函数的性质与图像的研究
数学教研组 王晓芸
【复习要求】
1． 复习巩固常见函数的性质与图像，
独立的开展函数性质的相关研究。 2． 灵活的运用观察、类比、联想、归
纳等的数学思维方法。
3． 在探索活动中能在教师引导下体验
数学研究活动的一般过程。 【要点回顾】
1． 一次函数)0k (b kx y ≠+=、二次
函数)0a (c bx ax y 2≠++=、幂函数α
=x y 的有关性质与图像。 2． 指数函数)1a ,0a (a y x
≠>=、对
数函数)1a ,0a (x log y a ≠>=有关性质与图像。
3． 三角函数与反三角函数的性质与图
像。
4． 函数性质的研究包括定义域、值
域、奇偶性、单调性、最值、周期性、对称性及图像等方面。 【头脑体操】
1． 若二次函数bx x 2y 2+=与函数
4
)2x (1
y -=
的具有相同的对称
轴，则二次函数的最小值为_____。
2． 定义在),0(+∞上的函数f(x)满足
0)1(f =，且f(x 1x 2)＝f(x 1)＋f(x 2)，
写出 )x (f 的的一个解析式_____。
3． 二次函数)x (f y =满足：①定义域
为]1,1[-；②关于直线0x =对称；③值
域
为
]2,2[-，则
=)x (f _____。
4． 若函数)
1a ,0a (|x |log )x (f a ≠>=递增区间为)0,(-∞，则当
)0,(x -∞∈时)x (f 的反函数是
=-)x (f 1_____________________
。 【例题精讲】
例题1． (1)函数)x (f 是奇函数；(2)对于
任
意
R x ∈，都有)x 1(f )x 1(f -=+；(3)函数)x (f 在
]1,(-∞上单调递减；(4))0(f 不是函数的最小值。根据以上条件，写出一组能满足其中三条性质的函数)x (f 的解析式。
例题2． 对于任意定义在区间D 上的函数)x (f ，若存在实数D x 0∈，满足
00x )x (f =，则称0x 是函数)x (f 在区
间D 上一个不动点．．．
。请同学们在刚才研究1的基础上，探求自己所得到的函数的不动点。将问题研究1中性质（1）（2）（3）中一条修改为：“函数)x (f 有2个或2个以上的不动点。”能否写出同时满足四条性质的一个函数)x (f 解析式。 【跟踪训练】
1． 已知函数1
a x x
a )x (f ---=
的反函数
的图像的对称中心是)3,1(-，a ＝
_____。
2． 奇函数)x (f 在),0(+∞上递减，且
0)3(f =，则不等式0)x (xf >的解集是
___________。
3． 定义在R 上的函数)x (f y =满足条件：①)x (f 不是常值函数；②)x (f )x 2(f =-，)1x (f )1x (f -=+对于任意R x ∈恒成立，则下列命题中正确的是_________________：
①)x (f 是周期函数；②)x (f 图像关于y 轴对称；③)x (f 的图像关于原点中心对称。
4． 定义在R 上的奇函数)x (f ，对于任意实数x ，总有)x (f )2x (f -=+，当
)1,0(x ∈时x )x (f =，求当)
3,1(x ∈时，)x (f 的解析式。
5． 已知定义在R 上的函数)x (f 具有如下的三个性质：①若任意R x x 21∈、且21x x ≠，当0x x 21=+时，有
)x (f )x (f 21=；②若21x x ≠且),0(x ,x 21+∞∈，则点())x (f ,x 11与点
())x (f ,x 22的连线的斜率小于
0；③任
意的R x ∈]1,0()x (f ∈。写出符合条件的一个函数解析式。
6． 根据例题2中不动点的定义：若函
数a x
1
x 2)x (f ++=在),0(+∞没有不动
点，求a 的范围。 【拓展研究】
1． 是否存在无限个不动点的函数？若有指出其函数特征。
2． 定义在R 上的奇函数的不动点若为有限个，则数目有什么特点？请证明
你的结论。能否推广至其他特殊的函数？
教案说明： 教材分析
函数的性质与图像是高中数学中重要的内容，因此要求学生能够灵活运用函数的性质，掌握常用函数的图像特征，并能运用函数的思想方法解决一些具体问题。 学生分析
高三学生已能独立地研究一些函数问题；针对各班不同的特点，授课形式教学中也可适当变通。
为下阶段在其他数学知识的复习中加强探索性问题的研究作好铺垫。 目标分析
激发学生学习的兴趣，体验探索研究的乐趣，努力创设“自主、合作、体验、发展”的课堂研究氛围。
着重培养学生观察、类比、联想、归纳的数学探索的思维方法，形成自觉的数学能力和意识。
引导学生在探索活动中有意识地总结数学研究活动的一般过程，从而培养学生实践能力及创新精神。 教学重难点
这堂课的教学重点一是函数性质研究的数学思想方法，数形结合，类比联想；二是揭示数学研究活动的一般过程。
由性质探求未知的函数解析式思维的关键是根据性质绘出图像，突破口是根据图像性质写出解析式。前者需要数形结合，后者需要合理类比联想。
过程分析
第一段落：预热
通过预习作业能使学生明确教学的目标，从而很快地进入问题研究，也能达到巩固旧知的目的。
第二段落：例题一
情景创设为学生营造了浓厚的研究气氛。
学生通过独立研究和小组的交流，变被动学习为主动探索。
思维的关键是根据性质绘出图像，思维的突破口是根据图像性质写出解析式。前者需要数形结合，后者需要合理类比联想。
逐步形成对数学研究活动的一般过程的认识（绘出框图）
第三段落：例题二
新概念的学习：函数不动点
与例题二前后呼应，增强学生的主体参与意识
揭示函数的二性——“数”的特征与函数“形”的特征
其他可能的函数性质与图像研究设想
其他高中数学领域的探索性问题研究
第四段落：课堂小结
研究函数性质的思想方法；（知）
数学研究活动的一般过程；（能）
数学学习的魅力。（情）方法分析
采用开放式教学方法，有计划的引导学生进行探索活动，使他们亲历了数学研究的全过程。
巩固函数性质是数学学习的基本技能，逆向思维则是提高学生研究性学力的过程。
灵活运用数形结合思想，形成主动用数学的意识，锻炼他们数学语言的科学性、准确性。
评价分析
问题设计中的不完备条件决定了学生思维活动的开放性。
思维出发点不同：正比例函数或奇次幂函数；二次函数或V字形折线（分段函数）；周期函数（三角函数）解析式的建立过程不同：绘出图像联想——逐条检验修正；特殊的解析式——归纳一类函数
学生学习能力水平的高低决定了教师教法的开放性。
发散思维：函数解析式不唯一；科学思维：一般函数的归纳验证；学生困难：周期函数的解析式
学生探索成果的自我展示中数学语言的科学性、准确性也会影响到课堂教学的成效。
为今后在数列、解几等方面探索问题的研究，打好基础。
教后感：
顺利完成这堂课，虽然结尾处有点匆忙，但基本达到了我预设的教学目标。每位学生根据自己的能力开展了对两个问题的探究，我也能抓住学生思维
的火花，引导他们深入的思考问题，体验数学研究活动的乐趣。
本堂课的特点是开放，设问开放，活动开放，结论开放，但开放的“度”是很难掌控的，我想充分的准备是必须的。作为教师，上这样的一堂课，要求在课前要对问题深入的钻研，预计会出现的不同结论，并站在学生的角度分析他们的研究过程，才能从容应对，我在课前所作的工作之一，是对几种常见的解（一次函数、二次函数、分段函数、三角函数）进行一一分析，从特殊归纳到一般，提炼结论。当然有时还是会有预想不到的，这是要靠教师的随机应变。今天，一同学提出分段函数研究时，他提出函数图像完全符合要求，因此大家都很兴奋，但意想不到是他说“随便”写个函数就可以。我就以此契机，提出“不能随便但却可以随便”，即函数解析式y＝|x－1|中可以推广到y＝a|x－1|，系数a可以“随便”取任意正数。并且在此基础上，将另两类结论也作了同样的推广。这样的处理是十分成功的，学生思维很活跃，但缺乏说服力，因为他们的想法比较直接，研究显得很粗糙，数学语言不规范，不能将问题看透彻，这时教师的主导作用会显现出了。通过合理追问能将学生引导向更深层的思考。
这堂课中有我设想到但没有实施好的地方。由性质构造函数有两种常用的方法：由特殊性质联想初等代数函数，在其他性质检验中，不断修正；由几条性质绘出函数图像，再有图像展开合理联想。今天课上，学生基本以前一方法为主，数形结合为辅，而数形结合是高中数学思想中最常用的思想方法之一，因此学生有意识、也能有目的运用它。在小结中，我提到了前者没有强调后者，这应该是美中不足之处。
对性质（1）（2）（3）的矛盾处理略显快。金校长提出的设想，我觉得很赞同，我们不能因为高考压力而不开展研究活动实践，这也是我设计这堂开放型的课的主旨之一。高三学生在复习中，重点围绕着数学基础知识、基本方法，所涉及到问题都是有解答的，这是高考复习的普遍现象。像这样不具备答案的问题，虽然不是常规的设问方式，但这样的体验却是高三学生所缺乏。同学可以在研究过程，自己发现矛盾，远比我提出来的有意义的多。既增加了新的亮点，也使学生更辩证的看待问题，挑战权威。
点评（金红卫：中学数学高级教师，区名导师）：
王晓芸老师执教的《函数的性质与图像的研究》一课是高三第一轮复习基础上的一节函数小专题复习课。课的特征很明显：知识容量大，思维容量也大。
以下就课堂预设与生成谈一点自己的想法。
王晓芸老师教学基本功扎实，在重视课堂预设的同时，积极应对课堂生成，用不断的追问暴露学生的思维过程。
我们知道，备课过程其实就是对课
堂教学过程进行预设的过程。
一般，我们总是根据课程标准的要求、教材内容和学生已有知识、方法的基础上进行预设。由于王晓芸老师选择的两个例题都是开放性例题，既有条件上的开放，又有结论上的开放，还有思维方法上的开放，预设要求比较高。
譬如在例题1中，思维方法有好几种，如把已经学过的不同函数类型逐个进行验证，或者通过数形结合的方法直观寻找，或者先满足其中一、二条，再进行修正完善等等。应该说，教师的预设比较好，三位学生得到的结论都在教师的预设之中，而第四位学生的想法也在教师的预设之中。而且王老师能随机应变，借题发挥，得出更具一般性的结论。
由于在预设中，怕学生寻找满足条件(1)(2)(3)的函数时会出现问题（满足这三个条件的函数是不存在的），教师直接通过对题目的分析进行了排除。其实，完全可以让学生做一做，出现问题再进行分析、反思，问题的解决不仅指得出肯定的答案，而且也指会进行否定。让学生在研究过程中，自己发现问题，得出结论，那样的话，效果会更好一些。
教师从概率的角度估计，三种不同的情况基本可以出现。事实上，三种情况也确实都出现了，但第三种情况出来得比较勉强。万一不全出现怎么办？其实，可以想点办法，如通过小组合作的途径，让每个小组4位学生分别选一种进行求解即可。
在例题2中，学生不知道找不动点的方法或许老师没有预设到。事实上，由于没有具体的函数，一部分学生确实无从下手。说明对学生的预设还不够严谨。
由于课堂教学是一种以课堂生成为主要形式，但有质量的课堂预设可以比较好的调控课堂，为提高课堂教学质量和效益打下良好的基础。
教师应重视课堂预设，但课堂教学防不胜防，这就需要教师有扎实的学科知识与应变能力。
教师听课一得：
金继波：高三复习课的教学重视在解决问题的过程中思维训练和方法的突破，有效增大复习的思维力度，在解决问题过程中进一步对知识结构的建立，使学生学会学习归纳有很大突破。
徐建华：使用教学案一体化，可以让学生在课前有所准备，更能体现以学生为本。以学生自身特点出发，着重基础，突出重点，使高三复习在高效、高节奏中进行。学案制订要适合本班学生特点，照顾到各类学生的学习。
金纲：充分调动学生的积极性，通过两个例题来展示研究性学习进入课堂，为高考数学的最后一小题服务，让学生展示自己的研究成果，提高学生学习数学的积极性。不一定每节课都用多媒体，王老师处理得很好。
黄艳丽：上课富有激情，极大地感染了学生。采用开放式教学方法，有计划地
引导学生进行探究活动，使学生体验了数学学习的魅力，也知道了数学研究的一般过程。
陆正茂：王晓芸老师的课生动活泼，有激情，形象，易理解，师生间气氛和谐轻松，非常符合“二期课改”的以学生为本的理念。亲切的话语、和蔼的笑容、自信的手势、伶俐的追问，使学生欲罢不能，被调动得团团转。
《正切函数的性质与图像》的教学设计 一.教材分析 1.地位与作用 《正切函数的性质与图像》是高中《数学》必修4第一章第四节内容。在学习了正弦函数、余弦函数的图像与性质，研究正切函数的图象与性质过程不仅是对正、余弦曲线研讨方法的一种再现，更是一种提升。 2.教材处理 教材采用探究的方法引导学生注意正切函数与正弦函数在研究方法上类似，我采用以提问的方式，让学生回忆如何由正弦线得到正弦曲线的作图过程与方法，进而启发、引导学生发现作正切曲线的一种方法。设计问题一步步引导学生注意画正切曲线的细节。我把空间留给学生，采用让学生自己设计一个得到正切曲线的方法。这样，不仅发挥了学生的能动性，增强动脑、动手绘图的能力。二．学情分析 通过对正弦函数图像与性质的研究，学生已经具备了一定的绘图技能，类比推理画出图象，并通过观察图象，总结性质的能力。但在画正切函数图象时，还有许多需要注意的地方，比如定义域，函数区间等问题。这又提升了学生分析问题的能力及严密认真的态度。 三．教学目标确定 正切函数是继正、余弦之后的又一个三角函数，三者在研究方法与研究内容上类似，但某些性质有所不同，这就养成学生在画图时必须全面考虑问题。本着课改理念，养成学生对知识的勇于探索精神，学生亲自体会正切曲线的获得过程，这样学生的动手实践能力有了提高，又体会到学习数学的乐趣，根据教学要求及学生现有的认知水平，现制定以下教学目标： 1.知识目标： 1）、能用单位圆中的正切线画出正切函数的图像。 2）、熟练根据正切函数的图像推导出正切函数的性质。 3）、掌握利用数形结合思想分析问题、解决问题的技能。 2.能力目标： 1）、通过类比，联系正弦函数图像的作法 2）、能学以致用，结合图像分析得到正切函数的诱导公式和正切函数的性质。3、德育目标： 使同学们对正切函数的概念有一定的体会；会用联系的观点看问题，建立数形结合的思想，激发学习的学习积极性；培养学生分析问题、解决问题的能力；让学生体验自身探索成功的喜悦感，培养学生的自信心；培养学生形成实事求是的科学态度和锲而不舍的钻研精神。 4.重点与难点 重点：正切函数的图象及其主要性质。 难点：熟练运用诱导公式和性质分析问题、解决问题 教学模式：启发、探究式发现教学. 四．流程设计 （一）.复习引入： （1）问题：如何用正弦线作正弦函数图像呢？ （2）类比：利用正切线得到正切函数x 的图像 y tan
课题：正切函数的图像与性质 教材：上海教育出版社高中一年级第二学期（试用本）第六章第二节 授课教师： 教学目标 （1）理解正切函数的定义及正切函数的图像特征，研究并掌握正切函数的基本性质． （2）在探究正切函数基本性质和图像的过程中，渗透数形结合的思想，形成发现问题、提出问题、解决问题的能力，养成良好的数学学习习惯． （3）在解决问题的过程中，体验克服困难取得成功的喜悦． 教学重点 掌握正切函数的基本性质． 教学难点 正切函数的单调性及证明． 教学方法 教师启发讲授，学生积极探究． 教学手段 计算机辅助． 教学过程 一、 设置疑问，引入新课 1、正切函数的定义 有同学，类比正弦函数、余弦函数的定义，定义了一个正切函数： 对于任意一个实数x ，都有唯一确定的值tan x 与它对应，按照这个对应法则所建立的函数，表示为tan y x =，叫做正切函数． 大家认为这个定义是否完善？ 强调：,2 x k k Z π π≠+ ∈．
(设计意图：,2 x k k Z π π≠+∈，是学生容易出错的地方，通过学生之间的自我纠错，理 解不能取,2 k k Z π π+ ∈的理由) 今天我们就要研究正切函数tan y x =（,2 x k k Z π π≠+∈）的图像与性质． 2、作函数图像的常用的方法是什么？ （1）描点法是作函数图像最基本的方法； （2）利用基本初等函数图像的变换作图． 大家认为应该选择哪种方法呢？ 学生的回答会选择（1）． 教师引导：描点应该结合函数的性质，描关键点、特殊点． 所以，首先研究函数的基本性质． 二、 主动探究，解决问题 （一）利用定义，研究函数的性质 学生自主研究探索正切函数的性质 1、 定义域：|,,2x x R x k k Z π π? ?∈≠+∈??? ? ． 学生可以迅速解决． 2、 值域：R 请学生回答，并讲清楚理由，从而引出对正切线的复习． 复习正切线： 正切线是角x 与tanx 关系的直观体现，正切函数的性质融于其中． 3、 奇偶性：奇函数． 学生会利用tan()tan x x -=-迅速做出判断． 问：该函数是偶函数吗？
必修4正弦函数和余弦函数的图像与性质 例1 用五点法做出下列函数的图像 11(1)2sin ,[0,2];(2)cos(),[,]666 y x x y x x ππππ=-∈=+∈- 例2 求下列函数的定义域和值域 (1)lgsin ;(2)y x y == 练：求函数sin ()log (12cos )x f x x =+的定义域。 例3 已知函数()y f x =的定义域是1 [0,]4 ，求下列函数的定义域 221(1)(cos );(2)(sin )2 f x f x - 例4 求下列函数的最大值与最小值 22(1)2sin();(2)2cos 5sin 4;42(3)3cos 4cos 1,[,]33 y x y x x y x x π ππ=--=+-=-+∈
例5 设1 sin sin 3x y +=，求2sin cos M x y =-的最小值和最大值 例6 求下列函数的值域 2cos 2sin cos (1);(2)2cos 11sin x x x y y x x ==++ 例7已知a 是实数，则函数f （x ）=1+asinax 的图象不可能是（ ） A ． B ． C ． D ． 例8 求下列函数的周期。 (1)|sin ||cos |;(2)cos |2|(3)cos()6y x x y x y x π =+==-- 例9 判断函数7())2f x x π =+的奇偶性 例10 判断函数()lg(sin f x x =+的奇偶性
例11求函数1sin 2 x y π-=的单调区间 提升训练题 1.下列四个函数的图像中关于y 轴对称的是（ ） .sin ;.cos ;.1sin ;.cos()2 A y x B y x C y x D y x π ==-=-=- 2.函数sin 2x y =的单调增区间是（ ） 3.[2,2]();.[2,2]()2222 .[2,2]();.[2,2]()A k k k Z B k k k Z C k k k Z D k k k Z π πππππππππππππ- +∈++∈-∈+∈ 3．下列函数中是奇函数的是（ ） .|sin |;.sin(||);.sin ||;.sin ||A y x B y x C y x D y x x =-=-== 4.sin()3y x π =-的单调减区间是（ ） 55.[,]();[2,2]()666677.[,]();.[2,2]();6666A k k k Z B k k k Z C k k k Z D k k k Z ππππππππππππππππ-+ ∈-+∈--∈--∈ 5.函数2cos 3cos 2y x =-+的最小值为______________________ 6．函数|sin |2x y =的最小正周期____________________ 7.cos1,cos2,cos3的大小关系____________________ 8．函数3cos 1cos 2 x y x += +的值域是____________________
正弦、余弦函数的图像及性质习题 一、选择题 1、若[]π2,0∈x ，函数x x y cos sin -+=的定义域是 A ．[]π,0 B ．???? ??23,2ππ C ． ?? ?? ??ππ,2 D ．?? ? ? ??ππ2,23 2、函数x y sin 1-=的最小值是 A ．1- B ．0 C ．2- D ．1 3、若cosx=0，则角x 等于( ) A ．k π（k ∈Z ） B ． 2π+k π（k ∈Z ） C ．2 π +2k π（k ∈Z ） D ．－ 2 π +2k π（k ∈Z ） 4、使cosx=m m -+11有意义的m 的值为( ) A ．m ≥0 B ．m ≤0 C ．－1＜m ＜1 D ．m ＜－1或m ＞1 5、已知函数f(x)=2sin x(>0)在区间[,]上的最小值是－2，则的最小值等于（ ）A. B. C.2 D.3 6.若函数的图象相邻两条对称轴间距离为 ，则等于 ． A ． B ． C ．2 D ．4 7．函数y=3cos （ 52x －6 π ）的最小正周期是( ) A ． 5 π2 B ． 2 π 5 C ．2π D ．5π 8．下列函数中，同时满足①在（0， 2 π ）上是增函数，②为奇函数，③以π为最小正周期的函数是( ) A ．y=tanx B ．y=cosx C ．y=tan 2 x D ．y=|sinx| 9、函数??? ?? ?- ∈=32,6,sin ππx x y 的值域是 ??3π- 4 π ?322 3 cos()3 y x π ω=+ (0)ω>2 π ω12 12
1 正切函数的图象与性质（习题） ? 例题示范 例1：已知sin33cos55tan35a b c =?=?=?， ，，则（ ） A ．a b c >> B ．b c a >> C ．c b a >> D ．c a b >> 思路分析： 观察33°，55°，35°之间的关系，利用三角函数在区间[090]??， 上的单调性，选择合适的公式化简，转化为可比较的函数值． 由诱导公式可得， cos55cos(9035)sin35b =?=?-?=?， ∵sin y x =在区间[090]??，上单调递增，且sin 33a =?， ∴b a >， ∵sin 35tan 35cos35c ?=?= ? ，且0cos351?=， ∴c b a >>，故选C ． 例2：函数23()sin cos 4f x x x =++，2π[0]3 x ∈，的值域是（ ） A ．[12]， B ．[]44-， C ．[1]4 -， D ．[2]4-， 思路分析： 2223()sin cos 4 31cos cos 4 7cos cos 4 f x x x x x x x =++=-++=-++由题意， 设cos t x =，2π[0]3x ∈，，由余弦函数的单调性得，12 1t -≤≤， 则原函数可化为27()4f x t t =-++，12 1t -≤≤， 由二次函数性质得，()[12]f x ∈，，故选A ． ? 巩固练习
A ．2 π B ．π C ．2π D ．4π C ．(1)(0)(1)f f f >>- D ．(0)(1)(1)f f f >-> 4. 下列函数属于奇函数的是（ ） A ．()tan(π)f x x =+ B ．π()sin()2f x x =- C ．()cos(3π)f x x =- D ．π()sin()2f x x =+ 5. 已知函数()tan f x x x =+，2()=cos g x x x +，则（ ） A ．()f x 与()g x 都是奇函数 B ．()f x 与()g x 都是偶函数 C ．()f x 是奇函数，()g x 是偶函数 D ．()f x 是偶函数，()g x 是奇函数 6. 函数sin()2 y x π=+在（ ） A ．[]22 ππ-，上是增函数 B ．[0]π，上是减函数 C ．[0]-π，上是减函数 D ．[]-ππ，上是减函数 7. 函数()cos f x x =的一个单调递减区间是（ ） A ．[]44 ππ-， B ．[]44π3π，
一、正弦函数和余弦函数的图象： 正弦函数sin y x =和余弦函数cos y x =图象的作图方法：五点法：先取横坐标分别为0，3,,,222ππ ππ 的五点，再用光滑的曲线把这五点连接起来，就得到正弦曲线和余弦曲线在一个周期内的图象。 二、正弦函数sin ()y x x R =∈、余弦函数cos ()y x x R =∈的性质： （1）定义域：都是R 。 （2）值域： 1、都是[]1,1-， 2、sin y x =，当()22 x k k Z π π=+ ∈时，y 取最大值1；当()322 x k k Z π π=+ ∈时，y 取最小值－1； 3、cos y x =，当()2x k k Z π=∈时，y 取最大值1，当()2x k k Z ππ=+∈时，y 取最小值－1。 例：（1）若函数sin(3)6 y a b x π=-+的最大值为23，最小值为21 -，则=a __，=b ＿
（答：,12 a b ==或1b =-）； ⑵ 函数y=-2sinx+10取最小值时，自变量x 的集合是_________________________。 （3）周期性： ①sin y x =、cos y x =的最小正周期都是2π； ②()sin()f x A x ω?=+和()cos()f x A x ω?=+的最小正周期都是2|| T πω=。 例：(1)若3 sin )(x x f π=，则(1)(2)(3)(2003)f f f f ++++＝___（答：0） ； ⑵．下列函数中，最小正周期为π的是（ ） A.cos 4y x = B.sin 2y x = C.sin 2x y = D.cos 4x y = （4）奇偶性与对称性： 1、正弦函数sin ()y x x R =∈是奇函数，对称中心是()(),0k k Z π∈，对称轴是直线()2 x k k Z π π=+ ∈； 2、余弦函数cos ()y x x R =∈是偶函数，对称中心是(),02k k Z ππ? ?+∈ ???，对称轴是直线()x k k Z π=∈ （正(余)弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于x 轴的直线，对称中心为图象与x 轴的交点）。 例：（1）函数522y sin x π?? =- ??? 的奇偶性是______（答：偶函数）； （2）已知函数31f (x )ax b sin x (a,b =++为常数），且57f ()=，则5f ()-=______（答：－5）； （5）单调性： ()sin 2,222y x k k k Z ππππ??=-+∈????在上单调递增，在()32,222k k k Z ππππ? ?++∈????单调递减； cos y x =在[]()2,2k k k Z πππ+∈上单调递减，在[]()2,22k k k Z ππππ++∈上单调递增。特别提醒，别忘了k Z ∈！ ⑴函数y=sin2x 的单调减区间是（ ）
正弦函数的图像和性质（一） 【使用说明】1.课前认真完成预习学案的问题导学及例题、深化提高； 2.认真限时完成，规范书写，课上小组合作探讨，答疑解惑。 【重点难点】重点：正弦函数的图像 难点：图像的画法 一、学习目标 1.了解正弦曲线的画法，能用五点法画出正弦函数的图像； 2.能通过函数图像对函数的性质做简单分析； 3.通过从单位圆和图像两个不同的角度去观察和研究正弦函数的变化规律，培养学生从不同角度观察、研究问题的思维习惯。 二、问题导学 1、函数的图像的画法： 描点法 步骤：列表→描点→连线 补全上述表格，并根据表格中数据在直角坐标系中画出的图像。 几何法 阅读教材25—26页内容，试借助于单位圆，利用正弦函数的定义画出的图像。 五点法
观察的图像，发现有五个点起着关键的作用，它们是图像与轴的交点和图像的最高点及最低点： ______,________,_________,________,__________. 因此，在精度要求不高的情况下，我们通常在直角坐标系中描出这起关键作用的五个点，然后用光滑的曲线连接，做出图像的简图。 请同学们用五点法画出的图像。 2、 因为正弦函数是以为周期的周期函数，所以函数在区间上的图像与在区间上的图像形状完全一样，只是位置不同，因此我们只需将函数的图像向左、向右平行移动（每次移动个单位）就可以得到的图像，正弦函数的图像叫做___________ 请同学们在几何法做出的图像的基础上，画出正弦曲线。 3、 合作探究 例1、用五点法画出下列函数在区间上的简图。 （1） （2） 例2、在上，利用的图像求满足下列不等式的的取值范围。 （1） （2）
1 定义编辑数学术语 正弦函数是三角函数的一种. 定义与定理 定义：对于任意一个实数x 都对应着唯一的角(弧度制中等于这个实数) ，而这个角又对应 着唯一确定的正弦值Sin X ,这样，对于任意一个实数X都有唯一确定的值Sin X与它对应， 按照这个对应法则所建立的函数，表示为f(x)=sin X ,叫做正弦函数。 正弦函数的定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即a/Sin A=b/Sin B=c/Sin C 在直角三角形ABC中，/ C=90 ，y为一条直角边，r为斜边，X为另一条直角边(在坐标 系中，以此为底)，贝U Sin A=y∕r,r= √( x^2+y^2) 2 性质 编辑图像 图像是波形图像(由单位圆投影到坐标系得出) ，叫做正弦曲线(Sine curve) 正弦函数X∈& 定义域 实数集R 值域 [-1，1] (正弦函数有界性的体现) 最值和零点 ①最大值：当X=2k ∏+ ( ∏/2) , k ∈Z 时，y(max)=1 ②最小值：当X=2k ∏+ (3∏/2), k∈Z 时，y(min)=-1 零值点：( kπ ,0) ，k∈Z 对称性 既是轴对称图形,又是中心对称图形。 1) 对称轴：关于直线X= ( π /2) +kπ , k∈Z 对称 2) 中心对称：关于点(k ∏ , 0), k∈Z对称 周期性最小正周期：y=SinX T=2 π 奇偶性 奇函数（其图象关于原点对称） 单调性 在[-∏∕2+2k ∏ , ∏∕2+2k ∏], k∈Z 上是单调递增. 在[∏∕2+2k ∏ , 3∏∕2+2k ∏], k ∈Z 上是单调递减. 3 正弦型函数及其性质 编辑 正弦型函数解析式：y=Asin （ω x+ φ ）+h
正弦、余弦、正切函数的图像与性质 一、选择题： 1．函数y ＝sin x 2＋cos x 是( ) A ．奇函数 B ．偶函数 C ．既是奇函数又是偶函数 D ．既不是奇函数也不是偶函数 2．下列关系式中正确的是( ) A ．sin11°＜cos10°＜sin168° B ．sin168°＜sin11°＜cos10° C ．sin11°＜sin168°＜cos10° D ．sin168°＜cos10°＜sin11° 3．已知函数f (x )＝sin ????x －π 2(x ∈R )，下面结论错误的是( ) A ．函数f (x )的最小正周期为2π B ．函数f (x )在区间????0，π 2上是增函数 C ．函数f (x )的图像关于直线x ＝0对称 D ．函数f (x )的奇函数 4．设a ＝12log sin81o ，b ＝12log sin 25o ，c ＝12 log cos25°，则它们的大小关系为( ) A ．a ＜c ＜b B ．b ＜c ＜a C ．a ＜b ＜c D ．b ＜a ＜c 5．函数y ＝ lncos x ????－π2＜x ＜π 2的图像是( ) A ． B C ． D. 6．当－π2＜x ＜π 2时，函数y ＝tan|x |的图像( ) A ．关于原点对称 B ．关于x 轴对称 C ．关于y 轴对称 D ．不是对称图形 7．函数y ＝tan(sin x )的值域为( ) D ．以上均不对
8．若直线y ＝3与函数y ＝tan ωx (ω＞0)的图像相交，则相邻两交点的距离是( ) A ．π 二、填空题 9．函数y ＝cos x 在区间[－π，a ]上为增函数，则a 的范围是__________． 10．函数y ＝1＋2sin x 的最大值是__________，此时自变量x 的取值集合是__________． 11．函数y ＝sin 2x －cos x 的值域是__________． 12．函数y ＝3sin ????2x ＋π6的单调递减区间是__________． 13．已知f (n )＝sin n π4(n ∈Z )，则f (1)＋f (2)＋…＋f (100)＝__________. 14．若关于x 的方程cos 2x －sin x ＋a ＝0有解，则a 的取值范围是__________． 15．如果函数f (x )＝sin x ＋2|sin x |，x ∈[0,2π]的图像与直线y ＝k 有且仅有三个不同的交点，那么k 的取值范围是__________． 16．关于三角函数的图像，有下列命题： ①y ＝sin|x |与y ＝sin x 的图像关于y 轴对称； ②y ＝cos(－x )与y ＝cos|x |的图像相同； ③y ＝|sin x |与y ＝sin(－x )的图像关于x 轴对称； ④y ＝cos x 与y ＝cos(－x )的图像关于y 轴对称． 其中正确命题的序号是__________． 三、解答题： 17．判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝sin ????2x ＋3π2； (2)f (x )＝sin x 1－sin x 1－sin x 18．作出下列函数的图像： (1)y ＝tan|x |； (2)y ＝|tan x |. 19、求函数f (x )＝13log tan ??? ?2x ＋π3的单调递减区间．
x y 等分圆 平移三角函数线作正弦函数的图像 三角函数线 圆 O O 正弦函数的图像和性质（一） 【使用说明】1.课前认真完成预习学案的问题导学及例题、深化提高； 2.认真限时完成，规范书写，课上小组合作探讨，答疑解惑。 【重点难点】重点：正弦函数的图像 难点：x y sin =图像的画法 一、学习目标 1.了解正弦曲线的画法，能用五点法画出正弦函数x y sin =的图像； 2.能通过函数图像对函数的性质做简单分析； 3.通过从单位圆和图像两个不同的角度去观察和研究正弦函数的变化规律，培养学生从不同 角度观察、研究问题的思维习惯。 二、问题导学 1、函数] 2,0[ sinπ ∈ =x x y，的图像的画法： 补全上述表格，并根据表格中数据在直角坐标系中画出] 2,0[ sinπ ∈ =x x y，的图像。 ②几何法阅读教材25—26页内容，试借助于单位圆，利用正弦函数的定义画出 ] 2,0[ sinπ ∈ =x x y，的图像。 ③五点法 观察] 2,0[ sinπ ∈ =x x y，的图像，发现有五个点起着关键的作用，它们是图像与x轴的 交点和图像的最高点及最低点：______,________,_________,________,__________. 因此，在精度要求不高的情况下，我们通常在直角坐标系中描出这起关键作用的五个点，然 后用光滑的曲线连接，做出图像的简图。 请同学们用五点法画出] 2,0[ sinπ ∈ =x x y，的图像。 2、因为正弦函数是以π2为周期的周期函数，所以函数x y sin =在区间 )0 ] )1 2, 2[≠ ∈ +k Z k k k且 （ （π π上的图像与在区间] 2,0[π上的图像形状完全一样，只是位置 不同，因此我们只需将函数] 2,0[ sinπ ∈ =x x y，的图像向左、向右平行移动（每次移动π2 个单位）就可以得到R sin∈ =x x y，的图像，正弦函数的图像叫做___________ 请同学们在几何法做出的图像的基础上，画出正弦曲线。 三、合作探究 例1、用五点法画出下列函数在区间] 2,0[π上的简图。 （1）x y sin 3 =（2）x y sin -1 =
6、1正弦函数与余弦函数的图像与性质 一、复习引入 1、复习 (1)函数的概念 在某个变化过程中有两个变量x 、y ,若对于x 在某个实数集合D 内的每一个确定的值,按照某个对应法则f ,y 都有唯一确定的实数值与它对应,则y 就就是x 的函数,记作 ()x f y =,D x ∈。 (2)三角函数线 设任意角α的顶点在原点O ,始边与x 轴的非负半轴重合,终边与单位圆相交于点(,)P x y ,过P 作x 轴的垂线,垂足为M ;过点(1,0)A 作单位圆的切线,设它与角α的终边(当α在第一、四象限角时)或其反向延长线(当α为第二、三象限角时)相交于T 、 规定:当OM 与x 轴同向时为正值,当OM 与x 轴反向时为负值; 当MP 与y 轴同向时为正值,当MP 与y 轴反向时为负值; 当AT 与y 轴同向时为正值,当AT 与y 轴反向时为负值; 根据上面规定,则,OM x MP y ==, 由正弦、余弦、正切三角比的定义有: sin 1 y y y MP r α====; cos 1 x x x OM r α= ===; tan y MP AT AT x OM OA α= ===; 这几条与单位圆有关的有向线段,,MP OM AT 叫做角α的正弦线、余弦线、正切线。 二、讲授新课 【问题驱动1】——结合我们刚学过的三角比,就以正弦(或余弦)为例,对于每一个给定的 角与它的正弦值(或余弦值)之间就是否也存在一种函数关系？若存在,请对这种函数关系下一个定义;若不存在,请说明理由. 1、正弦函数、余弦函数的定义 (1)正弦函数:R x x y ∈=,sin ; (2)余弦函数:R x x y ∈=,cos 【问题驱动2】——如何作出正弦函数R x x y ∈=,sin 、余弦函数R x x y ∈=,cos 的函数 图象？ 2、正弦函数R x x y ∈=,sin 的图像 (1)[]π2,0,sin ∈=x x y 的图像 【方案1】——几何描点法 步骤1:等分、作正弦线——将单位圆等分,作三角函数线(正弦线)得三角函数值; 步骤2:描点——平移定点,即描点()x x sin ,; 步骤3:连线——用光滑的曲线顺次连结各个点 小结:几何描点法作图精确,但过程比较繁。 【方案2】——五点法 步骤1:列表——列出对图象形状起关键作用的五点坐标;
7.3.4正切函数的性质与图像 课标要求素养要求 1.了解正切函数图像的画法，理解正切函数的性质. 2.能利用正切函数的图像及性质解决问题. 通过对正切函数的图像与性质的学习，体会数学抽象和直观想象素养. 教材知识探究 孔子东游，见两小儿辩斗，一儿曰：“日初出沧沧凉凉，及其日中如探汤，此不为近者热而远者凉乎？”，事实上，中午的气温较早晨高，主要原因是早晨太阳斜射大地，中午太阳直射大地．在相同的时间、相等的面积里，物体在直射状态下比在斜射状态下吸收的热量多，这就涉及太阳光和地面的角度问题． 那么这与正切函数的性质与图像有什么联系呢？ 问题类比y＝sin x ，y＝cos x的图像与性质． （1）y＝tan x是周期函数吗？有最大（小）值吗？ （2）正切函数的图像是连续的吗？ 提示（1）y＝tan x是周期函数，且T＝π，无最大，最小值．（2）正切函数的图像在定义域上不是连续的． 函数y＝tan x的图像和性质性质是根据图像得到的结论
解析式 y ＝tan x 图像 定义域 {x |x ∈R ，且x ≠π 2＋k π，k ∈Z } 值域 R 周期 π 奇偶性 奇函数 单调性 在区间（k π－π2，k π＋π 2）（k ∈Z ）都是增函数 对称中心 ? ???? k π2，0（k ∈Z ） 零点 x ＝k π（k ∈Z ） 教材拓展补遗 [微判断] 1．函数y ＝tan x 在其定义域上是增函数．（×） 提示 y ＝tan x 在区间（k π－π2，k π＋π 2）（k ∈Z ）上是增函数，但在其定义域上不是增函数． 2．函数y ＝tan 2x 的周期为π.（×） 提示 y ＝tan 2x 的周期为π2. 3．正切函数y ＝tan x 无单调递减区间．（√） 4．函数y ＝2tan x ，x ∈??? ???0，π2的值域是[0，＋∞）.（√） [微训练] 与函数y ＝tan ? ? ???2x ＋π4的图像不相交的一条直线是 （ ） A ．x ＝π2 B ．x ＝－π 2 C ．x ＝π4 D ．x ＝π 8 解析 ∵2x ＋π4≠π 2＋k π（k ∈Z ）， ∴x ≠π8＋k π 2（k ∈Z ），故选D.
1.4.2 正切函数的性质与图象 考纲要求：能画出y=tanx 的图象，了解三角函数的周期性.，理解正切函数在区间 （）的单调性. 教学目的 知识目标： 了解利用正切线画出正切函数图象的方法； 了解正切曲线的特征，能利用正切曲线解决简单的问题； 掌握正切函数的性质。 能力目标： 掌握正弦函数的周期性，奇偶性，单调性，能利用正切曲线解决简单的 问题。 情感目标： 在借鉴正弦函数的学习方法研究正切函数图象、性质的过程中体 会类比的思想。 教学重点：正切函数的图象形状及其主要性质 教学难点：1、利用正切线得到正切函数的图象 2、对正切函数单调性的理解 教学方法：探究，启发式教学 教学过程 复习导入： 1. 正切函数的定义及几何表示，正切函数tan y x =的定义域是什么？ 2. 正弦曲线是怎样画的？ 讲授新课： 思考1：能否类比正弦函数图象的作法，画出正切函数的图象呢？ 画正切函数选取哪一段好呢?画多长一段呢? 思考2：正切函数是不是周期函数？若是，最小正周期是什么？ 思考3. 诱导公式 体现了正切函数的哪种性质？ （一）作tan y x =，x ∈??? ? ?- 2,2ππ的图象 tan()tan x x -=-
说明： （1）根据正切函数的周期性，把上述图象向左、右扩展，得到正切函数 R x x y ∈=tan ，且()z k k x ∈+≠ ππ 2 的图象，称“正切曲线” 。 （2）由图象可以看出，正切曲线是由被相互平行的直线()2 x k k Z π π=+∈所隔开的 无穷多支曲线组成的。 （二）正切函数的性质 引导学生观察，共同获得： （1）定义域：? ?? ? ??∈+≠ z k k x x ,2|ππ ； （2）周期性：π=T ； （3）奇偶性：由()x x tan tan -=-知，正切函数是奇函数； （4）单调性： 思考：正切函数在整个定义域内是增函数吗？ 引导学生观察正切曲线，小组讨论的形式。 师举例说明：
1.5正弦函数的图像与性质基础练习题 一、单选题 1．已知函数()sin 022f x x ππ??????=+<< ???????的图象过点0,2? ?? ，则()f x 图象的一个对称中心为（ ） A ．1,03?? ??? B ．()1,0 C ．4,03?? ??? D ．()2,0 22sin 0x -≥成立的x 的取值集合是（ ） A ．()32244x k x k k Z ππππ?? +≤≤+∈???? B ．()72244x k x k k Z ππππ?? +≤≤+∈???? C ．()52244x k x k k Z π πππ?? -≤≤+∈???? D ．()572244x k x k k Z π πππ?? +≤≤+∈???? 3．函数π ()sin(2)3f x x =+的最小正周期为（ ） A ．4π B ．2π C ．π D ．π 2 4．函数sin 26y x π?? =+ ???的最小正周期是（ ） A ．2π B ．π C ．2π D ．4π 5．函数1sin y x =-的最大值为（ ） A ．1 B ．0 C ．2 D ．1- 6．已知函数()()sin 2f x x ?=+的图像关于直线3x π =对称，则?可能取值是( ). A ．2π B ．12π - C ．6π D ．6π- 7．函数sin 26y x π? ? =+ ???的一条对称轴是（ ） A ．6x π =- B ．0x = C ．6x π = D ．3x π =
8．函数2sin y x =的最小值是（ ） A ．2- B ．1- C ．1 D ．2 9．已知集合{}20M x x x =-≤， {}sin ,N y y x x R ==∈，则M N =（ ） A ．[]1,0- B ．()0,1 C ．[]0,1 D ．? 10．已知函数()sin()()2f x x x R π =-∈，下面结论错误的是( ) A ．函数()f x 的最小正周期为2π B ．函数()f x 在区间0, 2π??????上是增函数 C ．函数()f x 的图像关于直线0x =对称 D ．函数()f x 是奇函数 11．函数()sin 4f x x π? ?=+ ??? 图象的一条对称轴方程为（ ） A ．4πx =- B ．4x π = C ．2x π = D ．x π= 12．函数12sin()24y x π=+ 的周期，振幅，初相分别是( ) A ．,2,44ππ B ．4,2,4π π-- C ．4,2,4π π D ．2,2,4π π 二、填空题 13．函数sin 2y x =的最小正周期为_____________ 14．函数1sin 223y x π??=+ ?? ?的最小正周期是_______ 15．y ＝3sin 26x π??- ???在区间0,2π?? ????上的值域是________. 三、双空题 16．设函数()sin f x A B x =+，当0B <时，()f x 的最大值是 32，最小值是12-，则A =_____，B =_____. 17．函数sin 24y x π??=+ ???的对称轴为_________，对称中心为_____________. 四、解答题 18．已知函数2sin 23y x π? ?=+ ??? .
《正切函数图象与性质》说课稿 各位评委老师好！ 今天我说课的课题是《正切函数的图象和性质》，下面我将从教材分析、教学策略、学情分析、教学程序四个方面进行说课，不足的地方希望老师能给予指出。 一．教材分析 1、教材的地位和作用 本节课是在学生学习了正弦余弦函数图像及基本性质的基础上对又一个具体三角函数的学习，其研究方法与前面正余弦函数图像与性质的研究方法类似，是对学生所学知识的融通和运用，也是学生对学习函数规律的总结和探索。正确理解和熟练掌握正切函数的图像和性质也是之后学好《已知三角函数求值》的关键。 2、教学目标 （一）知识和技能目标： 1、理解并掌握正切函数图像的推导思路及画法，即“正弦函数图像类比推导法” 2、准确写出正切函数的性质，并通过练习体验正切函数基本性质的应用． （二）过程与方法目标： 1、通过学生自己动手作图，调动学生的积极性和情感投入，培养学生数形结合的思想方法； 2、培养学生类比、归纳的数学思想； 3、培养学生发现数学规律，实践第一的观点，增强学习数学的兴趣。 3.重点、难点与疑点 （一）、教学重点：正切函数的图象和性质。 1、我打算用类比正弦函数图像类比推导法，单位圆中的正切线作正切函数图象法，引导学生作出正切函数图，并探索函数性质； 2、学会画正切函数的简图，体会与x轴的交点以及渐近线x=π/2 +kπ，k∈Z在确定图象形状时所起的关键作用。 （二）、教学难点：体验正切函数基本性质的应用， （三）、教学疑点：正切函数在每个单调区间是增函数，但由于定义域的不连续性并非整个定义域内的增函数； 二．教学策略 在本节课中，我以“矛盾冲突”为主线撞击学生的思维，比如： 1、在得到正切函数的概念之后，提出如何研究这一具体函数的性质，启发学生可以“类比”研究正余弦函数图像和性质的方法； 2、在得到正切函数的部分性质之后，提出如何能“丰满”正切函数的性质，启发学生可以借助图像进行研究，让学生感受“数缺形少直观，形缺少数难入微”的精妙. 三．学情分析 本节课是研究了正弦、余弦函数的图像与性质后，对又一具体三角函数的学习。学生已经掌握了角的正切，正切线和与正切有关的诱导公式，对三角函数性质的讨论方法已经有了一个比较清晰的认识，这为本节课的学习提供了知识的保障． 四．教学程序 1、复习引入 （一）、复习 问题:1、什么是正切？正切有关的诱导公式？
《正弦函数的图像与性质》（第一课时）（教案） 神木职教中心 数学组 刘伟 教学目标：1、理解正弦函数的周期性； 2、掌握用“五点法”作正弦函数的简图； 3、掌握利用正弦函数的图像观察其性质； 4、掌握求简单正弦函数的定义域、值域和单调区间； 5、初步理解“数形结合”的思想； 6、培养学生的观察能力、分析能力、归纳能力和表达能力等 教学重点：1、用“五点法”画正弦函数在一个周期上的图像； 2、利用函数图像观察正弦函数的性质； 3、给学生逐渐渗透“数形结合”的思想 教学难点：正弦函数性质的理解和应用 教学方法：多媒体辅助教学、讨论式教学、讲议结合教学、分层教学 教学过程： Ⅰ 知识回顾 终边相同角的诱导公式： )(sin )2sin(Z ∈=+k k απα 所以正弦函数是周期函数，即 ,6-,4-,2-,6,4,2ππππππ及都是它的周期，其中π2是它的最小正周期，也直接叫周期，故正弦函数的周期为π2 Ⅱ 新知识 1、用描点法作出正弦函数在最小正周期上的图象 x y sin =，[]π2,0∈x （1）、列表
（2）、描点 （3）、连线 因为终边相同的角的三角函数值相同,所以x y sin =的图像在…， [][][][]ππππππ4,2,2,0,0,2,2,4--- ，…与x y sin =，[]π2,0∈x 的图像相 同 2、正弦函数的奇偶性 由诱导公式x x sin )sin(-=-，R x ∈得： ①定义域关于原点对称 ②满足)()(x f x f -=- 所以，正弦函数为奇函数（观察上图，图像关于原点对称） 3、正弦函数单调性 、值域 由图像观察可得： 正弦函数在??????++- ππ ππ k k 22, 22 是增函数，在?? ? ???++ππππk k 223,22是减函数 得到最大值为1，最小值为-1，所以值域为[]1,1-
《正切函数的性质与图象》课后反思 三角函数是函数这个系统中的一个小分支，而正切函数是三角函数这个小分支中的一个内容节点，让学生能清晰的认识所研究的内容与方法：在内容上主要研究函数的性质一一定义域、值域、奇偶性、周期性、单调性；在方法选择上，数形结合应是对其性质研究的主要途径。在此也向学生进一步说明“数缺形少直观，形少数难入微”的精妙，借助一切机会向学生渗透数学文化观念，让学生体会数的美无处不在，数学无处不美。 在本节课中我采用“类比一一探究一一讨论”教学法。在学习了正弦函数图像与性质，平移正弦线得到正弦函数图像的方法类比作正切函数图象。设计问题让学生进一步探究正切函数的性质与图象，学生通过对这些“有结构”的材料进行探究，获得对止切函数的感性认识和形成止切函数图象的了解。通过创设问题情境，引发认知冲突，较好地调动了学生的积极性和主动性，符合新课程理念的精神. 通过多媒体显示得出函数图像。引导学生在有限的时间内完成正切函数性质的归纳和总结，让学生思考、动手画图、课堂交流、亲身实践。通过互相交流、启发、补充、争论，使学生对正切函数图像与性质的认识从感性的认识上升到理性认识，获得一定水平层次的科学概念。这节课主要是教给学生“动手做，动脑想；多训练，勤钻研。”的学习方法。这样做，增加了学生主动参与的机会，增强了参与意识，教给学生获取知识的途径；思考问题的方法。使学生真正成为教学的主体。学生才会逐步感到数学美，会产生一种成功感，从而提高学生学习数学的兴趣。 在课堂教学屮注重学生的学，让学生自己思考得到问题的答案，以至于后半段课堂吋间仓促，课堂练习只能变成课后练习。在以后的教学中会注意调节好学牛的研究时间。 一、指导思想与理论依据 贝塔朗菲强调，任何系统都是一个有机的整体,它不是各个部分的机械组合或简单相加, 而
1．4．3 正切函数的性质和图像 一、教学目标 1.用单位圆中的正切线作正切函数的图象； 2.用正切函数图象解决函数有关的性质； 二、课时 1课时 三、教学重点 正切函数的性质与图象的简单应用. 四、教学难点 正切函数性质的深刻理解及其简单应用. 五、教具 多媒体、实物投影仪 六、教学过程 导入新课 思路1.(直接导入)常见的三角函数还有正切函数,前面我们研究了正、余弦函数的图象和性质,你能否根据研究正弦函数、余弦函数的图象与性质的经验,以同样的方法研究正切函数的图象与性质？由此展开新课. 思路2.先由图象开始,让学生先画正切线,然后类比正弦、余弦函数的几何作图法来画出正切函数的图象.这也是一种不错的选择,这是传统的导入法. 推进新课 新知探究 提出问题 ①我们通过画正弦、余弦函数图象探究了正弦、余弦函数的性质.正切函数是我们高中要学习的最后一个基本初等函数.你能运用类比的方法先探究出正切函数的性质吗？都研究函数的哪几个方面的性质？②我们学习了正弦线、余弦线、正切线.你能画出四个象限的正切线吗？③我们知道作周期函数的图象一般是先作出长度为一个周期的区间上的图象,然后向左、右扩展,这样就可以得到它在整个定义域上的图象.那么我们先选哪一个区间来研究正切函数呢？为什么？④我们用“五点法”能简捷地画出正弦、余弦函数的简图,你能画出正切函数的简图吗？ 你能类比“五点法”也用几个字总结出作正切简图的方法吗？ 活动:问题①,教师先引导学生回忆:正弦、余弦函数的性质是从定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性这几个方面来研究的,有了这些知识准备,然后点拨学生也从这几个方面来探究正切函数的性质.由于还没有作出正切函数图象,教师指导学生充分利用正切线的直观性. (1)周期性 由诱导公式tan(x+π)=tanx,x ∈R ,x≠2 π+kπ,k ∈Z 可知,正切函数是周期函数,周期是π.这里可通过多媒体课件演示,让学生观察由角的变化引起正切线的变化的周期性,直观理解正切函数的周期性,后面的正切函数图象作出以后,还可从图象上观察正切函数的这一周期性. (2)奇偶性 由诱导公式 tan(-x)=-tanx,x ∈R ,x≠2 π+kπ,k ∈Z 可知,正切函数是奇函数,所以它的图象关于原点对称.教师可进一步引导学生通过图象还能发现对称点吗？与正余弦函数相对照,学生会发现正切函数也是中心对称函数,它的对称中心是(2 πk ,0)k ∈Z . (3)单调性 通过多媒体课件演示,由正切线的变化规律可以得出,正切函数在(2π-,2π)内是增函数,又由正切函数的周期性可知,正切函数在开区间(2π -+kπ,2 π+kπ),k ∈Z 内都是增函数.