高数函数极限方法总结

5．应用两个重要极限公式（重要公式法）
sin x lim 1 x0 x
li(1 m 1 )x li(1 m 1 )n li(1 m x )1 x e
x n xБайду номын сангаас
n
x 0
0
第一个重要极限
0
第二个重要极限（1+0）∧∞。
强行代入，定型定法
第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤：
各项的拆分相加
（来消掉中间的大多数） （对付的还是数列极限） 可以使用待定系数法来拆分化简函数
16、用罗必塔法则求极限（上下分别 求导）
【注】许多变动上显的积分表示的极限，常用罗必塔法则求解 LHopital 法则、洛必达法则 （所以面对数列极限时候先要转化成 求x趋近情况下的极限， 当然n趋近是x趋近的一种情况而已，是必 要条件 ） （还有一点 数列极限的n当然是趋近于正无穷的 不可能是负无 穷！） （导数存在、极限存在） （必须是 0比0 无穷大比无穷大） （当然还要注意分母不能为0 ） 0乘以无穷 无穷减去无穷 （ 应为无穷大与无穷小成倒数的关系） 0 的0次方 1的无穷次方 无穷的0次方 对于（指数幂数）方程 方法主要是取指数还取对数的方法， 这样就 能把幂上的函数移下来了， 就是写成0与无穷的形式了 ，
2
【说明】 (1) 等价无穷小量代换,只能代换极限式中的因式； (2)此方法在各种求极限的方法中应作为首选。 (3)只能在乘除时使用，但是不是说一定在加减的时候不能 用，但是前提要证明拆分后极限依然存在。
7、换元法、代换法
8、夹逼法则（迫敛法则）：
数列极限 适当变形，放缩和扩大
一.如果数列{Xn},{Yn}及{Zn}满足下列条件： （1）从某项起，即当n>n。，其中n。∈N，有Yn≤Xn≤Zn。 (n=n。+1，n。
9、收敛数列的性质
1.收敛数列与其子数列收敛同一个数 2、（极限存在性定理）单调递增有上 界函数收敛，单调递减有下界函数收 敛。（证明） 利用每项数列趋于同一数方程求解。 （求出极限）
10、无穷小和无穷大的性质：
无穷小与有界函数的处理办法 尤其对正余旋的复杂函数与其他函数相乘的形式
相同极限条件下 1.有限个无穷小的和是无穷小，无限个不一定 2.无穷小与有界函数的乘积是无穷小 3.有限个、无限个无穷小的乘积是无穷小
17、对数恒等式、幂指函数
limf (x)g(x)
18、利用Taylor公式求极限
泰勒展开式公式 (含有e的x次方的时候 ，尤 其是含有正余弦的加减的时候要特别注意E
那么常数A就叫做函数f(x)当x→x。时的极限。
14、函数的连续性
15、特殊型
x的x次方 快于 x！ 快于 指数函数 快于 幂数函数 快 于 对数函数 （画图也能看出速率的快慢） 当x 趋近无穷的时候 他们的比值的极限一眼就能看出来 了
等比等差数列公式应用
（对付数列极限） （q绝对值符号要小于1）
4.有限个无穷大之积是无穷大 5.无穷大与有界函数之和是无穷大，之积不一定 6.同号无穷大之和是无穷大
11、极限的四则运算性质
12、利用单侧极限
12、函数极限的定义
设函数f(x)在点x。的某一去心邻域内有定义，如果存在 常数A，对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正 数δ ，使得当x满足不等式0<|x-x。|<δ 时，对应的函数值 f(x)都满足不等式： |f(x)-A|<ε
+2，……）， （2）当n→∞，limYn =a；当n→∞ ，limZn =a， 那么，数列{Xn}的极限存在，且当 n→∞，limXn =a。
二.F(x)与G(x)在Xo连续且存在相同的极限A,
limF(x)=limG(x)=A 则若有函数f(x)在Xo的某邻域内恒有 F(x)≤f(x)≤G(x) 则当X趋近Xo,有limF(x)≤limf(x)≤limG(x) 即 A≤limf(x)≤A 故 limf(Xo)=A
先凑出１，再凑
1 X
，最后凑指数部分。
6．等价无穷小代换法 x 0 x ~ s x ~ t i x ~ a n a x n ~ r a c x ~ r l 1 s c n x ) ~ ei x t ( 1n an
1co x~s1x2,1abx1~abxa∧x—1～xlna(a是固定的，x是变量)
高数函数极限方法总结
周凌伊
1、直接代入法
分母不为零
2．约去零因子法
0 0
3、抓大头法
一般分子分母同除最高次方；对于多项式函数

0
limanxn xbmxm
an1xn1 a0 bm1xm1 b0
an
bn
mn mn mn
4．分子(母)有理化法
分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。 及时分离极限式中的非零因子是解题的关键