 和a ＋b 的转化关系.三、典例剖析 思维拓展考点一 利用基本不等式证明简单不等式例1已知0,0,0x y z >>>.求证：8y z xz x y x x y y z z ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++≥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 【答案】略【解析】证明 ∵0,0,0x y z >>>， ∴y x ＋z x ≥2yz x >0，x y ＋z y ≥2xz y >0，x z ＋y z ≥2xy z >0，∴8y z x z xy x x y y zz ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++≥= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 当且仅当x ＝y ＝z 时等号成立. 【易错点】化成齐次式证明【方法点拨】对于证明基本不等式问题，合理利用条件，拼凑.考点二 利用基本不等式求最值例1(1)若0x >，求函数4y x x=+的最小值，并求此时x 的值； (2)设302x <<，求函数4(32)y x x =-的最大值； (3)已知2x >，求42y x x =+-的最小值； (4)已知0,0x y >>，且191x y+=，求x y +的最小值． 【答案】（1）4；（2）92；（3）6；（4）16.【解析】解 (1)当x >0时，x ＋4x≥2x ·4x＝4， 当且仅当x ＝4x ，即x 2＝4，x ＝2时取等号．∴函数y ＝x ＋4x(x >0)在x ＝2时取得最小值4.(2)∵0<x <32，∴3－2x >0，∴y ＝4x (3－2x )＝2[2x (3－2x )]≤2⎣⎡⎦⎤2x ＋－2x 22＝92.当且仅当2x ＝3－2x ，即x ＝34时，等号成立.∵34∈⎝⎛⎭⎫0，32. ∴函数y ＝4x (3－2x )(0<x <32)的最大值为92.(3)∵x >2，∴x －2>0，∴x ＋4x －2＝x －2＋4x －2＋2≥4＋2＝6，当且仅当x －2＝4x －2，即x ＝4时，等号成立．所以x ＋4x －2的最小值为6.(4)法一 ∵x >0，y >0，1x ＋9y ＝1，∴x ＋y ＝⎝⎛⎭⎫1x ＋9y (x ＋y )＝y x ＋9xy ＋10 ≥6＋10＝16，当且仅当y x ＝9x y ，又1x ＋9y ＝1，即x ＝4，y ＝12时，上式取等号． 故当x ＝4，y ＝12时，(x ＋y )min ＝16.法二 由1x ＋9y ＝1，得(x －1)(y －9)＝9(定值)．可知x >1，y >9，∴x ＋y ＝(x －1)＋(y －9)＋10≥6＋10＝16，当且仅当x －1＝y －9＝3，即x ＝4，y ＝12时上式取等号， 故当x ＝4，y ＝12时，(x ＋y )min ＝16.【易错点】容易忽视取等的条件.【方法点拨】关键在于拼凑积为定值或和为定值.考点三 基本不等式的实际应用例1 围建一个面积为360 m 2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧墙需维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2 m 的进出口.已知旧墙的维修费用为45元/m ，新墙的造价为180元/m.设利用的旧墙长度为x (单位：m)，修建此矩形场地围墙的总费用为y (单位：元).(1)将y 表示为x 的函数；(2)试确定x ，使修建此矩形场地围墙的总费用最少，并求出最少总费用.【答案】（1）y ＝225x ＋3602x －360 (x >2)；（2）当x ＝24 m 时，修建围墙的总费用最少，最少总费用是10440元.【解析】 (1)设矩形的另一边长为a m ，则y ＝45x ＋180(x －2)＋180×2a ＝225x ＋360a －360.由已知xa ＝360，得a ＝360x ，所以y ＝225x ＋3602x －360 (x >2).(2)∵x >2，∴225x ＋3602x≥2225x ×3602x＝10 800.∴y ＝225x ＋3602x －360≥10 440.当且仅当225x ＝3602x时，等号成立.即当x ＝24 m 时，修建围墙的总费用最少，最少总费用是10440元. 【易错点】忽视取值范围，列式子.【方法点拨】合理设变量，考虑取值范围，化为基本不等式求最值.四、举一反三 成果巩固考点一利用基本不等式证明简单不等式1、已知a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝1.求证：⎝⎛⎭⎫1a －1⎝⎛⎭⎫1b －1⎝⎛⎭⎫1c －1≥8. 【答案】略【解析】证明 ∵a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝1， ∴1a －1＝1－a a ＝b ＋c a ≥2bc a ， 同理1b －1≥2ac b ，1c －1≥2ab c.由上述三个不等式两边均为正，分别相乘 ⎝⎛⎭⎫1a －1⎝⎛⎭⎫1b －1⎝⎛⎭⎫1c －1≥2bc a ·2ac b ·2ab c ＝8. 当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，等号成立．2、若a >0，b >0，c >0，且a ＋b ＋c ＝1，求证1a ＋1b ＋1c ≥9.【答案】略【解析】证明 1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋cc＝3＋⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ＋⎝⎛⎭⎫c a ＋a c ＋⎝⎛⎭⎫c b ＋b c≥3＋2＋2＋2＝9⎝⎛⎭⎫当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，取等号. 3、若a >0，b >0，c >0，试证：(1)bc a ＋ac b ＋ab c ≥a ＋b ＋c ；(2)a 2b ＋b 2c ＋c 2a ≥a ＋b ＋c . 【答案】略【解析】证明 (1)∵a ，b ，c ∈(0，＋∞)， ∴bc a ＋ac b≥2 bc a ·acb＝2c ， 同理ac b ＋ab c ≥2a ，ab c ＋bca ≥2b ，∴2⎝⎛⎭⎫bc a ＋ac b ＋ab c ≥2(a ＋b ＋c )， 即bc a ＋ac b ＋abc≥a ＋b ＋c . (2)∵a >0，b >0，c >0，∴a 2b ＋b ≥2a ，同理b 2c＋c ≥2b ，c 2a＋a ≥2c ， 三式相加，得a 2b ＋b 2c ＋c 2a ＋a ＋b ＋c ≥2a ＋2b ＋2c ，即a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥a ＋b ＋c .考点二 利用基本不等式求最值1、(1)已知x >0，求f (x )＝12x ＋3x 的最小值；(2)已知x < 3，求f (x )＝4x －3＋x 的最大值； (3)设x >0，y >0，且2x ＋8y ＝xy ，求x ＋y 的最小值． 【答案】（1）12；（2）-1；（3）18. 【解析】(1)∵x >0，∴f (x )＝12x＋3x ≥2 12x ·3x ＝12，当且仅当3x ＝12x，即x ＝2时取等号． ∴f (x )的最小值为12. (2)∵x <3，∴x －3<0.∴f (x )＝4x －3＋x ＝4x －3＋(x －3)＋3＝－⎣⎡⎦⎤43－x ＋－x ＋3≤－4＋3＝－1，当且仅当43－x ＝3－x ，即x ＝1时取等号．∴f (x )的最大值为－1.(3)由2x ＋8y －xy ＝0及x >0，y >0，得8x ＋2y ＝1.∴x ＋y ＝(x ＋y )⎝⎛⎭⎫8x ＋2y＝8y x ＋2xy ＋10≥2 8y x ·2xy＋10＝18. 当且仅当8y x ＝2xy ，即x ＝2y ＝12时等号成立．∴x ＋y 的最小值是18.2、下列各函数中，最小值为2的是( )．A ．y ＝x ＋1xB ．y ＝sin x ＋1sin x，x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2 C ．y ＝x 2＋3x 2＋2D ．y ＝x ＋1x【答案】D【解析】对于A ：不能保证x >0，对于B ：不能保证sin x ＝1sin x ，对于C ：不能保证x 2＋2＝1x 2＋2，对于D ：y ＝x ＋1x ≥2，答案为D. 考点三 基本不等式的实际应用1、某校要建一个面积为392 m 2的长方形游泳池，并且在四周要修建出宽为2 m 和4 m 的小路．问游泳池的长和宽分别为多少米时，占地面积最小？并求出占地面积的最小值． 【答案】游泳池的长为28 m ，宽为14 m 时，占地面积最小为648 m 2.【解析】设游泳池的长为x m ，则游泳池的宽为392x m ，又设占地面积为y m 2，依题意，得y ＝(x ＋8)⎝⎛⎭⎫392x ＋4＝424＋4⎝⎛⎭⎫x ＋784x ≥424＋224＝648 (m 2)， 当且仅当x ＝784x，即x ＝28时取“＝”．所以游泳池的长为28 m ，宽为14 m 时，占地面积最小为648 m 2.五、分层训练 能力进阶【基础达标】1、若x >0，y >0，且x ＋y ＝4，则下列不等式中恒成立的是( )．A.1x ＋y ≤14B.1x ＋1y ≥1C.xy ≥2D.1xy ≥1【答案】B【解析】若x >0，y >0，由x ＋y ＝4，得x ＋y4＝1，∴1x ＋1y ＝14(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋1y ＝14⎝⎛⎭⎫2＋y x ＋x y ≥14(2＋2)＝1.答案为B. 2、若0<a <b 且a ＋b ＝1，则下列四个数中最大的是( )．A.12 B ．a 2＋b 2 C ．2ab D ．a 【答案】B【解析】a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ≥(a ＋b )2－2·⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＝12. a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2≥0， ∴a 2＋b 2≥2ab .∵0<a <b 且a ＋b ＝1，∴a <12.∴a 2＋b 2最大．答案为B.3、若正数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋3，则ab 的取值范围是________． 【答案】[9，＋∞)【解析】ab ＝a ＋b ＋3≥2ab ＋3，∴ab ≥3，即ab ≥9. 4、已知x >0，y >0，lg x ＋lg y ＝1，求2x ＋5y 的最小值．【答案】2【解析】法一 由已知条件lg x ＋lg y ＝1可得：x >0，y >0，且xy ＝10. 则2x ＋5y ＝2y ＋5x 10≥210xy 10＝2， 所以⎝⎛⎭⎫2x ＋5y min ＝2，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ 2y ＝5x ，xy ＝10.即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝5时等号成立．法二 由已知条件lg x ＋lg y ＝1可得：x >0，y >0，且xy ＝10， 故2x ＋5y≥2 2x ·5y＝2 1010＝2(当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝5y ，xy ＝10.即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝5.时取等号)． 5、将一根铁丝切割成三段做一个面积为2 m 2、形状为直角三角形的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费最少)的是 ( )． A ．6.5 m B ．6.8 m C ．7 m D ．7.2 m【答案】C【解析】设两直角边分别为a ，b ，直角三角形的框架的周长为l ，则12ab ＝2，∴ab ＝4，l ＝a ＋b ＋a 2＋b 2≥2ab ＋2ab ＝4＋22≈6.828(m)．因为要求够用且浪费最少，故选C.【能力提升】1、函数y ＝log a (x ＋3)－1(a >0，a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中m ，n >0，则1m ＋2n 的最小值为________．【答案】8【解析】函数y ＝log a (x ＋3)－1(a >0，a ≠1)的图象恒过定点A (－2，－1)，(－2)·m ＋(－1)·n ＋1＝0，2m ＋n ＝1，m ，n >0，所以1m ＋2n ＝⎝⎛⎭⎫1m ＋2n ·(2m ＋n )＝4＋n m ＋4mn ≥4＋2n m ·4mn＝8， 当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋n ＝1n m ＝4m n ，即⎩⎨⎧m ＝14n ＝12时等号成立．2、求函数y ＝x 2＋6x ＋1x 2＋1的值域．【答案】[－2,4]【解析】函数的定义域为R ， y ＝x 2＋＋6x x 2＋1＝1＋6x x 2＋1. (1)当x ＝0时，y ＝1；(2)当x >0时，y ＝1＋6x ＋1x ≤1＋62＝4.当且仅当x ＝1x 时，即x ＝1时，y max ＝4；(3)当x <0时，y ＝1＋6x ＋1x＝1－6－x ＋1－x≥1－62＝－2.当且仅当－x ＝－1x 时，即x ＝－1时，y min ＝－2.综上所述：－2≤y ≤4，即函数的值域是[－2,4]．3、已知a >0，b >0，则1a ＋1b ＋2ab 的最小值是( )A ．2B ．2 2C ．4D ．5 【答案】C【解析】因为1a ＋1b ＋2ab ≥21ab ＋2ab ＝2⎝⎛⎭⎫1ab ＋ab ≥4，当且仅当1a ＝1b 且1ab＝ab ，即a ＝b ＝1时，取“＝”号．4、a b c >>且11m a b b c a c+≥---恒成立，则m 的范围是________． 【答案】4m ≤【解析】 a b c >>，则0a b ->，0b c ->，0a c ->，故原式可变为[]1111()()()()()m a c a b b c a b b c a b b c ≤-+=-+-+----22b c a b a b b c --=++≥--4=，故4m ≤. 5、设正数,a b ，满足2212b a +=，则a ________．【解析】由2212b a +=，故221322b a ++=.所以22122224b a a ++≤⋅=. 6、设01x << ，,a b 为常数 ，则221a b x x+-的最大值为________． 【答案】222a b ab ++ 【解析】由[]22222222(1)(1)111a b a b a x b x x a b x x x x x x⎛⎫-+=+⋅+-=+++ ⎪---⎝⎭222a b ab ≥++。

第4讲基本不等式及其应用知识梳理1、基本不等式如果00a b >>，，那么2a b +≤，当且仅当a b =时，等号成立．其中，2a b+叫作a b ，a b ，的几何平均数．即正数a b ，的算术平均数不小于它们的几何平均数．基本不等式1：若a b ∈，R ，则222a b ab +≥，当且仅当a b =时取等号；基本不等式2：若a b ∈，R +，则2a b+≥a b +≥），当且仅当a b =时取等号．注意（1）基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指满足等号成立的条件．（2）连续使用不等式要注意取得一致．【解题方法总结】1、几个重要的不等式（1）()()()2000,0.a a R a a a R ≥∈≥≥≥∈（2）基本不等式：如果,a b R +∈，则2a b+≥“a b =”时取“”）．特例：10,2;2a ba a ab a>+≥+≥（,a b 同号）．（3）其他变形：①()2222a b a b++≥（沟通两和a b +与两平方和22a b +的不等关系式）②222a b ab +≤（沟通两积ab 与两平方和22a b +的不等关系式）③22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭（沟通两积ab 与两和a b +的不等关系式）④重要不等式串：)2,112a ba b R a b++≤≤≤∈+即调和平均值≤几何平均值≤算数平均值≤平方平均值（注意等号成立的条件）．2、均值定理已知,x y R +∈．（1）如果x y S +=（定值），则2224x y S xy +⎛⎫≤=⎪⎝⎭（当且仅当“x y =”时取“=”）．即“和为定值，积有最大值”．（2）如果xy P =（定值），则x y +≥=“x y =”时取“=”）．即积为定值，和有最小值”．3、常见求最值模型模型一：0,0)n mx m n x +≥>>，当且仅当x =模型二：()(0,0)n nmx m x a ma ma m n x a x a+=-++≥+>>--，当且仅当x a -=模型三：210,0)x a c c ax bx c ax b x=≤>>++++，当且仅当x =时等号成立；模型四：22()1())(0,0,0)24mx n mx mx n mx n nx n mx m n x m m m m-+--=≤⋅=>><<（，当且仅当2nx m=时等号成立．必考题型全归纳题型一：基本不等式及其应用【解题方法总结】熟记基本不等式成立的条件，合理选择基本不等式的形式解题，要注意对不等式等号是否成立进行验证．例1．（2024·辽宁·校联考二模）数学命题的证明方式有很多种．利用图形证明就是一种方式．现有如图所示图形，在等腰直角三角形ABC 中，点O 为斜边AB 的中点，点D 为斜边AB 上异于顶点的一个动点，设AD a =，BD b =，用该图形能证明的不等式为（）．A ．)0,02a ba b +≥>>B ．)20,0aba b a b≤>>+C ．)0,02a b a b +≤>>D ．)220,0a b a b +≥>>【答案】C【解析】由图知：1,2222a b a b a b OC AB OD OB BD b ++-===-=-=，在Rt OCD △中，CD =所以OC OD ≤，即)0,02a ba b +>>，故选：C例2．（2024·全国·高三专题练习）已知x ，y 都是正数，且x y ≠，则下列选项不恒成立的是（）A ．2x y+B ．2x y y x+>C ．2xyx y<+D ．12xy xy +>【答案】D【解析】x ，y 都是正数，由基本不等式，2x y+≥2y xx y+≥，2xy x y =+当x y =时等号成立，而题中x y ≠，因此等号都取不到，所以ABC 三个不等式恒成立；12xy xy +≥中当且仅当1xy =时取等号，如1,22x y ==即可取等号，D 中不等式不恒成立．故选：D ．例3．（2024·江苏·高三专题练习）下列运用基本不等式求最值，使用正确的个数是（）①已知0ab ≠，求ab ba+的最小值；解答过程：2a b b a +≥=；②求函数2y 2y =≥；③设1x >，求21y x x =+-的最小值；解答过程：21y x x =+≥-当且仅当21x x =-即2x =时等号成立，把2x =代入4．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【答案】A【解析】对①：基本不等式适用于两个正数，当0ab <，a bb a与均为负值，此时2a b a b b a b a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=--+-≤-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，当且仅当a bb a=，即0a b =<时等号成立，故①的用法有误，故①错误；对②：2y ≥，1=时取等号，2≥，则等号取不到，故②的用法有误；对③：1x >，10x ->，2211111y x x x x =+=-++≥--，当且仅当1x -=，即1x =+时取等号，故③的用法有误；故使用正确的个数是0个，故选：A .题型二：直接法求最值【解题方法总结】直接利用基本不等式求解，注意取等条件．例4．（2024·河北·高三学业考试）若x ，y +∈R ，且23x y +=，则xy 的最大值为______．【答案】98【解析】由题知，x ，y +∈R ，且23x y +=因为2x y +≥所以3≥所以98xy ≥，即98xy ≤，当且仅当2x y =，即33,24x y ==时，取等号，故答案为：98例5．（2024·重庆沙坪坝·高三重庆南开中学校考阶段练习）若a ，0b >，且3ab a b =++，则ab 的最小值是____________．【答案】9【解析】因为3a b ab +=-≥a b =时，等号成立），所以230-≥，所以1)0-+≥3≥，所以9ab ≥，所以ab 的最小值为9.故答案为：9例6．（2024·天津南开·统考一模）已知实数0,0,1a b a b >>+=，则22a b +的最小值为___________.【答案】【解析】∵0a >，0b >，1a b +=，∴22a b+≥==22a b =即12a b ==时取等号.故答案为：题型三：常规凑配法求最值【解题方法总结】1、通过添项、拆项、变系数等方法凑成和为定值或积为定值的形式．2、注意验证取得条件．例7．（2024·全国·高三专题练习）若2x >-，则()12f x x x =++的最小值为___________.【答案】0【解析】由2x >-，得12002x x +>>+，，所以11()222022f x x x x x =+=++-≥=++，当且仅当122x x +=+即=1x -时等号成立.故答案为：0例8．（2024·全国·高三专题练习）已知0x >，则4221x x ++的最小值为__________.【答案】3【解析】442211132121x x x x +=++-≥-=++，当且仅当212x +=，即12x =时，等号成立.故答案为：3.例9．（2024·全国·高三专题练习）若1x >，则2221x x x ++-的最小值为______【答案】4+/4+【解析】由1x >，则10x ->.因为()()22221415x x x x ++=-+-+，所以()22251411x x x x x ++=-++--44≥=+，当且仅当511x x -=-，即1x =+时等号成立，故2221x x x ++-的最小值为4.故答案为：4.例10．（2024·上海浦东新·高三华师大二附中校考阶段练习）若关于x 的不等式20(1)x bx c b ++≥>的解集为R ，则1241b cb ++-的最小值为_________．【答案】8【解析】因为不等式20(1)x bx c b ++≥>的解集为R ，则22Δ404b bc c =-≤⇒≥，因为1b >，所以10b ->，∴2212421(1)4(1)4111b c b b b b b b b ++++-+-+≥=---4(1)4481b b =-++≥+=-．当且仅当411b b -=-，即3b =时，取到等号．故答案为：8题型四：消参法求最值【解题方法总结】消参法就是对应不等式中的两元问题，用一个参数表示另一个参数，再利用基本不等式进行求解．解题过程中要注意“一正，二定，三相等”这三个条件缺一不可！例11．（2024·全国·高三专题练习）已知正实数a ，b 满足220ab a +-=，则4a b +的最小值是（）A ．2B ．2C ．2D ．6【答案】B【解析】由220ab a +-=，得22a b =+，所以()a b b b b b +=+=++-=++884222222，当且仅当,a b b b ==+++28222，即,a b ==222取等号.故选：B.例12．（2024·全国·高三专题练习）若,x y R +∈，23()()-=x y xy ，则11x y+的最小值为___________.【答案】2【解析】因为23()()-=x y xy 且,x y R +∈，则两边同除以2()xy ，得211()xy y x-=，又因为224(111111()44xy y y x xy xy x -+=+=+≥=，当且仅当14xy xy =，即22x y ==211x y+≥.故答案为:2例13．（2024·全国·高三专题练习）已知0x >，0y >，满足2220x xy +-=，则2x y +的最小值是______．.【解析】由2220x xy +-=，得21222x x y x x -==-，(x ∈所以113222222x x x y x x x +=+-=+≥==当且仅当312x x =即3x =时等号成立，所以2x y +.题型五：双换元求最值【解题方法总结】若题目中含是求两个分式的最值问题，对于这类问题最常用的方法就是双换元，分布运用两个分式的分母为两个参数，转化为这两个参数的不等关系．1、代换变量，统一变量再处理．2、注意验证取得条件．例14．（2024·浙江省江山中学高三期中）设0a >，0b >，若221a b +=，2ab -的最大值为（）A．3B．C．1+D．2【答案】D【解析】解：法一：（基本不等式）设c b =-2ab -=)a b ac -=，条件222211a b a c +=⇔+=，2212a c ac +=+≥，即2≤ac 故选：D.法二：（三角换元）由条件221()14a b +=，故可设cos sin 2a b θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即cos ,2sin a b θθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩，由于0a >，0b >，故cos 02sin 0θθθ⎧>⎪⎨>⎪⎩，解得506πθ<<所以，5cos ,(0)62sin a b πθθθθ⎧=⎪<<⎨=⎪⎩，22sin 22ab θ-+≤当且仅当4πθ=时取等号.故选：D.例15．（2024·天津南开·一模）若0a >，0b >，0c >，2a b c ++=，则4a ba b c+++的最小值为______．【答案】2+【解析】由题意，0a >，0b >，0c >，2a b c ++=得：2a b c +=-，设2,,(0,0)c m c n m n -==>>，则2m n +=，故44242421122a b c a b c c c c c m n+-+=+=+-=+-+--422()1312m n n m m n m n +=⨯+-=++-≥，当且仅当222m n =，即42m n c =-==时取得等号，故4a ba b c+++的最小值为2+故答案为：2+例16．（2024·全国·高三专题练习）已知0a >，0b >，21a b +=，则11343a b a b+++取到最小值为________．【答案】35+．【解析】令2(34)(3)(3)(43)a b a b a b a b λμλμλμ+=+++=+++，∴1315{{43225λλμλμμ=+=⇒+==，∴111112312(3)34()[(34)(3)][]3433435555343a b a ba b a b a b a b a b a b a b a b+++=+⋅+++=++++++++3355+≥=，当且仅当21{2(3)34343a b a b a b a b a b+=++⋅++时，等号成立，即11343a b a b +++题型六：“1”的代换求最值【解题方法总结】1的代换就是指凑出1，使不等式通过变形出来后达到运用基本不等式的条件，即积为定值，凑的过程中要特别注意等价变形．1、根据条件，凑出“1”，利用乘“1”法．2、注意验证取得条件．例17．（2024·安徽蚌埠·统考二模）若直线1(0,0)x ya b a b+=>>过点()23，，则2a b +的最小值为______．【答案】7+7【解析】∵直线1(0,0)x ya b a b+=>>过点()23，，231a b∴+=．()232622777b a a b a b a b a b ⎛⎫∴+=++=++≥+=+ ⎪⎝⎭b =，即2a =3b =时取等号．2a b ∴+的最小值为7+故答案为：7+例18．（2024·河北·高三校联考阶段练习）已知0,0,23a b a b >>+=，则4212b a b-+的最小值为__________.【答案】73【解析】0,0,23a b a b >>+= ，()4211111112471212122323233b a b a a b a b a b a b a b -+⎛⎫⎛⎫∴+=+=+++=+++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当322a b ==时取等号，则4212b a b -+的最小值为73.故答案为：73例19．（2024·湖南衡阳·高三校考期中）已知13x >，2y >，且37x y +=，则11312x y +--的最小值为______.【答案】1【解析】因为37x y +=，所以3124x y -+-=，即312144x y --+=，因为13x >，2y >，所以3120,044x y -->>，1111312()(31231244x y x y x y --+=++----13111144(31)4(2)422x y y x -=++++---=，当且仅当314(31)4(22)y x x y ----=，即1,4x y ==时取等号.所以11312x y +--的最小值为1.故答案为：1例20．（2024·山东青岛·高三山东省青岛第五十八中学校考阶段练习）已知正实数,a b 满足4111a b b +=++，则2+a b 的最小值为___________.【答案】8【解析】因为4111a b b +=++，所以()()412111a b a b b a b b ⎛⎫⎡⎤+=++++- ⎪⎣⎦++⎝⎭()41411481b a ba b b ++=+-++≥+=++，当且仅当()411b a ba bb ++=++，即4,2a b ==时，取等号，所以2+a b 的最小值为8.故答案为：8.题型七：齐次化求最值【解题方法总结】齐次化就是含有多元的问题，通过分子、分母同时除以得到一个整体，然后转化为运用基本不等式进行求解．例21．（2024·全国·高三专题练习）已知正实数a ，b ，c ，3a b +=，则331ac c b ab c +++的最小值为_______________．【答案】2/2-+【解析】由正实数a ，b ，3a b +=，可得2()33a b +=，所以22()333333(111a b a ac c a c c b ab c b ab c ab c ++++=⨯++=⨯++++22423423()313331a ab b a bc cab c b a c +++=⨯+=⨯+++++而44333a b b a +≥=，当且仅当4a b b a =即24,33a b ==时取等号，故334233()2(1)213311ac c c c b ab c c c ++≥++=++-+++2≥，当且仅当32(1)1c c +=+时，即1c =时取等号，故答案为：2例22．（2024·全国·高三专题练习）已知a ，b 为正实数，且21a b +=，则22aa b+的最小值为______．【答案】6【解析】由已知条件得，2422446222a a b a b a a b a b a b +⎛⎫+=+=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当22b a a b =，即25a =，15b =时取等号．故答案为：6.例23．（2024·天津红桥·高三天津市复兴中学校考阶段练习）已知0,0x y >>，则222224xy xyx y x y +++的最大值是____________.【答案】3【解析】222222144xy xy x y x y x y x y y x y x+=+++++，设(0)x t t y=>，所以原式=322422223()2123(2)41441545t t t t t t t t t t t t t t t t+++=+==++++++++，令2(0),u t t u t=+>∴≥所以原式=2333311139u u u u =≤=++.(函数1y u u=+在)+∞上单调递增)故答案为：3题型八：利用基本不等式证明不等式【解题方法总结】类似于基本不等式的结构的不等式的证明可以利用基本不等式去组合、分解、运算获得证明．例24．（2024·全国·高三专题练习）利用基本不等式证明：已知,,a b c 都是正数，求证：()()()8a b b c c a abc+++≥【解析】,,a b c都是正数，0a b ∴+≥>（当且仅当a b =时取等号）；0b c +≥>（当且仅当b c =时取等号）；0c a +≥>（当且仅当c a =时取等号）；()()()8a b b c c a abc ∴+++≥=（当且仅当a b c ==时取等号），即()()()8a b b c c a abc +++≥.例25．（2024·河南·高三校联考阶段练习）已知x ，y ，z 为正数，证明：(1)若2xyz =，则2221112x y z x y z ++++≤；(2)若229x y z ++=，则2229x y z ++≥．【解析】（1）因为2xyz =，所以2222y z yz x +=≤，同理可得2222x z y +≤，2222x y z +≤，所以222222222222y z x z x y x y z +++++≤++，故2221112x y z x y z ++++≤，当且仅当x y z ==时等号成立．（2）()()()2222222222112122299x y z x y z x y z ++=++++≥++，因为229x y z ++=，所以2229x y z ++≥，当且仅当2x y z ==时等号成立．例26．（2024·四川广安·高三校考开学考试）已知函数()21f x x x m =+++，若()3f x ≤的解集为[],1n ．(1)求实数m ，n 的值；(2)已知,a b 均为正数，且满足12202m a b++=，求证：22168a b +≥．【解析】（1）因为()3f x ≤的解集为[],1n ，所以(1)3f ≤，即3|1|3m ++≤，所以|1|0m +≤，又|1|0m +≥，所以10m +=，即1m =-.所以()|21||1|f x x x =++-，当12x <-时，()21133f x x x x =---+=-≤,得1x ≥-，则112x -≤<-，当112x -≤≤时，()21123f x x x x =+-+=+≤，得112x -≤≤，当1x >时，()2113f x x x x =++-=3≤，得1x ≤，不成立，综上所述：()3f x ≤的解集为[1,1]-，因为()3f x ≤的解集为[],1n ．所以1n =-.（2）由（1）知，1m =-，所以1222a b+=(0,0)a b >>，所以1222a b =+≥=，当且仅当12a =，2b =时，等号成立，所以1≥ab ，所以22168a b ab +≥=8≥，当且仅当12a =，2b =时，等号成立.题型九：利用基本不等式解决实际问题【解题方法总结】1、理解题意，设出变量，建立函数模型，把实际问题抽象为函数的最值问题．2、注意定义域，验证取得条件．3、注意实际问题隐藏的条件，比如整数，单位换算等．例27．（2024·全国·高三专题练习）首届世界低碳经济大会在南昌召开，本届大会以“节能减排，绿色生态”为主题.某单位在国家科研部门的支持下进行技术攻关，采取了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y (元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似的表示为21200800002y x x =-+，且处理每吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元.(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使单位不亏损？【解析】（1）由题意知，平均每吨二氧化碳的处理成本为1800002002002002y x x x =+-≥-=；当且仅当1800002x x=，即400x =时等号成立，故该当每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低为200元.（2）不获利，设该单位每个月获利为S 元，则2211100100200800003008000022S x y x x x x x ⎛⎫=-=--+=-+- ⎪⎝⎭()21300350002x =---，因为[]400,600x ∈，则[]80000,40000S ∈--，故该当单位每月不获利，需要国家每个月至少补贴40000元才能不亏损.例28．（2024·贵州安顺·高一统考期末）某企业采用新工艺，把企业生产中排放的二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为100吨，最多为600吨，月处理成本()f x （元）与月处理量x （吨）之间的函数关系可近似地表示为21()200800002f x x x =-+．(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使月处理成本最低？月处理成本最低是多少元？(2)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？每吨的平均处理成本最低是多少元？【解析】（1）该单位每月的月处理成本：2211()20080000(200)6000022f x x x x =-+=-+，因100600x ≤≤，函数()f x 在区间[100,200]上单调递减，在区间(200,600]上单调递增，从而得当200x =时，函数()f x 取得最小值，即min ()(200)60000f x f ==.所以该单位每月处理量为200吨时，才能使月处理成本最低，月处理成本最低是60000元.（2）由题意可知：21()20080000(100600)2f x x x x =-+≤≤，每吨二氧化碳的平均处理成本为：()800002002002002f x x xx =+-≥=当且仅当800002x x=，即400x =时，等号成立.所以该单位每月处理量为400吨时，每吨的平均处理成本最低，为200元．例29．（2024·湖北孝感·高一统考开学考试）截至2022年12月12日，全国新型冠状病毒的感染人数突破44200000人.疫情严峻，请同学们利用数学模型解决生活中的实际问题.(1)我国某科研机构新研制了一种治疗新冠肺炎的注射性新药，并已进入二期临床试验阶段.已知这种新药在注射停止后的血药含量()c t （单位：mg /L ）随着时间t （单位：h ）.的变化用指数模型()0ektc c t -=描述，假定某药物的消除速率常数0.1k =（单位：1h -），刚注射这种新药后的初始血药含量02000mg /L c =，且这种新药在病人体内的血药含量不低于1000mg /L 时才会对新冠肺炎起疗效，现给某新冠病人注射了这种新药，求该新药对病人有疗效的时长大约为多少小时？（精确到0.01，参考数据：ln20.693≈，ln3 1.099≈）(2)为了抗击新冠，需要建造隔离房间.如图，每个房间是长方体，且有一面靠墙，底面积为48a 平方米(0)a >，侧面长为x 米，且x 不超过8，房高为4米.房屋正面造价400元/平方米，侧面造价150元/平方米.如果不计房屋背面、屋顶和地面费用，则侧面长为多少时，总价最低？【解析】（1）由题意得，0.10()e 2000e kt t c t c --==，设该药在病人体内的血药含量变为1000mg/L 时需要是时间为1t ，由10.11()2000e 1000t c t -=≥，得10.12e 1t -≥，故0.1ln 2t -≥-，ln 26.93h 0.1t ∴≤≈．∴该新药对病人有疗效的时长大约为6.93h ．（2）由题意，正面长为48a x 米，故总造价48400421504ay x x=⨯⨯+⨯⨯，即()768001200,08ay x x x=+<≤.由基本不等式有768001200a y x x =+≥768001200a x x =，即x =.故当8≤，即1a ≤，x =时总价最低；当8>，即1a >时，由对勾函数的性质可得，8x =时总价最低；综上，当01a <≤时，x =1a >时，8x =时总价最低.题型十：与a b +、平方和、ab 有关问题的最值【解题方法总结】利用基本不等式变形求解例30．（多选题）（2024·重庆·统考模拟预测）若实数a ，b 满足221a b ab +=+，则（）A ．1a b -≥-B ．a b -C ．13ab ≥-D ．13ab ≤【答案】BC【解析】221a b ab +=+ ,当0ab >时，222121a b ab ab ab ab +≥⇒+≥⇒≤，当且仅当1a b ==或1a b ==-时等号成立，得01ab <≤，当0ab <时，2212123a b ab ab ab ab +≥-⇒+≥-⇒≥-，当且仅当a b ==33a b =-=时等号成立，得103ab -≤<，当0ab =时，由221a b ab +=+可得0,1a b ==±或0,1b a ==±综合可得113ab -≤≤，故C 正确，D 错误；222221()11()b ab ab a b b a b b a a a +-=-⇒-=-⇒-=- ，当13ab ≥-时，22141()()33a b a b a b --≥-⇒-≤⇒≤-，故A 错误，B 正确；故选：BC.例31．（多选题）（2024·全国·高三专题练习）已知0,0a b >>，且11a b+=，则（）A ．1b a+的最小值为4B ．221a b +的最小值为14C ．ab 的最大值为14D ．12b a -1【答案】ACD【解析】11111124b b a ab a a b ab ⎛⎫⎛⎫+=++=+++≥+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当1ab =，即1,22a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩时取等号，则A 正确；222211112224a a b b ⎛⎫++ ⎪⎛⎫≥≥= ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭，即22112a b +≥，当且仅当1ab =，即1,22a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩时取等号，则B 错误；221111124b a b b b b b b --⎛⎫===-+ ⎪⎝⎭，当112b =，即2b =时，max 14a b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则C正确；1111111222b b b a b b b --=-=+-≥-=，当且仅当12a b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩时取等号，则D 正确.故选：ACD例32．（多选题）（2024·全国·高三专题练习）已知0x >，0y >，且30x y xy +-+=，则下列说法正确的是（）A ．312xy <≤B ．6x y +≥C ．2218x y +≥D ．11103x y <+≤【答案】BC【解析】对于A：由3xy x y -=+≥，得3xy -≥x y =时，等号成立230-≥3≥，即9xy ≥，故A 不正确；对于B ：由232x y x y xy +⎛⎫++=≤ ⎪⎝⎭，得232x y x y +⎛⎫++ ⎪⎝⎭≤，当且仅当x y =时，等号成立即()()21240y x x y +-+-≥，解得6x y +≥，或2x y +≤-（舍去），故B 正确；对于C ：()()()()()2222222326x y x y xy x y x y x y x y +=+-=+-++=+-+-，令6t x y =+≥，()()22222261761718x y t t t +=--=----=≥，即2218x y +≥，故C 正确；对于D ，11331x y xy x y xy xy xy +-+===-，令9t xy =≥，113321193x y t +=--=≥，即1123x y +≥，故D 不正确，故选：BC ．例33．（多选题）（2024·全国·高三专题练习）设0a >，0b >，1a b +=，则下列结论正确的是（）A ．ab 的最大值为14B ．22a b +的最小值为12C ．41a b+的最小值为9D 【答案】ABC【解析】对于A ，因为0a >，0b >，1a b +=，则21()24a b ab +≤=，当且仅当12a b ==时取等号，故A 正确；对于B ，因为222(22a b a b ++≤，故2212a b +≥，当且仅当12a b ==时取等号，即22a b +的最小值12，故B 正确；对于C ，41414()559b a a b a b a b a b +=++=++≥+=，当且仅当4b aa b =且1a b +=，即13b =，23a =时取等号，所以41a b+的最小值为9，故C 正确；对于D ，2111222+=++⨯=，≤12a b ==D 错误．故选：ABC.。