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第八章 欧氏空间

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第八章 欧氏空间
例1：判断向量()2,1,4α=-和()4,4,1β=--是否正交.
解：建立m 文件i1.m 如下
clc
a=[2 -1 4];
b=[-4 -4 1];
c=dot(a,b) %求向量a ，b 的内积 运行结果如下：
c =
a 与
b 内积为0，则a 和b 正交.
例2：将向量组()1,0,1α=，()1,0,1β=-规范正交化
解：建立m 文件i2.m 如下
clc
A=[1 1;0 0;1 -1];
B=sym(orth(A)) %将A 的列向量组正交规范化，
%并以符号的形式输出
B'*B %可以验证两个向量是否规范正交化 运行结果如下
B =
[ -sqrt(1/2), -sqrt(1/2)]
[ 0, 0]
[ -sqrt(1/2), sqrt(1/2)]
ans =
[ 1, 0]
[ 0, 1]
例3 将矩阵400031013A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
规范正交化。

解：建立m 文件i3.m 如下
clc
A=[4 0 0; 0 3 1; 0 1 3];
B=orth(A)
Q=B'*B
运行结果如下：
B =
0 1 0 -985/1393 0 -985/1393 -985/1393 0 985/1393 Q =
1 0 * 0 1 0 * 0 1
例4：对实对称矩阵222254245A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭
，求正交矩阵U ， 使得T U AU 为对角矩阵
解：建立m 文件i4.m 如下
clc
A=[2 2 -2;2 5 -4;-2 -4 5]; %实对称矩阵A
[V,D]=eig(A) %矩阵A 的对角化 V'*V %验证V 是正交阵 运行结果如下：
V =
-963/3230 2584/2889 1/3 -963/1615 -1292/2889 2/3 -963/1292 0 -2/3
D =
1 0 0 0 1 0 0 0 10 ans =
1 * * * 1 0 * 0 1
例5：求向量()2,1,4α=-的模长
解：建立m 文件i5.m 如下
clc
a=[2 -1 4]
b=norm(a)
运行结果如下：
a =
2 -1 4
b =
3524/769
【练习与思考】
1、判别下列矩阵是否正交矩阵
（1）
11
1
23
11
1
22
11
1
32
A
⎛⎫
-
⎪
⎪
⎪
=-
⎪
⎪
⎪
-
⎪
⎝⎭
（2）
184
999
814
999
447
999
A
⎛⎫
--
⎪
⎪
⎪
=--
⎪
⎪
⎪
--
⎪
⎝⎭
2、将下列向量组规范正交化
（1）、()
123111 124 139
ααα
⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
（2）、()
123111 011 101 110
ααα
-⎛⎫ ⎪
-
⎪=
⎪
-
⎪⎝⎭。

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第八讲 欧氏空间

第八讲 欧氏空间

高等代数选讲
高等代数选讲
第八讲 欧氏空间
线性空间中，向量之间的基本运算只有加 法与数量乘法。作为几何空间的推广，可以发 现几何向量的度量性质，如长度、夹角等，在 线性空间的理论中没有得到反映。但是向量的 度量性质在许多问题（包括几何问题）有特殊 的地位。因此有必要在线性空间中引入度量的 概念，使其更接近于几何空间，并有更丰富的 内容与方法。
高等代数选讲 8、构造内积的方法 在实线性空间V 中构造内积使之构成欧氏空间，通 常采用如下两种方法： （1）直接构造：对任意 , V ，直接构造二元实 函数 , ，并验证其满足内积的四条公理。 （2）由正定矩阵确定内积：若V 为 n 维实线性空间， 任取V 的基 1 , 2 ,, n ，以及 n 阶正定矩阵A，定义： b1 b , a1 , a2 ,, an A 2 bn 其中 a11 a2 2 an n , b11 b2 2 bn n
高等代数选讲 欧氏空间证与内积有关的正交变换与对称变换在 现实生活中有着广泛而重要的应用，这两种变换在标 准正交基下分别对应着正交矩阵及实对称矩阵这两种 具有特殊性质的矩阵。要求掌握正交变换与对称变换 的概念及性质，能够运用它们与对应特殊矩阵之间的 关系解题对实对称矩阵A，要求能熟练地找到正交矩阵 T Q，使 Q AQ为对角阵，以及以另一种形式出现的同一 个问题，即用正交变换化实二次型为标准形。 将线性空间关于某个子空间进行直和分解是不唯 一的，但是欧氏空间关于某个子空间及其正交补空间 的直和分解是唯一的。欧氏空间的这种分解是很重要 的，要求掌握子空间的正交补的概念及基本性质，会 求某些子空间的正交补。
1 1 2 2 n n
高等代数选讲 （2） R mn －－对于实矩阵 A aij mn , B bij mn 内积为
高等代数 第8章线性变换 8.6 欧式空间的正交变换和对称变换

高等代数 第8章线性变换 8.6 欧式空间的正交变换和对称变换

存在一个角ψ使
b = cosψ，d = sinψ
将a, b, c, d代入（4）的第三个等式得 Cosφcosψ + sinφsinψ = 0 或 cos(φ+ψ) = 0
最后等式表明，φ －ψ是π/ 2的一个奇数倍. 由此 得
cos sin , sin cos
所以
cos sin U sin cos
2 ( x1, x2 , x3 ) ( x1 x3 , x2 2 x3 , x1 2 x2 x3 );
3 ( x1, x2 , x3 ) ( x2 , x1, x3 )
对称变换和对称矩阵之间的关系
定理8.4.2 设σ是n维欧氏空间V的一个对称变换， 如果σ关于一个标准正交基的矩阵是对称矩阵，那 么σ是一个对称变换. 证
1 , 2 ,, n
正交变换的定义
定义1 欧氏空间V的一个线性变换σ叫做一个 正交变换，如果对于任意 V 都有 | ( ) || |
例1 在 V2 里,把每一向量旋转一个角的 线性变换是 V2 的一个正交变换. 例2 令H是空间 V3 里过原点的一个平面.对于 每一向量 V3 ，令对于H的镜面反射 与它对应. : 是 V3 的一个正交变换.
1 0 0 0 1 0 0 0 1
以上两个矩阵都是正交矩阵.
V2 .V3 的正交变换的类型
设σ是 V2的一个正交变换，σ关于 V的一个规范正 2 交基 1 , 的矩阵是 2 a b U c d 那么U 是一个正交矩阵. 于是
y, , , 的矩 1 设σ关于V的一个规范正交基 2 n
( ),
xi ( i ),
高等代数教案第 章欧氏空间

高等代数教案第 章欧氏空间

（线性双射），其次，它保持向量的内积不变. 因而欧氏空间的同构映射保持向量的长度不变，保持
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《高等代数》教案-8-第 8 章 欧氏空间
向量的夹角不变，故它保持几何形状不变. 容易证明，同构作为欧氏空间之间的关系具有反身性、对称性和传递性，因而它是欧氏空间的等.
价关系. 两个有限维欧氏空间同构的充分必要条件是它们有相同的维数. 所以，任意一个 n 维欧氏空 间都与 Rn 同构.
α
cosθ
为向量α
在向量 β
上的投影，称向量 (α , β )
β2
β
是向量α
在向量 β
上的投影向量.
注意，α
在向量 β 上的投影可表示为
α
cosθ
=
(α, β
β
)
=
α
,
β β
，
向量α 在向量 β 上的投影向量亦可以表示为
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《高等代数》教案-8-第 8 章 欧氏空间
(α, β
（1）σ (α + β ) = σ (α ) + σ (β ) ， （2）σ (kα ) = kσ (α ) ，
（3）(σ (α ),σ (β )) = (α, β ) ，
这里α, β ∈V , k ∈ R ，则称欧氏空间V 与V ′ 同构，称σ 是V 到V ′ 的一个同构映射. 注 两个欧氏空间V 到V ′ 的“同构映射”是指：首先，把V 和V ′ 看成线性空间时它是同构映射
Ⅲ.重点与难点 重点: 内积、欧氏空间的概念，向量的正交性，正交阵的性质及运用，实对称阵的正交对角化； 难点: 正交阵的性质及运用，实对称阵的正交对角化.
Ⅳ.教学内容
§8.1 欧氏空间的概念
第8章.欧几里得空间doc

第8章.欧几里得空间doc

第八章 欧氏空间（讲授7学时）一、教学目标：1、深刻理解欧氏空间的定义及性质；掌握向量的长度，两个向量的夹角‘正交及度量矩阵等概念和基本性质，掌握各种概念之间的联系与区别。

2、正确理解正交向量组、标准正交基的概念，掌握施密特正交化过程，并能把一组线性无关的向量化为单位正交的向量。

3、正确理解和掌握正交变换的概念及几个等价关系，掌握正交变换与向量的长度，标准正交基，正交矩阵间的关系。

4、正确理解和掌握两个子空间正交的概念，掌握正交与直和的关系，及欧氏空间中的每一个子空间都有唯一的正交补性质。

5、深刻理解和掌握任一个对称矩阵均可正交相似与一个对角阵，并掌握求正交矩阵的方法。

能用正交变换化实二次型为标准形。

二、教学内容：欧几里德空间的定义与性质、标准正交基、正交变换、子空间、对称矩阵的标准形。

三、教学重点：标准正交基、正交变换、子空间、对称矩阵的标准形。

四、教学难点：标准正交基、正交变换、对称矩阵的标准形。

五、教学方法：讲授法六、教学过程(一)、欧式空间的基本概念、标准正交基1、内积：设V 是实数域R 上的线性空间，映射:f V V R ⨯→满足○1对称性：,,f f V αββααβ∀∈()=(),, ○2线性性：,,,,,f k l kf lf V k l R αβγαγβγαβγ+∀∈∀∈()=()+(),,, ○3非负性：,,0f V f αααααα≥∀∈=⇔=()0,且()0 则称f 为V 的内积。

2、欧式空间：定义了内积的线性空间V 称为欧式空间，不同的内积就是不同的欧氏空间。

3、长度与夹角：设V 是欧式空间○1称为α的长度，记作：α，显然00.= ○2夹角：非零向量αβ,，称(,)arccos αβαβ在π[0,]内的夹角为α与β的夹角，记作：,αβ<>.4、标准正交基：○1设V 是欧式空间，若(,)0αβ=，称α与β，记作：αβ⊥。

○2正交向量组：设V 是欧式空间，非零向量组12,,,,n V ααα∈ 满足(,)0i j αα=， (,,1,2,,),i j i j n ≠= 称12,,,n ααα 为正交向量组。