第2章 控制系统的数学模型

二、一阶惯性环节（一阶滞后环节）
1、数学表达式 ：
2、特点 一阶惯性环节含有一个储能元件，输入 量的作用不能立即在输出端全部重现出来， 而是有一个延缓，即有惯性。 3、实例
例2-2 如图2-2所示的RC串联电路，以总电压ur 为输入，电容上电压uC为输出，试建立其微分方程。
图2-2 RC网络
解（1）确定系统的输入、输出变量，如图已知ur为输入，电 容电压uC为输出； （2）列微分方程组： 由基尔霍夫第二定律有： uR +uC =ur ① 由欧姆定律有： uR=R i ② 1 由电容充放电特性，有：uC= ∫idt ③ c （3）消去中间变量
n υ 他激直流电动
五、振荡环节（二阶滞后环节）
1、自动控制原理的研究对象是自动控制系统 的基本结构，这是本章的重点，要求通过实例掌 握自动控制系统各组成部分及其功能。 2、经典控制理论讨论的是按偏差进行控制的 反馈控制系统，应该了解其控制的目的、控制的 对象和控制的过程；熟悉对控制系统动态性能的 基本要求，即稳、快、准；为进一步掌握控制系 统的性能指标打好基础。
d n c(t ) d n 1c(t ) dc(t ) a0 a1 a n 1 a n c(t ) n n 1 dt dt dt d m r (t ) d m 1 r (t ) dr (t ) b0 b1 bm 1 bm r (t ) m m 1 dt dt dt
第2章 线性系统的数学模型
第2章 线性系统的数学模型
六、纯滞后环节（纯延迟环节）
表达式： c(t)=r(t-τ) 特点：输出比输入滞后一个时间τ。 实例：延时继电器。
2-2 传递函数
传递函数是线性定常连续系统最重要的数 学模型之一，是数学模型在复频域内的表示形 式。利用传递函数，不必求解微分方程就可以 求取初始条件为零的系统在任意形式输入信号 作用下的的输出响应，还可以研究结构和参数 的变化对控制系统性能的影响。经典控制理论 的主要研究方法——根轨迹分析法和频域分析 法都是建立在传递函数基础上的。

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自动控制原理
第二章 控制系统的数学模型
求取该电路在单位阶跃输入时的响应。 U c ( s) 1 G( s ) T RC U r ( s ) Ts 1
ur 1( t )
方法1
U c ( s ) G( s )U r ( s )
1
U r (s)
1 s
方法2
1 (Ts 1) s
1 t 1 g (t ) 1[G ( s)] e T T t uc (t ) g (t )ur ( )d
0 1 1 ( t ) t t 1 T 1 T e d e e T d 0T 0 T t
1 uc (t ) L [ ] (Ts 1) s T 1 1 1 L ( )L ( ) s Ts 1 1 e
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第二章 控制系统的数学模型
传递函数的求法
例2-1 方法一 R-L-C串联电路
d 2 uc ( t ) R duc ( t ) 1 1 uc ( t ) ur ( t ) 2 dt L dt LC LC传递Fra bibliotek数： G( s)
U c ( s) 1 U r ( s) LCs 2 RCs 1
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第二章 控制系统的数学模型
零、极点分布图
传递函数的零、极点分 布图： 将传递函数的零、 极点表示在复平面上的 图形。
零点用“o”表示 极点用“×”表示
j
1 -3 -2

-1
s2 G( s) = ( s 3)( s 2 2s 2)
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X (s) =
1 m1 s
[ Fi ( s ) − FD ( s ) − FK ( s )]
1
FK ( s ) = K1[ X ( s ) − X o ( s )]
1
FD ( s ) = Ds[ X ( s ) − X o ( s )]
1 m2 s
2
X o ( s) =
[ FK ( s ) + FD ( s ) − FK ( s )]
B(s) GK (s) = = G (s)G2 (s)H(s) 1 ε (s)
（4）输入信号作用下的闭环传递函数
令n(t)=0，此时在输入xi(t)作用下系统的闭环传 递函数为：
Xo1(s) G (s)G2 (s) 1 Φi (s) = = Xi (s) 1+ G (s)G2 (s)H(s) 1
（5）扰动信号作用下的闭环传递函数
【例1】简单R-C网络 【解】
ui (t ) − uo (t ) (1) i (t ) = R ∫ i(t )dt uo (t ) = C
(2)
U i ( s) − U o ( s) I ( s) = R U ( s ) = I ( s ) o sC
-
G1(s)
-
G2(s)G3(s) G4(s)+G5(s)
G6(s)
(b)
R(s) G1(s)
-
G2 (s)G3 (s) 1+ G2 (s)G3 (s)[G4 (s) + G5 (s)]
C(s)
G6(s)
(c)
R(s)
-
G1 (s)G2 (s)G3 (s) 1+ G2 (s)G3(s)[G4 (s) + G5 (s)]

L ddt
Ac ost
L
Asint
A 2 S2
2
另一种解法：
设xt Acost, xs A s
s2 2
x0 Acost A t0
Lddt xt sx(s) x0
Lddt Acost
s s2
s
2
A
A 2
S2 2
7已知f t cost- cos2t,求Fs。 8已知f t 2e-tsin2t,求Fs。 9已知f t te-2t ,求Fs。 10已知f t t n ,求Fs。
dt
2已知Fs
ss
4
2
, 求f
t
。
3已知Fs 1 ,求f 0、f 。
sa
3已知Fs 1 ,求f 0、f 。
sa
f 0
lims Fs s
lims s
s
1 a
1
f
lims s0
s
1 a
0
• Using the laplace transform methodes solve the differential equations
第二章控制系统的数学模型 例题
1已知f t d Acost,求Fs。
dt
2已知f t 3t 4e2t ,求Fs。
3已知f t e3tsin4t,求Fs。
t
4已知f t Acostdt,求Fs。
0
5已知f t sint ,求Fs。
6已知f t 8e-100t - 5e-200t ,求Fs。
G1
-1
- G2
N1
C
G2
C 1 G 2 G 3
N1 1 G 2 G1G 2G3