广东省汕头市金山中学2019届高三上学期开学摸底考试数学文试题

汕头市金山中学2023届高三第一学期摸底考试数 学一、单选题（1～8题）1．已知集合}4,3,2,1{=A ，}N log {2∈=x x B ，则B A =( )A ．}2,1{B ．}4,2{C ．}4,2,1{D ．}3{2．设复数z 满足i z i +=−2)1(，则||z =( )A ．210 B ．25 C ．10 D ．5 3．已知平面向量e b a ,,满足1||=e ，1=⋅e a ，2=⋅e b ，则||b a +的最小值为( )A ．1B ．23C ．2D ．34．等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若63=S ，216=S ，则9S =( )A ．27B ．45C ．18D ．365．若圆122=+y x 上总存在两个点到点)1,(a 的距离为2，则实数a 的取值范围是( )A ．)22,0()0,22(⋃−B ．)22,22(−C ．)1,0()0,1( −D ．)1,1(−6．已知3cos 1sin =−θθ，则θtan =( )A ．33B ．33− C ．3 D ．3−7．已知三棱锥ABC D −的顶点都在球O 的球面上，底面ABC ∆为等边三角形，且其所在圆1O 的面积为.6π 若三棱锥ABC D −的体积的最大值为39，则球O 的体积为( )A ．π3256B ．π6343C ．π256D ．π23438．设函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤−+>=0),4sin(0,ln )(x x x xxx f ππω有4个不同零点，则正实数ω的范围为( )A ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡413,49B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛413,49C ．⎥⎦⎤ ⎝⎛413,49 D ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡413,49 （9-12多选题）9．已知不等式02<++c bx ax 的解集为1{−<x x 或}3>x ，则下列结论正确的是( )A ．0<aB ．0>++c b aC ．0>cD ．02<+−a bx cx 的解集为31|{−<x x 或}1>x10．函数)0(cos sin )(=/+=a x a x x f 在一个周期内的图象可以是( )11．下列判断，正确的选项有( )A ．若)(x f 的图象关于点)0,(a 对称)(kx a f −是奇函数)0(=/kB ．曲线)21()22(x f x f y −+−=的图象关于直线21=x 对称；C ．函数)(x f 定义在R 上的可导函数，其导函数)('x f 为奇函数，则)(x f 为偶函数．D ．函数)(x f 定义在R 上的可导函数，导函数)('x f ，且)23('+x f 是偶函数，则)(x f 的图象关于点))2(,2(f 对称．12．如图，正方形ABCD 中，a CD =，EC DE 3=，将ADE ∆沿AE翻折到AEP ∆位置，点∉P 平面ABCD 内，记二面角C AB P −−大 小为θ，在折叠过程中，满足下列什么关系( )A ．四棱锥ABCE P V −最大值为83aB ．角θ可能为61°C ．1615tan ≤θD ．773tan ≤θ二、填空题13．已知向量)3,1(=a ，),6(m b −=，且()b a a +//，则m = .14．如图，发电厂的冷却塔外形是由双曲线的一部分绕其虚轴所在的直线旋转所得到的曲面，该冷却塔总高度为70米， 水平方向上塔身最窄处的半径为20米，最高处塔口半径25米，塔底部塔口半径为220米，则该双曲线的离心率为 ____．15．已知b a x a x x f ++−+=3)2()(2，若存在常数a ，使0)(≥x f 恒成立，则b 的取值范围是 .16．直线l 过抛物线)0(22>=p px y 的焦点)0,1(F 且与抛物线交于B A 、两点，则||2||BF AF −的最小值为 .三、解答题（17题10分，其余每题各12分）17．记n S 为数列}{n a 的前n 项和，已知n n na S n n +−=21)证明：}{n a 是等差数列；2)若641,,a a a 成等比数列，求nS n 9+的最小值．18．设ABC ∆的三个内角C B A ,,所对的边分别为,,,c b a 且ABC S B ac c ∆+⋅=2cos 332. 1)求角A 的大小；2)若2=a ，求c b +的取值范围．19．全国中学生生物学竞赛隆重举行．为做好考试的评价工作，将本次成绩转化为百分制，现从中随机抽取了50名学生的成绩，经统计，这批学生的成绩全部介于40至100之间，将数据按照[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图．(1)求频率分布直方图中m 的值，并估计这50名学生成绩的中位数；(2)在这50名学生中用分层抽样的方法从成绩在[70，80)，[80，90)，[90，100]的三组中抽取了11人，再从这11人中随机抽取3人，记ξ为3人中成绩在[80，90)的人数，求ξ的分布列和数学期望；20．如图，在四棱锥ABCD P −中，底面ABCD 正方形，平面⊥PAB 底面ABCD ，平面⊥PAD 底面ABCD ，AD PA 2=，H F E ,,分别是 AB PD PA ,,的中点，G 为DF 的 中点．1)证明：//GH 平面BEF ；2)求PC 与平面BEF 所成角的正弦值．21．已知1F 为椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的左焦点，直线b y 22=与C 交于B A ,两点，且1ABF ∆的周长和面积分别是244+和2． 1)求椭圆C 的方程；2)如图，若)1,2(P 关于原点的对称点为Q ，不经过P 且斜率为21的直线l 与C 交于点,,E D 直线PD 与QE 交于点M ，证明点M 在定直线上．22．已知函数2)(−−=x ae x f x，和2)]2(ln[)(++−=x a x x g ,1)若)(x f 与)(x g 有相同的最小值，求a 的值；2)设2ln 2)()()(−++=a x g x f x F 有两个零点，求a 的取值范围．数学参考答案单选1～8题 C A D B A C B A（9～12多选题）9．ABC 10．AC 11．ACD 12．AD-18，5， 15−≥b 222−17．1)由已知n n na S n n +−=2① )2(1)1()1(211≥−+−−−=∴−−n n n a n S n n ② 由①-②，得)1(2)1(1−−−−=−n a n na a n n n 即)1(2)1()1(1−=−−−−n a n a n n n21=−∴−n n a a ，2≥n 且*N n ∈ {}n a ∴是以2为公差的等差数列． ………………5分(2)由(1)可得614+=a a ，1016+=a a 641,,a a a 成等比数列，6124a a a =∴即)10()6(1121+=+a a a ，解得181−=an n n n n S n 1922)1(182−=⨯−+−=∴ 13199219991992−=−⋅≥−+=+−=+∴nn n n n n n n S n当且仅当nn 9=，即3=n 时，n S n 9+的最小值为-13 ……………………………10分18．解：1）在ABC ∆中，A bc S ABC sin 21=∆. ……………………………1分 A bc B ac S B ac c ABCsin cos 32cos 332+⋅=+⋅=∴∆，0=/c ，A b B a c sin cos 33+=∴ ……………………………2分由正弦定理A B B A C sin sin cos sin 3sin 3+=∴ ……………………………3分 )sin(sin B A C += A B B A sin sin sin cos 3=∴0sin =/B ，A A sin cos 3=∴ 3tan =∴A ，…………………………4分π<<A 0 ，3π=∴A ……………………………5分2）342322sin sin sin =====R C c B b A a，…………………………7分 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡−+=+=+∴)32sin(sin 34)sin (sin 34B B C B c b π )6sin(4π+=B ……………………………10分320π<<B 6566πππ<+<∴B ， ………………………11分 4)6sin(42≤+<∴πB ，当3π=B 取得最大值∴所求的.42≤+<c b ………………………12分19．1)由频率分布直方图的性质可得，110)004.0028.003.0022.0004.0(=⨯+++++m ， 设中位数为a ，5.03.0)60(10022.010004.0=⨯−+⨯+⨯∴a 解得68=a ．………4分 2)]100,90[),90,80[),80,70[ 的三组频率之比为0.28：0.12：0.04=7：3：1∴从]100,90[),90,80[),80,70[中分别抽取7人，3人，1人，………………………6分ξ所有可能取值为0，1，2，3，……………………7分16556)0(31138===C C P ξ，5528)1(3111328===C C C P ξ，558)2(3112318===C C C P ξ，1651)3(31133===C C P ξ 故ξ的分布列为：ξ 01 2 3P16556 5528 558 1651 ……………………10分故.11916513558255281165560)(=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE ………………………12分20．1)如图，取AE 中点M ，连接F E MH MG ,,, 分别是PD PA ,的中点，AD EF //∴，又M G ,分别是AE DF ,的中点，AD EF MG ////∴，⊂/MG 平面⊂EF BEF ,平面BEF ，//MG ∴平面BEF ，同理，H M ,分别是AB AE ,的中点，⊂/∴MH EB MH ,//平面BEF ，⊂EB 平面//,MH BEF ∴平面BEF ，又M MH MG =⋂ ，⊂MG 平面⊂MH MHG ,平面∴,MHG 平面//MHG 平面⊂GH BEF ,平面MHG ，//GH ∴平面BEF ，……………………………………6分2）先证⊥PA 平面ABCD ………………………………7分如图，以A 为坐标原点，AP AD AB ,,的方向分别为z y x ,,轴的正方向建立空间直角坐标系xyz A −，设2=AB ，则)2,1,0(),2,0,0(),4,0,0(),0,2,2(),0,0,2(F E P C B ，可得)2,0,2(−=BE ，)2,1,2(−=BF ，)4,2,2(−=PC …………………………8分设平面BEF 的法向量为),,(z y x m =，可得⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0BF m BE m ，即⎩⎨⎧=++−=+−022022z y x z x ，令1=x ，得)1,0,1(=m ，………………………………10分 故636222||||,cos −=⨯−=⋅⋅>=<PC m PC m PC m ， 即PC 与平面BEF 所成角的正弦值为63．……………………12分21．(1)解：将b y 22=代入)0(1:2222>>=+b a by a x C 中，解得a x 22±=，则a AB 2||=，……………………1分所以1ABF ∆的面积为2222221==⨯⨯ab b a ，所以4=ab . ① ……………………2分设C 的右焦点为1F ，连接2AF ，由椭圆的对称性可知||||21AF BF =，所以1ABF ∆的周长为a AF AF AB BF AF AB )22(||||||||||||2111+=++=++，所以244)22(+=+a ，② 由①②解得2,22==b a ，……………………4分所以C 的标准方程为12822=+y x . …………………………5分 (2)解：设),(),,(2211y x E y x D ，直线l 的方程为m x y +=21，0=/m ，联立直线l 与椭圆C的方程，并消去y 得042222=−++m mx x ，则0)42(4422>−−=∆m m ，得22<<−m 且0≠m ，且m x x 221−=+，…………7分22121212111111−+=−−+=−−=x m x m x x y k PD ，22121212122222++=+++=++=x mx m x x y k QE ， 所以直线PD 的方程为)2(22111−⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=−x x m y ，即2222111−−⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−+=x mx x m y ， 直线QE 的方程为)2(22112+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=+x x m y ，即2222122++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=x m x x m y ，……9分 联立直线PD 与直线QE 的方程，得2222222121++−=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+−−x m x m x x m x m ， 得4)(22121−−+−=x x x x x M ，2222111−−⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−+=x m x x m y M M ，所以)(2422221212111x x x x x m x m x y M M +−−⋅−+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−+= ))(2(4221))(2()4()(2121112112121x x x x m x x x x x x x m +−−⋅+=+−−−+++=.2122121−=++=x x m 所以M M x y 21−=，即点M 在定直线02=+y x 上. ……………………12分22．解：1）2)(−−=x ae x f x ，01)('=−=xae x f当0≤a 时，)(,0)('x f x f <单调递减，无最值，0>∴a ，得ae x1=说单调…1ln )ln ()(min −=−=a a f x f …………………………………2分 说单调…a g x g ln 1)1()(min −=−= …………………………3分 依题a a ln 11ln −=− e a =∴ ……………………………4分 2）)2(2ln )2ln()(−>−++−=x a x ae x F x21)('+−=x ae x F x ，令0)('=x F ，2100+=x ae x，……………………………6分 ),2ln(2)2(212ln )2ln()()(00000min 0+−+−+=−++−==x x x a x ae x F x F x12,0)(00>+∴<x x F …………………………8分又1)2ln(22ln 00>+++=+−x x a 1ln <∴a ，得.0e a << ………………………9分0)(0<x F ，0)2(,0)10(ln2>−>eaF a F )(x F ∴在),2(0x x −∈与),(0∞+∈x x 各有一个零点．……………………………11分 ∴所以所求的.0e a << ……………………………12分。

2019届广东省汕头市金山中学 高三上学期期中考试 数学（理）试题数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、单选题1．若集合M ={x|x 2−x <0}，N ={y|y =a x(a >0,a ≠1)}，R 表示实数集，则下列选项错误的是A ．M ∩N =MB ．M ∪N =RC ．M ∩C R N =ϕD ．∁R M ∪N =R 2．设复数z 1，z 2在复平面内对应的点关于实轴对称，若z 1=1+3i1−i，则z 1+z 2等于 A ．4i B ．−4i C ．2 D ．−23．已知P 、M 、N 是单位圆上互不相同的三个点,且满足|PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |，则PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值是A ．−14 B ．−12 C ．−34 D ．−14．如图所示，某地一天6~14时的温度变化曲线近似满足函数，则这段曲线的函数解析式可以为（ ）A ．,B ．,C ．,D ．,5．函数f(x)=x 2−2e |x|的图象大致是A ．B ．C ．D ．6．命题：p ：∃x 0∈R ，x 4−x 2+1<0；命题q ：∀α，β∈R ，sinα−sinβ≤sin(α−β)，则下列命题中的假命题为A ．p ∨(￢q)B ．(￢p)∨(￢q)C ．(￢p)∧(￢q)D ．p ∧q7．设x ，y 满足约束条件{3x −y −6≤0x −y +2≥0x ≥0,y ≥0 若目标函数z =ax +y(a >0)的最大值为18，则a 的值为A ．3B ．5C ．7D ．9 8．已知函数()2sin 4f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（0ω>）的图象在区间[]0,1上恰有3个最高点，则ω的取值范围为A ．1927,44ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B ．913,22ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C ．1725,44ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．[)4,6ππ 9．如图1所示，是一个棱长为2的正方体被削去一个角后所得到的几何体的直观图，其中11DD =， 12AB BC AA ===，若此几何体的俯视图如图2所示，则可以作为其正视图的是此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号A ．B ．C ．D ．101111ABCD A B C D -内部有一圆柱，此圆柱恰好以直线1AC 为轴，则该圆柱侧面积的最大值为A．8 B．4C． D． 11．已知函数()ln f x ax e x =+与()2ln x g x x e x=-的图象有三个不同的公共点,其中e 为自然对数的底数,则实数a 的取值范围为A ．a e <-B ．1a >C ．a e >D ．3a <-或1a >12．记{}min ,,a b c 为,,a b c 中的最小值，若,x y 为任意正实数，则11min 2,,M x y y x ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭的最大值是A．1 B ．2 C．2+ D二、填空题13．如图所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点M ．则点M 恰好取自阴影部分的概率是 ．14．向量a ⃗ ,b ⃗ ,c ⃗ 满足：|a ⃗ |=4，|b ⃗ |=4√2，b ⃗ 在a ⃗ 上的投影为4，(a ⃗ −c ⃗ )⋅(b ⃗ −c ⃗ )=0，则b ⃗ ⋅c ⃗ 的最大值是______．15．数列{a n }且a n ={1n 2+2n,n 为奇数sinnπ4,n 为偶数，若S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 2018=______．16．已知函数f(x)(x ∈R)满足f(x)+f(−x)=6，函数g(x)=2x−3x−1+xx+1，若曲线y =f(x)与y =g(x)图象的交点分别为(x 1,y 1)，(x 2,y 2)，…，(x m ,y m ).则∑(m i=1x i +y i )=______三、解答题17．已知等差数列{a n }的公差为d ，且关于x 的不等式a 1x 2−dx −3<0的解集为(−1,3)， (Ⅰ)求数列{a n }的通项公式；(Ⅱ)若b n =2(a n +12)+a n ，求数列{b n }前n 项和S n ．18．如图，在ΔABC 中，内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c ，且2acosC −c =2b ．（1）求角A 的大小；（2）若∠ABC =π6，AC 边上的中线BD 的长为√35，求∆ABC 的面积． 19．已知函数f(x)=|x −1|+|x −3|． （1）解不等式f(x)≤x +1；（2）设函数f(x)的最小值为c ，实数a ，b 满足a >0,b >0,a +b =c ，求证：a 2a+1+b 2b+1≥1．20．四棱锥S −ABCD 的底面ABCD 为直角梯形，AB//CD ，AB ⊥BC ，AB =2BC =2CD =2，△SAD 为正三角形．(Ⅰ)点M 为棱AB 上一点，若BC//平面SDM ，AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，求实数λ的值； (Ⅱ)若BC ⊥SD ，求二面角A −SB −C 的余弦值．21．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 1：(x ＋3)2＋(y －1)2＝4和圆C 2：(x －4)2＋(y －5)2＝4.(1)若直线l过点A(4，0)，且被圆C1截得的弦长为l的方程；(2)设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2，它们分别与圆C1和圆C2相交，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标．22．已知函数f(x)=(x+b)(e x−a)，(b>0)，在(−1,f(−1))处的切线方程为(e−1)x+ ey+e−1=0.（1）若n≤0，证明：f(x)≥nx2+x；（2）若方程f(x)=m有两个实数根x1，x2，且x1<x2，证明：x2−x1≤1+m(1−2e)1−e ..。

好教育云平台 名校精编卷 第1页（共6页） 好教育云平台 名校精编卷 第2页（共6页）2019届广东省汕头市金山中学 高三上学期期中考试 数学（理）试题 数学 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

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4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、单选题 1．若集合M ={x|x 2−x <0}，N ={y|y =a x (a >0,a ≠1)}，R 表示实数集，则下列选项错误的是 A ．M ∩N =M B ．M ∪N =R C ．M ∩C R N =ϕ D ．∁R M ∪N =R 2．设复数z 1，z 2在复平面内对应的点关于实轴对称，若z 1=1+3i 1−i ，则z 1+z 2等于 A ．4i B ．−4i C ．2 D ．−2 3．已知P 、M 、N 是单位圆上互不相同的三个点,且满足|PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |，则PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值是 A ．−14 B ．−12 C ．−34 D ．−1 4．如图所示，某地一天6~14时的温度变化曲线近似满足函数，则这段曲线的函数解析式可以为（ ）A ．,B ．,C ．,D ．, 5．函数f(x)=x 2−2e |x|的图象大致是 A ． B ． C ． D ． 6．命题：p ：∃x 0∈R ，x 4−x 2+1<0；命题q ：∀α，β∈R ，sinα−sinβ≤sin(α−β)，则下列命题中的假命题为 A ．p ∨(￢q) B ．(￢p)∨(￢q) C ．(￢p)∧(￢q) D ．p ∧q 7．设x ，y 满足约束条件{3x −y −6≤0x −y +2≥0x ≥0,y ≥0 若目标函数z =ax +y(a >0)的最大值为18，则a 的值为 A ．3 B ．5 C ．7 D ．9 8．已知函数()2sin 4f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（0ω>）的图象在区间[]0,1上恰有3个最高点，则ω的取值范围为 A ．1927,44ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B ．913,22ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C ．1725,44ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ．[)4,6ππ 9．如图1所示，是一个棱长为2的正方体被削去一个角后所得到的几何体的直观图，其中11DD =， 12AB BC AA ===，若此几何体的俯视图如图2所示，则可以作为其正视图的是 此卷只装订不密封班级姓名准考证号考场号座位号好教育云平台 名校精编卷 第3页（共6页）好教育云平台 名校精编卷 第4页（共6页）A ．B ．C ．D ．10．已知棱长为3的正方体1111ABCD A B C D -内部有一圆柱，此圆柱恰好以直线1AC 为轴，则该圆柱侧面积的最大值为A ．928πB ．924π C ．23π D ．32π11．已知函数()ln f x ax e x =+与()2ln x g x x e x =-的图象有三个不同的公共点,其中e 为自然对数的底数,则实数a 的取值范围为A ．a e <-B ．1a >C ．a e >D ．3a <-或1a >12．记{}min ,,a b c 为,,a b c 中的最小值，若,x y 为任意正实数，则11min 2,,M x y y x ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭的最大值是A ．12+B ．2C ．22+D ．3二、填空题13．如图所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点M ．则点M 恰好取自阴影部分的概率是 ．14．向量a ⃗ ,b ⃗ ,c ⃗ 满足：|a ⃗ |=4，|b ⃗ |=4√2，b ⃗ 在a ⃗ 上的投影为4，(a ⃗ −c ⃗ )⋅(b ⃗ −c ⃗ )=0，则b ⃗ ⋅c ⃗ 的最大值是______．15．数列{a n }且a n ={1n 2+2n ,n 为奇数sin nπ4,n 为偶数，若S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 2018=______．16．已知函数f(x)(x ∈R)满足f(x)+f(−x)=6，函数g(x)=2x−3x−1+x x+1，若曲线y =f(x)与y =g(x)图象的交点分别为(x 1,y 1)，(x 2,y 2)，…，(x m ,y m ).则∑(m i=1x i +y i )=______ 三、解答题 17．已知等差数列{a n }的公差为d ，且关于x 的不等式a 1x 2−dx −3<0的解集为(−1,3)， (Ⅰ)求数列{a n }的通项公式； (Ⅱ)若b n =2(a n +12)+a n ，求数列{b n }前n 项和S n ． 18．如图，在ΔABC 中，内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c ，且2acosC −c =2b ． （1）求角A 的大小； （2）若∠ABC =π6，AC 边上的中线BD 的长为√35，求∆ABC 的面积． 19．已知函数f(x)=|x −1|+|x −3|． （1）解不等式f(x)≤x +1； （2）设函数f(x)的最小值为c ，实数a ，b 满足a >0,b >0,a +b =c ，求证：a 2a+1+b 2b+1≥1． 20．四棱锥S −ABCD 的底面ABCD 为直角梯形，AB//CD ，AB ⊥BC ，AB =2BC =2CD =2，△SAD 为正三角形． (Ⅰ)点M 为棱AB 上一点，若BC//平面SDM ，AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，求实数λ的值； (Ⅱ)若BC ⊥SD ，求二面角A −SB −C 的余弦值． 21．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 1：(x ＋3)2＋(y －1)2＝4和圆C 2：(x －4)2＋(y －5)2＝4.好教育云平台 名校精编卷 第5页（共6页） 好教育云平台 名校精编卷 第6页（共6页）(1)若直线l 过点A(4，0)，且被圆C 1截得的弦长为3l 的方程；(2)设P 为平面上的点，满足：存在过点P 的无穷多对互相垂直的直线l 1和l 2，它们分别与圆C 1和圆C 2相交，且直线l 1被圆C 1截得的弦长与直线l 2被圆C 2截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P 的坐标．22．已知函数f(x)=(x +b)(e x −a)，(b >0)，在(−1,f(−1))处的切线方程为(e −1)x +ey +e −1=0.（1）若n ≤0，证明：f(x)≥nx 2+x ；（2）若方程f(x)=m 有两个实数根x 1，x 2，且x 1<x 2，证明：x 2−x 1≤1+m(1−2e)1−e ..好教育云平台 名校精编卷答案 第1页（共14页）好教育云平台 名校精编卷答案 第2页（共14页）2019届广东省汕头市金山中学高三上学期期中考试 数学（理）试题数学 答 案参考答案1．B【解析】【分析】先化简M ，N ，再根据集合的运算和集合的之间的关系即可求出.【详解】∵集合M ={x|x 2−x <0}=(0,1)，N ={y|y =a x (a >0,a ≠1)}=(0，+∞)，∴M ∩N =M ，M ∪N =(0,+∞)，∁R N =(−∞,0]，∁R M =(−∞,0]∪[1,+∞)，∴ M ∩C R N =ϕ，∁R M ∪N =R 故选：B ．【点睛】本题考查集合的运算及包含关系的判断及应用，属于基础题．2．D【解析】【分析】利用复数的运算法则可得：z 1，再利用几何意义可得z 2．【详解】z 1=1+3i 1−i =(1+3i)(1+i)(1−i)(1+i)=−2+4i 2=−1+2i ，∵复数z 1，z 2在复平面内对应的点关于实轴对称，∴z 2=−1−2i ，则z 1+z 2=−2．故选：D ．【点睛】本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．B【解析】试题分析：解：根据题意，不妨设点P 的坐标为(1,0),点M 的坐标为(cosθ,sinθ),点N 的坐标为,其中0<θ<π则PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(cosθ−1,sinθ),PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(cosθ−1,−sinθ)所以PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(cosθ−1,sinθ)⋅(cosθ−1,−sinθ)=(cosθ−1)2−sin 2θ =cos 2θ−2cosθ+1−sin 2θ=2cos 2θ−2cosθ=2(cosθ−12)2−12 所以当cosθ=12时，PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 有最小值−12 考点：1、单位圆与三角函数的定义；2、向量的数量积；3、一元二次函数的最值问题. 4．A 【解析】由于()2214616,8ππωω=-==， ()13010102A =-=， 20b =， 10sin 208y x πφ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，过点()14,30有： 3010sin 14208πφ⎛⎫=⨯++ ⎪⎝⎭， 7sin 14πφ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，7242k ππφπ+=+， 52,4k k Z πφπ=-∈，取31,4k πφ==， 得310sin 2084y x ππ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭符合题意，选A. 5．D 【解析】 【分析】 根据函数的奇偶性和代入特殊点即可选出答案． 【详解】 函数f(x)=x 2−2e |x|，可得f(−x)=f(x)，可知f(x)是偶函数，排除A ； e |x|>0，当x 2−2=0时，即x =±√2时，f(x)有两个零点，x =0时，可得f(0)=−2.；排除B ； 当x >√2或x <−√2时，可得e |x|>x 2−2，图象逐渐走低； 故选：D ． 【点睛】 本题主要考查了函数奇偶性及图象变换，属于中档题． 6．D 【解析】 【分析】 利用配方法求得x 4−x 2+1>0说明p 为假命题，举例说明q 为假命题，再由复合命题的真假判断得答案． 【详解】好教育云平台 名校精编卷答案 第3页（共14页）好教育云平台 名校精编卷答案 第4页（共14页）∵x 4−x 2+1=(x 2−12)2+34>0，∴命题p 为假命题；∀α，β∈R ，sin(α−β)=sin α−sin β不正确，比如α=90∘，β=−90∘，sinα−sinβ=2，而sin(α−β)=0，故命题q 为假命题，则p ∨(￢q)为真命题；(￢p)∨(￢q)为真命题；(￢p)∧(￢q)为真命题；p ∧q 为假命题． 故选：D ．【点睛】本题主要考查了复合命题的真假判断与应用，考查利用配方法求函数的最值，考查三角函数值的大小判断，属于中档题．7．A【解析】【分析】由线性约束条件画出可行域，然后结合目标函数的最大值，求出a 的值．【详解】画出约束条件{3x −y −6≤0x −y +2≥0x ≥0,y ≥0的可行域，如图：目标函数z =ax +y(a >0)最大值为18，即目标函数z =ax +y(a >0)在{x −y +2=03x−y−6=0 的交点M(4,6)处，目标函数z 最大值为18，所以4a +6=18，所以a =3．故选：A ．【点睛】本题主要考查了线性规划问题，作出可行域是解题的关键，属于中档题.8．C 【解析】因为函数()2sin 4f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（0ω>）的图象在区间[]0,1上恰有3个最高点，所以172541624244ππππππωπω+≤⨯+<+⇒≤< ， ω的取值范围为1725,44ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭，故选C.【方法点晴】本题主要考查三角函数的图象、三角函数的周期性，属于难题．三角函数的图象与性质是高考考查的热点之一，在复习时要注意基础知识的理解与落实．三角函数的性质由函数的解析式确定，在解答三角函数性质的综合试题时要抓住函数解析式这个关键，在函数解析式较为复杂时要注意使用三角恒等变换公式把函数解析式化为一个角的一个三角函数形式，然后利用正弦（余弦）函数的性质求解． 9．C 【解析】由题意，根据该几何体的直观图和俯视图知，其正视图的长应为底面正方形的对角线长，宽应为正方体的棱长，故排除B ，D ，而在三视图中看不见的棱用虚线表示，故排除A ，所以正确答案为C. 点睛：此题主要考查空间几何体的三视图等有关方面的知识，属于中低档题型，也是最近几年高考的必考题型.此题有与以往有不同之处，就是给出了空间几何体的三视图各俯视图，去寻找正视图，注意的是，由实物图画三视图或判断选择三视图时，需要注意“长对正、高平齐、宽相等”的原则，还看得见棱的画实线，看不见的棱要画虚线. 10．D 【解析】 如图由正方体的对称性可知，圆柱的上底面必与过A 点的三个面相切， 且切点分别在线段11,,AB AC AD 上，设线段1AB 上的切点为E ， 1AC ⋂面12A BD O =，圆柱上底面的圆心为1O ，半径即为1O E 记为r ，则2113263322O F DF ==⨯⨯= 21113AO AC ==，由12//O E O F 知11112122O E AO AO O E =⇒=，则圆柱的高为132322AO r -=-，好教育云平台 名校精编卷答案 第5页（共14页）好教育云平台 名校精编卷答案 第6页（共14页）()2323292423224242428r r S r r r r ππππ⎛⎫+- ⎪⎛⎫ ⎪=-=-≤⋅==⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭侧.D 。

2023届广东省汕头市金山中学高三上学期摸底考试数学试题一、单选题1．已知集合{1,2,3,4}A =，{}2log B xx =∈N ∣，则A B =（ ） A ．{1,2} B ．{2,4} C ．{1,2,4} D ．{3}【答案】C【分析】先求出集合B ，再由集合的交集即可得出答案.【详解】解：因为2log 10=∈N ，2log 21=∈N ，2log 3∉N ，2log 42=∈N ， 所以{}1,2,4B =,所以{1,2,4}A B ⋂=． 故选:C ．2．设复数z 满足(1i)2i z -=+，则||z =（ ）A B ．52C D 【答案】A【分析】先由(1i)2i z -=+求出复数z ，则可求得其共轭复数，从而可求出其模 【详解】由(1i)2i z -=+，得2i (2i)(1i)13i1i (1i)(1i)2z ++++===--+， 所以13i 13i 222z -==-，所以z ==故选：A ．3．已知平面向量,,a b e 满足1e =，1a e ⋅=，2b e ⋅=，则a b +的最小值为（ ） A ．1 B ．32C ．2D ．3【答案】D【分析】设()0,1e =，(),a x y =，(),b m n =，由向量数量积和模长的坐标运算可表示出(a b x m +=+()20x m +≥可得结果.【详解】不妨设()0,1e =，(),a x y =，(),b m n =，1a e y ∴⋅==，2b e n ⋅==，则(),3a b x m +=+，(a b x m ∴+=+()20x m +≥，3a b ∴+≥，则a b +的最小值为3.故选：D.4．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若36S =，621S =，则9S =（ ）． A ．27 B ．45C ．18D ．36【答案】B【分析】根据等差数列前n 项和的性质可得3S ，63S S -，96S S -成等差数列，从而可列方程可求出结果.【详解】由已知3S ，63S S -，96S S -，即6，15，921S -成等差数列， 所以()9215621S ⨯=+-，所以945S =， 故选：B ．5．若圆221x y +=上总存在两个点到点(,1)a 的距离为2，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(-⋃B ．(-C ．(1,0)(0,1)-D ．(1,1)-【答案】A【分析】将问题转化为圆22()(1)4x a y -+-=与221x y +=相交，从而可得2121-+，进而可求出实数a 的取值范围.【详解】到点(,1)a 的距离为2的点在圆22()(1)4x a y -+-=上，所以问题等价于圆22()(1)4x a y -+-=上总存在两个点也在圆221x y +=上，即两圆相交，故2121-<+，解得0a -<或0a <<所以实数a 的取值范围为(-⋃， 故选：A ．6．已知sin 1cos θθ=-tan θ=（ ）AB ．CD ．【答案】C【分析】由sin 1cos θθ=-cos 1θ≠，sin 3πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭θ，即可得出答案.【详解】解：因为sin 1cos θθ=-所以1cos 0θ-≠，即cos 1θ≠，所以sin θθ=，即sin 2sin 3πθθθ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭所以sin 3πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭所以233k ππθπ+=+或223k ππ+， 所以2k θπ=或23k ππ+，Z k ∈，当2k θπ=时，cos 1θ=，不合题意，舍去， 当23k πθπ=+时，1cos 2θ=，所以tan θ=故选：C.7．已知三棱锥D ABC -的顶点都在球O 的球面上，底面ABC 为等边三角形，且其所在圆1O 的面积为6π.若三棱锥D ABC -的体积的最大值为O 的体积为（ ） A ．2563π B ．3436π C ．256π D ．3432π 【答案】B【分析】求出圆1O 的半径得ABC 边长，从而得三角形面积，确定三棱锥体积最大时D 点位置，得三棱锥的高，从而求得球半径得球体积． 【详解】如图，ABC 所在圆1O 即为ABC 的外接圆.设圆1O 的半径为r ，则26r ππ=，解得r =因为ABC 为等边三角形，所以60,A B C AB BC AC =====.由正弦定理可得2sin60ABr =，解得AB =所以211sin 22ABCSAB AC A =⋅⋅=⨯=如图，当1,,O O D 三点共线时，三棱锥D ABC -的体积最大，最大值为此时1DO ⊥平面ABC ，三棱锥的高h 最大，且有13h =6h =.设球O 的半径为R ，在Rt 1OO A △中，222(6)R r R -+=，解得72R =.所以球O 的体积334473433326V R πππ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭.故选：B.8．设函数()ln ,0πsin ,π04xx xf x x x ω⎧>⎪⎪=⎨⎛⎫⎪+-≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎩有4个不同零点，则正实数ω的范围为（ ）A ．913,44⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．913,44⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．913,44⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．913,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】A【分析】由已知可得()f x 在[π,0]-上有3个不同零点即可，利用正弦函数的性质列出不等式，解出正实数ω的范围． 【详解】令ln 0xy x==，解得1x =，即()f x 在(0,)+∞上仅有一个零点，所以只需πsin 4y x ω⎛⎫ ⎪⎝=⎭+在[π,0]-上有3个不同零点即可．当[π,0]x ∈-时，ππππ,444x ωω⎡⎤+∈-+⎢⎥⎣⎦，所以π3ππ2π4ω-<-+≤-，即913,44ω⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭故选：A二、多选题9．已知不等式20ax bx c ++<的解集为{|1x x <-或3}x >，则下列结论正确的是（ ） A ．0a < B ．0a b c ++>C ．0c >D ．20cx bx a -+<的解集为1{|3x x <-或1}x >【答案】ABC【分析】根据题意可得0a <且20ax bx c ++=的根为1,3-，利用韦达定理可得023a b a c a <⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，分别代入计算判断正误．【详解】根据二次函数开口与二次不等式之间的关系可知0a <，A 正确； 20ax bx c ++=的根为1,3-，则01313a b a c a ⎧⎪<⎪⎪-+=-⎨⎪⎪-⨯=⎪⎩，即023a b a c a<⎧⎪=-⎨⎪=-⎩∴40a b c a ++=->，B 正确；30c a =->，C 正确；20cx bx a -+<，即2320ax ax a -++<，则23210x x --<，解得113-<<x∴20cx bx a -+<的解集为1|13x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，D 错误；故选：ABC ．10．函数()()sin cos 0f x x a x a =+≠在一个周期内的图象可以是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】AC【分析】由函数()()2sin cos 1ϕ=+++f x x a x a x ，利用平移变换判断. 【详解】函数()()2sin cos 1ϕ=+++f x x a x a x ， 其中tan a ϕ=，因为0a ≠，所以,00,22ππϕ⎛⎫⎛⎫∈-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又函数()f x 是由2i 1n +y a x 向左或向右平移ϕ个单位得到的，AC 符合题意， 故选：AC11．下列判断，正确的选项有（ ）A ．若()f x 的图象关于点(,0)a 对称()f a kx ⇔-是奇函数(0)k ≠B ．曲线 ()()2212y f x f x =-+-的图象关于直线12x =对称； C ．函数()f x 定义在R 上的可导函数，其导函数()'f x 为奇函数，则()f x 为偶函数． D ．函数()f x 定义在R 上的可导函数，导函数()'f x ，且()32f x '+是偶函数，则()f x 的图象关于点(2,(2))f 对称． 【答案】ACD【分析】利用函数的奇偶性、对称性以及复合函数的求导法则进行判断. 【详解】对于A ，若()f x 的图象关于点(,0)a 对称，则()()f a x f x a -=-+， 所以()()f a kx f kx a -=-+，即()f a kx -是奇函数(0)k ≠； 反之，()f a kx -是奇函数(0)k ≠，则()()f kx a f a kx +=--，所以()()f x a f a x +=--，即()f x 的图象关于点(,0)a 对称，故A 正确； 对于B ，设()()()2212g x f x f x =-+-，1()(21)(2)2g x f x f x -=--+，1()(21)(2)2g x f x f x +=-+-，显然11()()22g x g x -≠+， 所以曲线 ()()2212y f x f x =-+-的图象不关于直线12x =对称，故B 错误； 对于C ，因为()'f x 为奇函数，所以()()f x f x ''-=-，即()()0f x f x ''+-=， 所以[]()()0f x f x '--=，()()f x f x C --=（C 为常数） 令0x =可得0C =，即()()f x f x =-，()f x 为偶函数，故C 正确； 对于D ，因为()32f x '+是偶函数，所以(32)(32)f x f x ''-+=+， (32)(32)0f x f x ''+--+=，[]1(32)(32)03f x f x '++-+=， (32)(32)f x f x C ++-+=（C 为常数）令0x =得2(2)C f =，所以(32)(32)2(2)f x f x f ++-+=； 令3t x =，则(2)(2)2(2)f t f t f ++-+=， 所以()f x 的图象关于点(2,(2))f 对称，故D 正确． 故选：ACD.12．如图，正方形ABCD 中，CD a =，3DE EC =，将ADE 沿AE 翻折到AEP △位置，点P ∉平面ABCD 内，记二面角P AB C 大小为θ，在折叠过程中，满足下列什么关系（ ）A ．四棱锥P ABCE V -最大值为38aB ．角θ可能为61C ．15tan 16θ≤D ．37tan θ≤【答案】AC【分析】由题意画出几何体，当PF ⊥平面ABCE 时，此时PF 最长，四棱锥体积P ABCE V -最大；二面角P AB C 也最大；根据CD a =，3DE EC =分别求出35PF a =，45aAF =，1625aGF =即可求得体积、二面角tan θ值，从而得出结论. 【详解】如图，当ADE 沿AE 翻折到AEP △位置，点P ∉平面ABCD 内，则得到四棱锥PABCE ；当平面PAE ⊥平面ABCE 时，过P 作PF ⊥AE ，平面PAE平面ABCE AE =,所以PF ⊥平面ABCE ，此时PF 最长，而底面ABCE 面积是定值，所以当PF ⊥平面ABCE 时，四棱锥体积P ABCE V -最大；二面角P AB C 也最大；由题知正方形ABCD 中，CD AP a ==，3DE EC =，所以3,44a aCE PE ==,AEP △为直角三角形，所以有223544a a AE a ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，所以11225548AEPSa AE PF PF P aF =⨯⨯=⨯=⨯，而AEPS 又等于211233482a a A a P PE ⨯⨯=⨯=⨯，所以有25388PF a a =，解得35PF a =；底面ABCE 面积为()21152248a a AB EC BC a a ⎛⎫⨯+⨯=⨯+⨯= ⎪⎝⎭；所以四棱锥体积231533858P ABCEV a a a -=⨯⨯=；故选项A 正确； 过F 点作与BC 平行的线段交AB 于点G ，因为BC AB ⊥ ，所以FG AB ⊥； 因为PF ⊥平面ABCE ，所以PF AB ⊥，PF FG F =,,PF FG ⊂平面PFG ，所以PGF ∠即为二面角PAB C ，所以PGF θ∠=，在APF中，22223455a aAF AP PF a⎛⎫=-=-=⎪⎝⎭，过E点作与BC平行的线段交AB于点H，HE BC a==，则AGF AHE ，则有GF AFHE AE=，即4554aGFaa=，所以1625aGF=，所以3155tan161625aPFPGFaFG∠===，即15tan16θ≤；故选项C正确，D错误；而15tan3tan60tan6116θ≤<=<，所以61θ<，故选项B错误；故选：AC.三、填空题13．已知向量()1,3a=，()6,b m=-，且()a a b+∥，则m＝______．【答案】18-【分析】利用向量平行的坐标表示即得.【详解】∵()1,3a=，()6,b m=-，∴()5,3a b m+=-+，∵()a a b+∥，∴()()13350m⨯+-⨯-=，解得18m=-．故答案为：18-.14．如图，发电厂的冷却塔外形是由双曲线的一部分绕其虚轴所在直线旋转所得到的曲面，该冷却塔总高度为70米，水平方向上塔身最窄处的半径为20米，最高处塔口半径25米，塔底部塔口半径为202米，则该双曲线的离心率为___________.【答案】5【分析】以冷却塔的轴截面的最窄处所在的直线为x 轴，垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，设双曲线的方程为()222210,0x y a b a b-=>>，由题意求出a c 、可得答案.【详解】如图，以冷却塔的轴截面的最窄处所在的直线为x 轴，垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，设双曲线的方程为()222210,0x y a b a b-=>>，由题意知220==CD a ，所以20a =，()25,A m ，()202,70-+F m ，所以()()222222222512020270120⎧-=⎪⎪⎨⎪--=⎪⎩m b m b ，解得4030=⎧⎨=⎩b m ， 所以22216004002000=+=+=c a b ， 所以2000e 520===c a . 故答案为：5.15．已知()()223f x x a x a b =+-++，若存在常数a ，使()0f x ≥恒成立，则b 的取值范围是______.【答案】15b ≥-【分析】由题意，可知0∆≤，再分离b 求最值后解不等式即可. 【详解】使()0f x ≥恒成立，则2(2)41(3)0a a b ∆=--⨯⨯+≤， 化简整理得224164(8)60b a a a ≥-+=--， 由于存在常数a ，使()0f x ≥恒成立，可知2min 4(164)b a a ≥-+，因此460b ≥-，解得15b ≥-. 故答案为：15b ≥-16．直线l 过抛物线22 (0)y px p =>的焦点(1,0)F 且与抛物线交于A 、B 两点，则2||||AF BF -的最小值为___________.【答案】2【分析】由题意求得抛物线方程，设出直线方程，联立抛物线方程，设而不求，整理化简得到结论111||||AF BF +=，根据这个关系，得到111||||BF AF =-，代入2||||AF BF -消元整理，利用基本不等式求最小值. 【详解】已知12p=，即2p =，所以抛物线的方程为24y x =， 若直线l 与x 轴重合，这该直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意， 设直线的方程为1x my =+，11(,)A x y ，22(,)B x y联立214x my y x=+⎧⎨=⎩，可得2440y my --=则21212Δ1616044m y y my y ⎧=+>⎪+=⎨⎪=-⎩ 所以1212111111||||1122AF BF x x my my +=+=+++++， 1212212121222()4(2)(2)2()4my my m y y my my m y y m y y +++++==+++++222441484m m m +==-++ 所以111||||BF AF =-，则212||||2(1)||222||||||AF AF AF BF AF AF -=--=+-≥=，当且仅当||AF =2||||AF BF -的最小值为2．故答案为：2.四、解答题17．记n S 为数列{n a }的前n 项和，已知2n n S na n n =-+ (1)证明：{n a }是等差数列； (2)若1a ，4a ，6a 成等比数列，求9n S n+的最小值. 【答案】(1)证明见解析 (2)13-【分析】（1）利用n a 与n S 的关系结合等差数列的定义即可证明；（2）利用等差数列的通项公式与等比中项的性质求出1a ，从而得到n S ，再结合基本不等式求解即可.【详解】(1)由已知2n n S na n n =-+①∴()()211111(2)n n S n a n n n --=---+-≥② 由①-②，得()()1121n n n a na n a n -=---- 即()()()11121n n n a n a n ----=- ∴12n n a a --=，2n ≥且N n *∈ ∴{}n a 是以2为公差的等差数列. (2)由（1）可得416a a =+，6110a a =+ ∵1a ，4a ，6a 成等比数列，∴2416a a a =即()()2111610a a a +=+，解得118a =- ∴()21182192n n n S n n n -=-+⨯=-∴291999191913n S n n n n n n +-+==+-≥=-当且仅当9n n =，即3n =时，9n S n+的最小值为13-18．设ABC 的三个内角,,A B C 所对的边分别为,,,a b c2cos 2ABCB S ⋅+.(1)求角A 的大小；(2)若2a =，求b c +的取值范围． 【答案】(1)3A π=(2)2 4.b c <+≤【分析】（1）根据正弦定理，结合三角形的面积公式与两角和的正弦公式化简求解即可； （2）根据正弦定理边化角可得π4sin 6b c B ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭【详解】(1)在ABC 中，1sin 2ABC S bc A =2cos sin B bc A =⋅+又0c ≠cos sin B b A =+cos sin sin C A B B A +，()sin sin sin cos cos sin C A B A B A B =+=+，cos s cos sin s i in n A B A B A B B A =+，sin sin sin A B B A =.sin 0B ≠，sin A A =tan A ∴=0A π<<，3A π∴=(2)2sin sin sin a b cR A B C =====)2sin sin sin sin 3b c B C B B π⎤⎛⎫∴++=+-⎪⎥⎝⎭⎦1sin sin 2BB B ⎛⎫+⎪⎪⎭3sin 2B B ⎛⎫=⎪⎪⎭4sin 6B π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭203B π<<5666B πππ∴<+<，24sin 46B π⎛⎫∴<+≤ ⎪⎝⎭，当3B π=取得最大值∴所求的2 4.b c <+≤19．全国中学生生物学竞赛隆重举行．为做好考试的评价工作，将本次成绩转化为百分制，现从中随机抽取了50名学生的成绩，经统计，这批学生的成绩全部介于40至100之间，将数据按照[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图．(1)求频率分布直方图中m 的值，并估计这50名学生成绩的中位数；(2)在这50名学生中用分层抽样的方法从成绩在[70，80)，[80，90)，[90，100]的三组中抽取了11人，再从这11人中随机抽取3人，记ξ为3人中成绩在[80，90)的人数，求ξ的分布列和数学期望；【答案】(1)0.012m =，中位数68； (2)分布列见解析，911.【分析】（1）根据频率分布直方图中所有小矩形的面积为1，结合中位数的定义进行求解即可；（2）根据分层抽样的性质，结合古典概型公式、数学期望公式进行求解即可. 【详解】(1)由频率分布直方图的性质可得，(0.0040.0220.030.0280.004)101m +++++⨯=， 解得0.012m =，设中位数为a ，()0.004100.02210600.30.5a ∴⨯+⨯+-⨯= 解得68a =； (2)[)[)[]70,80,80,90,90,100的三组频率之比为0.28：0.12：0.04=7：3：1∴从[)[)[]70,80,80,90,90,100中分别抽取7人，3人，1人，ξ所有可能取值为0，1，2，3，38311C 56(0)C 165P ξ===，2183311C C 28(1)C 55P ξ===，1283311C C 8(2)C 55P ξ===，33311C 1(3)C 165P ξ=== 故ξ的分布列为：ξ0 1 2 3P56165 2855 855 1165故()56288190123.165555516511E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯= 20．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 正方形，平面PAB ⊥底面ABCD ，平面PAD ⊥底面ABCD ，2PA AD =，,,E F H 分别是,,PA PD AB 的中点，G 为DF 的中点．(1)证明：//GH 平面BEF ；(2)求PC 与平面BEF 所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析； 3【分析】（1）取AE 中点M ，连接,,MG MH 由中位线性质、线面平行的判定可得//MG 面BEF 、//MH 面BEF ，根据面面垂直的判定和性质即可证结论；（2）构建空间直角坐标系，求直线的方向向量、面的法向量，利用空间向量夹角的坐标表示求线面角的正弦值.【详解】(1)如图，取AE 中点M ，连接,,MG MH ,E F 分别是,PA PD 的中点，//EF AD ∴，又,G M 分别是DF AE ,的中点，////MG EF AD ∴，MG ⊄面,BEF EF ⊂面BEF ，//MG ∴面BEF ，同理，,M H 分别是,AE AB 的中点， ∴//MH EB ，MH ⊄面BEF ，EB ⊂面,BEF∴//MH 面BEF ，又MG MH M ⋂=，MG ⊂面,MHG MH ⊂面,MHG ∴面//MHG 面,BEF GH ⊂面MHG ，//GH ∴平面BEF ，(2)面PAB ⊥面ABCD ，面PAB ⋂面ABCD AB =，面PAB 内存在过A 直线l AB ⊥， 所以l ⊥面ABCD ；面PAD ⊥面ABCD ，面PAD 面ABCD AD =，面PAD 内存在过A 直线m AD ⊥； 所以m ⊥面ABCD ；又,l m 都过A ∈面ABCD ，由过一点有且仅有一条直线与平面垂直，故,l m 为同一条直线，面PAB ⋂面PAD PA =，即,l m 为直线PA ，故PA ⊥面ABCD ，如图，以A 为原点，,,AB AD AP 分别为,,x y z 轴的正方向建立空间直角坐标系A xyz -， 设2AB =，则()()()()()2,0,0,2,2,0,0,0,4,0,0,2,0,1,2B C P E F ，得BE =()2,0,2-，BF =()2,1,2-，PC =()2,2,4-，设面BEF 的法向量为(,,)m x y z =，可得220220m BE x z m BF x y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩，令1x =，得m =()1,0,1，故3cos ,||||226m PC m PC m PC ⋅<>===⨯，故PC 与面BEF 3 21．已知1F 为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点，直线2y 与C 交于A ，B 两点，且1ABF 的周长为442+，面积为2.(1)求C 的标准方程；(2)若(2,1)P 关于原点的对称点为Q ，不经过点P 且斜率为12的直线l 与C 交于点D ，E ，直线PD 与QE 交于点M ，证明：点M 在定直线上. 【答案】(1)22182x y += (2)证明见解析【分析】（1）将2y 代入曲线C 的方程中求得||2AB a =，继而由三角形的面积公式得4ab =.再由椭圆的对称性和椭圆的定义得(22442a =+C 的标准方程；（2）设()11,D x y ，()22,E x y ，直线l 的方程为12y x m =+，0m ≠，联立直线l 与椭圆C 的方程，并消去y 得222240x mx m ++-=，得出直线PD 的方程，直线QE 的方程，联立直线PD 与直线QE 的方程，求得点M 的坐标，继而求得12M M y x =-，可得证.【详解】(1)解：将2y 代入2222:1(0)x y C a b a b +=>>中，解得2x =，则||2AB a =，所以1ABF 的面积为122222aba ==，所以4ab =.①设C 的右焦点为2F ，连接2AF ，由椭圆的对称性可知12BF AF =， 所以1ABF 的周长为(1112||||22AB AF BF AB AF AF a ++=++=，所以(22442a =+②由①②解得22a =2b = 所以C 的标准方程为22182x y +=. (2)解：设()11,D x y ，()22,E x y ，直线l 的方程为12y x m =+，0m ≠，联立直线l 与椭圆C 的方程，并消去y 得222240x mx m ++-=，则()2244240m m ∆=-->，得22m -<<且0m ≠，且122x x m +=-，11111111122222PDx m y m k x x x +--===+---，22222111122222QE x m y m k x x x +++===++++， 所以直线PD 的方程为111(2)22m y x x ⎛⎫-=+- ⎪-⎝⎭，即1112222m my x x x ⎛⎫=+-⎪--⎝⎭， 直线QE 的方程为211(2)22m y x x ⎛⎫+=++ ⎪+⎝⎭，即2212222m m y x x x ⎛⎫=++ ⎪++⎝⎭， 联立直线PD 与直线QE 的方程，得1212222222m m m mx x x x x ⎛⎫-=+ ⎪-+-+⎝⎭， 得()121224M x x x x x +=---，1112222M Mm my x x x ⎛⎫=+- ⎪--⎝⎭，所以()1211124122222M M y x x m m x x x x x ⎛⎫--=++⋅ ⎪--+⎝⎭()()()()()()121211*********1.2222x x x x x m m x x x x x x ++---=+=+⋅-+-+ 1212122m x x =+=-+. 所以12M M y x =-，即点M 在定直线20x y +=上.【点睛】方法点睛：直线与圆锥曲线的位置关系问题是高考命题的热点，解决此类问题要做好两点：一是转化，把题中的已知条件和所求准确转化为代数中的数与式，即形向数的转化；二是设而不求，即联立直线方程与圆锥曲线方程，利用根与系数的关系求解.22．已知函数()e 2xf x a x =--，和()()ln 22g x x a x ⎡⎤=-++⎣⎦，(1)若()f x 与()g x 有相同的最小值，求a 的值；(2)设()()()2ln 2F x f x g x a =++-有两个零点，求a 的取值范围． 【答案】(1)e a = (2)0 e.a <<【分析】（1）求导，分类讨论判断单调性并确定最值，运算求解；（2）利用同构可得()()()()e e 22ln ln xxa a x x =++++，分析理解，利用导数结合零点存在定理运算说明.【详解】(1)()e 2x f x a x =--，()e 10xf x a '=-=当0a ≤时，()0,()f x f x '<在R 上单调递减，无最值，舍去 当0a >时，令()0f x '<，则ln x a <-∴()f x 在(),ln a -∞-上单调递减，在()ln ,a -+∞上单调递增，则()()ln ln 1f x f a a ≥-=- ∵0a >，则()g x 的定义域为()2,-+∞()11122x g x x x +'=-=++，令()0g x '>，则1x >- ∴()g x 在()2,1--上单调递减，在()1,-+∞上单调递增，则()()11ln g x g a ≥-=- 依题ln 11ln a a -=- e a ∴= (2)由题意可知：0a >()()e ln 2ln 2(2)x F x a x a x =-++->-令()0F x =，即()e ln 2ln 20x a x a -++-=，则()e ln ln 22xa a x +=++即()e ln ln 22xa x a x x ++=+++，则()()()()e e 22ln ln x x a a x x =++++∵ln y x x =+在()0,∞+上单调递增则e 2x a x =+，即()e 2xf x a x =--在()2,-+∞上有两个零点由（1）可得：()()2ln 2ln ln 102e 0a f a a f a -⎧->-⎪-=-<⎨⎪-=>⎩，解得：0e a <<此时()e 2xf x a x =--在()2,ln a --上有一个零点当0e a <<时，下证()e 2xf x a x =--在()ln ,a -+∞上有一个零点取0e=x a ，则0e +ln =ln x a a a +令()e=ln G a a a+，则()2e =0a G a a -'<∴()G a 在()0,e 单调递减，则()()e 20G a G >=>，即0>ln x a -∵()e0ee 2af x a a=--，令e 1t a =>，则e a t =∴()()1201e 2e 2e t tf x t t t tt +=--=--令()12e2t H t t t +=--，则()()1e 222e 1t t H t t t +'=-->--又∵e 1≥+t t ，则()0H t '>∴()H t 在()1,+∞上单调递增，则()()2e 301t H H >=->即()00f x >∴()e 2xf x a x =--在()ln ,a -+∞上有一个零点则a 的取值范围为0 e.a <<【点睛】①利用指对同构处理()e ln 2ln 20xa x a -++-=得()()()()e e 22ln ln xxa a x x =++++，结合题意分析理解；②利用零点存在性定理分析其充要条件.。