古典概型、概率的基本性质【八大题型】
【题型1 古典概型】................................................................................................................................................3
【题型2 有放回与无放回问题的概率】................................................................................................................4
【题型3 概率基本性质的应用】............................................................................................................................6
【题型4 几何概型】................................................................................................................................................7
【题型5 古典概型与函数的交汇问题】..............................................................................................................10
【题型6 古典概型与向量的交汇问题】..............................................................................................................12
1 考点规范练55 几何概型
基础巩固
1.(2021全国Ⅰ,文7)在区间(0,12)随机取1个数,则取到的数小于13的概率为( )
A.34 B.23
C.13 D.16
答案:B
解析:所求事件的概率P=13-012-0=23.
2.若将一个质点随机地投入到如图所示的长方形ABCD中,其中AB=2,BC=1,则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是( )
A.π2 B.π4 C.π6 D.π8
答案:B
解析:所求概率为𝑆半圆𝑆长方形=12π·122×1=π4,故选B.
3.“今有池方一丈,葭生其中央,出水一尺,引葭赴岸,适与岸齐.问水深、葭长各几何?”其意思是:有一个正方形的池塘,池塘的边长为一丈,有一棵芦苇生长在池塘的正中央,露出水面一尺,若把它引向岸边,正好与岸边齐(如图所示),问水有多深?芦苇有多长?其中一丈为十尺.若从该芦苇上随机取一点,则该点取自水上的概率为( )
A.1213 B.113 C.314 D.213
答案:B
解析:设水深为x尺,根据勾股定理可得(x+1)2=x2+52,解得x=12,则水深12尺,芦苇长13尺. 2 根据几何概型概率公式可得,从该芦苇上随机取一点,该点取自水上的概率为P=113,故选B.
4.某人从甲地去乙地共走了500 m,途经一条宽为x m的河流,该人不小心把一件物品丢在途中,若物品掉在河里就找不到,若物品未掉在河里,则能找到,已知该物品能被找到的概率为45,则河宽大约为( )
A.80 m B.50 m
C.40 m D.100 m
答案:D
解析:由长度型的几何概型公式结合题意可知,河宽大约为500×(1-45)=100(m).
5.已知在△ABC中,∠ABC=60°,AB=2,BC=6,在BC上任取一点D,则使△ABD为钝角三角形的概率为( )
A.16 B.13
C.12 D.23
答案:C
解析:如图,当BE=1时,∠AEB为直角,则点D在线段BE(不包含B,E点)上时,△ABD为钝角三角形;当BF=4时,∠BAF为直角,则点D在线段CF(不包含C,F点)上时,△ABD为钝角三角形.故△ABD为钝角三角形的概率为1+26=12.
古典概型与几何概型
考纲要求
1.理解古典概型及其概率计算公式；2.会计算一些随机事件所包含的基本事件数及事件发生的概率；3.了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率；4.了解几何概型的意义．
知识梳理
1．古典概型
(1)基本事件的特点
①任何两个基本事件是互斥的．
②任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和．
(2)古典概型的定义
具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．
(3)古典概型的概率公式
P(A)＝A包含的基本事件的个数基本事件的总数.
2．几何概型
(1)几何概型的定义
如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，那么称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．
(2)几何概型的两个基本特点
(3)几何概型的概率公式
P(A)＝构成事件A的区域长度面积或体积试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积.
1．古典概型中的基本事件都是互斥的，确定基本事件的方法主要有列举法、列表法与树状图法．
2．概率的一般加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)中，易忽视只有当A∩B＝∅，即A，B互斥时，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，此时P(A∩B)＝0.
3．几何概型的基本事件的个数是无限的，古典概型中基本事件的个数是有限的．
诊断自测
1．判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型，其基本事件是“发芽与不发芽”．( )
(2)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个结果是等可能事件．( )
(3)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率．( )
(4)概率为0的事件一定是不可能事件．( )
答案 (1)× (2)× (3)√ (4)×
解析 对于(1)，发芽与不发芽不一定是等可能，所以(1)不正确；对于(2)，三个事件不是等可能，其中“一正一反”应包括正反与反正两个基本事件，所以(2)不正确；对于(4)，概率为0的事件有可能发生，所以(4)不正确．
第5讲 古典概型与几何概型
课标要求
考情分析
1.理解古典概型及其概率计算公式．
2．会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率．
3．了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率．
4．了解几何概型的意义. 古典概型是高考考查的热点，常与分布列结合考查，几何概型也是高考考查的热点，题型仍将是选择题或填空题．
核心素养：数学建模、直观想象
1．古典概型
(1)基本事件的特点
①任何两个基本事件是互斥的；
②任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和．
(2)古典概型的特点
(3)古典概型的概率公式
P(A)＝A包含的基本事件的个数基本事件的总数．
2．几何概型
(1)定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．
(2)特点
①无限性：试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个．
②等可能性：每个基本事件出现的可能性相等．
(3)几何概型的概率公式
P(A)＝构成事件A的区域长度（面积或体积）试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）. 【小题自测】
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)在一次试验中，其基本事件的发生一定是等可能的．( )
(2)基本事件的概率都是1n.若某个事件A包含的结果有m个，则P(A)＝mn.( )
(3)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形．( )
(4)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率．( )
答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)√
2．(教材改编)如图，矩形的长为6，宽为4，在矩形内随机撒300颗黄豆，数得落在椭圆外的黄豆数为96，以此试验数据为依据可以估计出椭圆的面积为( )
A．16.32 B．15.32
C．8.68 D．7.68
解析：选A.由题意，可估计椭圆的面积为1－96300×6×4＝16.32.故选A.
