2017年全国高考文科数学试题分类汇编之不等式

专题13 不等式、推理与证明1．【2019年高考全国I 卷文数】古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是12（12≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是12．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105 cm ，头顶至脖子下端的长度为26 cm ，则其身高可能是A ．165 cmB ．175 cmC ．185 cmD ．190 cm2．【2019年高考全国III 卷文数】记不等式组6,20x y x y +≥⎧⎨-≥⎩表示的平面区域为D ．命题:(,),29p x y D x y ∃∈+≥；命题:(,),212q x y D x y ∀∈+≤．下面给出了四个命题 ①p q ∨②p q ⌝∨③p q ∧⌝④p q ⌝∧⌝这四个命题中，所有真命题的编号是 A ．①③ B ．①②C ．②③D ．③④3．【2019年高考北京卷文数】在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度描述．两颗星的星等与亮度满足m 2−m 1=52lg 21E E ，其中星等为m 的星的亮度为E （=1，2）．已知太阳的星等是−26.7，天狼星的星等是−1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为 A ． 1010.1B ． 10.1C ． lg10.1D ． 10–10.14．【2019年高考天津卷文数】设变量,x y 满足约束条件20,20,1,1,x y x y x y +-≤⎧⎪-+≥⎪⎨-⎪⎪-⎩……，则目标函数4z x y =-+的最大值为 A ．2 B ．3C ．5D ．65．【2019年高考天津卷文数】设x ∈R ，则“05x <<”是“|1|1x -<”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．【2019年高考浙江卷】若实数,x y 满足约束条件3403400x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪+≥⎩，则32z x y =+的最大值是A ． 1-B ． 1C ． 10D ． 127．【2019年高考浙江卷】若0,0ab >>，则“4a b +≤”是 “4ab ≤”的A ． 充分不必要条件B ． 必要不充分条件C ． 充分必要条件D ． 既不充分也不必要条件8．【2018年高考北京卷文数】设集合{(,)|1,4,2},A x y x y ax y x ay =-≥+>-≤则A ．对任意实数a ，(2,1)A ∈B ．对任意实数a ，（2，1）A ∉C ．当且仅当a <0时，（2，1）A ∉D ．当且仅当32a ≤时，（2，1）A ∉ 9．【2018年高考天津卷文数】设x ∈R ，则“38x >”是“||2x >”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10．【2018年高考天津卷文数】设变量,x y 满足约束条件52410x y x y x y y +≤⎧⎪-≤⎪⎨-+≤⎪⎪≥⎩，，，，则目标函数35z x y =+的最大值为A ．6B ．19C ．21D ．4511．【2017年高考天津卷文数】设x ∈R ，则“20x -≥”是“|1|1x -≤”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件12．【2017年高考天津卷文数】已知奇函数()f x 在R 上是增函数．若0.8221(log ),(log 4.1),(2)5a fb fc f =-==，则，，的大小关系为A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c b a <<D ．c a b <<13．【2017年高考全国I 卷文数】设，y 满足约束条件33,1,0,x y x y y +≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩则=+y 的最大值为A ．0B ．1C ．2D ．314．【2017年高考浙江卷】若x ，y 满足约束条件03020x x y x y ≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则2z x y =+的取值范围是A ．[0，6]B ．[0，4]C ．[6，)+∞D ．[4，)+∞15．【2017年高考全国II 卷文数】设,x y 满足约束条件2+330,2330,30,x y x y y -≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩则2z x y =+的最小值是A ．15-B ．9-C ．1D ．916．【2017年高考全国II 卷文数】甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则 A ．乙可以知道四人的成绩B ．丁可以知道四人的成绩C ．乙、丁可以知道对方的成绩D ．乙、丁可以知道自己的成绩a b c17．【2017年高考北京卷文数】若,x y 满足2,,x y y x ⎪+≥⎨⎪≤⎩则2x y +的最大值为A ．1B ．3C ．5D ．918．【2017年高考山东卷文数】已知,y 满足约束条件250302x y x y -+≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩,则=+2y 的最大值是A ．-3B ．-1C ．1D ．319．【2017年高考山东卷文数】已知命题p ：,x ∃∈R 210x x -+≥;命题q ：若22a b <,则a <b .下列命题为真命题的是A ．p q ∧B ．p q ∧⌝C ．p q ⌝∧D ．p q ⌝∧⌝20．【2019年高考全国II 卷文数】若变量，y 满足约束条件23603020x y x y y ⎧⎪⎨⎪⎩+-≥+-≤-≤，，，则=3–y 的最大值是____________.21．【2019年高考全国II 卷文数】中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体共有________个面，其棱长为_________．（本题第一空2分，第二空3分．）22．【2019年高考北京卷文数】若，y 满足1,4310,y x y ⎪≥-⎨⎪-+≥⎩则y x -的最小值为__________，最大值为__________．23．【2019年高考天津卷文数】设0,0,24x y x y >>+=，则(1)(21)x y xy++的最小值为__________.24．【2019年高考北京卷文数】李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．①当=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则的最大值为__________．25．【2018年高考浙江卷】若,x y 满足约束条件0,26,2,x y x y x y -≥⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩则3z x y =+的最小值是___________，最大值是___________．26．【2018年高考北京卷文数】若x ,y 满足12x y x +≤≤，则2y−x 的最小值是_________.27．【2018年高考全国I 卷文数】若，y 满足约束条件220100x y x y y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩，则32z x y =+的最大值为_____________．28．【2018年高考全国III 卷文数】（2018新课标Ⅲ文科）若变量x y ，满足约束条件23024020.x y x y x ++≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩，，则13z x y =+的最大值是________．29．【2018年高考全国II 卷文数】若,x y 满足约束条件25023050x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩，，， 则z x y =+的最大值为__________． 30．【2018年高考天津卷文数】（2018天津文科）已知,a b ∈R ，且360a b -+=，则128ab +的最小值为 .31．【2018年高考江苏卷】在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，120ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，则4a c +的最小值为___________． 32．【2017年高考上海卷】不等式11x x->的解集为________ 33．【2017年高考北京卷文数】能够说明“设a ，b ，c 是任意实数．若a ＞b ＞c ，则a +b ＞c ”是假命题的一组整数a ，b ，c 的值依次为___________.34．【2017年高考北京卷文数】某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：（ⅰ）男学生人数多于女学生人数； （ⅱ）女学生人数多于教师人数； （ⅲ）教师人数的两倍多于男学生人数．①若教师人数为4，则女学生人数的最大值为_________． ②该小组人数的最小值为_________．35．【2017年高考天津卷文数】若,a b ∈R ，0ab >，则4441a b ab ++的最小值为___________．36．【2017年高考山东卷文数】若直线1(00)x ya b a b+=＞，＞过点(1,2),则2a +b 的最小值为___________． 37．【2017年高考江苏卷】某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是___________．38．【2017年高考天津卷文数】电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告．已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟，广告的总播放时间不少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍．分别用x ，y 表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数．（Ⅲ）用x ，y 列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；（Ⅱ）问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使收视人次最多？。

江西省各地2017届高三最新考试数学文试题分类汇编不等式与不等式选讲2017.02一、选择、填空题1、（赣州市2017届高三上学期期末考试）实数,x y 满足10230260x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩，若2x y m -≥恒成立，则实数m 的取值范围是 ．2、（红色七校2017届高三第二次联考）若实数,x y 满足条件1022010x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则343z x y=-+的最大值为 （ ）A ．916-B ．34- C.310- D ．14- 3、（景德镇市2017届高三上学期期末考试）设D 表示不等式组所确定的平面区域，在D 内存在无数个点落在y=a （x +2）上，则a 的取值范围是（ ） A ．RB ．（，1）C ．（0，）D ．（﹣∞，0]∪[，+∞）4、（景德镇市2017届高三上学期期末考试）P 为△ABC 边BC 上的点，满足3=m+n ，则+的最小值为（ ）A ．+1 B ．2C ．2D ．2+35、（上饶市2017届高三第一次模拟考试）甲、乙两企业根据赛事组委会要求为获奖者定做某工艺品作为奖品，其中一等奖奖品3件，二等奖奖品6件；制作一等奖、二等奖所用原料完全相同，但工艺不同，故价格有所差异．甲厂收费便宜，但原料有限，最多只能制作4件奖品，乙厂原料充足，但收费较贵，其具体收费如表所示，则组委会定做该工艺品的费用总和最低为 元．6、（江西省师大附中、临川一中2017届高三1月联考）已知变量,x y 满足约束条件26x y y x x y ≤⎧⎪≤⎨⎪≤+⎩，则2z x y =-的取值范围是______________7、（新余市2017高三上学期期末考试）已知a ＞0，x ，y 满足约束条件，若z=2x +y 的最大值为，则a=（ ） A ．5B ．C ．2D ．18、（江西省重点中学协作体2017届高三下学期第一次联考）已知实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-+≥+-308201x y x y x ，若使得y ax -取得最小值的可行解有无数个，则实数a 的值为__________．9、（江西师范大学附属中学2017届高三12月月考）若变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥>+-≤-+10103y y x y x ，则x y x z 2+=的最小值为 A ．0 B ．1 C ．2 D ．310、（赣吉抚七校2017届高三阶段性教学质量监测考试（二））设01a b <<<，则下列不等式成立的是（ ） A ．33a b > B ．11a b< C.1b a > D ．()lg 0b a -< 11、（南昌市八一中学2017届高三2月测试）已知实数x ，y 满足：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＋5≥0x ＋y －1≤0x ＋a ≥0，若z ＝x＋2y 的最小值为－4，则实数a ＝( )（A ）1 （B ）2 （C ）4 （D ）812、（南昌市三校（南昌一中、南昌十中、南铁一中）2017届高三第四次联考）已知不等式组0,0,4312x x y x y ≥⎧⎪-≤⎨⎪+≤⎩，则11y z x -=+的最大值为 ．13、（红色七校2017届高三第二次联考）已知{}n a 是公比为q 的等比数列，n S 是{}n a 的前n 项和，且369S S =，若正数,a b 满足：24q a b +=，则2112a b +--的最小值为（ ）． A ．2 B．2C ．52 D．14+二、解答题1、（赣州市2017届高三上学期期末考试）设实数,a b 满足29a b +=. （1）若|92||1|3b a -++<，求a 的取值范围； （2）若,0a b >，且2z ab =，求z 的最大值.2、（红色七校2017届高三第二次联考）已知函数()2,f x x a a a R =-+∈，()21g x x =-．(1)若当()3g x ≤时，恒有()6f x ≤，求a 的最大值； (2)若不等式()()3f x g x -≥有解，求a 的取值范围．3、（景德镇市2017届高三上学期期末考试）（1）已知函数f （x ）=|x ﹣1|+|x ﹣3|，g （a ）=4a ﹣a 2，使不等式f （x ）＞g （a ）对∀a ∈R 恒成立，求实数x 的取值范围；（2）已知a ，b ，c ∈R +，a +b +c=1，求++的最大值．4、（上饶市2017届高三第一次模拟考试）设函数()|1||4|f x x x a =++--． （1）当1a =时，求函数()f x 的最小值； （2）若4()1f x a≥+对任意实数x 恒成立，求实数a 的取值范围．5、（江西省师大附中、临川一中2017届高三1月联考）（1）设函数|||2|)(a x x x f ++-=，若关于x 的不等式3)(≥x f 在R 上恒成立，求实数a 的取值范围；（2）已知正数,,x y z 满足231x y z ++=，求321x y z++的最小值.6、（新余市2017高三上学期期末考试）已知函数f（x）=|x﹣10|+|x﹣20|，且满足f （x）＜10a+10（a∈R）的解集不是空集．（1）求实数a的取值范围；（2）求的最小值．参考答案一、选择、填空题1、2(,]3-∞-2、C3、【解答】解：作出约束条件不等式组所对应的可行域D（如图阴影），直线y=a（x+2）表示过点A（﹣2，0）且斜率为a的直线，联立可解得A（1，1），由斜率公式可得a==，结合图象可得要使直线y=a（x+2）与D内存在无数个点落在y=a（x+2）上，0＜a＜，故选：C．4、【解答】解：∵P为△ABC边BC上的点，满足3=m+n，∴=1．（m，n＞0）．则+=（m +n ）==，当且仅当n=m=6﹣3时取等号．故选：A ．5、49006、]0,6[-7、【解答】解：先作出不等式，对应的区域，如图：若z=2x +y 的最大值为，则2x +y ≤，直线y=a （x ﹣2）过定点（2，0）， 则直线2x +y=与x +y=3相交于A ，由得，即A （，），同时A 也在直线y=a （x ﹣2）上，即a （﹣2）=， 得a=1 故选：D ．8、1或21- 9、C 10、D 11、B 12、3 13、A二、解答题1、(1) 由29a b +=得92a b =-，即|||92|a b =-， 所以|||1|3a a ++<，解得22a -<<，所以a 的取值范围(2,2)-……………………………………………5分(2) 因为,0a b >, 所23332()()32733a b b a b z ab a b b +++==⋅⋅≤=== 当且仅当3a b ==时，等号成立．故z 的最大值为27…………………………………10分2、解：(1)当3g x ≤（）时，|2|13x -≤，求得3213x -≤-≤，即12x -≤≤．......（2分） 由6f x ≤（）可得||26x a a -≤-，即 626a x a a -≤-≤-，即33a x -≤≤ (3)）根据题意可得，31a -≤-，求得2a ≤，故a 的最大值为2．…………………（5分）(2) ()()221||||f x g x x a x a -=---+ 2212|||||2|11||x a x x a x a ---≤--+≤-， 221|||||1|x a x a a a ∴---+≤-+…………………………………（7分）不等式()()3f x g x -≥有解，||13a a ∴-+≥，…………………………………（8分） 即13a a -≥-或13a a -≤-解得：2a ≥或空集，即所求的a 的范围是[2)+∞，． 3、【解答】解：由于|x ﹣3|+|x ﹣1|表示数轴上的x 对应点到3和1对应点的距离之和，其最小值等于2，故由不等式f （x ）＞g （a ）对∀a ∈R 恒成立，可得 2＞﹣a 2+4a ，解得 a 或a，故实数a 的取值范围是：a或a，（2）解：由柯西不等式得：（1+2+3）（a +b +c ）≥（++）2⇒++≤，∵++的最大值为，4、解：（1）1a =时，()|1||4|1(1)(4)14f x x x x x =++--≥+---=， 所以函数()f x 的最小值为4． （2）4()1f x a ≥+恒成立，即44a a +≤恒成立， 当0a <时，显然成立； 当0a >时，44a a+≥． 综上，a 的取值范围是{}(,0)2-∞．5、(1) |2||2||||2|)(+=---≥++-=a a x x a x x x f∵原命题等价于3)(min ≥x f ,3|2|≥+a ,15≥-≤∴a a 或. 5分（2）由于,,0x y z >，所以321321(23)()x y z x y z x y z ++=++++22216≥==+当且仅当23321x y z x y z==，即::x y z =时，等号成立. 10分 ∴321x y z++的最小值为16+6、【解答】解：（1）由题意，f （x ）＜10a +10解集不是空集，即|x ﹣10|+|x ﹣20|＜10a +10，则（|x ﹣10|+|x ﹣20|）min ＜10a +10成立， 解得：10＜10a +10， ∴a ＞0，故实数a 的取值范围是（0，+∞） （2）由（1）可知a ＞0， 那么：求=当且仅当，即a=2时取等号．故的最小值为3．。

2017年高考数学试题分类汇编：不等式2 2 x 0 y 0x y1（2017北京文）已知，，且x+ y=1，则的取值范围是__________．【考点】3W：二次函数的性质．51 ：函数的性质及应用．49 ：综合法；【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；【分析】利用已知条件转化所求表达式，通过二次函数的性质求解即可．【解答】解：x≥0，y≥0，且x+y=1，则x2+y2=x2+（1﹣x）2=2x2﹣2x+1，x∈[ 0，1] ，f（x）=2x则令2﹣为：x= ，开口向上，2x+1，x∈[ 0，1] ，函数的对称轴所以函数的最小值为：f（）= = ．2+1=1．最大值为：f（1）=2﹣则x2+y2 的取值范围是：[ ，1] ．故答案为：[ ，1] ．．力【点评】本题考查二次函数的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能42（2017 浙江）已知 a R，函数 f (x) | x a | a 在区间[1，4]上的最大值是5，则a 的取x___________．值范围是【考点】3H：函数的最值及其几何意义．51 ：函数的性质及应用．【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；49 ：综合法；5式可知2a﹣a|+ a≤ 5 且a≤5，进而解绝对值不等【分析】通过转化可知| x+﹣≤x+ ≤5，进而计算可得结论．【解答】解：由题可知| x+﹣a，所以a≤5，a| ≤5﹣a|+ a≤5，即| x+﹣a| ≤5﹣a，又因为| x+﹣a，a≤5﹣5≤x+﹣所以a﹣5≤x+ ≤5，所以2a﹣又因为1≤x≤4，4≤x+ ≤5，所以2a﹣5≤4，解得a≤，故答案为：（﹣∞，] ．意解【点评】本题考查函数的最值，考查绝对值函数，考查转化与化归思想，注题．题方法的积累，属于中档3（2017 新课标Ⅲ文数）[选修4—5：不等式选讲]（10 分）已知函数 f (x) =│x +1│–x│–2│.（1）求不等式 f (x) ≥1的解集；（2）若不等式 f (x) ≥x2–x +m的解集非空，求实数m 的取值范围.【考点】R4：绝对值三角不等式；R5：绝对值不等式的解法．【专题】32 ：分类讨论；33 ：函数思想；4C ：分类法；4R：转化法；51 ：；5T ：不等式．函数的性质及应用【分析】（1）由于f（x）=| x+1| ﹣| x﹣2| = ，解不等式f（x）≥ 1 可分﹣1≤x≤ 2 与x＞2 两类讨论即可解得不等式f（x）≥ 1 的解集；（2）依题意可得m≤[ f（x）﹣x2+x] max，设g（x）=f（x）﹣x2+x，分x≤1、﹣1＜x＜2、x≥ 2 三类讨论，可求得g（x）max= ，从而可得m 的取值范围．【解答】解：（1）∵f（x）=| x+1| ﹣| x﹣2| = ，f（x）≥1，∴当﹣1≤x≤ 2 时，2x﹣1≥1，解得1≤x≤2；当x＞2 时，3≥ 1 恒成立，故x＞2；综上，不等式f（x）≥ 1 的解集为{x| x≥1} ．（2）原式等价于存在x∈R使得f（x）﹣x2+x≥m 成立，即m≤[ f（x）﹣x2+x] max，设g（x）=f（x）﹣x2+x．由（1）知，g（x）= ，当x≤﹣1时，g（x）=﹣x2+x﹣3，其开口向下，对称轴方程为x= ＞﹣1，∴g（x）≤g（﹣1）=﹣1﹣1﹣3=﹣5；当﹣1＜x＜2 时，g（x）=﹣x2+3x﹣1，其开口向下，对称轴方程为x= ∈（﹣1，2），∴g（x）≤g（）=﹣+﹣1= ；当x≥ 2 时，g（x）=﹣x2+x+3，其开口向下，对称轴方程为x= ＜2，∴g（x）≤g（2）=﹣4+2+3=1；综上，g（x）max= ，∴m 的取值范围为（﹣∞，] ．【点评】本题考查绝对值不等式的解法，去掉绝对值符号是解决问题的关键，突出考查分类讨论思想与等价转化思想、函数与方程思想的综合运用，属于难题．4（2017 新课标Ⅲ理数）．[选修4- 5：不等式选讲]（10 分）已知函数f（x）=│x+1│–x│–2│．（1）求不等式f（x）≥1的解集；2（2）若不等式f（x）≥x–x +m 的解集非空，求m 的取值范围．解：（1）当x 1时f x x 1 x 23 1无解f (x) x 1 (x 2)当 1 x 2时2x 12x 1 1∴1 x 2 x 1f (x) x 1 ( x 2) 3当x 2时 3 1 综上所述f (x) 1的解集为[1, ) .x 2（2）原式等价于存在x R，使 2f (x) x x m成立，即2[ f (x) x x] mmax设 2g( x) f (x) x x2x x 3 , x 1由（1）知 2g( x) x 3x 1 , 1 x 2当x 1时，2x x 3 , x 22g( x) x x 35（2017 新课标Ⅱ文）[选修4-5 ：不等式选讲]（10 分）已知 3 3a 0,b 0,a b 2.证明：（1） 5 5(a b)( a b ) 4；（2）a b 2 .【解析】（1）5 56 5 5 6a b a b a ab a b b23 3 3 34 4a b 2a b ab a b4 2 2ab a b24（2）因为3 3 2 2 3a b a 3a b 3ab b2 3ab a+b2 33 a+b 3 a+b2+ a+b 24 4所以3a+b 8 ，因此a+b≤ 2.6（2017 新课标Ⅱ理）[选修4—5：不等式选讲]（10 分）已知 3 3a 0,b 0,a b 2．证明：（1） 5 5(a b)(a b ) 4；（2）a b 2．【解析】（1）5 56 5 5 6 a ba b a ab a b b23 3 3 34 4a b 2a b ab a b4 2 2ab a b24（2）因为3 3 2 2 3a b a 3a b 3ab b2 3ab a+b2 3 3 a+b3 a+b2+ a+b 24 4所以3a+b 8 ，因此a+b≤ 2.7（2017 新课标Ⅰ文数）[选修4—5：不等式选讲]（10 分）2+ax+4，g(x)= │x+1│+x│–1│.已知函数f（x）=–x（1）当a=1 时，求不等式f（x）≥g（x）的解集；围.（2）若不等式f（x）≥g（x）的解集包含[–1，1]，求 a 的取值范解：（1）当a 1时，不等式 f (x) g(x) 等价于 2 | 1| | 1| 4 0x x x x .①当x 1时，①式化为x2 3x 4 0，无解；当 1 x 1时，①式化为x2 x 2 0 ，从而 1 x 1；当x 1时，①式化为x2 x 4 0，从而1 1 17x .2所以 f (x) g( x) 的解集为1 17 { x| 1 x } .2（2）当x [ 1,1] 时，g (x) 2 .所以 f (x) g( x) 的解集包含[ 1,1]，等价于当x [ 1,1] 时 f (x) 2 .又 f (x) 在[ 1,1] 的最小值必为 f ( 1) 与 f (1) 之一，所以 f ( 1) 2 且 f (1) 2 ，得1 a 1 .所以a的取值范围为[ 1,1].x y z8（2017 新课标Ⅰ理数）设x、y、z 为正数，且 2 3 5，则A．2x<3y<5z B．5z<2x<3y C．3 y<5z<2x D．3y<2x<5z 【考点】72：不等式比较大小．【专题】35 ：转化思想；51 ：函数的性质及应用；59 ：不等式的解法及应用．【分析】x、y、z 为正数，令2x=3y=5z=k＞1．lgk＞0．可得x= ，y= ，z= ．可得3y= ，2x= ，5z= ．根据= = ，＞= ．即可得出大小关系．x=3y=5z=k＞1．lgk＞0．可得x= ，y= ，z= ．另解：x、y、z 为正数，令2= = ＞1，可得2x＞3y，同理可得5z＞2x．【解答】解：x、y、z 为正数，令2x=3y=5z=k＞1．lgk＞0．则x= ，y= ，z= ．∴3y= ，2x= ，5z= ．∵= = ，＞= ．∴＞lg ＞＞0．∴3y＜2x＜5z．另解：x、y、z 为正数，令2x=3y=5z=k＞1．lgk＞0．x= ，y= ，z= ．则∴= = ＞1，可得2x＞3y，= = ＞1．可得5z＞2x．综上可得：5z＞2x＞3y．解法三：对k 取特殊值，也可以比较出大小关系．故选：D．【点评】本题考查了对数函数的单调性、换底公式、不等式的性质理，考查了推能力与计算能力，属于中档题．9（2017 新课标Ⅰ理数）．[选修4—5：不等式选讲]（10 分）2+ax+4，g(x)= │x+1│+x│–1│.已知函数f（x）=–x（1）当a=1 时，求不等式f（x）≥g（x）的解集；围.（2）若不等式f（x）≥g（x）的解集包含[–1，1]，求 a 的取值范【解析】（1）当a 1时，不等式 f (x) g( x) 等价于 2 | 1| | 1| 4 0x x x x . ①4 4 4 1a b10（2017 天津文）若a，b R，ab 0 ，则ab 的最小值为.【考点】7F：基本不等式．【专题】34 ：方程思想；4R：转化法；5T ：不等式．【分析】【方法一】两次利用基本不等式，即可求出最小值，需要注意不等式等号成立的条件是什么．【方法二】将拆成+ ，利用柯西不等式求出最小值．【解答】解：【解法一】a，b∈R，ab＞0，∴≥==4ab+ ≥ 2 =4，当且仅当，即，即a= ，b= 或a=﹣，b=﹣时取“=；”∴上式的最小值为4．【解法二】a，b∈R，ab＞0，∴= + + + ≥ 4 =4，当且仅当，即，即a= ，b= 或a=﹣，b=﹣时取“=；”∴上式的最小值为4．故答案为：4．【点评】本题考查了基本不等式的应用问题，是中档题．4 4 4 1a b11（2017 天津理）若a,b R，ab 0 ，则ab 的最小值为___________.【答案】 4【解析】4 4 4 1 4 2 2 1a b a bab ab4 ，当且仅当 a 2b 1时取等号x y12（2017 山东文）若直线1(a＞0，b＞0) 过点（1,2）,则2a+b 的最小值为.a b【答案】8（7）（2017 山东理）若a b 0 ，且ab 1 ，则下列不等式成立的是1 ba log ab （A） 2ab 2blog（B） 2a2a b a1b1（C）a log2 a bb ba2log（D） 2a b a1bba2【答案】 Bb【解析】 a 1,0 b 1, 1,log 2 (a b) log 2 2 ab 1,a21a 1 1b a a b a a b2 log ( )2b b，所以选 B.x13（2017 江苏）某公司一年购买某种货物600 吨，每次购买吨，运费为 6 万元/次，一年4x x 的总存储费用为万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则的值是▲．【解析】总费用600 9004x 6 4(x ) 4 2 900 240x x，当且仅当x900x，即x 30 时等号成立.14(2017 年江苏卷)［选修4-5：不等式选讲］（本小题满分10 分）a b c d a2 b2 4,c2 d 2 16, ac bd ≤8., , ,已知为实数，且证明：【解析】由柯西不等式可得 2 2 2 2 2(a b )(c d ) (ac bd) ，即 2(ac bd) 4 16 64，故ac bd 8 .15（2017 北京理）能够说明“设a，b，c 是任意实数．若a＞b＞c，则a+b＞c”是假命题的一组整数a，b，c 的值依次为______________________________ ．【考点】FC：反证法．【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；4O：定义法；5L ：简易逻辑．【分析】设a，b，c 是任意实数．若a＞b＞c，则a+b＞c”是假命题，则若a＞b ＞c，则a+b≤c”是真命题，举例即可，本题答案不唯一【解答】解：设a＞b＞c，则a+b＞c”是假命题，a，b，c 是任意实数．若a＞b＞c，则a+b≤c”是真命题，则若可设a，b，c 的值依次﹣1，﹣2，﹣3，（答案不唯一），故答案为：﹣1，﹣2，﹣3【点评】本题考查了命题的真假，举例说明即可，属于基础题．16.（2017?新课标Ⅲ文数）设x，y 满足约束条件则z=x﹣y 的取值范围是（）A．[ ﹣3，0] B．[ ﹣3，2] C．[ 0，2] D．[ 0，3]【考点】7C：简单线性规划．【专题】11 ：计算题；31 ：数形结合；35 ：转化思想；5T ：不等式．【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解目标函数的范围即可．【解答】解：x，y 满足约束条件的可行域如图：目标函数z=x﹣y，经过可行域的A，B时，目标函数取得最值，由解得A（0，3），由解得B（2，0），目标函数的最大值为：2，最小值为：﹣3，目标函数的取值范围：[ ﹣3，2] ．故选：B．【点评】本题考查线性规划的简单应用，目标函数的最优解以及可行域的作法是。

E单元不等式E1 不等式的概念与性质5．A3、E1[2017·山东卷] 已知命题p：∃x∈R, x2－x＋1≥0；命题q：若a2<b2，则a<b.下列命题为真命题的是()A．p∧qB．p∧綈qC．綈p∧qD．綈p∧綈q5．B[解析] 易知命题p为真命题，命题q为假命题，所以綈q为真命题，由复合命题真值表知，p∧綈q为真命题，故选B.E2 绝对值不等式的解法1．A1、E2[2017·山东卷] 设集合M＝{x||x－1|<1}，N＝{x|x<2}，则M∩N＝() A．(－1，1) B．(－1，2)C．(0，2) D．(1，2)1．C[解析] 由|x－1|<1得0<x<2，∴集合M＝{x|0<x<2}，∴M∩N＝{x|0<x<2}，故选C.E3 一元二次不等式的解法E4 简单的一元高次不等式的解法E5 简单的线性规划问题3．E5[2017·山东卷] 已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋5≤0，x ＋3≥0，y ≤2，则z ＝x ＋2y 的最大值是( )A ．－3B ．－1C ．1D ．33．D [解析] 画出约束条件所表示的平面区域，如图，平移直线x ＋2y ＝0，当直线过A 点时，z 最大．由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋5＝0，y ＝2，得A(－1，2)，所以z max ＝－1＋4＝3，故选D .7．E5[2017·全国卷Ⅰ] 设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ≤3，x －y ≥1，y ≥0，则z ＝x ＋y 的最大值为( )A ．0B ．1C ．2D ．37．D [解析] 作出约束条件对应的可行域，如图中阴影部分所示，当直线z ＝x ＋y 经过可行域中的点A (3，0)时，目标函数取得最大值，故z max ＝3.5．E5[2017·全国卷Ⅲ] 设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y －6≤0，x ≥0，y ≥0，则z ＝x －y 的取值范围是( )A ．[－3，0]B ．[－3，2]C ．[0，2]D ．[0，3]5．B [解析] 由题意，画出可行域如图中阴影部分所示，目标函数为z ＝x －y ，则直线y ＝x －z 的纵截距越大，z 的值越小，纵截距越小，z 的值越大．由图可知，当直线y ＝x －z 过点A (0，3)时z 取得最小值，故z min ＝0－3＝－3； 当直线y ＝x －z 过点B (2，0)时z 取得最大值，故z max ＝2－0＝2. 4．E5[2017·北京卷] 若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≤3，x ＋y ≥2， y ≤x ，则x ＋2y 的最大值为( )A ．1B ．3C ．5D ．94．D [解析] 画出约束条件所表示的平面区域如图中阴影部分所示．平移直线x ＋2y ＝0，当直线经过A 点时，x ＋2y 的值最大．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，x ＝3，得A (3，3)，所以x ＋2y 的最大值为3＋2×3＝9，故选D.7．E5[2017·全国卷Ⅱ] 设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －3≤0，2x －3y ＋3≥0，y ＋3≥0，则z ＝2x ＋y 的最小值是( )A ．－15B ．－9C ．1D ．97．A [解析] 作出约束条件对应的可行域，如图中阴影部分所示，当目标函数线经过可行域中的点A(－6，－3)时，目标函数取得最小值，即z min ＝2×(－6)－3＝－15.16．E5[2017·天津卷] 电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告．已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟，广告的总播放时间不少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍．分别用x ，y 表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数．(1)用x ，y 列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域．(2)问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？16．解：(1)由已知，x ，y 满足的数学关系式为⎩⎪⎨⎪⎧70x ＋60y ≤600，5x ＋5y ≥30，x ≤2y ，x ≥0，y ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧7x ＋6y ≤60，x ＋y ≥6，x －2y ≤0，x ≥0，y ≥0，该二元一次不等式组所表示的平面区域为图中的阴影部分．(2)设总收视人次为z 万，则目标函数为z ＝60x ＋25y. 考虑z ＝60x ＋25y ，将它变形为y ＝－125x ＋z 25，这是斜率为－125，随z 变化的一族平行直线．z 25为直线在y 轴上的截距，当z25取得最大值时，z 的值最大． 又因为x ，y 满足约束条件，所以由图可知，当直线z ＝60x ＋25y 经过可行域上的点M 时，截距z25最大，即z 最大．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧7x ＋6y ＝60，x －2y ＝0， 得点M 的坐标为(6，3)．所以，电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时才能使总收视人次最多．E6 10．E6[2017·江苏卷] 某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是________．10．30 [解析] 总费用为600x×6＋4x ＝4⎝⎛⎭⎫900x ＋x ≥4×2900＝240，当且仅当x ＝30时等号成立，故x 的值是30.13．E6[2017·天津卷] 若a ，b ∈R ，ab >0，则a 4＋4b 4＋1ab 的最小值为________．13．4 [解析] 由题意得a 2>0，b 2>0，ab >0，所以a 4＋4b 4＋1ab ＝（a 2）2＋（2b 2）2＋1ab≥4a 2b 2＋1ab ＝4ab ＋1ab ≥24＝4，当且仅当a 2＝2b 2＝22时，等号成立．12．E6[2017·山东卷] 若直线x a ＋y b ＝1(a ＞0，b ＞0) 过点(1，2)，则2a ＋b 的最小值为________．12．8 [解析] 由条件可得1a ＋2b ＝1，所以2a ＋b ＝(2a ＋b)(1a ＋2b )＝4＋4a b ＋ba≥4＋24＝8，当且仅当4a b ＝ba，即b ＝2a 时取等号，所以最小值为8.E7 不等式的证明方法E8 不等式的综合应用E9 单元综合1年模拟2. [2017·深圳一模]已知a >b >0，c <0，下列不等关系中正确的是( ) A. ac >bc B. a c >b cC. log a ()a －c >log b ()b －cD.a a －c >bb －c2. D [解析]因为c ＜0，a >b ，所以ac <bc ，故A 错；当c ＜0时，幂函数y ＝x c 在(0，＋∞)上是减函数，故B 错；若a ＝4，b ＝2，c ＝－4，则log a (a －c )＝log 48<2<log b (b －c )＝log 26，故C 错；a a －c －b b －c ＝ab －ac －ab ＋bc （a －c ）·（b －c ）＝（b －a ）·c （a －c ）·（b －c ）＞0，所以a a －c >bb －c 成立，故D 正确．5．[2017·杭州期末]若不等式(ax ＋3)(x 2－b )≤0对任意的x ∈(0，＋∞)恒成立，则( ) A ．ab 2＝9 B ．a 2b ＝9，a <0 C ．b ＝9a 2，a <0 D ．b 2＝9a5．B [解析] 若a ≥0，则ax ＋3恒为正，只需x 2－b ≤0对任意的x ∈(0，＋∞)恒成立，不存在这样的b 满足条件．若a <0，则当b ≤0时，不存在实数a 使ax ＋3≤0对任意x ∈(0，＋∞)恒成立； 当b >0时，原不等式可化为a ⎝⎛⎭⎫x ＋3a ()x ＋b ()x －b ≤0， 即⎝⎛⎭⎫x ＋3a ()x －b ≥0，显然当－3a ＝b 时，()x －b 2≥0对任意x ∈(0，＋∞)恒成立，所以a 2b ＝9，a <0满足条件．5. [2017·雅安月考]已知正实数a ，b 满足a ＋2b ＝1，则a 2＋4b 2＋1ab 的最小值为( )A. 72 B. 4 C.16136 D. 1725. D [解析] 因为1＝a ＋2b ≥22ab ，所以ab ≤18，当且仅当a ＝2b ＝12时取等号．又因为a 2＋4b 2＋1ab ≥2a ·(2b )＋1ab ＝4ab ＋1ab ，令t ＝ab ，f (t )＝4t ＋1t 在⎝⎛⎦⎤0，18上单调递减，所以f (t )min ＝f ⎝⎛⎭⎫18＝172，此时a ＝2b ＝12. 6．[2017·洛阳模拟设a >0，b >0，若3是3a 与32b 的等比中项，则2a ＋1b 的最小值为________．6．8 [解析] 由题可知3a ·32b ＝(3)2，则a ＋2b ＝1，所以2a ＋1b ＝⎝⎛⎭⎫2a ＋1b ()a ＋2b ＝4＋4b a ＋ab≥4＋2 a b ·4b a ＝8，当且仅当a ＝2b ＝12时，等号成立．3．[2017·合肥一模]若实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，x －y ≤0，x ＋y －6≤0， 则z ＝x －2y 的最大值为( )A ．－9B ．－3C ．－1D ．33．C [解析] 画出约束条件表示的平面区域，如图所示． 当直线z ＝x －2y 过点A 时，直线的纵截距最小，z 的值最大．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x ＝y ，可得A (1，1)，故z 的最大值为－1.10．[2017·石家庄二模]若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤0，x －y ≤0，x 2＋y 2≤4，则z ＝y －2x ＋3的最小值为 ( )A ．－2B ．－23C ．－125 D.2－4710．C [解析] 作出可行域如图中阴影部分所示，z ＝y －2x ＋3可以看作点()x ，y 与()－3，2所在直线的斜率．当过点(－3，2)的直线与圆x 2＋y 2＝4相切时，z 取得最值．设过()－3，2与圆相切的直线的方程为y －2＝k ()x ＋3，化为一般方程为kx －y ＋3k ＋2＝0，由点到直线的距离公式得||3k ＋2k 2＋1＝2，解得k ＝0或k ＝－125，k ＝0不合题意，舍去，故z 的最小值为－125.14．[2017·安徽江南十校联考]已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≤ln x ，x －2y －3≤0，y ＋1≥0，则z ＝y ＋1x的取值范围为________．14．[0，1] [解析] 画出可行域，如图所示．由z ＝y ＋1x ＝y －（－1）x －0可得，当过点(0，－1)的直线为y ＝－1时，z 取得最小值0；当过点(0，－1)的直线与曲线y ＝ln x 相切时，z取得最大值1.故z ＝y ＋1x的取值范围是[0，1]．15．[2017·广州质检]若满足不等式组⎩⎨⎧()x －y ＋1()x ＋y －3≥0，0≤x ≤a的点()x ，y 组成的图形的面积是5，则实数a 的值为________．15．3 [解析] 不等式组可化为⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －3≥0，0≤x ≤a 或⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x ＋y －3≤0，0≤x ≤a ，画出不等式组表示的平面区域，如图所示．由题知显然a ＞1.由图知A (1，2)，D (0，3)，E (0，1)，B (a ，a ＋1)，C (a ，3－a )，平面区域的面积S ＝12(2a －2)(a －1)＋12×2×1＝5，解得a ＝3或a ＝－1(舍去)．。

专题13 不等式、推理与证明1．【2019年高考全国I 卷文数】古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是12（12≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是12．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105 cm ，头顶至脖子下端的长度为26 cm ，则其身高可能是A ．165 cmB ．175 cmC ．185 cmD ．190 cm【答案】B方法一：如下图所示. 依题意可知：11,22AC AB CD BC ==， ① 腿长为105 cm 得，即>105CD ，164.892AC CD =>， 64.89105169.89AD AC CD =+>+=，所以AD >169.89.②头顶至脖子下端长度为26 cm ， 即AB <26，42.07BC =<，=+<68.07 AC AB BC，110.15CD=<，+<68.07+110.15=178.22AC CD，所以<178.22AD.综上，169.89<<178.22AD.故选B.方法二：设人体脖子下端至肚脐的长为x cm，肚脐至腿根的长为y cm，则2626105xx y+==+42.07cm, 5.15cmx y≈≈．又其腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，所以其身高约为42.07+5.15+105+26=178.22，接近175cm．故选B．【名师点睛】本题考查类比归纳与合情推理，渗透了逻辑推理和数学运算素养．采取类比法，利用转化思想解题．2．【2019年高考全国III卷文数】记不等式组6,20x yx y+≥⎧⎨-≥⎩表示的平面区域为D．命题:(,),29p x y D x y∃∈+≥；命题:(,),212q x y D x y∀∈+≤．下面给出了四个命题①p q∨②p q⌝∨③p q∧⌝④p q⌝∧⌝这四个命题中，所有真命题的编号是A．①③B．①②C．②③D．③④【答案】A根据题中的不等式组可作出可行域，如图中阴影部分所示， 记直线1: 2+9,l y x =-2: =2+12l y x -，由图可知，(,),29,(,),212x y D x y x y D x y ∃∈+∃∈+>， 所以p 为真命题，q 为假命题， 所以p ⌝为假命题，q ⌝为真命题，所以p q ∨为真命题，p q ⌝∨为假命题，p q ∧⌝为真命题，p q ⌝∧⌝为假命题， 所以所有真命题的编号是①③.故选A.【名师点睛】本题将线性规划和不等式，命题判断综合到一起，解题关键在于充分利用取值验证的方法进行判断.3．【2019年高考北京卷文数】在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m 2−m 1=52lg 21E E ，其中星等为m k 的星的亮度为E k （k =1，2）．已知太阳的星等是−26.7，天狼星的星等是−1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为 A ． 1010.1B ． 10.1C ． lg10.1D ． 10–10.1【答案】A两颗星的星等与亮度满足12125lg 2E m m E -=,令211.45,26.7m m =-=-, ()10.111212222lg( 1.4526.7)10.1,1055E E m m E E =⋅-=-+==. 故选：A ．【名师点睛】本题以天文学问题为背景,考查考生的数学应用意识､信息处理能力､阅读理解能力以及指数对数运算.4．【2019年高考天津卷文数】设变量,x y 满足约束条件20,20,1,1,x y x y x y +-≤⎧⎪-+≥⎪⎨-⎪⎪-⎩，则目标函数4z x y =-+的最大值为 A ．2 B ．3C ．5D ．6【答案】D已知不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分. 目标函数的几何意义是直线4y x z =+在y 轴上的截距， 故目标函数在点A 处取得最大值. 由20,1x y x -+=⎧⎨=-⎩，得(1,1)A -，所以max 4(1)15z =-⨯-+=. 故选C.【名师点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域，分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值或范围．即：一画，二移，三求．5．【2019年高考天津卷文数】设x ∈R ，则“05x <<”是“|1|1x -<”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B11x -<等价于02x <<，故05x <<推不出11x -<； 由11x -<能推出05x <<，故“05x <<”是“|1|1x -<”的必要不充分条件. 故选B .【名师点睛】充要条件的三种判断方法： (1)定义法：根据p ⇒q ，q ⇒p 进行判断；(2)集合法：根据由p ，q 成立的对象构成的集合之间的包含关系进行判断；(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把要判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题．6．【2019年高考浙江卷】若实数,x y 满足约束条件3403400x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪+≥⎩，则32z x y =+的最大值是A ． 1-B ． 1C ． 10D ． 12【答案】C画出满足约束条件的可行域如图中阴影部分所示. 因为32z x y =+，所以3122y x z =-+. 平移直线3122y x z =-+可知，当该直线经过点A 时，z 取得最大值. 联立两直线方程可得340340x y x y -+=⎧⎨--=⎩，解得22x y =⎧⎨=⎩.即点A 坐标为(2,2)A ，所以max 322210z =⨯+⨯=.故选C.【名师点睛】解答此类问题，要求作图要准确，观察要仔细.往往由于由于作图欠准确而影响答案的准确程度，也有可能在解方程组的过程中出错. 7．【2019年高考浙江卷】若0,0ab >>，则“4a b +≤”是 “4ab ≤”的A ． 充分不必要条件B ． 必要不充分条件C ． 充分必要条件D ． 既不充分也不必要条件【答案】A当0, 0a >b >时，a b +≥当且仅当a b =时取等号，则当4a b +≤时，有4a b ≤+≤，解得4ab ≤，充分性成立；当=1, =4a b 时，满足4ab ≤，但此时=5>4a+b ，必要性不成立，综上所述，“4a b +≤”是“4ab ≤”的充分不必要条件.【名师点睛】易出现的错误有，一是基本不等式掌握不熟，导致判断失误；二是不能灵活的应用“赋值法”，通过特取,a b 的值，从假设情况下推出合理结果或矛盾结果.8．【2018年高考北京卷文数】设集合{(,)|1,4,2},A x y x y ax y x ay =-≥+>-≤则A ．对任意实数a ，(2,1)A ∈B ．对任意实数a ，（2，1）A ∉C ．当且仅当a <0时，（2，1）A ∉D ．当且仅当32a ≤时，（2，1）A ∉【答案】D点（2，1）在直线1x y -=上，4ax y +=表示过定点（0，4），斜率为a -的直线，当0a ≠ 时，2x ay -=表示过定点（2，0），斜率为1a的直线，不等式2x ay -≤表示的区域包含原点，不等式4ax y +>表示的区域不包含原点.直线4ax y +=与直线2x ay -=互相垂直.显然当直线4ax y +=的斜率0a ->时，不等式4ax y +>表示的区域不包含点（2，1），故排除A ；点（2，1）与点（0，4）连线的斜率为32-，当32a -<-，即32a >时，4ax y +>表示的区域包含点（2，1），此时2x ay -<表示的区域也包含点（2，1），故排除B ；当直线4ax y +=的斜率32a -=-，即32a =时，4ax y +>表示的区域不包含点（2，1），故排除C ，故选D.【名师点睛】本题主要考查线性规划问题，考查考生的数形结合思想、化归与转化思想以及逻辑推理能力和运算求解能力，考查的核心素养是直观想象、数学运算. 9．【2018年高考天津卷文数】设x ∈R ，则“38x >”是“||2x >”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A求解不等式x 3>8可得x >2，求解绝对值不等式|x |>2可得x >2或x <−2，据此可知：“x 3>8”是“|x|>2” 的充分而不必要条件.故选A.【名师点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法、充分不必要条件的判断等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.10．【2018年高考天津卷文数】设变量,x y 满足约束条件52410x y x y x y y +≤⎧⎪-≤⎪⎨-+≤⎪⎪≥⎩，，，，则目标函数35z x y =+的最大值为A ．6B ．19C ．21D ．45【答案】C绘制不等式组52410x y x y x y y +≤⎧⎪-≤⎪⎨-+≤⎪⎪≥⎩，，，表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A 处取得最大值，联立直线方程得51x y x y +=⎧⎨-+=⎩，可得点A 的坐标为()2,3A ，据此可知目标函数的最大值为：max 35325321z x y =+=⨯+⨯=.本题选择C 选项.【名师点睛】求线性目标函数z ＝ax ＋by (ab ≠0)的最值，当b ＞0时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最大，在y 轴截距最小时，z 值最小；当b ＜0时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最小，在y 轴上截距最小时，z 值最大.11．【2017年高考天津卷文数】设x ∈R ，则“20x -≥”是“|1|1x -≤”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B由20x -≥，可得2x ≤，由|1|1x -≤，可得111x -≤-≤，即02x ≤≤，因为{}{}022x x x x ≤≤⊂≤，所以“20x -≥”是“|1|1x -≤”的必要而不充分条件，故选B ．【名师点睛】判断充要关系的的方法：①根据定义，若,/p q q p ⇒⇒，那么p 是q 的充分而不必要条件，同时q 是p 的必要而不充分条件，若p q ⇔，那么p 是q 的充要条件，若,//p q q p ⇒⇒，那那么p 是q 的既不充分也不必要条件；②当命题是以集合的形式给出时，那就看包含关系，若:p x A ∈，:q x B ∈，若A 是B 的真子集，那么p 是q 的充分而不必要条件，同时q 是p 的必要而不充分条件，若A B =，那么p 是q 的充要条件，若没有包含关系，那么p 是q 的既不充分也不必要条件；③命题的等价性，根据互为逆否命题的两个命题等价，将“p 是q ”的关系转化为“q ⌝是p ⌝”的关系进行判断． 12．【2017年高考天津卷文数】已知奇函数()f x 在R 上是增函数．若0.8221(log ),(log 4.1),(2)5a fb fc f =-==，则，，的大小关系为A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c b a <<D ．c a b <<【答案】C由题意可得221(log )(log 5)5a f f =-=，且22log 5log 4.12>>，0.8122<<，所以0.822log 5log 4.12>>，结合函数的单调性，可得0.822(log 5)(log 4.1)(2)f f f >>，即a b c >>，即c b a <<．故选C ．【名师点睛】比较大小是高考的常见题型，指数式、对数式的大小比较要结合指数函数、对数函数，借助指数函数和对数函数的图象，利用函数的单调性、奇偶性等进行大小比较，要特别关注灵活利用函数的奇偶性和单调性，数形结合进行大小比较或解不等式．13．【2017年高考全国I 卷文数】设x ，y 满足约束条件33,1,0,x y x y y +≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩则z =x +y 的最大值为A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】D如图，作出不等式组表示的可行域，则目标函数z x y =+经过(3,0)A 时z 取得最大值，故max 303z =+=，故选D ．a bc【名师点睛】本题主要考查线性规划问题，首先由不等式组作出相应的可行域，并明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数的最值取法或值域范围．14．【2017年高考浙江卷】若x ，y 满足约束条件03020x x y x y ≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则2z x y =+的取值范围是A ．[0，6]B ．[0，4]C ．[6，)+∞D ．[4，)+∞【答案】D如图，可行域为一开放区域，所以直线过点(2,1)时取最小值4，无最大值，选D ．【名师点睛】本题主要考查线性规划问题，首先由不等式组作出相应的可行域，作图时，可将不等式0Ax By C ++≥转化为y kx b ≤+（或y kx b ≥+），“≤”取下方，“≥”取上方，并明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围．15．【2017年高考全国II 卷文数】设,x y 满足约束条件2+330,2330,30,x y x y y -≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩则2z x y =+的最小值是A ．15-B ．9-C ．1D ．9【答案】A绘制不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，结合目标函数的几何意义可得函数在点()6,3B --处取得最小值，最小值为min 12315z =--=-．故选A.【名师点睛】线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.16．【2017年高考全国II卷文数】甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则A．乙可以知道四人的成绩B．丁可以知道四人的成绩C．乙、丁可以知道对方的成绩D．乙、丁可以知道自己的成绩【答案】D由甲的说法可知乙、丙一人优秀一人良好，则甲、丁两人一人优秀一人良好，乙看到丙的成绩则知道自己的成绩，丁看到甲的成绩则知道自己的成绩，即乙、丁可以知道自己的成绩．故选D．【名师点睛】合情推理主要包括归纳推理和类比推理．数学研究中，在得到一个新结论前，合情推理能帮助猜测和发现结论，在证明一个数学结论之前，合情推理常常能为证明提供思路与方向．合情推理仅是“合乎情理”的推理，它得到的结论不一定正确．而演绎推理得到的结论一定正确(前提和推理形式都正确的前提下)．17．【2017年高考北京卷文数】若,x y满足3,2,,xx yy x≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩则2x y+的最大值为A．1 B．3 C．5 D．9 【答案】D如图，画出可行域，2z x y =+表示斜率为12-的一组平行线，当2z x y =+过点()3,3C 时，目标函数取得最大值max 3239z =+⨯=，故选D.【名师点睛】本题主要考查简单的线性规划．解决此类问题的关键是正确画出不等式组表示的可行域，将目标函数赋予几何意义.求目标函数的最值的一般步骤为：一画、二移、三求．常见的目标函数类型有：（1）截距型：形如z ax by =+.求这类目标函数的最值时常将函数z ax by =+转化为直线的斜截式：a z y xb b=-+，通过求直线的截距的最值间接求出z 的最值；（2）距离型：形如()()22z x a y b =-+-；（3）斜率型：形如y bz x a-=-，而本题属于截距形式. 18．【2017年高考山东卷文数】已知x ,y 满足约束条件250302x y x y -+≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩,则z =x +2y 的最大值是A ．-3B ．-1C ．1D ．3 【答案】D画出约束条件250302x y x y -+≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩表示的可行域,如图中阴影部分所示，平移直线20x y +=,可知当其经过直线250x y -+=与2y =的交点(1,2)-时,2z x y =+取得最大值，为max 1223z =-+⨯=,故选D.z b【名师点睛】(1)确定二元一次不等式(组)表示的平面区域的方法是：“直线定界,特殊点定域”,即先作直线,再取特殊点，并代入不等式(组)．若满足不等式(组),则不等式(组)表示的平面区域为直线与特殊点同侧的那部分区域；否则就对应与特殊点异侧的平面区域.当不等式中带等号时,边界为实线；不带等号时,边界应画为虚线,特殊点常取原点.(2)利用线性规划求目标函数最值的步骤：①画出约束条件对应的可行域；②将目标函数视为动直线,并将其平移经过可行域,找到最优解；③将最优解代入目标函数,求出最大值或最小值．19．【2017年高考山东卷文数】已知命题p ：,x ∃∈R 210x x -+≥;命题q ：若22a b <,则a <b .下列命题为真命题的是A ．p q ∧B ．p q ∧⌝C ．p q ⌝∧D ．p q ⌝∧⌝ 【答案】B由0x =时210x x -+≥成立知p 是真命题,由221(2),12<->-可知q 是假命题,所以p q ∧⌝是真命题,故选B.【名师点睛】判断一个命题为真命题,要给出推理与证明；判断一个命题是假命题,只需举出反例．根据“原命题与逆否命题同真同假,逆命题与否命题同真同假”这一性质,当一个命题直接判断不易进行时,可转化为判断其等价命题的真假．20．【2019年高考全国II 卷文数】若变量x ，y 满足约束条件23603020x y x y y ⎧⎪⎨⎪⎩+-≥+-≤-≤，，，则z =3x –y 的最大值是____________.【答案】9画出不等式组表示的可行域，如图中阴影部分所示，阴影部分表示的三角形ABC 区域，根据直线30x y z --=中的z 表示纵截距的相反数，当直线3z x y =-过点3,0C （）时，z 取最大值为9．【名师点睛】本题考查线性规划中最大值问题，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．采取图解法，利用数形结合思想解题．搞不清楚线性目标函数的几何意义致误，从线性目标函数对应直线的截距观察可行域，平移直线进行判断取最大值还是最小值．21．【2019年高考全国II 卷文数】中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体共有________个面，其棱长为_________．（本题第一空2分，第二空3分．）【答案】261 【答案】261由图可知第一层（包括上底面）与第三层（包括下底面）各有9个面，计18个面，第二层共有8个面，所以该半正多面体共有18826+=个面．如图，设该半正多面体的棱长为x ，则AB BE x ==，延长CB 与FE 交于点G ，延长BC 交正方体棱于H ，由半正多面体对称性可知，BGE △为等腰直角三角形，,21)122BG GE CH x GH x x x ∴===∴=⨯+==，1x ∴==，1．【名师点睛】本题立意新颖，空间想象能力要求高，物体位置还原是关键，遇到新题别慌乱，题目其实很简单，稳中求胜是关键．立体几何平面化，无论多难都不怕，强大空间想象能力，快速还原图形．22．【2019年高考北京卷文数】若x ，y 满足2,1,4310,x y x y ≤⎧⎪≥-⎨⎪-+≥⎩则y x -的最小值为__________，最大值为__________． 【答案】3-；1根据题中所给约束条件作出可行域，如图中阴影部分所示.设z y x -=，则=+y x z ，求出满足在可行域范围内z 的最大值、最小值即可，即在可行域内，当直线=+y x z 的纵截距最大时，z 有最大值，当直线=+y x z 的纵截距最小时，z 有最小值.由图可知，当直线=+y x z 过点A 时,z 有最大值， 联立24310x x y =⎧⎨-+=⎩，可得23x y =⎧⎨=⎩ ，即(2,3)A ，所以max 321z =-=；当直线=+y x z 过点(2,1)B -时，z 有最小值， 所以min 123z =--=-.【名师点睛】本题是简单线性规划问题的基本题型，根据“画、移、解”等步骤可得解.题目难度不大，注重了基础知识、基本技能的考查.23．【2019年高考天津卷文数】设0,0,24x y x y >>+=，则(1)(21)x y xy++的最小值为__________.【答案】92(1)(21)2212525x y xy y x xy xy xy xy xy++++++===+.因为0,0,24x y x y >>+=，所以24x y +=≥2,02xy ≤<≤，当且仅当22x y ==时取等号成立. 又因为192255=22xy +≥+⨯， 所以(1)(21)x y xy ++的最小值为92.【名师点睛】使用基本不等式求最值时一定要验证等号是否能够成立.24．【2019年高考北京卷文数】李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x 元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．①当x =10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x 的最大值为__________．【答案】①130 ；②15.①10x =,顾客一次购买草莓和西瓜各一盒,需要支付()608010130+-=元. ②设顾客一次购买水果的促销前总价为y 元,120y <元时,李明得到的金额为80%y ⨯,符合要求.120y ≥元时,有()80%70%y x y -⨯≥⨯恒成立,即()87,8yy x y x -≥≤,即min158y x ⎛⎫≤= ⎪⎝⎭元. 所以x 的最大值为15.【名师点睛】本题主要考查不等式的概念与性质､数学的应用意识､数学式子变形与运算求解能力,以实际生活为背景，创设问题情境，考查学生身边的数学，考查学生的数学建模素养.25．【2018年高考浙江卷】若,x y 满足约束条件0,26,2,x y x y x y -≥⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩则3z x y =+的最小值是___________，最大值是___________． 【答案】−2 8作0,26,2x y x y x y -≥⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩表示的可行域，如图中阴影部分所示，则直线3z x y =+过点A (2,2)时z 取最大值8，过点B (4,−2)时z 取最小值−2.【名师点睛】线性规划的实质是把代数问题几何化，即用数形结合的思想解题.需要注意的是： 一、准确无误地作出可行域；二、画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错； 三、一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界处取得. 26．【2018年高考北京卷文数】若x ,y 满足12x y x +≤≤，则2y−x 的最小值是_________.【答案】3作出可行域，如图，则直线2z y x =-过点A (1,2)时，z 取最小值3.【名师点睛】线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一、准确无误地作出可行域；二、画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错； 三、一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得. 解本题时，先作出可行域，再根据目标函数与可行域关系，确定最小值取法.27．【2018年高考全国I 卷文数】若x ，y 满足约束条件220100x y x y y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩，则32z x y =+的最大值为_____________． 【答案】6根据题中所给的约束条件220100x y x y y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩，画出其对应的可行域，如图所示：由32z x y =+可得3122y x z =-+，画出直线32y x =-，将其上下移动，结合2z的几何意义，可知当直线过点B 时，z 取得最大值，由2200x y y --=⎧⎨=⎩，解得()2,0B ，此时max 3206z =⨯+=，故答案为6.【名师点睛】该题考查的是有关线性规划的问题，在求解的过程中，首先需要正确画出约束条件对应的可行域，之后根据目标函数的形式，判断z 的几何意义，之后画出一条直线，上下平移，判断哪个点是最优解，从而联立方程组，求得最优解的坐标，代入求值，要明确目标函数的形式大体上有三种：斜率型、截距型、距离型，根据不同的形式，应用相应的方法求解.28．【2018年高考全国III 卷文数】（2018新课标Ⅲ文科）若变量x y ，满足约束条件23024020.x y x y x ++≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩，，则13z x y =+的最大值是________． 【答案】3作出约束条件23024020x y x y x ++≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩，，表示的可行域如下图所示.由图可知目标函数在直线240x y -+=与2x =的交点（2，3）处取得最大值3. 故答案为3.【名师点睛】(1)确定二元一次不等式(组)表示的平面区域的方法是：“直线定界,特殊点定域”,即先作直线,再取特殊点，并代入不等式(组)．若满足不等式(组),则不等式(组)表示的平面区域为直线与特殊点同侧的那部分区域；否则就对应与特殊点异侧的平面区域.当不等式中带等号时,边界为实线；不带等号时,边界应画为虚线,特殊点常取原点.(2)利用线性规划求目标函数最值的步骤：①画出约束条件对应的可行域；②将目标函数视为动直线,并将其平移经过可行域,找到最优解；③将最优解代入目标函数,求出最大值或最小值．29．【2018年高考全国II 卷文数】若,x y 满足约束条件25023050x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩，，， 则z x y =+的最大值为__________． 【答案】9不等式组25023050x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩，，表示的可行域是以()()()5,4,1,2,5,0A B C 为顶点的三角形区域，如下图所示，目标函数z x y =+的最大值必在顶点处取得，易知当5,4x y ==时，max 9z =.【名师点睛】该题考查的是有关线性规划的问题，在求解的过程中，首先需要正确画出约束条件对应的可行域，之后根据目标函数的形式，判断z 的几何意义，之后画出一条直线，上下平移，判断哪个点是最优解，从而联立方程组，求得最优解的坐标，代入求值，要明确目标函数的形式大体上有三种：斜率型、截距型、距离型，根据不同的形式，应用相应的方法求解.30．【2018年高考天津卷文数】（2018天津文科）已知,a b ∈R ，且360a b -+=，则128ab+的最小值为 . 【答案】14由a −3b +6=0可知a −3b =−6，且2a +18b =2a +2−3b ，因为对于任意x ，2x >0恒成立，结合基本不等式的结论可得：2a +2−3b ≥2×√2a ×2−3b =2×√2−6=14.当且仅当{2a =2−3ba −3b =6，即{a =3b =−1 时等号成立. 综上可得2a +18b 的最小值为14.【名师点睛】利用基本不等式求最值时，要灵活运用以下两个公式： ①22,,2a b a b ab ∈+≥R ，当且仅当a b =时取等号；②,a b +∈R ，a b +≥，当且仅当a b =时取等号．解题时要注意公式的适用条件、等号成立的条件，同时求最值时注意“1的妙用”．31．【2018年高考江苏卷】在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，120ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，则4a c +的最小值为___________． 【答案】9由题意可知，S △ABC =S △ABD +S △BCD ,由角平分线性质和三角形面积公式得12acsin120°=12a ×1×sin60°+12c ×1×sin60°，化简得ac =a +c,1a+1c=1，因此4a +c =(4a +c )(1a +1c )=5+c a +4a c≥5+2√c a ⋅4a c=9,当且仅当c =2a =3时取等号，则4a +c 的最小值为9.【名师点睛】线性规划问题是高考中常考考点，主要以选择或填空的形式出现，基本题型为给出约束条件求目标函数的最值，主要结合方式有：截距型、斜率型、距离型等. 32．【2017年高考上海卷】不等式11x x->的解集为________ 【答案】(),0-∞ 由题意，不等式11x x ->，得111100x x x->⇒<⇒<， 所以不等式的解集为(),0-∞.【名师点睛】本题考查解不等式，能正确化简不等式是解决该题的关键.33．【2017年高考北京卷文数】能够说明“设a ，b ，c 是任意实数．若a ＞b ＞c ，则a +b ＞c ”是假命题的一组整数a ，b ，c 的值依次为___________. 【答案】−1，−2，−3（答案不唯一）()123,1233->->--+-=->-，矛盾，所以−1，−2，−3可验证该命题是假命题.【名师点睛】对于判断不等式恒成立问题，一般采用举反例排除法．解答本题时利用赋值的方式举反例进行验证，答案不唯一．34．【2017年高考北京卷文数】某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：（ⅰ）男学生人数多于女学生人数；（ⅱ）女学生人数多于教师人数； （ⅲ）教师人数的两倍多于男学生人数．①若教师人数为4，则女学生人数的最大值为_________． ②该小组人数的最小值为_________． 【答案】6 12设男生人数、女生人数、教师人数分别为a b c 、、， 则*2,,,c a b c a b c >>>∈N . ①max 846a b b >>>⇒=，②min 3,635,412.c a b a b a b c =>>>⇒==⇒++=【名师点睛】本题主要考查了命题的逻辑分析、简单的合情推理, 题目设计巧妙，解题时要抓住关键,逐步推断,本题主要考查考生分析问题、解决问题的能力，同时注意不等式关系以及正整数这个条件.35．【2017年高考天津卷文数】若,a b ∈R ，0ab >，则4441a b ab++的最小值为___________．【答案】444224141144a b a b ab ab ab ab +++≥=+≥=，（前一个等号成立的条件是222a b =，后一个等号成立的条件是12ab =，两个等号可以同时成立，当且仅当22,24a b ==时取等号）． 【名师点睛】利用均值不等式求最值时要灵活运用以下两个公式：①22,,2a b a b ab ∈+≥R ，当且仅当a b =时取等号；②,a b +∈R ，a b +≥，当且仅当a b =时取等号．解题时要注意公式的适用条件、等号成立的条件，同时求最值时注意“1的妙用”． 36．【2017年高考山东卷文数】若直线1(00)x ya b a b+=＞，＞过点(1,2),则2a +b 的最小值为___________． 【答案】8 由直线1(00)x ya b a b+=＞，＞ 过点(1,2)可得121a b +=,所以1242(2)()448b a a b a b aba b +=++=++≥+=.当且仅当4b a a b=，即4,2b a ==时等号成立.【名师点睛】应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”．所谓“一正”是指正数,“二定”是指应用基本不等式求最值时,和或积为定值,“三相等”是指满足等号成立的条件．在利用基本不等式求最值时,要根据式子的特征灵活变形,配凑出积、和为常数的形式,然后再利用基本不等式． 37．【2017年高考江苏卷】某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是___________． 【答案】30总费用为600900464()4240x x x x +⨯=+≥⨯=，当且仅当900x x=，即30x =时等号成立． 【名师点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误．38．【2017年高考天津卷文数】电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告．已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟，广告的总播放时间不少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍．分别用x ，y 表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数．（Ⅲ）用x ，y 列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域； （Ⅱ）问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使收视人次最多？ 【答案】（I ）见解+析；（II ）见解+析.（Ⅰ）由已知，,x y 满足的数学关系式为706060055302x y x y x y x y +≤⎧⎪+≥⎪⎪≤⎨⎪∈⎪∈⎪⎩N N ，即7660620x y x y x y x y +≤⎧⎪+≥⎪⎪-≤⎨⎪∈⎪∈⎪⎩N N．该二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中阴影部分内的整点（包括边界）：。

2017年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）已知集合A={x|x＜2}，B={x|3﹣2x＞0}，则（ ）A．A∩B={x|x＜}B．A∩B=∅C．A∪B={x|x＜}D．A∪B=R2．（5分）为评估一种农作物的种植效果，选了n块地作试验田．这n块地的亩产量（单位：kg）分别是x1，x2，…，x n，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是（ ）A．x1，x2，…，x n的平均数B．x1，x2，…，x n的标准差C．x1，x2，…，x n的最大值D．x1，x2，…，x n的中位数3．（5分）下列各式的运算结果为纯虚数的是（ ）A．i（1+i）2B．i2（1﹣i）C．（1+i）2D．i（1+i）4．（5分）如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ）A．B．C．D．5．（5分）已知F是双曲线C：x2﹣=1的右焦点，P是C上一点，且PF与x 轴垂直，点A的坐标是（1，3），则△APF的面积为（ ）A．B．C．D．6．（5分）如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是（ ）A．B．C．D．7．（5分）设x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值为（ ）A．0B．1C．2D．38．（5分）函数y=的部分图象大致为（ ）A．B．C．D．9．（5分）已知函数f（x）=lnx+ln（2﹣x），则（ ）A．f（x）在（0，2）单调递增B．f（x）在（0，2）单调递减C．y=f（x）的图象关于直线x=1对称D．y=f（x）的图象关于点（1，0）对称10．（5分）如图程序框图是为了求出满足3n﹣2n＞1000的最小偶数n，那么在和两个空白框中，可以分别填入（ ）A．A＞1000和n=n+1B．A＞1000和n=n+2C．A≤1000和n=n+1D．A≤1000和n=n+211．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinB+sinA（sinC﹣cosC）=0，a=2，c=，则C=（ ）A．B．C．D．12．（5分）设A，B是椭圆C：+=1长轴的两个端点，若C上存在点M满足∠AMB=120°，则m的取值范围是（ ）A．（0，1]∪[9，+∞）B．（0，]∪[9，+∞）C．（0，1]∪[4，+∞）D．（0，]∪[4，+∞）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2017年高考数学《不等式》真题汇编1.（全国卷Ⅰ）设z y x 、、均为正数，且235x y z==，则（D ）A ．235x y z <<B ．523z x y <<C ．352y z x <<D ．325y x z << 2（全国卷Ⅰ）已知函数2()4,()|1||1|f x x ax g x x x =-++=++-（1）当1a =时，求不等式f （x ）≥g （x ）的解集；（2）若不等式f （x ）≥g （x ）的解集包含[–1，1]，求a 的取值范围.解：（1）当时，不等式()()f x g x ≥等价于2|1||1|40x x x x -+++--≤ ①当1x <-时，①式化为2340x x --≤，无解；当11x -≤≤时，①式化为220x x --≤，从而11x -≤≤； 当1x >时，①式化为240x x +-≤，从而11712x -+<≤ 所以()()f x g x ≥的解集为117{|1}2x x -+-≤≤（2）当[1,1]x ∈-时，()2g x = 所以()()f x g x ≥的解集包含[1,1]-，等价于当[1,1]x ∈-时()2f x ≥又()f x 在[1,1]-的最小值必为(1)f -与(1)f 之一，所以(1)2f -≥且(1)2f ≥，得11a -≤≤ 所以a 的取值范围为[1,1]-3.（全国卷Ⅱ）已知330,0,2a b a b >>+=，证明：（1）55()()4a b a b ++≥；（2）2a b +≤．解：（1）556556()()a b a b a ab a b b ++=+++3323344()2()a b a b ab a b =+-++ 2224()ab a b =+-4≥（2）因为33223()33a b a a b ab b +=+++23()ab a b =++1a =23()2()4a b a b +≤++33()24a b +=+ 所以3()8a b +≤，因此2a b +≤.4.（全国卷Ⅲ）已知函数()||||f x x x =+1--2．（1）求不等式()f x ≥1的解集；（2）若不等式()f x x x m 2≥-+的解集非空，求m 的取值范围．解：（1）3,1,()21,12,3,2x f x x x x -<-⎧⎪=--≤≤⎨⎪>⎩当1x <-时，()1f x ≥无解；当12x -≤≤时，由()1f x ≥得，211x -≥，解得12x ≤≤；当2x >时，由()1f x ≥解得2x >，所以()1f x ≥的解集为{|1}x x ≥（2）由2()f x x x m ≥-+得2|1||2|m x x x x ≤+---+，而22|1||2|||1||2||x x x x x x x x +---+≤++--+235(||)24x =--+54≤ 且当32x =时，25|1||2|4x x x x +---+=，故m 的取值范围为5(,]4-∞5.（山东卷（理））若0a b >>，且1ab =，则下列不等式成立的是（B ）（A ）()21log 2a b a a b b +<<+（B ）()21log 2a b a b a b<+<+ （C ）()21log 2a b a a b b +<+<（D ）()21log 2a b a b a b +<+< 6.（山东卷（文））若直线1(00)x y a b a b +=＞，＞ 过点（1,2），则2a b +的最小值为8 7.（天津卷（理））已知奇函数()f x 在R 上是增函数，()()g x xf x =.若2(log 5.1)a g =-，0.8(2)b g =， (3)c g =，则a ，b ，c 的大小关系为（C ）（A ）a b c <<（B ）c b a <<（C ）b a c << （D ）b c a <<8.（天津卷（理））若,a b ∈R ，0ab >，则4441a b ab++的最小值为___________4 9.（江苏卷）已知,,,a b c d 为实数，且22224,16a b c d +=+=，证明：8ac bd +≤. 证明：由柯西不等式可得：22222()()()ac bd a b c d +≤++，因为22224,16a b c d +=+=所以2()64ac bd +≤，因此8ac bd +≤10.（浙江卷）已知数列{x n }满足：1111,ln(1)(*)n n n x x x x n N ++==++∈证明：当n ∈N*时，（Ⅰ）10n n x x +<<； （Ⅱ）1122n n n n x x x x ++-≤； （Ⅲ）121122n n n x ++≤≤ 证明：（Ⅰ）用数学归纳法证明：0n x >当1n =时，110x =>假设n k =时，0k x >，那么1n k =+时，若10k x +≤，则110ln(1)0k k k x x x ++<=++≤，矛盾，故10k x +>因此*0()n x n N >∈，所以111ln(1)n n n n x x x x +++=++> 因此*10()n n x x n N +<<∈（Ⅱ）由11ln(1)n n n x x x ++=++得，2111111422(2)ln(1)n n n n n n n n x x x x x x x x ++++++-+=-+++ 记函数2()2(2)ln(1)(0)f x x x x x x =-+++≥22()ln(1)0(0)1x x f x x x x +'=++>>+， 函数()f x 在[0,)+∞上单调递增，所以()(0)0f x f ≥=，因此2111112(2)ln(1)()0n n n n n x x x x f x +++++-+++=≥， 故*112()2n n n n x x x x n N ++-≤∈ （Ⅲ）因为11111ln(1)2n n n n n n x x x x x x +++++=++≤+=， 所以112n n x -≥，由1122n n n n x x x x ++≥-得 111112()022n n x x +-≥->， 所以12111111112()...2()2222n n n n x x x ----≥-≥≥-=， 故212n n x -≤ 综上，*1211()22n n n x n N --≤≤∈。

2017年高考试题分类汇编（不等式）考点1 解不等式或不等式的证明 考法1 解不等式1.（2017·全国卷Ⅰ·文科）已知集合{}2A x x =<，{}320B x x =->，则A ．32AB x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭ B.A B =∅C ．32A B x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭ D.A B R =2.（2017·全国卷Ⅰ·理科）已知集合{}1A x x =<,{}31x B x =<,则 A.{|0}A B x x =< B.A B R = C.{|1}A B x x => D.A B =∅ 3.（2017·全国卷Ⅰ·理科）函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数．若(11)f =-，则满足21()1x f --≤≤的x 的取值范围是A ．[2,2]-B ．[1,1]-C ．[0,4]D ．[1,3] 4.（2017·天津卷·文科）设x ∈R ，则“20x -≥”是“|1|1x -≤”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 考法2不等式的证明1.（2017·全国卷Ⅰ·理科）设,,x y z 为正数，且235x y z ==，则 A ．235x y z << B ．523z x y << C ．352y z x << D ．325y x z <<2.（2017·天津卷·理科）已知奇函数()f x 在R 上是增函数，()()g x xf x =.若2(log 5.1)a g =-，0.8(2)b g =，(3)c g =，则,,a b c 的大小关系为A.a b c <<B.c b a <<C.b a c <<D.b c a << 3.（2017·北京卷·文科）能够说明“设,,a b c 是任意实数．若a b c >>，则a b c +>”是假命题的一组整数,,a b c 的值依次为_____________．4.（2017·山东卷·理科）已知命题p :任意0x >，ln(1)0x +>；命题q :若a b >,则22a b >.下列命题为真命题的是A ．p q ∧B ．p q ∧⌝C ．p q ⌝∧D ．p q ⌝∧⌝5．（2017·山东卷·理科）若0a b >>，且1ab =，则下列不等式成立的是A ．21log ()2a b a a b b +<<+B ．21log ()2a b a b a b <+<+C ．21log ()2a b a a b b +<+<D ．21log ()2a ba b a b +<+<6.（2017·山东卷·文科）已知命题p ：存在x R ∈:210x x -+≥；命题q ：若22a b <,则a b <.下列命题为真命题的是A.p q ∧B.C.p q ⌝∧D.p q ⌝∧⌝ 考点2 简单线性规划1.（2017·全国卷Ⅰ·理科）设,x y 满足约束条件21210x y x y x y +≤⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩，则32z x y =-的最小值为 .2.（2017·全国卷Ⅲ·理科）若x ，y 满足约束条件y 0200x x y y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则z 34x y=-的最小值为____．3.（2017·全国卷Ⅲ·文科）设,x y 满足约束条件326000x y x y +-≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩，则z x y =-的取值范围是A.[]3,0-B.[]3,2-C.[]0,2D.[]0,34.（2017·北京卷·文理科）若,x y 满足32x x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩,则2x y +的最大值为 A.1 B.3 C.5 D.95.（2017·全国卷Ⅱ·文理科）设x ，y 满足约束条件2330233030x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的最小值是A ．15-B ．9-C ．1D ．96.（2017·天津卷·理科）设变量,x y 满足约束条件2022003x y x y x y +≥⎧⎪+-≥⎪⎨≤⎪⎪≤⎩,则目标函数z x y =+的最大值为A.23B.1C.32D.3 7.（2017·山东卷·理科）已知,x y 满足约束条件3035030x y x y x -+≤⎧⎪++≤⎨⎪+≥⎩,则2z x y =+的最大值是A ．0B ．2C ．5D ．68.（2017·山东卷·文科）已知,x y 满足约束条件250302x y x y -+≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩,则2z x y =+的最大值是A.3-B.1-C.1D.39.（2017·浙江卷）若,x y 满足约束条件03020x x y x y ≥⎧⎪+->⎨⎪-≤⎩,则2z x y =+的取值范围是A.[]0,6B.[]0,4C.[)6,+∞D.[)4,+∞10.（2017·全国卷Ⅰ·文科）设,x y 满足约束条件3310x y x y y +≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩，则z x y =+的最大值为A ．0B ．1C ．2D ．3 考点3 不等式选讲1.（2017·全国卷Ⅰ·文理科）已知函数2()4f x x ax =-++，()11g x x x =++-. （Ⅰ）当1a =时，求不等式()()f x g x ≥的解集；（Ⅱ）若不等式()()f x g x ≥的解集包含[]1,1-，求a 的取值范围.2.（2017·全国卷Ⅱ·文理科）已知0a >，0b >，332a b +=，证明： （Ⅰ）55()()4a b a b ++≥； （Ⅱ）2a b +≤．3.（2017·全国卷Ⅲ·文理科）已知函数()12f x x x =+--． （Ⅰ）求不等式()1f x ≥的解集；（Ⅱ）若不等式2()f x x x m ≥-+的解集非空，求m 的取值范围．。

1.【2017课标1，文7】设x ，y 满足约束条件33,1,0,x y x y y +≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩则z =x +y 的最大值为A ．0B ．1C ．2D ．32.【2017课标II ，文7】设,x y 满足约束条件2+330233030x y x y y -≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩,则2z x y =+的最小值是A.15-B.9-C.1 D 93.【2017课标3，文5】设x ，y 满足约束条件326000x y x y +-≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩，则z x y =-的取值范围是（ ）A ．[–3,0]B ．[–3,2]C ．[0,2]D ．[0,3]4.【2017北京，文4】若,x y 满足3,2,,x x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩则2x y +的最大值为（A ）1（B ）3 （C ）5 （D ）95.【2017山东，文3】已知x ,y 满足约束条件250302x y x y -+≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩,则z =x +2y 的最大值是A.-3B.-1C.1D.36.【2017浙江，4】若x ，y 满足约束条件03020x x y x y ≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则y x z 2+=的取值范围是A ．[0，6]B ．[0，4]C ．[6，)∞+D ．[4，)∞+7.【2017浙江，6】已知等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则“d >0”是“S 4 + S 6>2S 5”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8.【2017江苏，10】某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元,要使一年的总运费与总存储之和最小,则x 的值是 ▲ .9.【2017江苏，9】等比数列{}n a 的各项均为实数,其前n 项的和为n S ,已知3676344S S ==,,则8a = ▲ . 10.【2017天津，文13】若a ，b ∈R ，0ab >，则4441a b ab++的最小值为 . 11.【2017山东，文】若直线1(00)x y a b a b+=＞，＞ 过点（1,2）,则2a +b 的最小值为 . 12.【2017课标1，文17】记S n 为等比数列{}n a 的前n 项和，已知S 2=2，S 3=-6．（1）求{}n a 的通项公式；（2）求S n ，并判断S n +1，S n ，S n +2是否成等差数列．13.【2017课标II ，文17】已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的前n 项和为n T ，11221,1,2a b a b =-=+=(1)若335a b += ，求{}n b 的通项公式；（2）若321T =，求3S .14.【2017课标3，文17】设数列{}n a 满足123(21)2n a a n a n +++-= .（1）求{}n a 的通项公式；（2）求数列21n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和. 15.【2017山东，文19】（本小题满分12分）已知{a n }是各项均为正数的等比数列,且121236,a a a a a +==. (I)求数列{a n }通项公式；(II){b n }为各项非零的等差数列,其前n 项和S n ,已知211n n n S b b ++=,求数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T . 16.【2017天津，文16】电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告.已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟，广告的总播放时间不少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍.分别用x ，学&科网y 表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数.（I ）用x ，y 列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；（II ）问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使收视人次最多？17.【2017天津，文18】已知{}n a 为等差数列，前n 项和为*()n S n ∈N ，{}n b 是首项为2的等比数列，且公比大于0，2334111412,2,11b b b a a S b +==-=.（Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式； （Ⅱ）求数列2{}n n a b 的前n 项和*()n ∈N .18.【2017北京，文15】已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足a 1=b 1=1,a 2+a 4=10,b 2b 4=a 5．（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求和：13521n b b b b -++++ ．19.【2017江苏，19】 对于给定的正整数k ,若数列{}n a 满足1111n k n k n n n k n k a a a a a a --+-++-++++++++ 2n ka =对任意正整数()n n k >总成立，则称数列{}n a 是“()P k 数列”.（1）证明：等差数列{}n a 是“(3)P 数列”;（2）若数列{}n a 既是“(2)P 数列”，又是“(3)P 数列”，证明：{}n a 是等差数列.。

新课标全国卷I文科数学汇编不等式选讲」、解答题【2017, 23】已知函数f x X2ax 4，g x |x 1 x 1 .(1 )当a 1时，求不等式f x g x的解集；(2)若不等式f x g x的解集包含1,1，求a的取值范围.【2016, 23】已知函数f(x) x 1 2x 3 .(I)在答题卡第(24)题图中画出y f (x)的图像;(n)求不等式f(x) 1的解集.(i)当a 1时求不等式f x 1的解集;(II)若f x的图像与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围【2015, 24】已知函数x x 1 2 x a, a 0.【2014, 24)】若a 0,b 0,且丄丄job.a b(i )求a3b3的最小值；(n)是否存在a,b，使得2a 3b 6?并说明理由【2013，24】已知函数f(x)=|2x—1|+ |2x+ a|, g(x) = x+ 3.(1)当a=—2时，求不等式f(x)v g(x)的解集；a 1⑵设a>—1,且当x€ 二丄时，f(x)駕(x)，求a的取值范围.2 2(n)若不等式f(x) 0的解集为x|x 1 ，求a的值。

【2012, 24】已知函数f(x) |x a |【2011, 24】设函数f (x) x a 3x ,其中a 0。

(i)当a 1时，求不等式f(x) 3x 2的解集；|x 2|。

(1)当 a 3时，求不等式f(x)3的解集；(2 )若f(x) |x 4|的解集包含[1 , 2],求a 的取值范围。

、解答题【2017, 23】已知函数f x x2ax 4,(1)当a 1时，求不等式f x的解集;【解析】( 若不等式f X g x的解集包含1 )当a 1 时，f x上单调递增,1, 1 时，g x,1 时，gx2 x 42x, x 12 , 1 w x w 1，当2x, x 11,1 ,求a的取值范围.是开口向下，对称轴x (1,)时，令x2x -的二次函数.2上单调递减，•••此时fX单调递减，f X综上所述，f X > g x解集(2)依题意得：x2 ax 4 > 2 在1, 12 /1 a 12 w 0 则只须 21 a ，解出:1 2 w 0单调递增，且g 1恒成立.即x ax4 2x，解得x号'，gx在解集为1,旦21, 1恒成立.1 w a w 1.故a取值范围是1, 1【2016, 23】已知函数f(x) x 1 2x 3 .(I)在答题卡第(24)题图中画出y f (x)的图像;(n)求不等式f(x) 1的解集.【解析】：⑴如图所示:(n)若不等式f(x) 0的解集为x|x 1 ，求a的值。

一、填空题1. 【2016高考冲刺卷（9）【江苏卷】】若log 21a b =-，则a b +的最小值为 【答案】2 【解析】由条件得0,0,21>>=-b a b a且1≠a ，从而2211≥+=+-a a b a ，故当22==b a 时，a b +的最小值为2。

2. 【2016高考冲刺卷（9）【江苏卷】】已知定义在R 上的奇函数()f x 满足：当0x ≥时，()sin f x x x =-，若不等式2(4)(2)f t f mt m ->+对任意实数t 恒成立，则实数m 的取值范围是3. 【2016高考冲刺卷（7）【江苏卷】】设正实数,,x y z 满足2240x xy y z -+-=．则当zxy取得最小值时，4x y z +-的最大值为_____ 【答案】32【解析】由已知224z x xy y =-+，所以224441213z x xy y x y x yxy xy y x y x--==+-≥=g ，当且仅当4x y y x =，即2x y =时等号成立，则222242442466x y z y y y y y y y +-=+-+-=-+=213622y ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭，当12y =时，()max 342x y z +-=．4. 【2016年第三次全国大联考【江苏卷】】若对于任意实数v u ,，不等式)0()()25(2222>≥-+-+t t v u v u 恒成立，则t的最小值为 .5. 【2016高考冲刺卷（6）【江苏卷】】已知1>>b a 且7log 3log 2=+a b b a ，则112-+b a 的最小值为 。

【答案】3【解析】因1>>b a ，故1log 0<<b a ，由已知等式得21log =b a ，从而a b =， 代入得3111111112≥+-+-=-+=-+a a a ab a .6. 【2016高考冲刺卷（5）【江苏卷】】若正实数,x y 满足()()()221522xy y y -=+-，则12x y+的最大值为 ▲ 【答案】3212- 【解析】()22221(5y 2)(922y 2)xy y y （）-=+-=-+，22292221y y xy （）（），∴=++-222()()()1222219222x y yx y y-++∴=++-≥，2111132221822322322122x x x x y y y y ∴++≤∴++≤⇒+≤⇒+≤-（），，即12x y +的最大值为3212- 7. 【2016高考冲刺卷（3）【江苏卷】】已知14ab =，,(0,1)a b ∈，则1211ab+--的最小值为▲ ．【答案】4243+ 【解析】1212441114444122[(44)(41)]2()2()1414134abaaa a a a a a++-------+-==++=++⋅-- 4(41)4(41)444412(44)12(44)=22+()42341341a a a a a a a a ------++≥+⨯⋅=--424+，当且仅当4(41)442(44)41a aa a ---=-时取等号8. 【2016高考冲刺卷（1）【江苏卷】】若实数,x y 满足0x y >>，且22log log 1x y +=，则22x y x y+-的最小值为 .9. 【2016高考押题卷（2）【江苏卷】】某工厂用A ，B 两种配件分别生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A 配件、耗时1小时，每生产一件乙产品使用4个B 配件、耗时2小时，该厂每天最多可从配件厂获得16个A 配件和12个B 配件，每天生产甲、乙两种产品总耗时不超过8小时．若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获利3万元，那么该工厂每天可获取的最大利润为________万元． 【答案】14【解析】由题意，设生产x 件甲产品，y 件乙产品，利润为z ，则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈≤≤≤+*,12416482Ny x y x y x ,目标函数为z ＝2x ＋3y,作出不等式组表示的平面区域，可知直线z ＝2x ＋3y 经过可行域内的点(4，2)时，z 取得最大值14，故该厂的日利润最大为14万元．10. 【南京市2016届高三年级第三次模拟考试】若实数x ，y 满足2x 2＋xy －y 2＝1，则222522x yx xy y --+的最大值为 ▲ ．【答案】2 【解析】试题分析：由题意得(2)()1x y x y -+=，令12,x y t x y t -=+=，则1112(t ),y (t ),33x t t =+=-+因此22222212||2=15222222||t x y m m t x xy y m m m t t--==≤≤-++++，其中1=m t t -，当且仅当||=2m 时取等号，故222522x y x xy y --+的最大值为2411. 【2016高考冲刺卷（2）【江苏卷】】已知14ab =，,(0,1)a b ∈，则1211ab+--的最小值为▲ ．12. 【2016高考押题卷（3）【江苏卷】】已知斜边长为5的直角三角形中，若两条直角边的长分别为y x ,，则y x +的取值范围是 ． 【答案】]10,5(．【解析】由题意可知225x y +=，由基本不等式可得：222()22x y x y ++≥， 即222()10x y x y +≤+=，注意到5x y +>y x +的取值范围是]10,5(．13. 【2016高考押题卷（1）【江苏卷】】若实数,x y 满足约束条件22,1,1,x y x y x y -⎧⎪--⎨⎪+⎩≤≥≥则目标函数2z x y =+的最小值为_______.【答案】1【解析】可行域为ABC ∆及其内部，其中(3,4),(1,0),(0,1),A B C 直线2z x y =+过点(0,1)C 时取最小值1.14. 【 2016年第二次全国大联考（江苏卷）】已知正数,a b 满足221ab b b +=+，则5a b +的最小值为_______.15. 【2016高考押题卷（1）【江苏卷】】已知实数,,a b c 满足222a b c +=，0c ≠，则2ba c-的取值范围为_______. 【答案】33[ 【解析】由题意可设：cos ,sin a c b c θθ==则sin sin =2cos 2cos 2b c ya c c c θθθθ==---，因此2cos sin y y θθ=+，233|2|1,33y y y ≤+-≤≤16. 【2016年第一次全国大联考【江苏卷】】已知存在实数a ，使得关于x 的不等式4x x a -恒成立，则a 的最大值为_______.【答案】2-【解析】4x x a -≥恒成立等价于min (4a x x ≤-，因为4y x x =-[0,4]上单调递增，所以min 2y =-，因此2,a ≤-即a 的最大值为2-.17. 【2016年第一次全国大联考【江苏卷】】已知函数293()6,3x f x x x x ≥⎧=⎨-+<⎩，，则不等式)43()2(2-<-x f x x f 的解集是_______.【答案】(1,3)【解析】因为当3x <时，()f x 单调递增，且()9f x <；因此不等式)43()2(2-<-x f x x f 等价于2234x x x -<-且223x x -<，解得14x <<且13x -<<，即所求不等式解集为(1,3)18. 【2016年第一次全国大联考【江苏卷】】设不等式组204020x y x y y ，，ì-+?ïïï+-?íïï-?ïïî表示的平面区域为D ，若指数函数(0,1)x y a a a =>≠的图象上存在区域D 上的点，则a 的取值范围是_______.19. 【2016年第四次全国大联考【江苏卷】】已知正数,,a b c 满足42250a b c -+=，则lg lg 2lg a c b +-的最大值为_______.【答案】2-【解析】因为2224lg lg 2lg lglg 2(425)(2425)ac ac a c b b a c a c +-==≤=-+⋅，当且仅当425a c b ==时取等号，所以lg lg 2lg a c b +-的最大值为 2.-20. 【2016年第三次全国大联考【江苏卷】】过平面区域⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥++≤+-020202y y x y x 内一点P 作圆O :122=+y x 的两条切线，切点分别记为A 、B,当APB ∠的度数为最小时，点P 坐标是 . 【答案】（-4，2） 【解析】因为1sin2APB PO∠=,所以当PO 最大时，APB ∠的度数为最小，因已知的平面区域是由顶点()2,0,0,2-（）和42-(，）的三角形及其内部区域，故当点P 为42-(，）时，PO 有最大值52，所以P 点坐标为（-4，2）.21. 【2016年第三次全国大联考【江苏卷】】已知函数1234)(22--+-=a a ax x x f ，若关于x 的不等式(())0f f x <的解集为空集，则实数a 的取值范围为 ．二、解答题1. 【2016高考冲刺卷（8）【江苏卷】】 (本小题满分16分) 如图，某水域的两直线型岸边l1，l2成定角120o，在该水域中位于该角角平分线上且与顶点A相距1公里的D处有一固定桩．现某渔民准备经过该固定桩安装一直线型隔离网BC（B，C分别在l1和l2上），围出三角形ABC养殖区，且AB和AC都不超过5公里．设AB＝x公里，AC＝y公里．（1）将y表示成x的函数，并求其定义域；（2）该渔民至少可以围出多少平方公里的养殖区？2. 【2016高考冲刺卷（1）【江苏卷】】（本小题满分14分）已知美国苹果公司生产某款iPhone 手机的年固定成本为40万美元，每生产1万只还需另投入16万美元．设苹果公司一年内共生产该款iPhone 手机x 万只并全部销售完，每万只的销售收入为R(x)万美元，且R(x)＝24006,040,740040000,40.x x x xx -<≤⎧⎪⎨->⎪⎩(Ⅰ)写出年利润W(万美元)关于年产量x(万只)的函数解析式；(Ⅱ)当年产量为多少万只时，苹果公司在该款iPhone 手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润．3. 【2016高考冲刺卷（3）【江苏卷】】（本小题满分14分）我校为进行“阳光运动一小时”活动，计划在一块直角三角形ABC 的空地上修建一个占地面积为S （平方米）的矩形AMPN 健身场地．如图，点M 在AC 上，点N 在AB 上，且P 点在斜边BC 上．已知ο60=∠ACB ，30||=AC 米，=AM x 米，]20,10[∈x ．设矩形AMPN 健身场地每平方米的造价为Sk37元，再把矩形AMPN 以外（阴影部分）铺上草坪，每平方米的造价为Sk12元（k 为正常数）．CM A BN P（1）试用x 表示S ，并求S 的取值范围；（2）求总造价T 关于面积S 的函数)(S f T ；（3）如何选取||AM ，使总造价T 最低（不要求求出最低造价）．（3）36123216≥+S S Θ， 当且仅当S S 3216=即3216=S 时等号成立， 此时3216)30(3=-x x ，解得12=x 或18=x ，…………14分答：选取||AM 的长为12米或18米时总造价T 最低．4. 【2016高考冲刺卷（6）【江苏卷】】如图，某地要在矩形区域OABC 内建造三角形池塘OEF ，E ，F 分别在AB ，BC 边上，OA=5米，OC=4米，∠EOF=4π，设CF=x ，AE=y ． （1）试用解析式将y 表示成x 的函数；（2）求三角形池塘OEF 面积S 的最小值及此时x 的值．5. 【2016高考冲刺卷（7）【江苏卷】】如图，OA 是南北方向的一条公路，OB 是北偏东045方向的一条公路，某风景区的一段边界为曲线C ．为方便游客光，拟过曲线C 上的某点分别修建与公路OA ,OB 垂直的两条道路PN PM ,，且PN PM ,的造价分别为5万元/百米，40万元/百米，建立如图所示的直角坐标系xoy ，则曲线符合函数)91(242≤≤+=x x x y 模型，设x PM =，修建两条道路PN PM ,的总造价为)(x f 万元，题中所涉及的长度单位均为百米．MN OPx yB A（1）求)(x f 解析式;（2）当x 为多少时，总造价)(x f 最低？并求出最低造价． 则两条道路总造价为()22432()540519≤≤f x x x x x x ⎛⎫=+⋅=+ ⎪⎝⎭．6. 【2016高考冲刺卷（9）【江苏卷】】某企业参加A 项目生产的工人为1000人，平均每人每年创造利润10万元.根据现实的需要，从A 项目中调出x 人参与B 项目的售后服务工作，每人每年可以创造利润⎪⎭⎫ ⎝⎛-500310x a 万元（0>a ），A 项目余下的工人每人每年创造利润需要提高%2.0x（1）若要保证A 项目余下的工人创造的年总利润不低于原来1000名工人创造的年总利润，则最多调出多少人参加B 项目从事售后服务工作？（2）在（1）的条件下，当从A 项目调出的人数不能超过总人数的%40时，才能使得A 项目中留岗工人创造的年总利润始终不低于调出的工人所创造的年总利润，求实数a 的取值范围.【答案】（1）500（2）1.50≤<a。

2017年全国卷高考数学复习专题——不等式选讲考点一不等式的性质和绝对值不等式1.(2014广东,9,5分)不等式|x-1|+|x+2|≥5的解集为. 答案{x|x≤-3或x≥2}2.(2014湖南,13,5分)若关于x的不等式|ax-2|<3的解集为x-53<x<13,则a= .答案-33.(2014重庆,16,5分)若不等式|2x-1|+|x+2|≥a2+12a+2对任意实数x恒成立,则实数a的取值范围是.答案-1,124.(2014课标Ⅰ,24,10分)选修4—5:不等式选讲若a>0,b>0,且1a +1b=ab.(1)求a3+b3的最小值;(2)是否存在a,b,使得2a+3b=6?并说明理由.解析(1)由ab=1a +1b≥ab,得ab≥2,且当a=b=2时等号成立.故a3+b3≥23b3≥42,且当a=b=2时等号成立. 所以a3+b3的最小值为4.(2)由(1)知,2a+3b≥2由于43>6,从而不存在a,b,使得2a+3b=6.5.(2014课标Ⅱ,24,10分)选修4—5:不等式选讲设函数f(x)= x+1a+|x-a|(a>0).(1)证明:f(x)≥2;(2)若f(3)<5,求a的取值范围.解析(1)证明:由a>0,得f(x)= x+1a +|x-a|≥ x+1a-(x-a)=1a+a≥2.所以f(x)≥2.(2)f(3)=3+1a+|3-a|.当a>3时,f(3)=a+1a ,由f(3)<5得3<a<5+212.当0<a≤3时,f(3)=6-a+1a ,由f(3)<5得1+52<a≤3.综上,a的取值范围是1+52,5+212.6.(2014福建,21(3),7分)选修4—5:不等式选讲已知定义在R 上的函数f(x)=|x+1|+|x-2|的最小值为a. (1)求a 的值;(2)若p,q,r 是正实数,且满足p+q+r=a,求证:p 2+q 2+r 2≥3. 解析 (1)因为|x+1|+|x-2|≥|(x+1)-(x-2)|=3, 当且仅当-1≤x≤2时,等号成立, 所以f(x)的最小值等于3,即a=3.(2)证明:由(1)知p+q+r=3,又因为p,q,r 是正实数, 所以(p 2+q 2+r 2)(12+12+12)≥(p×1+q×1+r×1)2 =(p+q+r)2=9, 即p 2+q 2+r 2≥3.7.(2014辽宁,24,10分)选修4—5:不等式选讲设函数f(x)=2|x-1|+x-1,g(x)=16x 2-8x+1,记f(x)≤1的解集为M,g(x)≤4的解集为N. (1)求M;(2)当x∈M∩N 时,证明:x 2f(x)+x[f(x)]2≤14. 解析 (1)f(x)=3x -3,x ∈[1,+∞),1-x ,x ∈(-∞,1).当x≥1时,由f(x)=3x-3≤1得x≤43,故1≤x≤43; 当x<1时,由f(x)=1-x≤1得x≥0,故0≤x<1. 所以f(x)≤1的解集为M= x |0≤x ≤43 . (2)证明:由g(x)=16x 2-8x+1≤4得16 x -14 2≤4,解得-14≤x≤34.因此N= x |-14≤x ≤34 ,故M∩N= x |0≤x ≤34 . 当x∈M∩N 时, f(x)=1-x,于是x 2f(x)+x·[f(x)]2 =xf(x)[x+f(x)]=x·f(x)=x(1-x)=14- x -12 2≤14.考点二 不等式的证明8.(2014江苏,21D,10分)选修4—5:不等式选讲 已知x>0,y>0,证明:(1+x+y 2)(1+x 2+y)≥9xy. 证明 因为x>0,y>0, 所以1+x+y 2≥3 xy 23>0, 1+x 2+y≥3 x 2y 3>0,故(1+x+y 2)(1+x 2+y)≥3 xy 23·3 x 2y 3=9xy.9.(2014天津,19,14分)已知q和n均为给定的大于1的自然数.设集合M={0,1,2,…,q-1},集合A={x|x=x1+x2q+…+xnq n-1,xi∈M,i=1,2,…,n}.(1)当q=2,n=3时,用列举法表示集合A;(2)设s,t∈A,s=a1+a2q+…+anq n-1,t=b1+b2q+…+bnq n-1,其中ai,bi∈M,i=1,2,…,n.证明:若an<bn,则s<t.解析(1)当q=2,n=3时,M={0,1},A={x|x=x1+x2·2+x3·22,xi∈M,i=1,2,3}.可得,A={0,1,2,3,4,5,6,7}.(2)证明:由s,t∈A,s=a1+a2q+…+anq n-1,t=b1+b2q+…+bnq n-1,ai,bi∈M,i=1,2,…,n及an<bn,可得s-t=(a1-b1)+(a2-b2)q+…+(an-1-bn-1)q n-2+(an-bn)q n-1≤(q-1)+(q-1)q+…+(q-1)q n-2-q n-1=(q-1)(1-q n-1)1-q-q n-1=-1<0. 所以s<t.。

数列与不等式1.【2017课标1，文7】设x ，y 满足约束条件33,1,0,x y x y y +≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩则z =x +y 的最大值为A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】D 【解析】【考点】简单线性规划【名师点睛】本题主要考查线性规划问题，首先由不等式组作出相应的可行域，作图时，可将不等式0≥++C By Ax 转化为b kx y +≤（或b kx y +≥），“≤”取下方，“≥”取上方，并明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围．2.【2017课标II ，文7】设,x y 满足约束条件2+330233030x y x y y -≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩,则2z x y =+的最小值是A.15-B.9-C.1 D 9 【答案】A绘制不等式组表示的可行域，结合目标函数的几何意义可得函数在点()6,3B --处取得最小值12315z =--=- .故选A.【考点】线性规划【名师点睛】点睛线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.3.【2017课标3，文5】设x ，y 满足约束条件326000x y x y +-≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩，则z x y =-的取值范围是（） A ．[–3,0]B ．[–3,2]C ．[0,2]D ．[0,3]【答案】B【考点】线性规划【名师点睛】点睛线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.4.【2017北京，文4】若,x y 满足3,2,,x x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩则2x y +的最大值为（A ）1 （B ）3 （C ）5（D ）9【答案】D 【解析】试题分析如图，画出可行域，【考点】线性规划【名师点睛】本题主要考查简单线性规划．解决此类问题的关键是正确画出不等式组表示的可行域，将目标函数赋予几何意义；求目标函数的最值的一般步骤为一画二移三求．其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义．常见的目标函数有（1）截距型形如z ax by =+.求这类目标函数的最值常将函数z ax by =+转化为直线的斜截式a zy x b b=-+，通过求直线的截距的最值间接求出z 的最值；（2）距离型形如()()22z x a y b =-+-；（3）斜率型形如y bz x a-=-，而本题属于截距形式. z b5.【2017山东，文3】已知x ,y 满足约束条件250302x y x y -+≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩,则z =x +2y 的最大值是A.-3B.-1C.1D.3 【答案】D 【解析】【考点】线性规划【名师点睛】(1)确定二元一次不等式(组)表示的平面区域的方法是“直线定界,特殊点定域”,即先作直线,再取特殊点并代入不等式组．若满足不等式组,则不等式(组)表示的平面区域为直线与特殊点同侧的那部分区域；否则就对应与特殊点异侧的平面区域；当不等式中带等号时,边界为实线,不带等号时,边界应画为虚线,特殊点常取原点.(2)利用线性规划求目标函数最值的步骤①画出约束条件对应的可行域；②将目标函数视为动直线,并将其平移经过可行域,找到最优解对应的点；③将最优解代入目标函数,求出最大值或最小值．6.【2017浙江，4】若x ，y 满足约束条件03020x x y x y ≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则y x z 2+=的取值范围是A ．[0，6]B ．[0，4]C ．[6，)∞+D ．[4，)∞+【答案】D 【解析】试题分析如图，可行域为一开放区域，所以直线过点(2,1)时取最小值4，无最大值，选D．【考点】简单线性规划【名师点睛】本题主要考查线性规划问题，首先由不等式组作出相应的可行域，作图时，可将不等式0≥++CByAx转化为bkxy+≤（或bkxy+≥），“≤”取下方，“≥”取上方，并明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围．7.【2017浙江，6】已知等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，则“d>0”是“S4 + S6>2S5”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【考点】等差数列、充分必要性【名师点睛】本题考查等差数列的前n项和公式，通过公式的套入与简单运算，可知4652S S S d+-=，结合充分必要性的判断，若qp⇒，则p是q的充分条件，若qp⇐，则p是q的必要条件，该题“0>d”⇔“02564>-+SSS”，故为充要条件．8.【2017江苏，10】某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元,要使一年的总运费与总存储之和最小,则x的值是▲.y【解析】总费用600900464()4240x x x x +⨯=+≥⨯=，当且仅当900x x=，即30x =时等号成立.【考点】基本不等式求最值【名师点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.9.【2017江苏，9】等比数列{}n a 的各项均为实数,其前n 项的和为n S ,已知3676344S S ==,,则8a = ▲ .【答案】32【解析】当1q =时，显然不符合题意；当1q ≠时，3161(1)714(1)6314a q q a q q ⎧-=⎪-⎪⎨-⎪=⎪-⎩，解得1142a q ⎧=⎪⎨⎪=⎩，则7812324a =⨯=. 【考点】等比数列通项【名师点睛】在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路,一是利用基本量,将多元问题简化为一元问题,虽有一定量的运算,但思路简洁,目标明确;二是利用等差、等比数列的性质,性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形. 在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法.10.【2017天津，文13】若a ，b ∈R ，0ab >，则4441a b ab++的最小值为 .【答案】4【考点】基本不等式求最值【名师点睛】本题使用了两次基本不等式，要注意两次使用的条件是不是能同时成立，基本不等式的常用形式包含()222,a b ab a b R +≥∈，),a b a b R++≥∈，22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，22222a b a b++⎛⎫≤⎪⎝⎭等，基本不等式可以证明不等式，也可以求最值，再求最值时，注意“一正，二定，三相等”的条件，是不是能取得，否则就不能用其求最值，若是使用2次，更要注意两次使用的条件是不是能同时成立. 11.【2017山东，文】若直线1(00)x ya b a b+=＞，＞过点（1,2）,则2a +b 的最小值为 . 【答案】8 【解析】【考点】基本不等式12.【2017课标1，文17】记S n 为等比数列{}n a 的前n 项和，已知S 2=2，S 3=-6． （1）求{}n a 的通项公式；（2）求S n ，并判断S n +1，S n ，S n +2是否成等差数列．【答案】（1）(2)n n a =-；（2）32)1(321+⋅-+=n n n S ，证明见解析． 【解析】试题分析（1）由等比数列通项公式解得2q =-，12a =-；（2）利用等差中项证明S n +1，S n ，S n +2成等差数列．试题解析（1）设{}n a 的公比为q ．由题设可得121(1)2(1)6a q a q q +=⎧⎨++=-⎩，解得2q =-，12a =-． 故{}n a 的通项公式为(2)n n a =-．（2）由（1）可得11(1)22()1331n n n n a q S q +-==--+-． 由于3212142222()2[()]2313313n n n n n n n n S S S +++++-+=--++=-=-， 故1n S +，n S ，2n S +成等差数列． 【考点】等比数列【名师点睛】等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用．但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形．在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法．13.【2017课标II ，文17】已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的前n 项和为n T ，11221,1,2a b a b =-=+= (1)若335a b +=，求{}n b 的通项公式； （2）若321T =，求3S .【解析】试题分析（1）根据等差数列及等比数列通项公式，表示条件，得关于公差与公比的方程组，解方程组得公比，代入等比数列通项公式即可，（2）由等比数列前三项的和求公比，分类讨论，求公差，再根据等差前三项求和.（2）由得.解得当时，由①得，则. 当时，由①得，则.【考点】等差、等比数列通项与求和【名师点睛】在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路,一是利用基本量,将多元问题简化为一元问题,虽有一定量的运算,但思路简洁,目标明确;二是利用等差、等比数列的性质,性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形. 在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法. 14.【2017课标3，文17】设数列{}n a 满足123(21)2n a a n a n +++-= . （1）求{}n a 的通项公式； （2）求数列21n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和.【答案】（1）122-=n a n ；（2）122+n n【解析】试题分析（1）先由题意得2≥n 时，)1(2)32(3121-=-+++-n a n a a n ，再作差得122-=n a n ，验证1=n 时也满足（2）由于121121)12)(12(212+--=+-=+n n n n n a n ，所以利用裂项相消法求和.（2）由（1）121121)12)(12(212+--=+-=+n n n n n a n ， ∴1221211)121121()5131()311(125321+=+-=+--++-+-=++++=n nn n n n a a a S n n .【考点】数列通项公式，裂项法求和【名师点睛】裂项相消法是指将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如1n n c a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭(其中{}n a 是各项均不为零的等差数列，c 为常数)的数列. 裂项相消法求和，常见的有相邻两项的裂项求和(如本例)，还有一类隔一项的裂项求和，如1(1)(3)n n ++或1(2)n n +. 15.【2017山东，文19】（本小题满分12分）已知{a n }是各项均为正数的等比数列,且121236,a a a a a +==.(I)求数列{a n }通项公式；(II){ b n }为各项非零的等差数列,其前n 项和S n ,已知211n n n S b b ++=,求数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .【答案】(I)2n n a =；(II) 2552n nn T +=- 【解析】试题分析(I)列出关于1,a d 的方程组,解方程组求基本量；(II)用错位相减法求和. 试题解析(I)设数列{}n a 的公比为q ，由题意知, 22111(1)6,a q a q a q +==. 又0n a >， 解得1,22a q ==， 所以2n n a =.12231......357212122222n n n n T c c c n n -=+++-+=+++++ , 又235113572121222222n n n n n T +-+=+++++ , 两式相减得2111311121222222n n n n T -++⎛⎫=++++- ⎪⎝⎭ 所以2552n nn T +=-. 【考点】等差数列的通项,错位相减法求和.【名师点睛】(1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项a 1和公差d ,然后由通项公式或前n 项和公式转化为方程(组)求解．等差数列的通项公式及前n 项和公式,共涉及五个量a 1,a n ,d ,n ,S n ,知其中三个就能求另外两个,体现了方程的思想．(2)用错位相减法求和时,应注意在写出“S n ”与“qS n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“S n －qS n ”的表达式；若等比数列的公比为参数,应分公比等于1和不等于1两种情况求解．16.【2017天津，文16】电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告.已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟，广告的总播放时间不少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍.分别用x ，y 表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数.（I ）用x ，y 列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域； （II ）问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使收视人次最多？【答案】(Ⅰ)见解析（Ⅱ）电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时才能使总收视人次最多. 【解析】试题解析（Ⅰ）解由已知，,x y 满足的数学关系式为7060600,5530,2,0,0,x y x y x y x y +≤⎧⎪+≥⎪⎪≤⎨⎪≥⎪≥⎪⎩即7660,6,20,0,0,x y x y x y x y +≤⎧⎪+≥⎪⎪-≤⎨⎪≥⎪≥⎪⎩该二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中的阴影部分（Ⅱ）解设总收视人次为z 万，则目标函数为6025z x y =+.【考点】1.不等式组表示的平面区域；2.线性规划的实际问题.【名师点睛】本题主要考查简单线性规划．解决此类问题的关键是正确画出不等式组表示的可行域，将目标函数赋予几何意义；求目标函数的最值的一般步骤为一画二移三求．其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义．常见的目标函数有（1）截距型形如z ax by =+.求这类目标函数的最值常将函数z ax by =+转化为直线的斜截式a z y x b b=-+，通过求直线的截距的最值间接求出z 的最值；（2）距离型形如()()22z x a y b =-+-；（3）斜率型形如y bz x a-=-，而本题属于截距形式，但要注意实际问题中的最优解是整数.17.【2017天津，文18】已知{}n a 为等差数列，前n 项和为*()n S n ∈N ，{}n b 是首项为2的等比数列，且公比大于0，2334111412,2,11b b b a a S b +==-=.（Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式； （Ⅱ）求数列2{}n n a b 的前n 项和*()n ∈N .【答案】（Ⅰ）32n a n =-.2n n b =.（Ⅱ）2(34)216n n T n +=-+. 【解析】试题分析（Ⅰ）设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，等比数列的公比为q ，建立方程求解；（Ⅱ）先求{}2n a 的通项，再求()2622nn n a b n =-⋅，再根据错位相减法求和.z b（Ⅱ）解设数列2{}n n a b 的前n 项和为n T ，由262n a n =-，有2342102162(62)2n n T n =⨯+⨯+⨯++-⨯ ，2341242102162(68)2(62)2n n n T n n +=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯ ，上述两式相减，得23142626262(62)2n n n T n +-=⨯+⨯+⨯++⨯--⨯1212(12)4(62)2(34)21612n n n n n ++⨯-=---⨯=----.得2(34)216n n T n +=-+.所以，数列2{}n n a b 的前n 项和为2(34)216n n +-+.【考点】1.等差，等比数列；2.错位相减法求和.【名师点睛】重点说说数列求和的一些方法本题考查了数列求和，一般数列求和方法（1）分组转化法，一般适用于等差数列加等比数列，（2）裂项相消法求和，，,等的形式，（3）错位相减法求和，一般适用于等差数列乘以等比数列，（4）倒序相加法求和，一般距首末两项的和是一个常数，这样可以正着写和和倒着写和，两式两式相加除以2得到数列求和,(5)或是具有某些规律求和. 18.【2017北京，文15】已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足a 1=b 1=1,a 2+a 4=10,b 2b 4=a 5． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求和13521n b b b b -++++ ．【答案】（Ⅰ）21n a n =-；（Ⅱ）312n -.1+=n n n a a cc ()!!1!n n n n c n -+=⋅=nn c c n ++=1【考点】1.等比，等差数列；2.等比数列的前n 项和.【名师点睛】重点说说数列求和的一些方法本题考查了数列求和，一般数列求和方法（1）分组转化法，一般适用于等差数列加等比数列，（2）裂项相消法求和，，,等的形式，（3）错位相减法求和，一般适用于等差数列乘以等比数列，（4）倒序相加法求和，一般距首末两项的和是一个常数，这样可以正着写和和倒着写和，两式两式相加除以2得到数列求和,(5)或是具有某些规律求和. 19.【2017江苏，19】对于给定的正整数k ,若数列{}n a 满足1111n k n k nn nk n ka aa a aa--+-++-++++++++ 2n ka =对任意正整数()n n k >总成立，则称数列{}n a 是“()P k 数列”.（1）证明等差数列{}n a 是“(3)P 数列”;（2）若数列{}n a 既是“(2)P 数列”，又是“(3)P 数列”，证明{}n a 是等差数列.【解析】证明（1）因为{}n a 是等差数列，设其公差为d ，则1(1)n a a n d =+-， 从而，当4n ≥时，n k n k a a a -++=+11(1)(1)n k d a n k d --+++-122(1)2n a n d a =+-=，1,2,3,k =所以n n n n n n n a a a a a a a ---+++++=321123+++6， 因此等差数列{}n a 是“()3P 数列”.1+=n n n a a cc ()!!1!n n n n c n -+=⋅=nn c c n ++=1【考点】等差数列定义及通项公式【名师点睛】证明{}n a 为等差数列的方法 (1)用定义证明1(n n a a d d +-=为常数）； (2)用等差中项证明122n n n a a a ++=+；(3)通项法n a 为n 的一次函数；(4)前n 项和法2n S An Bn =+。