单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义

已知任意角终边上除原点外的另外一点 , ，求角的正弦函数值和余弦函数值。
分析：如图设角的终边与单位圆交于点，则点
, ，且 = 1。点 , 在角的终边上，
则 = 2 + 2 ，分别过点, 作轴的垂线, ，
垂足为, ，易知△ ∽△ ，所以
点 , ，那么：
三角函数
的正弦函
数
的余弦函
数
定义
记法
符号表示
点的纵坐标

=
点的横坐标
=
概念剖析：
（1）是一个任意角，也就是实数（弧度数）所以，设是一个任意角实际上就
是说明它是一个任意的实数
（2）终边与单位圆的交点 , ，实际上给出了两对对应关系
2 11
,
3
6
上的最值。
例7、比较函数值的大小
（1）下列结论正确的是（ ）
A、400 > 50
B、220 < 590
C、130 > 500
D、 −40 < 310
（2）比较下列各组数的大小
6
6
①3, 4
② ,
对 点 练 习

1、在单位圆中， = − ：（1）画出角；（2）求角的正弦函数值和余弦函数
4
值。
2、若角的终边过点
1 3
,
2 2
，求，。
3、已知角的顶点为坐标原点，始边为轴的非负半轴，若 4, 是角终边上一
点，且 =
2 5
− ，求的值。
5
3、常见的特殊角的三角函数值
实数对应点的纵坐标，实数对应点的横坐标。
由于对于任意一个角，它的终边是唯一确定的，所以交点 , 唯一确定，也

6
探索研究
已知任意角 的终边与单位圆相交于点Px，y ，
请同学们思考回答点 P关于直线 y x 对称的
点的坐标是什么？
-1
公式六 :
y 1
P′(y,x)
P(x,y) 1
公式五:
si
n
(π 2
α
)
c o s α，
0 -1
x
c
os
(π 2
α
)
s i n α。
s
i
n
(π 2
α
)
c o s α，
cos
练习1 已知sin(/4+)=1/2,则sin(3/4-)的 值是 1/2 。
2 已知cos (750+)=1/3, 求cos(1050-)+cos(2850-) 0
例题与练习
3 已知角的终边上的一点P(3a,4a) (a<0) 则cos(5400-)的值是 3/5 。
4 cos(-8/3)+cos(+13/3)= 0 。
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一切立体图形中最美的是球形， 一切平面图形中最美的是圆形。
——— 毕达哥拉斯学派
圆是第一个最简单、最完美的图形。
—— 布龙克尔
一.复习回顾
任意角三角函数的定义
设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x， y)，那么：
（1）正弦sinα＝ y
y P(x,y)
sin y cos x
sin( ) y
tan y
x
cos( ) x
tan( ) y y
xx
公式三
sin( ) sin
cos( ) cos tan( ) tan

§4 正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式4．1 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义4．2 单位圆与周期性,)1．问题导航(1)角α的正弦值和余弦值都是唯一的吗？(2)正弦值、余弦值的符号变化有什么规律？(3)一个周期函数一定有最小正周期，对吗？2．例题导读2．例题导读P15例1.通过本例学习，学会根据角α的终边上一点的坐标，求角α的三角函数值．试一试：教材P23习题1－4 A组T1你会吗？P15例2.通过本例学习，学会在直角坐标系中作出已知角，并能求出其终边与单位圆的交点坐标．试一试：教材P17练习T4你会吗？1．任意角的正弦、余弦函数的定义如图所示，在直角坐标系中，作以坐标原点为圆心的单位圆，对于任意角α，使角α的顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆交于唯一的点P(u，v)，我们把点P的纵坐标v定义为角α的正弦函数，记作v＝sin_α；点P的横坐标u定义为角α的余弦函数，记作u＝cos_α．对于给定的角α，点P的纵坐标v、横坐标u都是唯一确定的，所以正弦函数、余弦函数都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标为函数值的函数．在给定的单位圆中，对于任意角α可以是正角、负角或是零角，所以，正弦函数v＝sin α，余弦函数u＝cos α的定义域为全体实数．2．正弦函数、余弦函数在各象限的符号象限三角函数第一象限第二象限第三象限第四象限sin α＋＋－－cos α＋－－＋3．终边相同的角的正、余弦函数(1)公式：sin(x＋k·2π)＝sin_x，k∈Z；cos(x＋k·2π)＝cos_x，k∈Z.(2)意义：终边相同的角的正弦函数值、余弦函数值分别相等．4．周期函数(1)定义：对于函数f(x)，如果存在非零实数T，对定义域内的任意一个x值，都有f(x ＋T)＝f(x)，则称f(x)为周期函数，T称为这个函数的周期．(2)正弦函数和余弦函数都是周期函数，它们的最小正周期均是2π.1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若sin α>0，则角α的终边在第一或第二象限．( )(2)若sin α＝sin β，则α＝β.( )(3)若sin(60°＋60°)＝sin 60°，则60°是正弦函数y＝sin x的一个周期．( )(4)若T是函数f(x)的周期，则kT，k∈N＋也是函数f(x)的周期．( )解析：(1)错误．因为sin α>0，所以角α的终边还有可能在y轴的正半轴上．(2)错误．正弦值相等，但两角不一定相等，如sin 60°＝sin 120°，但60°≠120°.(3)错误．举反例，sin(40°＋60°)≠sin 40°，所以60°不是正弦函数y＝sin x的一个周期．(4)正确．根据周期函数的定义知，该说法正确. 答案：(1)× (2)× (3)× (4)√2．若角α的终边与单位圆相交于点⎝ ⎛⎭⎪⎫22，－22，则sin α的值为( )A.22 B ．－22 C.12 D ．－12解析：选B.利用任意角三角函数的定义可知，点⎝⎛⎭⎪⎫22，－22到原点的距离为1，则sin α＝－221＝－22，故选B.3．对于任意的x ∈R 都有f (x ＋2)＝f (x )，则f (x )的一个周期为________． 解析：由周期函数的定义知f (x )的一个周期为2. 答案：2(答案不唯一)1．对正弦函数、余弦函数定义的理解(1)定义中，α是一个任意角，同时它也可以是一个实数(弧度数)．(2)角α的终边与单位圆O 交于点P (u ，v )，实际上给出了两个对应关系，即实数α(弧度)对应于点P 的纵坐标v ――→对应正弦实数α(弧度)对应于点P 的横坐标u ――→对应余弦(3)三角函数可以看成以实数为自变量，以单位圆上的点的坐标为函数值的函数．角与实数是一对一的．角和实数与三角函数值之间是多对一的，如图所示．(4)sin α是一个整体，不是sin 与α的乘积，单独的“sin ”“cos ”是没有意义的． 2．正弦函数、余弦函数定义的拓展上面利用单位圆，给出了任意角的正弦、余弦函数的定义，实际上，我们可以把这一定义进一步拓展，通过角的终边上任意一点的坐标来定义正弦、余弦函数．设α是一个任意角，α的终边上任意一点P 的坐标是(x ，y )，它与原点的距离是r (r ＝x 2＋y 2>0)，如下图，那么，比值y r 叫作α的正弦，记作sin α，即sin α＝y r；比值x r叫作α的余弦，记作cos α，即cos α＝x r.3．终边落在坐标轴上的角的正弦、余弦值利用正弦函数、余弦函数的定义可知，当α的终边落在坐标轴上时，正弦函数、余弦函数的取值情况如下表：函数名称终边位置正弦函数 余弦函数x 轴正半轴 0 1 x 轴负半轴 0 －1 y 轴正半轴 1 0 y 轴负半轴 －1 04.对周期函数的概念的理解(1)定义域：在周期函数y ＝f (x )中，T 是周期，若x 是定义域内的一个值，则x ＋kT 也一定属于定义域，因此周期函数的定义域一定是无限集．(2)“对定义域内的任意一个x ”这句话中“任意一个x ”的含义是指定义域内所有的x 值，即如果存在一个x 0，使f (x 0＋T )≠f (x 0)，那T 就不是函数f (x )的周期．(3)周期函数的周期有无限多个．若T 是周期，则对定义域中任意x ，总有f (x ＋kT )＝f (x ＋(k －1)T )＝f (x ＋(k －2)T )＝…＝f (x )都成立，即f (x ＋kT )＝f (x )，所以kT (k ∈Z ，k ≠0)也是周期．(4)值域：由于对定义域中任意x ，总有f (x ＋T )＝f (x )成立，则周期函数y ＝f (x )的值域与函数y ＝f (x )在一个周期内的值域相同．利用正、余弦函数的定义求值已知角α的终边落在射线y ＝2x (x ≥0)上，求sin α，cos α的值． (链接教材P 15例1)[解] 法一：设射线y ＝2x (x ≥0)与单位圆的交点为P (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝2x 0，x 20＋y 20＝1，x 0≥0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝55，y 0＝255，即P ⎝⎛⎭⎪⎫55，255，所以sin α＝y 0＝255，cos α＝x 0＝55. 法二：设点P (a ，2a )是角α终边上任意一点，其中a >0.因为r ＝|OP |＝a 2＋4a 2＝5a ，所以sin α＝y r ＝2a 5a ＝255，cos α＝x r ＝a 5a ＝55.本例中条件“角α的终边落在射线y ＝2x (x ≥0)上”若换为“ 角α的终边落在直线y ＝2x 上”，其他条件不变，其结论又如何呢？解：(1)若α终边在第一象限内，设点P (a ，2a )(a >0)是其终边上任意一点，因为r ＝|OP |＝a 2＋4a 2＝5a ，所以sin α＝y r ＝2a 5a ＝255，cos α＝x r ＝a 5a ＝55.(2)若α终边在第三象限内，设点P (a ，2a )(a <0)是其终边上任意一点，因为r ＝|OP |＝a 2＋4a 2＝－5a (a <0)，所以sin α＝y r ＝2a －5a ＝－255，cos α＝x r ＝a －5a ＝－55.方法归纳求任意角的三角函数值的两种方法方法一：根据定义，寻求角的终边与单位圆的交点P 的坐标，然后利用定义得出该角的正弦、余弦、正切值．方法二：第一步，取点：在角α的终边上任取一点P (x ，y )(P 与原点不重合)；第二步，计算r ：r ＝|OP |＝x 2＋y 2(r >0)；第三步，求值：由sin α＝y r ，cos α＝x r求值．1．(1)设角α的终边上有一点P (4，－3)，则2sin α＋cos α的值是( )A ．－25B ．25C ．－25或25D ．1(2)已知α是第二象限角，P (x ，5)为其终边上一点，且cos α＝24x ，则sin α＝________．(3)已知α的终边在直线3x ＋4y ＝0上，求sin α，cos α的值．解：(1)选 A.由三角函数的定义可知sin α＝－342＋（－3）2＝－35，cos α＝442＋（－3）2＝45，所以2sin α＋cos α＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＋45＝－25，故选A.(2)因为r ＝|OP |＝x 2＋5，所以cos α＝x x 2＋5＝24x .又因为α是第二象限角，所以x <0，所以x ＝－3，所以sin α＝5x 2＋5＝104.故填104.(3)因为α的终边在直线3x ＋4y ＝0上，所以在角α的终边上任取一点P (4t ，－3t )(t ≠0)，则x ＝4t ，y ＝－3t ，r ＝x 2＋y 2＝（4t ）2＋（－3t ）2＝5|t |，当t >0时，r ＝5t ，sin α＝y r ＝－3t 5t ＝－35，cos α＝x r ＝4t 5t ＝45；当t <0时，r ＝－5t ，sin α＝y r ＝－3t －5t ＝35，cos α＝x r ＝4t －5t ＝－45.综上可知，sin α＝－35，cos α＝45或sin α＝35，cos α＝－45.单位圆中的角在直角坐标系的单位圆中，已知α＝83π.(1)画出角α；(2)求出角α的终边与单位圆的交点坐标； (3)求出角α的正弦函数值． (链接教材P 15例2)[解] (1)因为α＝83π＝2π＋23π，所以角α的终边与23π的终边相同．如图，以原点为角的顶点，以x 轴非负半轴为角的始边，逆时针旋转83π，与单位圆交于点P ，则角α如图所示．(2)因为α＝83π，所以点P 在第二象限，由(1)知∠AOP ＝2π3，过点P 作PM ⊥x 轴于点M .则在Rt △OMP 中，∠OMP ＝π2，∠MOP ＝π3，OP ＝1，由直角三角形的边角关系，得OM ＝12，MP ＝32，所以得点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32.(3)根据正弦函数的定义有sin 8π3＝32.方法归纳(1)先将角α表示为α＝β＋2k π(－π<β≤π，k ∈Z )的形式，则角β的终边即为角α的终边，k 为x 轴的非负半轴逆(k >0)或顺(k <0)旋转的周数．(2)求角α与单位圆的交点坐标，应利用角α的特殊性转化为直角三角形的边角关系求解，进而即得角α的正弦、余弦值．2．(1)已知角α的终边和单位圆的交点为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－45，则sin α＝________，cos α＝________．(2)在直角坐标系的单位圆中，已知α＝－136π.①画出角α；②求出角α的终边与单位圆的交点坐标； ③求出角α的正弦、余弦值．解：(1)根据正弦函数和余弦函数的定义知，sin α＝－45，cos α＝35.故填－45和35.(2)①因为α＝－136π＝－2π－π6，所以角α的终边与－π6的终边相同，如图，以原点为角的顶点，以x 轴的非负半轴为角的始边，顺时针旋转136π，与单位圆交于点P ，则角α如图所示．②因为α＝－136π，所以点P 在第四象限．由①知，∠AOP ＝π6，过点P 作PM ⊥x 轴于点M ，则在Rt △MOP 中，∠OMP ＝π2，∠MOP ＝π6，OP ＝1，由直角三角形的边角关系，得OM ＝32，MP ＝12， 所以得点P 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫32，－12.③根据正弦、余弦函数的定义，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－136π＝－12， cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－136π＝32.判断三角函数值的符号及角所在象限判断符号：(1)sin 340°cos 265°；(2)若sin 2α>0，且cos α<0，试确定α所在的象限． [解] (1)因为340°是第四象限角，265°是第三象限角， 所以sin 340°<0，cos 265°<0.所以sin 340°cos 265°>0. (2)因为sin 2α>0，所以2k π<2α<2k π＋π(k ∈Z )，所以k π<α<k π＋π2(k ∈Z )．当k 为偶数时，设k ＝2m (m ∈Z )，有2m π<α<2m π＋π2(m ∈Z )；当k 为奇数时，设k ＝2m ＋1(m ∈Z )，有2m π＋π<α<2m π＋3π2(m ∈Z )．所以α为第一或第三象限角．又由cos α<0，可知α为第三象限角．方法归纳(1)三角函数值的符号可按以下口诀记忆：一全正，二正弦，三正切，四余弦(是正的)． (2)对于确定α角所在象限问题，应首先界定题目中所有三角函数的符号，然后依据上述三角函数的符号来确定角α所在的象限，则它们所在象限的公共部分即为所求．3．(1)若α是第二象限角，则点P (sin α，cos α)在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 (2)填空：①如果sin α>0，且cos α<0，则α是第________象限角； ②如果cos α>0，且sin α<0，则α是第________象限角； ③如果sin αcos α>0，则α是第________象限角； ④如果sin αcos α<0，则α是第________象限角．(3)判断下列各式的符号．①α是第四象限角，sin α·cos α；②sin 3·cos 4·cos ⎝⎛⎭⎪⎫－23π4.解：(1)选D.因为α是第二象限角， 所以cos α<0，sin α>0. 所以点P 在第四象限．(2)①二 ②四 ③一或三 ④二或四 (3)①因为α是第四象限角，所以sin α<0，cos α>0.所以sin α·cos α<0.②因为π2<3<π，π<4<3π2，所以sin 3>0，cos 4<0.因为－23π4＝－6π＋π4，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π4>0.所以sin 3·cos 4·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－234π<0.周期性及其应用已知函数f (x )在定义域R 上恒有： ①f (x )＝f (－x )，②f (2＋x )＝f (2－x )，当x ∈[0，4)时，f (x )＝－x 2＋4x . (1)求f (8)；(2)求f (x )在[0，2 015]内零点的个数． [解] (1)由已知：f (8)＝f (2＋6)＝f (2－6)＝f (－4)＝f (4)＝f (2＋2)＝f (2－2)＝f (0)＝0.(2)因为f (x )在定义域R 上恒有f (2＋x )＝f (2－x )， 所以f (x )＝f (4－x )对x ∈R 恒成立． 又f (x )＝f (－x )对x ∈R 恒成立．故有f (－x )＝f (4－x )对x ∈R 恒成立． 即4是f (x )的一个周期．因为x ∈[0，4)时，f (x )＝0的根为x ＝0， 所以f (x )＝0在R 上的根为x ＝4k ，k ∈Z .由0≤4k ≤2 015(k ∈Z )得0≤k ≤503.75(k ∈Z )． 所以f (x )在[0，2 015]内的零点共有504个．方法归纳(1)周期的定义是对定义域中每一个x 值来说的．如果只有个别的x 值满足f (x ＋T )＝f (x )，则不能说T 是f (x )的周期．(2)从等式f (x ＋T )＝f (x )来看，应强调自变量x 本身加的常数才是周期．如本题出现由f (x )＝f (4－x )得4是f (x )的一个周期是错误的．4．(1)设f (x )是以4为一个周期的函数，且当x ∈(－1，0)时，f (x )＝2x ＋1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72的值为( )A ．2B ．0C ．－1D ．－3(2)已知函数f (x )满足f (1)＝2，且f (x ＋1)＝－1f （x ）(f (x )≠0)对任意x ∈R 恒成立，则f (5)＝________．(3)已知f (x ＋a )＝－f (x )(a >0)，求证：f (x )是周期函数，并求出它的一个周期． 解：(1)选B.f (x )是以4为一个周期的函数， 所以4k (k ∈Z ，k ≠0)也是f (x )的周期． 所以f (x －4)＝f (x )，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72－4，从而f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12. 又当x ∈(－1，0)时，f (x )＝2x ＋1，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋1＝0. (2)因为f (x ＋1)＝－1f （x ），所以f (x ＋2)＝－1f （x ＋1），所以f (x ＋2)＝－1－1f （x ）＝f (x )，所以f (x )的周期为2，所以f (5)＝f (1)＝2.故填2.(3)因为f (x ＋2a )＝f [(x ＋a )＋a ]＝－f (x ＋a )＝ －[－f (x )]＝f (x )，所以f (x )是周期函数，且2a 是它的一个周期．易错警示 因不会挖掘隐含条件致误已知sin 2＝5，cos 2＝－5，试确定θ是第几象限角．[解] 因为sin θ2＝35>0，cos θ2＝－45<0，所以θ2是第二象限角．又因为sin θ2＝35<22＝sin 34π.所以2k π＋34π<θ2<2k π＋π(k ∈Z )，所以4k π＋32π<θ<4k π＋2π(k ∈Z )，所以θ是第四象限角．[错因与防范] (1)在解答过程中，往往只由sin θ2＝35，cos θ2＝－45，知θ2是第二象限角，忽略给出了具体函数值，而所给的具体函数值则隐含着θ2范围的条件．没有进一步缩小θ2的范围而出错．故而得出错误结果θ是第三象限角或第四象限角或终边落在y 轴非正半轴上的角．(2)确定角的范围，不仅要结合正、余弦函数值的符号，还要结合角的具体函数值缩小角的范围．5．下列各式：①sin(－100°)；②cos(－220°)；③cos π. 其中符号为负的个数有( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 解析：选D.－100°在第三象限， 故sin(－100°)<0；－220°在第二象限，故cos(－220°)<0； cos π＝－1<0.1．若60°角的终边上有一点P (4，a )，则a 的值为( ) A ．－4 3 B ．4 3 C ．2 3 D ．－2 3解析：选B.因为cos 60°＝416＋a 2＝12， 所以a 2＋16＝64，又因为a >0，所以a ＝4 3.2．当α为第二象限角时，|sin α|sin α－|cos α|cos α的值是________．解析：因为α为第二象限角，所以sin α>0，cos α<0.所以|sin α|sin α－|cos α|cos α＝sin αsin α－－cos αcos α＝2.答案：23．已知函数f (x )是周期函数，周期T ＝6，f (2)＝1，则f (14)＝________． 解析：f (14)＝f (2×6＋2)＝f (2)＝1. 答案：1[A.基础达标]1．cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－16π3的值为( ) A ．－32B ．32 C.12D ．－12解析：选D.－163π的终边与23π的终边重合，故cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－16π3＝cos 2π3＝－12.2．若α的终边过点(2sin 30°，－2cos 30°)，则sin α的值为( ) A.12 B ．－12 C ．－32D ．－33解析：选C.因为sin 30°＝12，cos 30°＝32，所以α的终边过点(1，－3)，所以r ＝1＋（－3）2＝2，所以sin α＝y r ＝－32，故选C. 3．y ＝sin x |sin x |＋|cos x |cos x的值域为( ) A ．{2，0} B ．{－2，0}C ．{2，－2}D ．{2，－2，0}解析：选D.x 为第一象限角时，y ＝2；x 为第二象限角时，y ＝0；x 为第三象限角时，y ＝－2；x 为第四象限角时，y ＝0；所以值域为{2，－2，0}．4．若点P 的坐标为(cos 2 015°，sin 2 015°)，则点P 在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选C.因为2 015°＝5×360°＋215°，所以角2 015°的终边在第三象限，所以cos 2 015°<0，sin 2 015°<0，所以点P 在第三象限．5．有下列命题：①存在函数f (x )定义域中的某个自变量x 0，使f (x 0＋T )＝f (x 0)，则f (x )为周期函数； ②存在实数T ，使得对f (x )定义域内的任意一个x ，都满足f (x ＋T )＝f (x )，则f (x )为周期函数；③周期函数的周期是唯一的．其中，正确命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选A.①由周期函数的定义，可知f (x ＋T )＝f (x )对定义域内的任意一个x 都成立，且T ≠0，故不正确；②由周期函数的定义可知T ≠0，故不正确；③若T 为周期，则f (x ＋2T )＝f [(x ＋T )＋T ]＝f (x ＋T )＝f (x )，所以2T 也是周期，故不正确．6．已知角α为第二象限角，则（sin α－cos α）2化简的结果为________．解析：因为角α为第二象限角，故sin α>0，cos α<0，因此（sin α－cos α）2＝|sin α－cos α|＝sin α－cos α.答案：sin α－cos α7．若α是第三象限角，则sin(cos α)·cos(sin α)____0.解析：因为α是第三象限角，所以－1<cos α<0，－1<sin α<0.所以sin(cos α)<0，cos(sin α)>0，所以sin(cos α)·cos(sin α)<0.答案：<8．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的非负半轴，若P (4，y )是角θ终边上一点，且sin θ＝－255，则y ＝________． 解析：r ＝x 2＋y 2＝16＋y 2，且sin θ＝－255，所以sin θ＝y r ＝y 16＋y 2＝－255，y <0，所以θ为第四象限角，解得y ＝－8.答案：－89．已知角α的终边过点P (－4m ，3m )(m ≠0)，求2sin α＋cos α的值． 解：①当m ＞0时，点P 在第二象限，|OP |＝5m ，有2sin α＋cos α＝6m 5m ＋－4m 5m ＝25；②当m ＜0时，点P 在第四象限，|OP |＝－5m ，有2sin α＋cos α＝6m －5m ＋－4m －5m ＝－25. 10．已知函数f (x )的定义域是R ，对任意实数x ，满足f (x ＋2)＝－f (x )，当x ∈[0，4)时，f (x )＝x 2＋2x .(1)求证：函数f (x )是周期函数；(2)求f (－7)．解：(1)证明：对任意实数x ，有f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝－f (x ＋2)＝－[－f (x )]＝f (x )．所以函数f (x )是周期函数．(2)由(1)知，函数f (x )的周期为4，所以f (－7)＝f (－7＋2×4)＝f (1)．因为当x ∈[0，4)时，f (x )＝x 2＋2x ，所以f (－7)＝f (1)＝3.[B.能力提升]1．已知点P (sin α，cos α)在第二象限，则角α的终边在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选D.因为P (sin α，cos α)在第二象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧sin α<0，cos α>0.由sin α<0，得α在第三或第四象限或y 轴非正半轴上，由cos α>0，得α在第一或第四象限或x 轴非负半轴上，所以α是第四象限角．2．已知角α终边经过点P (－8m ，－6cos 60°)且cos α＝－45，则m 的值为( ) A.12 B ．－12C ．－32 D ．32解析：选A.点P 的坐标可化为(－8m ，－3)，由r ＝（－8m ）2＋（－3）2＝64m 2＋9，由三角函数的定义知cos α＝x r ＝－8m 64m 2＋9＝－45. 即100m 2＝64m 2＋9，解得m ＝±12， 当m ＝－12时，点P 的坐标为(4，－3)，则cos α为正，不符合题意，故m ＝12. 3．已知定义在R 上的函数f (x )是以2为周期的奇函数，则方程f (x )＝0在[－2，2]上至少有________个实数根．解析：因为函数f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (0)＝0，又因为函数f (x )以2为周期，所以f (2)＝f (－2)＝f (0)＝0，且⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）＝－f （1），f （－1）＝f （1）， 解得f (－1)＝f (1)＝0，故方程f (x )＝0在[－2，2]上至少有5个实数根． 答案：54．设α是第二象限角，且|cos α2|＝－cos α2，则角α2是第________象限角． 解析：因为角α是第二象限角，所以2k π＋π2<α<2k π＋π(k ∈Z )， 所以k π＋π4<α2<k π＋π2(k ∈Z )， 当k 为偶数时，α2是第一象限角； 当k 为奇数时，α2是第三象限角， 又因为⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2＝－cos α2， 即cos α2<0， 所以α2是第三象限角． 答案：三5．已知角α的终边过点(3m －9，m ＋2)，且cos α<0，sin α>0，求m 的取值范围． 解：因为cos α<0，所以α的终边在第二或第三象限，或x 轴的非正半轴上．又因为sin α>0，所以α的终边在第一或第二象限，或y 轴的非负半轴上．所以α是第二象限角，即点(3m －9，m ＋2)在第二象限．所以⎩⎪⎨⎪⎧3m －9<0，m ＋2>0， 解得－2<m <3，即m 的取值范围是(－2，3)．6．(选做题)已知角α的顶点在原点，始边与x 轴的非负半轴重合，1|sin α|＝－1sin α，且lg(cos α)有意义．(1)试判断角α所在象限；(2)若角α的终边与单位圆相交于点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫35，m ，求m 的值及sin α的值． 解：(1)由1|sin α|＝－1sin α可知sin α<0，所以α是第三或第四象限角或终边在y 轴非正半轴上的角．由lg(cos α)有意义可知cos α>0，所以α是第一或第四象限角或终边在x 轴的非负半轴上的角．综上可知角α是第四象限角．(2)因为点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫35，m 在单位圆上， 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫352＋m 2＝1，解得m ＝±45. 又α是第四象限角，故m <0，从而m ＝－45. 由正弦函数的定义可知sin α＝－45.。

周期性
总结词
正弦函数和余弦函数都是周期函数，这意味 着它们的图像会重复出现。
详细描述
周期函数的定义是，如果存在一个非零常数 $T$，使得对于定义域内的所有$x$，都有 $f(x+T)=f(x)$，则称$f(x)$是周期函数， $T$是它的周期。对于正弦函数和余弦函数， 它们的周期是$2pi$。这意味着无论角度是 多少，正弦和余弦函数的值都会在一定的周 期内重复。
04
在$0^circ$到 $360^circ$之间，余弦 函数在$0^circ$、 $180^circ$处取得最大 值1和最小值-1。
正弦函数与余弦函数的比较
正弦函数和余弦函数有许多相似之处，如它们 都是周期函数，其值域也都为$[-1,1]$。
然而，它们在图像上呈现出不同的形态。正弦 函数的图像呈现正弦波的形状，而余弦函数的 图像呈现余弦波的形状。
正弦函数的周期性
正弦函数具有周期性，其周期 为2π。
在一个周期内，正弦函数呈 现出波形变化的特点，即随 着角度的增加，正弦值在-1
和1之间循环变化。
正弦函数的周期性是三角函数 的一个重要性质，在解决实际
问题中具有广泛的应用。
02
任意角的余弦函数定义
定义
1
任意角α的余弦函数定义为：cosα = x/r，其中x 是余弦函数在单位圆上对应的横坐标，r是单位圆 的半径。
乘积公式
总结词
乘积公式是正弦函数和余弦函数之间的另一种重要关 系，用于将两个角的正弦或余弦值的乘积转换为其他 角度的正弦或余弦值。
详细描述
乘积公式是三角函数中另一个重要的公式，它表示两个 角的正弦或余弦值的乘积可以通过已知的两个角的三角 函数值计算出来。具体来说，对于任意角α和β，有： sin α cos β=1/2[sin(α+β)+sin(α-β)]；cos α cos β=1/2[cos(α+β)+cos(α-β)]；sin α sin β=1/2[cos(αβ)-cos(α+β)]。这些公式在解决实际问题时也非常有用， 例如在信号处理和振动分析等领域。