当前位置：文档之家 › 分类思想在初中教学中的作用

分类思想在初中教学中的作用

  • 格式：doc
  • 大小：39.50 KB
  • 文档页数：5

下载文档原格式

  / 5

合集下载

分类思想在初中数学中的体现

分类思想在初中数学中的体现
和 图３ 图 １ ，口 肼剃 ＝ ． 从 知 Ｓ ； 图 从 Ｂ
图 ３
Ｄ
三、 引导 分类 讨论 。 高合理解 题 的能 力 提
初 中课本 中有不少定 理 、 法则 、 式 、 公 习题 ， 都需 要分类讨 论， 在教授 这些 内容时 ， 应不断强化学生分类讨论 的意识 ， 让学
／ ＼ ／ ／ ＼
Ｃ ———■—一
． ． ／
边三角形 ， Ｄ是含 ３ 。 △Ａ Ｃ ０角的直角三 角 形． Ｂ 和 △Ａｃ △Ａ Ｃ Ｄ拼 成一 个 凸 四 日
边 形ＡＢ Ｄ （ ） 出 四边 形 Ａ Ｃ （ ） Ｃ ．１ 画 Ｂ Ｄ；２
图 ｌ ｃ
求 四边形Ａ Ｃ Ｂ Ｄ的面积．
部， 角的外部三种不同的情况， 因
此分 三种情况分别讨论证明．先证 。
＼
．
分 析 ： ３ 。 的直 角 三 角形 ＡＣ 含 ０角 Ｄ
中我们 可 以把Ａｃ 为斜边 、 作 为 作 ｃ
直 角 边 二 类 情 况 来 研 究 ．如 图 １ 以 是
明圆心在 圆周角的一条边上 ， 这种最容易解决 的情况 ， 然后通过 作过 圆周角顶点的直径 ，利用先证 明 （ 圆心在圆周角的一条边 上） 的这种情况来 分别解决 圆心在圆周角的内部 、 圆心在圆周角 的外部这 两种 情况．这是 一种从定理 的证 明过程 中反 映出来 的 分类讨论 的思想 和方法．它是 根据几何 图形 点和线 出现不 同位 置的情况逐一解决 的方 法． 教材 中在证明弦切角定理 ： 弦切 角等 于它所夹 的弧所对 的圆周角．也是 如此 分圆心在弦切角的一条 边上 ， 弦切角的内部 、 弦切角的外部三种不 同情况解决的．
分类 的思想方法 ， 结合其他数学思想方法的学习 ， 注意几种思想 方法 的综合使用 ， 给学生提供足够的材料 和时间 ， 启发学生积极 思维． 相信会使学生在认识层次上得到极大 的提高 ， 收到事半功

分类思想的教学及运用

分类思想的教学及运用

分类思想的教学及运用摘要：数学学习离不开思维，数学探索需要通过思维来实现，在初中数学教学中逐步渗透数学思想方法，培养思维能力，形成良好的数学思维习惯，既符合新的课程标准，也是进行数学素质教育的关键。

学生在学习数学的过程中，分类思想的应用贯穿于整个数学学习的全过程，而数学分类思想的教学无疑能给学生以科学的分析问题的方法，在初中阶段，分类讨论的数学思想在数学中的应用是非常广泛的，数学思想方法在人的能力培养和素质提高方面具有重要作用。

关键词：数学分类思想；数学分类讨论法；数学思维中图分类号：g633.6 文献标识码：a 文章编号：1671-0568（2012）36-0083-02数学思想是人们对数学内容的本质认识，是对数学方法的进一步抽象概括，属于对数学规律的理性认识范畴，数学教学中不仅要注重数学知识的传授、能力的提高，更要注重揭示知识发生、发展过程中，解决问题过程中蕴含的数学思想方法。

数学分类思想，就是根据数学对象本质属性的相同点与不同点，将其分成几个不同种类的一种数学思想，它既是一种重要的数学思想，又是一种重要的数学逻辑方法，在中学数学中常表现为数学分类讨论法。

所谓数学分类讨论法，就是将数学对象分成几类，分别进行讨论来解决问题的一种数学方法，有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理性和概括性，分类讨论思想贯穿于整个中学数学的全部内容中，需要运用分类讨论的思想解决的数学问题就其引起分类的原因，可分为：①数学概念是分类定义的；②运用的数学定理、公式或运算性质、法则是分类给出的；③求解的数学问题的结有多种情况或多种可能；④数学问题中含有参变量，这些参变量的取值会导致不同的结果。

应用分类讨论，往往能使复杂的问题简单化。

分类的过程，可培养学生思考的周密性、条理性，而分类讨论又能提高学生研究问题、探索规律的能力。

分类讨论思想不像一般数学知识那样，通过几节课的教学就能掌握，它根据学生的年龄特征，学生在学习的各阶段的认知水平和知识特点，逐步渗透，螺旋上升，不断地丰富自身的内涵。

分类讨论思想在解数学题中的应用

分类讨论思想在解数学题中的应用
斥性原则。
３ ． 完 整 性 原 则
分类后 的每一个 子类合并起 来应该等 于总类 ， 否
则会 出现遗漏的现象 。例如某人把实数分为正实数和
负实数 ， 这样 的分类是 不完整 的 ， 因为 零也是实数 ， 但
是零既不是正实数也不是负实数。
楚地暴露事物的属性 。 案例１ 某服装厂生产一种西装和领带。西装每套 定价２ ０ ０ 元， 领带每 条定价４ ０ 元， 厂方在开展 促销活动
一
４ 人参Ｊ Ｊ Ｉ ｌ ｌ Ｏ ０ 米 比赛 ， ３ 人 参￣ １ ２ ０ ０ 米 比赛 ，那么就有１ 人 既参加１ ０ ０ 米又参 ￣ ｎ ２ ｏ ｏ 米 比赛 ，这 显然犯 了分类 的互
、
分 类 讨 论 的 思 想
所 谓分类讨 论就是 分别归类 再进行讨 论的意思 ， 数学 中的分类过程 就是对事物共性 的抽 象过 程 ，解题
则， 分类讨论的应用 ， 从而体现分 类讨论 思想在初 中数 学解题中的作用和地位 。 关键词 ： 分类讨论 的思 想； 分 类 的原则 ； 分类 讨论 的应
放， 使得学生的作业天地更 为广阔 ， 让 学生从书本 中跳
出来 ， 从题海中跳出来 ， 走 向社会 ， 走进生活 。为此 ， 在
设计作业时 ，教师要 善于 挖掘知识 中 的潜 在因素 ， 合 理、 恰 当、 巧妙 、 灵活地设计一 些开放性 的作业 ， 让学生 的思维拓展 提升 ， 让学生发 散思 维 ， 敢于标 新立异 ， 提 出各 种问题 ， 大胆创 新 ， 让学生 真正成 为一个创 新者 。 例如 ： 我国 目 前 已经步入老年 型国家的行列 ， 那么我 国 人 口老年人的 比例还会继续 升高吗 ？现 行的计划生育 政策应当调整吗？ 又如 ： 外来 物种入 侵到底是有利还是 有害 ， 能不能拒绝所有 的外来 物种？ 请结合高 中生物知

初中数学分类讨论思想教学初探

初中数学分类讨论思想教学初探

初中数学分类讨论思想教学初探发布时间：2021-07-05T15:02:07.563Z 来源：《时代教育》2021年第7期作者：邓兴明[导读] 分类思想是根据研究对象的本质属性的共同点和差异点，将所研究的问题分为不同种类的思想邓兴明重庆市合川区合阳中学重庆合川 401520分类思想是根据研究对象的本质属性的共同点和差异点，将所研究的问题分为不同种类的思想。

在数学中，如果一个命题的题设或结论不唯一确定，有多种可能情况，难以统一解答，就需要按可能出现的各种情况进行分类地加以讨论，最后综合归纳出问题的正确答案，这种解题方法叫做分类讨论法。

分类是以比较为基础的，是对问题深入研究的思想方法，它能揭示数学对象之间的内在规律。

掌握好分类讨论的思想，有利于发现解题思路和掌握技能技巧；有利于学生总结归纳数学知识，使所学知识条理化；有利于培养学生的创新精神与探索精神，有利于培养学生严谨、求实的科学态度。

初中数学中的分类讨论问题往往是学生不容易掌握好的一类问题，学生碰到此类问题常常是不知道要进行分类讨论或者知道了要分类讨论而无从入手，造成解答此类问题时正确率偏低，原因大多数是没有掌握好初中数学中的分类讨论思想。

根据教学实践，我认为解答分类讨论问题时，首先要确定讨论对象以及所讨论对象的全体的范围；其次确定分类标准，正确合理地进行分类，做到标准统一、不漏不重；再对所分类逐步进行讨论，获取阶段性结果；最后进行归纳小结，综合得出结论。

下面就引起分类讨论的一些常见情况进行归纳：一、由于问题涉及到分类讨论思想的有关概念或问题中涉及到的数学定理、公式和运算性质、法则有范围或者条件限制，或者是分类给出的而需要对其进行分类讨论。

如：绝对值需要分三种情况讨论，也就是:又如：一次函数y＝kx+b（k≠0）的增减性，图象所在的象限等需要对k、b符号进行分类讨论。

如：一次函数y=kx+b的自变量的取值范围是 -3≤x≤ 6，相应的函数值的取值范围是-5≤y≤-2 ，则这个函数的解析式。

浅谈分类讨论思想在中学数学教学中的应用

浅谈分类讨论思想在中学数学教学中的应用

浅谈分类讨论思想在中学数学教学中的应用作者：杨建平来源：《学周刊·B》2013年第07期摘要：数学分类讨论思想是根据数学本质属性的相同点和不同点，将数学研究对象分为不同种类的一种数学思想。

初中数学教材和学习辅导资料中常有这样的问题，中考数学试题中也经常会出现与分类有关的问题。

在初中数学教学中使用分类讨论的思想探究和解决问题，有助于学生更好地理解和解决问题，并能帮助学生把握解题的思路和技巧，做到举一反三，从而有利于培养学生的学习兴趣，使他们从数学学习中获得乐趣。

关键词：数学思想；分类讨论；解题策略；数学策略一、问题的提出有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理性和概括性，所以在高考试题中占有重要的位置。

而这部分内容对学生来讲又是一个难点，很容易被学生忽略，所以教师有必要对这部分内容进行深入的研究。

解分类讨论问题的关键在于：将整体问题化为若干个部分来解决，增加题设的条件，从而将问题解答等进行到底，这正是我们要分类讨论的根本原因。

二、分析问题根据研究对象的不同，将解决的问题进行分类，也就是说根据题目，将可能出现的结果一一列举出来，再按照顺序进行解答，关键是在列举时要做到准确、全面，尽可能将所有的方面全部列举出来，做到不漏不重。

三、解答分类讨论问题的基本方法和步骤第一步：确定讨论对象，即题目所考察的知识点学生必须清楚；第二步：对讨论的对象合理分类，即把所有可能的结果一个不漏地列举出来；第三步：按类讨论问题的结论，即讨论前一步中列举出来的各种；第四步：对各类的结论进行归纳总结，总结出解这一类题目的解题方法，以后碰到这类题目时我们就会得心应手。

四、中学数学教材中分类讨论的知识点数学解题的准确性是建立在学生对基础知识的掌握上的。

学生应掌握的知识点有：反比例函数y=k/x的反比例系数k，正比例函数的比例系数k，一次函数的斜率k与图像位置及函数单调性关系；绝对值概念的定义；根式的性质；一元二次方程根的判别式与根的情况；二次函数二次项系数正负与抛物线开口方向等。

初中数学中的分类思想方法

初中数学中的分类思想方法

3
策略举例
4、
5. 已知 y=kx＋3 与两坐标轴围成的三角形的
面积为 24，求其函数解析式．
3 3 （y= x + 3或 y = − x + 3 ） 16 16
6. 抛物线y＝a2＋c与y轴交点到原点的距离为3， 且过点（1，5）,求这个函数的解析式． （y＝2x2＋3或y＝8x2－3） 策略举例
如果把平行四边形分为矩形、菱形、正方形三类， 如果把平行四边形分为矩形、菱形、正方形三类，这 其中就有三处重叠（交集不空），不符合规则1。 ），不符合规则 其中就有三处重叠（交集不空），不符合规则 。
划分规则举例： 划分规则举例：
规则2 划分后各个子项必须穷尽母项（不漏） 规则2：划分后各个子项必须穷尽母项（不漏）。 从集合的角度看， 从集合的角度看 ， 划分后所有的子集的并 集 应该等 于是全集。 于是全集。 例如：自然数可以分为奇数和偶数两类。 例如：自然数可以分为奇数和偶数两类。 如果把自然数分为素数与合数两类， 如果把自然数分为素数与合数两类，就漏掉了自然 既不是素数也不是合数。 数1，因为 既不是素数也不是合数。 ，因为1既不是素数也不是合数 从集合的角度看，划分后两个的子集的并不等于全集， 从集合的角度看，划分后两个的子集的并不等于全集， 因此，这样分类不符合规则 。 因此，这样分类不符合规则2。
25.如图，在直角坐标系中， 25.如图，在直角坐标系中，点A的坐标为(1,0)，点B在 如图 的坐标为(1,0)， (1,0) 轴正半轴上， AOB是等腰直角三角形 是等腰直角三角形， 与点A y轴正半轴上，且△AOB是等腰直角三角形，点C与点A关于 轴对称，过点C的一条直线绕点C旋转， 轴于点D y轴对称，过点C的一条直线绕点C旋转，交y轴于点D，交 直线AB于点P x,y），且点P在第二象限内. AB于点 ），且点 直线AB于点P（x,y），且点P在第二象限内. (1)求 点坐标及直线AB的解析式； AB的解析式 (1)求B点坐标及直线AB的解析式； (2)设 BPD的面积为 的面积为S 试用x表示△BPD的面积 的面积S. (2)设△BPD的面积为S，试用x表示△BPD的面积S.

谈谈分类讨论思想

谈谈分类讨论思想

谈谈分类讨论思想作者：王欣来源：《教育教学论坛》2013年第42期摘要：分类讨论思想方法是一种重要的解题策略。

分类思想方法实质上是按照数学对象的共同性和差异性，将其区分为不同的种类的思想方法，其作用是克服思维的片面性，防止漏解。

要注意在分类时，必须按同一标准分类，做到不重不漏。

关键词：分类讨论；数学思维；解决问题中图分类号：G633.6 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2013）42-0154-02所谓分类讨论就是对问题所给对象的条件、结论、图形等不能进行统一研究时，就需要将研究对象按某个标准分类，然后对分类中的每一部分分别研究得出每一类的结论，最后综合各类的结果得到整个问题的解答。

它体现了化整为零、各个击破、再积零为整的数学策略。

它反映了数学对象之间的内在规律，有助于学生总结归纳知识，提高思维的条理性和概括性。

分类的原则：①每次分类按同一个标准；②分类中的每一部分相互独立；③分类讨论应逐级进行，做到既不重复，也不遗漏。

用分类讨论思想解决问题的一般步骤是：①先明确要讨论的对象及讨论对象的取值范围；②正确选择分类的标准，进行合理分类；③逐类讨论解决；④归纳并给出结论。

引起分类讨论的因素较多，归纳起来主要有以下几个方面：一、涉及的数学概念是分类定义的例：比较3a与-3a的大小。

分析：这两个数的大小同a符号有关系。

讨论对象为a，a的取值范围分三种情况。

解：当a是正数时，3a是正数，-3a是负数，3a>-3a；当a是0时，3a是0，-3a也是0，3a=-3a；当a是负数时，3a是负数，-3a是正数，3a二、运用的数学定理、公式或运算性质、法则是分类给出的例：已知实数a，b满足a2+b2=1，ab>0，求a■+b■的值。

分析：因为a·b>0，所以a，b同号，即同正数或者同负数。

去掉二次根号时，要根据二次根式的性质。

这里讨论的对象是a，b，讨论范围是a，b的符号解：a>0，b>0，原式=a（a）+b（b）=a2+b2=1a三、由已知条件不明确而引起的讨论例：在Rt△ABC中，∠C=900，AC=5，BC=12.若以C点为圆心，r为半径所作的圆与斜边AB只有一个公共点，则r的取值范围是_____。

分类思想的教学及运用

分类思想的教学及运用

分类思想的教学及运用
王小虎
【期刊名称】《新课程研究(下旬）》
【年(卷),期】2012(000)012
【摘要】数学学习离不开思维，数学探索需要通过思维来实现，在初中数学教学
中逐步渗透数学思想方法，培养思维能力，形成良好的数学思维习惯，既符合新的课程标准，也是进行数学素质教育的关键。

学生在学习数学的过程中，分类思想的应用贯穿于整个数学学习的全过程，而数学分类思想的教学无疑能给学生以科学的分析问题的方法，在初中阶段，分类讨论的数学思想在数学中的应用是非常广泛的，数学思想方法在人的能力培养和素质提高方面具有重要作用。

【总页数】2页(P83-84)
【作者】王小虎
【作者单位】河南省焦作市博爱县月山中学,河南博爱454450
【正文语种】中文
【中图分类】G633.6
【相关文献】
1.浅谈分类思想在小学数学教学中的运用
2.运用分类思想提升数学课堂教学效益研究
3.如何运用小学数学教学的分类思想
4.浅议分类思想在高中数学教学中的运用
5.浅析分类思想在初中数学教学中的运用
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

初中数学思想方法

初中数学思想方法

初中数学思想方法数学思想方法是解决数学问题的灵魂，也是把数学知识转化为数学能力的桥梁。

初中数学中常用的思想方法有：整体思想、分类讨论思想、函数思想、方程思想、转化思想、类比思想、分类讨论思想等。

1、整体思想整体思想是从问题的整体性质出发，通过研究问题的整体形式、整体结构、整体与局部的内在等，找出解决问题的途径。

2、分类讨论思想当一个问题因为某种量或条件的改变，而引起演变结果的改变时，我们就需要对问题从各种不同的角度或分类讨论加以解决。

3、函数思想用运动变化的观点去分析和研究具体问题中的数量关系，用函数的形式，把这种数量关系用函数表示出来。

4、方程思想方程思想就是从分析问题的数量关系入手，通过设定未知数，把问题中的已知量与未知量的数量关系，转化为方程或方程组，然后利用方程的理论和方法，使问题得到解决。

5、转化思想转化思想是将要解决的问题转化成一个或几个已经解决的简单问题。

6、类比思想类比是根据两个具有相同或相似性质的事物之间进行比较，从而找到另外一些具有相同或相似性质的事物。

7、分类讨论思想分类讨论是根据所研究对象的差异，将其划分成不同的种类，分别加以研究，从而分解矛盾，化整为零，化一般为特殊，变抽象为具体，然后再一一加以解决。

分类依赖于标准的确定，不同的标准会有不同的分类方式。

总之数学思想方法是分析解决数学问题的灵魂，也是数学知识的精髓，是把数学知识转化为数学能力的桥梁。

一、引言在现今的初中数学教学中，培养学生的数学思想方法已经成为了一个重要的目标。

《初中数学思想方法导引》这本书，以其独特的视角和深入的剖析，成为了初中数学教师的重要参考书籍。

本书主要介绍了初中数学中的各类思想方法，如方程思想、函数思想、化归思想等，对于提高学生的数学素养，增强他们的解题能力，具有极大的指导意义。

二、数学思想方法的重要性数学思想方法是一种对数学规律和数学本质的深刻认识和理解，是对数学知识进行高度概括和抽象的结果。

在初中数学教学中，培养学生的数学思想方法不仅可以提高学生的数学成绩，更重要的是可以培养他们的逻辑思维能力、创新能力和解决问题的能力。

分类讨论法在初中数学教学中的渗透

分类讨论法在初中数学教学中的渗透

分类讨论法在初中数学教学中的渗透
曾卫星
【期刊名称】《数学大世界（小学五六年级版）》
【年(卷),期】2018(000)007
【摘要】在初中生的数学学习过程中,经常会遇到具有一定难度和复杂度的问题,为了让学生更好地解决问题,取得更大的进步,从而达到该有的教学效果,实现我们的教学目的,所以教育研究者通过分类讨论法的教授,帮助学生把复杂问题简单化,提高学生的解题效率,提升数学的学习能力.我们应该将这种有效的学习方法推广开来,使我们的学生都能在数学这门学科上获得发展和进步,也能够实现数学新课程标准中对学生的要求.
【总页数】1页(P34)
【作者】曾卫星
【作者单位】湖南省益阳市赫山区梓山湖学校
【正文语种】中文
【相关文献】
1.在初中数学教学中如何渗透分类讨论思想
2.分类讨论法在初中数学教学中的渗透
3.分类讨论法在初中数学教学中的渗透
4.浅析分类讨论法在初中数学教学中的渗透
5.浅析分类讨论法在初中数学教学中的渗透
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

浅谈分类讨论法在初中数学中的应用

浅谈分类讨论法在初中数学中的应用

51教学研究浅谈分类讨论法在初中数学中的应用邓　燕（广西壮族自治区柳州市第四十七中学，广西 柳州 545000）摘要：分类讨论法是在初中数学课堂中常用的一种方法，在近几年的考试中比例也在逐渐增大，它从数学最本质的地方出发，旨在锻炼学生解题的思维能力，提高学生的综合素质。

关键词：初中数学；分类讨论；教学学会用分类讨论的方法解决数学问题是初中数学重点学习的内容之一，这种方法在数学中的应用非常广泛，它能揭示数学学科的本质属性并进行归纳，具有较强的逻辑性和概括性，它不仅能帮助学生解决数学问题，还能提高学生的逻辑思维能力和创新能力。

一、培养学生分类讨论思想的重要性数学是一门来自生活的学科，生活中处处可见数学的踪影。

如，我们把有相同爱好的学生归为一类，把动物分成哺乳动物、胎生动物；把植物分为裸子植物、被子植物等等，这些都涉及到分类的思想。

在数学中，分类思想也是特别常见，如我们把多边形分成三角形、四边形等，将函数分为一次函数、二次函数、反比例函数等等，这些都是分类思想的体现。

此外，初中阶段是学生思维养成的关键时期，数学中的一些概念、定理等都是在一定的科学体系下展开的，因此为了学生能建立起一个完善的数学思维体系和应对中学数学的学习任务，掌握分类思想是非常必要的，在解决数学问题时，对于因为存在一些不确定因素无法解答或者结论不能给予统一表述的数学问题，我们往往将问题按某个标准划分为若干类或若干个局部问题来解决，通过正确的分类，能够克服思维的片面性，可以使复杂的问题得到清晰，完整，严密的解答。

二、数学概念引起的分类讨论在数学上，有些概念本身就含有分类讨论的思想，如|a|，我们在讨论绝对值a 等于什么的时候，得看一下a 的正负，如果a 为大于等于零的数，那么|a|就等于a 本身。

如果a 为负数，那么|a|就等于它的相反数，及-a。

我们来看下面的一道例题：若||5,||3,0a b a b ==+>，那么a b −的值是多少？我们在做这道题时，首先要先分析a，b 的值是多少，由绝对值的定义可知，a 和b 的值都是两种情况，即a 的值为正负5，b的值为正负3，那么此时再计算a-b的值时就需要分类讨论了。

分类思想在初中数学教学中的渗透与培养

分类思想在初中数学教学中的渗透与培养
维普资讯ｉ ｄ ｃ ｔ ｎ而 ｈ ａ Ｅ ｕ ａｉ ｎ ｏ
分类思想在初中数学教学中的渗透与培养
陈文 水 （ 浙江省青 田县阜 山中学 浙江青 田 ３ ３ ０ ） ２ ９ ０ 摘 要 ： 初中教学数 学中逐 步渗透数 学思想方法 ， 养思维 能力， 在 培 形成良好 的数 学思维 习惯 ． 既符合新的课程 标准 ， ， 也是进行数 学素质 教 育的一个切入点 ， 学分 类思想 ， 数 就是 根据数 学对象本质 属性 的相 同点 与不 同点 ， 将其分成几个不 同种类的一种数 学思想 ， 它既是一种 重要 的数学思想 ， 又是 一 种 重 要 的数 学 逻 辑 方 法 ． 类 讨 论 是 根 据 需 要 对 研 究 对 象进 行 分 类 ， 后 将 划 分 的 每 一 类 别 分 别 进 行 求 解 ， 合 分 然 综 后既 得答案 ． 类讨论 贯穿在整个 初中教 学 学习的全过程 ， 分 通过 分类 可以使大量繁杂 的材料条理化 ， 系统化 ， 而为人 们进行 分门别类的 从 深入研 究创建条件 ， 分类讨论不仅 在数 学知识的探 究和概念 学 习中十分重要 ， 而且在解 决数学 问题过程 中起 着重要作 用． 学会 用这 种思想 方 法解 决 问题 ， 可培 养 学 生 思 考 的 周 密 性 ， 理 性 ， 条 对提 高 学 生 思维 能 力 ， 决 问题 的 能 力有 很 大 作 用 ． 解 关 键 词 ： 类 思 想 初 中 数 学教 学 分 中 图 分 类 号 ： ０ Ｇ４ ２ 文献标识码 ： Ａ 文章 编 号 ： ６ ３ ９ ９ （ Ｏ ８ Ｏ （） １ １ ２ １ ７ － ７ ５ ｚ ０ ） ４ ｃ－ｏ —０ ８
有些 数 学 概念 是 分 类给 出 的 ， 答此 类 置 的 情 况逐 一 解决 的 方法 。 解 题 ， 般按 概念 的 分类 形式 进 行分 类 。 一 例 ６ ＠ｏ的半径为 ＯＡ＝ｌ 弦 ＡＢ ， ， ＝√ 化简 Ｊ ２ ｌ ａ １ａ Ｊ 一 ＋ｌ ． Ａｃ ， ＝ 则 Ｂ Ｃ的度数是 多少？ Ａ 分 析 ： 要按绝 对值的意 义进行 分类求解 这 分 析 ：根 据 两 弦的 位 置进 行分 类 ，求得 当 ｍ 为 何值时 ， 函数 ｙ （ ３ｘ ｍ＋ｌ ＺＢ Ｃ＝７ ＝ ｍ＋ ） ２ ＋ Ａ ５。或 ｌ 。 。 ５ ４ ｘ－５ Ｘ≠ ０ 一次 函数 ？ （ ） 例 ７＠ｏ 与＠Ｄ 交于 Ａ， ， 圆半径分别 ． ， Ｂ两 分析 ， 这要 根据一次 函数的 概念进 行分类 是 ２ 、ｌ ， ５ ７ ＡＢ＝３ 则 圆心 距是 多少？ ０， 求 解 分 析 ： 据两 圆的位 置进 行分类 ， 根 求得 圆 ２ ２ 根据数学 的法则 ． 质或特殊规定 进行分 心距为 ２ ． 性 ８或 ｌ ２。 类 例 ３ 已知（ ０ ７ ｘ ｘ ， ｘ ． ２ ０ － ） ＝ｌ 则 ：？ ３ 引导分类讨论， 提高综合解题能力 分析 ： 般 来讲 ， 利用分 类讨论思想 和方法解决 。 ｌ ≠０ ＝ｌ 一 ） ＝１ ． ＝ 或 ２ ０ 的问题 有两大 类 ： （ ａ ） １ １ （ ： ． ０ ‘ ｘ ０６ 其一 是涉及代数式 或函数或 或 ２０ ０８ 方程 中， 据字母 不 同的取值情 况 ， 别在 不 根 分 例 ４ 解关于 Ｘ的不等式 ：ａ ＋ ＞２ ＋ ． ｘ ３ ｘ ａ 同的取值范围内讨论解决问题 ； 其二是根据几 分析： 通过移 项 ， 等式化为（ － ） ＞ － 不 ａ ２ｘ ａ 何图形的 点和线出现 不同位置的情 况 ， 别在 分 ＝ａ， ａ Ｏ Ｊ＝ ＿ 当 ａ Ｏ Ｊ＝ 。通 当 ＜ 时ａ —， ＝ 时ａ Ｏ ａ Ｊ ｌ ３的 形式 ， 后根据 不等 式的 性 质可分 为 ａ 不同的几 何图形 中讨论解 决问题 。 然 一 过 对正数 ． ． 零 负数 的绝 对值的认 识 ， 了解如何 ２ ０ ａ ２ ０ 和 ａ ２ 三种情 况分别解 不等 ＞ ，－ ＝ ， － ＜０ 例 ８ 已知 ： 物线 ｙ ｘ ＋４ ｘ＋ｔ Ｘ轴 ． 抛 ＝ａ ａ 与 用分类讨论 的方法学 习理解数 学概念 。又 如 ， 式 。当 ａ ２ ０ 即 ａ 时 ， － ＞ ， ＞２ 不等式 的解是 ｘ 的 一个交 点为 Ａ（ ， ） ＞ 一ｌ ０ 。 两个有理数 的比较 大小 ， 可分为 ： 数和正数 、 正 ３ （） １求抛 物线 与 Ｘ轴 的另一个交 点 Ｂ 的坐 正数和零 、 正数 和负数 、负数 和零 、 负数和 负 ■— 当 ａ ２ ０ 即 ａ ２ ＝ 时 ， ， 一 ＝ ， ＝ ａ ２ 不等式 的左 标； 。 数 几类情况 来比较 ， 负数和负数 的大小比较 而 边 ： ， 等式的右边 ＝ ， ０不 －１ 因为 ０ １ 以不 ＞－ 所 （） ２Ｄ是抛物线 与 ｙ轴的交 点 ， Ｃ是抛物线 是 新的知 识点 ， 这就突 出 了学 习的重 点。 等式 的解 是一切 实数 ， ａ ２ ，即 ａ 时 ， 上的一 点 ， 当 － ＜０ ＜２ 且以 ＡＢ为一 底的梯形 ＡＢＣ Ｄ的面 结合 “ 有理数 ”这一章的教学 ． 反复渗透 ， ３ 积为 ９ 求次 抛物线 的解析式 ； ， 强化数 学分类思想 ， 使学生 逐步形成数 学学 习 不等 式的 解是 ｘ ＜—— ＝。 （） ３Ｅ是第二象 限内到 Ｘ轴 ， 的距离的 ｙ轴 中的分类的意识 ， 并能在 分类讨论 的时候注意 ２３根据 图形的特征或相 互间的关系进行分类 比为 ５ ２ 点 ， 果点 Ｅ在（ ） ． ：的 如 ２ 中的抛物 线上 ， 些基本原 则 ， 分类的 对象是 确定 的 ， 如 标准 如： 三角形 按角分类 ， 有锐 角三 角形 ， 角 且它与 点 Ａ在 次抛物线 对称轴 的同侧 ， ： 直 问 在 是统 一的 ， 如若 不然 ， 对象混 杂 ， 准不一 ， 标 就 三 角形 ， 钝角 三角形 ； 二次 函数二 次项 系数 正 抛物线 的对称轴 上是 否存在 点 Ｐ， ５ Ｐ 使 Ａ Ｅ的 会 出现遗 漏、重 复等错 误 ， 把有 理数分 为 ： 如 负与抛物线 开 Ｉ方 向； ： １ 直线 和圆根据直 线与 圆 周长最小 ？ 若存在 ， 请求出点 Ｐ的坐标 ； 若不存 正数 ，负数 、整数 ， 就是犯分类 标准不 一的错 的交 点个数可 分为 ： 线 与圆相离 ． 线与 圆 直 直 在 ， 说 出理 由 。 请 误 。在确定 对象和标 准之 后 ， 还 要注意 分清 ， 相 切 ． 线与 圆相交 。 直 解 ：１易求 Ｂ 一 ， ） （） （ ３ ０ 层次 ， 不越 级讨论 。初 中教材 中有 不少定 理 、 例 ５ 等腰 三角形一 腰上 的高 与另一腰 上 ． （） ２ 易知 Ｄ（ ， ａ ， Ｄ＝ ０ ３ ） Ｃ ４， 法则 、公式 、习题都需 要分类讨论 ， 教授这 在 １ 的夹 角为３ 。底边长 为ａ 则腰上的高是 多少？ ０， ， 些 内容时 ， 不断 强化学 生分类 讨论 的意 识 ， 应 梯形 ＝ （ Ｂ＋Ｃ ・ Ｄ：９ Ｄ）Ｏ 分析 ： 本题 根据 图形 的特 征 ， 等腰三 角 把 让学 生认 识到 这 些 问题 ， 只有 通过 分类 讨 论 形分 为锐角三 角形和钝 角三角形两类 作高 ， 可 后， 得到 的结论 才是完 整的 、正确 的 ， 不分 如 ｆ＋ ３１ －口 ± ： ４．口 ． ： ｌ Ｉ ：９ １ ． ｔ ａ ／ ｉ 类讨论 ， 就很容 易出现 错误 ， 解题教学 中 ， 在 通 得 腰 上的高 是 或 。 ｙ ｘ＋ ｘ ３ ｙ Ｘ一 ｘ ３ ＝ ４＋ 或 ＝ ４ 过分类讨论 还有利于帮 助学生概括 ， 总结 出规 ２ ４从几何图形 中的点和线 出现不 同的位置进 （）． ３ ‘ Ｅ是第二 象限内到 Ｘ轴 ， 的距 离 ‘ ｙ轴 律性 的东西 ， 从而加 强学生思 维的 条理性 ， 缜 行 分 类 ． 的比为 ５： ２的点 。 密性 。 在证 明圆周角定理 时 ， 由于 圆心的位 置有 ５ １ 可设 Ｅｊ ，上 ／ ， Ｅ在 ｙ ｘ ＋ ｘ － Ｉ若 Ｘ ＝ ４ ＋３ 在 角的边 上 ， 角的内部 ， 角的外 部三 种不 同的 、 ２ 学习分类方法 。 增强思维的缜密性 情况 ， 因此 分三种 不同情 况分 别讨论 证 明 ． 先 ｌ ５＼ 在 教学 中渗 透分 类思 想 时 ， 让学 生 了 应 则 一 或 （ ６ ｌ ）舍去）若 Ｅ在 ； 证 明圆心 在 圆周 角的一条边上 ， 种最容 易解 上， ＥＩ Ｉ Ｅ 一 ， ５（ 这 解， 所谓 的分类就 是选取适 当的标准 ， 根据对 决的 情况 ， 然后 通过作过 圆周角顶 点 的直径 ， 气 ． 象属性 ， 不重 复 ， 不遗漏地 划分为若干 类 ， 后 而 一 Ｘ ｘ 上 贝一 一 ４ 一 无实根 利用先证 明（ 圆心在圆周角的 一条边上 ） 种 ｙ 一 ４ ３ ， Ⅱ ＝ 一 ３ 的这 对每 一子类的 问题 加以解 答 ． 掌握 合理的分类 情况来分 别解决 圆心在 圆周 角的内部 ， 圆心 在 ｆ．三 ＿ １ 方法 ， 成为 解决 问题 的关 键所 在 。 就 Ｅｌ ‘ ・Ｂ一』 与Ａ关于对称轴对 ４ ． ｛３） ２ Ｊ ・ ） 圆周 角的 外部这 两种 情况 。 这是 一种从 定理 分类 的方法有 以下几 种 ： 的证 明过程 中反 映 出来的 分类 讨论 的思 想和 称 ， 由几何知识 可知 ． Ｅ的 周长最 小 ， ＭＢ ＇ 易求直 ２ １ 根据数学 的概 念进行分类 ． 方法 。它

分类思想在初中数学教学中的有效渗透

分类思想在初中数学教学中的有效渗透

分类思考 的过程是观察 、 比较 的过程 ， 也
是 抽象 、 概括 的过 程。那么 ， 在数学教 学
习惯 ， 让学生 面对高强度 的学 习任务也能 游刃有余。在初 中数学 的学 习习惯 中， 预
习和复习尤显重要。
１ ． 重视 预 习
复 习也是一个极其重要的学习习惯 。 根据艾宾浩斯遗忘规律曲线 ， 在识记的最 初 阶段遗忘速度很快 ， 以后逐步减缓。因 此 ，在 学习新知 后若不及 时加以巩 固复 习， 学习效果将大打折扣 。教师应向学 生 强调复 习的重要性 ， 明确要求学生在做 作 业之前先复习当天所学内容 ， 并阶段性 回 顾单元章节知识 ， 以强化学习效果 。 复习主要 包括 两部分 ， 一部分是新授
例如 ， 新人教版初 中数学七年级上册 《 有理数》 一章的学习 ， 可以用来充分体验 分类 思想。 当学生学 习 了有理 数的定义 “ 有理数是整数和分数的统称” 后， 教师可
容 ，在 思维能力 上 已经跃 上 了一定 的 台
阶 ，因 此 进 行 数 学 思 想 的 引 导 已经 有 了
、
体验——分类思想的基本认识
【 中图分 类号 】 Ｇ 【 文献标识码 】 Ａ 【 文章 编号 】 ０ ４ ５ ０ — ９ ８ ８ ９ （ ２ ０ １ ３ ） ０ ７ Ｂ 一
０ ０７ ７－０２
分类思想 既是一种数学思想 ， 也是一 种逻辑思 考的方法 。在教学过程 中 ， 教师 首先要让学生知晓分类思想的存 在 ， 引导
无 限循 环小 数 、 无 限不 循 环 小 数 。 同时 对 无 限 不 循 环小 数 打 上 红 叉 ， 以此 引 起学 生 的注 意 。 同时 ， 对 于有 理 数 大小 的 比较 ， 也

分类思想在初中数学教学中的渗透

分类思想在初中数学教学中的渗透

浅谈分类思想在初中数学教学中的渗透【中图分类号】g633.6 【文献标识码】b 【文章编号】1009-5071(2012)07-0182-01学习是一种个性化行为。

作为教师，应当在课堂教学环境中创设一个有利于张扬学生个性的“场所”，让学生的个性在宽松、自然、愉悦的氛围中得到释放，展现生命的活力。

然而长期以来，我们的课堂忽视了学生个性的发展，过多地强调知识的记忆、模仿，压抑了学生的主动性和创造性，最终使教学变得机械、沉闷，缺乏童心和灵性，缺乏生命活力。

那么面对新课改的挑战，如何让我们的数学课堂真正活起来呢？笔者以为可从以下几点入手：1 让学生成为课堂的主人教育家陶行知先生提倡“行是知之始，知是行之成”。

人的能力并不是靠“听”会的，而是靠“做”会的，只有动手操作和积极思考才能出真知。

因此，我们不能让学生在课堂上做“听客”和“看客”，而且要让学生做课堂的主人，充分调动全身感官，亲身参与课堂实践，包括知识的获取、新旧知识的联系，知识的巩固和应用的全过程。

要强调凡能由学生提出的问题，不要由教师提出；凡能由学生自己解的例题，不要由教师解答；凡能由学生表述的，不要由教师写出。

数学课堂不再是过去的教师“一言堂”，教师在教学活动中应主动参与、积极引导、耐心辅助，与学生平等合作、努力探研，充分发挥教师的主导作用，真正把学生解放出来，使学生成为课堂的主人。

2 营造宽松的课堂气氛要想学生积极参与教学活动，发挥其主体地位，就必须提高学生的主体意识，即学生对自己学习主体地位、主体能力、主体价值的一种自觉意识。

而要唤醒和增强学生的主体意识就必须营造平等、民主和和谐的课堂气氛。

一个良好的课堂气氛，能促进师生双方交往互动，分享彼此的思考、见解和知识，交流彼此的情感、观念与理念，能真正把教师转变为学习活动的组织者、引导者、合作者，把学生真正转变为学习的主人。

营造宽松的课堂气氛，必须以“情感”为基础。

夏丏尊曾经说过：“教育之没有感情，没有爱，如同池塘没有水一样；没有水，就不成其为池塘，没有爱，就没有教育。

浅谈初中数学中的分类讨论思想

浅谈初中数学中的分类讨论思想

浅谈初中数学中的分类讨论思想浅谈初中数学中的分类讨论思想⼀、分类思想定义与特点所谓分类讨论思想，就是当⼀个数学问题在⼀定的题设下，其结论并不唯⼀时，我们就需要对这⼀问题进⾏必要的分类。

将⼀个数学问题根据题设分为有限的若⼲种情况，在每⼀种情况中分别求解，最后再将各种情况下得到的答案进⾏归纳综合。

实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的策略.分类思想有三个明显特点，⼀是对什么东西分类，即确定分类的对象；⼆是按什么标准分类，即选择分类的标准；三是分成哪⼏类，即确定分类的结果。

通过正确的分类，可以使复杂的问题得到清晰、完整、严密的解答。

划分只是⼿段，分类研究才是⽬的.既可以将复杂的问题分解成若⼲个简单的问题，⽽且恰当的分类可避免丢值漏解，从⽽提⾼全⾯考虑问题的能⼒，提⾼周密严谨的数学素养。

⼆、分类讨论思想应遵循以下的原则1、同⼀性原则。

分类应按同⼀标准进⾏，即每次分类不能同时使⽤⼏个不同的分类根据。

有些同学把三⾓形分为锐⾓三⾓形、直⾓三⾓形、钝⾓三⾓形、不等边三⾓形、等腰三⾓形。

这个分类就不正确了，因为这个分类同时使⽤了按边和按⾓两个分类标准。

2、相称性原则。

分类应当相称，即划分后⼦项外延的总和，应当与母项的外延相等。

3、互斥性原则。

分类后的每个⼦项应当互不相容，即做到各⼦项相互排斥，也就是分类后不能有⼀些事物既属于这个⼦项，⼜属于另⼀个⼦项。

4、层次性原则。

分类有⼀次分类和多次分类之分。

⼀次分类是对被讨论对象只分类⼀次；多次分类是把分类后所得的⼦项作为母项，再进⾏分类，直⾄满⾜需要为⽌。

有些对象的分类情况⽐较复杂，这时常采⽤“⼆分法”来分类，就是按对象有⽆某性质来进⾏分类。

按“⼆分法”作分类，就是把讨论对象的外延⼀直分为两个互相⽭盾的概念，⼀直分到不必再分为⽌。

四、分类讨论思想主要步骤通过上述问题的讨论，分类讨论的思想⽅法在初中数学教材中有着⼴泛的渗透。

在运⽤分类思想解题时主要步骤有：（1）明确讨论的对象：即对哪个参数进⾏讨论；（2）对所讨论的对象进⾏合理分类（分类时要做到不重复、不遗漏、标准要统⼀、分层不越级）；（3）逐类讨论：即对各类问题详细讨论，逐步解决。

分类讨论思想在初中数学解题中的若干应用

分类讨论思想在初中数学解题中的若干应用

分类讨论思想在初中数学解题中的若干应用摘要分类讨论思想是初中数学中重要的数学思想之一。

本文主要从数与式、解方程、几何和函数的四个方面，通过典型例题的浅析，阐明了分类讨论思想在初中数学解题中的若干应用。

最后对如何提高初中生分类讨论思想应用水平提出若干建议，旨在帮助学生能够更好的认识和理解分类讨论思想，并将分类讨论思想运用到实际的解题当中去。

【关键词】：^p ：分类讨论思想；初中数学；解题能力 Abstract The thought of classified discussion is one of the important mathematal thoughts in junior middle school mathemats.In this paper, from the four aspects of number and formula, solving equation, geometry and function, through the analysis of typal eles, the author epounds the lation of classified discussion in junior high school mathemats problem-solving.Finally, some suggestions are put forward on how to improve the lation level of the classified discussion ideas of junior high school students, in order to help students better understand and understand the classified discussion ideas, and ly the classified discussion ideas to the actual problem-solving.Key words：Classified Discussion Thought; Junior Middle School Mathemats; Problem Solving Ability 目录 1 引言 1 2 分类讨论思想概述 2 3 分类讨论思想在初中数学解题中的若干应用 3 3.1 分类讨论思想在数与式的应用 3 3.2 分类讨论思想在解方程的应用 4 3.3分类讨论思想在几何的应用 6 3.4分类讨论思想在函数的应用 8 4 提高初中生分类讨论思想应用能力的几点建议 11 4.1 课堂中加强数学思想的渗透 12 4.2 加强学生基础知识的学习 12 4.3提高意识，增加练习量 12 4.4 端正学生学习态度 13 5 结论 13 致谢 15 参考文献 16 1 引言数学史不仅需要考虑到新概念和新定理，更加需要关注数学思想方法的形成发展。

中学数学教学中分类思想渗透

中学数学教学中分类思想渗透

中学数学教学中分类思想的渗透推行素质教育,培养面向新世纪的合格人才,使学生具有创新意识,在创造中学会学习,教育应更多的的关注学生的学习方法和策略。

数学家乔治。

波利亚所说:“完善的思想方法犹如北极星,许多人通过它而找到正确的道路”。

随着课程改革的深入,应试教育“向”素质教育“转变的过程中,对学生的考察,不仅考查基础知识,基本技能,更为重视考查能力的培养。

数学学习离不开思维,数学探索需要通过思维来实现,在初中数学教学中逐步渗透数学思想方法,培养思维能力,形成良好的数学思维习惯,既符合新的课程标准,也是进行数学素质教育的一个切入点。

数学分类思想,就是根据数学对象本质属性的相同点与不同点,将其分成几个不同种类的一种数学思想。

它既是一种重要的数学思想,又是一种重要的数学逻辑方法。

所谓数学分类讨论方法,就是将数学对象分成几类,分别进行讨论来解决问题的一种数学方法。

有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性,能训练人的思维条理性和概括性。

分类讨论思想,贯穿于整个中学数学的全部内容中。

需要运用分类讨论的思想解决的数学问题,就其引起分类的原因,可归结为:①涉及的数学概念是分类定义的;②运用的数学定理、公式或运算性质、法则是分类给出的;③求解的数学问题的结论有多种情况或多种可能;④数学问题中含有参变量,这些参变量的取值会导致不同结果的。

应用分类讨论,往往能使复杂的问题简单化。

分类的过程,可培养学生思考的周密性,条理性,而分类讨论,又促进学生研究问题,探索规律的能力。

分类思想不象一般数学知识那样,通过几节课的教学就可掌握。

它根据学生的年龄特征,学生在学习的各阶段的认识水平和知识特点,逐步渗透,螺旋上升,不断的丰富自身的内涵。

教学中可以从以下几个方面,让学生在数学学习过程中,通过类比、观察、分析、综合、抽象和概括,形成对分类思想的主动应用。

一、渗透分类思想,养成分类的意识每个学生在日常中都具有一定的分类知识,如人群的分类、文具的分类等,我们利用学生的这一认识基础,把生活中的分类迁移到数学中来,在教学中进行数学分类思想的渗透,挖掘教材提供的机会,把握渗透的契机。

浅析分类思想在初中几何中的应用

浅析分类思想在初中几何中的应用

点坐标 ； 若不存在 ， 请说 明理 由。
第二 问求 “ 在抛物线的对称轴上是否存在点Ｑ， 使 ＡＡ Ｂ Ｑ是等 腰 三角形？若存在 ， 求出符合条件 的 Ｑ点坐标 ； 若不存 在 ， 请说 明
理由。”
３ — ． ２ ｔ ｌ ０ ＼
三角形 有一 个公共 角厶４， ＡＱ的对应边是 Ａ Ｂ或 ＡＣ，所以过点 Ｐ 的直线 应有两种作法 。
２ ０ １ ３年 ９月 １ ８日
学科 教 学
浅新分类思想在初 中几何中的应用
文／ 张 丽英
摘
要： 分 类讨论是将研 究对象 的全体按 照不重叠 、 不遗 漏的标 准 ， 划分 为若干部分分析研 究， 再把其分析研究 的结果 综合起 来 ，
从而使 问题得以解决。由于考察 问题 的角度、 方 法不同， 同一 问题 的解 决可以有 不同的分 类标准。分类讨论 思想其 实质是化整为零， 分 而治之。它是 学 习和研 究数 学问题 的一种 重要 的思想和方法。
点的三角形相似 ， 则Ａ Ｑ的长为 （ ）
（ １ ） 求抛物线的解析式 ；
（ ２ ） 在 抛物 线 的对 称 轴上 是
．
Ａ ； ３
Ｂ ． ３ 或
ｊ
Ｃ ． ３ 或÷
斗
Ｄ ．
ｊ
点评 ：由于以 Ａ、 Ｐ、 Ｑ为顶点 的三角形 和以 、 、 ｃ为顶点的
否存 在点 Ｑ， 使 ＡＡ Ｂ Ｑ是 等腰 三 角形？若存在 ， 求 出符合条件的 Ｑ
反思 ：
分类讨 论 的过 程是 同中求异和 异中求 同两种思 维方式 的有
机结合 ， 即先 抓住问题涉及对象 的不 同特 点 ， 分 为既不重复 ， 又不 遗漏的几类 ， 运用分类讨论思想解题 的步骤 ：
  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

分类思想在初中教 推行素质教育，培养面向新世纪的合格人才，使学生具有创新意识，在创造中学会学习，教育应更多的的关注学生的学习方法和策略。数学家乔治。波利亚所说：“完善的思想方法犹如北极星，许多人通过它而找到正确的道路” .随着课程改革的深入， "应试教育“向”素质教育“转变的过程中，对学生的考察，不仅考查基础知识，基本技能，更为重视考查能力的培养。如基本知识概念、法则、性质、公式、公理、定理的学习和探索过程中所反映出来的数学思想和方法;要求学生会观察、比较、分析、综合、抽象和概括;会阐述自己的思想和观点。从而提高学生的数学素养，对学生进行思想观念层次上的数学教育。 数学学习离不开思维，数学探索需要通过思维来实现，在初中数学教学中逐步渗透数学思想方法，培养思维能力，形成良好的数学思维习惯，既符合新的课程标准，也是进行数学素质教育的一个切入点。 数学分类思想，就是根据数学对象本质属性的相同点与不同点，将其分成几个不同种类的一种数学思想。它既是一种重要的数学思想，又是一种重要的数学逻辑方法。 所谓数学分类讨论方法，就是将数学对象分成几类，分别进行讨论来解决问题的一种数学方法。有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理性和概括性。 分类讨论思想，贯穿于整个中学数学的全部内容中。需要运用分类讨论的思想解决的数学问题，就其引起分类的原因，可归结为：①涉及的数学概念是分类定义的;②运用的数学定理、公式或运算性质、法则是分类给出的;③求解的数学问题的结论有多种情况或多种可能;④数学问题中含有参变量，这些参变量的取值会导致不同结果的。应用分类讨论，往往能使复杂的问题简单化。分类的过程，可培养学生思考的周密性，条理性，而分类讨论，又促进学生研究问题，探索规律的能力。 分类思想不象一般数学知识那样，通过几节课的教学就可掌握。它根据学生的年龄特征，学生在学习的各阶段的认识水平和知识特点，逐步渗透，螺旋上升，不断的丰富自身的内涵。 教学中可以从以下几个方面，让学生在数学学习过程中，通过类比、观察、分析、综合、抽象和概括，形成对分类思想的主动应用。 一、 渗透分类思想，养成分类的意识 每个学生在日常中都具有一定的分类知识，如人群的分类、文具的分类等，我们利用学生的这一认识基础，把生活中的分类迁移到数学中来，在教学中进行数学分类思想的渗透，挖掘教材提供的机会，把握渗透的契机。如数的分类，绝对值的意义，不等式的性质等，都是渗透分类思想的很好机会。 整数、 分数 正有理数 零 负有理数 教授完负数、有理数的概念后，及时引导学生对有理数进行分类，让学生了解到对不同的标准，有理数有不同的分类方法，如分为： 有理数 有理数 为下一步分类讨论奠定基础。 认识数a可表示任意数后，让学生对数a 进行分类，得出正数、零、负数三类。 讲解绝对值的意义时，引导学生得到如下分类： 通过对正数、零、负数的绝对值的认识，了解如何用分类讨论的方法学习理解数学概念。 又如，两个有理数的比较大小，可分为：正数和正数、正数和零、正数和负数、负数和零、负数和负数几类情况来比较，而负数和负数的大小比较是新的知识点，这就突出了学习的重点。 结合“有理数”这一章的教学，反复渗透，强化数学分类思想，使学生逐步形成数学学习中的分类的意识。并能在分类讨论的时候注意一些基本原则，如分类的对象是确定的，标准是统一的，如若不然，对象混杂，标准不一，就会出现遗漏、重复等错误。如把有理数分为：正数、负数、整数，就是犯分类标准不一的错误。在确定对象和标准之后，还要注意分清层次，不越级讨论。 二、 学习分类方法，增强思维的缜密性 在教学中渗透分类思想时，应让学生了解，所谓分类就是选取适当的标准，根据对象的属性，不重复、不遗漏地划分为若干类，而后对每一子类的问题加以解答。掌握合理的分类方法，就成为解决问题的关键所在。 分类的方法常有以下几种： 1、根据数学的概念进行分类 有些数学概念是分类给出的，解答此类题，一般按概念的分类形式进行分类。 例1，化简解： 这是按绝对值的意义进行分类。 例2、比较 与 易得 的错误，导致错误在于没有注意到数 可表示不同类的数。而对数 进行分类讨论，既可得到正确的解答： 〉0 时 ，= 0 时 ，< 0 时 ，2、根据数学的法则、性质或特殊规定进行分类 学习一元二次方程 ， 根的判别式时，对于变形后的方程 用两边开平方求解，需要分类研究 大于0，等于0，小于0这三种情况对应方程解的情况。而此题 的符号决定能否开平方，是分类的依据。从而得到一元二次方程 的根的三种情况。 例3、解关于x的不等式：ax+3>2x+a 分析通过移项不等式化为(a-2)x>a-3的形式，然后根据不等式的性质可分为a-2>0，a-2=0，和a-2<0三种情况分别解不等式。 当a-2>0，即a>2时，不等式的解是x> 当，a-2=0，即a=2时，不等式的左边=0，不等式的右边=-1 因为01-1，所以不等式的解是一切实数。 当a-2<0，即a<2时，不等式的解是x< 3、根据图形的特征或相互间的关系进行分类 如三角形按角分类，有锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，直线和圆根据直线与圆的交点个数可分为：直线与圆相离、直线与圆相切、直线与圆相交。 例如 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，底边长为a，则其腰上的高是 .(2002年河南中考题) 分析：本题根据图形的特征，把等腰三角形分为锐角三角形和钝角三角形两类作高CD，如图，可得腰上的高是 或从几何图形的点和线出现不同的位置进行分类 在证明圆周角定理时。由于圆心的位置有在角的边上、角的内部，角的外部三种不同的情况，因此分三种不同情况分别讨论证明。先证明圆心在圆周角的一条边上，这种最容易解决的情况，然后通过作过圆周角顶点的直径，利用先证明(圆心在圆周角的一条边上)的这种情况来分别解决圆心在圆周角的内部、圆心在圆周角的外部这两种情况。这是一种从定理的证明过程中反映出来的分类讨论的思想和方法。它是根据几何图形点和线出现不同位置的情况逐一解决的方法。教材中在证明弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。也是如此分圆心在弦切角的一条边上，弦切角的内部、弦切角的外部三种不同情况解决的。 三、引导分类讨论，提高合理解题的能力 初中课本中有不少定理、法则、公式、习题，都需要分类讨论，在教授这些内容时，应不断强化学生分类讨论的意识，让学生认识到这些问题，只有通过分类讨论后，得到的结论才是完整的、正确的，如不分类讨论，就很容易出现错误。在解题教学中，通过分类讨论还有利于帮助学生概括，总结出规律性的东西，从而加强学生思维的条理性，缜密性。 一般来讲，利用分类讨论思想和方法解决的问题有两大类：;其一是涉及代数式或函数或方程中，根据字母不同的取值情况，分别在不同的取值范围内讨论解决问题。其二是根据几何图形的点和线出现不同位置的情况，逐一讨论解决问题 例4、已知函救y=(m-1)x2+(m-2)x-1(m是实数)。如果函数的图象和x轴只有一个交点，求m的值。 分析：这里从函数分类的角度讨论，分 m-1=0 和 m-110 两种情况来研究解决问题。 解：当m=l 时函数就是一个一次函数y=-x-1，它与x轴只有一个交点(-1，0)。 当 m11 时，函数就是一个二次函数y=(m-1)x2+(m-2)x-1 当△=(m-2)2+4(m-1)=0，得 m=0. 抛物线 y=-x2-2x-1，的顶点(-1，0)在x轴上 例5、 函数 y = x6 – x5 + x4- x3 + x2 – x +1，求证：y 的值恒为正数。 分析：将y的表达式分解因式，虽可证得结论但较难。分析可发现，若将变量x在实数范围内适当分类，则问题容易解决。 证明：⑴ 当x ≤0时 ∵ x5 - x3 - x ≥0 ，∴ y≥1恒成立; ⑵ 当0 < x <1时 y = x6 + ( x4 – x5 ) + ( x2 – x3 ) + ( x – 1) ∵x4 > x5 ， x2 > x3 ， 1> x ∴ y > 0 成立; ⑶ 当x = 1 时， y = 1 > 0 成立; ⑷ 当x >1时 y = ( x6 – x5 ) + ( x4 – x3 ) + ( x2 – x ) + 1 ∵ x6 > x5 ， x4 > x3 ， x2 > x ∴ y > 1成立 综上可知，y > 0 成立。 例6、已知△ABC是边长为2的等边三角形，△ACD是含30°角的直角三角形。△ABC和△ACD拼成一个凸四边形ABCD.(1)画出四边形ABCD;(2)求四边形ABCD的面积。 分析含30°角的直角三角形ACD中我们可以把AC作为斜边、AC作为直角边二类情况来研究。如图1是以AC为斜边和等边三角形ABC拼成的四边形ABCD(DDAC=30°和DDAC=60°这两种图形算出的四边形ABCD面积相同的，故归纳为同一类)。AC为直角边又可分为二种不同情况如图2和3.从图1，S四边形ABCD=;从图2，可算得S四边形ABCD=;可算得S四边形ABCD=3 由以上的几个例子，我们可以看出分类讨论往往能使一些错综复杂的问题变得异常简单，解题思路非常的清晰，步骤非常的明了。另一方面在讨论当中，可以激发学生学习数学的兴趣。 利用现有教材，教学中着意渗透并力求帮助学生初步掌握分类的思想方法，结合其它数学思想方法的学习，注意几种思想方法的综合使用，给学生提供足够的材料和时间，启发学生积极思维。相信会使学生在认识层次上得到极大的提高，收到事半功倍的教学成效。 参考文献： [1] 《全日制义务教育课程标准(实验稿)》。北京师范大学出版社 [2] 《初中生学习法与能力培养》任勇 [3] 《数学思想和数学方法》。蔡上鹤