得-
－x＋1－2x－1
<x<-2
2. 3
.
1 2
②当- 1≤x≤1时,原不等式等价于
2
－
1 2
x
1得，-
－x＋1＋2x＋1
≤x<0.1
2 2.
③当x>1时,原不等式等价于xx－11＋，2x＋1 2. 得x无解.由①②③得原不等式的解集为
x|－ 23
x
0.
2.已知一次函数f(x)=ax-2. (1)当a=3时,解不等式|f(x)|<4. (2)解关于x的不等式|f(x)|<4.
(3)|x-a|+|x-b|≥c(c>0)和 |x-a|+|x-b|≤c(c>0)型不等式的解法.
【常用结论】 1.绝对值不等式的性质 ||a|-|b||≤|a-b|≤|a|+|b|,等号成立的条件: 当ab≥0时,左侧不等式成立; 当ab≤0时,右侧不等式成立.
2.两个等价关系 (1)|x|<a(a>0)⇔-a<x<a. (2)|x|>a(a>0)⇔x<-a或x>a. 推广:①|x|<f(x)⇔-f(x)<x<f(x). ②|x|>f(x)⇔x<-f(x)或x>f(x).
【解析】(1)当a=3时,则f(x)=3x-2,
所以|f(x)|<4⇔|3x-2|<4⇔-4<3x-2<4⇔-2<3x<6⇔
- 2<x<2.
3
所以不等式的解集为
x|－ 23
x
2.
(2)|f(x)|<4⇔|ax-2|<4⇔-4<ax-2<4⇔-2<ax<6.
当a>0时,不等式的解集为x|－a2
3.实用口诀 解含绝对值的不等式: “找零点,分区间,逐个解,并起来”
考点一 解绝对值不等式 【题组练透】 1.求不等式|x-1|+|2x+1|<2的解集.
【解析】由题意x=1时,|x-1|=0;x=-1 时,|2x+1|=0
2
(以下分类讨论).
所以①当x<-1 时,原不等式等价于
2
x
－1， 2
(2)依题意可知f(x)min>g(x)max, 由(1)知f(x)min=4, g(x)=-x2+2mx=-(x-m)2+m2, 所以g(x)max=m2, 由m2<4得m的取值范围是-2<m<2.
【状元笔记】 存在、恒成立问题的解题策略 (1)存在、恒成立问题都可以转化成最值问题,但要注 意最值类型不同 (2)利用绝对值不等式的性质求最值
46
【误区警示】本例易出现未能正确构造题设形式的问 题,应结合已知条件灵活构造.
【规律方法】 利用不等式的性质证明 不等式的性质应用的难点是利用已知的绝对值不等式, 构造出要证明的绝对值, (1)抓住典型区别进行构造:如本题中要证明的不等式 中没有y,因此构造的过程中可以围绕着消去y进行构造.
(2)利用加项、减项进行构造:如|a-c|=|a-b+b-c| =|(a-b)+(b-c)|≤|a-b|+|b-c|,根据要证明的不等式 灵活加、减项.
选修4-5 不等式选讲 第一节 绝对值不等式(全国卷5年9考)
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1.绝对值三角不等式 定理1:如果a,b是实数,则|a+b|≤|a|+|b|,当且仅当 _a_b_≥__0_时,等号成立.
定理2:如果a,b,c是实数,那么 |a-c|≤|a-b|+|b-c|,当且仅当(a-b)(b-c)≥0时,等号 成立.
可得
x x
1， 3 x－1
4
或
－3 x
3
x 1， 1－x
4
或
x －3， －3－x 1－x
4,
解得x<-3或x>1,
所以不等式的解集为{x|x<-3或x>1}.
方法二:|x+3|+|x-1|≥|x+3-(x-1)|=4, 当且仅当(x+3)(x-1)≥0, 即x≥1或x≤-3时等号成立. 所以不等式的解集为{x|x<-3或x>1}.
或x
a 4
x a，
x
－a 2
.
①当a>0时,不等式的解集为x|x
－
a 2
.
由- a=-1,得a=2.
2
②当a=0时,不等式的解集为{x|x=0},不合题意,
③当a<0时不等式的解集为x|x
a 4
.
由 a=-1得a=-4,综上a=2或-4.
4
【状元笔记】 与绝对值的解集相关的问题 (1)用参数表示出解集,比较集合端点间的关系求范围 (2)利用函数图象、零点、取值与已知集合端点之间的 关系求范围
【典例】(2019·重庆模拟)已知函数f(x)=|2x+1|.
(1)解不等式f(x)>x+5.
(2)若对于任意x,y∈R,有|x-3y-1|< 1 ,|2y+1|< 1 ,求
4
6
证f(x)<1.
【解析】(1)f(x)>x+5⇒|2x+1|>x+5 ⇒2x+1>x+5或2x+1<-x-5, 所以解集为{x|x>4或x<-2}. (2)f(x)=|2x+1|=|2x-6y-2+6y+3| ≤2|x-3y-1|+3|2y+1|<2 3=1.
【对点训练】 已知|2x-3|≤1的解集为[m,n]. (1)求m+n的值. (2)若|x-a|<m,求证:|x|<|a|+1.
【解析】(1)不等式|2x-3|≤1可化为-1≤2x-3≤1, 解得1≤x≤2,所以m=1,n=2,m+n=3. (2)若|x-a|<1, 则|x|=|x-a+a|≤|x-a|+|a|<|a|+1, 即|x|<|a|+1.
【解析】(1)当a=1时,f(x)=|x-1|+3x, 由f(x)≥|2x+1|+3x得|x-1|-|2x+1|≥0, 故|x-1|≥|2x+1|,解得-2≤x≤0, 所以不等式的解集为{x|-2≤x≤0}.
(2)由|x-a|+3x≤0,可得 x4x－a，或a 0
2xxaa，即 0.
x a，?
命题角度2 与最值有关的参数问题 【典例】(2018·肇庆模拟)已知f(x)=|x+3|+|x-1|, g(x)=-x2+2mx. (1)求不等式f(x)>4的解集. (2)若对任意的x1,x2,f(x1)>g(x2)恒成立,求m的取值范 围.
【解析】(1)方法一:不等式
f(x)>4,即|x+3|+|x-1|>4.
考点三 与绝对值不等式有关的参数问题 【明考点·知考法】 与参数相关的绝对值不等式问题是高考的重点,也是绝 对值不等式的难点,涉及含绝对值的函数的最值、图象、 零点等综合性问题.
命题角度1 解绝对值不等式中的参数问题 【典例】(2019·沈阳模拟)已知函数f(x)=|x-a|+3x, 其中a∈R. (1)当a=1时,求不等式f(x)≥3x+|2x+1|的解集. (2)若不等式f(x)≤0的解集为{x|x≤-1},求a的值.
2.绝对值不等式的解法 (1)含绝对值的不等式|x|<a与|x|>a的解集:
不等式 |x|<a |x|>a
a>0 {x|-a<x<a} {x|x>a或x<-a}
a=0
a<0
_∅_
_∅_
{x|x∈R 且x≠0}
R
(2)|ax+b|≤c(c>0)和|ax+b|≥c(c>0)型不等式的解法: ①|ax+b|≤c⇔-c≤ax+b≤c; ②|ax+b|≥c⇔ax+b≥c或ax+b≤-c.
x;
6 a
当a<0时,不等式的解集为x|
6 a
x
－
2 a
.
【规律方法】 形如|x-a|+|x-b|≥c(或≤c)型的不等 式主要有两种解法 (1)零点分区法:利用绝对值号内式子对应方程的根,将 数轴分为(-∞,a],(a,b],(b,+∞)(此处设a<b)三个部 分,在每个部分上去掉绝对值号分别列出对应的不等式 求解,然后取各个不等式解集的并集.
命题角度3 方程的根和函数图象中的参数问题 【典例】设函数f(x)=|2x+1|+|x-1|. (1)画出y=f(x)的图象. (2)当x∈[0,+∞)时,f(x)≤ax+b,求a+b的最小值.
【解析】(1)f(x)= x3x2, x, 12y12=x, f(1x,?)的图象如图所
示.
图象与y轴交点的纵坐标为2, 且各部分所在直线斜率的最大值为3, 故当且仅当a≥3且b≥2时,f(x)≤ax+b在[0,+∞)成立, 因此a+b的最小值为5.
【状元笔记】 利用图象求参数范围 首先画出含绝对值的函数的图象,再利用图象之间的关 系求参数范围
(2)几何法:利用|x-a|+|x-b|>c(c>0)的几何意义:数轴 上到点x1=a和x2=b的距离之和大于c的全体,|x-a|+|xb|≥|x-a-(x-b)|=|a-b|. 提醒:易出现解集不全的错误.对于含绝对值的不等式, 不论是分段去绝对值号还是利用几何意义,都要不重不 漏.
