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第11讲 函数与方程学生

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新教材 高一年级

1 第11讲 函数的零点

[玩前必备]

1．函数的零点

(1)函数零点的定义

对于函数y＝f(x) (x∈D)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x) (x∈D)的零点．

(2)几个等价关系

方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．

(3)函数零点的判定(零点存在性定理)

如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个__c__也就是方程f(x)＝0的根．

2．二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象与零点的关系

Δ>0 Δ＝0 Δ<0

二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象

与x轴的交点 (x1,0)，(x2,0) (x1,0) 无交点

零点个数 2 1 0

3.二分法

对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．

[玩转典例]

题型一 求函数的零点

例1 求下列函数的零点：

(1)f(x)＝－x2－2x＋3；

(2)f(x)＝x4－1.

(3)函数f(x)＝(lg x)2－lg x的零点为________

新教材 高一年级

2 [玩转跟踪]

1.已知函数f(x)＝ 2x－1，x≤1，1＋log2x，x>1，则函数f(x)的零点为( )

A.12，0 B．－2,0 C.12 D．0

2.求函数y＝(ax－1)(x＋2)的零点.

题型二 函数零点个数或所在区间的判断

例2 (1)设x0是方程ln x＋x＝4的解，则x0属于( )

A．(0,1) B．(1,2)

C．(2,3) D．(3,4)

(2)函数f(x)＝ ln x－x2＋2x，x>0，4x＋1， x≤0的零点个数是________．

[玩转跟踪]

1.(1)函数f(x)＝2x＋3x的零点所在的一个区间是( )

A．(－2，－1) B．(－1,0)

C．(0,1) D．(1,2)

(2)若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0,1]时，f(x)＝x，则函数y＝f(x)－log3|x|的零点个数是( )

A．多于4个 B．4个

C．3个 D．2个

题型三 参数范围问题

例3 (1)函数f (x)＝∣4x－x2∣－a的零点的个数为3，则a＝ ．

(2) 函数y＝12|x|－m有两个零点，则m的取值范围是________．

例4 已知关于x的二次方程ax2－2(a＋1)x＋a－1＝0有两个根，且一个根大于2，另一个根小于2，试求实数a的取值范围.

新教材 高一年级

3

[玩转跟踪]

1.设方程|x2－3|＝a的解的个数为m，则m不可能等于( )

A．1 B．2 C．3 D．4

2.已知关于x的二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0.若方程有两根，其中一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求m的取值范围.

题型四 用二分法求方程的近似解

例5 设𝑓(𝑥)=3𝑥+3𝑥−8，用二分法求方程3𝑥+3𝑥−8=0在区间(1，2)上近似解的过程中，计算得到𝑓(1)<0，𝑓(1.25)<0，𝑓(1.5)>0，𝑓(1.75)>0，则方程的根落在区间( )

A. (1，1.25) B. (1.25，1.5) C. (1.5，1.75) D. (1.75，2)

[玩转跟踪]

1.用二分法研究函数f(x)＝x3＋3x－1的零点时，第一次经计算f(0)<0，f(0.5)>0，可得其中一个零点x0∈______，第二次应计算_____．以上横线上应填的内容为( )

A．(0，0.5)，f(0.25) B．(0，1)，f(0.25) C．(0.5，1)，f(0.75) D．(0，0.05)，f(0.125)

[玩转练习]

1.函数f(x)＝2x2－3x＋1的零点是( )

A.－12，－1 B.12，1

C.12，－1 D.－12，1

2.函数f(x)＝x3－2x2＋2x的零点个数是( )

A.0 B.1 C.2 D.3

3.函数y＝x2－bx＋1有一个零点，则b的值为( )

A.2 B.－2 C.±2 D.不存在

4.已知f(x)是定义域为R的奇函数，且在(0，＋∞)内的零点有1 007个，则f(x)的零点个数为( )

A.1 007 B.1 008

C.2 014 D.2 015 新教材 高一年级

4 5.函数f(x)＝ x2＋2x－3，x≤0，－2＋x2，x＞0的零点为________.

6.若函数f(x)＝2x2－ax＋3有一个零点为32，则f(1)＝________.

7．若函数f(x)＝bx＋2有一个零点为13，则g(x)＝x2＋5x＋b的零点是( )

A. －13 B. 1或－6 C. －1或6 D. 1或6

8．函数f(x)＝2x＋3x的零点所在的一个区间是( )

A．(－2，－1) B．(－1,0) C．(0,1) D．(1,2)

9．方程log3x＋x－3＝0的解所在的区间是( )

A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4)

10．方程|x2－2x|＝a2＋1(a>0)的解的个数是( )

A．1 B．2 C．3 D．4

11．已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2－3x.则函数g(x)＝f(x)－x＋3的零点的集合为( )

A．{1,3} B．{－3，－1,1,3} C．{2－7，1,3} D．{－2－7，1,3}

12．已知函数f(x)＝ 2x－1，x>0，－x2－2x，x≤0，若函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，则实数m的取值范围是________．

13．用二分法求方程lnx－2＋x＝0在区间[1,2]上零点的近似值，先取区间中点c＝32，则下一个含根的区间是________．

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学而思八年级数学下1-14讲

学而思八年级数学下1-14讲

- 1 -

第一讲 不等式基本性质

第二讲 不等式应用题

第三讲 不等式与一次函数应用

第四讲 不等式专题

第五讲分解因式专题

第六讲 因式分解专题1

第七讲 因式分解(完全平方)

第八讲 因式分解(十字相乘法)

第九讲 分式的基本性质

第十讲 分式的运算

第十一讲 分式(计算)专题

第十二讲 分式方程应用题

第十三讲 期中考试计算专题

第十四讲 期中考试应用专题

- 2 -

第一讲

不等式基本性质

【知识要点:】

1．不等式基本性质：

①．不等式两边都_________同一个整式，不等号的方向__________。

若a＞b, 则 a+c______b+c ；若a＞b, 则 a-c______b-c 。

②．不等式两边都_________同一个正数，不等号的方向__________。

若a＞b且c＞0,则ac________bc； 若a＞b且c＞0,则____________。

③．不等式两边都____________同一个负数，不等号方向____________。

若a＞b且c＜0则ac_________bc； 若a＞b且c＜0，则___________。

2. 不等式常用结论性质：

①．不等式的互逆性: 若a＞b, 则b＜a；

②．不等式的传递性: 若a＞b, b＞c，则a＞c；

③．不等式的同号合并性: 若 ,abcd，则acbd；

若,abcd，则acbd。

3.不等式解集的表示方法与取值（若已知a

（1）bxax的解集为x＞b 同大取大

（2）bxax的解集为x＜a 同小取小

（3）bxax的解集为a＜x＜b 大小小大取中间

二次函数

二次函数

第四节 二次函数

考纲解读 结合二次函数的图像，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数.

命题趋势探究 对于二次函数，高考中主要考察二次函数的性质及其应用，尤其是二次函数、一元二次方程及一元二次不等式的综合应用.重点考察数形结合与等价转化以及分类讨论三种数学思想.

由于二次函数、一元二次方程、一元二次不等式之间有着密切的联系，在高中数学中应用十分广泛，并对考查学生的数学能力有重要意义，所以以二次函数为命题背景仍将是一个热点.

知识点精讲

一、二次函数解析式的三种形式及图像

1. 二次函数解析式的三种形式

（1）一般式：2()(0)fxaxbxca；

（2）顶点式：2()()(0)fxaxmna；其中，(,)mn为抛物线顶点坐标，xm为对称轴方程.

（3）零点式：12()()()(0)fxaxxxxa，其中，12,xx是抛物线与x轴交点的横坐标.

2．二次函数的图像

二次函数2()(0)fxaxbxca的图像是一条抛物线，对称轴方程为2bxa，顶点坐标为24(,)24bacbaa.

(1) 单调性与最值

①当0a时，如图2-8所示，抛物线开口向上，函数在(,]2ba上递减，在[,)2ba上递增，当2bxa时， 2min4()4acbfxa；②当0a时，如图2-9所示，抛物线开口向下，函数在(,]2ba上递增，在[,)2ba上递减，当2bxa时，；2max4()4acbfxa.

O

2bxa y

244acbax

图2-8 O y

x

2bxa 244acba图2-9 (2) 与x轴相交的弦长

当240bac时，二次函数2()(0)fxaxbxca的图像与x轴有两个交点11(,0)Mx和22(,0)Mx，212121212||||()4||MMxxxxxxa.

一元二次方程

一元二次方程

一元二次方程

1、该部分的知识为初等数学知识，一般在初三就有学习。(但一般二次函数与反比例函数会涉及到一元二次方程的解法) 2、该部分是中考的热点。 3、方程的两根与方程中各数有如下关系： X1+X2= -b/a，X1·X2=c/a（也称韦达定理） 4、方程两根为x1，x2时，方程为：x2-(x1+x2)X+x1x2=0 (根据韦达定理逆推而得) 5、在系数a>0的情况下，b2-4ac>0时有2个不相等的实数根，b2-4ac=0时有两个相等的实数根，b2-4ac<0时无实数根。(在复数范围内有两个复数根)

一般式

a2+bx+c=0（a、b、c是实数，a≠0) 例如：x2+2x+1=0

配方式

a(x+b/2a)2=(b2-4ac)/4a

两根式（交点式）

a(x-x1)(x-x2)=0 一般解法

1.分解因式法

（可解部分一元二次方程）

因式分解法又分“提公因式法”、“公式法（又分“平方差公式”和“完全平方公式”两种）”和“十字相乘法”。因式分解法是通过将方程左边因式分解所得，因式分解的内容在八年级上学期学完。 如 1.解方程：x2+2x+1=0 解：利用完全平方公式因式解得：（x+1）2=0 解得：x1= x2=-1 2.解方程x（x+1）-3（x+1）=0 解：利用提公因式法解得：（x-3）（x+1）=0 即 x-3=0 或 x+1=0 ∴ x1=3，x2=-1 3.解方程x2-4=0 解：（x+2）（x-2）=0 x+2=0或x-2=0 ∴ x1=-2，x2= 2 十字相乘法公式： x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)

例：

1. ab+b2+a-b- 2

=ab+a+b2-b-2 =a(b+1)+(b-2)(b+1) =(b+1)(a+b-2)

2024年浙教版数学九年级上册1.4《二次函数的应用--二次函数与一元二次方程》教学设计

2024年浙教版数学九年级上册1.4《二次函数的应用--二次函数与一元二次方程》教学设计

2024年浙教版数学九年级上册1.4《二次函数的应用–二次函数与一元二次方程》教学设计

一. 教材分析

《二次函数的应用–二次函数与一元二次方程》是2024年浙教版数学九年级上册第1章第4节的内容。本节课主要介绍了二次函数与一元二次方程之间的关系，以及如何利用二次函数图象解决一元二次方程的问题。教材通过实例引导学生探究二次函数图象与一元二次方程解之间的关系，培养学生的数形结合思想，提高解决问题的能力。

二. 学情分析

九年级的学生已经学习了二次函数的图象和性质，对二次函数有一定的认识。但部分学生可能对一元二次方程的解法还不够熟练，对数形结合的思想还缺乏深刻的理解。因此，在教学过程中，教师需要关注学生的认知差异，引导他们通过观察、操作、思考、探究等活动，掌握二次函数与一元二次方程之间的关系，提高解决问题的能力。

三. 教学目标

1. 理解二次函数与一元二次方程之间的关系，掌握利用二次函数图象解决一元二次方程问题的方法。

2. 培养学生的数形结合思想，提高解决问题的能力。

3. 激发学生的学习兴趣，培养合作、探究的精神。

四. 教学重难点

1. 重点：二次函数与一元二次方程之间的关系，利用二次函数图象解决一元二次方程问题。

2. 难点：对二次函数与一元二次方程关系的深入理解，以及数形结合思想的运用。

五. 教学方法

1. 情境教学法：通过生活实例，引导学生发现数学问题，激发学习兴趣。

2. 启发式教学法：引导学生观察、思考、探究，培养学生的独立思考能力。

3. 合作学习法：学生进行小组讨论，培养学生的团队协作能力。

4. 数形结合法：利用二次函数图象，直观地展示一元二次方程的解法。 六. 教学准备

1. 准备相关的生活实例和问题，以便引导学生探究。

2. 制作课件，展示二次函数图象和一元二次方程的解法。

3. 准备黑板、粉笔等教学工具。

七. 教学过程

1. 导入（5分钟）

教师通过一个生活实例引入二次函数与一元二次方程的关系，激发学生的学习兴趣。例如，假设一个物体从地面上抛，其高度与时间之间的关系可以表示为一个二次函数。当物体落地时，高度为0，求物体的落地时间。