第一篇 函数、极限与连续
第一章 函数、极限与连续
高等数学的主要内容是微积分，微积分是以变量为研究对象，以极限方法为基本研究手段的数学学科.本章首先复习函数相关内容，继而介绍极限的概念、性质、运算等知识，最后通过函数的极限引入函数的连续性概念，这些内容是学习高等数学课程极其重要的基础知识.
第1节 集合与函数
1.1 集合
1.1.1 集合
讨论函数离不开集合的概念.一般地，我们把具有某种特定性质的事物或对象的总体称为集合，组成集合的事物或对象称为该集合的元素.
通常用大写字母A 、B 、C 、 表示集合，用小写字母a 、b 、c 、 表示集合的元素.
如果a 是集合A 的元素，则表示为A a ∈，读作“a 属于A ”；如果a 不是集合A 的元素，则表示为A a ∉，读作“a 不属于A ”.
一个集合，如果它含有有限个元素，则称为有限集；如果它含有无限个元素，则称为无限集；如果它不含任何元素，则称为空集，记作Φ.
集合的表示方法通常有两种：一种是列举法，即把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合.例如，有1,2,3,4,5组成的集合A ，可表示成
A ={1,2,3,4,5}；
第二种是描述法，即设集合M 所有元素x 的共同特征为P ，则集合M 可表示为
{}P x x M 具有性质|=.
例如，集合A 是不等式022<--x x 的解集，就可以表示为
{}
02|2<--=x x x A .
由实数组成的集合，称为数集，初等数学中常见的数集有：
（1）全体非负整数组成的集合称为非负整数集（或自然数集），记作N ，即
{} ,,,3,2,1,0n N =；
（2）所有正整数组成的集合称为正整数集，记作+
N ，即
{} ,,,3,2,1n N =+；
（3）全体整数组成的集合称为整数集，记作Z ，即
{} ,,,3,2,1,0,1,2,3,,,n n Z ----=；
（4）全体有理数组成的集合称为有理数集，记作Q ，即
⎭
⎬⎫⎩⎨⎧∈∈=+互质与且q p N q Z p q p Q ,,；
（5）全体实数组成的集合称为实数集，记作R .
1.1.2 区间与邻域
在初等数学中，常见的在数集是区间.设R b a ∈,，且b a <，则 （1）开区间 {}b x a x b a <<=|),(；
（2）半开半闭区间 {}b x a x b a <≤=|),[，{}b x a x b a ≤<=|],(； （3）闭区间 {}b x a x b a ≤≤=|],[；
（4）无穷区间 {}a x x a ≥=+∞|),[， {}a x x a >=+∞|),(，{}b x x b ≤=-∞|],(， {}b x x b <=-∞|),(，{}R x x ∈=+∞-∞|),(.
以上四类统称为区间，其中（1）-（4）称为有限区间，（5）-（8）称为无限区间.在数轴上可以表示为（图1-1）：
（1） （2）
（3） （4）
（5） （6）
（7） （8）
图 1-1
在微积分的概念中，有时需要考虑由某点0x 附近的所有点组成的集合，为此引入邻域的概念.
定义1 设δ为某个正数，称开区间),(00δδ+-x x 为点0x 的δ邻域，简称为点0x 的
邻域，记作),(0δx U ，即
{}δδδ+<<-=0000|),(x x x x x U {}δ<-=|||0x x x .
在此，点0x 称为邻域的中心，δ称为邻域的半径，图形表示为（图1-2）：
图1-2
另外，点0x 的邻域去掉中心0x 后，称为点0x 的去心邻域，记作),(0δx U o
，即
{}δδ<-<=||0|),(00x x x x U o
,
图形表示为（图1-3）：
图1-3
其中),(00x x δ-称为点0x 的左邻域，),(00δ+x x 称为点0x 的右邻域. 1.2函数的概念
1.2.1函数的定义
定义2 设x 、y 是两个变量，D 是给定的数集，如果对于每个D x ∈，通过对应法则
f ，有唯一确定的y 与之对应，则称y 为是x 的函数，记作)(x f y =.其中x 为自变量，y
为因变量，D 为定义域,函数值)(x f 的全体成为函数f 的值域，记作f R ，即
{}D x x f y y R f ∈==),(|.
函数的记号是可以任意选取的, 除了用f 外, 还可用“g ”、“F ”、“ϕ”等表示. 但在同一问题中, 不同的函数应选用不同的记号.
函数的两要素：函数的定义域和对应关系为确定函数的两要素.
例1 求函数211
x x
y --=的定义域. 解
x
1的定义区间满足：0≠x ；2
1x -的定义区间满足：012≥-x ，解得11≤≤-x .
这两个函数定义区间的公共部分是
1001≤<<≤-x x 或.
所以，所求函数定义域为]1,0()0,1[ -.
例2 判断下列各组函数是否相同. （1）x x f lg 2)(=，2
lg )(x x g =； （2）334)(x x
x f -=，31)(-=x x x g ； （3）x x f =)(，2)
(x x g =
.
解 （1）x x f lg 2)(=的定义域为0>x ，2
lg )(x x g =的定义域为0≠x .两个函数定义域不同，所以)(x f 和)(x g 不相同.
（2）)(x f 和)(x g 的定义域为一切实数.334)(x x x f -=)(13x g x x =-=,所以
)(x f 和)(x g 是相同函数.
（3）x x f =)(，x x x g ==
2)(,故两者对应关系不一致，所以)(x f 和)(x g 不相同.
函数的表示法有表格法、图形法、解析法(公式法)三种.常用的是图形法和公式法两种.
在此不再多做说明.
函数举例:
例3 函数⎪⎩
⎪
⎨⎧>=<-==0,10,00,1sgn x x x x y ，函数为符号函数，定义域为R ，值域{}1,0,1-. 如
图1-4：
图1-4
例4 函数[]x y =，此函数为取整函数，定义域为R ， 设x 为任意实数, y 不超过x 的最大整数，值域Z . 如图1-5：
图1-5
