线段的垂直平分线(1)

课题：第一章 第三节 线段的垂直平分线（第一课时）

课型：新授课

授课人: 滕州市西岗中学 李晓宇

授课时间：2012年12月16日，星期二，第一节课

教学目标： 1.能够运用公理和所学过的定理证明线段垂直平分线的性质定理和判定定理．（重点） 2.能够利用尺规作已知线段的垂直平分线．（重难点） 3.经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力． 教法与学法指导：

本节课教学模式主要采用“小组合作竞学”的教学模式.出问题让学生想，设计问题让学生做，错误原因让学生说，方法与规律让学生归纳，并且营造小组竞学的氛围. 教师的作用在于组织、点拨、引导，促进学生主动探索，积极思考，大胆想象，总结规律，充分发挥学生的主体作用，让学生真正成为学习的主人. 课前准备：制作课件，学生课前进行相关预习.

教学过程： 一、 感悟导入 师：（课件演示）如图，A、B表示两个仓库，要在一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置？ 生：作线段AB的垂直平分线，码头应建在线段AB的垂直平分线与河岸边的交点上. 师：语言非常准确.这节课我们就来研究线段的垂直平分线. （板书课题——线段的垂直平分线) 师：刚才这位同学说码头应建在线段AB的垂直平分线与河岸边的交点上,谁能说出这样做的道理吗？ 生：线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等. 师：非常好，这是我们七年级时学过的一句话。还记得当时我们是怎样得到的吗？ 生：不记得了. 师：那我来帮大家回忆一下。（教师通过演示折纸过程，验证线段垂直平分线的性质） 师：七年级时我们用折纸的方法得到了 “线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等”.同学们知道这是不够的，还必须利用公理及已学过的定理、推论证明它．这节课我们一起用所学的公理、定理来证明线段的垂直平分线的性质定理. 教师板书： 定理 线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等． 二、探究新知

1.线段垂直平分线性质定理的证明 师：现在就请同学们自己思考证明的思路和方法，并尝试写出证明过程. （学生画图，写出已知、求证. 证明方法和过程对于学生来说不是很困难的,可以找程度比较差的同学回答） 生：口答已知、求证、证明. 师：课件演示. 已知：如图，直线MN⊥AB，垂足是C，且AC＝BC，P是MN上的点． 求证：PA＝PB． 证明：∵MN⊥AB， ∴∠PCA＝∠PCB＝90°. ∵AC＝BC，PC＝PC， ∴△PCA≌PCB(SAS)． ∴PA＝PB(全等三角形的对应边相等)． 师：若直线MN上还有一点Q，根据线段垂直平分线性质定理，能得出什么结论？ 生：QA＝QB. （教师在图形中找出几个不同位置的点P，学生分别说出结论，就是为了让学生熟悉图形，能熟练应用垂直平分线性质定理找出相等的线段） 师：从图形中，你还能找出哪些相等的线段、相等的角呢？ 生：∠ A＝∠B，∠CPA＝∠CPB. （挖掘基本图形中其它的等量关系，使学生认识到学习知识不要局限于定理，为以后应用线段垂直平分线的性质定理进行证明、计算打下基础.） 2.线段垂直平分线判定定理的证明 师：你能写出上面这个定理的逆命题吗? 生: 思考. 师：这个命题不是“如果„„那么„„”的形式，要写出它的逆命题，可以先将原命题写成“如果„„那么„„”的形式，逆命题就容易写出．谁来分析一下原命题的条件和结论?

NAPBCM 生：原命题的条件是“有一个点是线段垂直平分线上的点”，结论是“这个点到线段两个端点的距离相等”． 师：有了这位同学的精彩分析，逆命题就很容易写出来． 生：如果有一个点到线段两个端点的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上． 师：谁能把它描述得更简捷? 生：到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上． 师：当我们写出逆命题时，就应想到判断它的真假.如果真，则需证明它；如果假，则需用反例说明，这个命题是真还是假呢？ 生：真命题. 师：要证明这一定理，先要写出已知、求证。谁来说一下？ 生：已知：线段AB，点P是平面内一点且PA＝PB．求证：P点在AB的垂直平分线上． 师：请同学们先独立完成证明，再小组交流一下. 生思考，交流,然后小组代表展示成果 ： 生1：过点P作已知线段AB的垂线PC，垂足为C．∵PA＝PB，PC＝PC，∴Rt△PAC≌Rt△PBC(HL定理)． ∴AC＝BC，即P点在AB的垂直平分线上． 生2: 我没有证明Rt△PAC和Rt△PBC全等，我是利用“等腰三角形顶角的角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合”的性质证明的.因为AP=BP，所以△PBA是等腰三角形，又因为PC垂直AB，PC是△PBA底边上的高，所以PC是AB边上的中线，所以AC=BC，即P点在AB的垂直平分线上． 师：比较这两名同学的证法，哪名同学的证明比较简单？ 生（齐答）：第二名同学的证明简单. 师：他应用等腰三角形的“三线合一”性质省了一个全等的步骤，我们以后在做证明或计算时，要尽量寻求简单的方法. 生3：取AB的中点C，过PC作直线．∵AP＝BP，AC=BC，∴ PC⊥AB．∴P点在AB的垂直平分线上． 生4：过P点作∠APB的角平分线.∵AP＝BP，∠1=∠2，∴AC=BC ，PC⊥AB．∴P点在线段AB的垂直平分线上． （学生用多种方法来证明命题结论的正确性，不同辅肋线的引用，可以培养学生发散思维能力.） 师：咱们班同学真是太聪明了,竟想出来这么多解法！从同学们的推理证明过程可知，线段垂直平分线的性质定理的逆命题是真命题，我们把它称做线段垂直平分线的判定定理． 师：我们已经完成了线段垂直平分线的性质定理和判定定理的证明，请同学们思考一下我们可以用这两个定理来证明什么？ 生：用这两个定理可以证明线段相等、两条直线互相垂直. 3.线段垂直平分线的作法 师：我们曾用折纸的方法折出过线段的垂直平分线，现在我们学习了线段垂直平分线的性质定理和判定定理，能否用尺规作图的方法作出已知线段的垂直平分线呢? 课件演示：用尺规作线段的垂直平分线 师：下面我们一同来写出已知、求作、作法，体会作法中每一步的依据． 师生共作：已知：线段AB(如图)．求作：线段AB的垂直平分线．

作法：（1）分别以点A和B为圆心，以大于 AB的长为 半径作弧，两弧相交于点C和D． （2）作直线CD． 直线CD就是线段AB的垂直平分线． （尺规作图的步骤是：已知、求作、作法、证明四个步骤，作图后要说明作图的理由，不仅是培养学生的严谨的学习态度，而且让学生明白几何每一步都要有理有据.学生说明理由也是为了灵活应用定理.） 师：根据上面作法中的步骤，你能说明CD为什么是AB的垂直平分线吗? 请与同伴进行交流． 生：从作法的第一步可知，AC＝BC，AD＝BD． ∴C、D都在AB的垂直平分线上(线段垂直平分线的判定定理)． ∴CD就是线段AB的垂直平分线(两点确定一条直线)． 师：说的非常好，看来同学们已经学会灵活运用这节课所学的两个定理了. 师：我们曾用刻度尺找线段的中点，当我们学习了线段垂直平分线的作法后，我们知道，线段与线段垂直平分线的交点就是线段AB的中点，所以我们也可以用这种方法作线段的中点．用这种方法，你能把一条线段AB四等分吗？ 生：先作线段AB的垂直平分线，找到中点C，再作线段AC、BC的垂直平分线，找到四等分点. 师：说的非常好，真所谓举一反三，触类旁通. 三、合作竞学

CADBE

DCBA1．如图，已知AB是线段CD的垂直平分线， E是AB上的一点，如果EC＝7 cm，那么ED＝ cm，如果∠ECD＝60°，那么∠EDC＝ . （学生口述答案，并说出推理过程.让学生能从图形中应用线段垂直平分线性质定理容易找出相等的线段、角） 2．已知直线l和l上一点P，利用尺规作l的垂线，使它经过点P． （学生口述已知、求作，并说出作图过程.注意作图语言的规范性） 已知：直线l和l上一点P． 求作：PC⊥l． 作法：l.以点P为圆心，以任意长为半径作弧，直线L相交于点A和B． 2．作线段AB的垂直平分线PC． 直线PC就是所求的垂线． 四、课堂小结

师：通过本节课的学习，你有哪些感悟与收获？ 生1：本节课我学会了证明线段的垂直平分线的性质定理和判定定理． 生2：我们可以用线段的垂直平分线的性质定理和判定定理求解一些数学题. 生3：我学会了用尺规作线段的垂直平分线． 生4：从本节课练习题及变式题中，我们总结了一些有关线段和周长的等量关系. 五、达标检测

1.已知：如右图，在△ABC中，AB的中垂线MN交AC于D点， 并且AB=AC，∠A=50°，则∠DBA= ，∠DBC= . 2.如右图，在△ABC中，AB的垂直平分线MN交AB于D点，交AC于E点，且AC=15cm， △BCE的周长等于25cm， （1）求BC的长？ （2）若∠A=36°，并且AB=AC，求证：BC=BE.

3.如右图，在△ABC中，AB=AC， BC=12，∠BAC =120°，AB的垂直平分线交BC边于点E， AC的垂直平分线交BC边于点N. (1) 求△AEN的周长. (2) 求∠EAN的度数. (3) 判断△AEN的形状.

CAEN

M

BD

ABCDEMN

CDABMN