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《线段垂直平分线》知识清单一、线段垂直平分线的定义线段垂直平分线，顾名思义，是指一条直线，它垂直于一条线段并且平分这条线段。
也就是说，如果直线MN 是线段AB 的垂直平分线，那么 MN 垂直于 AB，并且点 A 和点 B 到直线 MN 的距离相等。
二、线段垂直平分线的性质1、线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等这是线段垂直平分线最重要的性质之一。
例如，若点 C 在线段 AB的垂直平分线 l 上，那么 AC ＝ BC。
这个性质在解决很多几何问题中都非常有用，通过证明某点在垂直平分线上，就可以得出该点到线段两端点的距离相等。
2、到一条线段的两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上这个性质是上述性质的逆定理。
比如，如果已知 AC ＝ BC，那么点 C 一定在线段 AB 的垂直平分线上。
这为我们判断一个点是否在某线段的垂直平分线上提供了依据。
三、线段垂直平分线的判定判定一条直线是否为线段的垂直平分线，通常有以下几种方法：1、定义法如果一条直线既垂直于线段又平分线段，那么它就是线段的垂直平分线。
2、性质法若直线上的点到线段两端点的距离相等，那么这条直线是线段的垂直平分线。
四、线段垂直平分线的作法1、尺规作图法（1）分别以线段的两个端点 A、B 为圆心，以大于线段 AB 长度一半的长为半径画弧，两弧相交于点 C 和点 D。
（2）过点 C 和点 D 作直线 CD，则直线 CD 就是线段 AB 的垂直平分线。
2、折纸法将一张纸对折，使线段的两个端点重合，然后展开纸张，折痕所在的直线就是线段的垂直平分线。
五、线段垂直平分线的应用1、证明线段相等如果已知某点在一条线段的垂直平分线上，那么可以利用垂直平分线的性质得出该点到线段两端点的距离相等，从而证明线段相等。
2、构建等腰三角形通过作线段的垂直平分线，可以找到到线段两端点距离相等的点，从而构建等腰三角形，为解决问题提供新的条件。
3、确定最短路径在一些实际问题中，如要在直线同侧找到两点到直线上一点的距离之和最短，可以通过作其中一点关于直线的对称点，然后利用线段垂直平分线的性质找到最短路径。
注意：要证明一条线为一个线段的垂直平分线，应证明两个点到这条线段的距离相等且这两个点都在要求证的直线上才可以证明通常来说，垂直平分线会与全等三角形来使用。
垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等。
巧记方法：点到线段两端距离相等。
可以通过全等三角形证明。
垂直平分线的尺规作法方法之一：(用圆规作图)1、在线段的中心找到这条线段的中点通过这个点做这条线段的垂线段。
2、分别以线段的两个端点为圆心，以大于线段的二分之一长度为半径画弧线。
得到两个交点(两交点交与线段的同侧)。
3、连接这两个交点。
原理：等腰三角形的高垂直平分底边。
方法之二：1、连接这两个交点。
原理：两点成一线。
等腰三角形的性质：1、三线合一 ( 等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角平分线相互重合。
)2、等角对等边(如果一个三角形，有两个内角相等，那么它一定有两条边相等。
)3、等边对等角(在同一三角形中，如果两个角相等，即对应的边也相等。
)垂直平分线的判定①利用定义.②到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.(即线段垂直平分线可以看成到线段两端点距离相等的点的集合)例1．如图，已知：在△ABC中，∠C=90°∠A=30°，BD平分∠ABC交AC于D.求证：D在AB的垂直平分线上.分析：根据线段垂直平分线的逆定理，欲证D在AB的垂直平分线上，只需证明BD=DA即可.证明：∵∠C=90，°∠A=30°（已知），∴∠ABC=60°（Rt△的两个锐角互余）又∵BD平分∠ABC（已知）∴∠DBA=1/2∠ABC=30°=∠A∴BD=AD（等角对等边）∴D在AB的垂直平分线上（和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）.例2．如图，已知：在△AB C中，AB=AC，∠BAC=120°，AB的垂直平分线交AB于E，交BC于F。
垂直平分线的求法
垂直平分线，又称“单位偏移线”，是数学中最常用的线性物理
学概念，它可以定义两个相互垂直的线段，每个线段都可以用简单的方式表示，具有对称性和稳定性。
垂直平分线的求法一般分为三类：直接法、点斜式法和极坐标法。
1、直接法：即垂直平分线的直接求法，也就是根据线段的一端点，计算出另一端点的坐标，最常用的两种方法是利用线段的中点或线段的斜率。
2、点斜式法：即垂直平分线的点斜式求法，即以给定的两点为
基础，计算出其垂直平分线的斜率，再根据斜率计算出另外一端点的坐标。
3、极坐标法：即垂直平分线的极坐标求法，使用极坐标可以简
化线段的求法，并且可以清楚地表示垂直平分线在三维空间中的定位，以及垂直平分线在极坐标空间中的性质。
以上就是垂直平分线的求法。
垂直平分线的求法有多种方式，它们可以让研究者清楚地表示垂直平分线的定位和性质，同时也能够帮助研究者进行更为准确的数学推理。
在实际应用中，垂直平分线的求法被广泛应用于众多领域，其中最为常见的应用也许就是诸如折线图、曲线图等图形形状的绘制为了能够准确表示某种趋势，需要垂直平分线求法来帮助绘图者更好地确定垂直平分线的定位及其斜率。
同时，垂直平分线也是建筑、航空、机械设计等多个领域的基础
理论，因为垂直平分线的求法可以清楚地表示极坐标系的空间位置，为很多科学研究提供了实用的数学模型。
总之，垂直平分线的求法在很多科学和工程领域中都有着非常重要的作用，它为研究者们提供了一种方便、实用的数学工具，使得没有专业数学基础的研究者也能够方便地进行数学推理。
第三讲 线段的垂直平分线【要点梳理】要点一、线段的垂直平分线1.定义经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线．2.线段垂直平分线的做法求作线段AB 的垂直平分线.作法：（1）分别以点A ，B 为圆心，以大于AB 的长为半径作弧，两弧相交于C ，D 两点；（2）作直线CD ，CD 即为所求直线．要点诠释：(1)作弧时的半径必须大于AB 的长，否则就不能得到两弧的交点了．(2)线段的垂直平分线的实质是一条直线.要点二、线段的垂直平分线定理线段的垂直平分线定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．要点诠释：线段的垂直平分线定理也就是线段垂直平分线的性质，是证明两条线段相等的常用方法之一．同时也给出了引辅助线的方法，“线段垂直平分线，常向两端把线连”.就是遇见线段的垂直平分线，画出到线段两个端点的距离，这样就出现相等线段，直接或间接地为构造全等三角形创造条件．要点三、线段的垂直平分线逆定理线段的垂直平分线逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上． 要点诠释：到线段两个端点距离相等的所有点组成了线段的垂直平分线.线段的垂直平分线可以看作是与这条线段两个端点的距离相等的所有点的集合．要点四、三角形的外心三角形三边垂直平分线交于一点，该点到三角形三顶点的距离相等，这点是三角形外接圆的圆心——外心.要点诠释:1.三角形三条边的垂直平分线必交于一点（三线共点），该点即为三角形外接圆的圆心.2.锐角三角形的外心在三角形内部；钝角三角形的外心在三角形外部；直角三角形的外心在斜边上，与斜边中点重合.3.外心到三顶点的距离相等.要点五、尺规作图作图题是初中数学中不可缺少的一类试题，它要求写出“已知，求作，作法和画图”，画图必须保留痕迹，在现行的教材里，一般不要求写出作法，但是必须保留痕迹.证明过程一般不用写出来.最后要点题即“xxx 即为所求”.2121【典型例题】类型一、线段的垂直平分线定理例1、如图，△ABC中AC＞BC，边AB的垂直平分线与AC交于点D，已知AC=5，BC=4，则△BCD的周长是（）A．9 B．8 C．7 D．6【思路点拨】先根据线段垂直平分线的性质得到AD=BD，即AD+CD=BD+CD=AC，再根据△BCD的周长=BC+BD+CD即可进行解答．【答案】A；【解析】因为BD=AD,所以△BCD的周长=BD+CD+BC=AD+CD+BC=5+4=9.【总结升华】此题正是应用了线段垂直平分线的性质定理，也就是已知直线是线段垂直平分线，那么垂直平分线上的点到线段的两个端点距离相等，从而把三角形的边进行转移，进而求得三角形的周长．【变式1】如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AB的垂直平分线DE交AC于D，交AB于E，下述结论错误的是（）A．BD平分∠ABC B．△BCD的周长等于AB+BCC．AD=BD=BC D．点D是线段AC的中点【答案】D；提示:根据等边对等角、三角形内角和定理及线段垂直平分线的性质定理即可推得选项A、B、C正确；所以选D,另外，注意排除法在解选择题中的应用．【变式2】如图，△ABC中，BC=7，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G．求△AEG的周长．【答案】解：∵DE为AB的中垂线，∴AE=BE，∵FG是AC的中垂线，∴AG=GC，△AEG的周长等于AE+EG+GA，分别将AE和AG用BE和GC代替得：△AEG的周长等于BE+EG+GC=BC，所以△AEG的周长为BC的长度即7．类型二、线段的垂直平分线的逆定理例2、如图，已知AB=AC,∠ABD=∠ACD，求证：AD是线段BC的垂直平分线．A【答案与解析】证明：∵ AB=AC（已知）∴∠ABC=∠ACB (等边对等角)又∵∠ABD=∠ACD (已知)∴∠ABD-∠ABC =∠ACD-∠ACB (等式性质)即∠DBC=∠DCB∴DB=DC （等角对等边）∵AB=AC（已知）DB=DC （已证）∴点A 和点D 都在线段BC 的垂直平分线上（和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）∴AD 是线段BC 的垂直平分线。
