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高考数学专题复习——函数与方程思想一、教学目标1. 理解函数与方程的关系，掌握函数与方程的基本思想。
2. 熟练运用函数与方程解决实际问题，提高解决问题的能力。
3. 培养学生的逻辑思维能力，提高学生的数学素养。
二、教学内容1. 函数与方程的概念及关系2. 函数与方程的性质3. 函数与方程的解法4. 函数与方程在实际问题中的应用5. 典型例题分析与练习三、教学重点与难点1. 函数与方程的关系及其性质2. 函数与方程的解法3. 实际问题中函数与方程的运用四、教学方法1. 采用讲解、讨论、练习相结合的方式进行教学。
2. 利用多媒体课件辅助教学，提高学生的学习兴趣。
3. 注重启发式教学，引导学生主动探索、积极思考。
五、教学过程1. 导入：回顾函数与方程的基本概念，引导学生思考函数与方程之间的关系。
2. 讲解：详细讲解函数与方程的性质，结合实际例子阐述函数与方程的解法。
3. 讨论：分组讨论实际问题中的函数与方程应用，分享解题心得。
4. 练习：布置针对性的练习题，巩固所学知识。
5. 总结：对本节课的内容进行总结，强调函数与方程在数学中的重要性。
教案仅供参考，具体实施时可根据学生实际情况进行调整。
六、教学评估1. 课后作业：布置相关的习题，巩固课堂所学知识。
2. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况，了解学生的学习状态。
3. 小组讨论：评估学生在小组讨论中的表现，包括合作意识、交流能力等。
七、教学拓展1. 引入高等数学中的函数与方程理论，提高学生的数学素养。
2. 组织数学竞赛或讲座，激发学生对函数与方程的兴趣。
3. 推荐相关书籍或网络资源，引导学生深入研究函数与方程。
八、教学反思1. 反思教学内容：是否全面讲解了函数与方程的基本概念、性质和解法。
2. 反思教学方法：是否有效地引导学生思考、探索和解决问题。
3. 反思教学效果：学生对函数与方程的理解程度以及实际应用能力的提升。
九、教学案例1. 案例一：讲解一次函数与一元一次方程的关系，引导学生理解函数与方程的解法。
城东蜊市阳光实验学校函数与方程③二次方程f(x)=0在区间(p ，q)内有两根⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>⋅>⋅<-<>-=∆⇔;0)(,0)(,2,042p f a q f a q ab p ac b ④二次方程f(x)=0在区间(p ，q)内只有一根⇔f(p)·f(q)<0，或者者f(p)=0(检验)或者者f(q)=0(检验)检验另一根假设在(p ，q)内成立。
典例解析:考点一：确定函数零点所在的区间典题导入(2021·统考)设f(x)＝ex ＋x －4，那么函数f(x)的零点位于区间() A ．(－1,0) B ．(0,1) C ．(1,2)D ．(2,3)∵f(x)＝ex ＋x －4，∴f ′(x)＝ex ＋1>0.∴函数f(x)在R 上单调递增．f(－1)＝e －1＋(－1)－4＝－5＋e －1<0，f(0)＝－3<0，f(1)＝e ＋1－4＝e －3<0，f(2)＝e2＋2－4＝e2－2>0，f(1)f(2)<0，故零点x0∈(1,2)．C由题悟法利用函数零点的存在性定理判断零点所在的区间时，首先看函数y ＝f(x)在区间上的图象是否连续不断，再看是否有f(a)·f(b)<0.假设有，那么函数y ＝f(x)在区间(a ，b)内必有零点．以题试法1．(2021·模拟)设函数y ＝x3与y ＝x －2的图象交点为(x0，y0)，那么x0所在的区间是()A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)解析：选B 设函数f(x)＝x3－x －2，f(1)·f(2)<0，且f(x)为单调函数，那么x0∈(1,2)．考点二：判断函数零点个数典题导入(1)(2021·高考)函数f(x)＝x －x 的零点的个数为() A ．0B ．1C．2 D．3(2)(2021·东城区模拟)函数f(x)＝那么函数y＝f(f(x))＋1的零点个数是()A．4 B．3C．2 D．1(1)在同一平面直角坐标系内作出y1＝x与y2＝x的图象如下列图，易知，两函数图象只有一个交点，因此函数f(x)＝x－x只有1个零点．(2)由f(f(x))＋1＝0可得f(f(x))＝－1，又由f(－2)＝f＝－1.可得f(x)＝－2或者者f(x)＝.假设f(x)＝－2，那么x＝－3或者者x＝；假设f(x)＝，那么x＝－或者者x＝，综上可得函数y＝f(f(x))＋1有4个零点．(1)B(2)A由题悟法判断函数零点个数的常用方法(1)解方程法：令f(x)＝0，假设能求出解，那么有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理法：利用定理不仅要判断函数在区间上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点．(3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题．先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的个数，就是函数零点的个数．以题试法2．(2021·高考)函数f(x)＝xcosx2在区间上的零点个数为()A．4 B．5C．6 D．7解析：选C令xcosx2＝0，那么x＝0，或者者x2＝kπ＋，又x∈，因此xk ＝(k＝0,1,2,3,4)，一一共有6个零点．考点三：函数零点的应用典题导入(2021·高考改编)函数f(x)＝ex－x＋a有零点，那么a的取值范围是________．把两个函数图像交点转化为一个函数的零点，再由根的存在性定理判断，由于转了几个弯子，学生难以开启思路。
2019-2020学年高考数学一轮复习《函数与方程》学案 学习目标：理解与函数零点相关的知识，利用初等函数的图像或利用导数做出函数的图像来判断函数的零点的个数，利用函数零点求参数的取值范围学习过程1、零点定义：对于函数y ＝f (x )(x ∈D )，把使 成立的实数x 叫做函数y ＝f (x )(x ∈D )的零点．2、函数的零点与相应方程的根、函数的图象与x 轴交点间的关系方程f (x )＝0有实数根⇔函数y ＝f (x )的图象与 有交点⇔函数y ＝f (x )有 ．3、函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 ，那么函数y ＝f (x )在区间 内有零点，即存在c ∈(a ，b )，使得 ，这 个 也就是方程f (x )＝0的根．4．二分法的定义对于在区间[a ，b ]上连续不断且 __的函数y ＝f (x )，通过不断地把函数f (x )的零点所在的区间 ，使区间的两个端点逐步逼近 ，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．4、函数f (x )＝3ax ＋1－2a 在区间(－1,1)上存在零点，则实数a 的取值范围是____________5、函数f （x ）=2xe x +-的零点所在的一个区间是（ ）(A)（-2,-1） (B) （-1,0） (C) （0,1） (D) （1,2） 6、函数2x +2x-3,x 0x)=-2+ln x,x>0f ⎧≤⎨⎩（的零点个数为 ( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．07、判断函数f (x )＝4x ＋x 2－23x 3在区间[－1,1]上零点的个数，并说明理由．8、若函数f (x )＝|4x －x 2|＋a 有4个零点，求实数a 的取值范围．。
高三第一轮复习教案—函数与方程一．考试说明：1.了解函数零点的概念，结合二次函数的图像，了解函数的零点与方程根的联系。
2.理解并掌握连续函数在某个区间上存在零点的判定方法。
能利用函数的图象和性质判别函数零点的个数。
二．命题走向函数与方程的理论是高中新课标教材中新增的知识点，特别是“二分法”求方程的近似解也一定会是高考的考点。
从近几年高考的形势来看，十分注重对三个“二次”（即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式）的考察力度，同时也研究了它的许多重要的结论，并付诸应用。
高考试题中有近一半的试题与这三个“二次”问题有关。
预计高考对本讲的要求是：以二分法为重点、以二次函数为载体、以考察函数与方程的关系为目标来考察学生的能力。
（1）题型可为选择、填空和解答；（2）高考试题中可能出现复合了函数性质与函数零点的综合题，同时考察函数方程的思想。
三．要点精讲1．方程的根与函数的零点（1）函数零点概念：对于函数))((D x x f y ∈=，把使0)(=x f 成立的实数x 叫做函数))((D x x f y ∈=的零点。
函数零点的意义：函数)(x f y =的零点就是方程0)(=x f 实数根，亦即函数)(x f y =的图象与x 轴交点的横坐标。
即：方程0)(=x f 有实数根⇔函数)(x f y =的图象与x 轴有交点⇔函数)(x f y =有零点。
二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的零点：１）△＞０，方程02=++c bx ax 有两不等实根，二次函数的图象与x 轴有两个交点，二次函数有两个零点；２）△＝０，方程02=++c bx ax 有两相等实根（二重根），二次函数的图象与x 轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点；３）△＜０，方程02=++c bx ax 无实根，二次函数的图象与x 轴无交点，二次函数无零点。
零点存在性定理：如果函数)(x f y =在区间],[b a 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有0)()(<b f a f ，那么函数)(x f y =在区间),(b a 内有零点。
学习资料2022版高考数学一轮复习第二章函数、导数及其应用第十一讲导数的概念及运算学案（含解析）新人教版班级：科目：第十一讲导数的概念及运算知识梳理·双基自测错误!错误!错误!错误!知识点一导数的概念与导数的运算1．函数的平均变化率一般地,已知函数y＝f(x)，把式子错误!称为函数y＝f（x）从x1到x2的平均变化率，还可以表示为错误!＝错误!。
2．导数的概念(1）f（x）在x＝x0处的导数就是f（x）在x＝x0处的__瞬时变化率__,记作：y′｜x＝x或0 f′(x0)，即f′（x0)＝错误!错误!。
(2）当把上式中的x0看作变量x时，f′(x）即为f(x）的导函数,简称导数，即y′＝错误!__。
f′(x）＝__limΔx→03．基本初等函数的导数公式(1)C′＝__0__（C为常数)；(2）（x n）′＝__nx n－1__（n∈Q*)(3)（sin x）′＝__cos x__;_ （4)（cos x）′＝__－sin x__；（5）(a x)′＝__a x ln a__;_ （6)(e x）′＝__e x__；(7）（log a x)′＝错误!；（8)（ln x）′＝__错误!__。
4．导数的运算法则(1)[f(x）±g（x）]′＝__f′（x)±g′(x)__.（2）[f(x)·g（x）］′＝__f′（x)g(x)＋f(x）g′(x）__.特别地：［C·f(x）]′＝__Cf′(x）__（C为常数）（3）错误!′＝__错误!（g（x)≠0）__.5．复合函数的导数复合函数y＝f［g（x)］的导数和函数y＝f(u),u＝g(x)的导数间的关系为__y x′＝y u′·u x′__。
即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．知识点二导数的几何意义函数f（x)在x＝x0处的导数就是曲线y＝f(x）在点P（x0，f（x0))处的切线的斜率，即曲线y＝f（x）在点P（x0，f（x0)）处的切线的斜率k＝f′(x0），切线方程为__y－y0＝f′(x0）（x－x0）__。
高考数学专题复习函数与方程思想教案第一章：函数与方程引论【教学目标】1. 理解函数与方程的概念及其相互关系。
2. 掌握函数与方程的基本性质和常用解法。
【教学内容】1. 函数与方程的定义及例子。
2. 函数与方程的性质分析。
3. 函数与方程的解法探讨。
【教学过程】1. 引入新课：通过实例介绍函数与方程的重要性。
2. 讲解概念：讲解函数与方程的基本概念，引导学生理解其相互关系。
3. 分析性质：分析函数与方程的性质，如单调性、奇偶性等。
4. 解法探讨：介绍常用的函数与方程解法，如代入法、消元法等。
【作业布置】1. 复习函数与方程的基本概念和性质。
2. 练习解简单的函数与方程题目。
第二章：一次函数与一元一次方程【教学目标】1. 掌握一次函数的图像和性质。
2. 学会解一元一次方程。
【教学内容】1. 一次函数的图像和性质。
2. 一元一次方程的解法。
【教学过程】1. 引入新课：通过实际问题引入一次函数和一元一次方程。
2. 讲解概念：讲解一次函数的图像和性质，如斜率、截距等。
3. 解法讲解：讲解一元一次方程的解法，如加减法、乘除法等。
4. 练习巩固：学生练习解一次函数和一元一次方程的题目。
【作业布置】1. 复习一次函数的图像和性质。
2. 练习解一元一次方程。
第三章：二次函数与一元二次方程【教学目标】1. 掌握二次函数的图像和性质。
2. 学会解一元二次方程。
【教学内容】1. 二次函数的图像和性质。
2. 一元二次方程的解法。
【教学过程】1. 引入新课：通过实际问题引入二次函数和一元二次方程。
2. 讲解概念：讲解二次函数的图像和性质，如开口方向、顶点等。
3. 解法讲解：讲解一元二次方程的解法，如因式分解法、求根公式法等。
4. 练习巩固：学生练习解二次函数和一元二次方程的题目。
【作业布置】1. 复习二次函数的图像和性质。
2. 练习解一元二次方程。
第四章：函数与方程的应用【教学目标】1. 学会运用函数与方程解决实际问题。
2. 培养学生的数学应用能力。
专题11 函数与方程1.考查函数零点的个数和取值范围；2.利用函数零点求解参数的取值范围；3.利用二分法求方程近似解；4.与实际问题相联系，考查数学应用能力． 1．函数的零点(1)定义：如果函数y ＝f (x )在实数α处的值等于零，即f (α)＝0，则α叫做这个函数的零点．(2)变号零点：如果函数图象经过零点时穿过x 轴，则称这样的零点为变号零点． (3)几个等价关系方程f (x )＝0有实数根⇔函数y ＝f (x )的图象与x 轴有交点⇔函数y ＝f (x )有零点． 2．零点存在性定理如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值异号，即f (a )f (b )<0，则这个函数在这个区间上，至少有一个零点，即存在一点x 0∈(a ，b )，使f (x 0)＝0.3．用二分法求函数f (x )零点近似值的步骤 第一步，确定区间[a ，b ]，验证f (a )f (b )<0； 第二步，求区间(a ，b )的中点c 1； 第三步，计算f (c 1)：(1)若f (c 1)＝0，则c 1就是函数的零点；(2)若f (a )f (c 1)<0，则令b ＝c 1(此时零点x 0∈(a ，c 1))； (3)若f (b )f (c 1)<0，则令a ＝c 1(此时零点x 0∈(c 1，b ))；第四步，判断x 0是否满足给定的精确度；否则重复第二、三、四步． 高频考点一 函数零点个数的判断例1、(1)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2，x ≤0，2x －6＋ln x ，x >0的零点个数是________．(2)函数f (x )＝2x|log 0.5x |－1的零点个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4图象有两个交点，因此函数f (x )有2个零点． 【答案】 (1)2 (2)B【方法规律】函数零点个数的判断方法：(1)直接求零点，令f (x )＝0，有几个解就有几个零点；(2)零点存在性定理，要求函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )<0，再结合函数的图象与性质确定函数零点个数；(3)利用图象交点个数，作出两函数图象，观察其交点个数即得零点个数.【变式探究】f (x )＝2sin x sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2－x 2的零点个数为________．【解析】 f (x )＝2sin x cos x －x 2＝sin 2x －x 2，则函数的零点即为函数y ＝sin 2x 与函数y ＝x 2图象的交点，如图所示，两图象有2个交点，则函数有2个零点．【答案】 2高频考点二、函数零点所在区间的判断例2、(1)若a <b <c ，则函数f (x )＝(x －a )(x －b )＋(x －b )(x －c )＋(x －c )(x －a )的两个零点分别位于区间( ) A ．(a ，b )和(b ，c )内B ．(－∞，a )和(a ，b )内C ．(b ，c )和(c ，＋∞)内D ．(－∞，a )和(c ，＋∞)内(2)设f (x )＝ln x ＋x －2，则函数f (x )的零点所在的区间为( ) A ．(0，1) B ．(1，2) C ．(2，3)D ．(3，4)范围．作图如下：可知f (x )的零点所在的区间为(1，2)．法二 易知f (x )＝ln x ＋x －2在(0，＋∞)上为增函数， 且f (1)＝1－2＝－1<0，f (2)＝ln 2>0.所以根据函数零点存在性定理可知在区间(1，2)内函数存在零点． 【答案】 (1)A (2)B【方法规律】确定函数f (x )的零点所在区间的常用方法(1)利用函数零点的存在性定理：首先看函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是否连续，再看是否有f (a )·f (b )<0.若有，则函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内必有零点．(2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x 轴在给定区间上是否有交点来判断．【变式探究】 已知函数f (x )＝ln x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2的零点为x 0，则x 0所在的区间是( )A ．(0，1)B ．(1，2)C ．(2，3)D ．(3，4)【解析】 ∵f (x )＝ln x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2在(0，＋∞)上是增函数，又f (1)＝ln 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝ln 1－2<0，f (2)＝ln 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫120＝ln 2－1<0，f (3)＝ln 3－12>0. 故f (x )的零点x 0∈(2，3)． 【答案】 C高频考点三、 函数零点的应用例3、已知定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x －4)＝f (x )，且在区间[0，2]上f (x )＝x ，若关于x 的方程f (x )＝log a x 有三个不同的实根，求a 的取值范围． 故a 的取值范围是(6，10)．【方法规律】已知函数有零点(方根有根)求参数值常用的方法：(1)直接法，直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法，先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后观察求解．【变式探究】(1)(已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x＋a ，x ≤0，3x －1，x >0(a ∈R )，若函数f (x )在R 上有两个零点，则a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1)B ．(－∞，0)C ．(－1，0)D ．[－1，0)(2)(2016·山东卷)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x |，x ≤m ，x 2－2mx ＋4m ，x >m ，其中m >0.若存在实数b ，使得关于x 的方程f (x )＝b 有三个不同的根，则m 的取值范围是________．【答案】 (1)D (2)(3，＋∞) 高频考点四、 二次函数的零点问题例4、已知f(x)＝x2＋(a2－1)x ＋(a －2)的一个零点比1大，一个零点比1小，求实数a 的取值范围．解 方法一 设方程x2＋(a2－1)x ＋(a －2)＝0的两根分别为x1，x2(x1<x2)，则(x1－1)(x2－1)<0，∴x1x2－(x1＋x2)＋1<0，由根与系数的关系，得(a －2)＋(a2－1)＋1<0， 即a2＋a －2<0，∴－2<a<1.方法二 函数图象大致如图，则有f(1)<0， 即1＋(a2－1)＋a －2<0，∴－2<a<1. 故实数a 的取值范围是(－2,1)．【感悟提升】解决与二次函数有关的零点问题：(1)可利用一元二次方程的求根公式；(2)可用一元二次方程的判别式及根与系数之间的关系；(3)利用二次函数的图象列不等式组． 【变式探究】若函数f(x)＝(m －2)x2＋mx ＋(2m ＋1)的两个零点分别在区间(－1,0)和区间(1,2)内，则m 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，14B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，12 【答案】 C1.【2016高考新课标1卷】函数22xy x e =-在[]2,2-的图像大致为（A ）（B ）（C ）（D ）【答案】 D2.【2016高考天津理数】已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间（-∞，0）上单调递增.若实数a 满足1(2)(2)a f f ->-，则a 的取值范围是______.【答案】13(,)22【解析】由题意()f x 在(0,)+∞上单调递减，又()f x 是偶函数，则不等式1(2)(2)a f f ->-可化为1(2)(2)a f f ->，则122a -<，112a -<，解得1322a <<．3.【2016高考天津理数】已知函数f （x ）=2(4,0,log (1)13,03)a x a x a x x x ⎧+<⎨++≥-+⎩（a >0,且a ≠1）在R 上单调递减，且关于x 的方程|()|2f x x =-恰好有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是（ ） （A ）（0，23] （B ）[23，34] （C ）[13，23]{34}（D ）[13，23）{34} 【答案】C2y x =-相切，也符合题意，∴实数的去范围是123[,]{}334，故选C.4.【2016年高考北京理数】设函数33,()2,x x x af x x x a⎧-≤=⎨->⎩.①若0a =，则()f x 的最大值为______________； ②若()f x 无最大值，则实数a 的取值范围是________. 【答案】2，(,1)-∞-.【解析】如图，作出函数3()3g x x x =-与直线2y x =-的图象，它们的交点是(1,2),(0,0),(1,2)A O B --，由2'()33g x x =-，知1x =是函数()g x 的极小值点， ①当0a =时，33,0()2,0x x x f x x x ⎧-≤=⎨->⎩，由图象可知()f x 的最大值是(1)2f -=；②由图象知当1a ≥-时，()f x 有最大值(1)2f -=；只有当1a <-时，332a a a -<-，()f x 无最大值，所以所求的取值范围是(,1)-∞-．【2015高考湖南，理15】已知32,(),x x af x x x a⎧≤=⎨>⎩，若存在实数b ，使函数()()g x f x b=-有两个零点，则a 的取值范围是 . 【答案】),1()0,(+∞-∞ .0<a ，综上，实数a 的取值范围是),1()0,(+∞-∞ .【2015高考江苏，13】已知函数|ln |)(x x f =，⎩⎨⎧>--≤<=1,2|4|10,0)(2x x x x g ，则方程1|)()(|=+x g x f 实根的个数为【解析】由题意得：求函数()y f x =与1()y g x =-交点个数以及函数()y f x =与1()y g x =--交点个数之和，因为221,011()7,21,12x y g x x x x x <≤⎧⎪=-=-≥⎨⎪-<<⎩，所以函数()y f x =与1()y g x =-有两个交点，又221,011()5,23,12x y g x x x x x -<≤⎧⎪=--=-≥⎨⎪-<<⎩，所以函数()y f x =与1()y g x =--有两个交点，因此共有4个交点（2014·湖南卷）已知函数f (x )＝x 2＋e x －12(x <0)与g (x )＝x 2＋ln(x ＋a )的图像上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，1e) B ．(－∞，e) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1e ，e D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－e ，1e【答案】B（2014·天津卷）已知函数f (x )＝|x 2＋3x |，x ∈R.若方程f (x )－a |x －1|＝0恰有4个互异的实数根，则实数a 的取值范围为________． 【答案】(0，1)∪(9，＋∞)【解析】在同一坐标系内分别作出y ＝f (x )与y ＝a |x －1|的图像如图所示．当y ＝a |x －1|与y ＝f (x )的图像相切时，由⎩⎪⎨⎪⎧－ax ＋a ＝－x 2－3x ，a >0，整理得x 2＋(3－a )x ＋a ＝0，则Δ＝(3－a )2－4a ＝a 2－10a ＋9＝0，解得a ＝1或a ＝9.故当y ＝a |x －1|与y ＝f (x )的图像有四个交点时，0<a <1或a >9.（2014·浙江卷）已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，且0<f (－1)＝f (－2)＝f (－3)≤3，则( )A ．c ≤3 B．3<c ≤6 C ．6<c ≤9 D．c >9【解析】由f (－1)＝f (－2)＝f (－3)得⎩⎪⎨⎪⎧－1＋a －b ＋c ＝－8＋4a －2b ＋c ，－8＋4a －2b ＋c ＝－27＋9a －3b ＋c ⇒⎩⎪⎨⎪⎧－7＋3a －b ＝0，19－5a ＋b ＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6，b ＝11，则f (x )＝x 3＋6x 2＋11x ＋c ，而0<f (－1)≤3，故0<－6＋c ≤3， ∴6<c ≤9，故选C.（2013·新课标全国卷Ⅰ] 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x≤0，ln （x ＋1），x ＞0.若|f(x)|≥ax，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，0]B ．(－∞，1]C ．[－2，1]D ．[－2，0] 【答案】Dg′(x)＝－x（x ＋1）2<0，故g(x)在(0，＋∞)上单调递减，所以g(x)<g(0)＝0，可得h′(x)＝xx ＋1－ln （x ＋1）x 2<0，故h(x)在(0，＋∞)上单调递减，x→＋∞时，h(x)→0， 所以h(x)>0，a≤0.综上可知，－2≤a≤0，故选D.方法二：数形结合：画出函数|f(x)|＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x≤0，ln （x ＋1），x>0与直线y ＝ax 的图像，如下图，要使|f(x)|≥ax 恒成立，只要使直线y ＝ax 的斜率最小时与函数y ＝x 2－2x ，x≤0在原点处的切线斜率相等即可，最大时与x 轴的斜率相等即可， 因为y′＝2x －2，所以y′|x ＝0＝－2，所以－2≤a≤0.（2013·安徽卷）若函数f(x)＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 有极值点x 1，x 2，且f(x 1)＝x 1，则关于x 的方程3(f(x))2＋2af(x)＋b ＝0的不同实根个数是( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6（2013·安徽卷）函数y ＝f(x)的图像如图1－2所示，在区间[a ，b]上可找到n(n≥2)个不同的数x 1，x 2，…，x n ，使得f （x 1）x 1＝f （x 2）x 2＝…＝f （x n ）x n，则n 的取值范围是( ) 图1－2A ．{3，4}B ．{2，3，4}C ．{3，4，5}D ．{2，3} 【答案】B【解析】问题等价于直线y ＝kx 与函数y ＝f(x)图像的交点个数，从图中可以看出交点个数可以为2，3，4，故n 的取值范围是{2，3，4}．（2013·湖南卷）函数f(x)＝2ln x 的图像与函数g(x)＝x 2－4x ＋5的图像的交点个数为( )A ．3B ．2C ．1D ．0 【答案】B【解析】法一：作出函数f(x)＝2ln x ，g(x)＝x 2－4x ＋5的图像如图： 可知，其交点个数为2，选B. 法二：也可以采用数值法：可知它们有2个交点，选B.（2013·山东卷）设函数f(x)＝xe 2x ＋c(e ＝2.718 28…是自然对数的底数，c∈R)．(1)求f(x)的单调区间、最大值；(2)讨论关于x 的方程|ln x|＝f(x)根的个数． ①当x∈(1，＋∞)时，lnx>0，则g(x)＝lnx －xe －2x－c ，所以g′(x)＝e－2xe2xx＋2x －1.因为2x －1>0，e2xx >0，所以g′(x)>0.因此g(x)在(1，＋∞)上单调递增．②当x∈(0，1)时，lnx<0，则g(x)＝－lnx －xe －2x－c ，所以g′(x)＝e－2x－e2xx＋2x －1.因为e 2x∈(1，e 2)，e 2x>1>x>0，所以－e2xx<－1.又2x －1<1，所以－e2xx＋2x －1<0，即g′(x)<0.(ⅱ)当x∈(0，1)时，由(1)知g(x)＝－lnx －xe －2x－c≥－lnx －12e －1＋c>－lnx －1－c ，要使g(x)>0，只需－lnx －1－c>0，即x∈(0，e －1－c)；所以c>－e －2时，g(x)有两个零点， 故关于x 的方程|lnx|＝f(x)根的个数为2. 综上所述，当c<－e －2时，关于x 的方程|lnx|＝f(x)根的个数为0； 当c ＝－e －2时，关于x 的方程|lnx|＝f(x)根的个数为1； 当c>－e －2时，关于x 的方程|lnx|＝f(x)根的个数为2.（2013·四川卷）已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋a ，x<0，lnx ，x>0，其中a 是实数．设A(x 1，f(x 1))，B(x 2，f(x 2))为该函数图像上的两点，且x 1<x 2. (1)指出函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)的图像在点A ，B 处的切线互相垂直，且x 2<0，求x 2－x 1的最小值； (3)若函数f(x)的图像在点A ，B 处的切线重合，求a 的取值范围．【解析】解：(1)函数f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)，单调递增区间为[－1，0)，(0，＋∞)．(2)由导数的几何意义可知，点A 处的切线斜率为f′(x 1)，点B 处的切线斜率为f′(x 2)，故当点A 处的切线与点B 处的切线垂直时，有f′(x 1)f′(x 2)＝－1.当x<0时，对函数f(x)求导，得f′(x)＝2x ＋2.因为x 1<x 2<0，所以，(2x 1＋2)(2x 2＋2)＝－1，所以2x 1＋2<0，2x 2＋2>0.因此x 2－x 1＝12[－(2x 1＋2)＋2x 2＋2]≥[－（2x 1＋2）]（2x 2＋2）＝1， 当且仅当－(2x 1＋2)＝2x 2＋2＝1，即x 1＝－32且x 2＝－12时等号成立． 所以，函数f(x)的图像在点A ，B 处的切线互相垂直时，x 2－x 1的最小值为1.由①及x 1<0<x 2，知－1<x 1<0.由①②得，a ＝x 21＋ln 12x 1＋2－1＝x 21－ln(2x 1＋2)－1. 设h(x 1)＝x 21－ln(2x 1＋2)－1(－1<x 1<0)，则h′(x 1)＝2x 1－1x 1＋1<0. 所以，h(x 1)(－1<x 1<0)是减函数．则h(x 1)>h(0)＝－ln 2－1，所以a>－ln 2－1.又当x 1∈(－1，0)且趋近于－1时，h(x 1)无限增大，所以a 的取值范围是(－ln 2－1，＋∞)．故当函数f(x)的图像在点A ，B 处的切线重合时，a 的取值范围是(－ln 2－1，＋∞)． （2013·天津卷）函数f(x)＝2x |log 0.5x|－1的零点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】f(x)＝2x |log 0.5 x|－1＝⎩⎪⎨⎪⎧2x log 0.5 x －1，0<x≤1，－2x log 0.5 x －1，x>1＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x log 2 x －1，0<x≤1，2x log 2 x －1，x>1. ∵f(x)＝－2xlog 2x －1在(0，1]上递减且x 接近于0时，f(x)接近于正无穷大，f(1)＝－1<0，∴f(x)在(0，1]上有一零点；又∵f(x)＝2x log 2x －1在(1，＋∞)上递增，且f(2)＝22×log 2 2－1＝3>0，∴f(x)在(1，＋∞)上有一零点．故f(x)共有2个零点．1．函数f (x )＝3x －x 2的零点所在区间是( )A ．(0，1)B ．(1，2)C ．(－2，－1)D ．(－1，0) 【解析】 由于f (－1)＝－23<0，f (0)＝30－0＝1>0， ∴f (－1)·f (0)<0.则f (x )在(－1，0)内有零点．【答案】 D2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1，x ≤1，1＋log 2x ，x >1，则函数f (x )的零点为( ) A.12，0 B ．－2，0 C.12D ．0 【答案】 D3．函数f (x )＝2x －2x－a 的一个零点在区间(1，2)内，则实数a 的取值范围是( ) A ．(1，3) B ．(1，2) C ．(0，3) D ．(0，2)【解析】 因为函数f (x )＝2x －2x －a 在区间(1，2)上单调递增，又函数f (x )＝2x －2x－a 的一个零点在区间(1，2)内，则有f (1)·f (2)<0，所以(－a )(4－1－a )<0，即a (a －3)<0，所以0<a <3.【答案】 C4．已知f (x )是奇函数且是R 上的单调函数，若函数y ＝f (2x 2＋1)＋f (λ－x )只有一个零点，则实数λ的值是( )A.14B.18C ．－78D ．－38 【解析】 令y ＝f (2x 2＋1)＋f (λ－x )＝0，则f (2x 2＋1)＝－f (λ－x )＝f (x －λ)，因为f (x )是R 上的单调函数，所以2x 2＋1＝x －λ，只有一个实根，即2x 2－x ＋1＋λ＝0只有一个实根，则Δ＝1－8(1＋λ)＝0，解得λ＝－78. 【答案】 C5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0，x ≤0，e x ，x >0，则使函数g (x )＝f (x )＋x －m 有零点的实数m 的取值范围是( )A ．[0，1)B ．(－∞，1)C ．(－∞，1]∪(2，＋∞)D ．(－∞，0]∪(1，＋∞)【解析】 函数g (x )＝f (x )＋x －m 的零点就是方程f (x )＋x ＝m 的根，画出h (x )＝f (x )＋x ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≤0，e x ＋x ，x >0的大致图象(图略)．观察它与直线y ＝m 的交点，得知当m ≤0或m >1时，有交点，即函数g (x )＝f (x )＋x －m 有零点．【答案】 D6．已知f (x )＝⎩⎨⎧ e －x ，x ≤0，x ，x >0，g (x )＝f (x )－12x －b 有且仅有一个零点时，b 的取值范围是________． 【答案】：(－∞，0]∪[1，＋∞)∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫12 7．若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－x －1，x ≥2或x ≤－1，1，－1<x <2，则函数g (x )＝f (x )－x 的零点为________．【解析】：要求函数g (x )＝f (x )－x 的零点，即求f (x )＝x 的根，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥2或x ≤－1，x 2－x －1＝x 或⎩⎪⎨⎪⎧ －1<x <2，1＝x .解得x ＝1＋2或x ＝1.∴g (x )的零点为1＋2，1.【答案】：1＋2，18．已知0<a <1，k ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ a x ，x ≥0，kx ＋1，x <0，若函数g (x )＝f (x )－k 有两个零点，则实数k 的取值范围是______．【解析】：函数g (x )＝f (x )－k 有两个零点，即f (x )－k ＝0有两个解，即y ＝f (x )与y ＝k 的图象有两个交点．分k >0和k <0作出函数f (x )的图象．当0<k <1时，函数y ＝f (x )与y ＝k 的图象有两个交点；当k ＝1时，有一个交点；当k >1或k <0时，没有交点，故当0<k <1时满足题意．【答案】：(0,1)9．已知函数f (x )＝x 3－x 2＋x 2＋14，证明：存在x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，使f (x 0)＝x 0. 10．已知二次函数f (x )＝x 2＋(2a －1)x ＋1－2a .(1)判断命题：“对于任意的a ∈R，方程f (x )＝1必有实数根”的真假，并写出判断过程；(2)若y ＝f (x )在区间(－1,0)及⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12内各有一个零点，求实数a 的取值范围． 解：(1)“对于任意的a ∈R，方程f (x )＝1必有实数根”是真命题；依题意f (x )＝1有实根，即x 2＋(2a －1)x －2a ＝0有实根，因为Δ＝(2a －1)2＋8a ＝(2a ＋1)2≥0对于任意的a ∈R 恒成立，即x 2＋(2a －1)x －2a ＝0必有实根，从而f (x )＝1必有实根， (2)依题意知，要使y ＝f (x )在区间(－1,0)及⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12内各有一个零点， 只需⎩⎪⎨⎪⎧ f －1>0，f 0<0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12>0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 3－4a >0，1－2a <0，34－a >0，解得12<a <34. 故实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，34. 11．已知二次函数f (x )＝x 2＋(2a －1)x ＋1－2a ，(1)判断命题：“对于任意的a ∈R ，方程f (x )＝1必有实数根”的真假，并写出判断过程； (2)若y ＝f (x )在区间(－1，0)及⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12内各有一个零点，求实数a 的取值范围． 故实数a 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪⎪12<a <34.。
高考数学（理科）一轮复习函数与方程学案有答案本资料为woRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址学案11 函数与方程导学目标：1.结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，会判断一元二次方程根的存在性及根的个数.2.根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似值．自主梳理．函数零点的定义对于函数y＝f，把使________成立的实数x叫做函数y ＝f的零点．方程f＝0有实根⇔函数y＝f的图象与____有交点⇔函数y＝f有________．2．函数零点的判定如果函数y＝f在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有____________，那么函数y＝f在区间________内有零点，即存在c∈，使得________，这个____也就是f＝0的根．我们不妨把这一结论称为零点存在性定理．3．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与零点的关系Δ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴的交点________，________________无交点零点个数________________________4.用二分法求函数f零点近似值的步骤第一步，确定区间[a，b]，验证________________，给定精确度ε；第二步，求区间的中点c；第三步，计算______：①若________，则c就是函数的零点；②若________，则令b＝c[此时零点x0∈]；③若________，则令a＝c[此时零点x0∈]；第四步，判断是否达到精确度ε：即若|a－b|<ε，则得到零点近似值a；否则重复第二、三、四步．自我检测．f＝x2＋2x－3，x≤0－2＋lnxx>0的零点个数为A．0B．1c．2D．32．若函数y＝f在R上递增，则函数y＝f的零点A．至少有一个B．至多有一个c．有且只有一个D．可能有无数个3．如图所示的函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中交点横坐标的是A．①②B．①③c．①④D．③④4．设f＝3x＋3x－8，用二分法求方程3x＋3x－8＝0在x∈内近似解的过程中得f<0，f>0，f<0，则方程的根所在的区间是A．B．c．D．不能确定5．若函数f的零点与g＝4x＋2x－2的零点之差的绝对值不超过0.25，则f可以是A．f＝4x－1B．f＝2c．f＝ex－1D．f＝ln探究点一函数零点的判断例1 判断函数y＝lnx＋2x－6的零点个数．变式迁移1 若定义在R上的偶函数f满足f＝f，且当x∈[0,1]时，f＝x，则函数y＝f－log3|x|的零点个数是A．多于4个B．4个c．3个D．2个探究点二用二分法求方程的近似解例2 求方程2x3＋3x－3＝0的一个近似解．变式迁移2 用二分法研究函数f＝x3＋lnx＋12的零点时，第一次经计算f<0，>0，可得其中一个零点x0∈________，第二次应计算________．以上横线上应填的内容为A.0，12B．f12c.12，1D.0，12探究点三利用函数的零点确定参数例3 已知a是实数，函数f＝2ax2＋2x－3－a，如果函数y＝f在区间[－1,1]上有零点，求a的取值范围．变式迁移3 若函数f＝4x＋a•2x＋a＋1在上存在零点，求实数a的取值范围．．全面认识深刻理解函数零点：从“数”的角度看：即是使f＝0的实数x；从“形”的角度看：即是函数f的图象与x轴交点的横坐标；若函数f的图象在x＝x0处与x轴相切，则零点x0通常称为不变号零点；若函数f的图象在x＝x0处与x轴相交，则零点x0通常称为变号零点．2．求函数y＝f的零点的方法：求方程f＝0的实数根；对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y＝f的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点；主要用于求函数零点的近似值，二分法的条件f•f<0表明：用二分法求函数的近似零点都是指变号零点．3．有关函数零点的重要结论：若连续不间断的函数f是定义域上的单调函数，则f至多有一个零点；连续不间断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号；连续不间断的函数图象通过零点时，函数值符号可能不变．一、选择题．函数f＝2x＋3x的零点所在的一个区间是A．B．c．D．2．已知函数f＝log2x－13x，若实数x0是方程f＝0的解，且0<x1<x0，则f的值A．恒为负B．等于零c．恒为正D．不小于零3．下列函数图象与x轴均有公共点，其中能用二分法求零点的是4．函数f＝－1有两个零点x1、x2，且x1<x2，则A．x1<2,2<x2<5B．x1>2，x2>5c．x1<2，x2>5D．2<x1<5，x2>55．设函数f＝4x－4，x≤1x2－4x＋3，x>1，g＝log2x，则函数h＝f－g 的零点个数是A．4B．3c．2D．1题号2345答案二、填空题6．定义在R上的奇函数f满足：当x>0时，f＝XXx ＋logXXx，则在R上，函数f零点的个数为________．7．已知函数f＝x＋2x，g＝x＋lnx，h＝x－x－1的零点分别为x1，x2，x3，则x1，x2，x3的大小关系是______________．8．若函数f＝ax－x－a有两个零点，则实数a的取值范围是________．三、解答题9．已知函数f＝x3－x2＋x2＋14.证明：存在x0∈，使f＝x0.0．已知二次函数f＝4x2－2x－2p2－p＋1在区间[－1,1]内至少存在一个实数c，使f>0，求实数p的取值范围．1．设函数f＝ax2＋bx＋c，且f＝－a2，3a>2c>2b，求证：a>0且－3<ba<－34；函数f在区间内至少有一个零点；设x1，x2是函数f的两个零点，则2≤|x1－x2|<574.答案自主梳理．f＝0 x轴零点 2.f•f<0f＝0 c 3. 两个一个无 4.f•f<0f①f＝0②f•f<0 ③f•f<0自我检测．c [当x≤0时，令x2＋2x－3＝0，解得x＝－3；当x>0时，令－2＋lnx＝0，解得x＝e2，所以已知函数有两个零点．]2．B 3.B 4.B 5.A课堂活动区例1 解题导引判断函数零点个数最常用的方法是令f＝0，转化为方程根的个数，解出方程有几个根，函数y＝f 就有几个零点，如果方程的根解不出，还有两种方法判断：方法一是基本方法，是利用零点的存在性原理，要注意参考单调性可判定零点的唯一性；方法二是数形结合法，要注意作图技巧．解方法一设f＝lnx＋2x－6，∵y＝lnx和y＝2x－6均为增函数，∴f也是增函数．又∵f＝0＋2－6＝－4<0，f＝ln3>0，∴f在上存在零点．又f为增函数，∴函数在上存在唯一零点．方法二在同一坐标系画出y＝lnx与y＝6－2x的图象，由图可知两图象只有一个交点，故函数y＝lnx＋2x－6只有一个零点．变式迁移1 B [由题意知f是偶函数并且周期为2.由f－log3|x|＝0，得f＝log3|x|，令y＝f，y＝log3|x|，这两个函数都是偶函数，画两函数y轴右边的图象如图，两函数有两个交点，因此零点个数在x ≠0，x∈R的范围内共4个．]例2 解题导引①用二分法求函数的零点时，最好是利用表格，将计算过程所得的各个区间、中点坐标、区间中点的函数值等置于表格中，可清楚地表示出逐步缩小零点所在区间的过程，有时也可利用数轴来表示这一过程；②在确定方程近似解所在的区间时，转化为求方程对应函数的零点所在的区间，找出的区间[a，b]长度尽可能小，且满足f•f<0；③求方程的近似解，所要求的精确度不同得到的结果也不同，精确度ε，是指在计算过程中得到某个区间后，直到|a－b|<ε时，可停止计算，其结果可以是满足精确度的最后小区间的端点或区间内的任一实数，结果不唯一．解设f＝2x3＋3x－3.经计算，f＝－3<0，f＝2>0，所以函数在内存在零点，即方程2x3＋3x－3＝0在内有解．取的中点0.5，经计算f<0，又f>0，所以方程2x3＋3x－3＝0在内有解，如此继续下去，得到方程的一个实数解所在的区间，如下表.的中点fa＋b20.5f<00.75f>00.625f<00.6875f<0|0.6875－0.75|＝0.0625<0.1至此，可以看出方程的根落在区间长度小于0.1的区间内，可以将区间端点0.6875作为函数f零点的近似值．因此0.6875是方程2x3＋3x－3＝0精确度0.1的一个近似解．变式迁移2 D [由于f<0，f12>0，而f＝x3＋lnx＋12中的x3及lnx＋12在－12，＋∞上是增函数，故f 在－12，＋∞上也是增函数，故f在0，12上存在零点，所以x0∈0，12，第二次计算应计算0和12在数轴上对应的中点x1＝0＋122＝14.]例3 解若a＝0，f＝2x－3，显然在[－1，1]上没有零点，所以a≠0.令Δ＝4＋8a＝8a2＋24a＋4＝0，解得a＝－3±72.①当a＝－3－72时，f＝0的重根x＝3－72∈[－1,1]，当a＝－3＋72时，f＝0的重根x＝3＋72∉[－1,1]，∴y＝f恰有一个零点在[－1,1]上；②当f•f＝<0，即1<a<5时，y＝f在[－1,1]上也恰有一个零点．③当y＝f在[－1,1]上有两个零点时，则a>0Δ＝8a2＋24a＋4>0－1<－12a<1f1≥0f－1≥0，或a<0Δ＝8a2＋24a＋4>0－1<－12a<1f1≤0f－1≤0，解得a≥5或a<－3－72.综上所述实数a的取值范围是a>1或a≤－3－72.变式迁移3 解方法一设2x＝t，则函数f＝4x＋a•2x＋a＋1化为g＝t2＋at＋a＋1)．函数f＝4x＋a•2x＋a＋1在上存在零点，等价于方程t2＋at＋a＋1＝0，①有正实数根．当方程①有两个正实根时，a应满足Δ＝a2－4a＋1≥0t1＋t2＝－a>0t1•t2＝a＋1>0，解得：－1<a≤2－22；当方程①有一正根一负根时，只需t1•t2＝a＋1<0，即a<－1；当方程①有一根为0时，a＝－1，此时方程①的另一根为1.综上可知a≤2－22.方法二令g＝t2＋at＋a＋1)．当函数g在上存在两个零点时，实数a应满足Δ＝a2－4a＋1≥0－a2>0g0＝a＋1>0，解得－1<a≤2－22；当函数g在上存在一个零点，另一个零点在时，实数a应满足g＝a＋1<0，解得a<－1；当函数g的一个零点是0时，g＝a＋1＝0，a＝－1，此时可以求得函数g的另一个零点是1.综上知a≤2－22.课后练习区．B [因为f＝12－3<0，f＝1>0，所以f在区间上存在零点．]2．A3．c [能用二分法求零点的函数必须在给定区间[a，b]上连续不断，并且有f•f<0.A、B中不存在f<0，D中函数不连续．]4．c5．B [当x≤1时，函数f＝4x－4与g＝log2x的图象有两个交点，可得h有两个零点，当x>1时，函数f＝x2－4x＋3与g＝log2x的图象有1个交点，可得函数h有1个零点，∴函数h共有3个零点．]6．3解析函数f为R上的奇函数，因此f＝0，当x>0时，f＝XXx＋logXXx在区间内存在一个零点，又f为增函数，因此在内有且仅有一个零点．根据对称性可知函数在内有且仅有一解，从而函数在R上的零点的个数为3.7．x1<x2<x3解析令x＋2x＝0，即2x＝－x，设y＝2x，y＝－x；令x＋lnx＝0，即lnx＝－x，设y＝lnx，y＝－x.在同一坐标系内画出y＝2x，y＝lnx，y＝－x，如图：x1<0<x2<1，令x－x－1＝0，则2－x－1＝0，∴x＝1＋52，即x3＝3＋52>1，所以x1<x2<x3.8．a>1解析设函数y＝ax和函数y＝x＋a，则函数f＝ax－x －a有两个零点，就是函数y＝ax与函数y＝x＋a有两个交点，由图象可知当0<a<1时两函数只有一个交点，不符合；当a>1时，因为函数y＝ax的图象过点，而直线y ＝x＋a所过的点一定在点的上方，所以一定有两个交点，所以实数a的取值范围是a>1.9．证明令g＝f－x.………………………………………………………………∵g＝14，g＝f－12＝－18，∴g•g<0.……………………………………………………………………………又函数g在上连续，…………………………………………………………所以存在x0∈，使g＝0.即f＝x0.………………………………………………………………………………0．解二次函数f在区间[－1,1]内至少存在一个实数c，使f>0的否定是：对于区间[－1,1]内的任意一个x 都有f≤0.……………………此时f1≤0f－1≤0，即2p2＋3p－9≥02p2－p－1≥0，解得：p≥32或p≤－3.…………………………………………………………………………∴二次函数f在区间[－1,1]内至少存在一个实数c，使f>0的实数p的取值范围是－3<p<32.…………………………………………………………………………………1．证明∵f＝a＋b＋c＝－a2，∴3a＋2b＋2c＝0.又3a>2c>2b，∴3a>0,2b<0，∴a>0，b<0.又2c＝－3a－2b，由3a>2c>2b，∴3a>－3a－2b>2b.∵a>0，∴－3<ba<－34.……………………………………………………………………∵f＝c，f＝4a＋2b＋c＝a－c.①当c>0时，∵a>0，∴f＝c>0且f＝－a2<0，∴函数f在区间内至少有一个零点．……………………………………………②当c≤0时，∵a>0，∴f＝－a2<0且f＝a－c>0，∴函数f在区间内至少有一个零点．综合①②得f在内至少有一个零点．……………………………………………∵x1，x2是函数f的两个零点，则x1，x2是方程ax2＋bx＋c＝0的两根．∴x1＋x2＝－ba，x1x2＝ca＝－32－ba.∴|x1－x2|＝x1＋x22－4x1x2＝－ba2－4－32－ba＝ba＋22＋2.∵－3<ba<－34，∴2≤|x1－x2|<574.……………………………………………………………………。
第11讲函数与方程课时达标一、选择题1．函数f ( x) ＝x3＋2x－ 1 的零点所在的大概区间是()A． (0,1)B． (1,2)C． (2,3)D． (3,4)A分析 f (0)＝－1<0， f (1)＝2>0，则 f (0)· f (1)＝－ 2<0，且函数f ( x) ＝x3＋2x－ 1的图象是连续曲线，所以 f ( x)在区间(0,1)内有零点．2．用二分法找函数 f ( x)＝2x＋3x－7在区间 [0,4] 上的零点近似值，取区间中点2，则下一个存在零点的区间为()A． (0,1)B． (0,2)C． (2,3)D． (2,4)B分析由于 f (0)＝ 20＋ 0－ 7＝－ 6<0，f (4)＝ 24＋ 12－ 7>0，又已知f (2) ＝ 22＋ 6－ 7>0，所以 f(0) ·f (2)<0 ，所以零点在区间 (0,2)内．应选 B．3．f ( x) ＝2sin πx－x＋1的零点个数为 ()A． 4B． 5C． 6D． 7B分析令f(x)＝2sinπx－x＋1＝0，则2sinπ x＝x－1，令h(x)＝2sinπ x，g(x)＝x－1，则 f ( x)＝2sinπ x－x＋1的零点个数问题转变为两个函数h( x)与 g( x)图象的交点个数问题． h( x)＝2sinπ x 的最小正周期为2，在同一坐标系中，画出两个函数的图象，如图所示，两个函数图象的交点一共有 5 个，所以 f ( x)＝2sinπ x－x＋1的零点个数为5.2x，x＞ 1，4．(2019·延吉模拟)已知函数f(x)＝x2＋4x＋2，x≤1，则函数 g( x)＝ f ( x)－ x 的零点为 ()A． 0B．－1，－ 2C．－ 1,0D．－2，－ 1,0B分析当 x＞1时，g( x)＝ f ( x)－ x＝0，则2x－ x＝0.由于 x＞1，所以此时方程无解；当x≤1时， g( x)＝f ( x)－ x＝ x2＋3x＋2＝0，则 x1＝－1或 x2＝－2.综上，函数 g( x)的零点为－ 1，－ 2.5．(2019 ·惠州调考x＋2x－ 4，g( x) ＝ ln2a，b 分) 设函数f ( x) ＝ e x＋2x －5，若实数别是 f ( x)， g( x)的零点，则()A．g( a) ＜ 0＜f ( b)B．f ( b) ＜ 0＜g( a)C． 0＜g( a) ＜f ( b)D．f ( b) ＜g( a) ＜ 0A分析依题意， f (0)＝－3＜0，f (1)＝e－2＞0，且函数 f ( x)是增函数，所以函数 f ( x) 的零点 a∈(0,1)，g(1)＝－3＜0，g(2)＝ln 2＋3＞0，且函数 g( x)在(0，＋∞)上是增函数，所以函数g(x)的零点b∈(1,2)，于是有f (b)＞f (1)＞0，g(a)＜g(1)＜0，g(a)＜0＜f ( b)．应选 A．6．(2017 ·全国卷Ⅲ ) 已知函数f (x) ＝x2－2x＋(e x －1－ x＋ 1＝()＋ e) 有独一零点，则a a11A．－B．231C．2D． 1C分析 f ( x)＝ x2－2x＋ a(e x－1＋e－x＋1)＝( x－1)2＋ a[e x－1＋e－( x－1)]－1，令 t ＝ x－1，则g( t )＝ f ( t ＋1)＝ t 2＋ a(e t＋e－t)－1.由于 g(－ t )＝(－ t )2＋a(e－t＋e t)－1＝g( t )，所以函数 g( t )为偶函数．由于 f ( x)有独一零点，所以 g( t )也有独一零点．又 g( t )为偶函数，由偶函数的性质知 g(0)＝0，所以2a－1＝0，解得 a＝1.应选 C．2二、填空题7．若二次函数 f ( x)＝ x2－2ax＋4在(1，＋∞)内有两个零点，则实数 a 的取值范围为________．>0，4a2－ 16>0，分析依照二次函数的图象有－ 2a a>1，－>1，即25 f 1>0，a<2，5解得 2<a<2.5答案2，28．定义在 R 上的奇函数f ( x) 知足：当x>0 时，f ( x) ＝ 2019x＋log 2 019x，则在R上，函数 f ( x)零点的个数为________．分析函数 f ( x)为R上的奇函数，所以 f (0)＝ 0，当x>0 时，f ( x) ＝ 2x019 ＋ log 2 019x在0，1区间 2 019内存在一个零点，又 f ( x)为增函数，所以在(0，＋∞)内有且仅有一个零点．根据对称性可知函数在( －∞， 0) 内有且仅有一个零点，进而函数 f ( x)在R上的零点的个数为3.答案 39．(2018 ·浙江卷 ) 已知∈R，(x x－4， x≥λ，＝ 2 时，不等式λ) ＝当λf x2－4x＋3， x＜λ，f ( x)＜0的解集是________；若函数 f ( x)恰有2个零点，则λ的取值范围是________．x－ 4，x≥2，分析 (1)当λ＝2时，f(x)＝x2－ 4x＋3，x＜ 2，其图象如图 (1)．由图知 f ( x)＜0的解集为 (1,4)．(1)(2)(2) f ( x) ＝x－4， x≥λ，恰有 2 个零点有两种状况：①二次函数有两个零点，2－4 ＋ 3，＜λx x x一次函数无零点；②二次函数与一次函数各有一个零点．在同一平面直角坐标系中画出y＝x－4与 y＝x2－4x＋3的图象，如图(2) ，平移直线x＝λ，可得λ∈ (1,3]∪(4 ，＋∞ ) ．答案 (1)(1,4)(2)(1,3]∪ (4 ，＋∞)三、解答题10．对于x的二次方程x2＋ ( m－ 1) x＋ 1＝ 0 在区间 [0,2] 上有解，务实数m的取值范围．分析由x2＋ (－ 1)x＋1＝0 得x＝ 0 不是方程的根．所以当∈ (0,2]时，－ ( －1)x＝m x mx 2＋1,1－＝1x1x＝ 1时，等号建立，所以 1－≥2，＋ .由于∈ (0,2] 时，＋≥2，当且仅当m x x x x m即≤－ 1，故实数的取值范围为 ( －∞，－ 1] ．m m11．(2019 ·无锡中学月考 ) 已知函数f ( x) ＝ax2＋bx＋c( a≠0) ，知足 f (0)＝2， f ( x＋1)－ f ( x)＝2x－1.(1)求函数 f ( x)的分析式；(2)当 x∈[－1,2]时，求函数的最大值和最小值；(3)若函数 g( x)＝f ( x)－ mx的两个零点分别在区间( － 1,2)和 (2,4)内，求 m的取值范围．分析 (1) 由f (0) ＝2 得c＝ 2，又f(＋1) －f(x) ＝2 －1，得x x2ax＋a＋b＝ 2x－ 1，故2a＝ 2，解得 a＝1， b＝－2，故 f ( x)＝ x2－2x＋2. a＋ b＝－1，(2)f ( x)＝ x2－2x＋2＝( x－1)2＋ 1，对称轴为x＝ 1∈ [ －1,2] ，故f ( x) min＝f (1) ＝ 1，又f (－1)＝5， f (2)＝ 2，所以f ( x)＝f (－1)＝5.max(3)g( x)＝ x2－(2＋m) x＋2，若 g( x)的两个零点分别在区间( －1,2)和 (2,4) 内，则知足g －1 ＞0，5＋ ＞0，m55g 2 ＜ 0，? 2－ 2m ＜0， 解得 1 ＜ ＜ 所以的取值范围为1， g 4 ＞ 010－4 ＞ 0，m 2.m2.m2e 212．(2019 ·石家庄一模 ) 已知函数 f ( x ) ＝－ x ＋ 2e x ＋ t － 1，g ( x ) ＝ x ＋ x ( x ＞ 0) ，此中e 表示自然对数的底数．(1) 若 g ( x ) ＝ m 有实根，求 m 的取值范围；(2) 确立 t 的取值范围，使得 g ( x ) － f ( x ) ＝0 有两个相异实根．e 22分析 (1) 解法一由于 x ＞ 0，所以 g ( x ) ＝ x ＋ x ≥2 e ＝ 2e ，等号建立的条件是 x ＝e. 故 ( ) 的值域是 [2e ，＋∞ ) ，因此只要 ≥2e ， ( ) ＝ 就有实根．g xm g x m2解法二作出 ( ) ＝ ＋e( ＞ 0) 的图象， 如图 (1) ，察看图象可知 ( ) 的最小值为 2e ，g x x x x g x所以要使 g ( x ) ＝ m 有实根，则只要 m ≥2e.(2) 若 g ( x ) － f ( x ) ＝ 0 有两个相异的实根，则函数g ( x ) 与 f ( x ) 的图象有两个不一样的交点．由于 f ( x ) ＝－ x 2＋ 2e x ＋ t － 1＝－ ( x －e) 2＋ t － 1＋ e 2，所以函数 f ( x ) 图象的对称轴为直线 x ＝ e ，张口向下，2e 22最大值为 t － 1＋ e . 由题意， 作出 g ( x ) ＝ x ＋ x ( x ＞ 0) 及 f ( x ) ＝－ x ＋ 2e x ＋ t － 1 的大概图象，如图 (2) 所示． 故当 t － 1＋e 2＞ 2e ，即 t ＞－ e 2＋ 2e ＋ 1 时， ( x ) 与 f ( ) 的图象有两个g x交点，即 g ( x ) － f ( x ) ＝ 0 有两个相异实根．所以t 的取值范围是 ( － e 2＋ 2e ＋ 1，＋∞ ) ．13． [ 选做题 ] 若 y ＝ f ( x ) 是定义在 R 上的函数，且知足：①f ( x ) 是偶函数；② f ( x ＋ 2)是偶函数；③当 0＜ ≤2时， f ( x ) ＝ log 2 019 ，当x ＝0时， f ( x ) ＝ 0，则方程f ( x )＝－2 019xx在区间 (1,10) 内的全部实数根之和为 ()A ． 0B ． 10C ． 12D ． 24D 分析 由 f ( x ＋ 2) 是偶函数得 f ( x ＋ 2) ＝f ( － x ＋ 2) ，则 f ( x ) 的图象对于 x ＝2 对称．又由于 f ( x)是偶函数，所以 f ( x)的图象对于 x＝0对称，x＝2n( n∈Z)是函数 f ( x)的对称轴．因为当 0＜≤2时，f () ＝ log 2 019x，当x＝0 时，f(x) ＝ 0，所以在区间 (1,10) 内，方程f(x)x x＝－ 2 019 有 4 个根，对于x＝ 4 对称的两个根之和为8，对于x＝ 8 对称的两个根之和为16，所以方程 f ( x)＝－2 019在区间(1,10)内的全部实数根之和为 24.。
第11讲函数与方程1.函数的零点(1)函数零点的定义对于函数y=f(x)(x∈D),把使的实数x叫作函数y=f (x)(x∈D)的零点.(2)等价关系方程f(x)=0有实数根⇔函数y=f(x)的图像与有交点⇔函数y=f(x)有. (3)函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图像是连续不断的一条曲线,并且有,那么函数y=f(x)在区间内有零点,即存在c∈(a,b),使得,这个也就是方程f(x)=0的根.2.二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图像与零点的关系Δ>0Δ=0Δ<0二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图像与x轴的交无交点点零点个数常用结论1.在区间D上单调的函数在该区间内至多有一个零点.2.周期函数如果存在零点,则必有无穷个零点.题组一常识题1.[教材改编]函数f(x)=ln x+2x-6的零点的个数是.2.[教材改编]如果函数f(x)=e x-1+4x-4的零点在区间(n,n+1)(n为整数)内,则n= .3.[教材改编]函数f(x)=x3-2x2+x的零点是.4.[教材改编]若函数f(x)=x2-4x+a存在两个不同的零点,则实数a的取值范围是. 题组二常错题◆索引:错用零点存在性定理;误解函数零点的定义;忽略限制条件;二次函数在R上无零点的充要条件(判别式小于零).5.函数f(x)=x+1的零点个数是.x6.函数f(x)=x2-3x的零点是.7.若二次函数f(x)=x2-2x+m在区间(0,4)上存在零点,则实数m的取值范围是.8.若二次函数f(x)=x2+kx+k在R上无零点,则实数k的取值范围是.探究点一函数零点所在区间的判断例1 (1)函数f(x)=e x-x-2在下列哪个区间上必有零点 ()A.(-1,0)B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3)x-5在区间(n,n+1)(n∈Z)上存在零点,则n= .(2)已知函数f(x)=lg x+54[总结反思] 判断函数零点所在区间的方法:(1)解方程法,当对应方程易解时,可直接解方程;(2)零点存在性定理;(3)数形结合法,画出相应函数图像,观察与x轴交点来判断,或转化为两个函数的图像在所给区间上是否有交点来判断.变式题[2018·南昌模拟]函数f(x)=ln(x+1)-2的零点所在的区间为()x2A .(0,1)B .(1,2)C .(2,3)D .(3,4)探究点二 函数零点个数的讨论例2 (1)已知f (x )是定义在R 上的奇函数,且满足f -32+x =f (32+x ),当x ∈(0,32)时,f (x )=ln(x 2-x+1),则函数f (x )在区间[0,6]上的零点个数是 ( ) A .3 B .5 C .7 D .9(2)[2018·河南中原名校模拟] 函数f (x )=sin 2x+π2-log 3πx 的零点个数为 .[总结反思] 函数零点个数的讨论,基本解法有:(1)直接法,令f (x )=0,有多少个解则有多少个零点;(2)定理法,利用定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等;(3)图像法,一般是把函数分拆为两个简单函数,依据两函数图像的交点个数得出函数的零点个数.变式题 (1)[2018·重庆巴蜀中学月考] 函数f (x )=√x 3-2e -x 的零点个数为 ( )A .0B .1C .2D .3 (2)已知函数f (x )={xx x,x >0,x x,x ≤0,则函数g (x )=[f (x )]2-3f (x )+2的零点个数为 .探究点三 函数零点的应用例3 (1)设函数f (x )=e x +x-2,g (x )=ln x+x 2-3,若实数a ,b 满足f (a )=g (b )=0,则 ( ) A .f (b )<0<g (a ) B .g (a )<0<f (b ) C .0<g (a )<f (b ) D .f (b )<g (a )<0(2)[2019·安徽肥东高级中学调研] 已知函数f (x )={x +1x -1,x >1,2-e x ,x ≤1,若函数g (x )=f (x )-m (x-1)有两个零点,则实数m 的取值范围是 ( ) A .(-2,0) B .(-1,0)C .(-2,0)∪(0,+∞)D .(-1,0)∪(0,+∞)[总结反思] 函数零点的应用主要体现在三类问题中:一是函数中不含参数,零点又不易直接求出,考查各零点的和或范围问题;二是函数中含有参数,根据零点情况求函数中参数的范围;三是函数中有参数,但不求参数,仍是考查零点的范围问题.这三类问题一般是通过数形结合或分离参数求解.变式题(1)[2018·山东、湖北部分重点中学二模]若函数f(x)=cos x+2|cos x|-m,x∈[0,2π]恰有两个零点,则m的取值范围为()A.(0,1]B.{1}C.{0}∪(1,3]D.[0,3](2)若x1,x2分别是函数f(x)=x-2-x,g(x)=x log2x-1的零点,则下列结论成立的是()A.x1=x2B.x1>x2C.x1+x2=1D.x1x2=1第11讲函数与方程考试说明结合二次函数的图像,了解函数的零点与方程根的联系,判断一元二次方程根的存在性及根的个数.【课前双基巩固】知识聚焦1.(1)f(x)=0(2)x轴零点(3)f(a)·f(b)<0(a,b)f(c)=0c2.(x1,0),(x2,0)(x1,0)210对点演练1.1[解析] 函数f(x)单调递增,且f(2)<0,f(3)>0,故存在唯一零点.2.0[解析] 函数f(x)单调递增,且f(0)<0,f(1)>0,故其零点在区间(0,1)内,则n=0.3.0,1 [解析] 由f (x )=x 3-2x 2+x=0,解得x 1=0,x 2=1,所以函数的零点是0,1.4.(-∞,4) [解析] Δ=16-4a>0,解得a<4.5.0 [解析] 函数的定义域为{x|x ≠0},当x>0时,f (x )>0,当x<0时,f (x )<0,所以函数没有零点.6.0,3 [解析] 由f (x )=x 2-3x=0,得x=0或x=3.7.(-8,1] [解析] 二次函数f (x )图像的对称轴方程为x=1.若在区间(0,4)上存在零点,只需f (1)≤0且f (4)>0即可,即-1+m ≤0且8+m>0,解得-8<m ≤1. 8.(0,4) [解析] Δ=k 2-4k<0,解得0<k<4. 【课堂考点探究】例1 [思路点拨] (1)利用零点存在性定理判断即可;(2)利用函数的单调性和零点存在性定理即可求出n.(1)C (2)3 [解析] (1)f (-1)=1e -1<0,f (0)=-1<0,f (1)=e -3<0,f (2)=e 2-4>0,故选C . (2)f (x )=lg x+54x-5是定义在(0,+∞)上的增函数, 根据零点存在性定理, 可得{x (x )<0,x (x +1)>0.因为f (1)=54-5<0,f (2)=lg 2+52-5<0,f (3)=lg 3+154-5<0,f (4)=lg 4+5-5=lg 4>0,所以函数f (x )在(3,4)上存在零点,故n=3. 变式题 B [解析] f (x )=ln(x+1)-2x 2在(0,+∞)上单调递增,且f (1)=ln 2-2<0,f (2)=ln 3-12>0,则f (1)·f (2)<0,所以函数f (x )=ln(x+1)-2x 2的零点所在的区间为(1,2).例2 [思路点拨] (1)由已知可得函数是奇函数,周期为3,且f (-32)=f (-1)=f (0)=f (1)=f (32)=0,即可得函数f (x )在区间[0,6]上的零点个数;(2)函数f (x )=sin (2x +π2)-log 3πx 的零点个数即为y=log 3πx 与y=cos 2x (x>0)图像的交点个数,利用数形结合可得结果.(1)D (2)6 [解析] (1)∵f (x )是定义在R 上的奇函数,且满足f (-32+x )=f (32+x ),∴f -32+x+32=f 32+x+32,可得f (x+3)=f (x ),则函数f (x )的周期为3. 当x ∈(0,32)时,f (x )=ln(x 2-x+1),令f (x )=0,则x 2-x+1=1,解得x=0(舍去)或1, 又∵函数f (x )是定义域为R 的奇函数,∴在区间(-32,32)上,有f (-1)=-f (1)=0,f (0)=0.由f (-32+x )=f (32+x ),取x=0,得f (-32)=f (32),又f (32)=-f (-32),∴f (32)=f (-32)=0,∴f (-32)=f (-1)=f (0)=f (1)=f (32)=0.又∵函数f (x )是周期为3的周期函数,∴函数f (x )在区间[0,6]上的零点有0,1,32,2,3,4,92,5,6,共9个.(2)函数f (x )=sin (2x +π2)-log 3πx=cos 2x-log 3πx 的零点个数就是y=log 3πx 与y=cos 2x (x>0)图像的交点个数.在同一坐标系内作出y=log 3πx 与y=cos 2x (x>0)的图像,如图,由图可知,y=log 3πx 与y=cos 2x (x>0)的图像有6个交点, 所以函数f (x )=sin (2x +π2)-log 3πx 的零点个数为6.变式题 (1)B (2)3 [解析] (1)∵y=√x 3单调递增,y=-2e -x 单调递增,∴f (x )=√x 3-2e -x 单调递增.∵f (0)=-2<0,f (8)=2-2e 8>0,∴由零点存在性定理可得,f (x )=√x 3-2e -x 的零点个数为1,故选B .(2)函数g (x )=[f (x )]2-3f (x )+2的零点个数即为方程[f (x )]2-3f (x )+2=0的解的个数,解方程得f (x )=1或f (x )=2.由f (x )=1得ln x=1(x>0)或e x =1(x ≤0),解得x=e 或x=0;同理,由f (x )=2得ln x=2(x>0)或e x =2(x ≤0),解得x=e 2.所以函数g (x )共有3个零点.例3 [思路点拨] (1)首先确定函数f (x )和g (x )的单调性,然后结合函数的性质计算即可;(2)先转化为函数y=f (x )的图像与y=m (x-1)的图像有且仅有两个交点,数形结合即可得答案. (1)B (2)D [解析] (1)易知f (x )是增函数,g (x )在(0,+∞)上也是增函数. 由于f (0)=-1<0,f (1)=e -1>0,所以0<a<1.又g (1)=-2<0,g (2)=ln 2+1>0,所以1<b<2,所以f (b )>f (1)>0,g (a )<g (1)<0,据此可知g (a )<0<f (b ). (2)若函数g (x )=f (x )-m (x-1)有两个零点,则函数y=f (x )的图像与y=m (x-1)的图像有且仅有两个交点.在同一坐标系内画出函数y=f (x )的图像与y=m (x-1)的图像,如图所示.由图像可得,当m>0时,满足条件;当m=-1时,直线y=m (x-1)与y=2-e x (x ≤1)的图像相切,可得当-1<m<0时,满足条件. 故m ∈(-1,0)∪(0,+∞). 变式题 (1)C (2)D[解析] (1)f (x )=cos x+2|cos x|-m ,x ∈[0,2π]的零点个数就是y=cos x+2|cosx|={3cos x ,x ∈[0,π2]⋃[3π2,2π],-cos x ,x ∈(π2,3π2)的图像与y=m 的图像的交点个数.作出y=cos x+2|cosx|,x ∈[0,2π]的图像,如图,由图像可知,当m=0或1<m ≤3时,函数y=cos x+2|cos x|,x ∈[0,2π]的图像与y=m 的图像有两个交点,即函数f (x )=cos x+2|cos x|-m ,x ∈[0,2π]恰有两个零点,故m 的取值范围为{0}∪(1,3],故选C . (2)因为f (0)≠0,所以x 1≠0. 当x ≠0时,由x-2-x =0,得2x =1x ,则x 1就是曲线y=1x 与曲线y=2x 交点的横坐标. 由x log 2x-1=0,得log 2x=1x ,则x 2就是曲线y=1x (x>0)与曲线y=log 2x 交点的横坐标.因为曲线y=1x关于直线y=x对称,且曲线y=2x与曲线y=log2x关于直线y=x对称,所以点(x1,1x1)与点(x2,1x2)关于直线y=x对称,所以1x2-1x1x2-x1=-1,可得x1x2=1,故选D.【备选理由】例1考查将函数的零点问题转化为两函数图像的交点问题,通过分析交点横坐标得零点所在区间;例2结合函数的奇偶性、周期性,考查函数的零点个数,需要数形结合处理,综合性强;例3为有关方程的解的问题,考查换元法、数形结合思想等.例1[配合例1使用] [2018·运城二模]已知x0是函数f(x)=2sin x-πln x(x∈(0,π))的零点,则()A.x0∈(0,1)B.x0∈(1,e)C.x0∈(e,3)D.x0∈(e,π)[解析] B设h(x)=2sin x(x∈(0,π)),g(x)=πln x(x∈(0,π)),则g(1)=0,g(e)=π>2,作出函数h(x)与g(x)的图像(图略)可知,交点在区间(1,e)内,即x0∈(1,e).例2[配合例2使用] [2018·茂名模拟]已知定义在R上的函数y=f(x+2)的图像关于直线x=-2对称,且函数f(x+1)是偶函数.若当x∈[0,1]时,f(x)=sinπ2x,则函数g(x)=f(x)-e-|x|在区间[-2018,2018]上的零点个数为()A.2017B.2018C.4034D.4036[解析] D函数g(x)=f(x)-e-|x|在区间[-2018,2018]上的零点个数,就是y=f(x)的图像与y=e-|x|的图像在区间[-2018,2018]上的交点个数.∵函数y=f(x+2)的图像关于直线x=-2对称,∴函数y=f(x)的图像的对称轴为直线x=0,故y=f(x)是偶函数,即f(-x)=f(x).又函数f(x+1)是偶函数,∴f(x+1)=f(-x+1),.精品 故f (x+2)=f (-x )=f (x ),∴函数f (x )是周期为2的偶函数.又当x ∈[0,1]时,f (x )=sin π2x ,画出y=f (x )与y=(1e )|x |的部分图像如图所示,由图像可知,在每个周期内两函数的图像有2个交点,∴函数g (x )=f (x )-e -|x|在区间[-2018,2018]上的零点个数为2018×2=4036.故选D .例3 [配合例3使用] 函数y=g (x )(x ∈R)的图像如图所示,若关于x 的方程[g (x )]2+m ·g (x )+2m+3=0有三个不同的实数解,则m 的取值范围是 .[答案] (-32,-43][解析] 设g (x )=t , ∵关于x 的方程[g (x )]2+m ·g (x )+2m+3=0有三个不同的实数解,∴关于t 的方程t 2+mt+2m+3=0有两个实数根,且一个在(0,1)上,一个在[1,+∞)上. 设h (t )=t 2+mt+2m+3,①当有一个根为1时,h (1)=1+m+2m+3=0,解得m=-43,此时另一个根为13,符合题意; ②当没有根为1时,则{x (0)=2x +3>0,x (1)=1+x +2x +3<0,解得-32<m<-43. 综上可得,m 的取值范围是(-32,-43].如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！。
