北师大版八年级下册数学《线段的垂直平分线》三角形的证明(第1)精品PPT教学课件

感悟新知
知识点 2 线段垂直平分线的判定定理
知2－讲
1. 判定定理 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线 段的垂直平分线上 . 条件： 点到线段两个端点距离相等 . 结论： 点在线段的垂直平分线上 .
感悟新知
2. 几何语言 如图 1-3-3， ∵ AB=AC， ∴点 A 在线段 BC 的垂直平分线上 .
垂线
作法
(1)如图，以点 P 为圆心， 适当长为半径画弧， 交直线 l 于点 A， B. (2) 作线段 AB 的垂直 平分 线 m. 直线 m 为所求作的垂线 .
感悟新知
归纳总结
知4－讲
作图题的一般思路：
1. 假设所求作的图形已作出，画出草图；
2. 在草图上标出已知的边、角的对应位置及规定的
交点字母；
知3－讲
感悟新知
知3－练
例3 如图 1-3-7， OE， OF 所在 直线分 别是 △ ABC 中 AB， AC 边的垂直平分线，∠ OBC，∠ OCB 的平分 线相交于点 I，试判断 OI 与 BC 的位置关系，并给予 证明 .
感悟新知
知3－练
解题秘方：根据三角形三边的垂直平分线相交 于一点和三个内角的平分线也相交 于一点这两条性质进行证明 .
感悟新知
知4－练
解题秘方：紧扣尺规作图作线段垂直平分线及过 直线上一点作已知直线的垂线的步骤 作出三角形，并按提供的数据求高 .
感悟新知
解：如图 1-3-9，△ ABC 即为所求 .
知4－练
Hale Waihona Puke 感悟新知知4－练(2)若在(1)作出的Rt△ ABC中，AB=4 cm，求 AC 边上 的高 .
感悟新知
感悟新知
证明：连接BD. ∵AB＝AD， ∴点A在线段BD的垂直平分线上． 又∵BC＝DC， ∴点C在线段BD的垂直平分线上． ∴AC所在的直线是线段BD的垂直平分线． ∵点E是AC上一点，∴BE＝DE.

P
∴PA = PC.
∴点 P 在 AC 的垂直平分线上; B ∴ AB、BC、AC 的垂直平分线相交于点 P. N′
C N
5. 如图，AD⊥ BC，BD = DC，点 C 在 AE 的垂直平分线上，AB，AC，CE 的长度有 什么关系？AB + BD 与 DE 有什么关系？
A
解：∵ AD⊥ BC，BD = DC，
∵AP = BP，∠APC =∠BPC，PC = PC，
∴△APC ≌△BPC（SAS）.
P
∴AC = BC，∠PCA =∠PCB
又∵∠PCA +∠PCB = 180°
∴∠PCA =∠PCB的垂直平分线上.
C
B
例 1 已知：如图，在△ABC 中，AB = AC，O 是△ABC 内一点，且 OB = OC.
A. 50°
B. 40°
C. 40°或140°
D. 40°或50°
4. 已知：如图，在△ABC 中，边 AB、
BC 的垂直平分线交于 P. 求证：点 P 在 AC
的垂直平分线上.
A
M M′
P
B
C
N
N′
证明：
A
∵点 P 在线段 AB 的垂直平分线 MN 上， M′
∴PA = PB.
M
同理 PB = PC.
∵AP = BP，PC = PC. AC = CB，
∴△APC ≌△BPC（SSS）.
∴∠PCA =∠PCB（全等三角形的对应角相等）.
又∵∠PCA +∠PCB = 180°， ∴∠PCA =∠PCB =∠90°，即 PC⊥AB. P
∴ P 点在 AB 的垂直平分线上.
A
C

情况一：当点P在线段AB上时，
∵PA=PB，
∴点P为线段AB的中点，
A 显然此时点P在线段AB的垂直平分线上；
P
B
命题：到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
已知：线段AB，点P是平面内一点，且PA=PB．
求证：P点在AB的垂直平分线上．
情况二：当点P在线段AB外时，如图. ∵PA=PB， ∴△PAB是等腰三角形. 过顶点P作PC⊥AB，垂足为点C， ∴底边AB上的高PC也是底边AB上的中线. 即 PC⊥AB，且AC=BC.
你能证明这个定理吗 ？
M P
A
CB
N
定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 已知: 如图, 直线MN⊥AB, 垂足是C，且AC=BC, P是MN上任意一点. 求证: PA=PB.
证明：∵MN⊥AB
∴∠PCA=∠PCB=90°
M P
∵AC=BC, PC=PC
∴△APC≌△BPC(SAS)
内容 作用
内容 判定
作用
线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点 的距离相等 见垂直平分线，得线段相等
到线段的两个端点距离相等的点在线段的 垂直平分线上
判断一个点是否在线段的垂直平分线上
六、布置作业
完成课本P23习题1.7中第1、2、3、4题
学习数学就像一个圆，思考的越多，半径越大，思维接触的区域 就越辽阔。
解：（2）∵EF垂直平分AC，AD垂直平分BE， ∴AC＝2CF＝2×3＝6cm，CE＝AE＝AB，DB＝ DE， ∴C△ABC＝AC+CB+AB
＝AC+CD+DB+AB ＝AC+CD+（DE+CE） ＝AC+2CD ＝6+2×4＝14（cm），

例 如图,在四边形ABCD中,AC垂直平分BD,垂足为E,下 列结论不一定成立的是 ( C )
A.AB=AD B.AC平分∠BCD C.AB=BD D.△BEC≌△DEC
巩固练习
变式训练
如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于点D,将AB边 沿AD折叠,发现B点的对应点E正好在AC的垂直平分线上, 则∠C=____3_0_°___.
A.8 B.9 C.10 D.11
课堂检测
基础巩固题
2. 如图,在四边形ABCD中,E为AB的中点,DE⊥AB于点 E,∠A=66°,∠ABC=90°,BC=AD,则∠C的大小为__7_8_°__.
课堂检测
基础巩固题
3. 如图所示，在△ABC中，BC=8cm,边AB的垂直平分线
交AB于点D，交边AC于点E, △BCE的周长等于18cm,则
探究新知
探究发现：
如图，直线l垂直平分线段AB，P1，P2，P3，…是l 上的
点，请你量一量线段P1A，P1B，P2A，P2B，P3A，P3B的长，
你能发现什么？请猜想点P1，P2，P3，… 到点A 与点B 的距离
之间的数量关系．
P3
P1A _＝___P1B
P2
P2A _＝___ P2B
P1
A
B
P3A _＝___ P3B
∴ ∠PCA =∠PCB．
又 AC =CB，PC =PC，
∴ △PCA ≌△PCB（SAS）． A ∴ PA =PB．
C
B
探究新知
结论 线段垂直平分线的性质定理
文字语言： 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端
点的距离相等．
几何语言：
∵P在线段AB的垂直平分线上，

归纳小结：
线段的垂直平分线的性质定理: 线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等.
线段的垂直平分线的判定定理: 到一条线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.
延迟开学,不停学， 同学们，加油哦！ 感谢聆听!
线段的垂直平分线的性质定理: 线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等.
线段的垂直平分线的判定定理: 到一条线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.
题型精讲精练
例题讲练：
证明：∵AB =AC ∴点A在线段BC的垂直平分线上
（到一条线段两个端点的距离相等的点在这 条线段的垂直平分线上）.
证明：∵AB是线段CD的垂直平分线， ∴ EC= ED， CF=DF．
∴∠ECD=∠EDC，∠FCD=∠FDC
(等边对等角）． ∴∠ECD+∠FCD=∠EDC+∠FDC. ∴∠ECF=∠EDF.
课堂测试 1.如图,在△ABC中, 已知AC=27, AB的垂直平分线交AB于D，
交AC于点E，△BCE的周长等于50，求BC的长. A
知识精讲
知识点： 线段的垂直平分线的性质定理与判定定理
探究一、
分析：要证PA=PB，一般要证△PCA≌△PCB 证明：∵MN⊥AB，
∴∠PCA=∠PCB=90° ∵AC=BC，PC=PC, ∴△PCA≌△PCB(SAS) ；
(已知） （ 推出）
（ 隐藏）
∴PA=PB(全等三角形的对应边相等)．
北师大数学八年级下册第一章 三角形的证明
第3节 线段的垂直平分线
（第1课时）
前言 我们一起回顾一下，我们已经学习了哪些
有关线段的垂直平分线的知识？
1.我们曾经利用折纸的办法得到：线段垂直 平分线上的点到这条线段的两个端点的距 离相等；反过来，到线段两个端点的距离 相等的点在这条线段的垂直平分线上． 2.知道了如何用尺规作图的方法去作一条线 段的垂直平分线.

三角形三条边的垂直平分线的性质：三角形三条边的垂直平分线 相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等．
实践探究，交流新知
已知等腰三角形的底边和该边上的高，求作等腰三角形
(1)已知三角形的一条边及这条边上的高，你能作出三角形吗？如果能，能作 几个？所作出的三角形都全等吗？ (2)已知等腰三角形的底边，你能用尺规作出等腰三角形吗？如果能，能作几 个？所作出的三角形都全等吗？ (3)已知等腰三角形的底边及底边上的高，你能用尺规作出等腰三角形吗？如 果能，能作几个？
． 39°
3．如图，在△ABC中，∠BAC是钝角． (1)画出边BC上的中线AD； (2)画出边BC上的高AH.
第1题
第2题
第3题
课堂小结，整体感知
1.课堂小结：请同学们回顾本节课所学的内容，有哪些收获？ （1）三角形三条边的垂直平分线的性质 （2）尺规作线段的垂直平分线、等腰三角形
2.布置作业：
开放训练，体现应用
例1 (教材第22页例1)已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，O是△ABC内一点， 且OB＝OC.求证：直线AO垂直平分线段BC.（解法不唯一）
证明：∵AB＝AC， ∴点A为线段BC垂直平分线上的一点 ∵OB＝OC， ∴点O为线段BC垂直平分线上的一点 ∴直线AO是线段BC的垂直平分线
课堂检测，巩固新知
解：(1)∵∠BAC＝50°，AD平分∠BAC ∴∠EAD＝1∠BAC＝25°
2
∵DE⊥AB ∴∠AED＝90° ∴∠EDA＝90°－25°＝65° (2)证明：∵DE⊥AB ∴∠AED＝90°＝∠ACB 又∵AD平分∠BAC ∴∠DAE＝∠DAC 又∵AD＝AD ∴△AED≌△ACD(AAS) ∴AE＝AC ∵AD平分∠BAC ∴AD⊥CE，AD平分线段EC 即直线AD是线段CE的垂直平分线

与点A′重合，AD=A′D，∠1=∠2= 90°，即直线l 既平分线段AA′，又垂直
线段AA′.
l
●
●
12
A
D
A′ (A)
我们把垂直且平分一条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线（中垂线）. 由上可知：线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴.
创设情境 引入新课
思考2：如图，直线l垂直平分线段AB，P1，P2，P3，…是l 上的点，请 你量一量线段P1A，P1B，P2A，P2B，P3A，P3B的长，你能发现什么？ 请猜想点P1，P2，P3，… 到点A 与点B 的距离之间的数量关系．
∴Rt△PAC ≌Rt△PBC（HL）．
∴AC = BC，
A
C
B
即 P 点在 AB 的垂直平分线上．
典例探究 深化新知
证法二：取 AB 的中点 D，过 P，D 作直线.
∵AP = BP，PD = PD. AD = DB，
P
∴△APD ≌△BPD（SSS）.
∴∠PDA =∠PDB（全等三角形的对应角相等）.
P1A _＝___P1B
P2A _＝___ P2B
P3A _＝___ P3B
A
P3 P2
P1 B
由此你能得到什么结论？ l
结论：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.
典例探究 深化新知
证明命题：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.
已知：如图，直线 MN⊥AB，垂足为 C，且 AC = BC，P 是 MN 上的任
A
D E
B
C
巩固练习 拓展提高
3.如图，A、B表示两个仓库，要在A、B一侧的河岸边建造一个码头， 使它到两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置?

如图，在△ABC中,点O是AB,BC的垂直平分线 的交点.
（1）此三角形是什么三角形？并说明理由。
（2）若AO=2,求BO,CO的长。 （3）若CAB 62 ，则OCB 的度数是多少？
A
O
C
B
选 做 题 2 探究三角形三边中垂线性质
有特大城市A及两个小城市B、C,这三个城市准备共建 一个污水处理厂M,使该厂到B，C两城市距离相等，且使 A市到该厂的管线最短，试用尺规作图确定污水处理厂M 的位置
检 查 预 习 1 探究三角形三边中垂线性质 1、 三人一组，其中两人分别剪一个直角三角
形、锐角三角形的纸片。
2、第三个人在稿纸上画一个钝角三角形，再剪 一个三角形纸片。
发现新知 1 探究三角形三边中垂线性质
➢ 有纸片同学通过折叠描出每条边的垂直 平分线，观察这三条垂直平分线,你发 现了什么?
➢ 利用尺规作出钝角三角形三条边的垂直 平分线.观察这三条垂直平分线,你发现 了什么?
课外作业
小练P8 大练P15能力提升T2，T3,T4,T5,T6 选做T7
祝你成功！
结束寄语
严格性之于数学家,犹如道德之于人. 证明的规范性在于：条理清晰，因果相 应,言必有据.这是初学证明者谨记和遵 循的原则.
读书当将破万卷；求知不叫一疑存。读书之法，在循序而渐进，熟读而精思，喜欢读书，就等于把生活中寂寞的辰光换成巨大享受的时刻 善名。有时间读书，有时间又有书读，这是幸福；没有时间读书，有时间又没书读，这是苦恼。不读书的人，思想就会停止。读书时要深 就可能人云亦云，沦为书本的奴隶；或者走马看花，所获甚微。为乐趣而读书。立身以立学为先，立学以读书为本读书而不能运用，则所 可以培养一个完人，谈话可以训练一个敏捷的人，而写作则可造就一个准确的人。读书是在别人思想的帮助下，建立起自己的思想。养心 书。身边永远要着铅笔和笔记本，读书和谈话时碰到的一切美妙的地方和话语都把它记下来。凿壁偷光，聚萤作囊；在读书上，数量并不 的品质与所引起的思索的程度。劳于读书，逸于作文。、没有比读书更廉价的娱乐，更持久的满足了。从来没有人为了读书而读书，只有 发现自己，或检查自己。不怕读得少，只怕记不牢。莫等闲，白了少年头，空悲切！书籍是培育我们的良师，无需鞭答和根打，不用言语 不拘形式，对图书倾注的爱，就是对才智的爱。熟读唐诗三百首，不会作诗也会吟。书到精绝潜心读；文穷情理放声吟读万卷书，行万里 可以医愚。如果把生活比喻为创作的意境，那么阅读就像阳光。书籍是少年的食物，它使老年人快乐，也是繁荣的装饰和危难的避难所， 快乐的种子，在外也不致成为障碍物，但在旅行之际，却是夜间的伴侣。读书是在别人思想的帮助下，建立起自己的思想。饭可以一日不 书不可以一日不读。、读过一本好书，像交了一个益友。读书有三到，谓心到，眼到，口到立身以立学为先，立学以读书为本。读书而不 化。为中华之崛起而读书。来书籍是在时代的波涛中航行的思想之船，它小心翼翼地把珍贵的货物运送给一代又一代。书籍是最好的朋友 难的时候，你都可以向它求助，它永远不会背弃你。1、抱最大的希望，为最大的努力，做最坏的打算。有些事情本身我们无法控制，只 像大树一样，被砍了，还能再长；也要像杂草一样，虽让人践踏，但还能勇敢地活下去。人的活动如果没有理想的鼓舞，就会变得空虚而 应该更大胆、更积极地向不幸挑战！一个人炫耀什么，说明内心缺少什么。志在山顶的人，不会贪念山腰的风景。当一个人先从自己的内 有价值的人。旁观者的姓名永远爬不到比赛的计分板上。强者向人们揭示的是确认人生的价值，弱者向人们揭示的却是对人生的怀疑。不 这一切看成是在你成大事之前，必须经受的准备工作。成功源于不懈的努力。积极思考造成积极人生，消极思考造成消极人生。对的，坚 的路总是为有信心的人预备着。这社会你改变不了就得适应，适应不了就得被淘汰！这叫适者生存！宁愿跑起来被拌倒无数次，也不愿规 跌倒也要豪迈的笑。没有伞的孩子必须努力奔跑。你不勇敢，没人替你坚强。态度决定一切，实力捍卫尊严！人要经得起诱惑耐得住寂寞 宇宙智慧来说只不过是汪洋中的一滴水，但这滴水却凝聚着海洋的全部财富；是质量上的一而非数量上的一；你的思维拥有一切宇宙智慧 弃者绝不会成功。人生不售来回票，一旦动身，绝不能复返。自己要先看得起自己，别人才会看得起你。即使爬到最高的山上，一次也只 人生的光荣，不在于永不言败，而在于能够屡扑屡起。——拿破仑游手好闲的人最没有空闲不经风雨，长不成大树；不受百炼，难以成钢 于你自己。人的一生，是很短的，短暂的岁月要求我好好领会生活的进程……攀登顶峰，这种奋斗的本身就足以充实人的心。人们必须相 老骥伏枥，志在千里；烈士暮年，壮心不已。大鹏一日同风起，扶摇直上九万里。不会宽容人的人，是不配受到别人的宽容的。不经过本 到自己的目的，任何外来的帮助也不能代替本身的努力。子女中那种得不到遗产继承权的幼子，常常会通过自身奋斗获得好的发展。而坐 大业。明日复明日，明日何其多！日日待明日，万事成蹉跎。世人皆被明日累，明日无穷老将至。晨昏滚滚水东流。今古悠悠日西坠。百 我《明日歌》我希望你照自己的意思去理解自己，不要小看自己，被别人的意见引入歧途。百金买骏马，千金买美人；万金买高爵，何处 量的工作要做，否则他不可能从懒散空闲中得到乐趣。如果我们以为只有野心和爱情这类强烈的激情才能抑制其他情感，那就错了。懒惰 把我们征服：它渗透进生活中一切目标和行为，时钟随着指针的移动滴答在响：“秒”是雄赳赳气昂昂列队行进的兵士，“分”是士官，“小时 的军官。，所以当你百无聊赖，胡思乱想的时候，请记住你掌上有千军万马；你是他们的统帅。检阅他们时，你不妨问问自己——他们是 的作用。沧海可填山可移，男儿志气当如斯。从来便没有什么救世主，也不靠神仙皇帝，要创造人类的幸福，全靠我们自己。任何人都应 性，不然就是奴才。但自尊不是轻人，自信不是自满，独立不是弧立。三更灯火五更鸡，正是男儿发愤时。黑发不知勤学早，白首方悔读 笑凌骇浪济川舟。富贵不淫贫贱乐，男儿到此是豪雄。滴自己的汗，吃自己的饭。自己的事情自己干，靠人靠天靠祖上，不算是好汉。你 不可为一些芝麻小事在那儿大惊小怪。你知道，弱者在这世界上是不好过日子的。真正的敏捷是一件很有价值的事。因为时间是衡量事业 货物的标准时间是一位可爱的恋人，对你是多么的爱慕倾心，每分每秒都在叮嘱；劳动创造别虚度了一生。与善人居，如入兰芷之室，久 如入鲍鱼之肆，久而不闻其。光勤劳是不够的，蚂蚁也非常勤劳。你在勤劳些什么呢？有两种过错是基本的，其他一切过错都由此而生： 破青春的华丽精致，会把平行线刻上美人的额角，会吃掉稀世珍宝，天生丽质，什么都逃不过他横扫的镰刀。人，只要有一种信念，有所 受，什么环境也都能适应。我年轻时注意到，我每做十件事有九件不成功，于是我就十倍地去努力干下去。滴自己的汗，吃自己的饭。自 靠天靠祖上，不算是好汉。”天行健，君子以自强不息；地势坤，君子以厚德载物。古今中外，凡成就事业，对人类有所作为的人，无一不 结

AB/2长为半径作弧，两弧交于点C
和D. 2. 作直线CD.
A
B
则直线CD就是线段AB的垂直平分线.
请你说明CD为什么是AB的垂直平分
D
线，并与同伴进行交流.
老师提示：
因为直线CD与线段AB的交点就是AB的中点，所
以我们也用这种方法作线段的中点.
讲授新课
例1 如图，已知AB是线段CD的垂直平
分线，E是AB上的一点，如果EC=7cm，
发现：三角形三边的垂直平 分线交于一点．这一点到三角形 三个顶点的距离相等．
讲授新课
剪一个三角形纸片，通过折叠找出每条边的垂 直平分线，观察这三条垂直平分线，你是否发现 同样的结论?与同伴交流．
MA
E
P B
Q O
C NF
讲授新课
证明结论：三角形三边的垂直平分线交于一点. 已知：在△ABC中，设AB、BC的垂直平分线交于点O.
B
分析：要证明点P在线段AB的垂直平分线上，
可以先作出过点P的AB的垂线(或AB的中点，)
，然后证明另一个结论正确. 想一想：
若作出∠P的角平分线，结论是否也可以得征？
讲授新课
逆定理 到一条线段两个端点距离相等的
点，在这条线段的垂直平分线上. 如图，
M P
∵PA=PB（已知），
∴点P在AB的垂直平分线上（到一
北师版 八年级 下册
第一章 三角形的证明
线段的垂直平分线 （第1课时）
复习旧知
我们曾经利用折纸的方法得到：线段垂直平分 线上的点到这条线段两个端点距离相等.
你能证明这一结论吗？
M
P
已知：如图，AC=BC，MN⊥AB，
P是MN上任意一点.

(1)∵△BCD的周长为8，
∴BC＝△BCD的周长－(BD＋CD)＝8－5＝3. (2)∵BC＝4， ∴△BCD的周长＝BC＋BD＋CD＝5＋4＝9.
知1－讲
总 结
本题运用了转化思想，用线段垂直平分线的性 质把BD的长转化成AD的长，从而把未知的BD与CD 的长度和转化成已知的线段AC的长．本题中AC的长、 BC的长及△BCD的周长三者可互相转化，知其二可 求第三者．
为E，下列结论不一定成立的是( C ) A．AB＝AD B．AC平分∠BCD C．AB＝BD D．△BEC≌△DEC
知1－讲
导引：
根据线段垂直平分线的性质得出AB与AD的关系，
结合三角形全等进行逐一验证四个选择项求解．
∵AC垂直平分BD，∴AB＝AD，BC＝CD. 又∵AC＝AC， ∴△ABC≌△ADC. ∴∠BAC＝∠DAC，∠BCA＝∠DCA.
第一章 三角形的证明
1.3
线段的垂直平分线
第 1 课时
线段垂直平分线
的性质与判定
1
课堂讲解 课时流程
逐点 导讲练
线段垂直平分线的性质
线段垂直平分线的判定
2
课堂 小结
作业 提升
回顾旧知 线段是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？ 什么叫线段的垂直平分线？
知1－导
知识点
探究
1
线段垂直平分线的性质 P3 P2 P1
（来自《教材》）
知1－练
2 如图，在△ABC中，AD垂直平分BC，AC＝CE，
点B，D，C，E在同一直线上，则AB＋BD与DE 的关系是( C ) A．AB＋DB＞DE B．AB＋DB＜DE
C．AB＋DB＝DE
D．不能确定
知1－练