欧氏空间1

欧氏空间(Euler space )一、 内积与欧氏空间1.设V 是实数域R 上的线性空间,在V 上定义一个二元实函数,称为内积,记为),(βα,它具有以下性质: )3(,)2(),,(),)(1( αββα= 这样的线性空间V 称为欧几里的空间,简称欧氏空间.2.设V 是数域P 上的线性空间,如果V 中的任意两个向量βα,都按某一法则对应P 内唯一确定的数,记为),(βαf ,且),(),(),(,,,,)1(221122112121βαβαβααβααk f k k k f V P k k +=+∈∈∀有;),(),(),(,,,,)2(221122112121βαβαββαββαl f l l l f V P l l +=+∈∈∀有 则称),(βαf 是V 上的一个双线性函数.3.内积是双线性函数.4.设V 是n 维欧氏空间,n e e e ,,,21 为V 的一组基,V ∈βα,,若n n e x e x e x +++= 2211α; n n e y e y e y +++= 2211β则j i n j ni j i j i n j n i j i y x a y x e e ∑∑∑∑====∆=1111),(),(βα,5.称 )),(()(j i ij e e a A ==为基n e e e ,,,21 的度量矩阵.6. 设n e e e ,,,21 是n 维欧氏空间V 的一组基,,A 是基n e e e ,,,21 下的度量矩阵,则任意V ∈βα,,有AY X '=),(βα.7.度量矩阵必为正定矩阵,且不同基下的度量矩阵是合同的.二、 长度与夹角1。

欧氏空间V 中向量长度 ),(||ααα=；单位化：当||0||0αααα=≠时， 2．欧氏空间中的重要不等式：① Cauchy-Буняковский不等式：对任意向量V ∈βα,有线性相关时等式成立。

，当且仅当βαβαβα|,||||),(|≤。

欧氏空间(Euler space ) 一、 内积与欧氏空间1.设V 是实数域R 上的线性空间,在V 上定义一个二元实函数,称为内积,记为),(βα,它具有以下性质: )3(,)2(),,(),)(1( αββα= 这样的线性空间V 称为欧几里的空间,简称欧氏空间.2.设V 是数域P 上的线性空间,如果V 中的任意两个向量βα,都按某一法则对应P 内唯一确定的数,记为),(βαf ,且),(),(),(,,,,)1(221122112121βαβαβααβααk f k k k f V P k k +=+∈∈∀有;),(),(),(,,,,)2(221122112121βαβαββαββαl f l l l f V P l l +=+∈∈∀有则称),(βαf 是V 上的一个双线性函数. 3.内积是双线性函数.4.设V 是n 维欧氏空间,n e e e ,,,21 为V 的一组基,V ∈βα,,若n n e x e x e x +++= 2211α; n n e y e y e y +++= 2211β则j i n j ni j i j i n j n i j i y x a y x e e ∑∑∑∑====∆=1111),(),(βα,5.称 )),(()(j i ije e aA ==为基n e e e ,,,21 的度量矩阵.6. 设n e e e ,,,21 是n 维欧氏空间V 的一组基,,A 是基n e e e ,,,21 下的度量矩阵,则任意V ∈βα,,有AYX '=),(βα.7.度量矩阵必为正定矩阵,且不同基下的度量矩阵是合同的. 二、 长度与夹角 1。

欧氏空间V 中向量长度 ),(||ααα=；单位化：当||0||0αααα=≠时，2．欧氏空间中的重要不等式：① Cauchy-Буняковский不等式：对任意向量V ∈βα,有线性相关时等式成立。

，当且仅当βαβαβα|,||||),(|≤。

欧式空间————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期:第八章 欧氏空间向量空间可以看成是通常几何空间概念的推广,然而几何空间里有向量的长度和夹角的概念,而一般的向量空间里却没有得到反映。

这一章我们将在实数域上的向量空间里引入欧氏内积的概念，从而可以合理的定义有向量的长度和夹角，这样的向量空间称为欧氏空间，在许多领域里有广泛的应用。

学习中还要注意学习具体到抽象,再从抽象到具体的辩证的思想方法。

§1 定义和性质几何空间3V 里向量的内积是通过向量的长度和夹角来定义的,即||||cos ξηξηθ⋅=⋅,||ξ表示ξ的长度,θ表示ξ与η的夹角。

我们不能直接按上面方式定义内积,因为还没有定义长度和夹角。

我们要根据几何内积所满足的性质来定义，回想到在第四章第8节在n R 定义内积就是根据几何内积所满足的性质来定义的。

所以在抽象的讨论中，我们取内积作为基本的概念。

定义1 设V 是实数域R 上的一个向量空间，有一个V V ⨯到R 的二元实函数，记作(,)αβ，具有以卡性质:,,V αβγ∀∈，k R ∀∈1） (,)(,)αββα=;2) (,)(,)(,)αβγαβαγ+=+; 3) (,)(,)k k αβαβ=;4) (,)0αα≥， 等号成立当且仅当0α=(,)αβ叫做向量α与β的内积,V 叫做对这个内积来说的欧氏空间。

在需要和其它的内积区别的时候，我们也把满足这4条性质的内积叫做欧氏内积。

在欧氏空间的定义中，对向量空间的维数并无要求,可以是有限维的,也可以是无限维的。

几何空闻中向量的内积显然适合定义中列举的性质，所以几何空间中向置的全体构成一个欧氏空间。

例1 1212(,,,)',(,,,)'n n n a a a b b b R αβ∀==∈，规定α与β的内积为1122(,)'n n a b a b a b αβαβ=+++=，则n R 作成一个欧氏空间。

欧氏空间几何意义
摘要：
1.欧氏空间的定义与特点
2.欧氏空间在几何中的意义
3.欧氏空间与其他空间的关系
4.欧氏空间在实际应用中的例子
5.总结
正文：
欧氏空间，又称欧几里得空间，是最基本的几何空间之一。

它是由欧几里得创立的，并在其著作《几何原本》中进行了详细阐述。

欧氏空间是指一个具有以下性质的空间：在其中，直线是唯一的折线，所有的直线都可以通过平移相互重合，而且任意两个直线之间存在且仅存在一个公共点。

欧氏空间在几何中的意义深远。

首先，它为我们理解空间中的点、线、面等基本元素提供了理论基础。

其次，欧氏空间中的公理和定理为我们研究空间中的问题提供了丰富的工具。

例如，欧几里得证明了平面上的直线段可以无限延长，但在三维空间中，直线段却有长度。

这个发现引发了数学家们对更高维空间的研究。

欧氏空间与其他空间，如切比雪夫空间、黎曼空间等，有着密切的关系。

切比雪夫空间是一种非欧几里得空间，在其中，直线可以有不同的斜率，从而使得空间中的几何形状与我们熟悉的欧氏空间中的不同。

黎曼空间则是一种弯曲的空间，它的几何性质与欧氏空间有很大的区别。

欧氏空间在实际应用中也有着广泛的例子。

例如，在物理学中，欧氏空间是描述物体运动的基本框架。

在计算机图形学中，欧氏空间是建模和渲染三维场景的基础。

甚至在日常生活中，我们对于空间的认识，如长度、面积和体积的测量，也都离不开欧氏空间的理论支持。

总的来说，欧氏空间是几何学的基础，它不仅为我们理解空间提供了理论框架，而且在实际应用中也发挥着重要作用。

欧氏空间在线性空间中，向量之间的运算只有加法和数乘这两种基本运算，而向量的度量性质，如长度、夹角、距离等，在线性空间中没有得到反映。

因此有必要在线性空间中引入度量的概念。

而在解析几何中我们看到，向量的长度与夹角等度量性质都可以通过向量的内积表示，所以我们选取内积作为基本概念。

在线性空间中引入内积以后就成为欧氏空间。

一、定义与基本性质【定义1】设V 是实数域R 上的一个线性空间，如果在V 上定义一个二元实函数，记作()βα,，称为内积。

如果它有以下性质：1. ()()αββα,,=2. ()()βαβα,,k k =3. ()()()γβγαγβα,,,+=+4. ()0,≥αα，当且仅当0=α时，()0,=αα这里γβα,,是V 中任意向量，k 是任意实数，就称线性空间V 对内积()βα,构成一个欧几里得空间，简称欧氏空间。

注：1. 二元函数意为对V 中任意向量βα,，有唯一的实数对应 2. 内积的定义方法不唯一，不同的内积构成的欧氏空间不同 例：设V 是一个n 维实线性空间，在V 中取定一组基。

设A 是一个正定矩阵，定义V 的内积如下：()()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n n n n y y y x x x21212121εεεβεεεα ()()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n n y y y A x x x2121,βα由于A 为正定矩阵，显然这样定义的内积符合定义中所列条件。

因此，V 对内积()βα,构成一个欧氏空间。

3. 定义中的性质1.说明内积是对称的。

因此，与性质2.及3.相对应的有：.2'()()βαβα,,k k = .3'()()()γαβαγβα,,,+=+进一步的，在欧氏空间V 中，对任意向量s 21,,,ααα ；t21,,,βββ 及任意实数s 21,,,k k k ；t 21,,,l l l ，都有()∑∑∑∑=====⎪⎪⎭⎫⎝⎛s i tj jiji tj jj si i i l k l k 1111,,βαβα【定义2】由()0,≥αα，设α是欧氏空间中的一个向量，非负实数()αα,称为向量α的长度，记为α。

第九章 欧几里得空间§1定义与基本性质一、向量的内积定义 1 设V 是实数域R 上一个向量空间,在V 上定义了一个二元实函数，称为内积,记作),(βα,它具有以下性质:1)),(),(αββα=;2) ),(),(βαβαk k =;3) ),(),(),(γβγαγβα+=+;4) 0),(≥αα,当且仅当0=α时, 0),(=αα 这里γβα,,是V 任意的向量,k 是任意实数,这样的线性空间V 称为欧几里得空间.例1 在线性空间n R 中,对于向量 ),,,(,),,,(2121n n b b b a a a ==βα, 定义内积.),(2211n n b a b a b a +++= βα (1)则内积(1)适合定义中的条件，这样nR 就成为一个欧几里得空间.仍用n R 来表示这个欧几里得空间.在3=n 时，(1)式就是几何空间中的向量的内积在直角坐标系中的坐标表达式.例2 在n R 里, 对于向量 ),,,(,),,,(2121n n b b b a a a ==βα,定义内积.2),(2211n n b na b a b a +++= βα则内积(1)适合定义中的条件，这样n R 就也成为一个欧几里得空间.仍n R 用来表示这个欧几里得空间。

对同一个线性空间可以引入不同的内积,使得它作成欧几里德空间，但应该认为它们是不同的欧几里德空间.例 3 在闭区间],[b a 上的所有实连续函数所成的空间),(b a C 中,对于函数)(),(x g x f 定义内积 ⎰=ba dx x g x f x g x f )()())(),(( (2)对于内积(2)，),(b a C 构成一个欧几里得空间. 同样地，线性空间n x R x R ][],[对于内积(2)也构成欧几里得空间.例4 令H 是一切平方和收敛的实数列：+∞<=∑∞=1221),,,,(n nn x x x x ξ所成的集合,则H 是一个欧几里得空间,通常称为希尔伯特(Hilbert)空间（内积定义类似于例1，这是无穷维空间）.二、欧几里得空间的基本性质1）定义中条件1）表明内积是对称的.),(),(),(),()2αββααββαk k k k ==='.),(),(),(),(),(),()3γαβααγαβαγβγβα+=+=+=+'定义2 非负实数),(αα称为向量α的长度，记为α.显然，向量的长度一般是正数，只有零向量的长度才是零，这样定义的长度符合熟知的性质： αα||k k = (3)这里V R k ∈∈α,.长度为1的向量叫做单位向量.如果,0≠α由(3)式，向量αα1就是一个单位向量.用向量α的长度去除向量α，得到一个与α成比例的单位向量，通常称为把α单位化.柯西-布涅柯夫斯基不等式：即对于任意的向量βα,有βαβα≤),( (5)当且仅当βα,线性相关时，等式才成立.证明：由0),(≥++βαβαt t 对于任意实数t 成立，给出简单证明。