高等数学函数的极限与连续习题及答案

高等数学函数的极限与连续习题及答案

文件排版存档编号：[UYTR-OUPT28-KBNTL98-UYNN208]

1、函数12xxxf与函数113xxxg相同．

错误 ∵当两个函数的定义域和函数关系相同时，则这两个函数是相同的。

∴12xxxf与113xxxg函数关系相同，但定义域不同，所以xf与xg是不同的函数。

2、如果Mxf（M为一个常数），则xf为无穷大．

错误 根据无穷大的定义，此题是错误的。

3、如果数列有界，则极限存在．

错误 如：数列nnx1是有界数列，但极限不存在

4、aannlim，aannlim．

错误 如：数列nna1，1)1(limnn，但nn)1(lim不存在。

5、如果Axfxlim，则Axf（当x时，为无穷小）．

正确 根据函数、极限值、无穷小量的关系，此题是正确的。

6、如果～，则o．

正确 ∵1lim，是

∴01limlim，即是的高阶无穷小量。

7、当0x时，xcos1与2x是同阶无穷小．

正确 ∵2122sin412lim2sin2limcos1lim2022020xxxxxxxxx

8、 01sinlimlim1sinlim000xxxxxxx．

错误 ∵xx1sinlim0不存在，∴不可利用两个函数乘积求极限的法则计算。

9、 exxx11lim0．

错误 ∵exxx11lim

10、点0x是函数xxy的无穷间断点．

错误 xxx00lim1lim00xxx，xxx00lim1lim00xxx

∴点0x是函数xxy的第一类间断点．

11、函数xfx1必在闭区间ba,内取得最大值、最小值．

错误 ∵根据连续函数在闭区间上的性质，xfx1在0x处不连续

∴函数xfx1在闭区间ba,内不一定取得最大值、最小值

二、填空题：

1、设xfy的定义域是1,0，则

（１）xef的定义域是（ (,0) ）；

（２）xf2sin1的定义域是（ ,()2xxkxkkZ ）；

（３）xflg的定义域是（ (1,10) ）．

答案：（1）∵10xe

（2）∵1sin102x

（3）∵1lg0x

2、函数403000222xxxxxxf的定义域是（ 4,2 ）．

3、设2sinxxf，12xx，则xf（ 221sinx ）．

4、nxnnsinlim＝（ x ）．

∵xxnxnxnnxnxnnnnsinlim1sinlimsinlim

5、设11cos11211xxxfxxxx，则10limxfx（ 2 ），xfx01lim（ 0 ）．

∵1010limlim(1)2xxfxx，01limlim0101xxfxx

6、设00cos12xaxxxxf，如果xf在0x处连续，则a（ 21 ）．

∵21cos1lim20xxx，如果xf在0x处连续，则afxxx021cos1lim20

7、设0x是初等函数xf定义区间内的点，则xfxx0lim（ 0xf ）．

∵初等函数xf在定义区间内连续，∴xfxx0lim0xf

8、函数211xy当x（ 1 ）时为无穷大，当x（  ）时为无穷小．

∵2111limxx，011lim2xx

9、若01lim2baxxxx，则a（ 1 ），b（ 21 ）．

∵baxxxx1lim2baxxxbaxxxbaxxxx111lim222

欲使上式成立，令012a，∴1a，

上式化简为

222211212112limlimlim11111xxxbababxbabxabxxaxbaxxx∴1a，021ab，12b

10、函数xxf111的间断点是（ 1,0xx ）．

11、34222xxxxxf的连续区间是（ ,3,3,1,1, ）．

12、若2sin2limxxaxx，则a（ 2 ）．

200limsin2limsin2limaaxxaxxaxxxx ∴2a

13、xxxsinlim（ 0 ），xxx1sinlim（ 1 ），

xxx101lim（ 1e ），kxxx11lim（ ke ）．

∵0sin1limsinlimxxxxxx 111sinlim1sinlimxxxxxx

14、limsin(arctan)xx（ 不存在 ），limsin(arccot)xx（ 0 ）

三、选择填空：

1、如果axnnlim，则数列nx是（ b ）

a.单调递增数列 b．有界数列 c．发散数列

2、函数1log2xxxfa是（ a ）

a．奇函数 b．偶函数 c．非奇非偶函数

∵11log1)(log22xxxxxfaa

3、当0x时，1xe是x的（ c ）

a．高阶无穷小 b．低阶无穷小 c．等价无穷小

4、如果函数xf在0x点的某个邻域内恒有Mxf（M是正数），则函数xf在该邻域内（ c ）

a．极限存在 b．连续 c．有界

5、函数xfx11在（ c ）条件下趋于.

a．1x b．01x c．01x

6、设函数xfxxsin，则xfx0lim（ c ）

a．１ b．－１ c．不存在

∵1sinlimsinlimsinlim000000xxxxxxxxx

根据极限存在定理知：xfx0lim不存在。

7、如果函数xf当0xx时极限存在，则函数xf在0x点（ c ）

a．有定义 b．无定义 c．不一定有定义

∵xf当0xx时极限存在与否与函数在该点有无定义没有关系。

8、数列１，１，21，２，31，３，…，n1，n，…当n时为（ c ）

a．无穷大 b．无穷小 c．发散但不是无穷大

9、函数xf在0x点有极限是函数xf在0x点连续的（ b ）

a．充分条件 b．必要条件 c．充分必要条件

10、点0x是函数1arctanx的（ b ）

a．连续点 b．第一类间断点 c．第二类间断点

∵001limarctan2xx 001limarctan2xx

根据左右极限存在的点为第一类间断点。

11、点0x是函数x1sin的（ c ）

a．连续点 b．第一类间断点 c．第二类间断点

四、计算下列极限：

1、nnnn31lim

解 31))1(3131(lim31limnnnnnnn

2、0tan3limsin2xxx

解 0tan3limsin2xxx2323lim0xxx （∵xx2sin,0～2,tan3xx～x3）

3、xxxxxlim

4、nnnnn221lim

解 nnnnnnnnnnnnnnnnnn22222222111lim1lim

5、xxxxxsinlim2300

6、11sinlim20xxxx

7、11lim0xxx

8、1lim1xxxx

9、30tansinlimxxxx

(∵210,1cos2xxx,sinx)

10、xxx2cos1lim00

解 21221lim2cos1lim20000xxxxxx

(∵xxcos1,0～221x)

11、1lim1xxxx

解 121111limlim111xxxxxxexxeex

12、xxx11lnlim

解 xxx11lnlim111limln11lnlimxxxxxx

13、xxxxxcoscoslim

解 cos1coslimlim1coscos1xxxxxxxxxx

14、1112lim21xxx

解 2211121111limlimlim11112xxxxxxxx

15、44334lim2xxx

解 44443333414limlim1221xxxxxx16、xxxcos1sinlim00

解 0000002sinsinsinlimlim2lim21cos12xxxxxxxxx