2020届河北省衡水中学高三第一次教学质量检测数学(理)试题(解析版)

2019-2020学年度高三年级下学期一调考试数学（理科）试卷命题人：李翠 审核人：王战普第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、 选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分,下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1．已知全集U R =，集合{}22A y y x x R ==+∈，，集合(){}lg 1B x y x ==-，则阴影部分所示集合为（ ） A ．[]12， B ．()12， C ．(12]， D ．[12)， 2. 复数3a i z a i +=+-(其中a R ∈，i 为虚数单位)，若复数z 的共轭复数的虚部为12-，则复数z 在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．若2πa -=，a b a =，aa c a =，则,,abc 的大小关系为A ．c b a >>B ．b c a >>C ．b a c >>D ．a b c >>4．函数()x e x f xcos )112(-+=图象的大致形状是 A ．B ．C ．D ．5．吸烟有害健康，小明为了帮助爸爸戒烟，在爸爸包里放一个小盒子，里面随机摆放三支香烟和三支跟香烟外形完全一样的“戒烟口香糖”，并且和爸爸约定，每次想吸烟时，从盒子里任取一支，若取到口香糖则吃一支口香糖，不吸烟；若取到香烟，则吸一支烟，不吃口香糖，假设每次香烟和口香糖被取到的可能性相同，则“口香糖吃完时还剩2支香烟”的概率为（ ）A ．15B ．815C ．35D ．3206．已知△ABC 外接圆的圆心为O ，若AB=3，AC=5，则AO BC u u u r u u u r⋅的值是（ ）A ．2B ．4C ．8D ．167．给出下列五个命题：△若p ∨q 为真命题，则p ∧q 为真命题；△命题“∀x ＞0，有e x ≥1”的否定为“∃x 0≤0，有e x 0＜1”； △“平面向量a ⃑ 与b 的夹角为钝角”的充分不必要条件是“a ⃑ •b <0”； △在锐角三角形ABC 中，必有sinA +sinB >cosA +cosB ；△{a n }为等差数列，若a m +a n =a p +a q (m,n,p,q ∈N ∗)，则m +n =p +q 其中正确命题的个数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．38．已知定义在(0,)+∞上的函数()f x ，恒为正数的()f x 符合()()2()f x f x f x '<<，则(1)(2)f f 的取值范围为（ ） A ．(,2)e eB ．211(,)2e eC ．(3,e e )D ．211(,)e e9．已知点(0,2)A ，抛物线C ：24y x =的焦点为F ，射线FA 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N ，则:FM MN =（ ） A ．2:5B ．1:2C ．1:5D ．1:310.定义12nnp p p +++L 为n 个正数1p 、2p 、…、n p 的“均倒数”，若已知正整数列{}n a 的前n项的“均倒数”为121n +，又14n n a b +=，则12231011111b b b b b b ++⋅⋅⋅+=（ ） A ．1011 B ．112C ．111D ．111211．对于任意的实数[1,e]x ∈，总存在三个不同的实数[1,5]y ∈-，使得21ln 0y y xe ax x ---=成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．24251(,]e e e- B ．4253[,)e eC ．425(0,]e D ．24253[,)e e e- 12．如图，在正方体1111ABCD A B C D ﹣中，1A H ⊥平面11AB D ，垂足为H ，给出下面结论： △直线1A H 与该正方体各棱所成角相等； △直线1A H 与该正方体各面所成角相等；△过直线1A H 的平面截该正方体所得截面为平行四边形； △垂直于直线1A H 的平面截该正方体，所得截面可能为五边形， 其中正确结论的序号为（ ）A ．△△B ．△△C ．△△△D ．△△△第Ⅱ卷（共90分）二 、填空题：（本大题共4小题，每题5分，共20分）13.有一个底面圆的半径为1，高为2的圆柱，点O 1,O 2分别为这个圆柱上底面和下底面的圆心，在这个圆柱内随机取一点P ，则点P 到点O 1,O 2的距离都大于1的概率为___．14．在数列{a n }中，若函数f （x ）＝sin 2xcos 2x 的最大值是a 1，且a n ＝（a n +1﹣a n ﹣2）n ﹣2n 2，则a n ＝_____．15．秦九韶是我国南宋著名数学家，在他的著作数书九章》中有已知三边求三角形面积的方法:“以小斜幂并大斜幂减中斜幂余半之，自乘于上以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之为实一为从隅，开平方得积”如果把以上这段文字写成公式就是S =，共中a 、b 、c 是△ABC 的内角A ，B ，C 的对边。

河北衡水中学2020年高三第一次教学质量检测数学试题（理科）（考试时间：120分钟满分：150分）注意事项1.答题前，务必在答题卡和答题卷规定的地方填写自己的姓名、准考证号和座位号后两位.2.答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.3.答第Ⅱ卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卷上书写，要求字体工整、笔迹清晰.作图题可先用铅笔在答题卷规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚，必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草纸上答题无效.第Ⅰ卷（满分60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只一项是符合题目要求的.1.设集合{}1,2,4A =，{}240B x x x m =-+=.若{}1A B =I ，则B =（ ）A.{}1,3-B.{}1,0C.{}1,3D.{}1,5 2.z 是z 的共扼复数，若2z z +=，()i 2z z -=（i 为虚数单位），则z 等于（ ）A.1i +B.1i --C.1i -+D.1i - 3.根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3613，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为8010.则下列各数中与M N最接近的是（ ） （参考数据：lg30.48≈）A.3310B.5310C.7310D.93104.已知奇函数()f x 在R 上是增函数，()()g x xf x =.若()2log5.1a g =-，()0.82b g =，()3c g =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A.a b c <<B.c b a <<C.b a c <<D.b c a << 5.如图，函数()f x 的图象为折线ACB ，则不等式()()2log 1f x x ≥+的解集是（ ）A.{}10x x -<≤B.{}11x x -≤≤ C.{}11x x -<≤ D.{}12x x -<≤ 6.设直线1l ，2l 分别是函数()ln ,01,ln ,1,x x f x x x -<<⎧=⎨>⎩图象上点1P ，2P 处的切线，1l 与2l 垂直相交于点P ，且1l ，2l 分别与y 轴相交于点A ，B ，则PAB △的面积的取值范围是（ ）A.()0,1B.()0,2C.()0,+∞D.()1,+∞7.已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（ ）A.πB.34πC.2πD.4π 8.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为（ ）A.1B.2C.4D.8。

2020河北省衡水中学高三理数一模考试试卷（带解析）一、单选题1.若复数满足，其中为虚数单位，则（）A. B. C. D.2.已知等差数列的前项和为，且，则（）A. 31B. 12C. 13D. 523.某班数学课代表给全班同学出了一道证明题，以下四人中只有一人说了真话，只有一人会证明此题。

甲：我不会证明。

乙：丙会证明。

丙：丁会证明。

丁：我不会证明。

根据以上条件，可以判定会证明此题的人是（）A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁4.在下列各图中，每个图的两个变量具有相关关系的图是A. （1）（2）B. （1）（3）C. （2）（4）D. （2）（3）5.已知抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合，则（）A. B. C. D.6.如图是一个几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A. B. C. D.7.已知，点为斜边的中点，，，，则等于（）A. -14B. -9C. 9D. 148.已知函数的图象经过点，．当时，，记数列的前项和为，当时，的值为（）A. 7B. 6C. 5D. 49.若下图程序框图在输入时运行的结果为，点为抛物线上的一个动点，设点到此抛物线的准线的距离为，到直线的距离为，则的最小值是（）A. B. C. 2 D.10.太极图是以黑白两个鱼形纹组成的图形图案，它形象化地表达了阴阳轮转，相反相成是万物生成变化根源的哲理，展现了一种相互转化，相对统一的形式美.按照太极图的构图方法，在平面直角坐标系中，圆被的图象分割为两个对称的鱼形图案，其中小圆的半径均为1，现在大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为（）A. B. C. D.11.长方体中，，，，点是平面上的点，且满足，当长方体的体积最大时，线段的最小值是（）A. B. C. 8 D.12.已知实数，函数，若关于的方程有三个不等的实根，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.二、填空题13.定积分 ________．14.设变量满足不等式组，则的取值范围是________．15.已知椭圆的左、右焦点分别为，，若椭圆上存在点使成立，则该椭圆的离心率的取值范围为________．16.用表示自然数的所有因数中最大的那个奇数，例如：9的因数有1，3，9，，10的因数有1，2，5，10，，那么________．三、解答题17.函数的部分图像如图所示，将的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象．（1）求函数的解折式；（2）在中，角满足，且其外接圆的半径，求的面积的最大值．18.如图所示，该几何体是由一个直三棱柱和一个正四棱锥组合而成，，．（Ⅰ）证明：平面平面；（Ⅱ）求正四棱锥的高，使得二面角的余弦值是．19.某市政府为了引导居民合理用水，决定全面实施阶梯水价，阶梯水价原则上以住宅（一套住宅为一户）的月用水量为基准定价：若用水量不超过12吨时，按4元/吨计算水费；若用水量超过12吨且不超过14吨时，超过12吨部分按6.60元/吨计算水费；若用水量超过14吨时，超过14吨部分按7.8元/吨计算水费．为了了解全市居民月用水量的分布情况，通过抽样，获得了100户居民的月用水量（单位：吨），将数据按照分成8组，制成了如图1所示的频率分布直方图．（Ⅰ）假设用抽到的100户居民月用水量作为样本估计全市的居民用水情况．（ⅰ）现从全市居民中依次随机抽取5户，求这5户居民恰好3户居民的月用水量都超过12吨的概率；（ⅱ）试估计全市居民用水价格的期望（精确到0.01）；（Ⅱ）如图2是该市居民李某2016年1～6月份的月用水费（元）与月份的散点图，其拟合的线性回归方程是．若李某2016年1～7月份水费总支出为294.6元，试估计李某7月份的用水吨数．20.已知椭圆的四个顶点组成的四边形的面积为，且经过点．（1）求椭圆的方程；（2）若椭圆的下顶点为，如图所示，点为直线上的一个动点，过椭圆的右焦点的直线垂直于，且与交于两点，与交于点，四边形和的面积分别为．求的最大值．21.已知函数，．（1）当时，求函数的图象在处的切线方程；（2）若函数在定义域上为单调增函数．①求最大整数值；②证明：．22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，直线过，倾斜角为．以为极点，轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（Ⅰ）求直线的参数方程和曲线的直角坐标方程；（Ⅱ）已知直线与曲线交于、两点，且，求直线的斜率．23.选修4-5：不等式选讲已知函数．（1）若不等式的解集为，求实数的值；（2）若不等式，对任意的实数恒成立，求实数的最小值．答案解析部分一、<b >单选题</b>1.【答案】B2.【答案】C3.【答案】A4.【答案】D5.【答案】C6.【答案】D7.【答案】D8.【答案】D9.【答案】B10.【答案】B11.【答案】B12.【答案】B二、<b >填空题</b>13.【答案】14.【答案】15.【答案】16.【答案】三、<b >解答题</b>17.【答案】（1）解：由图知，解得∵∴，即由于，因此∴∴即函数的解析式为（2）解：∵∴∵，∴，即，∴或1（舍），由正弦定理得，解得由余弦定理得∴，（当且仅当等号成立）∴∴的面积最大值为18.【答案】证明：（Ⅰ）正三棱柱中，平面，所以，又，，所以平面，平面，所以平面平面．（Ⅱ）由（Ⅰ）知平面，以为原点，，，方向为，，轴建立空间直角坐标系，设正四棱锥的高为，，则，，，，，，．设平面的一个法向量，则取，则，所以．设平面的一个法向量，则取，则，，所以．二面角的余弦值是，所以，解得．19.【答案】解：（Ⅰ）（ⅰ）由题意，从全市居民中依次随机抽取5户，每户居民月用水量超过12吨的概率为，因此这5户居民恰好3户居民的月用水量都超过12吨的概率为．（ⅱ）由题设条件及月均用水量的频率分布直方图，可得居民每月的水费数据分组与概率分布表如下：月用水量（吨）价格 (元/吨)概率所以全市居民用水价格的期望吨．（Ⅱ）设李某2016年1～6月份的月用水费（元）与月份的对应点为，它们的平均值分别为，则，又点在直线上，所以，因此，所以7月份的水费为元．设居民月用水量为吨，相应的水费为元，则，即：当时，，所以李某7月份的用水吨数约为13吨．20.【答案】（1）解：因为在椭圆上，所以，又因为椭圆四个顶点组成的四边形的面积为，所以，解得，所以椭圆的方程为（2）解：由（1）可知，设，则当时，，所以，直线的方程为，即，由得，则，，，又，所以，由，得，所以，所以，当，直线，，，，，所以当时，21.【答案】（1）解：当时，∴，又，∴，则所求切线方程为，即（2）解：由题意知，，若函数在定义域上为单调增函数，则恒成立．①先证明．设，则，则函数在上单调递减，在上单调递增，∴，即．同理可证∴，∴．当时，恒成立．当时，，即不恒成立．综上所述，的最大整数值为2．②由①知，，令，∴∴．由此可知，当时，．当时，，当时，，，当时，．累加得．又，∴．22.【答案】解：（Ⅰ）直线的参数方程为（为参数），由得∴曲线的直角坐标方程为．（Ⅱ）把，代入得．设两点对应的参数分别为与，则，，易知与异号又∵∴．消去与得，即23.【答案】（1）解：由题意，知不等式解集为由，得，所以，由，解得（2）解：不等式等价于，由题意知．因为，所以，即对任意都成立，则．而，当且仅当，即时等号成立，故，所以实数的最小值为4．。

2019—2020学年度高三年级下学期第一次模拟考试数学（理科）试卷 第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（每小题5分，共60分.下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡）1. 设复数11z i =+，21z i =-，则1211z z +=（ ） A. 1B. -1C. iD. i -2. 已知集合(){}|ln 1M x y x ==+，{}|x N y y e ==，则M N =（ ）A. ()1,0-B. ()1,-+∞C. ()0,+∞D. R3. 为比较甲、乙两名高中学生的数学素养，对课程标准中规定的数学六大素养进行指标测验（指标值满分为5分，分值高者为优），根据测验情况绘制了如图所示的六大素养指标雷达图，则下面叙述不正确的是（ ）A. 甲的数据分析素养优于乙B. 乙的数据分析素养与数学建模素养相同C. 甲的六大素养整体水平优于乙D. 甲的六大素养中数学运算最强4. 若,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，7cos 225α=，则sin 3sin 2απα=⎛⎫+ ⎪⎝⎭（ ）A. 34-B.34 C.43D. 43-5. 已知123,,x x x R ∈，123x x x <<，设1212x x y +=，2322x x y +=，3132x x y +=，1212y y z +=，2322y y z +=，3132y y z +=，若随机变量X ，Y ，Z 满足：()()()i i i P X x P Y y P Z z =====1(1,2,3)3i ==，则（ ） A. ()()()D X D Y D Z << B. ()()()D X D Y D Z >> C. ()()()D X D Z D Y <<D. ()()()D X D Z D Y >>6. 函数cos ln y x x =-⋅的图象可能是（ ）A. B . C. D.7. 标准对数远视力表（如图）采用的“五分记录法”是我国独创的视力记录方式，标准对数远视力表各行为正方形“E ”形视标，且从视力5.2的视标所在行开始往上，每一行“E ”的边长都是下方一行“E ”边长的 4.1的视标边长为a ，则视力4.9的视标边长为（ ）A. 4510a B. 91010a C. 45110a ⎛⎫⎪⎝⎭D. 910110a ⎛⎫⎪⎝⎭8. 已知1F ，2F 为椭圆C ：221(0)x y m m+=>的两个焦点，若C 上存在点M 满足12MF MF ⊥，则实数m 取值范围是（ ） A. 10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B. [)2,+∞C. [)10,2,2⎛⎤+∞ ⎥⎝⎦D. (]1,11,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭9. 已知函数()f x x ω=和()()0g x x ωω=>图象的交点中，任意连续三个交点均可作为一个等腰直角三角形的顶点，为了得到()y g x =的图象，只需把()y f x =的图象（ ）A. 向左平移1个单位B. 向左平移2π个单位 C. 向右平移1个单位D. 向右平移2π个单位10. 已知函数()()2121f x ax x ax a R =+++-∈的最小值为0，则a =（ ） A.12B. -1C. 1±D. 12±11. 如图，在棱长为3的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 是平面11A BC 内一个动点，且满足12DP PB +=，则直线1B P 与直线1AD 所成角的余弦值的取值范围为（ ）A. 10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B. 10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. 1,22⎡⎢⎣⎦D. 12⎡⎢⎣⎦12. 已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左、右顶点分别为A ，B ，左焦点为F ，P 为C 上一点，且PF x ⊥轴，过点A 的直线l 与线段PF 交于点M （异于P ，F ），与y 轴交于点N ，直线MB 与y 轴交于点H ，若3HN OH =-（O 为坐标原点），则C 的离心率为（ ） A. 2B. 3C. 4D. 5第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（共4题，每题5分）13. 已知平面向量a 与b 的夹角为45︒，()1,1a =-，1b =，则a b +=______.14. 在发生公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”.过去10日，A 、B 、C 、D 四地新增疑似病例数据信息如下：A 地：中位数为2，极差为5；B 地：总体平均数为2，众数为2；C 地：总体平均数为1，总体方差大于0；D 地：总体平均数为2，总体方差为3.则以上四地中，一定符合没有发生大规模群体感染标志的所有选项是___________（填A 、B 、C 、D ） 15. ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若3cos 3cos 5sin b C c B a A +=，且A 为锐角，则当2a bc 取得最小值时，a b c+的值为______.16. 在空间直角坐标系O xyz -中，正四面体P ABC -的顶点A ，B 分别在x 轴，y 轴上移动，若该正四面体的棱长为2，则OP 的取值范围是______.三、解答题：（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17. 如图，四棱锥S ABCD -中，二面角S AB D --为直二面角，E 为线段SB 的中点，3390DAB CBA ASB ABS ∠=∠=∠=∠=︒，1tan 2ASD ∠=，4AB =.（1）求证：平面DAE ⊥平面SBC ； （2）求二面角C AE D --的大小.18. 数列{}n a ，{}n b 定义如下：11a =，12b =，12n n n a a b +=+，12n n n b a b +=+. （1）求数列{}n n a b -的通项公式； （2）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式.19. 已知抛物线1C ：()220x py p =>上的点到焦点的距离最小值为1.（1）求p 的值；（2）若点()00,P x y 在曲线2C ：2114y x =+上，且在曲线1C 上存在三点A ，B ，C ，使得四边形PABC为平行四边形.求三角形PAC 的面积S 的最小值. 20. 已知函数()()21x a e x f x x--=，且曲线()y f x =在()()2,2f 处的切线斜率为1.（1）求实数a 的值；（2）证明：当0x >时，()1f x >； （3）若数列{}n x 满足()1n x n ef x +=，且113x =，证明：211n x n e -<.21. 系统中每个元件正常工作的概率都是()01p p <<，各个元件正常工作的事件相互独立，如果系统中有多于一半的元件正常工作，系统就能正常工作.系统正常工作的概率称为系统的可靠性. （1）某系统配置有21k -个元件，k 为正整数，求该系统正常工作概率k P 的表达式.（2）现为改善（1）中系统的性能，拟增加两个元件，试讨论增加两个元件后，能否提高系统的可靠性. 选做题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 已知平面直角坐标系中，曲线1C 的参数方程为2211222x t y t t =+⎧⎪⎨=++⎪⎩（t 为参数，t R ∈），以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为()2sin 02ρθθπ=≤≤.（1）求曲线1C 的极坐标方程；（2）射线l 的极方程为()0,0θααπρ=≤≤≥，若射线l 与曲线1C ，2C 分别交于异于极点的A ，B 两点，且4OA OB =，求α的值. 23. 已知()22f x x x a =-++.（Ⅰ）当2a =时，求不等式()5f x >的解集；（Ⅱ）设不等式()21f x x ≤+的解集为B ，若[]3,6B ⊆，求a 的取值范围.答 案一、选择题（共12小题） 1-5：ACDBB 6-10：ACCAC11-12：AB1. A 解：12111111111(1)(1)i iz z i i i i -+++=+==+-+-.故选：A.2. C 解：∵{}|1M x x =>-，{}|0N y y =>，∴()0,M N =+∞，故选：C.3. D 解：甲乙的六大素养指标A ：甲的数据分析素养优于乙，故A 正确；B ：乙的数据分析优于数学建模素养相同；故B 正确；C ：甲的六大素养整体水平优于乙，故C 正确；D ：甲的六大素养中，直观想象，数据分析与逻辑推理能力最强，故D 错误.4. B 解：由题可得：222222cos sin 1tan 7cos 2cos sin 1tan 25ααααααα--===++，解得3tan 4α=±，因为,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以3tan 4α=-，所以sin sin 3tan 3cos 4sin 2αααπαα==-=-⎛⎫+ ⎪⎝⎭.故选：B. 5. B 解：()1231()3E X x x x =++，2331121()3222x x x x x x E Y +++⎛⎫=++ ⎪⎝⎭()()12313x x x E X =++=，122x x +，232x x +，312x x +距()E Y ，1x ，2x ，3x 较近，所以()()D X D Y >，同理()()D Y D Z >，故()()()D X D Y D Z >>，故选：B.6. A 解：因为cos ln y x x =-⋅为偶函数，定义域为{}|0x x ≠，故排队C ，D ； 当x π=时，ln 2y π=<，排除B ； 故选：A.7. C 解：由题意可得，假若视力4.9的视标边长为首项，则公比q = 4.1的视标边长为a ，故81a a q =，即451881101010a aa a q -===⎛⎫ ⎪⎝⎭，故选：C. 8. C 解：当焦点在x 轴上时，2a m =，21b =，1m >，当M 为上下顶点时，12F MF ∠最大， 因为120MF MF ⋅=坐标，122FMF π∠≥，14F MO π∠≥，所以1tan tan 14c F MO b π∠=≥=，即11≥，解得2m ≥； 当焦点在y 轴上时，21a =，2b m =，01m <<，当M 为左右顶点时，12F MF ∠最大，因为120MF MF ⋅=，122F MF π∠≥，14F MO π∠≥，所以1tan tan 14c F MO b π∠=≥=1≥，解得102m <≤，故选C.9. A 解：令()f x x ω=和()g x x ω=相等可得 sin cos tan 14x x x x k πωωωωπ=⇒=⇒=+，k Z ∈；∴可设连续三个交点的横坐标分别为：4πω，54πω，94πω；对应交点坐标为：,14A πω⎛⎫⎪⎝⎭，5,14B πω⎛⎫- ⎪⎝⎭，9,14C πω⎛⎫⎪⎝⎭； ∵任意连续三个交点均可作为一个等腰直角三角形的顶点； ∴B 到AC 的距离等于AC 的一半；即1922442πππωωω⎛⎫=⨯-⇒= ⎪⎝⎭；∴11()222f x x x x πωππ⎛⎫===- ⎪⎝⎭()11222x x πππ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭；∴需把()y f x =的图象向左平移1个单位得到1()2g x x x ωπ==的图象；故选：A.10. C 解：设2()()1()()21g x h x ax g x h x x ax +=+⎧⎨-=+-⎩，所以22()()1g x x ax h x x ⎧=+⎨=-⎩， 则()()()()()f x g x h x g x h x =++-()()()()()()2,2,g x g x h x h x g x h x ≥⎧⎪=⎨<⎪⎩，由于()()g x x x a =+的图象恒过()0,0，(),0a -，()h x 的图象为开口向下， 且过()1,0-，()1,0的抛物线，且()f x 的最小值为0，结合图象可得1a -=或1a -=-，即有1a =±. 故选：C.12. B 解：不妨设P 在第二象限，FM m =，()()0,0H h h >， 由3HN OH =-知()0,2N h -，由AFM AON △△，得2m c ah a-=（1）， 由BOHBFM △△，得h am c a =+（2）， （1），（2）两式相乘得12c ac a-=+，即3c a =，离心率为3.故选：B.二、填空题（共4小题）13.14. AD 15.16. 1⎤⎦13. 解：根据题意，()1,1a =-，则2a =，又由a 与b 的夹角为45︒，1b =，则22222215a b a a b b +=+⋅+=++=，则5a b +=；故答案为：14. 解：该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”.在A 地中，中位数为2，极差为5，257+=，每天新增疑似病例不会超过7人，所以A 地符合标准；在B 地中，总体平均数为2，众数为2，每天新增疑似病例可以超过7人，所以B 地不符合标准； 在C 地中，总体平均数为1，总体方差大于0，每天新增疑似病例可以超过7人，所以C 地不符合标准；在D 地中，总体平均数为2，总体方差为3.根据方差公式，如果存在大于7的数存在，那么方差大于3，所以D 地符合标准.故答案为：AD .15. 解：由3cos 3cos 5sin b C c B a A +=，及正弦定理可得：23sin cos 3sin cos 5sin B C C B A +=， 可得：23sin()5sin B C A +=，由sin()sin 0B C A +=>，可得3sin 5A =，而A 是锐角， 所以4cos 5A =，则2222282cos 5a b c bc A b c bc =+-=+-， 则22222882825555b c bc a b c bc bc bc bc bc +-+==-≥-=，当且仅当b c =时，2a bc 取得最小值25， 故2225a b =，故5a =，所以a b c =+三、解答题（共2小题）17. 解：（1）∵二面角S AB D --为直二面角，∴平面SAB ⊥平面ABCD ， ∴90DAB ∠=︒，∴AD AB ⊥，∵平面ABCD平面SAB AB =，AD ⊂平面ABCD ，∴AD ⊥平面SAB ，又BS ⊂平面SAB ，∴AD BS ⊥，∵ASB ABS ∠=∠，∴AS AB =，又E 为BS 的中点，∴AE BS ⊥，又AD AE A =，∴BS ⊥平面DAE ，∵BS ⊂平面SBC ，∴平面DAE ⊥平面SBC .（2）如图，连接CA ，CE ，在平面ABS 内作AB 的垂线，建立空间直角坐标系A xyz -， ∵1tan 2ASD ∠=，∴2AD =，∴()0,0,0A ，()0,4,0B ，()0,4,2C，()2,0S -，)E，∴()0,4,2AC =，()3,1,0AE =，设平面CAE 的法向量为(),,n x y z =，则00n AC n AE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即4200x z y +=⎧⎪+=，令1x =，则y =z =(1,3,2n =-是平面CAE 的一个法向量，∵SB ⊥平面DAE ，∴平面DAE 的一个法向量为()SB =-，∴21cos ,2n SB n SB n SB⋅-===-⋅，由图可知二面角C AE D --的平面角为锐角，故二面角C AE D --的大小为60︒.18. 解：（1）由12n n n a a b +=+和12n n n b a b +=+，两式相减得()11n n n n a b a b ++-=-+，又111a b -=-，则数列{}n n a b -成首项为-1，公比为-1的等比数列，则(1)n n n a b -=-.（2）两式相加得()113n n n n a b a b +++=+，则数列{}n n a b +成首项为3，公比为3的等比数列，则3nn n a b +=，所以3(1)2n nn a +-=，3(1)2n n n b --=.19. 解：（1）解析：设线法由抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离， 故最小值应为()0,0，准线2p y =-，由题意可得12p=，解得2p =； （2）解析：设线法：设直线AC ：y kx b =+，当直线斜率k 不存在时，此时直线AC 为垂直x 轴的直线，与抛物线只有一个交点，故舍去. 点()00,P x y 在曲线2C ：2114y x =+上，故2044x y -=-，设()11,A x y ，()22,C x y ， 联立方程24y kx bx y=+⎧⎨=⎩，得2440x kx b --=，124x x k +=，124x x b =-，故线段AC 的中点()22,2D k k b +， 若要满足四边形PABC 为平行四边形，则B ，P 关于点D 对称.则()2004,42B k x k b y -+-. 又点B 在抛物线1C 上，故满足方程()()22004442k x k b y -=+-，即()2000148kx b x y +=+①1212PAC S AC d x =⋅⋅=-△00kx b y =+-， 代入①得：2004S x y =-===当012k x =时，min 2S =.所以三角形PAC 的面积S的最小值2. （2）解析2：设点法设()11,A x y ，()22,C x y ，直线AC ：()121240x x x y x x +--=，点()00,P x y 在曲线2C ：2114y x =+上，故2044x y -=-，线段AC 中点221212,28x x x x D ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，若要满足四边形PABC 为平行四边形，则B ，P关于点D 对称，则22121200,4x x B x x x y ⎛⎫++-- ⎪⎝⎭. 又点B 在抛物线1C 上，故满足方程：()22212012044x x y x x x ⎛⎫+-=+-⎪⎝⎭， 即()()2012120022x x x x x x y +=++ ①12PACS AC d =⋅⋅=△1222000014428x x x y x y -⋅=-=-2004x y=-32200416x y ≥-2=，所以三角形PAC 的面积S 的最小值为：2. 20.（1）解：由()21()x a e x f x x--=，得()32'()2xx a x e f x x⎡⎤-++⎣⎦=，则()'212af ==，即2a =； （2）证明：要证()1f x >，只需证21()102x h x e x x =--->， ()'1x h x e x =--，()''1x h x e =-，∵()0,x ∈+∞时，()''0h x >，∴()'1xh x e x =--在()0,+∞上单调递增，∴()()'1'00xh x e x h =-->=，则21()12x h x e x x =---在()0,+∞上单调递增. ∴()21()1002x h x e x x h =--->=成立.∴当0x >时，()1f x >； （3）证明：由（2）知，当0x >时，()1f x >，∵()1n x n ef x +=，∴()1ln n n x f x +=⎡⎤⎣⎦，设()()ln n n g x f x =⎡⎤⎣⎦，则()1n n x g x +=，∴()()()()()()121n n n x g x g g x gg x --====.要证：211n x n e -<，只需证112n nx e ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，∵113x =，∴11311x e e -=-，∵3327028e e ⎛⎫-=-< ⎪⎝⎭，∴1332e <，则1131112x e e -=-<；故只需证11112n nx x ee +-<-. ∵()0,n x ∈+∞，故只需证111122n n x x ee +-<-.即证()11122n x nf x e -<-.只需证当()0,n x ∈+∞时，()2211222022x x e x x x ϕ⎛⎫=-+++>⎪⎝⎭.()2'1222x x x e x x ϕ⎛⎫=+-++ ⎪⎝⎭，()212112''x x x e x ϕ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭， ()21310''2'x x x e x ϕ⎛⎫=++> ⎪⎝⎭，∴()''x ϕ在()0,+∞上单调递增，故()()21211''''002x x x e x ϕϕ⎛⎫+-+>=⎪⎝⎭=，∴()'x ϕ在()0,+∞上单调递增， 故()()2122'002'x x x x e x ϕϕ⎛⎫+-++>=⎪⎝⎭=，∴()x ϕ在()0,+∞上单调递增， 故()()22112220022x x x e x x ϕϕ⎛⎫-+++>⎪⎝==⎭.∴原不等式成立.21. 解：（1）21k -个元件中，恰好k 个正常工作的概率为121(1)k k k k C p p ---，恰好有1k +个元件正常工作的概率为11221(1)k k k k C p p ++---，……，恰好21k -个元件正常工作的概率为212121k k k C p ---，故212121(1)k ii k i k k i kP Cp p ----==-∑.（2）当有21k +个元件时，考虑前21k -个元件，为使系统正常工作，前21k -个元件中至少有1k -个元件正常工作.①前21k -个元件中恰有1k -个元件，它的概率为11221(1)k k k k C p p ++---，此时后两个必须同时正常工作，所以这种情况下系统正常工作的概率为11221(1)k k k k C pp p ----⋅.②前21k -个元件中恰好有k 个正常工作，它的概率为121(1)k k k k C p p ---，此时后两个元件至少有一个正常工作即可，所以这种情况下系统正常工作的概率为1221(1)1(1)k k k k C p p p --⎡⎤-⋅--⎣⎦.③前21k -个元件中至少有1k +个元件正常工作，它的概率为121(1)k k k k k P C p p ----，此时系统一定正常工作.故1121211212121(1)(1)1(1)(1)k k k k k k k k k k k k k k P C p p p C p p p P C p p ----+---⎡⎤=-⋅+-⋅--+--⎣⎦. 所以1121211212121(1)(1)1(1)(1)k k k k k k k k k k k k k k P P C p p p C p p p C p p ----+---⎡⎤-=-⋅+-⋅----⎣⎦()112221(1)(1)2k k k k p p C p p p p p p ---⎡⎤=--+--⎣⎦12121(1)(12)(1)(1)(21)k k k k k kk k p p C p p p p C p ---=---=--.故当12p =时，1k k P P +=，系统可靠性不变；当102p <<，1k k P P +<，系统可靠性降低，当112p <<，1k k P P +>，系统可靠性提高.22. 解：（1）曲线1C 的参数方程为2211222x t y t t =+⎧⎪⎨=++⎪⎩（t 为参数，t R ∈），转换为直角坐标方程为：22x y =，转换为极坐标方程为22cos 2sin ρθρθ=，整理得22sin cos θρθ=. （2）射线l 的极方程为()0,0θααπρ=≤≤≥，若射线l 与曲线1C ，2C 分别交于异于原点的A ，B 两点，所以22sin cos θρθθα⎧=⎪⎨⎪=⎩，故22sin cos A αρα=， 同理2sin ρθθα=⎧⎨=⎩，故2sin B ρα=，由于4OA OB =，所以22sin 8sin cos ααα=，所以24cos 1α=，所以3πα=或23π. 23. 解：（Ⅰ）当2a =时，()5f x >即2225x x -++>，当22(2)(2)5x x x <-⎧⎨--+>⎩，解得2x <-；当222(2)25x x x -≤≤⎧⎨-++>⎩，解得21x -≤<；当22(2)(2)5x x x >⎧⎨-++>⎩，解得73x >；故不等式()5f x >解集为7|13x x x ⎧⎫<>⎨⎬⎩⎭或；（Ⅱ）若[]3,6B ⊆，则原不等式()21f x x ≤+在[]3,6上恒成立， 即2221x a x x ++-≤+，即()2122x a x x +≤+--，5x a +≤， ∴55x a -≤+≤，即55a x a --≤≤-，解得81a -≤≤-，故满足条件的a 的取值范围是[]8,1a ∈--.。

河北省衡水中学2020届高三年级模拟试题（一）数 学（理科）本试卷总分150分，考试时间120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上相应的位置。

2．全部答案在答题卡上完成，答在本试卷上无效。

3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案用0.5 mm 黑色笔迹签字笔写在答题卡上。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设复数iiz -=12，则z 在复平面内对应的点位于 A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知集合}0)2)(2(|{≤+-=x x x A ，}0|{a x x B ≤<Z ∈=．若}2,1{=B A I ，则实数a 的取值范围是 A ．),2[+∞B ．),2(+∞C ．),1[+∞D ．),1(+∞3．2020年第1期深圳车牌摇号竞价指标共6 668个，某机构从参加这期车牌竞拍且报价在1～8万元的人员中，随机抽取了若干人的报价，得到的部分数据整理结果如下：报价区间（单位：万元）[)2,1[)3,2[)4,3频数103640则在这些竞拍人员中，报价不低于5万元的人数为 A ．30 B ．42 C ．54 D ．804．已知c b a >>，且0=++c b a ，则下列不等式一定成立的是A ．bc ab >B ．bc ac <C ．||||bc ab >D ．011>+ca5．设实数y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥++≥+≤,0632,2,2y x x y x y 则y x z 2-=的最小值为A ．2-B ．4-C ．6-D ．8- 6．已知0<ab ，若函数x x x f cos sin )(+=在区间],[b a 上单调，则ab 的最小值是A ．42π-B ．1632π-C ．82π-D ．162π-7．某正方体的三视图中的侧视图如图所示，是由两个全等的长方形构成，则该正方体的体积为A ．8B ．23C ．4D ．228．已知数列}{n a 为等比数列，n S 为其前n 项和，0>n a ，32=S ，154=S ．对任意的正整数n ，下列结论正确的是A ．122++=+n n n a a aB ．1+>n n a SC ．213++++>+n n n n a a a aD ．21++≥⋅n n n a a a9．已知四棱锥ABCD P -的所有棱长均相等，过其外一点且与直线PA 和BC 所成的角都是o60的 直线的条数是 A ．2 B ．3 C ．4 D ．510．如图所示的44⨯正方形网格，可看成是横向、纵向各五条相等线段相交成的封闭图形，横向、纵向各取2条线段，则围成的封闭图形为正方形的概率为A ．101 B ．51 C ．103 D ．52 11．已知双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x C 的右焦点为F ，过F 作直线l 与两条渐近线交于B A ,两点，若OAB ∆为等腰直角三角形（O 为坐标原点），则OAB ∆的面积为A ．2aB ．22aC ．22a 或2aD ．22a 或221a12．如图，正方形ABCD 的边长为2，O 是正方形ABCD 的中心，线段EF 过点O ，且1==OF OE ，EF 绕着点O 旋转，M 为线段AB 上 的动点，则MF ME ⋅的最小值为A ．21- B ．22- C ．23- D ．1-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020年河北省衡水中学高考数学一模试卷1一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={−1,1，2}，B ={y|y =x 2,x ∈A}，则A ∩B =( )A. {1}B. {1,2}C. {0,4}D. {−1,1，2}2. 若复数z =3ai1−2i (a <0)，其中i 为虚数单位，|z|=√5，则a 的值为( )A. −23B. −1C. −43D. −533. 已知双曲线x 24−y 2b 2=1(b >0)的渐近线方程为√3x ±y =0，则b =( )A. 2√3B. √3C. √32D. 124. 某区要从参加扶贫攻坚任务的5名干部A ，B ，C ，D ，E 中随机选取2人，赴区属的某贫困村进行驻村扶贫工作，则A 或B 被选中的概率是( )A. 15B. 25C. 35D. 7105. 已知实数x ，y 满足不等式组{x >0y >0x +2y <4x +2y >2，则z =x 2+y 2的取值范围是( )A. (4,16)B. (45,4)C. (2,16)D. (45,16)6. 若函数f(x)={2x +2,x ≤0,2x −4,x >0,则f[f(1)]的值为( )A. −10B. 10C. −2D. 27. 阅读如图所示的程序框图，则输出的数据为( )A. 21B. 58C. 141D. 3188. 已知tanα=2，则sinαsin(π2−α)=( )A. 25B. √25C. 23D. √239.已知函数f(x)=cosπ3x+2，若a=log217，b=(17)2，c=217，则f(a)，f(b)，f(c)的大小关系为()A. f(a)<f(b)<f(c)B. f(c)<f(b)<f(a)C. f(b)<f(a)<f(c)D. f(a)<f(c)<f(b)10.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若2a6=a8+6，则S7=()A. 49B. 42C. 35D. 2811.函数f(x)=12x−sinx在区间[0,π]上的最小值是()A. 5π12−√32B. π12−12C. π6−12D. π6−√3212.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1，F2，|F1F2|=√10，P是y轴正半轴上一点，PF1交椭圆于点A，若AF2⊥PF1，且△APF2的内切圆半径为√22，则椭圆的离心率是()A. √54B. √53C. √510D. √154二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量a⃗=(1,√3)，向量a⃗，c⃗的夹角是π3，a⃗⋅c⃗=2，则|c⃗|等于______．14.已知等比数列{a n}的公比为3，其前n项和为S n，若S n=1+(λ+1)a n，则λ的值为________．15.如图所示几何体的三视图中，正视图与侧视图是全等的直角三角形，俯视图是等腰直角三角形，其外接球体积为______．16.如果函数f(x)=lnx+ax2−2x有两个不同的极值点，那么实数a的范围是______．三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）)17.设函数f(x)=1−2sin2x−cos(2x+π3(1)求函数f(x)的最小正周期；)=1，求△ABC面积的(2)△ABC的三边a，b，c所对的内角分别为A，B，C，若b=5，且f(B2最大值．18.某民调机构为了了解民众是否支持英国脱离欧盟，随机抽调了100名民众，他们的年龄的频数及支持英国脱离欧盟的人数分布如下表：年龄段18−24岁25−49岁50−64岁65岁及以上频数35202520支持脱欧的人数10101515(Ⅰ)由以上统计数据填下面列联表，并判断是否有99%的把握认为以50岁胃分界点对是否支持脱离欧盟的态度有差异；年龄低于50岁的人数年龄不低于50岁的人数合计支持“脱欧”人数不支持“脱欧”人数合计附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)P(K2≥k0)0.250.150.100.050.0250.010K0 1.3232.0722.7063.8415.0246.635(Ⅱ)若采用分层抽样的方式从18−64岁且支持英国脱离欧盟的民众中选出7人，再从这7人中随机选出2人，求这2人至少有1人年龄在18−24岁的概率．19.如图，三棱柱ABC−A1B1C1中，底面ABC是等边三角形，侧面BCC1B1是矩形，AB=A1B，N是B1C的中点，M是棱AA1上的点，且AA1⊥CM．(1)证明：MN//平面ABC；(2)若AB⊥A1B，求二面角A−CM−N的余弦值．20. 已知△ABP 的三个顶点都在抛物线C ：x 2=4y 上，P 在第一象限，如图．F 为抛物线C 的焦点，点M 为AB 的中点，PF⃗⃗⃗⃗⃗ =3FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，|PF|=3，求直线AB 的方程．21. 已知函数．(1)判断函数f (x )的单调性；(2)已知e 为自然对数的底数，若关于x 的不等式对恒成立，求a的取值范围．22. 在直角坐标系xOy 中，抛物线C 的方程为y 2=−4x ，以点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2ρsin(θ−π3)=√3，l 与x 轴交于点M ． (1)求直线l 的直角坐标方程，点M 的极坐标；(2)设l与C相交于A、B两点，求|AB|．23.已知f(x)=|x+1|+|x−2|(Ⅰ)已知关于x的不等式f(x)<2a−1有实数解，求实数a的取值范围；(Ⅱ)解不等式f(x)≥x2−2x．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：由题意可得：B={1,4}，则A∩B={1}．故选：A．利用题意首先求得集合A，然后进行交集运算即可求得最终结果．本题考查了交集的运算法则，集合的表示方法等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中等题．2.答案：D解析：【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，然后代入复数模的运算公式求得a值．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题．【解答】解：∵z=3ai1−2i =3ai(1+2i)(1−2i)(1+2i)=−6a+3ai5，∴|z|=√36a225+9a225=3√5|a|5=√5，又a<0，解得a=−53．故选：D．3.答案：A解析：【分析】本题考查双曲线的简单性质的应用，属于基础题．利用双曲线方程以及渐近线方程求解b即可．【解答】解：双曲线x24−y2b2=1(b>0)的渐近线方程：bx±2y=0，因为双曲线x24−y2b2=1(b>0)的渐近线方程为√3x±y=0，所以b2=√3，解得b=2√3．故选A ．4.答案：D解析： 【分析】本题考查古典概型的计算，是基础题．基本事件总数n =C 52=10，A 或B 被选中的对立事件是A 和B 都没有被选中，由此能求出A 或B 被选中的概率． 【解答】解：某区要从参加扶贫攻坚任务的5名干部A ，B ，C ，D ，E 中随机选取2人， 赴区属的某贫困村进行驻村扶贫工作，基本事件总数n =C 52=10，A 或B 被选中的对立事件是A 和B 都没有被选中， 则A 或B 被选中的概率是P =1−C 32C 52=710．故选：D ．5.答案：D解析：解：由约束条件{x >0y >0x +2y <4x +2y >2作出可行域如图，z =x 2+y 2=(√(x −0)2+(y −0)2)2表示原点(0,0)到阴影区域的距离的平方， ∴z min 是原点(0,0)到x +2y −2=0的距离的平方，则z min =(√5)2=45，z max 是原点(0,0)到点(4,0)的距离的平方，则z max =42=16， ∴z 的取值范围是(45,16)， 故选：D ．由约束条件作出可行域，再由z =x 2+y 2的几何意义，即原点(0,0)到阴影区域的距离的平方求解．本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，属于中档题．6.答案：C解析：【分析】本题考查分段函数的求值，属于基础题．【解答】解：因为f(1)=−2，所以f[f(1)]=f(−2)=−2．故选C．7.答案：C解析：解：模拟程序的运行，可得S=0，k=1不满足条件k>5，执行循环体，S=1，k=2不满足条件k>5，执行循环体，S=6，k=3不满足条件k>5，执行循环体，S=21，k=4不满足条件k>5，执行循环体，S=58，k=5不满足条件k>5，执行循环体，S=141，k=6满足条件k>5，退出循环，输出S的值为141．故选：C．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．8.答案：A解析：【分析】本题主要考查同角三角函数的基本关系、诱导公式的应用，属于基础题．利用诱导公式化简sinαsin(π2−α)，将sinα⋅cosα变形为sinαcosαsin2α+cos2α，整理得tanαtan2α+1，即可求出答案．【解答】解：∵tanα=2，∴sinαsin(π2−α)=sinα⋅cosα=sinαcosαsin2α+cos2α=tanαtan2α+1=25，故选：A．9.答案：D解析：【分析】本题考查函数的奇偶性、单调性和周期性，指数函数的性质和对数函数的性质，比较大小，属于中档题．根据题意，进行求解即可．【解答】解：由f(x)=cosπ3x+2，可知函数f(x)的最小正周期为6，且函数f(x)为偶函数，在区间[0,3]上单调递减，∵a=log217=−log27，∴a∈(−3,−2)，−a∈(2,3)，∵b=(17)2，∴0<b<1，∵c=217，∴c∈(1,2)，因此f(a)<f(c)<f(b)，故选D．10.答案：B解析：【分析】本题考查等差数列的性质，通项公式以及前n项和的求法，是基础题．由已知条件利用等差数列的通项公式能求出a4，由此利用等差数列的前n项和公式能求出S7．【解答】解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，2a6=a8+6，∴2(a1+5d)=a1+7d+6，∴a1+3d=6，∴a4=6，∴S7=72(a1+a7)=7a4=42．故选B．解析：【分析】本题考查利用导数研究函数的单调性、利用导数求函数的最小值，属于基础题．求出导数，分析单调性，即可求出结果．【解答】解：f′(x)=12−cosx，x∈[0,π]，当0≤x<π3时，f′(x)<0，故f(x)在[0,13π)上单调递减;当π3<x≤π时，f′(x)>0，故f(x)在(13π,π]上单调递增．∴当x=π3时，函数f(x)取最小值f(π3)=π6−√32．12.答案：B解析：【分析】本题考查椭圆的几何性质，考查椭圆的定义，属于中档题．由题意，直角三角形的内切圆半径r=√22，结合|F1F2|=√10，可得|AF1|2+|AF2|2=10，从而可求|AF1|+|AF2|=3√2=2a，即可求得椭圆的离心率．【解答】解：由题意，直角三角形PAF2的内切圆半径r=|PA|+|AF2|−|PF2|2=|PA|−|PF1|+|AF2|2=|AF2|−|AF1|2=√22，即|AF2|−|AF1|=√2，∵|F1F2|=√10，AF2⊥AF1，∴|AF1|2+|AF2|2=10，∴2|AF1||AF2|=8，∴(|AF1|+|AF2|)2=18，∴|AF1|+|AF2|=3√2=2a，∵|F1F2|=√10=2c，∴椭圆的离心率是e=ca =√103√2=√53．故选B．13.答案：2解析：本题考查了向量的坐标以及向量数量积的定义，求出a⃗的模是关键，属于基础题．由向量的坐标可求得向量的模再由向量数量积的定义即可得出答案．【解答】解：∵|a⃗|=√12+(√3)2=2，=2，又∵a⃗⋅c⃗=|a⃗|⋅|c⃗|⋅cosπ3=2，即：2×|c⃗|×12∴|c⃗|=2，故答案为2．14.答案：12解析：【分析】本题主要考查了等比数列的通项公式，等比数列的前n项和的应用，解题的关键是熟练掌握等比数列的通项公式，等比数列的前n项和的计算，根据已知及等比数列的通项公式，等比数列的前n项和的计算，求出λ的值．【解答】解：等比数列{a n}的公比为3，其前n项和为S n，若S n=1+(λ+1)a n，∴S n=−a1(1−3n)，a n=a1·3n−1，2∴λ=1．2．故答案为1215.答案：√6π解析：【分析】本题考查的知识点是球的体积和表面积，其中根据已知条件求出球的半径是解答本题的关键．由三视图知几何体是一个三棱锥，其外接球可以看成是一个棱长为1的正方体的外接球，求出球的半径后，代入球的体积公式，可得答案．【解答】解：根据三视图，可知该几何体是三棱锥，下图为该三棱锥的直观图，由图可知，该几何体的外接球，即为以PA，AB，AC为长宽高的长方体的外接球，∵PA=2，AB=AC=1，故外接球的直径2R=√22+12+12=√6，解得R=√62，故这个几何体的外接球的体积V=4π3×(√62)3=√6π，故答案为：√6π．16.答案：(0,12)解析：【分析】求出函数的导数，利用导函数有两个极值点，列出不等式求解即可．本题考查函数的导数的应用，函数的极值以及方程根的关系，考查转化思想以及计算能力．【解答】解：函数f(x)=lnx+ax2−2x，函数的定义域：{x|x>0}，可得：f′(x)=1x +2ax−2=2ax2−2x+1x，函数f(x)=lnx+ax2−2x有两个不同的极值点，可得：2ax2−2x+1=0，有两个不相等的正实数根，可得a>0，并且△=4−8a>0，解得a∈(0,12).故答案为(0,12).17.答案：解：(1)∵cos2x=1−2sin2x，cos(2x−π3)=cosπ3cos2x−sinπ3sin2x=12cos2x−√32sin2x，∴f(x)=cos2x−(12cos2x−√32sin2x)=12cos2x+√32sin2x=sin(2x+π6)，因此，函数f(x)的最小正周期T=2π2=π；(2)∵f(x)=sin(2x+π6)，∴f(B2)=sin(B+π6)=1，又∵B∈(0,π)，可得B+π6∈(π6,7π6)，∴B+π6=π2，可得B=π3．因此，根据余弦定理得cosB=a2+c2−b22ac =12，整理得：a2+c2−ac=b2=25．又∵根据基本不等式，得a2+c2≥2ac，∴ac≤a2+c2−ac=25，当且仅当a=c时，等号成立．由此可得：S△ABC=12ac⋅sinB≤252⋅√32=25√34，当a=c=5时，△ABC面积的最大值为25√34．解析：(1)根据二倍角公式、两角和与差的正余弦公式进行化简，可得f(x)=sin(2x+π6)，再利用三角函数的周期公式加以计算，可得f(x)的最小正周期；(2)由f(B2)=1得sin(B+π6)=1，结合B为三角形的内角算出B=π3.然后根据余弦定理与基本不等式，推出当且仅当a=c时，ac有最大值为25.由此利用三角形的面积公式，即可算出△ABC面积的最大值．本题将一个三角函数式进行化简，求函数的最小正周期并依此求三角形面积的最大值．着重考查了三角恒等变换公式、基本不等式、余弦定理与三角形的面积公式等知识，属于中档题．18.答案：解：(Ⅰ)K2=55×45×50×50≈9.091>6.635所以有99%的把握认为以50岁为分界点对是否支持脱离欧盟的态度有差异．(Ⅱ)18−24岁2人，25−49岁2人，50−64岁3人．记18−24岁的两人为A，B；25−49岁的两人为C，D；50−64岁的三人为E，F，G，则AB，AC，AD，AE，AF，AG，BC，BD，BE，BF，BG，CD，CE，CF，CG，DE，DF，DG，EF，EG，FG共21种，其中含有A或B的有11种．故P=1121．解析：本题考查独立性检验，考查概率的计算，考查学生的阅读与计算能力，属于中档题．(Ⅰ)根据统计数据，可得2×2列联表，根据列联表中的数据，计算K2的值，即可得到结论；(Ⅱ)利用列举法确定基本事件的个数，即可得出这2人至少有1人年龄在18−24岁的概率．19.答案：证明：(1)如图1，三棱柱ABC−A1B1C1中，连结BM，∵BCC1B1是矩形，∴BC⊥BB1，∵AA1//BB1，∴AA1⊥BC，∵AA1⊥MC，BC∩MC=C，∴AA1⊥平面BCM，∴AA1⊥MB，∵AB=A1B，∴M是AA1中点，取BC中点P∴NP//MA，且NP=MA，∴四边形AMNP是平行四边形，∴MN//AP，∵MN ⊄平面ABC ，AP ⊂平面ABC ， ∴MN//平面ABC ．解：(2)∵AB ⊥A 1B ，∴△ABA 1是等腰直角三角形，设AB =√2a ， 则AA 1=2a ，BM =AM =a ，在Rt △ACM 中，AC =√2a ，∴MC =a ，在△BCM 中，CM 2+BM 2=2a 2=BC 2，∴MC ⊥BM ， 由(1)知MC ⊥AA 1，BM ⊥AA 1，如图2，以M 为坐标原点，MA 1，MB ，MC 为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系， 则M(0,0，0)，C(0,0，a)，B 1(2a,a ，0)，∴N(a,a 2,a2)， MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,a),MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(a,a 2,a 2)， 设平面CMN 的法向量n⃗ =(x,y ，z)， 则{n ⃗ ⋅MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{az =0ax +a 2y +a 2z =0，取x =1，得n⃗ =(1,−2,0)， 平面ACM 的法向量m ⃗⃗⃗ =(0,1，0)， 则cos <m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ >=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ |m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=−2√55， ∵二面角A −CM −N 的平面角是钝角， ∴二知识面角A −CM −N 的余弦值为−2√55．解析：(1)连结BM ，推导出BC ⊥BB 1，AA 1⊥BC ，从而AA 1⊥MC ，进而AA 1⊥平面BCM ，AA 1⊥MB ，推导出四边形AMNP 是平行四边形，从而MN//AP ，由此能证明MN//平面ABC ．(2)推导出△ABA 1是等腰直角三角形，设AB =√2a ，则AA 1=2a ，BM =AM =a ，推导出MC ⊥BM ，MC ⊥AA 1，BM ⊥AA 1，以M 为坐标原点，MA 1，MB ，MC 为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A −CM −N 的余弦值．本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.答案：解：由题意可知F 点为(0,1)，设P(x,y)，由|PF|=3，得y =2，∴x =2√2，即P(2√2,2)． 设M(x 0,y 0)，由PF ⃗⃗⃗⃗⃗ =3FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 得(−2√2,−1)=3(x 0, y 0−1)． 得x 0=−2√23，y 0=23，即M(−2√23,23)，设A (x 1,y 1), B (x 2,y 2),因为M 为AB 的中点， 则x 1+x 22=−2√23, y 1+y 22=23,k AB =y 2−y1x 2−x 1=x 224−x 124x 2−x 1=x 2+x 14=−√23，∴AB 的方程为：y −23=−√23(x +2√23)， 整理得：3√2x +9y −2=0．解析：本题主要考查抛物线的几何性质，直线和抛物线的位置关系，直线方程的求法，考查计算能力，属于中档题．由题意可知|PF|=3，求得P 点坐标，PF ⃗⃗⃗⃗⃗ =3FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，即可求得M 点坐标，根据斜率公式求得直线AB 的斜率，代入即可求得AB 的方程．21.答案：解：(1)由题知f(x)的定义域为(0,+∞)，f ′(x)=1−ax −1+a x 2=x 2−ax−(1+a)x 2=(x+1)[x−(a+1)]x 2，当a +1>0，即a >−1时，由f′(x)>0，得x >a +1，由f′(x)<0，得0<x <a +1， 所以f(x)在区间(0,a +1)内单调递减，在区间(a +1,+∞)内单调递增． 当a +1≤0，即a ≤−1时，f′(x)>0对∀x ∈(0,+∞)恒成立， 所以f(x)在区间(0,+∞)内单调递增．综上所述，当a >−1时，f(x)在区间(0,a +1)内单调递减，在区间(a +1,+∞)内单调递增； 当a ≤−1时，f(x)在区间(0,+∞)内单调递增．对∀x ∈[1,e]恒成立，等价于对∀x ∈[1,e]恒成立，等价于f(x)≥0对∀x ∈[1,e]恒成立，等价于函数f(x)在区间[1,e]上的最小值f(x)min ≥0恒成立， 由(1)知当a +1≥e ，即a ≥e −1时，f(x)在区间[1,e]上单调递减，所以f(x)min =f(e)=e +1+a e−a ≥0， 解得a ≤e 2+1e−1.又e 2+1e−1>e −1，所以e −1≤a ≤e 2+1e−1．当a +1≤1，即a ≤0时，易知f(x)在区间[1,e]上单调递增， 所以f(x)min =f(1)=2+a ≥0，解得a ≥−2，所以−2≤a ≤0．当1<a +1<e ，即0<a <e −1时，易知f(x)在区间[1,a +1)内单调递减，在区间(a +1,e]上单调递增，所以f(x)min =f(a +1)=2+a −aln(a +1)．因为0<ln(a +1)<1，所以0<aln(a +1)<a ，所以f(a +1)>2，所以f(x)min ≥0对∀a ∈(0,e −1)恒成立．综上，a 的取值范围是[−2,e 2+1e−1].解析：本题考查由导数判断函数的单调性，由导数求函数的最值证明不等式恒成立，属于难题． (1)先求函数的定义域为(0,+∞)，分类讨论，再对参数进行分类讨论，利用导数的得函数的单调区间．(2)原不等式等价于f(x)≥0对恒成立，等价于函数f(x)在区间[1,e]上的最小值f(x)min ≥0恒成立，证得结论．22.答案：解：(1)由2ρsin(θ−π3)=√3，得，ρsinθ−√3ρcosθ=√3，y =√3x +√3， ∴l 的直角坐标方程y =√3x +√3． 令y =0得点M 的直角坐标为(−1,0)， 所以ρ=1，得，又∴点M 的极坐标为(1,π)． (2)由(1)知l 的倾斜角为π3，参数方程为{x =−1+12ty =√32t，(t 为参数)代入y 2=−4x ， 得3t 2+8t −16=0， ∴t 1+t 2=−83，t 1t 2=−163∴|AB|=|t 1−t 2|=√(t 1+t 2)2−4t 1t 2=163．解析：(1)根据互化公式可得直线l 的直角坐标方程和点M 的极坐标； (2)根据韦达定理和参数t 的几何意义可得． 本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．23.答案：解：(Ⅰ)f(x)=|x +1|+|x −2|，①当x ≤−1时，f(x)=−2x +1≥3； ②当−1<x ≤2时，f(x)=3． ③当x >2时，f(x)=2x −1>3． ∵关于x 的不等式f(x)<2a −1有实数解， ∴2a −1>3，∴a >2；(Ⅱ)由(Ⅰ)可知当x≤−1时，f(x)=−2x+1≥x2−2x，解得x=−1；当−1<x≤2时，f(x)=3≥x2−2x，解得−1≤x≤3，∴−1<x≤2，当x>2时，f(x)=2x−1≥x2−2x，解得2−√3≤x≤2+√3，∴2<x≤2+√3，综上所述，不等式的解集为[−1,2+√3].解析：(Ⅰ)分类讨论求出函数的最小值，即可求实数a的取值范围；(Ⅱ)分类讨论解不等式即可．本题主要考查绝对值三角不等式，绝对值不等式的解法，体现了等价转化和分类讨论的数学思想，属于中档题．。

2019-2020学年河北省衡水中学高三（上）一调数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知集合P={x|log2x＜﹣1}，Q={x||x|＜1}，则P∩Q=（）A． B． C．（0，1） D．2．（5分）已知i为虚数单位，复数z满足（1+i）2z=1﹣i3，则|z|为（）A．B．C．D．3．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线或虚线画出某几何体的三视图，该几何体的体积为（）A．8 B．12 C．18 D．244．（5分）已知命题p：方程x2﹣2ax﹣1=0有两个实数根；命题q：函数f（x）=x+的最小值为4．给出下列命题：①p∧q；②p∨q；③p∧￢q；④￢p∨￢q．则其中真命题的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．45．（5分）由曲线y=，直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积为（）A．B．4 C．D．66．（5分）函数f（x）=（﹣1）cosx的图象的大致形状是（）A．B．C．D．7．（5分）阅读程序框图，运行相应的程序，输出的结果为（）A．B．C．D．8．（5分）定义在R上的函数f（x）满足：f（x）+f′（x）＞1，f（0）=4，则不等式e x f（x）＞e x+3（其中e为自然对数的底数）的解集为（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，0）∪（3，+∞）C．（﹣∞，0）∪（0，+∞）D．（3，+∞）9．（5分）若实数a，b，c，d满足（b+a2﹣3lna）2+（c﹣d+2）2=0，则（a﹣c）2+（b﹣d）2的最小值为（）A．B．2 C．2 D．810．（5分）已知f（x）=，存在x2＞x1≥0使得f（x1）=f （x2），则x1?f（x2）的取值范围（）A．[，2）B．[，2）C．[，）D．[，2）11．（5分）设函数f（x）=x3+x2﹣3x，若方程|f（x）|2+t|f（x）|+1=0有12个不同的根，则实数t的取值范围为（）A．（﹣，﹣2）B．（﹣∞，﹣2）C．﹣＜t＜﹣2 D．（﹣1，2）12．（5分）设曲线f（x）=﹣e x﹣x（e为自然对数的底数）上任意一点处的切线为l1，总存在曲线g（x）=3ax+2cosx上某点处的切线l2，使得l1⊥l2，则实数a的取值范围为（）A．[﹣1，2]B．（3，+∞）C．D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）设m＞1，在约束条件下，目标函数z=x+my的最大值等于2，则m=．14．（5分）函数y=e x﹣mx在区间（0，3]上有两个零点，则m的取值范围是．15．（5分）已知函数f（x）=x3+3mx2+nx+m2在x=﹣1时有极值0，则m+n=．16．（5分）定义在R上的函数f（x）满足：f（﹣x）+f（x）=x2，当x＜0时，f′（x）＜x，则不等式f（x）+≥f（1﹣x）+x的解集为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且==．（1）求角A的大小；（2）若△ABC的面积为3，求a的值．18．（12分）函数f（x）=lnx﹣ax2﹣2x．（Ⅰ）当a=3时，求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若?a∈（﹣1，+∞），?x∈（1，e），有f（x）﹣b＜0，求实数b的取值范围．19．（12分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且4bsinA=a．（Ⅰ）求sinB的值；（Ⅱ）若a，b，c成等差数列，且公差大于0，求cosA﹣cosC的值．20．（12分）已知函数f（x）=ax2﹣4bx+2alnx（a，b∈R）（Ⅰ）若函数y=f（x）存在极大值和极小值，求的取值范围；（Ⅱ）设m，n分别为f（x）的极大值和极小值，若存在实数，b∈（a，a），使得m﹣n=1，求a的取值范围．（e为自然对数的底）21．（12分）已知函数f（x）=xlnx，g（x）=．（Ⅰ）记F（x）=f（x）﹣g（x），判断F（x）在区间（1，2）内零点个数并说明理由；（Ⅱ）记（Ⅰ）中的F（x）在（1，2）内的零点为x0，m（x）=min{f（x），g（x）}，若m（x）=n（n∈R）在（1，+∞）有两个不等实根x1，x2（x1＜x2），判断x1+x2与2x0的大小，并给出对应的证明．[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，AE是圆O的切线，A是切点，AD⊥OE于D，割线EC交圆O 于B、C两点．（Ⅰ）证明：O，D，B，C四点共圆；（Ⅱ）设∠DBC=50°，∠ODC=30°，求∠OEC的大小．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴+2=0．的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ2﹣4ρsinθ（Ⅰ）把圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）将直线l向右平移h个单位，所得直线l′与圆C相切，求h．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|2x﹣a|+a，a∈R，g（x）=|2x﹣1|．（Ⅰ）若当g（x）≤5时，恒有f（x）≤6，求a的最大值；（Ⅱ）若当x∈R时，恒有f（x）+g（x）≥3，求a的取值范围．2019-2020学年河北省衡水中学高三（上）一调数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）（2019秋?龙泉驿区校级期中）已知集合P={x|log2x＜﹣1}，Q={x||x|＜1}，则P∩Q=（）A． B． C．（0，1） D．【分析】利用绝对值表达式的解法求出集合Q，对数不等式的解法求出P，然后求解交集．【解答】解：log2x＜﹣1，即log2x＜log2，解得0＜x＜，即P=（0，），Q={x||x|＜1}=（﹣1，1）则P∩Q=（0，），故选：A．2．（5分）（2019?衡阳校级模拟）已知i为虚数单位，复数z满足（1+i）2z=1﹣i3，则|z|为（）A．B．C．D．【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．【解答】解：∵（1+i）2z=1﹣i3，∴z=，∴|z|===．故选：C．3．（5分）（2019秋?衡水校级月考）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线或虚线画出某几何体的三视图，该几何体的体积为（）A．8 B．12 C．18 D．24【分析】由已知中的三视图，可知该几何体是一个底面为矩形的斜四棱柱，切去看一半．求出底面面积，代入棱柱体积公式，可得几何体的体积．【解答】解：由已知中的三视图，可知该几何体是一个底面为矩形的斜四棱，切去看一半，底面为矩形长为4，宽为3，斜四棱柱的高是2，棱柱体积公式：V=Sh可得：V=×4×3×2=12故选B．4．（5分）（2019秋?新华区校级月考）已知命题p：方程x2﹣2ax﹣1=0有两个实数根；命题q：函数f（x）=x+的最小值为4．给出下列命题：①p∧q；②p∨q；③p∧￢q；④￢p∨￢q．则其中真命题的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】先判定命题p，q的真假，再利用复合命题真假的判定方法即可得出．【解答】解：命题p：方程x2﹣2ax﹣1=0有两个实数根，?a∈R，可得△≥0，因此是真命题．命题q：x＜0时，函数f（x）=x+＜0，因此是假命题．下列命题：①p∧q是假命题；②p∨q是真命题；③p∧￢q是真命题；④￢p∨￢q是真命题．则其中真命题的个数为3．故选：C．5．（5分）（2011?新课标）由曲线y=，直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积为（）A．B．4 C．D．6【分析】利用定积分知识求解该区域面积是解决本题的关键，要确定出曲线y=，直线y=x﹣2的交点，确定出积分区间和被积函数，利用导数和积分的关系完成本题的求解．【解答】解：联立方程得到两曲线的交点（4，2），因此曲线y=，直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积为：S=．故选C．6．（5分）（2019秋?湖南月考）函数f（x）=（﹣1）cosx的图象的大致形状是（）A．B．C．D．【分析】分析函数奇偶性和x∈（0，）时函数图象的位置，排除错误答案，可得结论．【解答】解：∵f（x）=（﹣1）cosx，∴f（﹣x）=（﹣1）cos（﹣x）=（﹣1）cosx=﹣（﹣1）cosx=﹣f（x），故函数f（x）为奇函数，故函数图象关于原点对称，可排除A，C，又由当x∈（0，），f（x）＜0，函数图象位于第四象限，可排除D，故选：B7．（5分）（2013?济南一模）阅读程序框图，运行相应的程序，输出的结果为（）A．B．C．D．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算变量x，y的值，最后输出的值，模拟程序的运行，用表格对程序运行过程中各变量的值进行分析，不难得到输出结果．【解答】解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：是否继续循环x y z循环前/1 1 2第一圈是 1 2 3第二圈是 2 3 5第三圈是 3 5 8第四圈是 5 8 13第五圈是8 13 21第六圈否此时=故答案为：8．（5分）（2019?兴安盟一模）定义在R上的函数f（x）满足：f（x）+f′（x）＞1，f（0）=4，则不等式e x f（x）＞e x+3（其中e为自然对数的底数）的解集为（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，0）∪（3，+∞）C．（﹣∞，0）∪（0，+∞）D．（3，+∞）【分析】构造函数g（x）=e x f（x）﹣e x，（x∈R），研究g（x）的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解【解答】解：设g（x）=e x f（x）﹣e x，（x∈R），则g′（x）=e x f（x）+e x f′（x）﹣e x=e x[f（x）+f′（x）﹣1]，∵f（x）+f′（x）＞1，∴f（x）+f′（x）﹣1＞0，∴g′（x）＞0，∴y=g（x）在定义域上单调递增，∵e x f（x）＞e x+3，∴g（x）＞3，又∵g（0）═e0f（0）﹣e0=4﹣1=3，∴g（x）＞g（0），∴x＞0故选：A．9．（5分）（2014?淄博三模）若实数a，b，c，d满足（b+a2﹣3lna）2+（c﹣d+2）2=0，则（a﹣c）2+（b﹣d）2的最小值为（）A．B．2 C．2 D．8【分析】由题设b+a2﹣3lna=0，设b=y，a=x，得到y=3lnx﹣x2；c﹣d+2=0，设c=x，d=y，得到y=x+2，所以（a﹣c）2+（b﹣d）2就是曲线y=3lnx﹣x2与直线y=x+2之间的最小距离的平方值，由此能求出（a﹣c）2+（b﹣d）2的最小值．【解答】解解：∵实数a、b、c、d满足：（b+a2﹣3lna）2+（c﹣d+2）2=0，∴b+a2﹣3lna=0，设b=y，a=x，则有：y=3lnx﹣x2，且c﹣d+2=0，设c=x，d=y，则有：y=x+2，∴（a﹣c）2+（b﹣d）2就是曲线y=3lnx﹣x2与直线y=x+2之间的最小距离的平方值，对曲线y=3lnx﹣x2求导：y′（x）=﹣2x，与y=x+2平行的切线斜率k=1=﹣2x，解得：x=1或x=﹣（舍），把x=1代入y=3lnx﹣x2，得：y=﹣1，即切点为（1，﹣1），切点到直线y=x+2的距离：=2，∴（a﹣c）2+（b﹣d）2的最小值就是8．故选：D．10．（5分）（2014?济南二模）已知f（x）=，存在x2＞x1≥0使得f（x1）=f（x2），则x1?f（x2）的取值范围（）A．[，2）B．[，2）C．[，）D．[，2）【分析】根据函数的解析式画出函数的图象，根据题意数形结合求得x1?f（x2）的取值范围．【解答】解：①当0≤x＜1时，1≤f（x）＜2，②当x＞1时，f（x）≥1.5，当x=时，f（x）=2，如图所示，若存在x2＞x1≥0使得f（x1）=f（x2）=k，则≤x1＜1≤x2＜，则1.5≤f（x2）≤2，∴≤x1?f（x2）＜1×2，即≤x1?f（x2）＜2，故x1?f（x2）的取值范围为[，2），故选：A．11．（5分）（2019?衡阳校级模拟）设函数f（x）=x3+x2﹣3x，若方程|f（x）|2+t|f （x）|+1=0有12个不同的根，则实数t的取值范围为（）A．（﹣，﹣2）B．（﹣∞，﹣2）C．﹣＜t＜﹣2 D．（﹣1，2）【分析】求出函数f（x）的导数，判断函数的单调性和极值，利用换元法设|f （x）|=m，转化为一元二次函数根的分布进行求解即可．【解答】解：，得x=﹣3，x=1，由f′（x）＞0得x＞1或x＜﹣3，即函数在（﹣∞，﹣3），（1，+∞）单调递增，由f′（x）＜0得﹣3＜x＜1，则函数在（﹣3，1）单调递减，则函数的极大值为f（﹣3）=9，函数的极小值为，根据函数的图象可知，设|f（x）|=m，可知m2+tm+1=0，原方程有12个不同的根，则m2+tm+1=0方程应在内有两个不同的根，设h（m）=m2+tm+1，则，所以取值的范围．故选：C12．（5分）（2019秋?衡水校级月考）设曲线f（x）=﹣e x﹣x（e为自然对数的底数）上任意一点处的切线为l1，总存在曲线g（x）=3ax+2cosx上某点处的切线l2，使得l1⊥l2，则实数a的取值范围为（）A．[﹣1，2]B．（3，+∞）C．D．【分析】求出函数f（x）=﹣e x﹣x的导函数，进一步求得∈（0，1），再求出g（x）的导函数的范围，然后把过曲线f（x）=﹣e x﹣x上任意一点的切线为l1，总存在过曲线g（x）=3ax+2cosx上一点处的切线l2，使得l1⊥l2转化为集合间的关系求解．【解答】解：由f（x）=﹣e x﹣x，得f′（x）=﹣e x﹣1，∵e x+1＞1，∴∈（0，1），由g（x）=3ax+2cosx，得g′（x）=3a﹣2sinx，又﹣2sinx∈[﹣2，2]，∴3a﹣2sinx∈[﹣2+3a，2+3a]，要使过曲线f（x）=﹣e x﹣x上任意一点的切线为l1，总存在过曲线g（x）=3ax+2cosx上一点处的切线l2，使得l1⊥l2，则，解得﹣≤a≤．故选D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）（2015?南昌校级二模）设m＞1，在约束条件下，目标函数z=x+my的最大值等于2，则m=．【分析】根据m＞1，可以判断直线y=mx的倾斜角位于区间（）上，由此判断出满足约束条件件的平面区域的形状，再根据目标函数z=x+my对应的直线与直线y=mx垂直，且在直线y=mx与直线x+y=1交点处取得最大值，由此可得关于m的方程，从而求得m值．【解答】解：∵m＞1，由约束条件作出可行域如图，直线y=mx与直线x+y=1交于（），目标函数z=x+my对应的直线与直线y=mx垂直，且在（）处取得最大值，由题意可知，又∵m＞1，解得m=1+．故答案为：1+．14．（5分）（2019秋?袁州区校级期中）函数y=e x﹣mx在区间（0，3]上有两个零点，则m的取值范围是e＜m≤．【分析】由y=e x﹣mx=0得m=，构造函数f（x）=，利用导数求出函数的取值情况，即可求出m的取值范围．【解答】解：由y=e x﹣mx=0得m=，设f（x）=，则f'（x）=，由f'（x）＞0，解得1＜x≤3，此时函数单调递增，由f'（x）＜0，解得0＜x＜1，此时函数单调递减，∴当x=1时，函数f（x）取得极小值，同时也是最小值f（1）=e，∵当x→０时，f（x）→+∞，当x=3时，f（3）=，∴要使函数y=e x﹣mx在区间（0，3]上有两个零点，则e＜m≤，故答案为：e＜m≤．15．（5分）（2015春?保定校级期末）已知函数f（x）=x3+3mx2+nx+m2在x=﹣1时有极值0，则m+n=11．【分析】对函数进行求导，根据函数f（x）在x=﹣1有极值0，可以得到f（﹣1）=0，f′（﹣1）=0，代入求解即可【解答】解：∵f（x）=x3+3mx2+nx+m2∴f′（x）=3x2+6mx+n依题意可得联立可得当m=1，n=3时函数f（x）=x3+3x2+3x+1，f′（x）=3x2+6x+3=3（x+1）2≥0函数在R上单调递增，函数无极值，舍故答案为：1116．（5分）（2014?唐山一模）定义在R上的函数f（x）满足：f（﹣x）+f（x）=x2，当x＜0时，f′（x）＜x，则不等式f（x）+≥f（1﹣x）+x的解集为（﹣∞，] ．【分析】可先对f（﹣x）+f（x）=x2，两边对x取导数，根据x＜0时，f′（x）＜x，推出x＞0时，f′（x）＜x，求出f（0）=0，且f′（0）≤0，得到x∈R，都有f′（x）＜x．构造函数F（x）=f（x）+﹣f（1﹣x）﹣x，求导并推出F′（x）＜0，且F（）=0，运用函数的单调性即可解出不等式．【解答】解：∵定义在R上的函数f（x）满足：f（﹣x）+f（x）=x2，两边对x求导，得﹣f′（﹣x）+f′（x）=2x，∴f′（x）=f′（﹣x）+2x，令x＞0，则﹣x＜0，∵当x＜0时，f′（x）＜x，∴f′（﹣x）＜﹣x，∴f′（x）＜2x﹣x，即f′（x）＜x，又f（0）=0，直线y=x过原点，∴f′（0）≤0，∴x∈R，都有f′（x）≤x，令F（x）=f（x）+﹣f（1﹣x）﹣x，则F′（x）=f′（x）+f′（1﹣x）﹣1＜x+1﹣x﹣1=0，即F（x）是R上的单调减函数，且F（）=0，∴不等式f（x）+≥f（1﹣x）+x，即F（x）≥0，即F（x）≥F（），∴x．∴原不等式的解集为（﹣∞，]．故答案为：（﹣∞，]．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）（2019秋?新华区校级月考）在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且==．（1）求角A的大小；（2）若△ABC的面积为3，求a的值．【分析】（Ⅰ）利用正弦定理把已知等式中的边转化成角的正弦，化简整理可用tanA分别表示出tanB和tanC，进而利用两角和公式求得tanA，进而求得A．（Ⅱ）利用tanA，求得tanB和tanC的值，利用同角三角函数关系取得sinB和sinC，进而根据正弦定理求得b和a的关系式，代入面积公式求得a．【解答】解：（Ⅰ）∵．∴==，即tanA=tanB=tanC，tanB=2tanA，tanC=3tanA，∵tanA=﹣tan（B+C）=﹣，∴tanA=﹣，整理求得tan2A=1，tanA=±1，当tanA=﹣1时，tanB=﹣2，则A，B均为钝角，与A+B+C=π矛盾，故舍去，∴tanA=1，A=．（Ⅱ）∵tanA=1，tanB=2tanA，tanC=3tanA，∴tanB=2，tanC=3，∴sinB=，sinC=，∴cosB=，cosC=sinA=sin（π﹣（B+C））=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=×+×=∵=，∴b==a，∵S△ABC=absinC=a??a×==3，∴a2=5，a=．18．（12分）（2019春?桂林校级期中）函数f（x）=lnx﹣ax2﹣2x．（Ⅰ）当a=3时，求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若?a∈（﹣1，+∞），?x∈（1，e），有f（x）﹣b＜0，求实数b的取值范围．【分析】（Ⅰ）当a=3时，求得f（x）的解析式，令f′（x）＞0，求得函数的单调递增区间，f′（x）＜0，求得f（x）的单调递减区间；（2）将原不等式转化成b＞f（x）的最小值，由函数性质可知h（a）=﹣ax2﹣2x+lnx在（﹣1，+∞）上是减函数，可知b≥x2﹣2x+lnx，构造辅助函数g（x）=x2﹣2x+lnx，求导，根据函数的单调性，求得g（x）的最小值，即可求得实数b的取值范围．（x）=﹣【解答】解：（Ⅰ）由当a=3时，f（x）=lnx﹣x2﹣2x．求导f′（x＞0），令f′（x）=0，解得：x=，∴x∈（0，）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，x∈（，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，∴f（x）的单调递增区间（0，），单调递减区间为（，+∞）；..…（6分）（Ⅱ）由?a∈（﹣1，+∞），lnx﹣ax2﹣2x＜b恒成立，则b＞f（x）的最小值，…（7分）由函数h（a）=lnx﹣ax2﹣2x=﹣ax2﹣2x+lnx在（﹣1，+∞）上是减函数，∴h（a）＜h（﹣1）=x2﹣2x+lnx，∴b≥x2﹣2x+lnx，..…（8分）由?x∈（1，e），使不等式b≥x2﹣2x+lnx成立，∴．…（10分）令g（x）=x2﹣2x+lnx，求导g′（x）=x﹣2﹣≥0，∴函数g（x）在（1，e）上是增函数，于是，故，即b的取值范围是…（12分）19．（12分）（2014?新余二模）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且4bsinA=a．（Ⅰ）求sinB的值；（Ⅱ）若a，b，c成等差数列，且公差大于0，求cosA﹣cosC的值．【分析】（I）已知等式利用正弦定理化简，求出sinB的值即可；（Ⅱ）由a，b，c成等差数列，利用等差数列的性质列出关系式，利用正弦定理化简得到①，设设cosA﹣cosC=x，②，①2+②2，得到③，由a，b，c的大小判断出A，B，C的大小，确定出cosA大于cosC，利用诱导公式求出cos（A+C）的值，代入③求出x的值，即可确定出cosA﹣cosC的值．【解答】解：（Ⅰ）由4bsinA=a，根据正弦定理得4sinBsinA=sinA，∵sinA≠0，∴sinB=；（Ⅱ）∵a，b，c成等差数列，∴2b=a+c，由正弦定理化简得：2sinB=sinA+sinC，即sinA+sinC=，①设cosA﹣cosC=x，②①2+②2，得2﹣2cos（A+C）=+x2，③又a＜b＜c，A＜B＜C，∴0＜B＜90°，cosA＞cosC，∴cos（A+C）=﹣cosB=﹣，代入③式得x2=，则cosA﹣cosC=．20．（12分）（2014?东昌区校级二模）已知函数f（x）=ax2﹣4bx+2alnx（a，b∈R）（Ⅰ）若函数y=f（x）存在极大值和极小值，求的取值范围；（Ⅱ）设m，n分别为f（x）的极大值和极小值，若存在实数，b∈（a，a），使得m﹣n=1，求a的取值范围．（e为自然对数的底）【分析】（I）由于定义域为（0，+∞）且y=f（x）存在极大值、极小值，所以f′（x）=0有两个不等的正实数根，从而可转化为二次方程根的分布问题，借助判别式、韦达定理可得不等式组，由此可得的取值范围；（II）由b∈（a，a）得a＞0，且（，），由（I）知f（x）存在极大值和极小值，设f′（x）=0的两根为x1，x2（0＜x1＜x2），则f（x）在（0，x1）上递增，在（x1，x2）上递减，在（x2，+∞）上递增，所以m=f（x1），n=f（x2），根据x1x2=1可把m﹣n表示为关于x1，a的表达式，且表达式为1，借助x1范围可得a的范围；【解答】解：（I）f′（x）=2ax﹣4b+=，其中x＞0，由于函数y=f（x）存在极大值和极小值，故方程f′（x）=0有两个不等的正实数根，即2ax2﹣4bx+2a=0有两个不等的正实数根，记为x1，x2，显然a≠0，所以，解得；（II）由b∈（a，a）得a＞0，且（，），由（I）知f（x）存在极大值和极小值，设f′（x）=0的两根为x1，x2（0＜x1＜x2），则f（x）在（0，x1）上递增，在（x1，x2）上递减，在（x2，+∞）上递增，所以m=f（x1），n=f（x2），因为x1x2=1，所以0＜x1＜1＜x2，而且=∈（，），由于函数y=x+在（0，1）上递减，所以，又由于，所以，所以m﹣n=f（x1）﹣f（x2）=﹣+4bx2﹣2alnx2=+2a（lnx1﹣lnx2）=﹣a（）+2aln，令t=，则m﹣n=﹣a（t﹣）+2alnt，令h（t）=﹣（t﹣）+2lnt（），所以h′（t）=﹣1﹣+=﹣≤0，所以h（t）在（）上单调递减，所以e﹣e﹣1﹣2＜h（t）＜e2﹣e﹣2﹣4，由m﹣n=ah（t）=1，知a=，所以．21．（12分）（2019?高安市校级模拟）已知函数f（x）=xlnx，g（x）=．（Ⅰ）记F（x）=f（x）﹣g（x），判断F（x）在区间（1，2）内零点个数并说明理由；（Ⅱ）记（Ⅰ）中的F（x）在（1，2）内的零点为x0，m（x）=min{f（x），g（x）}，若m（x）=n（n∈R）在（1，+∞）有两个不等实根x1，x2（x1＜x2），判断x1+x2与2x0的大小，并给出对应的证明．【分析】（Ⅰ）对F（x）求导，利用x∈（1，2）判定导函数的符号，进而得到函数的单调性，在利用零点存在定理进行证明．（Ⅱ）先由x的范围讨论f（x），g（x）的大小，确定之间的关系式m（x），在判断x1+x2与2x0的大小，可以利用分析法对其进行证明．【解答】解：由题意：F（x）=f（x）﹣g（x），那么：F（x）=xlnx﹣．定义域为（0，+∞）F′（x）=1+lnx+，由题设x∈（1，2），故F′（x）＞0，即F（x）在区间（1，2）上是增函数．（1，2）是单调增区间．那么：F（1）=ln1﹣=＜0，F（2）=2ln2﹣＞0，并且F（x）在（1，2）上连续的，故根据零点定理，有F（x）在区间（1，2）有且仅有唯一实根，即一个零点．（Ⅱ）记（Ⅰ）中的F（x）在（1，2）内的零点为x0，由f（x）=xlnx，当0＜x ≤1时，f（x）≤0，而g（x）=＞0，故f（x）＜g（x）；由（Ⅰ）可知F′（x）=1+lnx+，当x＞1时，F′（x）＞0，存在零点x0∈（1，2），不然有：F（x0）=f（x0）﹣g（x0）=0，故1＜x＜x0时，f（x）＜g（x）；当x ＞x0时，f（x）＞g（x）；而此得到m（x）=，显然：当1＜x＜x0时，m′（x）=1+lnx恒大于0，m（x）是单增函数．当x＞x0时，m′（x）=恒小于0，m（x）是单减函数．m（x）=n（n∈R）在（1，+∞）有两个不等实根x1，x2（x1＜x2），则x1∈（1，x0），x2∈（x0，+∞），显然：当x2→+∞时，x1+x2＞2x0．要证明x1+x2＞2x0，即可证明x2＞2x0﹣x1＞x0，而m（x）在x＞x0时是单减函数．故证m（x2）＜m（2x0﹣x1）．又由m（x1）=m（x2），即可证：m（x1）＜m（2x0﹣x1）．即x1lnx1＜，（构造思想）令h（x）=xlnx﹣，由（1＜x＜x0）．其中h（x0）=0，那么：h′（x）=1+lnx+﹣，记φ（t）=，则φ′（t）=，当t∈（0，1）时，φ′（t）＞0；当t＞1时，φ′（t）＜0；故φ（t）max=；而φ（t）＞0；故＞φ（t）＞0，而2x0﹣x＞0，从而有：＜0；因此：h′（x）=1+lnx+﹣＞0，即h（x）单增，从而1＜x＜x0时，h（x）＜h（x0）=0．即x1lnx1＜成立．故得：x1+x2＞2x0．[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）（2014?唐山一模）如图，AE是圆O的切线，A是切点，AD⊥OE于D，割线EC交圆O于B、C两点．（Ⅰ）证明：O，D，B，C四点共圆；（Ⅱ）设∠DBC=50°，∠ODC=30°，求∠OEC的大小．【分析】（Ⅰ）连结OA，则OA⊥EA．由已知条件利用射影定理和切割线定理推导出=，由此能够证明O，D，B，C四点共圆．（Ⅱ）连结OB．∠OEC+∠OCB+∠COE=180°，能求出∠OEC的大小．【解答】（Ⅰ）证明：连结OA，则OA⊥EA．由射影定理得EA2=ED?EO．由切割线定理得EA2=EB?EC，∴ED?EO=EB?EC，即=，又∠OEC=∠OEC，∴△BDE∽△OCE，∴∠EDB=∠OCE．∴O，D，B，C四点共圆．…（6分）（Ⅱ）解：连结OB．因为∠OEC+∠OCB+∠COE=180°，结合（Ⅰ）得：∠OEC=180°﹣∠OCB﹣∠COE=180°﹣∠OBC﹣∠DBE=180°﹣∠OBC﹣（180°﹣∠DBC）=∠DBC﹣∠ODC=20°．∴∠OEC的大小为20°．…（10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]23．（2019?衡水模拟）已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ2﹣+2=0．4ρsinθ（Ⅰ）把圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）将直线l向右平移h个单位，所得直线l′与圆C相切，求h．，可把圆C的极坐标方程化为直角坐标方【分析】（Ⅰ）利用ρ2=x2+y2，y=ρsinθ程；（Ⅱ）将直线l向右平移h个单位，所得直线l′（t为参数），代入圆的方程，利用直线l′与圆C相切，建立方程，即可求h．+2=0，【解答】解：（Ⅰ）∵ρ2﹣4ρsinθ∴x2+y2﹣4y+2=0；（Ⅱ）将直线l向右平移h个单位，所得直线l′（t为参数），代入圆的方程可得2t2+2（h﹣12）t+（h﹣10）2+2=0，∵直线l′与圆C相切，∴△=4（h﹣12）2﹣8[（h﹣10）2+2]=0，即h2﹣16h+60=0，∴h=6或h=10．[选修4-5：不等式选讲]24．（2014?唐山一模）已知函数f（x）=|2x﹣a|+a，a∈R，g（x）=|2x﹣1|．（Ⅰ）若当g（x）≤5时，恒有f（x）≤6，求a的最大值；（Ⅱ）若当x∈R时，恒有f（x）+g（x）≥3，求a的取值范围．【分析】（Ⅰ）由g（x）≤5求得﹣2≤x≤3；由f（x）≤6可得a﹣3≤x≤3．根据题意可得，a﹣3≤﹣2，求得a≤1，得出结论．（Ⅱ）根据题意可得f（x）+g（x）≥|a﹣1|+a，f（x）+g（x）≥3恒成立，可得|a﹣1|+a≥3 由此求得所求的a的范围．【解答】解：（Ⅰ）当g（x）≤5时，|2x﹣1|≤5，求得﹣5≤2x﹣1≤5，即﹣2≤x≤3．由f（x）≤6可得|2x﹣a|≤6﹣a，即a﹣6≤2x﹣a≤6﹣a，即a﹣3≤x≤3．根据题意可得，a﹣3≤﹣2，求得a≤1，故a的最大值为1．（Ⅱ）∵当x∈R时，f（x）+g（x）=|2x﹣a|+|2x﹣1|+a≥|2x﹣a﹣2x+1|+a≥|a ﹣1|+a，f（x）+g（x）≥3恒成立，∴|a﹣1|+a≥3，∴a≥3，或．求得a≥3，或2≤a＜3，即所求的a的范围是[2，+∞）．。

绝密★启用前2020届河北省衡水中学高三第一次调研考试数学（理科）★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

第I卷（选择题)一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若复数（为虚数单位），则（）A．B．C．D．2．已知集合M={-1，0，1，2}，N={x|}．则M∩N=（）A．{0,1} B．{-1,0} C．{1,2} D．{-1,2}3．设x∈R，则“1＜x＜2”是“|x－2|＜1”的( )A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了年月至年月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图.根据该折线图，下列结论正确的是( )A ．月接待游客逐月增加B ．年接待游客量逐年减少C ．各年的月接待游客量高峰期大致在月D ．各年月至月的月接待游客量相对于月至月，波动性较小，变化比较稳定5．在等差数列{a n }中，若2a 8＝6+a 11，则a 4+a 6＝（ ） A ．6 B ．9C ．12D ．186.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A ．3πB ．4πC ．2π＋4D ．3π＋47．如图的程序框图，当输出15y 后，程序结束，则判断框内应该填（ ） A ．1x ≤ B ．2x ≤ C ．3x ≤D ．4x ≤8. 在长方体ABCD­A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AA 1＝2，AD ＝1，E 为CC 1的中点，则异面直线BC 1与AE 所成角的余弦值为( )A.1010B.3010C.21510D.310109. 已知某函数图象如图所示，则图象所对应的函数可能是（ ） A ．2xx y =B ．22xy =-C ．e xy x =- D ．|2|2x y x =﹣10．将函数f （x ）＝2sin （2x+φ）（0＜φ＜π）的图象向左平移个单位后得到函数y ＝g （x ）的图象，若函数y ＝g （x ）为偶函数，则函数y ＝f （x ）在的值域为（ ）A ．[﹣1，2]B ．[﹣1，1]C ．D ．11.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为点12(,0),(,0)(0)F c F c c ->,抛物线24y cx =与双曲线在第一象限内相交于点P ,若212||||PF F F =,则双曲线的离心率为 A ．B ．1+C ．D ．12．若函数在区间上单调递增，则的最小值是（ ）A ．-3B ．-4C ．-5D ．第II 卷二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.） 13.已知，，与的夹角为，则__________．14．若，则__________．15．数列满足：的前项和为，则 _______.16．点(),M x y 在曲线22:4210C x x y -+-=上运动，22+1212150t x y x y a =+---，且t 的最大值为b ，若a ，b +∈R ，则111a b++的最小值为_______.三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算过程．） 17.(本小题满分12分)已知函数21()cos )cos()2f x x x x ππ=-+-. （Ⅰ）求函数()f x 在[0,]π的单调递减区间；（Ⅱ）在锐角ABC ∆中，内角A ，B ，C ，的对边分别为a ，b ，c ，已知()1f A =-，2a =，sin sin b C a A =，求ABC ∆的面积.18.（本小题满分12分）从某工厂生产的某种产品中抽取1000件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：（1）求这1000件产品质量指标值的样本平均数和样本方差（同一组数据用该区间的中点值作代表）（2）由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值服从正态分布，其中以近似为样本平均数，近似为样本方差．（ⅰ）利用该正态分布，求；（ⅱ）某用户从该工厂购买了100件这种产品，记表示这100件产品中质量指标值为于区间(127．6,140）的产品件数，利用（ⅰ）的结果，求．附：．若，则，．19．（本小题满分12分）如图所示的几何体中，为三棱柱，且平面，四边形为平行四边形，．（1）若，求证：平面；（2）若，二面角的余弦值为，求三棱锥的体积．20.（本小题满分12分）已知，为椭圆的左右焦点，点为其上一点，且．求椭圆C的标准方程；若直线l：交椭圆C于A，B两点，且原点O在以线段AB为直径的圆的外部，试求k的取值范围．21.（本小题满分12分） 已知函数.（1）讨论的单调性； （2）当时，，记函数在上的最大值为，证明：.请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分．22.(本小题满分10分）选修4-4坐标系与参数方程 直线l 的极坐标方程为244sin =⎪⎭⎫⎝⎛-πθρ，以极点为坐标原点，极轴为x 轴建立直角坐标系，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧==ααsin 2cos 4y x （α为参数），（1）将曲线C 上各点纵坐标伸长到原来的2倍，得到曲线1C ，写出1C 的极坐标方程； （2）射线3πθ=与1C 和l 的交点分别为,M N ，射线32πθ=与1C 和l 的交点分别为,A B ， 求四边形ABNM 的面积.23.(本小题满分10分）选修4-5不等式选讲已知关于x 的不等式||x －m ＋2x ≤0的解集为{x|x ≤－ }2，其中m>0. (Ⅰ)求m 的值；(Ⅱ)若正数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝m ，求证：b 2a ＋c 2b ＋a2c ≥2.数学试题参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．13.14.0 15.16． 1三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

河北省衡水中学2020届高三下学期一调考试数学（理科）一、选择题：本题共12小题.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】解一元二次不等式求得A，解指数不等式求得B，再根据两个集合的交集的定义求得. 【详解】因为集合，，所以，故选D.【点睛】该题考查的是有关集合的运算，属于简单题目.2.已知，是虚数单位，若，则（）A. B. 2 C. D. 5【答案】C【解析】【分析】根据复数相等的充要条件，构造关于的方程组，解得的值，进而可得答案.【详解】因为，结合，所以有，解得，所以，故选C.【点睛】该题考查的是有关复数的模的问题，涉及到的知识点有复数相等的条件，属于简单题目.3.给出下列四个结论：①命题“，”的否定是“，”；②命题“若，则且”的否定是“若，则”；③命题“若，则或”的否命题是“若，则或”；④若“是假命题，是真命题”，则命题，一真一假.其中正确结论的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】①写出命题“，”的否定，可判断①的正误；②写出命题“若，则且”的否定，可判断②的正误；写出命题“若，则或”的否命题，可判断③的正误；④结合复合命题的真值表，可判断④的正误，从而求得结果.【详解】①命题“，”的否定是：“，”，所以①正确；②命题“若，则且”的否定是“若，则或”，所以②不正确；③命题“若，则或”的否命题是“若，则且”，所以③不正确；④“是假命题，是真命题”，则命题，一真一假，所以④正确；故正确命题的个数为2，故选B.【点睛】该题考查的是有关判断正确命题的个数的问题，涉及到的知识点有命题的否定，否命题，复合命题真值表，属于简单题目.4.函数的图像大致是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】观察函数解析式，通过函数的定义域，特殊点以及当时，函数值的变化趋势，将不满足条件的选项排除，从而得到正确的结果.【详解】因为函数的定义域为R，故排除B，因为，所以排除C，当时，因为指数函数比对数函数增长速度要快，所以当时，有，所以排除D，故选A.【点睛】该题是一道判断函数图象的题目，总体方法是对函数解析式进行分析，注意从函数的定义域、图象所过的特殊点以及对应区间上函数图象的变化趋势，来选出正确的结果，注意对不正确的选项进行排除.5.已知图①②③中的多边形均为正多边形，，分别是所在边的中点，双曲线均以图中，为焦点.设图①②③中双曲线的离心率分别为，，，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】分别根据正三角形、正方形、正六边形的性质，将用表示，然后利用双曲线的定义，求得，的等量关系，分别求出图示①②③中的双曲线的离心率，然后再判断的大小关系.【详解】图①中，；图③中，设正六边形的一个在双曲线右支上的顶点为，则，则；图②中，，，故选D.【点睛】本题主要考查双曲线的定义及离心率，属于难题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出;②构造的齐次式，求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;④根据圆锥曲线的统一定义求解．6.执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）A. 2020B. -1010C. 1009D. -1009【答案】C【解析】【分析】根据程序框图，它的作用是求的值，根据结合律进行求解，可得结果.【详解】该程序框图的作用是求的值，而，故选C.【点睛】该题主要考查程序框图，用结合律进行求和，属于简单题目.7.已知某几何体的三视图如图所示，图中小方格的边长为1，则该几何体的表面积为（）A. 65B.C.D. 60【答案】D【解析】【分析】由已知的三视图还原几何体为三棱柱截去三棱锥得到的，根据图中数据，计算表面积. 【详解】由三视图可知，该几何体为如下图所示的多面体,它是由直三棱柱截去三棱锥所剩的几何体，其中，所以其表面积为，故选D.【点睛】该题考查的是有关几何体的表面积的问题，涉及到的知识点有根据三视图还原几何体，锥体的表面积，属于简单题目.8.五个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放着完全相同的硬币，所有人同时翻转自己的硬币.若硬币正面朝上，则这个人站起来；若硬币正面朝下，则这个人继续坐着.那么没有相邻的两个人站起来的概率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】五个人的编号为由题意，所有事件共有种，没有相邻的两个人站起来的基本事件有，再加上没有人站起来的可能有种，共种情况，所以没有相邻的两个人站起来的概率为故答案选9.在中，角，，所对的边分别为，，，若，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】在中，，由正弦定理得，，由余弦定理得，，，，，故选C.10.已知抛物线的焦点为，，是抛物线上的两个动点，若，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用余弦定理，结合基本不等式，即可求出的最大值.【详解】因为，，所以，在中，由余弦定理得：，又，所以，所以，所以的最大值为，故选B.【点睛】该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有余弦定理，基本不等式，在解题的过程中，对题的条件进行正确转化是解题的关键，属于中档题目.11.已知当时，，则以下判断正确的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】记，为偶函数且在上单调递减，由，得到即∴，即故选:C12.若存在一个实数，使得成立，则称为函数的一个不动点.设函数（，为自然对数的底数），定义在上的连续函数满足，且当时，.若存在，且为函数的一个不动点，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】∵f（﹣x）+f（x）=x2∴令F（x）=f（x）﹣，∴f（x）﹣=﹣f（﹣x）+x2∴F（x）=﹣F（﹣x），即F（x）为奇函数，∵F′（x）=f′（x）﹣x，且当x0时，f′（x）＜x，∴F′（x）＜0对x＜0恒成立，∵F（x）为奇函数，∴F（x）在R上单调递减，∵f（x）+≥f（1﹣x）+x，∴f（x）+﹣≥f（1﹣x）+x﹣，即F（x）≥F（1﹣x），∴x≤1﹣x，x0≤，∵为函数的一个不动点∴g（x0）=x0，即h（x）= =0在（﹣∞，]有解．∵h′（x）=e x-，∴h（x）在R上单调递减．∴h（x）min=h（）=﹣a即可，∴a≥．故选：B点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．二、填空题：本题共4小题.13.抛物线的准线方程为________．【答案】【解析】由抛物线的标准方程为x2=y，得抛物线是焦点在y轴正半轴的抛物线，2P=1，∴其准线方程是y=，。

2020学年度高三年级上七调考试数学（理科）试卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设为虚数单位,复数满足，则共轭复数的虚部为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据条件求出复数，然后再求出共轭复数，从而可得其虚部．【详解】∵，∴，∴，∴复数的虚部为．故选C．【点睛】本题考查复数的乘除法的运算及共轭复数的概念，其中正确求出复数是解题的关键，对于复数的运算，解题时一定要按照相关的运算法则求解，特别是在乘除运算中一定不要忘了．2.已知集合，若，则为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】,选A.3.已知，，，则a，b，c满足A. a<b<cB. b<a<cC. c<a<bD. c<b<a【答案】B【解析】【分析】根据对数的运算性质，化简得，，进而得，又由，即可得到答案.【详解】由题意，可得，，又由为单调递增函数，且，所以，所以，又由，所以，故选B.【点睛】本题主要考查了对数函数的图象与性质的应用，其中解答中合理应用对数函数的单调性进行比较是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.4.如图，在中，点在线段上，且，若，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：从A点开始沿着三角形的边转到D，则把要求的向量表示成两个向量的和，把写成的实数倍，从而得到，从而确定出，最后求得结果.详解：，所以，从而求得，故选B.点睛：该题考查的是有关向量的基本定理，在解题的过程中，需要利用向量直角的关系，结合三角形法则，求得结果.5.已知定义在上的奇函数满足，若，，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：因为是奇函数且满足，所以函数的周期为，，又，所以，可得的取值范围．考点：1、函数的奇偶性；2、函数的对称性；3、函数的周期性；4、分式不等式．6.已知点是双曲线的右焦点,点是该双曲线的左顶点,过且垂直于轴的直线与双曲线交于两点,若是钝角,则该双曲线的离心率的取值范围是 ( ) A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：由题意，得为双曲线的通径，其长度为，因为,所以；则,即，即，即，解得.考点：双曲线的几何性质.7.如图，要测量底部不能到达的某铁塔的高度，在塔的同一侧选择，两观测点，且在，两点测得塔顶的仰角分别为，.在水平面上测得，，两地相距，则铁塔的高度是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：由题意结合几何关系和余弦定理得到关于塔高的方程，解方程即可求得塔高.详解：设,则,,在中,由余弦定理知,解得米,(舍去).故铁塔的高度为600米.本题选择D选项.点睛：本题主要考查了余弦定理的应用.考查了学生空间观察能力和运用三角函数解决实际问题的能力.8.如果执行下面的程序框图，那么输出的( )A. 2550B. －2550C. 2548D. －2552【答案】C【解析】试题分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加S=-2+0+2+…+98+100，并输出S值．解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加S=-2+0+2+…+98+100，∵S=-2+0+2+…+98+100=2548,故选C考点：流程图点评：根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中既要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．9.如图，半径为的圆内有四个半径相等的小圆，其圆心分别为，这四个小圆都与圆内切，且相邻两小圆外切，则在圆内任取一点，该点恰好取自阴影部分的概率为A. B. C. D.【答案】D【解析】如图，易知四点在以为圆心，为半径的圆上，连接.设这四个小圆的半径为，则，.因为圆O内的这四个小圆都与圆内切，且相邻两小圆外切，所以，所以，即，解得，故所求事件的概率为.故选D.10.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）正（主）视图侧（左）视图俯视图A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】该几何体为正方体ABCD﹣A′B′C′D′切去几何体AEF﹣A′B′D′得到的．【详解】由三视图可知该几何体为棱长为2正方体ABCD﹣A′B′C′D′切去几何体AEF﹣A′B′D′得到的．其中E，F分别是AB，AD的中点，如图，∴S2×22×2+2×2（2）20．故选：A．【点睛】本题考查了常见几何体的三视图和体积计算，作出直观图是关键．11.若函数的图象向左平移个单位后得到的图象对应的函数是奇函数，则直线的斜率为( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用辅助角公式将f（x）化为 sin（x+∅），（tanφ），将此图象平移后得到的图象对应的函数解析式为g（x） sin（x∅），再由g（x）是奇函数可得kπ，k∈z，再根据tan∅＝tan（kπ），求得的值，即可求得直线ax﹣by+c＝0的斜率的值．【详解】∵函数f（x）＝a sin x+b cos x sin（x+∅），（tanφ），把函数f（x）的图象向左平移个单位后得到的图象对应的函数是g（x） sin（x∅），再由g（x）是奇函数可得kπ，k∈z．∴tan∅＝tan（kπ），即．故直线ax﹣by+c＝0的斜率为，故选：D．【点睛】题主要考查辅助角公式，函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，函数的奇偶性，直线的斜率，属于中档题．12.设椭圆：的左，右顶点为，.是椭圆上不同于，的一点，设直线，的斜率分别为，，则当取得最小值时，椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】设出的坐标,得到(用,表示,求出，令，则．利用导数求得使取最小值的，可得，则椭圆离心率可求．【详解】解：，，设，，则，则，，，，令，则．，当时，函数取得最小值（2）．．，故选：．【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了推理能力与计算能力，属于难题．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知的展开式中，含项的系数为，则实数的值为__________．【答案】【解析】【分析】根据展开式的通项公式，写出的展开式中含x2项的系数，列方程求出a的值．【详解】展开式的通项公式为T r+1•（﹣2x）r，∴（2+ax）（1﹣2x）5的展开式中，含x2项的系数为，解得a＝1．故答案为：1．【点睛】本题考查了二项式展开式通项公式的应用问题，是基础题．14.某所学校计划招聘男教师名，女教师名，和须满足约束条件，则该校招聘的教师人数最多是__________名.【答案】【解析】【分析】由题意由于某所学校计划招聘男教师x名，女教师y名，且x和y须满足约束条件，又不等式组画出可行域，又要求该校招聘的教师人数最多令z＝x+y，则题意求解在可行域内使得z取得最大．【详解】由于某所学校计划招聘男教师x名，女教师y名，且x和y须满足约束条件，画出可行域为：对于需要求该校招聘的教师人数最多，令z＝x+y⇔y＝﹣x+z则题意转化为，在可行域内任意去x，y且为整数使得目标函数代表的斜率为定值﹣1，截距最大时的直线为过⇒（5，5）时使得目标函数取得最大值为：z＝10．故答案为：10．【点睛】线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一、准确无误地作出可行域；二、画标准函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三、一般情况下，目标函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取得.15.已知则 ________.【答案】【解析】【分析】对已知条件，两边平方再相加即可得到答案．【详解】∵，∴（cosα+cosβ）2=，（sinα+sinβ）2=．两式相加，得2+2cos（α﹣β）=1．∴cos（α﹣β）=．故答案为：【点睛】本题主要考查两角和与差的余弦公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．16.正方体的棱长为，点，，分别是、、的中点，以为底面作正三棱柱，若此三棱柱另一底面的三个顶点也都在该正方体的表面上，则这个正三棱柱的高为__________．【答案】【解析】【分析】分别取过C点的三条面对角线的中点，则此三点为棱柱的另一个底面的三个顶点，利用中位线定理证明．于是三棱柱的高为正方体体对角线的一半．【详解】连结A1C，AC，B1C，D1C，分别取AC，B1C，D1C的中点E，F，G，连结EF，EG，FG．由中位线定理可得PE A1C，QF A1C，RG A1C．又A1C⊥平面PQR，∴三棱柱PQR﹣EFG是正三棱柱．∴三棱柱的高h＝PE A1C．故答案为：．【点睛】本题考查了正棱柱的结构特征，作出三棱柱的底面是计算棱柱高的关键．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知等差数列中，，前项和.（1）求数列的通向公式；（2）若从数列中依次取出第，，，，，项，按原来的顺序排列成一个新的数列，试求新数列的前项和.【答案】(1)(2)，【解析】(1)由题意得，解得，所以．(2)，则==18.某种产品的质量以其质量指标值来衡量，质量指标值越大表明质量越好，记其质量指标值为，当时，产品为一级品；当时，产品为二级品，当时，产品为三级品，现用两种新配方（分别称为配方和配方）做实验，各生产了件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面的试验结果：（以下均视频率为概率）配方的频数分配表：指标值分组频数配方的频数分配表：指标值分组频数（1）若从配方产品中有放回地随机抽取件，记“抽出的配方产品中至少件二级品”为事件，求事件发生的概率；（2）若两种新产品的利润率与质量指标满足如下关系：，其中，从长期来看，投资哪种配方的产品平均利润率较大？【答案】（1）；（2）从长期来看，投资A配方产品的平均利润率较大。

2020学年度下学期一模考试高三数学（理科）第Ⅰ卷（选择题 共60分） 共120分钟一、选择题（每小题5分，共60分。

下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上） 1、若复数iia 213++（i R a ,∈为虚数单位）是纯虚数，则实数a 的值为 （ ） A. 6- B. 2- C. 4 D. 62、已知{}{}{}1,2,3,4,1,2,2,3U M N ===，则()N M C U ⋃=（ ） A. {}1,4B. {}1,3,4C. {}4D. {}23、如图，一个空间几何体的三视图如图所示，其中，主视图中ABC ∆是边长为2的正三角形，俯视图为正六边形，那么该几何体的体积为( ) A. 3B.32C. 3D.32左视图主视图俯视图4、已知}{n a 为等差数列，若π=++951a a a ，则)cos(82a a +的值为（ ）A. 21-B. 23-C. 21D. 235、“1m <”是“函数2()f x x x m =++有零点”的（ ）A.充分非必要条件B.充要条件C.必要非充分条件D.既不充分也不必要条件6、在边长为1的正三角形ABC 中，,BD xBA CE yCA ==，0,0x y >>，且1x y +=，则CD BE ⋅的最大值为（ ） A.58- B.38-C.32-D.34- 7、执行如图所示的程序框图，若输出的结果是8，则输入的数是A ．2或22B ．22或22-C ．2-或22-D ．2或22-8、如上图，给定两个平面向量OA OB 和，它们的夹角为120︒，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上，且OC xOA yOB =+（其中,x y R ∈），则满足2x y +≥的概率为（ ）A ．21-B ．34 C ．4π D ．3π9、下表是降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y （吨标准煤）的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程ˆy=0.7x+0.35，那么表中m 的值为（ ）A.4B.3.15C.4.5D.310、已知双曲线)0,1(12222>>=-b a by a x 的焦距为2c ，离心率为e ，若点（-1，0）与点（1，0）到直 线1=-b y a x 的距离之和为S ，且S c 54≥，则离心率e 的取值范围是（ ） A.]5,25[B.]7,2[C. ]7,25[ D. ]5,2[ 11、已知函数()()()2log 030xx x f x x >⎧⎪=⎨⎪⎩≤，且关于x 的方程()0f x x a +-=有且只有一个实根，则实数a 的范围是（ ）A. (),0-∞B. ()0,1C. ()1,2D. ()1,+∞12、在整数集Z 中，被4除所得余数k 的所有整数组成一个“类”，记为[]k ，即[]{4|}k n k n Z =+∈，0,1,2,3k =.给出如下四个结论：①2012[1]∈；②2[2]-∈；③[0][1][2][3]Z =⋃⋃⋃；④“整数,a b 属于同一‘类’”的充要条件是“[0]a b -∈”.其中正确的个数为（ ）A.1B.2C.3D.4第Ⅱ卷 非选择题 （共90分）二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分） 13、若f(x)在R 上可导，3)2(2)('2++=x f x x f ,则3()dx f x =⎰.14、设面积为S 的平面四边形的第i 条边的边长为(1,2,3,4)i a i =，P 是该四边形内一点，点P 到第i 条边的距离记为i h ，若k a a a a ====43214321，则()k S ih i i 241=∑=，类比上述结论，体积为V 的三棱锥的第i 个面的面积记为(1,2,3,4)i S i =，Q 是该三棱锥内的一点，点Q 到第个面的距离记为i d ，若431241,()1234i i S S S S k id =====∑则等于 。

2020年河北省衡水中学高考数学一模试卷（理科）一、选择题（共12小题）. 1．设复数z 1＝1+i ，z 2＝1﹣i ，则1z 1+1z 2=（ ）A ．1B ．﹣1C ．iD ．﹣i2．已知集合M ＝{x |y ＝ln （x +1）}，N ＝{y |y ＝e x }，则M ∩N ＝（ ） A ．（﹣1，0）B ．（﹣1，+∞）C ．（0，+∞）D ．R3．为比较甲、乙两名高中学生的数学素养，对课程标准中规定的数学六大素养进行指标测验（指标值满分为5分，分值高者为优），根据测验情况绘制了如图所示的六大素养指标雷达图，则下面叙述不正确的是（ ）A ．甲的数据分析素养优于乙B ．乙的数据分析素养与数学建模素养相同C ．甲的六大素养整体水平优于乙D ．甲的六大素养中数学运算最强 4．若α∈（π2，π），cos2α=725，则sinαsin(3π2+α)=（ ） A ．−34B ．34C ．43D ．−435．已知x 1，x 2，x 3∈R ，x 1＜x 2＜x 3，设y 1=x 1+x 22，y 2=x 2+x 32，y 3=x 3+x12，z 1=y 1+y 22，z 2=y 2+y 32，z 3=y 3+y 12，若随机变量X ，Y ，Z 满足：P （X ＝x i ）＝P （Y ＝y i ）＝P （Z ＝z i ）=13（i ＝1，2，3），则（ ）A ．D （ X ）＜D （Y ）＜D （Z ）B ．D （ X ）＞D （Y ）＞D （Z ）C ．D （ X ）＜D （Z ）＜D （Y ）D ．D （ X ）＞D （Z ）＞D （Y ）6．函数y ＝﹣cos x •ln |x |的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．7．标准对数远视力表（如图）采用的“五分记录法”是我国独创的视力记录方式，标准对数远视力表各行为正方形“E ”形视标，且从视力5.2的视标所在行开始往上，每一行“E ”的边长都是下方一行“E ”边长的√1010倍，若视力4.1的视标边长为a ，则视力4.9的视标边长为（ ）A ．1045aB ．10910aC ．（110）45aD ．（110）910a8．已知F 1，F 2为椭圆C ：x 2m+y 2＝1（m ＞0）的两个焦点，若C 上存在点M 满足MF 1⊥MF 2，则实数m 取值范围是（ ） A ．（0，12]B ．[2，+∞）C ．（0，12]∪[2，+∞）D ．[12，1）∪（1，2]9．已知函数f （x ）=√2sin ωx 和g （x ）=√2cos ωx （ω＞0）图象的交点中，任意连续三个交点均可作为一个等腰直角三角形的顶点，为了得到y ＝g （x ）的图象，只需把y ＝f （x ）的图象（ ） A ．向左平移1个单位 B ．向左平移π2个单位C ．向右平移1个单位D ．向右平移π2个单位10．已知函数f （x ）＝ax +1+|2x 2+ax ﹣1|（a ∈R ）的最小值为0，则a ＝（ ） A ．12B ．﹣1C ．±1D ．±1211．如图，在棱长为3的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点P 是平面A 1BC 1内一动点，且满足|PD |+|PB 1|＝2+√13，则直线B 1P 与直线AD 1所成角的余弦值的取值范围为（ ）A ．[0，12]B ．[0，13]C ．[12，√22]D ．[12，√32]12．已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的左、右顶点分别为A ，B ，左焦点为F ，P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴，过点A 的直线l 与线段PF 交于点M （异于P ，F ），与y 轴交于点N ，直线MB 与y 轴交于点H ，若HN →=−3OH →（O 为坐标原点），则C 的离心率为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．5二、填空题（共4题，每题5分）13．已知平面向量a →与b →的夹角为45°，a →=（﹣1，1），|b →|＝1，则|a →+b →|＝ ．14．在发生公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”．过去10日，A 、B 、C 、D 四地新增疑似病例数据信息如下：A 地：中位数为2，极差为5；B 地：总体平均数为2，众数为2；C 地：总体平均数为1，总体方差大于0；D 地：总体平均数为2，总体方差为3． 则以上四地中，一定符合没有发生大规模群体感染标志的所有选项是 ．（填A 、B 、C 、D ）15．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若3b cos C +3c cos B ＝5a sin A ，且A 为锐角，则当a 2bc取得最小值时，a b+c的值为 ．16．在空间直角坐标系O ﹣xyz 中，正四面体P ﹣ABC 的顶点A ，B 分别在x 轴，y 轴上移动，若该正四面体的棱长为2，则|OP |的取值范围是 ．三、解答题：（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

2020届河北省衡水密卷高三第一次调研考试理科数学试题★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

第I卷(选择题共60分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡的指定位置.）1.若复数满足，则的共轭复数A. B. C. D.2.某公司生产，，三种不同型号的轿车，产量之比依次为，为检验该公司的产品质量，用分层抽样的方法抽取一个容量为的样本，若样本中种型号的轿车比种型号的轿车少8辆，则A. 96B. 72C. 48D. 363.中国诗词大会的播出引发了全民读书热，某学校语文老师在班里开展了一次诗词默写比赛，班里40名学生得分数据的茎叶图如右图，若规定得分不低于85分的学生得到“诗词达人”的称号，低于85分且不低于70分的学生得到“诗词能手”的称号，其他学生得到“诗词爱好者”的称号.根据该次比赛的成绩按照称号的不同进行分层抽样抽选10名学生，则抽选的学生中获得“诗词能手”称号的人数为A. 6B. 5C. 4D. 24.如图是某地某月1日至15日的日平均温度变化的折线图，根据该折线图，下列结论正确的是A. 这15天日平均温度的极差为B. 连续三天日平均温度的方差最大的是7日，8日，9日三天C. 由折线图能预测16日温度要低于D. 由折线图能预测本月温度小于的天数少于温度大于的天数5.已知点与点关于直线对称，则点的坐标为A. B. C. D.6.已知实数是给定的常数，函数的图象不可能是A. B. C. D.7.一元线性同余方程组问题最早可见于中国南北朝时期（公元世纪）的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”问题，原文如下：有物不知数，三三数之剩二，五五数之剩三，问物几何？即，一个整数除以三余二，除以五余三，求这个整数.设这个整数为，当时，符合条件的共有A.个B.个C.个D.个8.现有甲班四名学生，乙班三名学生，从这名学生中选名学生参加某项活动，则甲、乙两班每班至少有人，且必须参加的方法有A. 种B.种 C.种D. 种9.在中，内角的对边分别为，已知，，，则A.B.C.D. 或10.若函数的图象关于直线轴对称，则函数的最小值为A. B. C. 0 D.11.已知函数，则下列结论中正确的是 A. 函数的定义域是B. 函数是偶函数C. 函数 在区间上是减函数 D. 函数的图象关于直线轴对称 12.已知函数，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是A.B.C.D.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13..若5(1)ax 的展开式中3x 的系数是80，则实数a 的值是14.若实数满足不等式组，且的最小为，则实数______． 15.在平面四边形中，是边长为2的等边三角形，是以斜边的等腰直角三角形，以为折痕把折起，当时，四面体的外接球的体积为______．16.已知抛物线的焦点为是抛物线上一点，过点向抛物线的准线引垂线，垂足为，若为等边三角形，则______．三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17 ~ 21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.）17.（本大题满分12分）已知数列满足.（Ⅰ）求和的通项公式；（Ⅱ）记数列的前项和为，若对任意的正整数恒成立，求实数的取值范围．18.（本大题满分12分）为了调查高中生的数学成绩与学生自主学习时间之间的相关关系，新苗中学数学教师对新入学的名学生进行了跟踪调查，其中每周自主做数学题的时间不少于小时的有人，余下的人中，在高三模拟考试中数学成绩不足分的占，统计成绩后，得到如下的列联表：分分周做题时间不少于周做题时间不足（Ⅰ）请完成上面的列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过的前提下认为“高中生的数学成绩与学生自主学习时间有关”．（Ⅱ）（i）按照分层抽样的方法，在上述样本中，从分数大于等于分和分数不足分的两组学生中抽取名学生，设抽到的不足分且周做题时间不足小时的人数为，求的分布列（概率用组合数算式表示）．（ii）若将频率视为概率，从全校大于等于分的学生中随机抽取人，求这些人中周做题时间不少于小时的人数的期望和方差．附：19.（本大题满分12分）如图，在四棱锥中，底面为菱形，，，且.（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）若，求二面角的余弦值.20.（本大题满分12分）函数．（Ⅰ）若函数在点处的切线过点，求的值；（Ⅱ）若不等式在定义域上恒成立，求的取值范围．21.（本大题满分12分）已知动圆过定点，且和直线相切，动圆圆心形成的轨迹是曲线，过点的直线与曲线交于两个不同的点.（Ⅰ）求曲线的方程；（Ⅱ）在曲线上是否存在定点，使得以为直径的圆恒过点？若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由.（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22. [选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）.极坐标系与直角坐标系有相同的长度单位，以原点为极点，以轴正半轴为极轴．已知曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为，射线，，，与曲线分别交异于极点的四点，，，．（Ⅰ）若曲线关于曲线对称，求的值，并把曲线和化成直角坐标方程．（）求，当时，求的值域．23.设函数．（Ⅰ）求不等式的解集；（Ⅱ）当时，恒成立，求m的取值范围．理科数学试题答案1.D2.B3.C4.B5.D6.D7.C8.D9.C 10.D 11.B 12.C13.2 14.15.. 16.17.解:(1)由题意得，所以得由,所以（），相减得，得也满足上式.所以的通项公式为.(2)数列的通项公式为是以为首项,公差为的等差数列,若对任意的正整数恒成立，等价于当时,取得最大值, 所以解得所以实数的取值范围是18.（）分分周做题时间不少于周做题时间不足∵．∴能在犯错误的概率不超过的前提下认为“高中生的数学成绩与学生自主学习时间有关”．（）（i）由分层抽样知大于等于分的有人，不足分的有人，的可能取值为，，，，．，，，，．则分布列为（ii）设从全校大于等于分的学生中随机抽取人，这些人中，周做题时间不少于小时的人数为随机变量，由题意可知，故，．19.（1）证明：取中点，连结，，，．因为底面为菱形，，所以因为为的中点，所以．在△中，，为的中点，所以．设,则，，因为，所以．在△中，，为的中点，所以．在△ 和△ 中，因为，，，所以△ △ ．所以．所以．因为，平面，平面，所以平面．因为平面，所以平面平面．（2）因为，，，平面，平面，所以平面．所以．由（1）得，，所以，，所在的直线两两互相垂直．以为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系．设，则，，，，所以，，，设平面的法向量为，则令，则，，所以．设平面的法向量为，则令，则，，所以．设二面角为，由于为锐角，所以．所以二面角的余弦值为．20.（Ⅰ），，，整理可得，解得，（Ⅱ）由题意知，，，设，，故在递增，故时，，当时，，故在上有唯一实数根，当时，，当时，，故0时，取最小值，由，得，故，，解得：，故的范围是．21.（1）设动圆圆心到直线的距离为，根据题意，动点形成的轨迹是以为焦点，以直线为准线的抛物线，抛物线方程为.（2）根据题意，设，直线的方程为，代入抛物线方程，整理得若设抛物线上存在定点，使得以为直径的圆恒过点，设，则，同理可得解得在曲线上存在定点，使得以为直径的圆恒过点.22.（），即，化为直角坐标方程为．把的方程化为直角坐标方程为，因为曲线关于曲线对称，故直线经过圆心，解得，故的直角坐标方程为．（）当时，，，，，∴，的值域为．23.（1），由解得即不等式的解集为.（2）当时，，由，得，也就是在恒成立，故，即的取值范围为.。

.2020 届河北衡水中学高三年级期中考试理科数学试卷本试卷分为第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分满分150 分.考试时间120 分钟.第Ⅰ卷（选择题 共 60 分）一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1．已知集合 S={1，2}，T={x|x 2＜4x ﹣3}，则 S∩T=（）A ．{1}B ．{2}C ．1D ．22．已知复数 z 1，z 2 满足|z 1|=|z 2|=1，|z 1﹣z 2|= ，则|z 1+z 2|等于（ ）A ．2B ．C ．1D ．33．设正数 x ，y 满足 x+y=1，若不等式对任意的 x ，y 成立，则正实数 a 的取值范围是（）A ．a≥4B ．a ＞1C ．a≥1D ．a ＞44．如图，在正方体 ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1 中，O 是底面 ABCD 的中心，E 为 CC 1 的中点，那么异面直线 OE 与 AD 1 所成角的余弦值等于（ ）A ．B ．C ．D ．5．给出计算的值的一个程序框图如图，其中判断框内应填入的条件是（）A ．i ＞10B ．i ＜10C ．i ＞20D ．i ＜206．如图，在 R t△ABC 中，AC=1，BC=x ，D 是斜边 AB 的中点，将△BCD 沿直线 CD 翻折，若在翻折过程中存在某个位置，使得 CB⊥AD，则 x 的取值范围是（ ）A ．（0，C ．（] B ．（，2 ] D ．（2，4]，2]7．数列{a n }中，对任意 n∈N *，a 1+a 2+…+a n =2n ﹣1，则 a 12+a 22+…+a n 2 等于（）A ．（2n ﹣1）2B ．C ．4n ﹣1D ．8．已知一个几何体的三视图及有关数据如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．2B ．C ．D ．9．设函数 f （x ）=Asin （ωx+φ）（A ，ω，φ 是常数，A ＞0，ω＞0），且函数 f （x ）的部分图象如图所示，则有（）A ．f （﹣C ．f （）＜f （）＜f （ ）＜f （）＜f （﹣ ）） B ．f （﹣D ．f （ ）＜f （）＜f （﹣ ）＜f （）＜f （ ））10．若圆 C ：x 2+y 2+2x ﹣4y+3=0 关于直线 2ax+by+6=0 对称，则由点（a ，b ）向圆 C 所作切线长的最小值是（）A ．2B ．3C ．4D ．611．若函数 f （x ）=x 3﹣3x 在（a ，6﹣a 2）上有最大值，则实数 a 的取值范围是（）A ．（﹣，﹣1） B ．（﹣ ，﹣1] C ．（﹣ ，﹣2）D ．（﹣ ，﹣2]12．已知 f′（x ）为函数 f （x ）的导函数，且 f （x ）=x 2﹣f （0）x+f′（1）e x ﹣1，若g （x ）=f （x ）﹣ x 2+x ，则方程 g （﹣x ）﹣x=0 有且仅有一个根时，a 的取值范围是（ ）A ．（﹣∞，0）∪{1}B ．（﹣∞，1]C ．（0，1]D ．[1，+∞）第Ⅱ卷 非选择题 （共 90 分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．设变量x，y满足约束条件，则z=x﹣3y的最小值．14．设数列{an}的n项和为Sn，且a1=a2=1，{nSn+（n+2）an}为等差数列，则{an}的通项公式an=．15．已知函数f（x）的定义域为[﹣2，+∞），部分对应值如下表．f′（x）为f（x）的导函数，函数y=f′（x）的图象如下图所示．若两正数a，b满足f（2a+b）＜1，则取值范围是．的Xf（x）﹣21﹣14116.已知正三棱锥S﹣ABC内接于半径为6的球，过侧棱SA及球心O的平面截三棱锥及球面所得截面如右图，则此三棱锥的侧面积为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（本小题满分12分）△ABC中，已知的对边依次为a，b，c．（1）求∠C的大小；（2）若c=2，且△ABC是锐角三角形，求a2+b2的取值范围．，记角A，B，C18. （本小题满分 12 分）已知数列{a n }的前 n 项和为 S n ，且 S n =n （n+1）（n∈N *）．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n }满足：，求数列{b n }的通项公式；（Ⅲ）令（n∈N *），求数列{c n }的前 n 项和 T n ．19. （本小题满分 12 分） 已知圆 C ：x 2+y 2+2x ﹣4y+3=0．（1）若圆 C 的切线在 x 轴和 y 轴上的截距相等，求此切线的方程；（2）从圆 C 外一点 P （x 1，y 1）向该圆引一条切线，切点为 M ，O 为坐标原点，且有|PM|=|PO|，求使得|PM|取得最小值的点 P 的坐标．20. （本小题满分 12 分）如图，ABCD 是边长为 3 的正方形，DE⊥平面 ABCD ，AF∥DE，DE=3AF ，BE 与平面 ABCD 所成角为 60°．（Ⅰ）求证：AC⊥平面 BDE ；（Ⅱ）求二面角 F ﹣BE ﹣D 的余弦值；（Ⅲ）设点 M 是线段 BD 上一个动点，试确定点 M 的位置，使得 AM∥平面 BEF ，并证明你的结论．21.（本小题满分12分）已知函数f（x）=alnx+x2（a为实常数）．（1）若a=﹣2，求证：函数f（x）在（1，+∞）上是增函数；（2）求函数f（x）在[1，e]上的最小值及相应的x值；（3）若存在x∈[1，e]，使得f（x）≤（a+2）x成立，求实数a的取值范围．请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，圆C的方程是x2+y2﹣4x=0，圆心为C，在以坐标原点为极点，以x轴的：ρ=﹣4sinθ与圆C相交于A，B两点．非负半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线C1（1）求直线AB的极坐标方程；：（t是参数）交直线AB于点D，交y轴于点（2）若过点C（2，0）的直线C2E，求|CD|：|CE|的值．23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数f（x）=m﹣|x﹣3|，不等式f（x）＞2的解集为（2，4）．（1）求实数m的值；（2）若关于x的不等式|x﹣a|≥f（x）恒成立，求实数a的取值范围．理科数学参考答案一．选择题1-5B C C DA6-10A D B D C11-12D A．二．填空题13．﹣814.．16.．三．解答题17．解：（1）依题意：又0＜A+B＜π，∴，∴（2）由三角形是锐角三角形可得，，即，，...............4分即由正弦定理得∴，，，=====∵，∴=，，∴，即..............12分18.．解：（Ⅰ）当n=1时，a1=S1=2，当n≥2时，an =Sn﹣Sn﹣1=n（n+1）﹣（n﹣1）n=2n，知a1=2满足该式，∴数列{an}的通项公式为an=2n．（2分）（Ⅱ）∵（n≥1）①∴②（4分）②﹣①得：，b n+1=2（3n+1+1），故bn=2（3n+1）（n∈N*）．（6分）（Ⅲ）=n（3n+1）=n•3n+n，∴Tn =c1+c2+c3+…+cn=（1×3+2×32+3×33+…+n×3n）+（1+2+…+n）（8分）令Hn=1×3+2×32+3×33+…+n×3n，①则3Hn=1×32+2×33+3×34+…+n×3n+1②①﹣②得：﹣2Hn=3+32+33+…+3n﹣n×3n+1=∴，…（10分）∴数列{cn}的前n项和…（12分）19.解：（1）∵切线在两坐标轴上的截距相等，∴当截距不为零时，设切线方程为x+y=a，又∵圆C：（x+1）2+（y﹣2）2=2，∴圆心C（﹣1，2）到切线的距离等于圆的半径即，解得：a=﹣1或a=3，，当截距为零时，设y=kx，同理可得或，则所求切线的方程为x+y+1=0或x+y﹣3=0或或．---------6分（2）∵切线PM与半径CM垂直，∴|PM|2=|PC|2﹣|CM|2．∴（x1+1）2+（y1﹣2）2﹣2=x12+y12．∴2x1﹣4y1+3=0．∴动点P的轨迹是直线2x﹣4y+3=0．∴|PM|的最小值就是|PO|的最小值．而|PO|的最小值为原点O到直线2x﹣4y+3=0的距离，∴由，可得故所求点P的坐标为．--12分20.证明：（Ⅰ）因为DE⊥平面ABCD，所以DE⊥AC．因为ABCD是正方形，所以AC⊥BD，从而AC⊥平面BDE．….......................................（4分）解：（Ⅱ）因为DA，DC，DE两两垂直，所以建立空间直角坐标系D﹣xyz如图所示．因为BE与平面ABCD所成角为600，即∠DBE=60°，所以．由AD=3，可知则A（3，0，0），，．，，B（3，3，0），C（0，3，0），所以，．设平面BEF的法向量为=（x，y，z），则，即．令，则=．因为AC⊥平面BDE，所以为平面BDE的法向量，．所以cos．因为二面角为锐角，所以二面角F﹣BE﹣D的余弦值为．…（8分）（Ⅲ）点M是线段BD上一个动点，设M（t，t，0）．则．因为AM∥平面BEF，所以=0，即4（t﹣3）+2t=0，解得t=2．此时，点M坐标为（2，2，0），即当时，AM∥平面BEF．…（12分）21.解：（1）当a=﹣2时，f（x）=x2﹣2lnx，当x∈（1，+∞），，所以函数f（x）在（1，+∞）上是增函数；........2分（2），当x∈[1，e]，2x2+a∈[a+2，a+2e2]．若a≥﹣2，f'（x）在[1，e]上非负（仅当a=﹣2，x=1时，f'（x）=0），故函数f（x）在[1，e]上是增函数，此时[f（x）]min=f（1）=1．若﹣2e2＜a＜﹣2，当时，f'（x）=0；当当故[f（x）]min =时，f'（x）＜0，此时f（x）是减函数；时，f'（x）＞0，此时f（x）是增函数．=．若a≤﹣2e2，f'（x）在[1，e]上非正（仅当a=﹣2e2，x=e时，f'（x）=0），故函数f（x）在[1，e]上是减函数，此时[f（x）]min=f（e）=a+e2．综上可知，当a≥﹣2时，f（x）的最小值为1，相应的x值为1；当﹣2e2＜a＜﹣2时，f（x）的最小值为，相应的x值为；当a≤﹣2e2时，f（x）的最小值为a+e2，相应的x值为e．.....................7分（3）不等式f（x）≤（a+2）x，可化为a（x﹣lnx）≥x2﹣2x．∵x∈[1，e]，∴lnx≤1≤x且等号不能同时取，所以lnx＜x，即x﹣lnx＞0，因而（x∈[1，e]）令（x∈[1，e]），又 ，当 x∈[1，e]时，x ﹣1≥0，lnx≤1，x+2﹣2lnx ＞0，从而 g'（x ）≥0（仅当 x=1 时取等号），所以 g （x ）在[1，e]上为增函数，故 g （x ）的最小值为 g （1）=﹣1，所以 a 的取值范围是[﹣1，+∞）．......12 分22.解：（1）在以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，极坐标与直角坐标有如下关系 x=ρcosθ，y=ρsinθ，曲线 C 1：ρ=﹣ sinθ，∴ρ2=﹣4 ρsinθ，∴x 2+y 2=﹣4 y ，∴曲线 C 1：x 2+y 2+ y=0，∴直线 AB 的普通方程为：（x 2+y 2﹣4x ）﹣（x 2+y 2+4y ）=0，∴y=﹣x ，∴ρsinθ=﹣ρcosθ，∴tanθ=﹣ ，∴直线 AB 极坐标方程为：θ = - 1( ρ ∈ R ) ．............ 5 分6（2）根据（1）知，直线 AB 的直角坐标方程为 y=﹣x ，根据题意可以令 D （x 1，y 1），则，又点 D 在直线 AB 上，所以 t 1=﹣（2+ t 1），解得 t 1=﹣，根据参数方程的定义，得|CD|=|t 1|= ，同理，令交点 E （x 2，y 2），则有，又点 E 在直线 x=0 上，令 2+t 2=0，∴t 2=﹣ ，∴|CE|=|t 2|= ，∴|CD|：|CE|=1：2．........................... 10 分23.解：（1）∵f（x ）=m ﹣|x ﹣3|，∴不等式 f （x ）＞2，即 m ﹣|x ﹣3|＞2，∴5﹣m ＜x ＜m+1，而不等式 f （x ）＞2 的解集为（2，4），∴5﹣m=2 且 m+1=4，解得：m=3；....... 5 分（2）关于 x 的不等式|x ﹣a|≥f（x ）恒成立⇔关于 x 的不等式|x ﹣a|≥3﹣|x ﹣3|恒成立⇔|x ﹣a|+|x ﹣3|≥3 恒成立⇔|a ﹣3|≥3 恒成立，由 a ﹣3≥3 或 a ﹣3≤﹣3，解得：a≥6 或 a≤0．............. 10 分。

2019-2020学年河北省衡水中学高三（上）一调数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知集合P={x|log2x＜﹣1}，Q={x||x|＜1}，则P∩Q=（）A． B． C．（0，1） D．2．（5分）已知i为虚数单位，复数z满足（1+i）2z=1﹣i3，则|z|为（）A．B．C．D．3．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线或虚线画出某几何体的三视图，该几何体的体积为（）A．8 B．12 C．18 D．244．（5分）已知命题p：方程x2﹣2ax﹣1=0有两个实数根；命题q：函数f（x）=x+的最小值为4．给出下列命题：①p∧q；②p∨q；③p∧￢q；④￢p∨￢q．则其中真命题的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．45．（5分）由曲线y=，直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积为（）A．B．4 C．D．66．（5分）函数f（x）=（﹣1）cosx的图象的大致形状是（）A．B．C．D．7．（5分）阅读程序框图，运行相应的程序，输出的结果为（）A．B．C．D．8．（5分）定义在R上的函数f（x）满足：f（x）+f′（x）＞1，f（0）=4，则不等式e x f（x）＞e x+3（其中e为自然对数的底数）的解集为（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，0）∪（3，+∞）C．（﹣∞，0）∪（0，+∞）D．（3，+∞）9．（5分）若实数a，b，c，d满足（b+a2﹣3lna）2+（c﹣d+2）2=0，则（a﹣c）2+（b﹣d）2的最小值为（）A．B．2 C．2 D．810．（5分）已知f（x）=，存在x2＞x1≥0使得f（x1）=f （x2），则x1•f（x2）的取值范围（）A．[，2）B．[，2）C．[，）D．[，2）11．（5分）设函数f（x）=x3+x2﹣3x，若方程|f（x）|2+t|f（x）|+1=0有12个不同的根，则实数t的取值范围为（）A．（﹣，﹣2）B．（﹣∞，﹣2）C．﹣＜t＜﹣2 D．（﹣1，2）12．（5分）设曲线f（x）=﹣e x﹣x（e为自然对数的底数）上任意一点处的切线为l1，总存在曲线g（x）=3ax+2cosx上某点处的切线l2，使得l1⊥l2，则实数a的取值范围为（）A．[﹣1，2]B．（3，+∞）C．D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）设m＞1，在约束条件下，目标函数z=x+my的最大值等于2，则m=．14．（5分）函数y=e x﹣mx在区间（0，3]上有两个零点，则m的取值范围是．15．（5分）已知函数f（x）=x3+3mx2+nx+m2在x=﹣1时有极值0，则m+n=．16．（5分）定义在R上的函数f（x）满足：f（﹣x）+f（x）=x2，当x＜0时，f′（x）＜x，则不等式f（x）+≥f（1﹣x）+x的解集为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且==．（1）求角A的大小；（2）若△ABC的面积为3，求a的值．18．（12分）函数f（x）=lnx﹣ax2﹣2x．（Ⅰ）当a=3时，求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若∀a∈（﹣1，+∞），∃x∈（1，e），有f（x）﹣b＜0，求实数b的取值范围．19．（12分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且4bsinA=a．（Ⅰ）求sinB的值；（Ⅱ）若a，b，c成等差数列，且公差大于0，求cosA﹣cosC的值．20．（12分）已知函数f（x）=ax2﹣4bx+2alnx（a，b∈R）（Ⅰ）若函数y=f（x）存在极大值和极小值，求的取值范围；（Ⅱ）设m，n分别为f（x）的极大值和极小值，若存在实数，b∈（a，a），使得m﹣n=1，求a的取值范围．（e为自然对数的底）21．（12分）已知函数f（x）=xlnx，g（x）=．（Ⅰ）记F（x）=f（x）﹣g（x），判断F（x）在区间（1，2）内零点个数并说明理由；（Ⅱ）记（Ⅰ）中的F（x）在（1，2）内的零点为x0，m（x）=min{f（x），g（x）}，若m（x）=n（n∈R）在（1，+∞）有两个不等实根x1，x2（x1＜x2），判断x1+x2与2x0的大小，并给出对应的证明．[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，AE是圆O的切线，A是切点，AD⊥OE于D，割线EC交圆O 于B、C两点．（Ⅰ）证明：O，D，B，C四点共圆；（Ⅱ）设∠DBC=50°，∠ODC=30°，求∠OEC的大小．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ2﹣4ρsinθ+2=0．（Ⅰ）把圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）将直线l向右平移h个单位，所得直线l′与圆C相切，求h．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|2x﹣a|+a，a∈R，g（x）=|2x﹣1|．（Ⅰ）若当g（x）≤5时，恒有f（x）≤6，求a的最大值；（Ⅱ）若当x∈R时，恒有f（x）+g（x）≥3，求a的取值范围．2019-2020学年河北省衡水中学高三（上）一调数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）（2019秋•龙泉驿区校级期中）已知集合P={x|log2x＜﹣1}，Q={x||x|＜1}，则P∩Q=（）A． B． C．（0，1） D．【分析】利用绝对值表达式的解法求出集合Q，对数不等式的解法求出P，然后求解交集．【解答】解：log2x＜﹣1，即log2x＜log2，解得0＜x＜，即P=（0，），Q={x||x|＜1}=（﹣1，1）则P∩Q=（0，），故选：A．2．（5分）（2019•衡阳校级模拟）已知i为虚数单位，复数z满足（1+i）2z=1﹣i3，则|z|为（）A．B．C．D．【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．【解答】解：∵（1+i）2z=1﹣i3，∴z=，∴|z|===．故选：C．3．（5分）（2019秋•衡水校级月考）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线或虚线画出某几何体的三视图，该几何体的体积为（）A．8 B．12 C．18 D．24【分析】由已知中的三视图，可知该几何体是一个底面为矩形的斜四棱柱，切去看一半．求出底面面积，代入棱柱体积公式，可得几何体的体积．【解答】解：由已知中的三视图，可知该几何体是一个底面为矩形的斜四棱，切去看一半，底面为矩形长为4，宽为3，斜四棱柱的高是2，棱柱体积公式：V=Sh可得：V=×4×3×2=12故选B．4．（5分）（2019秋•新华区校级月考）已知命题p：方程x2﹣2ax﹣1=0有两个实数根；命题q：函数f（x）=x+的最小值为4．给出下列命题：①p∧q；②p∨q；③p∧￢q；④￢p∨￢q．则其中真命题的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】先判定命题p，q的真假，再利用复合命题真假的判定方法即可得出．【解答】解：命题p：方程x2﹣2ax﹣1=0有两个实数根，∀a∈R，可得△≥0，因此是真命题．命题q：x＜0时，函数f（x）=x+＜0，因此是假命题．下列命题：①p∧q是假命题；②p∨q是真命题；③p∧￢q是真命题；④￢p∨￢q是真命题．则其中真命题的个数为3．故选：C．5．（5分）（2011•新课标）由曲线y=，直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积为（）A．B．4 C．D．6【分析】利用定积分知识求解该区域面积是解决本题的关键，要确定出曲线y=，直线y=x﹣2的交点，确定出积分区间和被积函数，利用导数和积分的关系完成本题的求解．【解答】解：联立方程得到两曲线的交点（4，2），因此曲线y=，直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积为：S=．故选C．6．（5分）（2019秋•湖南月考）函数f（x）=（﹣1）cosx的图象的大致形状是（）A．B．C．D．【分析】分析函数奇偶性和x∈（0，）时函数图象的位置，排除错误答案，可得结论．【解答】解：∵f（x）=（﹣1）cosx，∴f（﹣x）=（﹣1）cos（﹣x）=（﹣1）cosx=﹣（﹣1）cosx=﹣f（x），故函数f（x）为奇函数，故函数图象关于原点对称，可排除A，C，又由当x∈（0，），f（x）＜0，函数图象位于第四象限，可排除D，故选：B7．（5分）（2013•济南一模）阅读程序框图，运行相应的程序，输出的结果为（）A．B．C．D．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算变量x，y的值，最后输出的值，模拟程序的运行，用表格对程序运行过程中各变量的值进行分析，不难得到输出结果．【解答】解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：是否继续循环x y z循环前/1 1 2第一圈是 1 2 3第二圈是 2 3 5第三圈是 3 5 8第四圈是 5 8 13第五圈是8 13 21第六圈否此时=故答案为：8．（5分）（2019•兴安盟一模）定义在R上的函数f（x）满足：f（x）+f′（x）＞1，f（0）=4，则不等式e x f（x）＞e x+3（其中e为自然对数的底数）的解集为（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，0）∪（3，+∞）C．（﹣∞，0）∪（0，+∞）D．（3，+∞）【分析】构造函数g（x）=e x f（x）﹣e x，（x∈R），研究g（x）的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解【解答】解：设g（x）=e x f（x）﹣e x，（x∈R），则g′（x）=e x f（x）+e x f′（x）﹣e x=e x[f（x）+f′（x）﹣1]，∵f（x）+f′（x）＞1，∴f（x）+f′（x）﹣1＞0，∴g′（x）＞0，∴y=g（x）在定义域上单调递增，∵e x f（x）＞e x+3，∴g（x）＞3，又∵g（0）═e0f（0）﹣e0=4﹣1=3，∴g（x）＞g（0），∴x＞0故选：A．9．（5分）（2014•淄博三模）若实数a，b，c，d满足（b+a2﹣3lna）2+（c﹣d+2）2=0，则（a﹣c）2+（b﹣d）2的最小值为（）A．B．2 C．2 D．8【分析】由题设b+a2﹣3lna=0，设b=y，a=x，得到y=3lnx﹣x2；c﹣d+2=0，设c=x，d=y，得到y=x+2，所以（a﹣c）2+（b﹣d）2就是曲线y=3lnx﹣x2与直线y=x+2之间的最小距离的平方值，由此能求出（a﹣c）2+（b﹣d）2的最小值．【解答】解解：∵实数a、b、c、d满足：（b+a2﹣3lna）2+（c﹣d+2）2=0，∴b+a2﹣3lna=0，设b=y，a=x，则有：y=3lnx﹣x2，且c﹣d+2=0，设c=x，d=y，则有：y=x+2，∴（a﹣c）2+（b﹣d）2就是曲线y=3lnx﹣x2与直线y=x+2之间的最小距离的平方值，对曲线y=3lnx﹣x2求导：y′（x）=﹣2x，与y=x+2平行的切线斜率k=1=﹣2x，解得：x=1或x=﹣（舍），把x=1代入y=3lnx﹣x2，得：y=﹣1，即切点为（1，﹣1），切点到直线y=x+2的距离：=2，∴（a﹣c）2+（b﹣d）2的最小值就是8．故选：D．10．（5分）（2014•济南二模）已知f（x）=，存在x2＞x1≥0使得f（x1）=f（x2），则x1•f（x2）的取值范围（）A．[，2）B．[，2）C．[，）D．[，2）【分析】根据函数的解析式画出函数的图象，根据题意数形结合求得x1•f（x2）的取值范围．【解答】解：①当0≤x＜1时，1≤f（x）＜2，②当x＞1时，f（x）≥1.5，当x=时，f（x）=2，如图所示，若存在x2＞x1≥0使得f（x1）=f（x2）=k，则≤x1＜1≤x2＜，则1.5≤f（x2）≤2，∴≤x1•f（x2）＜1×2，即≤x1•f（x2）＜2，故x1•f（x2）的取值范围为[，2），故选：A．11．（5分）（2019•衡阳校级模拟）设函数f（x）=x3+x2﹣3x，若方程|f（x）|2+t|f （x）|+1=0有12个不同的根，则实数t的取值范围为（）A．（﹣，﹣2）B．（﹣∞，﹣2）C．﹣＜t＜﹣2 D．（﹣1，2）【分析】求出函数f（x）的导数，判断函数的单调性和极值，利用换元法设|f （x）|=m，转化为一元二次函数根的分布进行求解即可．【解答】解：，得x=﹣3，x=1，由f′（x）＞0得x＞1或x＜﹣3，即函数在（﹣∞，﹣3），（1，+∞）单调递增，由f′（x）＜0得﹣3＜x＜1，则函数在（﹣3，1）单调递减，则函数的极大值为f（﹣3）=9，函数的极小值为，根据函数的图象可知，设|f（x）|=m，可知m2+tm+1=0，原方程有12个不同的根，则m2+tm+1=0方程应在内有两个不同的根，设h（m）=m2+tm+1，则，所以取值的范围．故选：C12．（5分）（2019秋•衡水校级月考）设曲线f（x）=﹣e x﹣x（e为自然对数的底数）上任意一点处的切线为l1，总存在曲线g（x）=3ax+2cosx上某点处的切线l2，使得l1⊥l2，则实数a的取值范围为（）A．[﹣1，2]B．（3，+∞）C．D．【分析】求出函数f（x）=﹣e x﹣x的导函数，进一步求得∈（0，1），再求出g（x）的导函数的范围，然后把过曲线f（x）=﹣e x﹣x上任意一点的切线为l1，总存在过曲线g（x）=3ax+2cosx上一点处的切线l2，使得l1⊥l2转化为集合间的关系求解．【解答】解：由f（x）=﹣e x﹣x，得f′（x）=﹣e x﹣1，∵e x+1＞1，∴∈（0，1），由g（x）=3ax+2cosx，得g′（x）=3a﹣2sinx，又﹣2sinx∈[﹣2，2]，∴3a﹣2sinx∈[﹣2+3a，2+3a]，要使过曲线f（x）=﹣e x﹣x上任意一点的切线为l1，总存在过曲线g（x）=3ax+2cosx上一点处的切线l2，使得l1⊥l2，则，解得﹣≤a≤．故选D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）（2015•南昌校级二模）设m＞1，在约束条件下，目标函数z=x+my的最大值等于2，则m=．【分析】根据m＞1，可以判断直线y=mx的倾斜角位于区间（）上，由此判断出满足约束条件件的平面区域的形状，再根据目标函数z=x+my对应的直线与直线y=mx垂直，且在直线y=mx与直线x+y=1交点处取得最大值，由此可得关于m的方程，从而求得m值．【解答】解：∵m＞1，由约束条件作出可行域如图，直线y=mx与直线x+y=1交于（），目标函数z=x+my对应的直线与直线y=mx垂直，且在（）处取得最大值，由题意可知，又∵m＞1，解得m=1+．故答案为：1+．14．（5分）（2019秋•袁州区校级期中）函数y=e x﹣mx在区间（0，3]上有两个零点，则m的取值范围是e＜m≤．【分析】由y=e x﹣mx=0得m=，构造函数f（x）=，利用导数求出函数的取值情况，即可求出m的取值范围．【解答】解：由y=e x﹣mx=0得m=，设f（x）=，则f'（x）=，由f'（x）＞0，解得1＜x≤3，此时函数单调递增，由f'（x）＜0，解得0＜x＜1，此时函数单调递减，∴当x=1时，函数f（x）取得极小值，同时也是最小值f（1）=e，∵当x→0时，f（x）→+∞，当x=3时，f（3）=，∴要使函数y=e x﹣mx在区间（0，3]上有两个零点，则e＜m≤，故答案为：e＜m≤．15．（5分）（2015春•保定校级期末）已知函数f（x）=x3+3mx2+nx+m2在x=﹣1时有极值0，则m+n=11．【分析】对函数进行求导，根据函数f（x）在x=﹣1有极值0，可以得到f（﹣1）=0，f′（﹣1）=0，代入求解即可【解答】解：∵f（x）=x3+3mx2+nx+m2∴f′（x）=3x2+6mx+n依题意可得联立可得当m=1，n=3时函数f（x）=x3+3x2+3x+1，f′（x）=3x2+6x+3=3（x+1）2≥0函数在R上单调递增，函数无极值，舍故答案为：1116．（5分）（2014•唐山一模）定义在R上的函数f（x）满足：f（﹣x）+f（x）=x2，当x＜0时，f′（x）＜x，则不等式f（x）+≥f（1﹣x）+x的解集为（﹣∞，] ．【分析】可先对f（﹣x）+f（x）=x2，两边对x取导数，根据x＜0时，f′（x）＜x，推出x＞0时，f′（x）＜x，求出f（0）=0，且f′（0）≤0，得到x∈R，都有f′（x）＜x．构造函数F（x）=f（x）+﹣f（1﹣x）﹣x，求导并推出F′（x）＜0，且F（）=0，运用函数的单调性即可解出不等式．【解答】解：∵定义在R上的函数f（x）满足：f（﹣x）+f（x）=x2，两边对x求导，得﹣f′（﹣x）+f′（x）=2x，∴f′（x）=f′（﹣x）+2x，令x＞0，则﹣x＜0，∵当x＜0时，f′（x）＜x，∴f′（﹣x）＜﹣x，∴f′（x）＜2x﹣x，即f′（x）＜x，又f（0）=0，直线y=x过原点，∴f′（0）≤0，∴x∈R，都有f′（x）≤x，令F（x）=f（x）+﹣f（1﹣x）﹣x，则F′（x）=f′（x）+f′（1﹣x）﹣1＜x+1﹣x﹣1=0，即F（x）是R上的单调减函数，且F（）=0，∴不等式f（x）+≥f（1﹣x）+x，即F（x）≥0，即F（x）≥F（），∴x．∴原不等式的解集为（﹣∞，]．故答案为：（﹣∞，]．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）（2019秋•新华区校级月考）在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且==．（1）求角A的大小；（2）若△ABC的面积为3，求a的值．【分析】（Ⅰ）利用正弦定理把已知等式中的边转化成角的正弦，化简整理可用tanA分别表示出tanB和tanC，进而利用两角和公式求得tanA，进而求得A．（Ⅱ）利用tanA，求得tanB和tanC的值，利用同角三角函数关系取得sinB和sinC，进而根据正弦定理求得b和a的关系式，代入面积公式求得a．【解答】解：（Ⅰ）∵．∴==，即tanA=tanB=tanC，tanB=2tanA，tanC=3tanA，∵tanA=﹣tan（B+C）=﹣，∴tanA=﹣，整理求得tan2A=1，tanA=±1，当tanA=﹣1时，tanB=﹣2，则A，B均为钝角，与A+B+C=π矛盾，故舍去，∴tanA=1，A=．（Ⅱ）∵tanA=1，tanB=2tanA，tanC=3tanA，∴tanB=2，tanC=3，∴sinB=，sinC=，∴cosB=，cosC=sinA=sin（π﹣（B+C））=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=×+×=∵=，∴b==a，=absinC=a••a×==3，∵S△ABC∴a2=5，a=．18．（12分）（2019春•桂林校级期中）函数f（x）=lnx﹣ax2﹣2x．（Ⅰ）当a=3时，求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若∀a∈（﹣1，+∞），∃x∈（1，e），有f（x）﹣b＜0，求实数b的取值范围．【分析】（Ⅰ）当a=3时，求得f（x）的解析式，令f′（x）＞0，求得函数的单调递增区间，f′（x）＜0，求得f（x）的单调递减区间；（2）将原不等式转化成b＞f（x）的最小值，由函数性质可知h（a）=﹣ax2﹣2x+lnx在（﹣1，+∞）上是减函数，可知b≥x2﹣2x+lnx，构造辅助函数g（x）=x2﹣2x+lnx，求导，根据函数的单调性，求得g（x）的最小值，即可求得实数b的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由当a=3时，f（x）=lnx﹣x2﹣2x．求导f′（x）=﹣（x＞0），令f′（x）=0，解得：x=，∴x∈（0，）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，x∈（，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，∴f（x）的单调递增区间（0，），单调递减区间为（，+∞）；..…（6分）（Ⅱ）由∀a∈（﹣1，+∞），lnx﹣ax2﹣2x＜b恒成立，则b＞f（x）的最小值，…（7分）由函数h（a）=lnx﹣ax2﹣2x=﹣ax2﹣2x+lnx在（﹣1，+∞）上是减函数，∴h（a）＜h（﹣1）=x2﹣2x+lnx，∴b≥x2﹣2x+lnx，..…（8分）由∃x∈（1，e），使不等式b≥x2﹣2x+lnx成立，∴．…（10分）令g（x）=x2﹣2x+lnx，求导g′（x）=x﹣2﹣≥0，∴函数g（x）在（1，e）上是增函数，于是，故，即b的取值范围是…（12分）19．（12分）（2014•新余二模）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且4bsinA=a．（Ⅰ）求sinB的值；（Ⅱ）若a，b，c成等差数列，且公差大于0，求cosA﹣cosC的值．【分析】（I）已知等式利用正弦定理化简，求出sinB的值即可；（Ⅱ）由a，b，c成等差数列，利用等差数列的性质列出关系式，利用正弦定理化简得到①，设设cosA﹣cosC=x，②，①2+②2，得到③，由a，b，c的大小判断出A，B，C的大小，确定出cosA大于cosC，利用诱导公式求出cos（A+C）的值，代入③求出x的值，即可确定出cosA﹣cosC的值．【解答】解：（Ⅰ）由4bsinA=a，根据正弦定理得4sinBsinA=sinA，∵sinA≠0，∴sinB=；（Ⅱ）∵a，b，c成等差数列，∴2b=a+c，由正弦定理化简得：2sinB=sinA+sinC，即sinA+sinC=，①设cosA﹣cosC=x，②①2+②2，得2﹣2cos（A+C）=+x2，③又a＜b＜c，A＜B＜C，∴0＜B＜90°，cosA＞cosC，∴cos（A+C）=﹣cosB=﹣，代入③式得x2=，则cosA﹣cosC=．20．（12分）（2014•东昌区校级二模）已知函数f（x）=ax2﹣4bx+2alnx（a，b∈R）（Ⅰ）若函数y=f（x）存在极大值和极小值，求的取值范围；（Ⅱ）设m，n分别为f（x）的极大值和极小值，若存在实数，b∈（a，a），使得m﹣n=1，求a的取值范围．（e为自然对数的底）【分析】（I）由于定义域为（0，+∞）且y=f（x）存在极大值、极小值，所以f′（x）=0有两个不等的正实数根，从而可转化为二次方程根的分布问题，借助判别式、韦达定理可得不等式组，由此可得的取值范围；（II）由b∈（a，a）得a＞0，且（，），由（I）知f（x）存在极大值和极小值，设f′（x）=0的两根为x1，x2（0＜x1＜x2），则f（x）在（0，x1）上递增，在（x1，x2）上递减，在（x2，+∞）上递增，所以m=f（x1），n=f（x2），根据x1x2=1可把m﹣n表示为关于x1，a的表达式，且表达式为1，借助x1范围可得a的范围；【解答】解：（I）f′（x）=2ax﹣4b+=，其中x＞0，由于函数y=f（x）存在极大值和极小值，故方程f′（x）=0有两个不等的正实数根，即2ax2﹣4bx+2a=0有两个不等的正实数根，记为x1，x2，显然a≠0，所以，解得；（II）由b∈（a，a）得a＞0，且（，），由（I）知f（x）存在极大值和极小值，设f′（x）=0的两根为x1，x2（0＜x1＜x2），则f（x）在（0，x1）上递增，在（x1，x2）上递减，在（x2，+∞）上递增，所以m=f（x1），n=f（x2），因为x1x2=1，所以0＜x1＜1＜x2，而且=∈（，），由于函数y=x+在（0，1）上递减，所以，又由于，所以，所以m﹣n=f（x1）﹣f（x2）=﹣+4bx2﹣2alnx2=+2a（lnx1﹣lnx2）=﹣a（）+2aln，令t=，则m﹣n=﹣a（t﹣）+2alnt，令h（t）=﹣（t﹣）+2lnt（），所以h′（t）=﹣1﹣+=﹣≤0，所以h（t）在（）上单调递减，所以e﹣e﹣1﹣2＜h（t）＜e2﹣e﹣2﹣4，由m﹣n=ah（t）=1，知a=，所以．21．（12分）（2019•高安市校级模拟）已知函数f（x）=xlnx，g（x）=．（Ⅰ）记F（x）=f（x）﹣g（x），判断F（x）在区间（1，2）内零点个数并说明理由；（Ⅱ）记（Ⅰ）中的F（x）在（1，2）内的零点为x0，m（x）=min{f（x），g（x）}，若m（x）=n（n∈R）在（1，+∞）有两个不等实根x1，x2（x1＜x2），判断x1+x2与2x0的大小，并给出对应的证明．【分析】（Ⅰ）对F（x）求导，利用x∈（1，2）判定导函数的符号，进而得到函数的单调性，在利用零点存在定理进行证明．（Ⅱ）先由x的范围讨论f（x），g（x）的大小，确定之间的关系式m（x），在判断x1+x2与2x0的大小，可以利用分析法对其进行证明．【解答】解：由题意：F（x）=f（x）﹣g（x），那么：F（x）=xlnx﹣．定义域为（0，+∞）F′（x）=1+lnx+，由题设x∈（1，2），故F′（x）＞0，即F（x）在区间（1，2）上是增函数．（1，2）是单调增区间．那么：F（1）=ln1﹣=＜0，F（2）=2ln2﹣＞0，并且F（x）在（1，2）上连续的，故根据零点定理，有F（x）在区间（1，2）有且仅有唯一实根，即一个零点．（Ⅱ）记（Ⅰ）中的F（x）在（1，2）内的零点为x0，由f（x）=xlnx，当0＜x ≤1时，f（x）≤0，而g（x）=＞0，故f（x）＜g（x）；由（Ⅰ）可知F′（x）=1+lnx+，当x＞1时，F′（x）＞0，存在零点x0∈（1，2），不然有：F（x0）=f（x0）﹣g（x0）=0，故1＜x＜x0时，f（x）＜g（x）；当x ＞x0时，f（x）＞g（x）；而此得到m（x）=，显然：当1＜x＜x0时，m′（x）=1+lnx恒大于0，m（x）是单增函数．当x＞x0时，m′（x）=恒小于0，m（x）是单减函数．m（x）=n（n∈R）在（1，+∞）有两个不等实根x1，x2（x1＜x2），则x1∈（1，x0），x2∈（x0，+∞），显然：当x2→+∞时，x1+x2＞2x0．要证明x1+x2＞2x0，即可证明x2＞2x0﹣x1＞x0，而m（x）在x＞x0时是单减函数．故证m（x2）＜m（2x0﹣x1）．又由m（x1）=m（x2），即可证：m（x1）＜m（2x0﹣x1）．即x1lnx1＜，（构造思想）令h（x）=xlnx﹣，由（1＜x＜x0）．其中h（x0）=0，那么：h′（x）=1+lnx+﹣，记φ（t）=，则φ′（t）=，当t∈（0，1）时，φ′（t）＞0；当t＞1时，φ′（t）＜0；故φ（t）max=；而φ（t）＞0；故＞φ（t）＞0，而2x0﹣x＞0，从而有：＜0；因此：h′（x）=1+lnx+﹣＞0，即h（x）单增，从而1＜x＜x0时，h（x）＜h（x0）=0．即x1lnx1＜成立．故得：x1+x2＞2x0．[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）（2014•唐山一模）如图，AE是圆O的切线，A是切点，AD⊥OE于D，割线EC交圆O于B、C两点．（Ⅰ）证明：O，D，B，C四点共圆；（Ⅱ）设∠DBC=50°，∠ODC=30°，求∠OEC的大小．【分析】（Ⅰ）连结OA，则OA⊥EA．由已知条件利用射影定理和切割线定理推导出=，由此能够证明O，D，B，C四点共圆．（Ⅱ）连结OB．∠OEC+∠OCB+∠COE=180°，能求出∠OEC的大小．【解答】（Ⅰ）证明：连结OA，则OA⊥EA．由射影定理得EA2=ED•EO．由切割线定理得EA2=EB•EC，∴ED•EO=EB•EC，即=，又∠OEC=∠OEC，∴△BDE∽△OCE，∴∠EDB=∠OCE．∴O，D，B，C四点共圆．…（6分）（Ⅱ）解：连结OB．因为∠OEC+∠OCB+∠COE=180°，结合（Ⅰ）得：∠OEC=180°﹣∠OCB﹣∠COE=180°﹣∠OBC﹣∠DBE=180°﹣∠OBC﹣（180°﹣∠DBC）=∠DBC﹣∠ODC=20°．∴∠OEC的大小为20°．…（10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]23．（2019•衡水模拟）已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ2﹣4ρsinθ+2=0．（Ⅰ）把圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）将直线l向右平移h个单位，所得直线l′与圆C相切，求h．【分析】（Ⅰ）利用ρ2=x2+y2，y=ρsinθ，可把圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）将直线l向右平移h个单位，所得直线l′（t为参数），代入圆的方程，利用直线l′与圆C相切，建立方程，即可求h．【解答】解：（Ⅰ）∵ρ2﹣4ρsinθ+2=0，∴x2+y2﹣4y+2=0；（Ⅱ）将直线l向右平移h个单位，所得直线l′（t为参数），代入圆的方程可得2t2+2（h﹣12）t+（h﹣10）2+2=0，∵直线l′与圆C相切，∴△=4（h﹣12）2﹣8[（h﹣10）2+2]=0，即h2﹣16h+60=0，∴h=6或h=10．[选修4-5：不等式选讲]24．（2014•唐山一模）已知函数f（x）=|2x﹣a|+a，a∈R，g（x）=|2x﹣1|．（Ⅰ）若当g（x）≤5时，恒有f（x）≤6，求a的最大值；（Ⅱ）若当x∈R时，恒有f（x）+g（x）≥3，求a的取值范围．【分析】（Ⅰ）由g（x）≤5求得﹣2≤x≤3；由f（x）≤6可得a﹣3≤x≤3．根据题意可得，a﹣3≤﹣2，求得a≤1，得出结论．（Ⅱ）根据题意可得f（x）+g（x）≥|a﹣1|+a，f（x）+g（x）≥3恒成立，可得|a﹣1|+a≥3 由此求得所求的a的范围．【解答】解：（Ⅰ）当g（x）≤5时，|2x﹣1|≤5，求得﹣5≤2x﹣1≤5，即﹣2≤x≤3．由f（x）≤6可得|2x﹣a|≤6﹣a，即a﹣6≤2x﹣a≤6﹣a，即a﹣3≤x≤3．根据题意可得，a﹣3≤﹣2，求得a≤1，故a的最大值为1．（Ⅱ）∵当x∈R时，f（x）+g（x）=|2x﹣a|+|2x﹣1|+a≥|2x﹣a﹣2x+1|+a≥|a ﹣1|+a，f（x）+g（x）≥3恒成立，∴|a﹣1|+a≥3，∴a≥3，或．求得a≥3，或2≤a＜3，即所求的a的范围是[2，+∞）．。