欧式空间

欧氏空间(Euler space )一、 内积与欧氏空间1.设V 是实数域R 上的线性空间,在V 上定义一个二元实函数,称为内积,记为),(βα,它具有以下性质: )3(,)2(),,(),)(1( αββα= 这样的线性空间V 称为欧几里的空间,简称欧氏空间.2.设V 是数域P 上的线性空间,如果V 中的任意两个向量βα,都按某一法则对应P 内唯一确定的数,记为),(βαf ,且),(),(),(,,,,)1(221122112121βαβαβααβααk f k k k f V P k k +=+∈∈∀有;),(),(),(,,,,)2(221122112121βαβαββαββαl f l l l f V P l l +=+∈∈∀有 则称),(βαf 是V 上的一个双线性函数.3.内积是双线性函数.4.设V 是n 维欧氏空间,n e e e ,,,21 为V 的一组基,V ∈βα,,若n n e x e x e x +++= 2211α; n n e y e y e y +++= 2211β则j i n j ni j i j i n j n i j i y x a y x e e ∑∑∑∑====∆=1111),(),(βα,5.称 )),(()(j i ij e e a A ==为基n e e e ,,,21 的度量矩阵.6. 设n e e e ,,,21 是n 维欧氏空间V 的一组基,,A 是基n e e e ,,,21 下的度量矩阵,则任意V ∈βα,,有AY X '=),(βα.7.度量矩阵必为正定矩阵,且不同基下的度量矩阵是合同的.二、 长度与夹角1。

欧氏空间V 中向量长度 ),(||ααα=；单位化：当||0||0αααα=≠时， 2．欧氏空间中的重要不等式：① Cauchy-Буняковский不等式：对任意向量V ∈βα,有线性相关时等式成立。

，当且仅当βαβαβα|,||||),(|≤。

② 三角不等式：对任意向量V ∈βα,有222||||||,0),(|,|||||βαβαβαβαβα+=+=+≤+时当且仅当3．向量的夹角：当是非零向量时，称||||),(cos 1βαβα-为βα,的夹角， 记为πβαβα>≤≤<><,0,,.三、 标准正交基及性质 1．在欧氏空间V 中，如果0),(=βα，那么称βα与正交或互相垂直。

2．正交向量组（正交向量组必定线性无关）3．正交基、标准正交基4．关于标准正交基，有下述重要结论：①n 维欧氏空间中标准正交基总是存在的，且不唯一；②一个标准正交基到另一个标准正交基之间的过渡矩阵是正交矩阵，反之如果第一个基是标准正交基，过渡矩阵是正交矩阵，则第二个基也是标准正交基。

③n 维欧氏空间中的一个基是标准正交基的充分必要条件是它的度量矩阵是单位矩阵。

④在标准正交基下，任一向量的坐标都可以通过内积表示为：n n εαεεαεεαεα),(),(),(2211+++= ，它的逆命题也成立;⑤设n e e e ,,,21 是n 维欧氏空间V 的一组标准正交基,V ∈βα,,若n n e x e x e x +++= 2211α ，n n e y e y e y +++= 2211β，则n n y x y x y x +++= 2211),(βα5．施密特（Schmidt ）正交化四、 格拉姆矩阵1．n 维欧氏空间中任意k （k ≤n ）个向量k ααα,,,21 的内积所组成的矩阵 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∆),(),(),(),(),(),(),(),(),(),,,(n n 121n 222121211121ααααααααααααααααααααα n n k 称为k 个向量k ααα,,,21 的格拉姆矩阵，对应的行列式|),,,21=(k G ααα |),,,(21k ααα ∆称为格拉姆行列式。

当向量组k ααα,,,21 是欧氏空间的一组基时，格拉姆矩阵是基的度量矩阵。

2．关于格拉姆矩阵有以下结论(1)设()in i i i a a a ,,,21 =α是n 维向量，则221||),,,ij k a G =(ααα(2) n 维欧氏空间中任意k （k ≤n ）个向量k ααα,,,21 的所组成的格拉姆行列式不等于零的充要条件是k ααα,,,21 线性无关，且行列式值大于零。

习题举例1．填空1）设n εεε,,,21 为n 维欧氏空间V 中的基,在此基下向量βα,坐标分别为),,,(21n a a a ,),,,(21n b b b ,则内积∑==ni i i b a 1),(βα的充分必要条件是 。

（n εεε,,,21 是V 的标准正交基）2）21,V V 是有限维欧氏空间的子空间，存在0,2≠∈ααV ，使得1V ⊥α的充分条件是子空间的维数之间满足 。

（）维（）维（21V V <3）对角矩阵为正交矩阵的充要条件是 （对角线上的元素为±1）。

2． 设A 与B 是欧氏空间V 的两个线性变换，并且对任意V ∈α有))(),(())(),((ααααB B A A =，证明A V 与BV 作为欧氏空间是同构的。

证明：A V 与BV 均是欧氏空间V 的子空间，因而对于V 的内积来说作成欧氏空间。

令V B A f ∈∀→ααα),()(:，则f 是一个映射。

因为任取V ∈βα,， 若),()(βαA A = 得 ,0)(=-βαA))(),((0))(),((βαβαβαβα--==--∴B B A A ，从而有,0)(=-βαB 即),()(βαB B =可证f 是单射，又是满射，现证f 是线性的； R k V A A A ∈∀∈∀),()(),(βα，有)()(())()((βαβαβα+=+=+B A f A A f ))(())(()()(βαβαA f A f B B +=+=)()()()(())((αααααkf kB k B k A f kA f ====，再证f 保持内积不变；V ∈∀βα,，有))(),(())(),((2))(),(())(),(βββαααβαβαA A a A A A A A ++=++ ))(),(())(),((2))(),(())(),(βββαααβαβαB B B B B B B B ++=++=所以))(),(())(),((βαβαB B A A =即))(),(())((),(((βαβαB B A f A f =))(),((βαA A =，从而f 是同构映射，A V 与BV 作为欧氏空间是同构的。

3．设V 是实数域R 上的n 维欧氏空间，n εεε,,,21 是V 的一组基，n C C C ,,,21 是R 中的n 个数。

证明：存在唯一向量,V ∈α使得内积n i C i i ,,2,1),( ==εα。

（1993年北京理工大学考研试题）证：设内积关于基n εεε,,,21 下的度量矩阵为A ，且设=α （n εεε,,,21 ）⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n k k k 21; 则n i i A k k n i ,,2,1,010),,(),(1 =⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=εα，所以 ),,(),,,(100001010),,,()),(,),,(),,((1212121n n n n C C A k k k A k k k ==⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=εαεαεα从而),,(1n k k =121),,,(-A C C C n ，所以满足条件的α是存在的。

再证唯一性;设存在V ∈β，也有n i C i i ,,2,1),( ==εβ，则n i C i i i ,,2,1),(),( ===εβεα，从而有n i i ,,2,10),( ==-εβα，可推出0),(=--βαβα即βα=。

3． （1993年浙江大学考研题）欧氏空间中的两组向量m ααα,,,21 m βββ,,,21 ，若满足 m j i j i j i ,,2,1,),,(),( ==ββαα，证明：),,,(211m L V ααα =与),,,(212m L V βββ =同构。

证明：先证21d i m d i mV V ≤；设r V =1d i m 且r ααα,,,21 为V 1的基，设02211=+++r r k k k βββ ，因为m j i j i j i ,,2,1,),,(),( ==ββαα，所以 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑==r r r r r r r ri i i r i i i k k k k k k111,1111),(),(),(),(),(),(ββββββββββ =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛r r r r r r r k k k k111,11),(),(),(),(),(αααααααα=),(11∑∑==r i i i r i i i k k αα，01=∑=r i i i k α。

由r ααα,,,21 线性无关，得212dim dim ,dim V V r V ≤≥即 同理可证12dim dim V V ≤，所以21dim dim V V =，即1V 与2V 同构。

习题举例1．判断下列结论哪些正确？哪些不正确？正确的请说明理由；不正确的举出反例说明。

1）正交矩阵的特征根全是实的；2）实对称矩阵的特征根全是实的；3）A 为n 阶实对称矩阵，则A 正定充分必要条件是存在某非奇异矩阵B 使B B A '=；4）复对称矩阵一定能相似于对角矩阵；5）若A ，B 是n 阶正交矩阵，且|A|=-|B|，则|A+B|=0；6）若对于n 个非零数0,,0,021≠≠≠n k k k 二次形AX X x x x f n '=),,,(21都有0),,,(21>n k k k f 则二次形AX X x x x f n '=),,,(21 是正定二次形。

2.求证：在欧氏空间中，两个向量βα,的模相等当且仅当0),(=-+βαβα。

3．举例说明：复对称矩阵的特征值不一定为实数。

4．若A 为n 阶实对称矩阵，且)(12N k E A k ∈=+, 证明：存在A 为n 阶正交矩阵U ，使得.E AU U ='5．设A 为n 阶正交矩阵，N m ∈，则存在正定矩阵B ，使m B A =。