河北省衡水中学2016届高三下学期二调考试数学(文)试题 扫描版含答案

河北省衡水中学2016届高三二调数学（理）试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1、设全集U R =，集合{}2log 2x x A =≤，()(){}310x x x B =-+≥，则()UB A =ð（ ） A ．(],1-∞- B ．(](),10,3-∞- C ．[)0,3 D ．()0,32、正项等比数列{}n a 中，存在两项m a 、n a ，14a =，且6542a a a =+，则14m n+的最小值是（ ）A ．32B ．2C ．73D ．2563、设向量a 与b 满足2a =，b 在a 方向上的投影为1，若存在实数λ，使得a 与a bλ-垂直，则λ=（ ）A ．12 B ．1 C ．2 D ．34、已知函数()sin y x mωϕ=A ++的最大值为4，最小值为0．两个对称轴间最短距离为2π，直线6x π=是其图象的一条对称轴，则符合条件的解析式为（ ）A ．4sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．2sin 226y x π⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭ C ．2sin 3y x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ D ．2sin 223y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭5、在C ∆AB 中，三个内角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，若C S ∆AB =，6a b +=，cos cos 2cos Ca b c B +A=，则c =（ ）A． B． C ．4 D．6、设M 是C ∆AB 所在平面上的一点，且33C 022MB +MA +M=，D 是C A 的中点，则D M BM的值为（ ）A ．13B ．12 C ．1 D ．27、已知锐角A 是C ∆AB 的一个内角，a ，b ，c 是三角形中各角的对应边，若221sin cos 2A -A =，则下列各式正确的是（ ）A ．2b c a +=B ．2b c a +<C ．2b c a +≤D ．2b c a +≥8、已知函数()2g x a x =-（1x e e ≤≤，e 为自然对数的底数）与()2ln h x x=的图象上存在关于x 轴对称的点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．211,2e ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦ B ．21,2e ⎡⎤-⎣⎦ C ．2212,2e e ⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦ D ．)22,e ⎡-+∞⎣ 9、已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，11a =，22a =，33a =，数列{}12n n n a a a ++++是公差为2的等差数列，则25S =（ ）A ．232B ．233C ．234D ．235 10、函数()cos f x xπ=与()2log 1g x x =-的图象所有交点的横坐标之和为（ ）A ．0B ．2C ．4D ．6 11、已知向量是单位向量a ，b ，若0a b ⋅=，且25c a c b -+-=，则2c a+的取值范围是（ ）A ．[]1,3B ．⎡⎤⎣⎦C ．D ．⎤⎥⎦ 12、定义在()0,+∞上的单调函数()f x ，()0,x ∀∈+∞，()2log 3f f x x -=⎡⎤⎣⎦，则方程()()2f x f x '-=的解所在区间是（ ）A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．()1,2 D ．()2,3 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13、若110tan tan 3αα+=，,42ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则2sin 22cos cos 44ππαα⎛⎫++ ⎪⎝⎭的值为 ．14、已知函数()f x （R x ∈）满足()11f =，且()f x 的导数()12f x '<，则不等式()22122x f x <+的解集为 ．15、已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且675S S S >>，给出下列五个命题：①0d <；②110S >；③120S <；④数列{}n S 中的最大项为11S ；⑥67a a >．其中正确命题的个数是 ．16、已知函数()f x 为偶函数且()()4f x f x =-，又()235,01222,12x x x x x f x x -⎧--+≤≤⎪=⎨⎪+<≤⎩，函数()12xg x a⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，若()()()F x f x g x =-恰好有4个零点，则a 的取值范围是 ．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17、（本小题满分10分）设数列{}n a 满足11a =，121n n a a +=+．()1求{}n a 的通项公式；()2记()2log 1n n b a =+，求数列{}n n b a ⋅的前n 项和n S ．18、（本小题满分12分）已知角A ，B ，C 是C ∆AB 的三个内角，a ，b ，c 是各角的对边，若向量()1cos ,cos 2m A -B ⎛⎫=-A +B ⎪⎝⎭，5,cos 82n A -B ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且98m n ⋅=．()1求tan tan A⋅B 的值；()2求222sin Cab a b c +-的最大值．19、（本小题满分12分）已知函数()22sin 2xf x x ωω=-（0ω>）的最小正周期为3π．()1求函数()f x 在区间3,4ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值；()2在C ∆AB 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，且a b c <<2sin c =A ，求角C 的大小；()3在()2的条件下，若3112213f π⎛⎫A +=⎪⎝⎭，求cos B 的值．20、（本小题满分12分）已知函数()x f x e ax a=-+，其中R a ∈，e 为自然对数底数．()1讨论函数()f x 的单调性，并写出相应的单调区间；()2设R b ∈，若函数()f x b ≥对任意R x ∈都成立，求ab 的最大值．21、（本小题满分12分）设函数()()()21ln 1f x x m x =+-+，()2g x x x a=++．()1当0a =时，()()f x g x ≥在()0,+∞上恒成立，求实数m 的取值范围；()2当2m =时，若函数()()()h x f x g x =-在[]0,2上恰有两个不同的零点，求实数a 的取值范围；()3是否存在常数m ，使函数()f x 和函数()g x 在公共定义域上具有相同的单调性？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．22、（本小题满分12分）已知函数()()2ln 1f x x ax x=++-（R a ∈）．()1当14a =时，求函数()y f x =的单调区间；()2若对任意实数()1,2b ∈，当(]1,x b ∈-时，函数()f x 的最大值为()f b ，求a 的取值范围．河北省衡水中学2016届高三二调数学（理）试题参考答案。

）
5
A． i > 6 ？
B． i < 6 ？ C． i > 5 ？
9．方程 1− x2 = kx + 2 有唯一解，则实数 k 的取值范围是( )
A、 k = ± 3
B、 k ∈(−2, 2)
第 8 题图
D． i < 5 ？
C、 k < −2 或 k > 2
D、 k < −2 或 k > 2 或 k = ± 3
10．如图，程序框图所进行的求和运算是
()
第 2 页 共 10 页
A．1+ 1 + 1 +…+ 1
23
10
C. 1 + 1 + 1 +…+ 1
246
20
B.1+ 1 + 1 +…+ 1
35
19
D．
1 2
+
1 22
+
1 23
+…+
1 210
开始
输入函数 f (x)
f (x) + f (−x) = 0 ?
{ } { } 1．已知集合 A = x log2 x ≥ 0 ,集合 B = x 0 < x < 1 ,则 A U B =（ ）
{A. x x > 0}
{ B. x x > 1}
{C. x 0 < x < 1或x > 1}
D. ∅
2．若坐标原点在圆 (x m)2 ( y m)2 4 的内部，则实数 m 的取值范围是（ ）
A．1
B． −3
C．1或 −3
D． 0

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（每小题5分，共60分．下列每小题所给选项只有一项符合题意）1．复数122ii +-的共轭复数是（ ） A ．35i B ．35i -C ．iD ．i -2．已知集合()(){}240,2101x A x RB x R x a x a x ⎧-⎫=∈≤=∈---<⎨⎬+⎩⎭，若A B =∅ ，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()2,+∞B ．[)2,+∞C ．{}[)12,+∞D ．()1,+∞3．某工厂生产A 、B 、C 三种不同型号的产品，产品数量之比依次为:5:3k ，现用分层抽样方法抽出一个容量为120的样本，已知A 种型号产品共抽取了24件，则C 种型号产品抽取的件数为（ ） A ．24B ．30C ．36D ．404．如图给出的是计算111124620+++⋅⋅⋅+的值的一个框图，其中菱形判断框内应填入的条件是（ ） A ．8?i >B ．9?i >C ．10?i >D ．11?i >5．已知把函数()sin f x x x =+的图像向右平移4π个单位，再把横坐标扩大到原来的2倍，得到函数()g x ，则函数()g x 的一条对称轴为（ ） A ．6x π=B ．76x π=C ．12x π=D ．56x π=6．已知等比数列{}n a 的前n 项的和为12n n S k -=+，则()3221f x x kx x =--+的极大值为（ ） A ．2B ．3C ．72D ．527．已知身穿红、黄两种颜色衣服的各有两人，身穿蓝颜色衣服的有一人，现将这五人排成一行，要求穿相同颜色衣服的人不能相邻，则不同的排法共有（ ） A ．48种B ．72种C ．78种D ．84种8．已知椭圆221167x x +=的左、右焦点12,F F 与双曲线()222210x x a b a b -=>>的焦点重合．且直线10x y --=与双曲线右支相交于点P ，则当双曲线离心率最小时的双曲线方程为（ ）A ．2218x x -= B ．22163x x -= C ．22172x x -= D ．22154x x -= 9．一个长方体的四个顶点构成一个四面体EFHG ，在这个长方体中把四面体EFHG 截出如图所示，则四面体EFHG 的侧视图是（ ）A ．B ．C ．D ．10．已知函数()321f x x ax =++的对称中心的横坐标为()000x x >，且()f x 有三个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(),0-∞B．,2⎛-∞- ⎝⎭C ．()0,+∞D ．(),1-∞-11．已知三棱锥P ABC -的四个顶点都在球O 的球面上，若2PA AB ==，1AC =，120BAC ∠=︒，且PA ⊥平面ABC ，则球O 的表面积为（ ）A ．403πB ．503πC ．12πD ．15π12．已知函数()21,0,log ,0,kx x f x x x +≤⎧=⎨>⎩下列是关于函数()()1y f f x =+的零点个数的四种判断：①当0k >时，有3个零点；②当0k <时．有2个零点；③当0k >时，有4个零点；④当0k <时，有1个零点．则正确的判断是（ ）A ．③④B ．②③C ．①④D ．①②第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（每题5分，共20分．把答案填在答题纸的横线上）13．已知抛物线()220y px p =>的焦点为F ，ABC ∆的顶点都在抛物线上，且满足FA FB FC +=- ，则111AB BC CAk k k ++=______．14．设曲线()1*n y x x N +=∈在点()1,1处的切线与x 轴的交点横坐标为n x ，则201512015220153201l o g l o g l o g l o g x x x x +++⋅⋅⋅+的值为______． 15．已知ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知cos 2cos 22cos 2A B C +=，则cos C 的最小值为______．16．若函数()f x 在定义域D 内的某个区间I 上是增函数，且()()f x F x x=在I 上也是增函数，则称()y f x =是I 上的“完美函数”．已知()ln 1x g x e x x =+-+，若函数()g x 是区间,2m ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上的“完美函数”，则整数m 的最小值为______． 三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，写在答题纸的相应位置） 17．（本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且首项()*113,3n n n a a S n N +≠=+∈． （1）求证：{}3nn S -是等比数列；（2）若{}n a 为递增数列，求1a 的取值范围． 18．（本小题满分12分）有一批货物需要用汽车从生产商所在城市甲运至销售商所在城市乙，已知从城市甲到城市乙只有两条公路，且通过这两条公路所用的时间互不影响．据调查统计，通过这两条公路从城市甲到城市乙的200辆汽车所用时间的频率分布如下表：所用的时间（天数） 10 11 12 13 通过公路1的频数20402020通过公路2的频数 10 40 40 10假设汽车A 只能在约定日期（某月某日）的前11天出发，汽车B 只能在约定日期的前12天出发（将频率视为概率）．（l ）为了尽最大可能在各自允许的时间内将货物运往城市乙，估计汽车A 和汽车B 应如何选择各自的路径；（2）若通过公路1、公路2的“一次性费用”分别为3.2万元、1.6万元（其他费用忽略不计），此项费用由生产商承担．如果生产商恰能在约定日期当天将货物送到，则销售商一次性支付给生产商40万元，若在约定日期前送到，每提前一天销售商将多支付给生产商2万元；若在约定日期后送到，每迟到一天，生产商将支付给销售商2万元．如果汽车,A B 按（1）中所选路径运输货物，试比较哪辆汽车为生产商获得的毛利润更大． 19．（本小题满分12分）如图，平面PAC ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，PAC ∆为等边三角形，PE BC ，过BC 作平面交AP 、AE 分别于点N 、M ． （1）求证：MN PE ； （2）设ANAPλ=，求λ的值，使得平面ABC 与平面MNC 所成的锐二面角的大小为45︒．20．（本小题满分12分）如图，已知圆(22:16E x y ++=，点)F，P 是圆E 上任意一点线段PF 的垂直平分线和半径PE 相交于Q ． （1）求动点Q 的轨迹Γ的方程；（2）设直线l 与（1）中轨迹Γ相交下,A B 两点，直线,,OA l OB 的斜率分别为12,,k k k （其中0k >）．OAB ∆的面积为S ，以,OA OB 为直径的圆的面积分别为12,S S ．若12,,k k k 恰好构成等比数列，求12S S S+的取值范围．21．（本小题满分12分） 已知函数()()1ln 0x f x x a ax-=-≠． （l ）求函数()f x 的单调区间；（2）当1a =时，求()f x 在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值()0.69ln 20.70<<；（3）求证：21ln e x x x+≤． 请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲已知直线AC 与圆O 相切于点B ，AD 交圆O 于F 、D 两点，CF 交圆于,E F ，BD CE ，AB BC =，2AD =，1BD =．（1）求证：BDF FBC ∆∆∽； （2）求CE 的长．23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，圆C 的方程为()2cos 0a a ρθ=≠，以极点为坐标原点，极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系，设直线l 的参数方程为31,43x t y t =+⎧⎨=+⎩（t 为参数）（1）求圆C 的标准方程和直线l 的普通方程；（2）若直线l 与圆C 恒有公共点，求实数a 的取值范围．24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 （1）设函数()5,2f x x x a x R =-+-∈，若关于x 的不等式()f x a ≥在R 上恒成立，求实数a 的最大值；（2）已知正数,,x y z 满足231x y z ++=，求321x y z++的最小值．河北省衡水中学2016届高三下学期六调考试数学（理）试题（A 卷）参考答案一、选择题DCCCD DADDB AA 二、填空题13．0 14．1- 15．2116．3 三、解答题17．解：（1）因为11n n n a S S ++=-，所以123n n n S S +=+．…………………………………………1分 ∴11132332232333n n n nn n n n n nn n n S S S S S S +++-+--⨯===---．…………………………………………………4分 且130a -≠， 所以{}3n nS-是以13a -为首项，以2为公比的等比数列．…………………………………………6分 （2）由（1）得，()11332nn n S a --=-⨯，所以()11323n n n S a -=-⨯+．当2n ≥时，()()1211113233223n n n n n n n a S S a a ----=-=-⨯+--⨯+- ()2113223n n a --=-⨯+⨯．…………8分若{}n a 为递增数列，则1n n a a +>对*n N ∈恒成立．当2n ≥时，()()1211132233223n n n n a a --+-⨯+⨯>-⨯+⨯，则2213212302n n a --⎡⎤⎛⎫⨯+->⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦对*2,n n N ≥∈恒成立，则19a >-；…………………………………………………………………………………………………10分 又2113a a a =+>所以1a 的取值范围为()()+∞-,33,9 18．解：（Ⅰ）频率分布表，如下：所用的时间（天数） 10 11 12 13 通过公路1的频数 0.2 0.4 0.2 0.2 通过公路2的频数0.10.40.40.1设12,A A 分别表示汽车A 在约定日期前11天出发选择公路1、2将货物运往城市乙；1B 、2B 分别表示汽车B 在约定日期前12天出发选择公路1、2将货物运往城市乙；()0.20.40.6P A =+=， ()20.10.40.5P A =+=， ()10.20.40.20.8P B =++=， ()20.10.40.40.9P B =++=，所以汽车A 选择公路，汽车B 选择公路2．（Ⅱ）设X 表示汽车A 选择公路1时，销售商付给生产商的费用，则42,40,38,36X =．X 的分布列如下：X 42 40 38 36 P0.20.40.20.2()420.2400.4380.2360.239.2E X =⨯+⨯+⨯+⨯=．∴表示汽车A 选择公路1时的毛利润为39.2 3.236.0-=（万元）． 设Y 表示汽车B 选择公路2时的毛利润，42.4,40.4,38.4,36.4Y =． 则Y 的分布列如下：X 42.4 40.4 38.4 36.4 P0.10.40.40.1()42.40.140.40.438.40.436.40.139.4E Y =⨯+⨯+⨯+⨯=．∵36.039.4<，∴汽车B 为生产商获得毛利润更大．19．（1）如图以点C 为原点建立空间直角坐标系C xyz -，不妨设1CA =，()0CB t t =>，PE CB μ= ，则()0,0,0C ，()1,0,0A ，()0,,0B t，12P ⎛ ⎝⎭，1,2E t μ⎛ ⎝⎭， 由AM AN AE AP λ==，得()111,,1,0,,022M t N MN t λλμλλμ⎛⎫⎛⎫--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()00,0,1=n 是平面ABC 的一个法向量，且00MN ⋅= n ，故0MN ⊥n ，又∵MN ⊄平面ABC ，即知MN 平面ABC ，又∵,,,B C M N 四点共面，∴MNBC PE ；（2）()10,,0,1,,22MN t CM t λμλλμ⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭ ，设平面CMN 的法向量()1111,,x y z =n ，则110,0MN CM ⋅=⋅=n n ，可取1⎛= ⎝n ，又∵()00,0,1=n 是平面ABC 的一个法向量，由0101cos θ⋅=⋅n n n n ，以及45θ=︒2=， 即22440λλ+-=，解得1λ=（负值舍去），故1λ=．20．解：（Ⅰ）连结QF ，根据题意，=QP QF ，则|4|QE QF QE QP EF +=+=>=故动点Q 的轨迹Γ是以,E F 为焦点，长轴长为4的椭圆．2分设其方程为()222210x x a b a b +=>>，可知2,a c ===1b =，3分所以点Q 的轨迹Γ的方程为为2214x y +=．4分（Ⅱ）设直线l 的方程为y kx m =+，()()1122,,,A x y B x y由2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得()()222148410k x kmx m +++-=， 由韦达定理有：()12221228144114km x x k m x x k ⎧+=-⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩且()2216140k m ∆=+->………………………………………………………6分∵12,,k k k 构成等比数列，∴()()1221212kx m kx m k k k x x ++==，即：()2120km x x m ++= 由韦达定理代入化简得：214k =．∵k >，∴12k =………………………………………………8分 此时()21620m ∆=->，即(m ∈．又由A 、O 、B 三点不共线得0m ≠从而()(m ∈ ．故1212S AB d x =⋅=-m m ==10分又22221212144x x y y +=+= 则()222222121122123324444S S x y x y x x ππ⎛⎫+=⋅+++=⋅++ ⎪⎝⎭()212123521624x x x x πππ⎡⎤=+-+=⎣⎦为定值．12分∴125544S S S ππ+=≥当且仅当1m =±时等号成立． 综上：125,4S S S π+⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭．14分 21．（Ⅰ）函数的定义域为()0,+∞， ∵()1ln x f x x ax-=-， ∴()()()22211111x ax a x ax a f x x ax xax -⨯---'=-==-， 若0a <，因0x >，所以10x a->，故()0f x '<，函数()f x 在()0,+∞上单调递减； 若0a >，当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，函数()f x 单调递增；当1,x a ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时，()0f x '<，函数()f x 单调递减． 综上，若0a <，函数()f x 的单调减区间为()0,+∞； 若0a >，()f x 的单调增区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调减区间为1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭． （Ⅱ）1a =时，()11ln 1ln x f x x x x x -=-=--， 由（Ⅰ）可知，()11ln f x x x=--在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，故在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在[]1,2上单调递减，所以函数()f x 在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为()111ln101f =--=；而1112ln 1ln 222f ⎛⎫=--=-+⎪⎝⎭；()1121ln 2ln 222f =--=-， ()()1132ln 21ln 22ln 2 1.520.70.10222f f ⎛⎫-=---+=->-⨯=> ⎪⎝⎭，所以()122f f ⎛⎫>⎪⎝⎭，故函数()f x 在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为11ln 22f ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭． （Ⅲ）由（Ⅱ）可知，函数()11ln f x x x=--在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减， 故函数()f x 在()0,+∞上的最大值为()111ln10f =--=，即()0f x ≤．22．（Ⅰ）因为BD CE ，所以DBF BFC ∠=∠，因为AC 与圆O 相切于点B ，所以CBF BDF ∠=∠，所以BDF FBC ∆∆∽．（Ⅱ）因为B D C E ，且A B B C =，所以22,2F C B D D F A D ====，因为BDF FBC ∆∆∽，所以BD DF BF BF CB CF ==，即有BD BF BF CF =，即12BFBF =，则BF =，又BD DF BF BC =，即2BC =，所以CB =，因为AC 与圆O 相切于点B ，所以2CB CF CE =⋅，即82CE =，所以4CE =．23.解：（1）由3143x t y t =+⎧⎨=+⎩得11333344x t x y y t-⎧=⎪--⎪⇒=⎨-⎪=⎪⎩所以直线l 的普通方程为：4350x y -+=，……………………………………………………………2分由22cos 2cos a a ρθρρθ=⇒= 又222,cos x y x ρρθ=+= 所以，圆C的标准方程为()222x a y a -+=，…………………………………………………………5分（2）因为直线l 与圆C恒有公共点，所以a ≤，………………………………………7分两边平方得2940250a a --≥，∴()()9550a a +-≥ 所以a的取值范围是59a ≤-或5a ≥……………………………………………………………………10分24．（1）由绝对值的性质得()()55522f x x x a x x a a a ⎛⎫=-+-≥---=- ⎪⎝⎭，………………3分 所以()f x 的最小值为52a -，从而52a a -≥，解得54a ≤，因此a的最大值为54．…………………………………………………………………………………5分（2）由于,,0x y z >，所以()32132123x y z x y z x y z ⎛⎫++=++⋅++ ⎪⎝⎭22216≥=+=+当且仅当23321x y zx y z==，即:::3:1x y =时，等号成立．……………………………………8分 ∴321x y z++的最小值为。

2015-2016 学年度放学期高三年级一调考试数学试卷（理科） 第Ⅰ卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题 ,每题 5 分,共 60 分.在每题给出的四个选项中，只有一项是切合题目要求的 .1.已知复数 z x yix, y R ，且有x1 yi ，则 z（）1 iA ． 5B ． 5C ．3D ． 32.已知全集 U R ，会合 A x | x2x 60 , Bx |x1 0 ，那么会合 A C U Bx4（）A ． x | 2 x 4B ． x | x 3或x 4C ． x | 2 x1D ． x | 1 x 33.在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线中心在原点， 焦点在 y 轴上，一条渐近线方程为 x 2 y 0，则它的离心率为（ ）A ． 5B ．5C ． 3D ．224.履行所示框图，若输入 n6, m 4 ，则输出的 p 等于（ ）A ． 120B ． 240C ．360D ．7205.某校高三理科实验班有 5 名同学报名参加甲，乙，丙三所高校的自主招生考试，没人限报一所高校，若这三所高校中每个学校都起码有 1 名同学报考，那么这5名同学不一样的报考方法种数共有（）A． 144 种B．150 种C．196 种D．256 种6.在VABC中，三边之比a : b : c2:3: 4，则 sin A 2sin B（）D．1sin 2CA． 1B． 2C．-328.将函数f x sin 2x 的图像向右平移0个单位后获得函数 g x 的图像，2若对知足 f x1 f x2 2 的x1, x2，有x1x2min，则（）A．53 B．C．D．612349.某几何体的三视图如右图，若该几何体的全部极点都在一个球面上，则该球面的表面积为（）A．4B．28C．44D．20 3310.已知S n和 T n分别为数列a n与数列b n的前 n 项和，且45b nn N n获得最大值时，n的值为（）a1 e , S n eS n 3 e , a n e，则当 TA． 4B．5C．4或 5D．5或611.在正方体ABCD A1B1C1D1中，P为正方形A1B1C1D1四边上的动点，O为底面正方形 ABCD 的中心，M , N分别为AB, BC中点，点Q为平面 ABCD 内一点，线段D1Q与 OP uuuur uuuur的值有（）相互均分，则知足 MQ MN 的实数A．0 个B．1 个C．2 个D．3 个12.已知函数f xx2x3x4x2015x2x3x4x20151 x3L, g x 1 x34L，设24201522015函数 F x f x 3 , g x 4，且函数 F x 的全部零点均在区间a, b a, b Z，则 b a 的最小值为（）A． 6B．8C．9D．10第Ⅱ卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13.已知 11 1 x 5的睁开式中 x r （ r Z 且 1 r5 ）的系数为 0，则xr.3xy 2 014.设 x, y 知足拘束条件 xy0 ，若目标函数 z ax 2by a 0,b0 的最大值为x 0, y1，则1212 的最小值为 .a4bx 2 y 215.在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线 C : a 2b 21 a 0, b0 的渐近线与抛物线C 2 : x 22 py p 0 交于点 O, A, B ，若 VABC 的垂心为 C 2 的交点，则 C 1 的离心率为.16.在等腰梯形 ABCD 中，已知 AB PDC , AB2, BC 1, ABC 60 ，动点 E 和 F 分别在uuuruuur uuur uuur uuur uuur.线段 BC 和 DC 上，且 BEBC, DF1DC ，则AE AF 的最小值为9三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .）17.（本小题满分 12 分）已知数列 a n 知足 a n 2 qa n （ q 为实数，且 q 1 ），n N , a 1 1,a 2 2 ，且 a 2 a 3 ,a 3 a 4 ,a 4 a 5 成等差数列 .⑴求 q 的值和 a n 的通项公式；⑵设 b nlog2a n, nN ，求数列 b n 的前 n 项和 .a2 n118（本小题满分 12 分）某学校研究性学习小组对该校高三学生视力状况进行调查，在高三的全体 1000 名学生中随机抽取了 100 名学生体检表，并获得如图的频次散布直方图 .⑴若直方图中后四组的频数成等差数列，试预计整年级视力在 5.0 以下的人数；⑵学习小构成员发现，学习成绩突出的学生，近视的比许多，为了研究学生的视力与学习成绩能否相关系，对年级名次在1-50 名和951-1000 名的学生进行检查，获得右表中数据，依据表中的数据，可否在出错的概率不超出0.05 的前提下以为视力与学习成绩相关系；⑶在⑵中检查的 100 名学生中，依据分层抽样在不近视的学生中抽取了 9 人，进一步检查他们优秀的护眼习惯，而且在这 9 人中任取 3 人，记名次在 1-50 的学生人数为 X ，求 X 的散布列和数学希望.附：19.（本小题满分 12 分）如图，在VABC中，O是BC的中点，AB AC, AO 2OC 2 ，将 VBAO 沿 AO 折起，使 B 点与图中 B'点重合.⑴求证： AO平面B'OC；⑵当三棱锥 B' AOC 的体积取最大时，求二面角 A B'C O 的余弦值；⑶在⑵条件下，试问在线段 B' A 上能否存在一点 P ，使 CP 与平面B'OA所成角的正弦值为2？证明你的结论 . 32220.（本小题满分 12 分）已知椭圆 C :x2y2 1(ab 0) 的左，右焦点分别为 F 1, F 2 ，a b点 M 0,2 是椭圆的一个极点， VF 1MF 2 是等腰直角三角形 .⑴求椭圆 C 的方程；⑵设点 P 是椭圆 C 上一动点，求线段 PM 的中点 Q 的轨迹方程；⑶过点 M 分别作直线 MA, MB 交椭圆于 A, B 两点，设两直线的斜率分别为k 1 ,k 2 ，且k 1 k 2 8 ，研究 AB 能否过定点，并说明原因 .21.（本小题满分 12 分）已知函数 f xe x , g x ln x m .⑴当⑵若m1时，求函数 F xf x xg x 在 0,xm2 ，求证：当 x 0,3时， f x g x10上的极值；.（参照数据： ln 2 0.693,ln3 1.099,ln51.609,ln 7 1.946 ）请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答，假如多做，则按所做的第一题记分 . 22.（本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲如图，圆 O 1 与圆 O 2 内切于点 A ，其半径分别为 3 与 2，圆 O 1 的弦 AB 交圆 O 2 于点 C（ O 1 不在 AB 上）， AD 是圆 O 1 的一条直径 .⑴求 AC的值；AB⑵若 BC3 ，求 O 2到弦 AB 的距离 .23.（本小题满分10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程x2t cos 在直角坐标系 xOy 中，设倾斜角为的直线 l :3（ t 为参数）与曲线y t sinC :x2cos （为参数）订交于不一样的两点A,B .y sin⑴若，求线段 AB 中点 M 的坐标；3⑵若 PA PB OP2，此中 P 2, 3 ，求直线l的斜率.24.（本小题满分10 分）选修 4-5：不等式选讲已知 a0, b0, c0，函数f xx a x b c⑴求 a b c 的值；⑵求1a21b2c2的最小值. 49参照答案一、选择题1-5BDACB6-10BBDBC11-12 CD二、填空题13. 214.815.316.29218三、解答题又因为 q1，所以 a2 a32由 a3 qa1,q2当 n 2k 1 kn1 N 时，a n a2 k 1 2 2n当 n 2k k N 时，a n a2k22n122 , n为奇数所以数列a n的通项公式为a nn;22 , n为偶数(2)由(1)，得b n log 2 a2 n nn 1 , n N、a2n 12设数列 b n的前 n 项和为 S n，则S n11 21 L n12212n 11S n 1 1 2 1 L n 1221 22 2n上述两式相减，得1 S n 1 1 1L1 n 12 2021 222n 12nn 222nn 2S n42n 1, n N所以数列 b n 的前 n 项和为 S n 4nn 12, n N218.(1)设各组的频次为 f i i 1,2,3,4,5,6由图可知，第一组有 3 人，第二组有 7 人，第三组有 27 人， 因为后四组的频数成等差数列所此后四组频数挨次为 27,24,21,18所以视力在 5.0 以下的频次为0.03+0.07+0.27+0.24+0.21=0.82故整年级视力在 5.0 以下的人数约为 1000 0.82820 ；100 41 18 32 92(2) K 2300 4.110 3.841 50 50 73 2773所以在出错误的概率不超出0.05 的前提下以为视力与学习成绩相关系；(3)依题意 9 人中年级名次在 1 : 50名和 951: 1000名的人数分别为 3人和6人所以 X 可能的取值为 0,1,2,3P X 05，PX 1 15，P X 2 3，PX 0121 281484X 的散布列为X0 1 2 3P5153121281484 E X051 152331 1 .2128148419.(1)Q AB AC，且 O是BC的中点AO BC ，即AO OB' , AO OC又Q OB 'OC O AO'平面 BOC(2)在平面B'OC内，作B'D OC于点D则由 (1)可知B'D OA ，又 OC OA O B' D平面 OAC即 B'D 是三棱锥B'AOC 的高又 B'D B' O当 D 与 O 重合时，三棱锥B'AOC 的体积最大过 O点作OH B'C 于点H，连结AH由(1)知，AO平面 B'OCQ B'C 平面 B'OC ， B'C AOQ AO OH O B'C 平面 AOH , B'C AH ，所以AHO 即为二面角A B'C O 的平面角2在 RtVAOH 中，AO 2,OH2AH3 2 ,cos AHO OH12AH3(3)存在，且为线段AB'的中点，以O为坐标原点，成立，如下图的空间直角坐标系uuur uuur2 ,0,uuur uuur uuur22 ,1,设 AP AB， CP CA APur0,1,0又平面 B'OA 的一个法向量为muuur urCP m21220232110 uuur ur5 25CP m383解得：1111,舍去21020.(1)由已知可得b2, a228 2b所以所求椭圆方程为x2y21；84(2)设点P x0, y0, PM的中点坐标为Q x, y，即x02y021 840x0 , y0 y0，得 x0 2 y ，代入上式，得x22由 x2x, y0y；11 222(3)若直线AB的斜率存在，设AB方程为y kx m ，依题意m2设 A x1 , y1 , B x2 , y2，由x2y2112k 2x24kmx2m280 84y kx mx1 x214km2, x1 x22m228，由已知y12y228 2k 1 2k x1x2所以所以kx1m 2 kx2m 28 ，即 2k m 2x1x28 x1x2x1 x2k km 4 m 1 k2m22故直线 AB 的方程为y kx 1k 2,即 y k x12 22所以直线 AB 过定点 1 , 2 ；2若直线 AB 的斜率存在，设AB 方程为x x'设 A x' , y' , B x' , y'由已知 y'2y'28x'1x'x'2此时 AB 方程为x 1，明显过点 1 ,2 22综上，直线 AB 过定点1, 2. 221.(1)e x F 'e xF x x ln x 1 ,x 2 x1ln xx xF x在区间 0,1上单一递减，在区间1,上单一递加，所以极小值为 F 1 e 1 ，无极大值；(2)结构函数h x f x g x e x ln x 2h x e x1在区间 0,上单一递加xQ h1e20, h'ln 20 ，h'x 在区间 0,上有独一零点 x01 ,ln 222e x01，即 x0ln x0，由h x的单一性x0有 h x h x0e x0ln x021x02x0结构函数t t1 2 在去甲0,ln2 上单一递减tQ x01,ln 2,x01ln 221 2ln 210即 h x01， h x1 f x g x 1 . 10101022.(1)设AD交圆O2于点E，连结BD, CE因为圆 O1与圆 O2内切于点A，所以点 O2在AD上，所以 AD, AE 分别是圆 O1与圆 O2的直径所以 ABD ACE,BD PCEAC AE22AB AD3(2)若BC 3 ，由⑴的结果可知， AB 3 3，面 AD6,在 RtVABD 中， A 30，又由 AO2 2 ，得 O2到弦AB的距离为1.23.(1)将曲线C :x2cos，化为一般方程，得x2y21y sin4当，设点 M 对应的参数为t03x2 1 t直线 l 的参数方程为2（ t 为参数）y3 3 t2代入曲线 C 的一般方程x2y21 4即 13t 256t480设直线 l 上的点A, B对应的参数分别为t1, t2 t1t228则 t0213所以点 M 的坐标为12,3；1313(2)将l :x 2 t cos代入曲线 C 的一般方程x2y21y3t sin4得 cos24sin 2t 28 3 sin4cos t120因为 因为PA PB t 1t 2 12 7 ，得 tan 2 5cos 2 4sin 2 1632cos 2 3 sin cos 0故 tan 5 ，所以直线 l 的斜率为 5 . 4 424.(1)因为 f x x a x b c x ax b c a b c 当且仅当 a x b 时，等号成立 又 a 0, b 0 所以 a b a b ，所以 f x 的最小值为 4，所以 a b c 4 ；(2)由(1)知 a b c 4 ，由柯西不等式，得 1a 2 1b 2c 2 4 9 1 a 2 b 3 c 14 9 2 3a b c 2 16故 1 a 2 1 b 2 c 2 84 9 7 1 a 1 b c ,即 a 8 18 2 时等号成立 当且仅当 2 3 ,b ,c 2 3 1 7 77 故 1 a 2 1 b 2 c 2 的最小值为 8 .4 9 7。