线性控制系统的状态空间描述lyq

其中 A(t) n×n — 系统矩阵 B(t) n×r — 输入矩阵 C(t) m×n — 输出矩阵 D(t) m×r — 前馈矩阵
D(t)
X
X
U
B(t)
C(t)
Y
A(t)
离散时间线性系统的状态空间描述
离散系统：各变量在离散时刻取值，状态空间反映离 散时刻的变量组间的因果关系和变换关系。用 k=0,1,2…表示离散时刻。 状态空间描述形式：
的因果关系，即输入和输出间的因果关系。 例如：线性定常、单输入－单输出系统，外部描述为线性常系
数微分方程。
y(t) an1 y(n1) (t) a1 y(t) a0 y(t) bm u(m) (t) bn1u(m1) (t ) b1u(t ) b0u(t )
零初始条件下，传递函数为：
输出方程／量测方程：代数方程
y1 g1 ( x1, , xn ; u1, , ur ; t)
t t0
ym gm ( x1, , xn ; u1, , ur ; t)
向量形式：
y g(x, u, t)
• 线性系统的状态空间描述
x A(t)x B(t)u
y
C(t)
x
D(t
)u
t t0
L diL dt
L diL dt
0 e
e(t)
R1
C
iC
L
iL U c R2 U R2
uc
iL
(R1
1
R2 R1
)C
L(R1 R2 )
(
R1
R1 R2 R1R2
)C
uc
iL
(
R1
1
R2 R2
)C
e

x&(t) Ax(t) Bu(t) y(t) Cx(t) Du(t)
• 情况1：输入u不含导数
y(n) an1y(n1) L a1y& a0 y bu
自主技术与智能控制研究中心
二、状态空间模型的建立
输入u不含导数 y(n) an1y(n1) L a1y& a0 y bu
选取状态变量 x1 y x2 y x3 y
I ml2 ml
自主技术与智能控制研究中心
ml M m
二、状态空间模型的建立
用一阶微分方程组表示系统模型！
&x& 1m2l2 g 1(I ml2 )u && 1(M m)mgl 1mlu
引入新的变量
x1 x x2 x&
x3 x4 &
x&1 x2
x&2 x&3
{1m2l x4
x&% Ax% Bu%
y%
Cx%
Du%
f1
A
f x
|x0
,u0
x1
M
fn x1
L O L
f1 xn
M
fn xn
B
f u
|x0 ,u0
,C
g x
|x0
,u0
,
D
g u
|x0 ,u0
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二、状态空间模型的建立 例3：质量-弹簧-阻力器系统
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u
线性化 0 V mg
m
d2 dt 2
(x
l
sin )
H
I&& Vl Hl
m d 2 (l cos) V mg

第一章线性系统的状态空间描述1.内容系统的状态空间描述化输入—输出描述为状态空间描述由状态空间描述导出传递函数矩阵线性系统的坐标转换组合系统的状态空间方程与传递函数矩阵2.基本概念系统的状态和状态变量状态：完全描述系统时域行为的一个最小变量组状态变量：构成系统状态的变量状态向量设系统状态变量为X i(t),X2(t)厂，X n(t)写成向量形式称为状态向量，记为_X i(t)x(t)=_X n(t)状态空间状态空间：以状态变量为坐标轴构成的n维空间状态轨迹：状态变量随时间推移而变化，在状态空间中形成的一条轨迹。

3. 状态空间表达式设系统r 个输入变量：U i (t ),u 2(t )^ ,u r (t )m 个输出：yQM), ,y m (t)n 个状态变量：X i (t),X 2(t), ,X n (t)例：图示RLC 电路，建立状态空间描述i LC电容C 和电感L 两个独立储能元件，有两个状态变量, 方程为如图中所注,Ldi L (t)dtRi L (t) U c (t) =u(t)C 沁 “L (t)dtX i (t)二 L(t), X 2(t)二 U c (t)二 LX i (t) RX i (t) X 2(t)二 u(t)Cx (t)二 X (t) N(t) - R/L 殳⑴门1/C0 匚X 2(— Ou(t)U c输出方程一般定义状态方程：状态变量与输入变量之间的关系dX i (t) dt = X i (t)二 f i 〔X i (t),X 2(t), ,X n (t)；U i (t),U 2(t), ,U r (t);tl dX 2(t) dt = X 2(t)二 f 2'X i (t),X 2(t)^ ,X n (t)；U i (t),U 2(t), ,U r (t)；t 】dX n (t) dt 二 X n (t)二 f n 〔X i (t),X 2(t), ^⑴小⑴心⑴,,U 「(t)；t 】用向量表示，得到一阶的向量微分方程x(t)二 f 'X(t),u(t), t 1其中X i (t)U ](t)fQ) “、 X 2(t) -U 2(t) .f 2(・)・QnX(t) -c R ,u(t)戶；cR , f (•) ^^： cR N(t) 一JU r (t) 一-f n (叽输出方程：系统输出变量与状态变量、输入变量之间的关系，即%(t)二 g i X i (t),X 2(t),,X n (t)；U i (t),U 2(t), ,U r (t)；t ]y 2(t)二 g 2 X i (t), X 2(t), ,X n (t)；U i (t),U 2(t),,U r (t)；t 〔y(t)二 ％(t)二 101 X i (t) 殳(t).y m(t)二g m X i(t),X2(t), ,X n(t)；U i(t),U2(t),,U r(t)；t】用向量表示为y(t)二gX(t),U(t),t]4系统分类：1) 非线性时变系统：x(t) = f〔x(t),u(t),t 】y(t)二 g〔x(t),u(t),t 〕2) 非线性定常系统x(t)二 f 〔x(t),u(t)】 y(t)二 g'x(t),u(t)]3) 线性时变系统‘X i =a“(t)X i + …+a in (t)X n +bn(t)u i + …+匕「住)山 jX n =a ni (t)X i + …+a nn (t)X n +b ni (t)U i + …+0「住)山写成向量形式即为：x(t) = A(t)x(t)+B(t)u(t) y(t)=C(t)x(t) + D(t)u(t)其中：4) 线性定常系统a ii (t) a i2(t)a 2i (t) a 22 (t) A(t)—: :a in (t) bn(t)b i2 (t) a2n ⑴，B(t)=b ⑴ b22(t) _a ni (t)a n2(t) a nn (t) 「Gi(t)C(t)二C 2i (t) cmi (t )G2(t) C 22(t )a_b ni (t) b n2(t)C in (t)〕"dn(t) d i2(t)C 2n (t) d 2i (t) d 22(t)，D(t)=Cmn(t)_-dmi(t)dm2(t)d ir (t) d 2r (t )b ir (t) b 2r (t)ab nr (t)「x(t) = Ax(t) + Bu(t)y(t) = Cx(t) + Du(t)5状态空间表达式的系统结构图状态和输出方程可以用结构图表示，形象地表明系统中信号传递关线性时变系统结构图6根据物理机理建立状态空间表达式对不同控制系统，根据其机理，即相应的物理或化学定律，可建立系统的状态空间表达式，步骤如下：1)确定系统输入、输出和状态变量；2)列出方程；3)消去中间变量；4)整理成标准的状态和输出方程。

u1
y1
u2
up
(2)系统的内部描述
x1, x2 ,, xn
y2
yq
状态空间描述是系统内部描述的基本形式,需要由两个数学方程表征,—— 状态方 程和输出方程 (3)外部描述和内部描述的比较 一般的说外部描述只是对系统的一种不完全描述,不能反映黑箱内部结构的不 能控或不能观测的部分. 内部描述则是系统的一种完全的描述,能够完全反映系统的所有动力学特性.
x1 (k 1) 1.01 (1 0.04) x1 (k ) 1.01 0.02x2 (k ) 1.01 5 104 u(k ) x2 (k 1) 1.01 (1 0.02) x2 (k ) 1.01 0.04x1 (k ) 1.01 5 104 u(k )
离散时间线性时变系统
X (k 1) G(k ) x(k ) H (k )u (k ) Y (k ) C (k ) x(k ) D(k )u (k )
6/7,10/50
状态空间描述的特点 一是:状态方程形式上的差分型属性 二是:描述方程的线性属性 三是:变量取值时间的离散属性
离散时间线性系统的方块图
iL
Uc
R2 U R2
R1 1 ( R1 R2 )C uc ( R1 R2 )C e R1 R2 iL R2 L( R1 R2 ) L( R1 R2 ) R1 R2 uc R2 i e R1 R2 L R1 R2
其传递函数描述
Y (s) bm s m bm1 s m1 b1 s1 b0 g ( s) U ( s) s n an1 s n1 a1 s a0