3-1 2019高三一轮复习课件导数的概念及应用

导数及其应用

导数的概念及运算、定积分

1．导数的概念

(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数：函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率xyxlim0＝lim0x

fx0＋Δx－fx0Δx❶为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′x＝x0，即f′(x0)＝lim0xΔyΔx＝lim0x fx0＋Δx－fx0Δx.

函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”．

(2)导数的几何意义：函数f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)❷处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．

❷曲线y＝fx在点Px0，y0处的切线是指P为切点，斜率为k＝fx0的切线，是唯一的一条切线.

(3)函数f(x)的导函数：称函数f′(x)＝lim0x fx＋Δx－fxΔx为f(x)的导函数．

(4)f′(x)是一个函数，f′(x0)是函数f′(x)在x0处的函数值(常数)，[f′(x0)]′＝0.

2．基本初等函数的导数公式

原函数 导函数

f(x)＝xn(n∈Q*) f′(x)＝n·xn－1

f(x)＝sin x f′(x)＝cos x

f(x)＝cos x f′(x)＝－sin x

f(x)＝ax(a＞0，且a≠1) f′(x)＝axln a

f(x)＝ex f′(x)＝ex

f(x)＝logax(a＞0，且a≠1) f′(x)＝1xln a

f(x)＝ln x f′(x)＝1x

3.导数的运算法则

(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)； (2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；

第2讲函数的表示法

知能训练

1. 若 f(x+2)=2x+3,则 f(x) = ( )

A. 2x+1 B. 2x—1 C. 2x—3 D. 2%+7

1

2. 已知代方=-^(无工±1),贝9()

A. fg・ f( — x)=l B. f( — x)+f(x)=O

C. f\x) • f\ — x) = —1 D. f( —/)+f(x)=l

3. (2017年安徽黄山质检)已知是一次函数，且代代力]=/+2,则f(x)=( )

A. x~\~ 1 B. 2x—1

C. ~x+1 D. x+1 或一x—1

4. 下列函数中，不满足f(2x)=2f(x)的是( )

A. f\x) = | B. f{x)=x-\x\

C. f^=x+\. D. f3=_x

5. 如图X2-2-l(l),在直角梯形力跑中，动点P从点B出发，由B-CfXA沿边运 动,设点P运动的路程为x, AMP的面积为f(x).若函数y=f3的图象如图X2-2-K2), 则△九力的面积为()

A. 10 B. 32 C. 18 D. 16

6. 若函数fg , gd)分别是R上的奇函数、偶函数,且满足f\x) 一财 =£,则有() A.

f(2)

C. f(2)

2

7. 己知函数 f(x) =2*+] + sin 才，则 f( —2) + f( —1) + f(0) + f(l) + f(2) = ___________ .

8. (2016 年浙江)设函数 f(x) =x +3#+l.已知日HO,且 f{x) — /(a) = (x—b) (x—a)2f

x丘R, 贝实数臼= ________ , b= _________ .

窜质丹华

9. 根据条件求下列各函数的解析式：

(1) 已知fCr)是二次函数，若f(0)=0, f{x+1) = f(x) +x+1,求代v)的解析式;

(2) 已知 求心的解析式；

(3) 己知f\x)满足2f(x) +4£)=3X,求f\x)的解析式.

【步步高】（江苏专用）2017版高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用 3.1 导数的概念及运算 理

1．导数与导函数的概念

(1)设函数y＝f(x)在区间(a，b)上有定义，x0∈(a，b)，若Δx无限趋近于0时，比值ΔyΔx＝fx0＋Δx－fx0Δx无限趋近于一个常数A，则称f(x)在x＝x0处可导，并称该常数A为函数f(x)在x＝x0处的导数(derivative)，记作f′(x0)．

(2)若f(x)对于区间(a，b)内任一点都可导，则f(x)在各点的导数也随着自变量x的变化而变化，因而也是自变量x的函数，该函数称为f(x)的导函数，记作f′(x)．

2．导数的几何意义

函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率k，即k＝f′(x0)．

3．基本初等函数的导数公式

基本初等函数 导函数

f(x)＝C(C为常数) f′(x)＝0

f(x)＝xα(α为常数) f′(x)＝αxα－1

f(x)＝sin x f′(x)＝cos_x

f(x)＝cos x f′(x)＝－sin_x

f(x)＝ex f′(x)＝ex

f(x)＝ax(a>0，a≠1) f′(x)＝axln_a

f(x)＝ln x f′(x)＝1x

f(x)＝logax(a>0，a≠1) f′(x)＝1xln a

4.导数的运算法则

若f′(x)，g′(x)存在，则有

(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；

(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；

(3)[fxgx]′＝f′xgx－fxg′xg2x(g(x)≠0)．

5．复合函数的导数

若y＝f(u)，u＝ax＋b，则y′x＝y′u·u′x，即y′x＝y′u·a.

【思考辨析】

判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)f′(x0)与(f(x0))′表示的意义相同．( × )

1

授课主题：导数的概念及运算

教学目标 1.导数的概念

(1)通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵.

(2)通过函数图象直观地理解导数的几何意义.

2.导数的运算

(1)能根据导数定义，求函数cy(c为常数)，xy，xy1，xy，2xy，3xy的导数.

(2)能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，并了解复合函数求导法则，能求简单复合函数的导数.

教学内容

1．函数的平均变化率：

一般地，已知函数()yfx，0x，1x是其定义域内不同的两点，记10xxx，

10yyy10()()fxfx00()()fxxfx，

则当0x时，商00()()fxxfxyxx称作函数()yfx在区间00[,]xxx（或00[,]xxx）的平均变化率．

注：这里x，y可为正值，也可为负值．但0x，y可以为0．

2．函数的瞬时变化率、函数的导数：

设函数()yfx在0x附近有定义，当自变量在0xx附近改变量为x时，函数值相应的改变00()()yfxxfx．

如果当x趋近于0时，平均变化率00()()fxxfxyxx趋近于一个常数l（也就是说平均变化率与某个常数l的差的绝对值越来越小，可以小于任意小的正数），那么常数l称为函数()fx在点0x的瞬时变化率．

“当x趋近于零时，00()()fxxfxx趋近于常数l”可以用符号“”记作：“当0x时，00()()fxxfxlx”，或记作“000()()limxfxxfxlx”，符号“”读作“趋近于”．

2 函数在0x的瞬时变化率，通常称为()fx在0xx处的导数，并记作0()fx．

这时又称()fx在0xx处是可导的．于是上述变化过程，可以记作“当0x时，000()()()fxxfxfxx”或“0000()()lim()xfxxfxfxx”．