2021高考数学(理)一轮复习专题突破《高考中的导数应用问题 第1课时 导数与不等式》

2021年高考数学基础突破——导数与积分第1讲 变化率与导数（同学版，后附老师版）【学问梳理】1．函数()y f x =在x ＝x 0处的导数(1)定义：称函数()y f x =在x ＝x 0处的瞬时变化率0000()()limlimx x f x x f x yxx ∆→∆→+∆-∆=∆∆为函数()y f x =在x ＝x 0处的导数，记作0()f x '或0|y x x '=，即00000()()()lim limx x f x x f x yf x x x∆→∆→+∆-∆'==∆∆． 【基础考点突破】考点1．求平均变化率【例1】若一质点按规律28s t =+运动，则在时间段2～2.1中，平均速度是 ( )A ．4B ．4.1C ．0.41D ．－1.1【归纳总结】求函数的平均变化率的步骤:（1）求函数的增量21())()(f x f x f x ∆=-；（2）计算平均变化率2121)()()(f x f x f x x x x -∆=∆- 考点2 瞬时速度与瞬时变化率【例2】自由落体运动的公式为s ＝s (t )＝12gt 2(g ＝10 m/s 2)，若v ＝s (1＋Δt )－s (1)Δt，则下列说法正确的是( )A ．v 是在0～1 s 这段时间内的速度B ．v 是1 s 到(1＋Δt )s 这段时间内的速度C ．5Δt ＋10是物体在t ＝1 s 这一时刻的速度D ．5Δt ＋10是物体从1 s 到(1＋Δt )s 这段时间内的平均速度【例3】某物体作直线运动，其运动规律是s ＝t 2＋3t (t 的单位是秒，s 的单位是米)，则它在4秒末的瞬时速度为( )A.12316米/秒 B ．12516米/秒 C ．8米/秒 D ．674米/秒考点3．定义法求函数的导数【例4】.求函数y ＝x ＋1x 在x ＝1处的导数【归纳小结】1．求导方法简记为：一差、二化、三趋近．2．求函数在某一点导数的方法有两种：一种是直接求出函数在该点的导数；另一种是求出导函数，再求导数在该点的函数值，此方法是常用方法．变式训练1．用定义求函数f (x )＝x 2在x ＝1处的导数．【例5】=∆∆--∆+→∆xx x f x x f 2)()(lim000x （ ）A. )(210x f ' B. )(0x f ' C. )(20x f ' D. )(-0x f '【基础练习巩固】1．已知物体位移公式s ＝s (t )，从t 0到t 0＋Δt 这段时间内，下列说法错误的是( )A ．Δs ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)叫做位移增量B ．Δs Δt ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt 叫做这段时间内物体的平均速度C ．Δs Δt 不肯定与Δt 有关D ．lim Δt →0ΔsΔt叫做这段时间内物体的平均速度2．设函数()x f y =，当自变量x 由0x 转变到x x ∆+0时，函数的转变量y ∆为（ ）A ．()x x f ∆+0B ．()x x f ∆+0C ．()x x f ∆⋅0D ．()()00x f x x f -∆+3．某地某天上午9：20的气温为23.40℃，下午1：30的气温为15.90℃，则在这段时间内气温变化率为（℃/min ）（ ）A. 03.0B. 03.0-C. 003.0D. 003.0- 4．.函数y ＝x 3在x ＝1处的导数为( )A ．2B ．－2C ．3D ．－35．已知点P (x 0，y 0)是抛物线y ＝3x 2＋6x ＋1上一点，且f ′(x 0)＝0，则点P 的坐标为( )A ．(1,10)B ．(－1，－2)C ．(1，－2)D ．(－1,10)6．设4)(+=ax x f ，若2)1('=f ，则a 的值（ ）A ．2B ．－2C ．3D ．－37．函数8232--=x x y 在31=x 处有增量5.0=∆x ，则()x f 在1x 到x x ∆+1上的平均变化率是8．一小球沿斜面自由滚下，其运动方程是s (t )＝t 2(s 的单位：米，t 的单位：秒)，则小球在t ＝5时的瞬时速度为________．9．某物体依据s (t )＝3t 2＋2t ＋4(s 的单位：m)的规律作直线运动，求自运动开头到4 s 时物体运动的平均速度和4 s 时的瞬时速度．10．求函数f (x )=x x +-2在1x =-四周的平均变化率，并求出在该点处的导数．11．若2)1()(-=x x f ，求(2)f ' ．12．)(x f y =是二次函数，方程0)(=x f 有两个相等的实根，且22)(+='x x f ，求)(x f y =的表达式．2021年高考数学基础突破——导数与积分第1讲 变化率与导数（老师版）【学问梳理】1．函数()y f x =在x ＝x 0处的导数(1)定义：称函数()y f x =在x ＝x 0处的瞬时变化率0000()()limlimx x f x x f x yxx ∆→∆→+∆-∆=∆∆为函数()y f x =在x ＝x 0处的导数，记作0()f x '或0|y x x '=，即00000()()()limlimx x f x x f x yf x x x∆→∆→+∆-∆'==∆∆． 【基础考点突破】考点1．求平均变化率【例1】若一质点按规律28s t =+运动，则在时间段2～2.1中，平均速度是 ( )A ．4B ．4.1C ．0.41D ．－1.1解析：v ＝Δs Δt ＝(8＋2.12)－(8＋22)2.1－2＝2.12－220.1＝4.1，故应选B.【归纳总结】求函数的平均变化率的步骤:（1）求函数的增量21())()(f x f x f x ∆=-；（2）计算平均变化率2121)()()(f x f x f x x x x -∆=∆- 学问点2 瞬时速度与瞬时变化率【例2】自由落体运动的公式为s ＝s (t )＝12gt 2(g ＝10 m/s 2)，若v ＝s (1＋Δt )－s (1)Δt，则下列说法正确的是( )A ．v 是在0～1 s 这段时间内的速度B ．v 是1 s 到(1＋Δt )s 这段时间内的速度C ．5Δt ＋10是物体在t ＝1 s 这一时刻的速度D ．5Δt ＋10是物体从1 s 到(1＋Δt )s 这段时间内的平均速度【解析】 由平均速度的概念知：v ＝s (1＋Δt )－s (1)Δt＝5Δt ＋10.故应选D.【例3】某物体作直线运动，其运动规律是s ＝t 2＋3t (t 的单位是秒，s 的单位是米)，则它在4秒末的瞬时速度为( )A.12316米/秒 B ．12516米/秒 C ．8米/秒 D ．674米/秒【解析】∵ΔsΔt＝(4＋Δt )2＋34＋Δt －16－34Δt ＝Δt 2＋8Δt ＋－3Δt 4(4＋Δt )Δt ＝Δt ＋8－316＋4Δt，∴lim Δt →0Δs Δt ＝8－316＝12516. 故选B.考点3．定义法求函数的导数【例4】.求函数y ＝x ＋1x在x ＝1处的导数【解析】法一 ∵Δy ＝(1＋Δx )＋11＋Δx －(1＋11)＝Δx －1＋11＋Δx ＝(Δx )21＋Δx，∴Δy Δx ＝Δx1＋Δx .∴y ′|x ＝1＝lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →0Δx1＋Δx＝0. 法二 ∵Δy ＝(x ＋Δx )＋1x ＋Δx －(x ＋1x )＝Δx －1x ＋1x ＋Δx ＝Δx (x 2＋x ·Δx －1)x (x ＋Δx )，∴y ′＝lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →0x 2＋x ·Δx －1x (x ＋Δx )＝x 2－1x 2＝1－1x 2.∴y ′|x ＝1＝1－1＝0.【归纳小结】1．求导方法简记为：一差、二化、三趋近．2．求函数在某一点导数的方法有两种：一种是直接求出函数在该点的导数；另一种是求出导函数，再求导数在该点的函数值，此方法是常用方法．变式训练1．用定义求函数f (x )＝x 2在x ＝1处的导数．解析：法一 Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝(1＋Δx )2－1＝2Δx ＋(Δx )2，∴ f ′(1)＝lim Δx →0ΔyΔx ＝lim Δx →02Δx ＋(Δx )2Δx＝lim Δx →0 (2＋Δx )＝2，即f (x )＝x 2在x ＝1处的导数f ′(1)＝2.法二Δy ＝f (x ＋Δx )－f (x )＝(x ＋Δx )2－x 2＝2Δx ·x ＋(Δx )2，∴Δy Δx ＝2Δx ·x ＋(Δx )2Δx＝2x ＋Δx . ∴0()lim(2)2x f x x x x ∆→'=+∆=，∴ (1)2f '=，即f (x )＝x 2在x ＝1处的导数f ′(1)＝2.【例5】=∆∆--∆+→∆xx x f x x f 2)()(lim000x （ ）A.)(210x f ' B. )(0x f ' C. )(20x f ' D. )(-0x f ' 【解析】00000x 0x 000()()()()limlim =()2()()f x x f x x f x x f x x f x x x x x x ∆→∆→+∆--∆+∆--∆'=∆+∆--∆，故选B. 【基础练习巩固】1．已知物体位移公式s ＝s (t )，从t 0到t 0＋Δt 这段时间内，下列说法错误的是( )A ．Δs ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)叫做位移增量B ．Δs Δt ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt 叫做这段时间内物体的平均速度C ．Δs Δt 不肯定与Δt 有关D ．lim Δt →0ΔsΔt叫做这段时间内物体的平均速度【解析】D 错误，应为t ＝t 0时的瞬时速度，选D2．设函数()x f y =，当自变量x 由0x 转变到x x ∆+0时，函数的转变量y ∆为（ ）A ．()x x f ∆+0B ．()x x f ∆+0C ．()x x f ∆⋅0D ．()()00x f x x f -∆+ 2. 解析】D.3．某地某天上午9：20的气温为23.40℃，下午1：30的气温为15.90℃，则在这段时间内气温变化率为（℃/min ）（ ）A. 03.0B. 03.0-C. 003.0D. 003.0-【解析】B4．.函数y ＝x 3在x ＝1处的导数为( )A ．2B ．－2C ．3D ．－3 【答案】C【解析】Δy Δx ＝(x ＋Δx )3－x 3Δx ＝3Δx ·x 2＋3(Δx )2·x ＋(Δx )3Δx ＝3x 2＋3Δx ·x ＋(Δx )2，∴lim Δx →0ΔyΔx＝3x 2，∴y ′|x ＝1＝3.5．已知点P (x 0，y 0)是抛物线y ＝3x 2＋6x ＋1上一点，且f ′(x 0)＝0，则点P 的坐标为( )A ．(1,10)B ．(－1，－2)C ．(1，－2)D ．(－1,10)【答案】 B【解析】 Δy ＝3(x 0＋Δx )2＋6(x 0＋Δx )－3x 20－6x 0＝6x 0·Δx ＋3Δx 2＋6Δx ，∴lim Δx →0ΔyΔx＝lim Δx →0(6x 0＋3Δx ＋6)＝6x 0＋6＝0.，∴x 0＝－1，y 0＝－2.6．设4)(+=ax x f ，若2)1('=f ，则a 的值（ ）A ．2B ．－2C ．3D ．－3【解析】A7．函数8232--=x x y 在31=x 处有增量5.0=∆x ，则()x f 在1x 到x x ∆+1上的平均变化率是 3.【答案】 17.58．一小球沿斜面自由滚下，其运动方程是s (t )＝t 2(s 的单位：米，t 的单位：秒)，则小球在t ＝5时的瞬时速度为________．【答案】 10米/秒【解析】v ′(5)＝lim Δt →0s (5＋Δt )－s (5)Δt＝lim Δt →0(10＋Δt )＝10.9．某物体依据s (t )＝3t 2＋2t ＋4(s 的单位：m)的规律作直线运动，求自运动开头到4 s 时物体运动的平均速度和4 s 时的瞬时速度．【解析】自运动开头到t s 时，物体运动的平均速度v (t )＝s (t )t ＝3t ＋2＋4t，故前4 s 物体的平均速度为v (4)＝3×4＋2＋44＝15(m/s).由于Δs ＝3(t ＋Δt )2＋2(t ＋Δt )＋4－(3t 2＋2t ＋4)＝(2＋6t )Δt ＋3(Δt )2.lim Δt →0ΔsΔt＝lim Δt →0(2＋6t ＋3·Δt )＝2＋6t ， ∴4 s 时物体的瞬时速度为2＋6×4＝26(m/s). 10．求函数f (x )=x x +-2在1x =-四周的平均变化率，并求出在该点处的导数．解析：x xx x x y ∆-=∆-∆+-+∆+--=∆∆32)1()1(2， 200(1)(1)2(1)limlim (3)3x x y x x f x x x∆→∆→∆--+∆+-+∆-'-===-∆=∆∆． 11．若2)1()(-=x x f ，求)2('f ．解析： xx f x x f x y o o ∆-∆+=∆∆)()(x x x f x f ∆---∆+=∆-∆+=22)12()12()2()2(=x x x x ∆+=∆∆+∆222 所以：f ’(2)= 2)2(lim 0=∆+→∆x x12．设)(x f y =是二次函数，方程0)(=x f 有两个相等的实根，且22)(+='x x f ，求)(x f y =的表达式．解析：设2)()(m x a x f -=，则2222)(2)(+=-=-='x am ax m x a x f 解得1,1==m a ，所以12)1x ()(22++=-=x x x f 。

2021年高考理科数学一轮复习：题型全归纳与高效训练突破 专题3.6 高考解答题热点题型（三）利用导数探究函数的零点问题目录一、题型全归纳 (1)题型一 判断、证明或讨论函数零点的个数 ..................................................................................................... 1 题型二 已知零点存在情况求参数范围............................................................................................................. 2 题型三 函数零点性质研究 ................................................................................................................................ 3 二、高效训练突破 (4)一、题型全归纳题型一 判断、证明或讨论函数零点的个数【题型要点】判断函数零点个数的3种方法【例1】（2020年新课标全国三卷）设函数3()f x x bx c =++，曲线()y f x =在点(12，f (12))处的切线与y 轴垂直． （1）求b ．（2）若()f x 有一个绝对值不大于1的零点，证明：()f x 所有零点的绝对值都不大于1．【例2】(2019·高考全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝sin x －ln(1＋x )，f ′(x )为f (x )的导数，证明：(1)f ′(x )在区间⎪⎭⎫⎝⎛-2,1π存在唯一极大值点； (2)f (x )有且仅有2个零点．题型二 已知零点存在情况求参数范围【题型要点】解决此类问题常从以下两个方面考虑(1)根据区间上零点的个数情况，估计出函数图象的大致形状，从而推导出导数需要满足的条件，进而求出参数满足条件．(2)先求导，通过求导分析函数的单调情况，再依据函数在区间内的零点情况，推导出函数本身需要满足的条件，此时，由于函数比较复杂，常常需要构造新函数，通过多次求导，层层推理得解． 【例1】(2020·重庆调研)设函数f (x )＝－x 2＋ax ＋ln x (a ∈R )． (1)当a ＝－1时，求函数f (x )的单调区间；(2)设函数f (x )在⎥⎦⎤⎢⎣⎡3,31上有两个零点，求实数a 的取值范围．【例2】已知函数f (x )＝e x －ax 2. (1)若a ＝1，证明：当x ≥0时，f (x )≥1；(2)若f (x )在(0，＋∞)只有一个零点，求a .题型三 函数零点性质研究【题型要点】本题型包括两个方向：一是与函数零点性质有关的问题(更多涉及构造函数法)；二是可以转化为函数零点的函数问题(更多涉及整体转化、数形结合等方法技巧)．能够利用等价转换构造函数法求解的问题常涉及参数的最值、曲线交点、零点的大小关系等．求解时一般先通过等价转换，将已知转化为函数零点问题，再构造函数，然后利用导数研究函数的单调性、极值、最值等，并结合分类讨论，通过确定函数的零点达到解决问题的目的． 【例1】 (2019·高考全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝ln x －x ＋1x －1.(1)讨论f (x )的单调性，并证明f (x )有且仅有两个零点；(2)设x 0是f (x )的一个零点，证明曲线y ＝ln x 在点A (x 0，ln x 0)处的切线也是曲线y ＝e x 的切线．【例2】已知函数f (x )＝12x 2＋(1－a )x －a ln x ，a ∈R .(1)若f (x )存在极值点为1，求a 的值；(2)若f (x )存在两个不同的零点x 1，x 2，求证：x 1＋x 2＞2.二、高效训练突破1.已知函数f (x )＝e x －ax2.(1)若a ＝1，证明：当x ≥0时，f (x )≥1； (2)若f (x )在(0，＋∞)只有一个零点，求a .2.(2020·武汉调研)已知函数f (x )＝e x －ax －1(a ∈R )(e ＝2.718 28…是自然对数的底数)． (1)求f (x )的单调区间；(2)讨论g (x )＝f (x )(x －12)在区间[0，1]上零点的个数．3．(2020·长春市质量监测(二))已知函数f (x )＝e x ＋bx －1(b ∈R )． (1)讨论f (x )的单调性；(2)若方程f (x )＝ln x 有两个实数根，求实数b 的取值范围．4．(2020·江西八所重点中学联考)已知函数f (x )＝12ax －a ＋1－ln xx (其中a 为常数，且a ∈R )．(1)若函数f (x )为减函数，求实数a 的取值范围；(2)若函数f (x )有两个不同的零点，求实数a 的取值范围，并说明理由．5.(2020·唐山模拟)已知函数f (x )＝x 22－4ax ＋a ln x ＋3a 2＋2a (a ＞0)．(1)讨论f (x )的单调性；(2)若f (x )有两个极值点x 1，x 2，当a 变化时，求f (x 1)＋f (x 2)的最大值．6.(2019·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝2sin x －x cos x －x ，f ′(x )为f (x )的导数．(1)证明：f ′(x )在区间(0，π)存在唯一零点； (2)若x ∈[0，π]时，f (x )≥ax ，求a 的取值范围．7.(2020年新课标全国一卷)已知函数()(2)x f x e a x =-+. （1）当1a =时，讨论()f x 的单调性； （2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围.8.(2020年新课标全国三卷)已知函数32()f x x kx k =-+． （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有三个零点，求k 的取值范围．2021年高考理科数学一轮复习：题型全归纳与高效训练突破 专题3.6 高考解答题热点题型（三）利用导数探究函数的零点问题目录一、题型全归纳 (1)题型一 判断、证明或讨论函数零点的个数 ..................................................................................................... 1 题型二 已知零点存在情况求参数范围............................................................................................................. 2 题型三 函数零点性质研究 ................................................................................................................................ 3 二、高效训练突破 (4)一、题型全归纳题型一 判断、证明或讨论函数零点的个数【题型要点】判断函数零点个数的3种方法【例1】（2020年新课标全国三卷）设函数3()f x x bx c =++，曲线()y f x =在点(12，f (12))处的切线与y 轴垂直． （1）求b ．（2）若()f x 有一个绝对值不大于1的零点，证明：()f x 所有零点的绝对值都不大于1． 【答案】（1）34b =-；（2）证明见解析 【解析】（1）因为'2()3f x x b =+，由题意，'1()02f =，即21302b ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭则34b =-； （2）由（1）可得33()4f x x x c =-+， '2311()33()()422f x x x x =-=+-， 令'()0f x >，得12x >或21x <-；令'()0f x <，得1122x -<<， 所以()f x 在11(,)22-上单调递减，在1(,)2-∞-，1(,)2+∞上单调递增，且111111(1),(),(),(1)424244f c f c f c f c -=--=+=-=+， 若()f x 所有零点中存在一个绝对值大于1的零点0x ，则(1)0f ->或(1)0f <，即14c >或14c <-. 当14c >时，111111(1)0,()0,()0,(1)0424244f c f c f c f c -=->-=+>=->=+>，又32(4)6434(116)0f c c c c c c -=-++=-<，由零点存在性定理知()f x 在(4,1)c --上存在唯一一个零点0x ， 即()f x 在(,1)-∞-上存在唯一一个零点，在(1,)-+∞上不存在零点， 此时()f x 不存在绝对值不大于1的零点，与题设矛盾； 当14c <-时，111111(1)0,()0,()0,(1)0424244f c f c f c f c -=-<-=+<=-<=+<，又32(4)6434(116)0f c c c c c c -=++=->，由零点存在性定理知()f x 在(1,4)c -上存在唯一一个零点0x '，即()f x 在(1,)+∞上存在唯一一个零点，在(,1)-∞上不存在零点， 此时()f x 不存在绝对值不大于1的零点，与题设矛盾； 综上，()f x 所有零点的绝对值都不大于1.【例2】(2019·高考全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝sin x －ln(1＋x )，f ′(x )为f (x )的导数，证明：(1)f ′(x )在区间⎪⎭⎫⎝⎛-2,1π存在唯一极大值点； (2)f (x )有且仅有2个零点．【证明】 (1)设g (x )＝f ′(x )，则g (x )＝cos x －11＋x ，g ′(x )＝－sin x ＋1（1＋x ）2.当x ∈⎪⎭⎫⎝⎛-2,1π时，g ′(x )单调递减，而g ′(0)＞0，⎪⎭⎫ ⎝⎛'2πg ＜0，可得g ′(x )在⎪⎭⎫ ⎝⎛-2,1π有唯一零点，设为α.则当x ∈(－1，α)时，g ′(x )＞0；当x ∈⎪⎭⎫⎝⎛2,πα时，g ′(x )＜0. 所以g (x )在(－1，α)单调递增，在⎪⎭⎫⎝⎛2,πα单调递减， 故g (x )在⎪⎭⎫⎝⎛-2,1π存在唯一极大值点，即f ′(x )在⎪⎭⎫ ⎝⎛-2,1π存在唯一极大值点． (2)f (x )的定义域为(－1，＋∞)．(∈)当x ∈(－1，0]时，由(1)知，f ′(x )在(－1，0)单调递增，而f ′(0)＝0，所以当x ∈(－1，0)时，f ′(x )＜0， 故f (x )在(－1，0)单调递减．又f (0)＝0，从而x ＝0是f (x )在(－1，0]的唯一零点．(∈)当x ∈⎥⎦⎤ ⎝⎛2,0π时，由(1)知，f ′(x )在(0，α)单调递增，在⎪⎭⎫ ⎝⎛2,πα单调递减，而f ′(0)＝0，⎪⎭⎫⎝⎛'2πf ＜0，所以存在β∈⎪⎭⎫⎝⎛2,πα，使得f ′(β)＝0，且当x ∈(0，β)时，f ′(x )＞0；当x ∈⎪⎭⎫⎝⎛2,πβ时，f ′(x )＜0.故f (x )在(0，β)单调递增，在⎪⎭⎫⎝⎛2,πβ单调递减．又f (0)＝0，⎪⎭⎫⎝⎛2πf ＝1－ln ⎪⎭⎫ ⎝⎛+21π＞0，所以当x ∈⎥⎦⎤ ⎝⎛2,0π时，f (x )＞0.从而f (x )在⎥⎦⎤⎝⎛2,0π有零点．(∈)当x ∈⎥⎦⎤⎝⎛2,2ππ时，f ′(x )＜0，所以f (x )在⎪⎭⎫⎝⎛ππ,2单调递减．而⎪⎭⎫ ⎝⎛2πf ＞0，f (π)＜0，所以f (x )在⎥⎦⎤⎝⎛2,2ππ有唯一零点．(∈)当x ∈()π，＋∞时，ln(x ＋1)＞1，所以f (x )＜0，从而f (x )在(π，＋∞)没有零点． 综上，f (x )有且仅有2个零点．题型二 已知零点存在情况求参数范围【题型要点】解决此类问题常从以下两个方面考虑(1)根据区间上零点的个数情况，估计出函数图象的大致形状，从而推导出导数需要满足的条件，进而求出参数满足条件．(2)先求导，通过求导分析函数的单调情况，再依据函数在区间内的零点情况，推导出函数本身需要满足的条件，此时，由于函数比较复杂，常常需要构造新函数，通过多次求导，层层推理得解． 【例1】(2020·重庆调研)设函数f (x )＝－x 2＋ax ＋ln x (a ∈R )． (1)当a ＝－1时，求函数f (x )的单调区间；(2)设函数f (x )在⎥⎦⎤⎢⎣⎡3,31上有两个零点，求实数a 的取值范围．【解】(1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)， 当a ＝－1时，f ′(x )＝－2x －1＋1x ＝－2x 2－x ＋1x ，令f ′(x )＝0，得x ＝12(负值舍去)．当0＜x ＜12时，f ′(x )＞0.当x ＞12时，f ′(x )＜0，所以f (x )的单调递增区间为⎪⎭⎫ ⎝⎛21,0，单调递减区间为⎪⎭⎫⎝⎛+∞,21.。

第1节 导数的概念与导数的计算考试要求 1.了解导数概念的实际背景;2。

通过函数图象直观理解导数的几何意义；3。

能根据导数的定义求函数y ＝c （c 为常数），y ＝x ，y ＝错误!，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝错误!的导数；4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数,能求简单复合函数（仅限于形如y ＝f （ax ＋b ）的复合函数）的导数.知 识 梳 理1。

函数y ＝f (x ）在x ＝x 0处的导数(1)定义：称函数y ＝f （x )在x ＝x 0处的瞬时变化率0lim x ∆→错误!＝0lim x ∆→ 错误!为函数y ＝f （x ）在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0）或y ′｜x ＝x 0，即f ′（x 0)＝0lim x ∆→ 错误!＝0lim x ∆→ 错误!。

(2）几何意义：函数f （x )在点x 0处的导数f ′(x 0）的几何意义是在曲线y ＝f （x ）上点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率。

相应地，切线方程为y －y 0＝f ′（x 0）（x －x 0）.2。

函数y ＝f (x ）的导函数如果函数y ＝f (x ）在开区间（a ，b )内的每一点处都有导数，其导数值在（a ，b ）内构成一个新函数,这个函数称为函数y ＝f （x )在开区间内的导函数.记作f ′(x ）或y ′。

3。

基本初等函数的导数公式 基本初等函数 导函数f (x ）＝c (c 为常数) f ′（x )＝04.导数的运算法则若f′（x），g′（x）存在，则有：(1）[f(x)±g（x)]′＝f′（x)±g′(x);(2）[f（x)·g(x)］′＝f′(x）g(x）＋f（x)g′(x）；(3）错误!′＝错误!（g（x)≠0）。

5.复合函数的导数复合函数y＝f(g(x)）的导数和函数y＝f（u)，u＝g(x）的导数间的关系为y x′＝y u′·u x′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积。

2021高考数学一轮复习导数及其应用学案理知识点一、导数的差不多运算1．差不多初等函数的导数公式2．导数的运算法则(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)．3、复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积． 小题速通1．下列求导运算正确的是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ′＝1＋1x2B ．(log 2x )′＝1x ln 2C ．(3x )′＝3xlog 3eD ．(x 2cos x )′＝－2sin x2．函数f (x )＝(x ＋2a )(x －a )2的导数为( )A ．2(x 2－a 2) B ．2(x 2＋a 2) C ．3(x 2－a 2)D ．3(x 2＋a 2)3．函数f (x )＝ax 3＋3x 2＋2，若f ′(－1)＝4，则a 的值是( )A.193B.163C.133D.1034．(2021·天津高考)已知函数f (x )＝(2x ＋1)e x，f ′(x )为f (x )的导函数，则f ′(0)的值为________．5．函数y ＝ln 2x ＋1x的导数为________．易错点1．利用公式求导时，一定要注意公式的适用范畴及符号，如(x n)′＝nxn －1中n ≠0且n ∈Q *，(cos x )′＝－sin x .2．注意公式不要用混，如(a x )′＝a x ln a ，而不是(a x )′＝xa x －1.1、已知函数f (x )＝sin x －cos x ，若f ′(x )＝12f (x )，则tan x 的值为( )A ．1B ．－3C ．－1D ．2 2、若函数f (x )＝2x＋ln x 且f ′(a )＝0，则2aln 2a＝( )A ．－1B ．1C ．－ln 2D ．ln 2知识点二、导数的几何意义函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点P (x 0，y 0)处的切线的斜率(瞬时速度确实是位移函数s (t )对时刻t 的导数)．相应地，切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)·(x －x 0)． 小题速通1.(2020·郑州质检)已知y ＝f (x )是可导函数，如图，直线y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝( )A ．－1B ．0C ．2D ．4 2．设函数f (x )＝x ln x ，则点(1,0)处的切线方程是________． 3．已知曲线y ＝2x 2的一条切线的斜率为2，则切点的坐标为________．4．函数y ＝f (x )的图象在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝3x －2，则f (1)＋f ′(1)＝________. 易错点1．求曲线切线时，要分清在点P 处的切线与过P 点的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者． 2．曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个，这和研究直线与二次曲线相切时有差别． 1．若存在过点(1,0)的直线与曲线y ＝x 3和y ＝ax 2＋154x －9都相切，则a 等于( )A ．－1或－2564B ．－1或214C ．－74或－2564D ．－74或72.(2021·兰州一模)已知直线y ＝2x ＋1与曲线y ＝x 3＋ax ＋b 相切于点(1,3)，则实数b 的值为________．知识点三、利用导数研究函数的单调性1．函数f (x )在某个区间(a ，b )内的单调性与f ′(x )的关系(1)若f ′(x )>0，则f (x )在那个区间上是增加的． (2)若f ′(x )<0，则f (x )在那个区间上是减少的． (3)若f ′(x )＝0，则f (x )在那个区间内是常数． 2．利用导数判定函数单调性的一样步骤(1)求f ′(x )．(2)在定义域内解不等式f ′(x )>0或f ′(x )<0. (3)依照结果确定f (x )的单调性及单调区间．小题速通1．函数f (x )＝2x 3－9x 2＋12x ＋1的单调减区间是( )A ．(1,2)B ．(2，＋∞)C ．(－∞，1)D ．(－∞，1)和(2，＋∞) 2．已知函数f (x )的导函数f ′(x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，则f (x )的图象可能是( )3．已知f (x )＝x 2＋ax ＋3ln x 在(1，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范畴为( )A ．(－∞，－26] B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，62 C ．[－26，＋∞) D ．[－5，＋∞) 易错点若函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上单调递增，则f ′(x )≥0，且在(a ，b )的任意子区间，等号不恒成立；若函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上单调递减，则f ′(x )≤0，且在(a ，b )的任意子区间，等号不恒成立． 若函数f (x )＝x 3＋x 2＋mx ＋1是R 上的单调增函数，则m 的取值范畴是________．知识点四、利用导数研究函数的极值与最值1．函数的极大值在包含x 0的一个区间(a ，b )内，函数y ＝f (x )在任何一点的函数值都小于x 0点的函数值，称点x 0为函数y ＝f (x )的极大值点，其函数值f (x 0)为函数的极大值． 2．函数的极小值在包含x 0的一个区间(a ，b )内，函数y ＝f (x )在任何一点的函数值都大于x 0点的函数值，称点x 0为函数y ＝f (x )的极小值点，其函数值f (x 0)为函数的极小值．极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点． 3．函数的最值(1)在闭区间[a ，b ]上连续的函数f (x )在[a ，b ]上必有最大值与最小值．(2)若函数f (x )在[a ，b ]上单调递增，则f (a )为函数的最小值，f (b )为函数的最大值；若函数f (x )在[a ，b ]上单调递减，则f (a )为函数的最大值，f (b )为函数的最小值． 小题速通1．如图是f (x )的导函数f ′(x )的图象，则f (x )的极小值点的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．42．若函数f (x )＝x 3＋ax 2＋3x －9在x ＝－3时取得极值，则a 的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．53．(2021·济宁一模)函数f (x )＝12x 2－ln x 的最小值为( )A.12B ．1C ．0D ．不存在4．若函数f (x )＝12x 2－ax ＋ln x 有极值，则a 的取值范畴为________．5．设x 1，x 2是函数f (x )＝x 3－2ax 2＋a 2x 的两个极值点，若x 1<2<x 2，则实数a 的取值范畴是________． 易错点1．f ′(x 0)＝0是x 0为f (x )的极值点的既不充分也不必要条件．例如，f (x )＝x 3，f ′(0)＝0，但x ＝0不是极值点；又如f (x )＝|x |，x ＝0是它的极小值点，但f ′(0)不存在．2．求函数最值时，易误认为极值点确实是最值点，不通过比较就下结论． 1．(2021·岳阳一模)下列函数中，既是奇函数又存在极值的是( )A ．y ＝x 3B ．y ＝ln(－x )C ．y ＝x e －xD ．y ＝x ＋2x2．设函数f (x )＝x 3－3x ＋1，x ∈[－2,2]的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m ＝________.知识点五、定积分1．定积分的概念在∫ba f (x )d x 中，a ，b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b ]叫做积分区间，f (x )叫做被积函数，x 叫做积分变量，f (x )d x 叫做被积式． 2．定积分的性质(1) ⎠⎛a b kf (x )d x ＝k ⎠⎛a b f (x )d x (k 为常数)； (2) ⎠⎛a b [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝⎠⎛a b f 1(x )d x ±⎠⎛ab f 2(x )d x ；(3) ⎠⎛ab f (x )d x ＝⎠⎛ac f (x )d x ＋⎠⎛cb f (x )d x (其中a ＜c ＜b )．3．微积分差不多定理一样地，假如f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，同时F ′(x )＝f (x )，那么⎠⎛ab f (x )d x ＝F (b )－F (a )，那个结论叫做微积分差不多定理，又叫做牛顿－莱布尼茨公式．其中F (x )叫做f (x )的一个原函数．为了方便，常把F (b )－F (a )记作F (x ) ⎪⎪⎪ba，即⎠⎛ab f (x )d x ＝F (x ) ⎪⎪⎪ba ＝F (b )－F (a )．小题速通1．若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x ＞0，x ＋⎠⎛0a 3t 2d t ，x ≤0，f (f (1))＝1，则a 的值为( )A ．1B ．2C ．－1D ．－2 2.⎠⎛01(e x＋x)d x ＝________.3．(2020·天津高考)曲线y ＝x 2与直线y ＝x 所围成的封闭图形的面积为________． 易错点定积分的几何意义是曲边梯形的面积，但要注意：面积非负，而定积分的结果能够为负． 由曲线y ＝x 2和直线x ＝0，x ＝1，y ＝14所围成的图形(如图所示)的面积为( )A .23 B.13 C .12 D.14过关检测练习一、选择题1．已知函数f (x )＝log a x (a>0且a ≠1)，若f ′(1)＝－1，则a ＝( )A ．e B.1e C.1e 2 D.122．直线y ＝kx ＋1与曲线y ＝x 2＋ax ＋b 相切于点A(1,3)，则2a ＋b 的值为( )A ．－1B ．1C ．2D ．－23．函数y ＝2x 3－3x 2的极值情形为( )A ．在x ＝0处取得极大值0，但无极小值B ．在x ＝1处取得极小值－1，但无极大值C ．在x ＝0处取得极大值0，在x ＝1处取得极小值－1D ．以上都不对4．若f(x)＝－12x 2＋m ln x 在(1，＋∞)是减函数，则m 的取值范畴是( )A ．[1，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，1]D ．(－∞，1)5．函数f (x )＝(x －3)e x的单调递增区间是( )A ．(－∞，2)B ．(0,3)C ．(1,4)D ．(2，＋∞)6．已知函数f (x )＝x (x －m )2在x ＝1处取得极小值，则实数m ＝( )A ．0B ．1C ．2D ．37．由曲线y ＝x 2－1，直线x ＝0，x ＝2和x 轴所围成的封闭图形的面积是( )A .⎠⎛02(x 2－1)d x B.⎠⎛02|x 2－1|d x C .⎠⎛02(x 2－1)d x D .⎠⎛01(x 2－1)d x ＋⎠⎛12(1－x 2)d x8．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－2x，x ≤0，x 3－3x ＋a ，x >0的值域为[0，＋∞)，则实数a 的取值范畴是( )A ．[2,3]B ．(2,3]C ．(－∞，2]D ．(－∞，2) 二、填空题9．若函数f (x )＝x ＋a ln x 不是单调函数，则实数a 的取值范畴是________． 10．已知函数f (x )＝ln x －f ′(－1)x 2＋3x －4，则f ′(1)＝________.11．已知函数f (x )的图象在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝12x ＋3，则f (1)＋f ′(1)＝________.12．已知函数g (x )满足g (x )＝g ′(1)e x －1－g (0)x ＋12x 2，且存在实数x 0，使得不等式2m －1≥g (x 0)成立，则实数m的取值范畴为________． 三、解答题13．已知函数f (x )＝x ＋a x＋b (x ≠0)，其中a ，b ∈R.(1)若曲线y ＝f (x )在点P (2，f (2))处的切线方程为y ＝3x ＋1，求函数f (x )的解析式； (2)讨论函数f (x )的单调性；(3)若关于任意的a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，不等式f (x )≤10在⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，1上恒成立，求实数b 的取值范畴．14．已知函数f (x )＝x 4＋a x －ln x －32，其中a ∈R ，且曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝12x .(1)求a 的值；(2)求函数f(x)的单调区间与极值．高考研究课：一 导数运确实是基点、几何意义是重点、定积分应用是潜考点考点 考查频度 考查角度导数的几何意义5年7考 求切线、已知切线求参数、求切点坐标定积分未考查题型一、导数的运算[典例] (1)(2020·惠州模拟)已知函数f (x )＝1x cos x ，则f (π)＋f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝( ) A ．－3π2 B ．－1π2 C ．－3π D ．－1π(2)已知f 1(x )＝sin x ＋cos x ，f n ＋1(x )是f n (x )的导函数，即f 2(x )＝f 1′(x )，f 3(x )＝f 2′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N *，则f 2 018(x )等于( )A ．－sin x －cos xB ．sin x －cos xC ．sin x ＋cos xD ．cos x －sin x (3)已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，则f ′(1)＝( ) A ．－e B ．－1 C ．1 D ．e 方法技巧1、可导函数的求导步骤(1)分析函数y ＝f (x )的结构特点，进行化简； (2)选择恰当的求导法则与导数公式求导； (3)化简整理答案． 2、求导运算应遵循的原则求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，如此能够减少运算量，提高运算速度，减少差错． 即时演练1．(2020·江西九校联考)已知y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)，则y ′＝( )A ．3x 2－12x ＋6 B ．x 2＋12x －11 C ．x 2＋12x ＋6 D ．3x 2＋12x ＋11 2．已知函数f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0＝________.题型二、导数的几何意义导数的几何意义为高考热点内容，考查题型多为选择、填空题，也常显现在解答题的第1问中，难度较低，属中、低档题. 常见的命题角度有： 1求切线方程； 2确定切点坐标；3已知切线求参数值或范畴； 4切线的综合应用.角度一：求切线方程1．已知函数f (x )＝ln(1＋x )－x ＋x 2，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程是________．角度二：确定切点坐标2．已知函数f (x )＝exx(x >0)，直线l ：x －ty －2＝0.若直线l 与曲线y ＝f (x )相切，则切点横坐标的值为________．角度三：已知切线求参数值或范畴3．(2021·武汉一模)已知a 为常数，若曲线y ＝ax 2＋3x －ln x 上存在与直线x ＋y －1＝0垂直的切线，则实数a 的取值范畴是________．4．若两曲线y ＝x 2－1与y ＝a ln x －1存在公切线，则正实数a 的取值范畴是________．角度四：切线的综合应用5．已知函数f (x )＝m ln(x ＋1)，g (x )＝xx ＋1(x >－1)．(1)讨论函数F (x )＝f (x )－g (x )在(－1，＋∞)上的单调性；(2)若y ＝f (x )与y ＝g (x )的图象有且仅有一条公切线，试求实数m 的值．方法技巧利用导数解决切线问题的方法(1)已知切点A (x 0，f (x 0))求斜率k ，即求该点处的导数值：k ＝f ′(x 0)． (2)已知斜率k ，求切点A (x 1，f (x 1))，即解方程f ′(x 1)＝k .(3)已知过某点M (x 1，f (x 1))(不是切点)的切线斜率为k 时，常需设出切点A (x 0，f (x 0))，利用k ＝f x 1－f x 0x 1－x 0求解．题型三、定积分及应用[典例] (1)(2020·东营模拟)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈[0，1]，2－x ，x ∈1，2]，则⎠⎛02f(x)d x 等于( )A.34B.45C.56D ．不存在 (2)设f (x )＝)⎩⎨⎧1－x 2，x ∈[－1，1，x 2－1，x ∈[1，2]，则⎠⎛-12f (x )dx 的值为( )A.π2＋43 B.π2＋3 C.π4＋43 D.π4＋3 (3)设a ＞0，若曲线y ＝x 与直线x ＝a ，y ＝0所围成封闭图形的面积为a 2，则a ＝________.方法技巧求定积分的2种方法及注意事项(1)定理法运用微积分差不多定理求定积分时要注意以下几点： ①对被积函数要先化简，再求积分；②求被积函数为分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和； ③关于含有绝对值符号的被积函数，要先去掉绝对值符号再求积分； ④注意用“F′(x )＝f (x )”检验积分的对错． (2)面积法依照定积分的几何意义可利用面积求定积分． 即时演练1．(2020·西安调研)定积分⎠⎛01(2x ＋e x)d x 的值为( )A ．e ＋2B ．e ＋1C ．eD ．e －12．直线y ＝2x ＋3与抛物线y ＝x 2所围成封闭图形的面积为________．3．如图，在长方形OABC 内任取一点P ，则点P 落在阴影部分的概率为________．高考真题演练1．(2020·全国卷Ⅱ)设曲线y ＝ax －ln(x ＋1)在点(0,0)处的切线方程为y ＝2x ，则a ＝( )A ．0B ．1C ．2D ．32．(2021·全国卷Ⅰ)曲线y ＝x 2＋1x在点(1,2)处的切线方程为________．3．(2021·全国卷Ⅱ)若直线y ＝kx ＋b 是曲线y ＝ln x ＋2的切线，也是曲线y ＝ln (x ＋1)的切线，则b ＝________. 4．(2020·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝ax 3＋x ＋1的图象在点(1，f (1))处的切线过点(2,7)，则a ＝________. 5．(2020·全国卷Ⅱ)已知曲线y ＝x ＋ln x 在点(1,1)处的切线与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，则a ＝________.高考达标检测一、选择题1．若a ＝⎠⎛02x d x ，则二项式⎝⎛⎭⎪⎫x －a ＋1x 6展开式中的常数项是( ) A ．20 B ．－20 C ．－540 D ．5402．(2020·衡水调研)曲线y ＝1－2x ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为( ) A ．y ＝2x ＋1 B ．y ＝2x －1 C ．y ＝－2x －3 D ．y ＝－2x －23．(2020·济南一模)已知曲线f (x )＝ln x 的切线通过原点，则此切线的斜率为( )A ．eB ．－eC .1eD ．－1e4．已知f (x )＝ln x ，g (x )＝12x 2＋mx ＋72(m ＜0)，直线l 与函数f (x )，g (x )的图象都相切，且与f(x)图象的切点为(1，f (1))，则m 的值为( )A ．－1B ．－3C ．－4D ．－25．(2020·南昌二中模拟)设点P 是曲线y ＝x 3－3x ＋23上的任意一点，P 点处切线倾斜角α的取值范畴为( )A .⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫5π6，π B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3，π C .⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3，π D.⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，5π6 6．已知曲线y ＝1e x ＋1，则曲线的切线斜率取得最小值时的直线方程为( ) A ．x ＋4y －2＝0 B ．x －4y ＋2＝0 C ．4x ＋2y －1＝0 D ．4x －2y －1＝0二、填空题7．若a 和b 是运算机在区间(0,2)上产生的随机数，那么函数f(x)＝lg (ax 2＋4x ＋4b)的值域为R 的概率为________． 8．已知函数f (x )＝e ax＋bx (a <0)在点(0，f(0))处的切线方程为y ＝5x ＋1，且f (1)＋f ′(1)＝12.则a ，b 的值分别为________．9．(2021·东营一模)函数f (x )＝x ln x 在点P(x 0，f (x 0))处的切线与直线x ＋y ＝0垂直，则切点P(x 0，f (x 0))的坐标为________．10．设过曲线f (x )＝－e x－x(e 为自然对数的底数)上的任意一点的切线为l 1，总存在过曲线g (x )＝mx －3sin x 上的一点处的切线l 2，使l 1⊥l 2，则m 的取值范畴是________． 三、解答题11．已知函数f (x )＝13x 3－2x 2＋3x (x ∈R)的图象为曲线C .(1)求过曲线C 上任意一点切线斜率的取值范畴；(2)若在曲线C 上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C 的切点的横坐标的取值范畴．12．已知函数f (x )＝12x 2－ax ＋(3－a )ln x ，a ∈R.(1)若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与直线2x －y ＋1＝0垂直，求a 的值； (2)设f (x )有两个极值点x 1，x 2，且x 1<x 2，求证：f (x 1)＋f (x 2)>－5.能力提高训练题1．(2020·广东七校联考)已知函数y ＝x 2的图象在点(x 0，x 20)处的切线为l ，若l 也与函数y ＝ln x ，x ∈(0,1)的图象相切，则x 0必满足( )A ．0<x 0<12B.12<x 0<1 C.22<x 0< 2 D.2<x 0< 32．函数y ＝f (x )图象上不同两点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)处的切线的斜率分别是k M ，k N ，规定φ(M ，N )＝|k M －k N ||MN |(|MN |为线段MN 的长度)叫做曲线y ＝f (x )在点M 与点N 之间的“弯曲度”．设曲线f (x )＝x 3＋2上不同两点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，且x 1x 2＝1，则φ(M ，N )的取值范畴是________．高考研究课：二、函数单调性必考，导数工具离不了全国卷5年命题分析[典例] (2021·山东高考节选)已知f (x )＝a (x －ln x )＋2x －1x2，a ∈R ，讨论f (x )的单调性．方法技巧导数法判定函数f (x )在(a ，b )内单调性的步骤(1)求f ′(x )；(2)确定f ′(x )在(a ，b )内的符号；(3)作出结论：f ′(x )＞0时为增函数；f ′(x )＜0时为减函数．[提醒] 研究含参数函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的阻碍进行分类讨论． 即时演练1．(2021·芜湖一模)函数f (x )＝e x－e x ，x ∈R 的单调递增区间是( )A.()0，＋∞B.()－∞，0C.()－∞，1D.()1，＋∞ 2．(2021·全国卷Ⅱ节选)讨论函数f (x )＝x －2x ＋2e x 的单调性，并证明当x >0时，(x －2)e x＋x ＋2>0. 题型二、利用导数研究函数单调性的应用函数的单调性是高考命题的重点，其应用是考查热点.,常见的命题角度有： 1y ＝f (x )与y ＝f ′(x )的图象辨识；2比较大小；3已知函数单调性求参数的取值范畴； 4构造函数解不等式.角度一：y ＝f (x )与y ＝f ′(x )的图象辨识1.已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d ，若函数f (x )的图象如图所示，则一定有( )A ．b >0，c >0B ．b <0，c >0C ．b >0，c <0D ．b <0，c <02.已知函数y ＝f (x )的图象是下列四个图象之一，且其导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则该函数的图象是( )角度二：比较大小3．设定义在R 上的函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (2－x )＝f (x )，f ′xx －1<0，若x 1＋x 2>2，x 1<x 2，则( ) A ．f (x 1)<f (x 2) B ．f (x 1)＝f (x 2) C ．f (x 1)>f (x 2) D ．f (x 1)与f (x 2)的大小不能确定角度三：已知函数单调性求参数的取值范畴4．(2020·宝鸡一检)已知函数f (x )＝x 2＋4x ＋a ln x ，若函数f (x )在(1,2)上是单调函数，则实数a 的取值范畴是( )A ．(－6，＋∞)B ．(－∞，－16)C ．(－∞，－16]∪[－6，＋∞)D ．(－∞，－16)∪(－6，＋∞)5．(2020·成都模拟)已知函数f (x )＝－12x 2＋4x －3ln x 在区间[t ，t ＋1]上不单调，则t 的取值范畴是________．方法技巧由函数的单调性求参数的范畴的方法(1)可导函数f (x )在D 上单调递增(或递减)求参数范畴问题，可转化为f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)对x ∈D 恒成立问题，再参变分离，转化为求最值问题，要注意“＝”是否取到．(2)可导函数在某一区间上存在单调区间，实际上确实是f ′(x )＞0(或f ′(x )＜0)在该区间上存在解集，如此就把函数的单调性问题转化成不等式问题．(3)若已知f (x )在区间I 上的单调性，区间I 中含有参数时，可先求出f (x )的单调区间，令I 是其单调区间的子集，从而可求出参数的取值范畴．(4)若已知f (x )在D 上不单调，则f (x )在D 上有极值点，且极值点不是D 的端点．角度四：构造函数解不等式6．设f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当x <0时，f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )>0，且g (3)＝0.则不等式f (x )g (x )<0的解集是( )A ．(－3,0)∪(3，＋∞)B ．(－3,0)∪(0,3)C ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(0,3)7．设函数f (x )是定义在(－∞，0)上的可导函数，其导函数为f ′(x )，且有2f (x )＋xf ′(x )>x 2，则不等式(x ＋2 018)2f (x ＋2 018)－f (－1)<0的解集为________．高考真题演练1．(2021·全国卷Ⅰ)若函数f (x )＝x －13sin 2x ＋a sin x 在(－∞，＋∞)单调递增，则a 的取值范畴是( )A ．[－1,1] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，13 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，13 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－13 2．(2020·全国卷Ⅱ)若函数f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)单调递增，则k 的取值范畴是( )A ．(－∞，－2]B ．(－∞，－1]C ．[2，＋∞)D ．[1，＋∞) 3．(2021·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝e x(e x－a )－a 2x .(1)讨论f (x )的单调性；(2)若f (x )≥0，求a 的取值范畴．高考达标检测一、选择题1．已知函数f (x )＝ln x ＋x 2－3x (a ∈R)，则函数f (x )的单调递增区间为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12 B ．(1，＋∞) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12和(1，＋∞) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12和(1，＋∞) 2．(2021·浙江高考)函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )3．关于R 上可导的任意函数f (x )，若满足1－xf ′x≤0，则必有( )A ．f (0)＋f (2)＞2f (1)B ．f (0)＋f (2)≤2f (1)C ．f (0)＋f (2)＜2f (1)D ．f (0)＋f (2)≥2f (1)4．已知函数f (x )＝x sin x ，x 1，x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，且f (x 1)＜f (x 2)，那么( ) A ．x 1－x 2＞0 B ．x 1＋x 2＞0 C ．x 21－x 22＞0 D ．x 21－x 22＜05．(2021·吉林长春三模)定义在R 上的函数f (x )满足：f ′(x )＞f (x )恒成立，若x 1＜x 2，则e x 1f (x 2)与e x 2f (x 1)的大小关系为( )A ．e x 1f (x 2)＞e x 2f (x 1)B ．e x 1f (x 2)＜e x 2f (x 1)C ．e x 1f (x 2)＝e x 2f (x 1)D ．e x 1f (x 2)与e x 2f (x 1)的大小关系不确定6．已知定义在R 上的函数y ＝f (x )满足条件f (x ＋4)＝－f (x )，且函数y ＝f (x ＋2)是偶函数，当x ∈(0,2]时，f (x )＝ln x －ax ⎝ ⎛⎭⎪⎫a >12，当x ∈[－2,0)时，f (x )的最小值为3，则a 的值为( ) A ．e 2B ．eC ．2D ．1 二、填空题7．设函数f (x )＝x (e x－1)－12x 2，则函数f (x )的单调增区间为________．8．已知函数f (x )＝x ln x －ax 2－x .若函数f (x )在定义域上为减函数，则实数a 的取值范畴是________． 9．(2020·兰州诊断)若函数f (x )＝x 2－e x－ax 在R 上存在单调递增区间，则实数a 的取值范畴是________． 三、解答题10．已知函数f (x )＝x －2x＋1－a ln x ，a ＞0.讨论f (x )的单调性．11．(2020·武汉调研)已知函数f (x )＝x ln x .(1)若函数g (x )＝f (x )＋ax 在区间[e 2，＋∞)上为增函数，求a 的取值范畴； (2)若对任意x ∈(0，＋∞)，f (x )≥－x 2＋mx －32恒成立，求实数m 的最大值．12．(2020·湖南十校联考)函数f (x )＝13x 3＋|x －a |(x ∈R ，a ∈R)．(1)若函数f (x )在R 上为增函数，求a 的取值范畴；(2)若函数f (x )在R 上不单调时，记f (x )在[－1,1]上的最大值、最小值分别为M (a )，m (a )，求M (a )－m (a )．能力提高训练题1．已知函数f (x )＝ln x ＋(e －a )x －b ，其中e 为自然对数的底数．若不等式f (x )≤0恒成立，则b a的最小值为________．2．已知函数f (x )＝(a －1)ln x －a 2x 2＋x (a ∈R)，g (x )＝－13x 3－x ＋(a －1)ln x .(1)若a ≤12，讨论f (x )的单调性；(2)若过点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－13可作函数y ＝g (x )－f (x )(x >0)图象的两条不同切线，求实数a 的取值范畴．高考研究课：三、极值、最值两考点，利用导数巧推演全国卷5年命题分析极值 5年6考 求极值、由极值求参数 最值 5年5考 求最值、证明最值的存在性题型一、运用导数解决函数的极值问题函数的极值是每年高考的必考内容，题型既有选择题、填空题，也有解答题，难度适中，为中高档题.常见的命题角度有：1知图判定函数极值；2已知函数求极值；3已知极值求参数值或范畴.角度一：知图判定函数极值1.(2020·赤峰模拟)设函数f (x )在定义域R 上可导，其导函数为f ′(x )，若函数y ＝(1－x )f ′(x )的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( )A ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (1)B ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (1)C ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (－2)D ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (2)角度二：已知函数求极值2．已知函数f (x )＝x －1＋aex (a ∈R ，e 为自然对数的底数)． (1)若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线平行于x 轴，求a 的值；(2)求函数f (x )的极值．角度三：已知极值求参数值或范畴3．设函数f (x )＝ln x －1ax 2－bx ，若x ＝1是f (x )的极大值点，则a 的取值范畴是( )A ．(－1,0)B ．(－1，＋∞)C ．(0,1)D ．(1，＋∞)4．已知函数f (x )＝ax －x 2－ln x ，若函数f (x )存在极值，且所有极值之和小于5＋ln 2，则实数a 的取值范畴是________．方法技巧利用导数研究函数极值的一样流程题型二、运用导数解决函数的最值问题[典例] (2020·日照模拟)设函数f (x )＝(x －1)e x －kx 2(k ∈R)． (1)当k ＝1时，求函数f (x )的单调区间；(2)当k ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1时，求函数f (x )在[0，k ]上的最大值M .方法技巧 求函数f (x )在[a ，b ]上的最值的步骤(1)求函数在(a ，b )内的极值；(2)求函数在区间端点的函数值f (a )，f (b )；(3)将函数f (x )的极值与f (a )，f (b )比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．即时演练1．若函数f (x )＝13x 3＋x 2－23在区间(a ，a ＋5)上存在最小值，则实数a 的取值范畴是( ) A ．[－5,0)B ．(－5,0)C ．[－3,0)D ．(－3,0)2．(2020·南昌模拟)已知函数f (x )＝(2x －4)e x ＋a (x ＋2)2(x >0，a ∈R ，e 是自然对数的底数)．(1)若f (x )是(0，＋∞)上的单调递增函数，求实数a 的取值范畴；(2)当a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12时，证明：函数f (x )有最小值，并求函数f (x )的最小值的取值范畴．高考真题演练1．(2021·全国卷Ⅱ)若x ＝－2是函数f (x )＝(x 2＋ax －1)·ex －1的极值点，则f (x )的极小值为( ) A ．－1 B ．－2e －3 C ．5e －3 D ．12．(2020·全国卷Ⅱ)设函数f (x )＝3sin πx m.若存在f (x )的极值点x 0满足x 20＋[f (x 0)]2<m 2，则m 的取值范畴是( )A ．(－∞，－6)∪(6，＋∞)B ．(－∞，－4)∪(4，＋∞)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)3．(2020·全国卷Ⅱ)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，下列结论中错误的是( )A ．∃x 0∈R ，f (x 0)＝0B ．函数y ＝f (x )的图象是中心对称图形C ．若x 0是f (x )的极小值点，则f (x )在区间(－∞，x 0)单调递减D ．若x 0是f (x )的极值点，则 f ′(x 0)＝04．(2020·全国卷Ⅱ)已知函数f (x )＝ln x ＋a (1－x )．(1)讨论f (x )的单调性；(2)当f (x )有最大值，且最大值大于2a －2时，求a 的取值范畴．5．(2020·全国卷Ⅱ)已知函数f (x )＝x 2e －x .(1)求f (x )的极小值和极大值； (2)当曲线y ＝f (x )的切线l 的斜率为负数时，求l 在x 轴上截距的取值范畴．6．(2021·江苏高考)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋1(a >0，b ∈R)有极值，且导函数f ′(x )的极值点是f (x )的零点．(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值)(1)求b 关于a 的函数关系式，并写出定义域；(2)证明：b 2>3a ；(3)若f (x )，f ′(x )这两个函数的所有极值之和不小于－72，求a 的取值范畴．7．(2021·山东高考)已知函数f(x)＝x2＋2cos x，g(x)＝e x(cos x－sin x＋2x－2)，其中e＝2.718 28…是自然对数的底数．(1)求曲线y＝f(x)在点(π，f(π))处的切线方程；(2)令h(x)＝g(x)－af(x)(a∈R)，讨论h(x)的单调性并判定有无极值，有极值时求出极值．高考达标检测一、选择题1．函数f (x )＝(x 2－1)2＋2的极值点是( )A ．x ＝1B ．x ＝－1C ．x ＝1或－1或0D ．x ＝0 2．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx －a 2－7a 在x ＝1处取得极大值10，则a b 的值为( )A ．－23B ．－2C ．－2或－23D ．2或－233．(2020·浙江瑞安中学月考)已知函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx 的图象如图所示，则x 21＋x 22等于( )A.23B.43C.83D.163题：①f (x )的解析式为：f (x )＝x 3－4x ，x ∈[－2,2]；②f (x )的极值点有且仅有一个；③f (x )的最大值与最小值之和等于零．其中正确的命题个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3 5．(2021·长沙二模)已知函数f (x )＝x x 2＋a (a ＞0)在[1，＋∞)上的最大值为33，则a 的值为( ) A.3－1 B.34 C.43 D.3＋16．已知直线l 1：y ＝x ＋a 分别与直线l 2：y ＝2(x ＋1)及曲线C ：y ＝x ＋ln x 交于A ，B 两点，则A ，B 两点间距离的最小值为( ) A.355 B ．3 C.655 D ．3 2二、填空题7．若函数f (x )＝2x 2－ln x 在其定义域的一个子区间(k －1，k ＋1)内存在最小值，则实数k 的取值范畴是________．8．已知函数f (x )＝e x x 2－k ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋ln x ，若x ＝2是函数f (x )的唯独一个极值点，则实数k 的取值范畴为________． 9．(2020·湘中名校联考)已知函数g (x )＝a －x 21e≤x ≤e，e 为自然对数的底数与h (x )＝2ln x 的图象上存在关于x 轴对称的点，则实数a 的取值范畴是________．三、解答题10．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x 3＋x 2，x <1，a ln x ，x ≥1.(1)求f (x )在区间(－∞，1)上的极小值和极大值点；(2)求f (x )在[－1，e](e 为自然对数的底数)上的最大值．11．设函数f (x )＝12x 2－(a ＋1)x ＋a ln x ，a >0. (1)求函数f (x )的单调区间；(2)讨论函数f (x )的零点个数．12．已知函数f(x)＝ln x＋x2－ax(a∈R)．(1)当a＝3时，求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)有两个极值点x1，x2，且x1∈(0,1]，证明f(x1)－f(x2)≥－34＋ln 2.能力提高训练题1．若函数f(x)＝x3＋ax2＋bx的图象与x轴相切于点(c,0)，且f(x)有极大值4，则c＝( ) A．－3 B．－1C．1 D．32．已知函数f (x )＝12x 2＋(1－m )x ＋ln x .(1)若函数f (x )存在单调递减区间，求实数m 的取值范畴；(2)设x 1，x 2(x 1<x 2)是函数f (x )的两个极值点，若m ≥72，求f (x 1)－f (x 2)的最小值．高考研究课：四、综合问题是难点，3大题型全冲关全国卷5年命题分析[典例] 一辆火车前行每小时电力的消耗费用与火车行驶速度的立方成正比，已知当速度为20 km/h 时，每小时消耗的电价值40元，其他费用每小时需400元，火车的最高速度为100 km/h ，火车以何速度行驶才能使从甲城开往乙城的总费用最少？ 方法技巧利用导数解决生活中的优化问题的4步骤(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y ＝f (x )；(2)求函数的导数f ′(x )，解方程f ′(x )＝0；(3)比较函数在区间端点和f ′(x )＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值； (4)回来实际问题作答． 即时演练1．已知某生产厂家的年利润y (单位：万元)与年产量x (单位：万件)的函数关系式为y ＝－13x 3＋81x －234，则使该生产厂家猎取最大年利润的年产量为( )A ．13万件B ．11万件C．9万件D．7万件2．据环保部门测定，某处的污染指数与邻近污染源的强度成正比，与到污染源距离的平方成反比，比例常数为k(k ＞0)．现已知相距18 km的A，B两家化工厂(污染源)的污染强度分别为a，b，它们连线上任意一点C处的污染指数y等于两化工厂对该处的污染指数之和．设AC＝x(km)．(1)试将y表示为x的函数；(2)若a＝1，且x＝6时，y取得最小值，试求b的值．题型二、利用导数研究函数的零点或方程根[典例] 已知函数f(x)＝(x＋a)e x，其中e是自然对数的底数，a∈R.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)当a＜1时，试确定函数g(x)＝f(x－a)－x2的零点个数，并说明理由．方法技巧利用导数研究零点或方程根的方法研究方程根的情形，能够通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，依照题目要求，画出函数图象的走势规律，标明函数极(最)值的位置，通过数形结合的思想去分析问题，能够使问题的求解有一个清晰、直观的整体展现． 即时演练1．已知函数f (x )＝e 2x－ax 2＋bx －1，其中a ，b ∈R ，e 为自然对数的底数，若f (1)＝0，f ′(x )是f (x )的导函数，函数f ′(x )在区间(0,1)内有两个零点，则a 的取值范畴是( )A ．(e 2－3，e 2＋1) B ．(e 2－3，＋∞) C ．(－∞，2e 2＋2)D ．(2e 2－6,2e 2＋2)2．(2021·西安一模)已知函数f (x )＝x ＋1＋ax－a ln x ．若函数y ＝f (x )的图象在x ＝1处的切线与直线2x ＋y －1＝0平行．(1)求a 的值；(2)若方程f (x )＝b 的区间[1，e]上有两个不同的实数根，求实数b 的取值范畴．题型二、利用导数研究与不等式有关的问题导数在不等式中的应用问题是每年高考的必考内容，且以解答题的形式考查，难度较大，属中高档题. 常见的命题角度有： 1证明不等式； 2不等式恒成立问题.角度一：证明不等式1．已知函数f (x )＝ln x －ax 2＋(2－a )x (a >0)．(1)讨论函数f (x )的单调性；(2)证明：当0<x <1a时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋x >f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －x ；(3)设函数y ＝f (x )的图象与x 轴交于A ，B 两点，线段AB 的中点的横坐标为x 0，证明：f ′(x 0)<0.方法技巧利用导数证明不等式的方法能够从所证不等式的结构和特点动身，结合已有的知识利用转化与化归思想，构造一个新的函数，再借助导数确定函数的单调性，利用单调性实现问题的转化，从而使不等式得到证明，其一样步骤是：构造可导函数→研究单调性或最值→得出不等关系→整理得出结论．如：证明：f (x )＞g (x )(x ∈D )，令F (x )＝f (x )－g (x )，x ∈D ，只需证明F (x )min ＞0(x ∈D )即可，从而把证明不等式问题转化求F (x )min 问题．角度二：不等式恒成立问题2．(2021·四川高考)设函数f (x )＝ax 2－a －ln x ，其中a ∈R.(1)讨论f (x )的单调性；(2)确定a 的所有可能取值，使得f (x )＞1x－e 1－x在区间(1，＋∞)内恒成立(e ＝2.718…为自然对数的底数)．方法技巧1．利用导数研究不等式恒成立问题的思路第一要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范畴；也可分离变量，构造函数，直截了当把问题转化为函数的最值问题． 2．不等式成立(恒成立)问题常见转化方法(1)f (x )≥a 恒成立⇒f (x )min ≥a ，f (x )≥a 成立⇒f (x )max ≥a . (2)f (x )≤b 恒成立⇔f (x )max ≤b ，f (x )≤b 成立⇔f (x )min ≤b . (3)f (x )＞g (x )恒成立F x ＝f x －g xF (x )min ＞0.(4)①∀x 1∈M ，∀x 2∈N ，f (x 1)＞g (x 2)⇔f (x 1)min ＞g (x 2)max .②∀x 1∈M ，∃x 2∈N ，f (x 1)＞g (x 2)⇔f (x 1)min ＞g (x 2)min .③∃x 1∈M ，∃x 2∈N ，f (x 1)＞g (x 2)⇔f (x 1)max ＞g (x )min .④∃x 1∈M ，∀x 2∈N ，f (x 1)＞g (x 2)⇔f (x 1)max ＞g (x 2)max .高考真题演练1．(2021·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝a e 2x＋(a －2)e x－x .(1)讨论f (x )的单调性；(2)若f (x )有两个零点，求a 的取值范畴．2．(2021·全国卷Ⅲ)已知函数f (x )＝x －1－a ln x .(1)若f (x )≥0，求a 的值；(2)设m 为整数，且关于任意正整数n ，⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋122·…·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12n <m ，求m 的最小值．3．(2021·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝(x－2)e x＋a(x－1)2有两个零点．(1)求a的取值范畴；(2)设x1，x2是f(x)的两个零点，证明：x1＋x2<2.4．(2020·全国卷Ⅱ)设函数f(x)＝e mx＋x2－mx.(1)证明：f(x)在(－∞，0)单调递减，在(0，＋∞)单调递增；(2)若关于任意x1，x2∈[－1,1]，都有|f(x1)－f(x2)|≤e－1，求m的取值范畴．高考达标检测1．(2020·全国卷Ⅰ)设函数f (x )＝a ln x ＋1－a 2x 2－bx (a ≠1)，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线斜率为0.(1)求b ；(2)若存在x 0≥1，使得f (x 0)<aa －1，求a 的取值范畴．2．已知函数f (x )＝ln x －a x ＋a x2(a ∈R)．(1)若a ＝1，求函数f (x )的极值；(2)若f (x )在[1，＋∞)内为单调增函数，求实数a 的取值范畴； (3)关于n ∈N *，求证：11＋12＋22＋12＋33＋12＋…＋n n ＋12<ln(n ＋1)．3．已知函数f (x )＝sin x －x cos x (x ≥0)．(1)求函数f (x )的图象在⎝⎛⎭⎪⎫π2，1处的切线方程；(2)若对任意x ∈(0，＋∞)，不等式f (x )<ax 3恒成立，求实数a 的取值范畴； (3)设m ＝∫π20f(x)d x ，g(x)＝6m 4－πx 2f(x)，证明：⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋g ⎝ ⎛⎭⎪⎫13⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋g ⎝ ⎛⎭⎪⎫132·…·⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋g ⎝ ⎛⎭⎪⎫13n <e .4．(2021·天津高考)设a ∈Z ，已知定义在R 上的函数f (x )＝2x 4＋3x 3－3x 2－6x ＋a 在区间(1,2)内有一个零点x 0，g (x )为f (x )的导函数．(1)求g (x )的单调区间；(2)设m ∈[1，x 0)∪(x 0,2]，函数h (x )＝g (x )(m －x 0)－f (m )，求证：h (m )h (x 0)<0；(3)求证：存在大于0的常数A ，使得关于任意的正整数p ，q ，且pq∈[1，x 0)∪(x 0,2]，满足⎪⎪⎪⎪⎪⎪p q－x 0≥1Aq 4.。

第1节导数的概念及运算考试要求1。

通过实例分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景,知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，体会导数的内涵与思想；2。

体会极限思想；3.通过函数图象直观理解导数的几何意义；4.能根据导数定义求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝错误!,y＝错误!的导数；5。

能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则，求简单函数的导数；能求简单的复合函数（限于形如f(ax＋b））的导数;6。

会使用导数公式表.知识梳理1。

导数的概念设函数y＝f(x）在区间(a，b）上有定义,且x0∈（a，b)，若Δx无限趋近于0时，比值错误!＝错误!无限趋近于一个常数A，则称f（x）在x＝x0处可导,并称该常数A为函数f(x）在x＝x0处的导数，记作f′（x0）。

若函数y＝f（x）在区间（a，b)内任意一点都可导，则f（x）在各点的导数也随着x的变化而变化,因而是自变量x的函数，该函数称作f（x）的导函数，记作f′（x）.2。

导数的几何意义导数f′(x0)的几何意义就是曲线y＝f（x)在点P（x0，f(x0)）处的切线的斜率，在点P的切线方程为y－y0＝f′（x0)(x－x0）。

3.基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f（x）＝C(C为常数)f′(x)＝0f(x）＝xα(α∈Q＊)f′(x）＝αxα－1f（x)＝sin x f′(x）＝cos__x f（x)＝cos x f′（x）＝－4若f′（x)，g′(x)存在,则有：(1)[Cf（x)］′＝Cf′（x）（C为常数)；（2）［f（x）±g(x）]′＝f′（x）±g′（x);(3)[f(x)·g（x）]′＝f′（x)g(x）＋f(x）g′(x)；(4)错误!′＝错误!(g(x)≠0）.5.复合函数求导的运算法则若y＝f(u)，u＝ax＋b，则y x′＝y u′·u x′，即y x′＝y u′·a.[常用结论与微点提醒］1。