第06讲 函数与方程

第06讲利用导数研究函数的零点（方程的根）(精讲+精练）目录第一部分：知识点精准记忆第二部分：课前自我评估测试第三部分：典型例题剖析高频考点一：判断、证明或讨论函数零点的个数高频考点二：证明唯一零点问题高频考点三：根据零点情况求参数①利用最值（极值）研究函数零点问题②利用数形结合法研究函数的零点问题③构造函数研究函数零点问题第四部分：高考真题感悟第五部分：第06讲利用导数研究函数的零点（方程的根）（精练）1、函数的零点（1）函数零点的定义：对于函数()y f x=，把使()0f x=的实数x叫做函数()y f x=的零点．（2）三个等价关系方程0)(=xf有实数根⇔函数)(xfy=的图象与x轴有交点的横坐标⇔函数)(xfy=有零点．2、函数零点的判定如果函数()y f x=在区间[,]a b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有()()0f a f b⋅<，那么函数()y f x=在区间(,)a b内有零点，即存在(,)c a b∈，使得()0f c=，这个c也就是()0f x=的根．我们把这一结论称为函数零点存在性定理．注意：单调性+存在零点=唯一零点1．（2022·全国·高二）已知函数()f x的定义域为[]15-，，部分对应值如下表：()f x的导函数()y f x='的图象如图所示，则下列关于函数()f x的命题：① 函数()y f x=是周期函数；② 函数()f x在[]02，是减函数；③ 如果当[]1,x t∈-时，()f x的最大值是2，那么t的最大值为4；④ 当12a<<时，函数()y f x a=-有4个零点．其中真命题的个数是A．4个B．3个C．2个D．1个2．（2022·甘肃·金昌市教育科学研究所高三阶段练习（文））已知函数()2e1xf x x a=+-()a R∈有两个极值点，则实数a的取值范围为（）A．1,0e⎛⎫- ⎪⎝⎭B．2,0e⎛⎫- ⎪⎝⎭C．1,e⎛⎫-+∞⎪⎝⎭D．2,e⎛⎫-+∞⎪⎝⎭3．（2022·全国·高二）若函数()3239f x x x x m =--+仅有一个零点，则实数m 的取值范围是（ ）A ．()5,-+∞B ．(,27)(5,)-∞-⋃+∞C ．(,27)-∞D ．(,5)(27,)-∞-⋃+∞4．（2022·甘肃武威·模拟预测（文））函数()326f x x x m =-+有三个零点，则实数m 的取值范围是（ ）A ．（﹣4，4）B ．[﹣4，4]C ．（﹣∞，﹣4]∪[4，+∞）D ．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞）5．（2022·江苏淮安·高二期末）已知函数()e x f x =与()1g x x =+，则它们的图象交点个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．不确定高频考点一：判断、证明或讨论函数零点（根）的个数1．（2022·全国·高二）设函数f (x )＝13x －ln x ，则函数y ＝f (x )（ ）A ．在区间1(,1)e，(1，e )内均有零点 B ．在区间1(,1)e，(1，e )内均无零点C ．在区间1(,1)e 内有零点，在区间(1，e )内无零点D ．在区间1(,1)e 内无零点，在区间(1，e )内有零点2．（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数()()12xx e f x e=-+，其中e 为自然对数的底数， 2.7182818e =……，则()f x 的零点个数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．33．（2022·全国·高三专题练习（理））函数()()1ln 03f x x x x =->的零点个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．34．（2022·全国·高二课时练习）求函数3()231f x x x =-+零点的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．45．（2022·江苏淮安·高二期末）已知函数()e x f x =与()1g x x =+，则它们的图象交点个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．不确定6．（2022·江苏苏州·模拟预测）方程3269100x x x -+-=的实根个数是______ ．7．（2022·全国·高三专题练习）函数()1x f x e x =-+的零点个数是__________．8．（2022·广东佛山·高二阶段练习）已知函数()()1ln 2af x x a x x=+---，其中R a ∈． (1)若()f x 存在唯一极值点，且极值为0，求a 的值； (2)若2e a <，讨论()f x 在区间2[1,e ]上的零点个数．9．（2022·新疆·乌苏市第一中学高二阶段练习（文））给定函数()()1e xf x x =+．(1)判断函数()f x 的单调性，并求出()f x 的极值； (2)求出方程()()f x a a R =∈的解的个数．高频考点二：证明唯一零点（根）问题1．（2022·山西省长治市第二中学校高二阶段练习）已知函数321()(1)3=-++f x x a x x ．(1)若1a =，求()f x 的单调区间及相应区间上的单调性； (2)证明:()f x 只有一个零点．2．（2022·陕西渭南·高二期末（文））已知函数()ln x axf x x+=，R a ∈. (1)若0a =，求()f x 的最大值；(2)若01a <<，求证：()f x 有且只有一个零点.3．（2022·广西玉林·模拟预测（文））已知函数217()ln 4,()2ln 22f x x x xg x x x =-=++. (1)求函数()f x 的最小值；(2)证明：函数()()()h x f x g x =+仅有一个零点.高频考点三：根据零点（根）情况求参数①利用最值（极值）研究函数零点（根）问题1．（2022·重庆市万州第二高级中学高二阶段练习）已知函数32()34f x x ax bx =+++在1x =-时有极值0． (1)求函数()f x 的解析式；(2)记()()21g x f x k =-+，若函数()g x 有三个零点，求实数k 的取值范围．2．（2022·山东师范大学附中高二阶段练习）已知函数()21xx x f x e+-=. (1)求函数()f x 的单调区间；(2)若函数()y f x a =-（a 为常数）有3个不同的零点，求实数a 的取值范围.3．（2022·宁夏六盘山高级中学高二阶段练习（理））已知函数3()91f x ax x =-+，0a >． (1)若3a =，求函数()f x 的极值；(2)若函数()f x 恰有三个零点，求实数a 的取值范围．4．（2022·北京丰台·一模）已知函数()f x = (1)当1a =时，求曲线()y f x =的斜率为1的切线方程； (2)若函数2()()3ag x f x =-恰有两个不同的零点，求a 的取值范围．5．（2022·广西桂林·二模（理））已知函数()()()211e 2xf x x ax a R =--∈ (1)讨论()f x 的单调性；(2)若()f x 有两个零点，求实数a 的取值范围.②利用数形结合法研究函数的零点（根）问题1．（2022·宁夏·银川二中高二期末（理））已知函数ln ()xf x x= (1)填写函数()f x 的相关性质；2．（2022·四川·阆中中学高二阶段练习（文））设函数3()65f x x x x R =-+∈，. (1)求函数()f x 的单调区间；(2)若关于x 的方程()f x a =有三个不等实根，求实数a 的取值范围.3．（2022·全国·信阳高中高三阶段练习（理））已知函数()2e xf x a x =-（R a ∈，e 为自然对数的底数）.(1)若()0f x =有两个不相等的实数根，求a 的取值范围；4．（2022·四川·雅安中学高二阶段练习（文））已知函数()322f x x ax bx =++-在2x =-时取得极值，且在点()()1,1f --处的切线的斜率为3- . (1)求()f x 的解析式；(2)若函数()y f x λ=-有三个零点，求实数λ的取值范围.5．（2022·全国·模拟预测（理））已知函数()()2x x f x e ae a =+∈R(1)讨论()f x 的单调性；(2)设()()21x g x a x e x =-+，若方程()()g x f x =有三个不同的解，求a 的取值范围.6．（2022·四川绵阳·二模（文））已知函数()2()ln 1R f x x ax a =+-∈(1)当2a =时，求函数()f x 的单调区间；(2)若函数()f x 有且只有一个零点，求实数a 的取值范围．③构造函数研究函数零点（根）问题1．（2022·江苏宿迁·高二期末）已知函数()e xf x =（e 为自然对数的底数），()sing x a x =（,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦），a R ∈.(1)若直线:l y kx =与函数()f x ，()g x 的图象都相切，求a 的值； (2)若方程()()f x g x =有两个不同的实数解，求a 的取值范围.2．（2022·重庆南开中学高二期末）已知函数()()2ln ,f x x x g x x ax b ==++.(1)若()f x 与()g x 在1x =处有相同的切线，求实数,a b 的取值；(2)若2b =时，方程()()f x g x =在()1,+∞上有两个不同的根，求实数a 的取值范围.3．（2022·四川·成都七中高三阶段练习（理））已知函数()(1)f x a x =-，()e (1)x g x bx =-，R a ∈． (1)当2b =时，函数()()y f x g x =-有两个零点，求a 的取值范围； (2)当b a =时，不等式()()f x g x >有且仅有两个整数解，求a 的取值范围．4．（2022·全国·高三阶段练习）已知函数()()11ln e f x a x x=+++，()()e x g x x a a =++∈R ．(1)试讨论函数()f x 的单调性；(2)若当1≥x 时，关于x 的方程()()f x g x =有且只有一个实数解，求实数a 的取值范围．5．（2022·河南·三模（理））已知函数()()ln 1f x x =+，()e 1xg x =-.(1)判断函数()()()h x f x g x =-的零点个数；6．（2022·江苏南京·高三开学考试）已知函数()(1)x f x e a x =+-，()sin cos g x ax x x =++ (1)求函数()f x 的最值；(2)令()()()h x f x g x =-，求函数()h x 在区间(,)4π-+∞上的零点个数，并说明理由．1．（2021·全国·高考真题（理））已知0a >且1a ≠，函数()(0)a x x f x x a=>．（1）当2a =时，求()f x 的单调区间；（2）若曲线()y f x =与直线1y =有且仅有两个交点，求a 的取值范围．2．（2021·全国·高考真题）已知函数2()(1)x f x x e ax b =--+． （1）讨论()f x 的单调性；（2）从下面两个条件中选一个，证明：()f x 只有一个零点 ①21,222e a b a <≤>；②10,22a b a <<≤．3．（2021·浙江·高考真题）设a ，b 为实数，且1a >，函数()2R ()x f x a bx e x =-+∈（1）求函数()f x 的单调区间；（2）若对任意22b e >，函数()f x 有两个不同的零点，求a 的取值范围；（3）当a e =时，证明：对任意4b e >，函数()f x 有两个不同的零点()1221,,x x x x >，满足2212ln 2b b ex x e b>+.(注： 2.71828e =⋅⋅⋅是自然对数的底数)一、单选题1．（2022·江苏·南京师大附中高三开学考试）已知a ∈R ，则函数()()32113f x x a x x =-++零点的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．与a 有关2．（2022·浙江省浦江中学高二阶段练习）已知函数()22x f x xe x x m =---在()0,∞+上有零点，则m 的取值范围是（ ）A ．)21ln 2,-+∞⎡⎣B ．)2ln 21,--+∞⎡⎣C ．)2ln 2,-+∞⎡⎣D ．21ln 2,2-+∞⎡⎫⎪⎢⎣⎭3．（2022·全国·高二）函数32()2f x x x x =-++-的零点个数及分布情况为（ ） A ．一个零点，在1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭内B ．二个零点，分别在1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，()0,∞+内C ．三个零点，分别在1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，1,03⎛⎫- ⎪⎝⎭，()1,+∞内D ．三个零点，分别在1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，()0,1，()1,+∞内4．（2022·全国·高二）直线y a =与函数33y x x =-的图象有三个不同的交点，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(2,2)-B ．[2,2]-C ．[2,)+∞D ．(,2]-∞-5．（2022·全国·高二）已知函数20()210x e x f x x x x -⎧≤=⎨--+>⎩，若函数()()g x f x kx =-有两个零点，则实数k 等于（e 为自然对数的底数）（ ） A ．e -B ．1-C ．2D ．2e6．（2022·河南·襄城高中高二阶段练习（理））已知函数()2ln f x x =，()322g x x ex ax =-+，其中e 为自然对数的底数，若方程()()f x g x =存在两个不同的实根，则a 的取值范围为（ ） A ．2,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．22,e e ⎛⎫-∞+ ⎪⎝⎭C ．()2,e -∞D ．22,e e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭7．（2022·江西·高三阶段练习（理））已知函数22()2(2)e (1)e x x f x a a x x =+-++有三个不同的零点123,,x x x ，且1230x x x <<<，则3122312222e e e x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值为（ ）A ．3B ．6C ．9D ．368．（2022·全国·高三专题练习）已知方程|ln |2x kx =+在区间()50,e 上恰有3个不等实数根，则实数k 的取值范围是（ ） A ．5331,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．5331,e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．4221,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．4221,e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭二、填空题9．（2022·河南焦作·二模（理））函数1()e ln 1x f x a x -=--在(0,)+∞上有两个零点，则实数a 的取值范围是_______. 10．（2022·贵州遵义·高三开学考试（文））已知函数()3112,21ln ,2x m x f x x x m x ⎧--<⎪⎪=⎨⎪-≥⎪⎩恰有3个零点，则m 的取值范围是________．11．（2022·浙江·镇海中学高二期末）已知不等式21e 0x x a +-≥有且只有两个整数解，则实数a 的范围为___________．12．（2022·全国·高二）已知函数3211()(2)1()32xf x ax ax e x a R =---+∈在区间1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭上有3个不同的极值点，则实数a的取值范围是__________. 三、解答题13．（2022·河南·栾川县第一高级中学高二阶段练习（理））已知()2()e ()x f x x a a =+∈R ．(1)若2是函数()f x 的极值点，求a 的值，并判断2是()f x 的极大值点还是极小值点； (2)若关于x 的方程()2ln e x f x x =在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不同的实数根，求实数a 的取值范围．参考数据：ln 20.693≈14．（2022·陕西宝鸡·二模（文））已知函数()1e x f x ax =--，a ∈R ． (1)讨论函数()f x 的单调性；(2)若方程()ln f x x x =在(1,e)上有实根，求实数a 的取值范围．15．（2022·河南·沈丘县第一高级中学高二期末（文））已知函数()ln f x x =. (1)当[)1,x ∞∈+时，证明：函数()f x 的图象恒在函数()322132=-g x x x 的图象的下方； (2)讨论方程()0f x kx +=的根的个数.16．（2022·吉林·长春外国语学校高二阶段练习）若函数()32113f x x ax bx =++-，当2x =时，函数()f x 有极值13-.(1)求函数的解析式；(2)若关于x 的方程()f x k =有三个解，求实数k 的取值范围.17．（2022·浙江浙江·二模）已知函数2()ln (2)f x x a x a =+<． (1)若2a =-，求函数()f x 的极小值点；(2)当2(]0,x ∈时，讨论函数()f x 的图象与函数(2)22y a x a =+--的图象公共点的个数，并证明你的结论．。

第06讲 分式方程目 录一、考情分析 二、知识建构考点一 解分式方程题型01 判断分式方程 题型02 分式方程的一般解法 题型03 分式方程的特殊解法 类型一 分组通分法 类型二 分离分式法 类型三 列项相消法 类型四 消元法题型04 错看或错解分式方程问题 题型05 解分式方程的运用（新定义运算）题型06 根据分式方程解的情况求值题型07 根据分式方程有解或无解求参数题型08 已知分式方程有增根求参数 题型09 已知分式方程有整数解求参数考点二 分式方程的应用题型01 列分式方程题型02 利用分式方程解决实际问题 类型一 行程问题 类型二 工程问题 类型三 和差倍分问题 类型四 销售利润问题考点一解分式方程分式方程的概念：分母中含有未知数的方程叫做分式方程．增根的概念：在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做方程的增根.1.分式方程与整式方程的根本区别：分母中含有未知数，也是判断分式方程的依据.2. 去分母时要把方程两边的式子作为一个整体，记得不要漏乘整式项.3. 分式方程的结果还要代回方程的最简公分母中，只有最简公分母不是零的解才是原方程的解．4. 分式方程的增根是去分母后的整式方程的根，也是使分式方程的公分母为0的根，它不是原分式方程的根．5. 解分式方程可能产生使分式方程无意义的根，检验是解分式方程的必要步骤.6. 分式方程有增根与无解并非是同一个概念．分式方程无解，需分类讨论：可能是解为增根，也可能是去分母后的整式方程无解.题型01 判断分式方程题型02 分式方程的一般解法解分式方程方法：先通过方程两边同乘最简公分母将分式方程化为整式方程，再解整式方程，最后需要检验整式方程的解是不是分式方程的解.题型03 分式方程的特殊解法类型一分组通分法方法简介：如果整个方程一起通分，计算量大又易出错，观察方程中分母的特点可联想分组通分求解.类型二分离分式法方法简介：每个分式的分母与分子相差1，利用这个特点可采用分类分式法求解类型三列项相消法方法简介：根据分式方程的结果特点，依据公式“1n(n+1)=1n−1n+1”化积为差，裂项相消，简化难度.类型四消元法方法简介：当方程中的分式互为倒数,或不同分式中的分母互为相反式,或方程中分子、分母的二次项与一次项分别相同时,可考虑用换元法.题型04 错看或错解分式方程问题+1，其中x=先化简，再求值：3−xx−4⋅(x−4)+(x−4)解：原式=3−xx−4=3−x+x−4=−1题型05 解分式方程的运用（新定义运算）题型06 根据分式方程解的情况求值由分式方程的解的情况求字母系数的取值范围，一般解法是：①根据未知数的范围求出字母的范围；②把使分母为0的未知数的值代入到去分母后的整式方程中，求出对应的字母系数的值；③综合①②，求出字母系数的范围.题型07 根据分式方程有解或无解求参数已知分式方程的解确定字母参数，首先将分式方程化为整式方程，用含字母参数的代数式表x，再根据解的情况确定字母参数的取值. 同时要注意原分式方程的最简公分母不能为零.题型08 已知分式方程有增根求参数依据分式方程的增根确定字母参数的值的一般步骤：1)先将分式方程转化为整式方程;2)由题意求出增根;3)将增根代入所化得的整式方程，解之就可得到字母参数的值.题型09 已知分式方程有整数解求参数考点二分式方程的应用用分式方程解决实际问题的步骤：审：理解并找出实际问题中的等量关系;设：用代数式表示实际问题中的基础数据;列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程;解：求解方程;验：考虑求出的解是否具有实际意义;+1）检验所求的解是否是所列分式方程的解.2）检验所求的解是否符合实际意义.答：实际问题的答案.与分式方程有关应用题的常见类型：题型01 列分式方程【例1】（2022·云南·中考真题）某地开展建设绿色家园活动，活动期间，计划每天种植相同数量的树木，该A．1.4−x=8 1.4+x=8 1.4−2x=8 1.4+2x=8题型02 利用分式方程解决实际问题类型一行程问题【例2】（2022·四川自贡·统考中考真题）学校师生去距学校45千米的吴玉章故居开展研学活动，骑行爱好者张老师骑自行车先行2小时后，其余师生乘汽车出发，结果同时到达；已知汽车速度是自行车速度的3倍，求张老师骑车的速度．【变式2-1】（2023青岛市一模）小李从A地出发去相距4.5千米的B地上班，他每天出发的时间都相同．第一天步行去上班结果迟到了5分钟．第二天骑自行车去上班结果早到10分钟．已知骑自行车的速度是步行速度的1.5倍：(1)求小李步行的速度和骑自行车的速度分别为多少千米每小时；(2)有一天小李骑自行车出发，出发1.5千米后自行车发生故障．小李立即跑步去上班（耽误时间忽略不计）为了至少提前5分钟到达．则跑步的速度至少为多少千米每小时？类型二工程问题【例3】（2023重庆市模拟预测）为方便群众出行，甲、乙两个工程队负责修建某段通往高铁站的快线，已知甲队每天修路的长度是乙队的1.5倍，如果两队各自修建快线600m，甲队比乙队少用4天．(1)求甲，乙两个工程队每天各修路多少米？(2)现计划再修建长度为3000m的快线，由甲、乙两个工程队来完成．若甲队每天所需费用为1万元，乙队每天所需费用为0.6万元，求在总费用不超过38万元的情况下，至少安排乙工程队施工多少天？【变式3-1】（2023·重庆渝中·重庆巴蜀中学校考一模）重庆市潼南区是中国西部绿色菜都，为全市人民提供了新鲜多样的蔬菜．今年，区政府着力打造一个新的蔬菜基地，计划修建灌溉水渠1920米，由甲、乙两，而乙施工队单独修建这个施工队合作完成．已知乙施工队每天修建的长度是甲施工队每天修建的长度的43项工程需要的天数比甲施工队单独修建这项工程需要的天数少4天．(1)求甲、乙两施工队每天各修建多少米？(2)若甲施工队每天的修建费用为13万元，乙施工队每天的修建费用为15万元，实际修建时先由甲施工队单独修建若干天，再由甲、乙两个施工队合作修建，恰好12天完成修建任务，求共需修建费用多少万元？类型三和差倍分问题【例4】（2022·广东深圳·深圳中学校考一模）2022年北京冬奥会吉祥物冰墩墩深受大家的喜欢．某商家两次购进冰墩墩进行销售，第一次用22000元，很快销售一空，第二次又用48000元购进同款冰墩墩，所购进数量是第一次的2倍，但单价贵了10元．(1)求该商家第一次购进冰墩墩多少个？(2)若所有冰墩墩都按相同的标价销售，要求全部销售完后的利润率不低于20%（不考虑其他因素），那么每个冰墩墩的标价至少为多少元？【变式4-1】（2022·河南·统考中考真题）近日，教育部印发《义务教育课程方案》和课程标准（2022年版），将劳动从原来的综合实践活动课程中独立出来．某中学为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，需倍，用300元在市场上要采购一批菜苗开展种植活动．据了解，市场上每捆A种菜苗的价格是菜苗基地的54购买的A种菜苗比在菜苗基地购买的少3捆．(1)求菜苗基地每捆A种菜苗的价格．(2)菜苗基地每捆B种菜苗的价格是30元．学校决定在菜苗基地购买A，B两种菜苗共100捆，且A种菜苗的捆数不超过B种菜苗的捆数．菜苗基地为支持该校活动，对A，B两种菜苗均提供九折优惠．求本次购买最少花费多少钱．【变式4-2】（2021·山东济南·统考中考真题）端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．某超市节前购进了甲、乙两种畅销口味的粽子．已知购进甲种粽子的金额是1200元，购进乙种粽子的金额是800元，购进甲种粽子的数量比乙种粽子的数量少50个，甲种粽子的单价是乙种粽子单价的2倍．（1）求甲、乙两种粽子的单价分别是多少元？（2）为满足消费者需求，该超市准备再次购进甲、乙两种粽子共200个，若总金额不超过1150元，问最多购进多少个甲种粽子？【变式4-3】（2022·山东烟台·统考中考真题）扫地机器人具备敏捷的转弯、制动能力和强大的自主感知、规划能力，深受人们喜爱．某商场根据市场需求，采购了A，B两种型号扫地机器人．已知B型每个进价比A型的2倍少400元．采购相同数量的A，B两种型号扫地机器人，分别用了96000元和168000元．请问A，B两种型号扫地机器人每个进价分别为多少元？类型四销售利润问题【例5】（2023梁山县三模）某商场计划销售A，B两种型号的商品，经调查，用1500元采购A型商品的件数是用600元采购B型商品的件数的2倍，一件A型商品的进价比一件B型商品的进价多30元．（1）求一件A，B型商品的进价分别为多少元？（2）若该商场购进A，B型商品共100件进行试销，其中A型商品的件数不大于B型的件数，已知A型商品的售价为200元/件，B型商品的售价为180元/件，且全部能售出，求该商品能获得的利润最小是多少？【变式5-1】（2023银川市二模）某商场购进甲、乙两种商品，甲种商品共用了2000元，乙种商品共用了2400元．已知乙种商品每件进价比甲种商品每件进价多8元，且购进的甲、乙两种商品件数相同．（1）求甲、乙两种商品的每件进价；（2）该商场将购进的甲、乙两种商品进行销售，甲种商品的销售单价为60元，乙种商品的销售单价为88元，销售过程中发现甲种商品销量不好，商场决定：甲种商品销售一定数量后，将剩余的甲种商品按原销售单价的七折销售；乙种商品销售单价保持不变．要使两种商品全部售完后共获利不少于2460元，问甲种商品按原销售单价至少销售多少件？。

第六节 多元函数的极值及其求法在实际问题中，我们会大量遇到求多元函数的最大值、最小值的问题. 与一元函数的情形类似，多元函数的最大值、最小值与极大值、极小值密切的联系. 下面我们以二元函数为例来讨论多元函数的极值问题.分布图示★ 引例 ★ 二元函数极值的概念 例1-3★ 极值的必要条件 ★ 极值的充分条件★ 求二元函数极值的一般步骤 ★ 例4 ★ 例5★ 求最值的一般步骤 ★ 例6 ★ 例7★ 例8 ★ 例9 ★ 例10 ★ 例11 ★ 条件极值的概念 ★ 拉格郎日乘数法 ★ 例12★ 例 13 ★ 例 14 ★ 例 15 ★ 例 16*数学建模举例★ 线性回归问题 ★ 线性规划问题★ 内容小结 ★ 课堂练习★ 习题6-6内容要点一、二元函数极值的概念定义1 设函数),(y x f z =在点),(00y x 的某一邻域内有定义, 对于该邻域内异于),(00y x 的任意一点),(y x , 如果),,(),(00y x f y x f <则称函数在),(00y x 有极大值；如果),,(),(00y x f y x f >则称函数在),(00y x 有极小值; 极大值、极小值统称为极值. 使函数取得极值的点称为极值点.定理1 (必要条件) 设函数),(y x f z =在点),(00y x 具有偏导数, 且在点),(00y x 处有极值, 则它在该点的偏导数必然为零，即.0),(,0),(0000==y x f y x f y x (6.1)与一元函数的情形类似，对于多元函数，凡是能使一阶偏导数同时为零的点称为函数的驻点.定理2 (充分条件) 设函数),(y x f z =在点),(00y x 的某邻域内有直到二阶的连续偏导数，又,0),(00=y x f x .0),(00=y x f y 令.),(,),(,),(000000C y x f B y x f A y x f yy xy xx === (1) 当02>-B AC 时，函数),(y x f 在),(00y x 处有极值，且当0>A 时有极小值),(00y x f ；0<A 时有极大值),(00y x f ；(2) 当02<-B AC 时，函数),(y x f 在),(00y x 处没有极值;(3) 当02=-B AC 时，函数),(y x f 在),(00y x 处可能有极值，也可能没有极值.根据定理1与定理2，如果函数),(y x f 具有二阶连续偏导数，则求),(y x f z =的极值的一般步骤为：第一步 解方程组,0),(,0),(==y x f y x f y x 求出),(y x f 的所有驻点；第二步 求出函数),(y x f 的二阶偏导数，依次确定各驻点处A 、 B 、 C 的值，并根据2B AC -的符号判定驻点是否为极值点. 最后求出函数),(y x f 在极值点处的极值.二、二元函数的最大值与最小值求函数),(y x f 的最大值和最小值的一般步骤为:（1）求函数),(y x f 在D 内所有驻点处的函数值;（2）求),(y x f 在D 的边界上的最大值和最小值;（3）将前两步得到的所有函数值进行比较，其中最大者即为最大值, 最小者即为最小值. 在通常遇到的实际问题中，如果根据问题的性质，可以判断出函数),(y x f 的最大值（最小值）一定在D 的内部取得，而函数),(y x f 在D 内只有一个驻点，则可以肯定该驻点处的函数值就是函数),(y x f 在D 上的最大值（最小值）.三、条件极值 拉格朗日乘数法前面所讨论的极值问题，对于函数的自变量一般只要求落在定义域内，并无其它限制条件，这类极值我们称为无条件极值. 但在实际问题中，常会遇到对函数的自变量还有附加条件的的极值问题. 对自变量有附加条件的极值称为条件极值.拉格朗日乘数法设二元函数),(y x f 和),(y x ϕ在区域D 内有一阶连续偏导数，则求),(y x f z =在D 内满足条件0),(=y x ϕ的极值问题，可以转化为求拉格朗日函数),(),(),,(y x y x f y x L λϕλ+=（其中λ为某一常数）的无条件极值问题.于是，求函数),(y x f z =在条件0),(=y x ϕ的极值的拉格朗日乘数法的基本步骤为：(1) 构造拉格朗日函数),(),(),,(y x y x f y x L λϕλ+=其中λ为某一常数;(2) 由方程组⎪⎩⎪⎨⎧===+==+=0),(,0),(),(,0),(),(y x L y x y x f L y x y x f L y y y x x x ϕλϕλϕλ解出λ,,y x , 其中x , y 就是所求条件极值的可能的极值点.注：拉格朗日乘数法只给出函数取极值的必要条件, 因此按照这种方法求出来的点是否为极值点, 还需要加以讨论. 不过在实际问题中, 往往可以根据问题本身的性质来判定所求的点是不是极值点.拉格朗日乘数法可推广到自变量多于两个而条件多于一个的情形:四、数学建模举例例题选讲二元函数极值的概念例1 (E01) 函数2232y x z +=在点(0, 0)处有极小值. 从几何上看，2232y x z +=表示一开口向上的椭圆抛物面，点)0,0,0(是它的顶点.（图7-6-1）.例2 (E02) 函数22y x z +-=在点(0,0)处有极大值. 从几何上看，22y x z +-= 表示一开口向下的半圆锥面，点)0,0,0(是它的顶点.（图7-6-2）.例3 (E03) 函数22x y z -= 在点(0,0)处无极值. 从几何上看，它表示双曲抛物面（马 鞍面）（图7-6-3）例4 (E04) 求函数x y x y x y x f 933),(2233-++-=的极值.解 先解方程组解得驻点为),0,1(),2,1(),0,3(-).2,3(-再求出二阶偏导数),(y x f xx ,66+=x ),(y x f xy ,0=),(y x f yy .66+-=y在点 (1, 0) 处, ,06122>⋅=-B AC 又,063),(0963),(22⎪⎩⎪⎨⎧=+-==-+=y y y x f x x y x f y x ,0>A 故函数在该点处有极小值;5)0,1(-=f在点 (1, 2) 处, )0,3(-处，,06122<⋅-=-B AC 故函数在这两点处没有极值;在点)2,3(-处，,0)6(122>-⋅-=-B AC 又,0<A 故函数在该点处有极大值.31)2,3(=-f例5 证明函数 y y ye x e z -+=cos )1(有无穷多个极大值而无一极小值.二元函数的最大值与最小值.证 由⎪⎩⎪⎨⎧=--='=+-='0)1(cos 0sin )1(y x e z x e z y y y x).(1)1(Z k y k x k ∈⎩⎨⎧--==π 又,cos )1(x e z A y xx +-=''=,sin x e z B y xy -=''=).2(cos y x e z C y yy--=''= 在点))(0,2(z n n ∈π处,,2-=A ,0=B ,1-=C ,022>=-B AC又,0<A 所以函数z 取得极大值;在点))(2,)12((z n n ∈-+π处,,12-+=e A ,0=B ,2--=e C ,0422<--=---e e B AC 此时函数无极值.证毕.二元函数的最大值与最小值例6 求函数y xy x y x f 22),(2+-=在矩形域 |),{(y x D =}20,30≤≤≤≤y x上的最大值和最小值.解 先求函数),(y x f 在D 内驻点.由,022=-=y x f x 022=+-=x f y 求得f 在D 内部的唯一驻点 (1, 1),且.1)1,1(=f 其次求函数),(y x f 在D 的边界上的最大值和最小值.如图所示.区域D 的边界包含四条直线段.,,,4321L L L L在1L 上,0=y ,)0,(2x x f =.30≤≤x 这是x 的单调增加函数,故在1L 上f 的最大值为,9)0,3(=f 最小值为.0)0,0(=f同样在2L 和4L 上f 也是单调的一元函数,易得最大值、最小值分别为,9)0,3(=f 1)2,3(=f (在2L 上),,4)2,0(=f 0)0,0(=f (在4L 上),而在3L 上,2=y ,44)2,(2+-=x x x f ,30≤≤x 易求出f 在3L 上的最大值,4)2,0(=f 最小值.0)2,2(=f将f 在驻点上的值)1,1(f 与4321,,,L L L L 上的最大值和最小值比较,最后得到f 在D 上的最大值,9)0,3(=f 最小值.0)2,2()0,0(==f f例7 求二元函数)4(),(2y x y x y x f z --==在直线6=+y x , x 轴和y 轴所围成的闭区域D 上的最大值与最小值.解 先求函数在D 内的驻点，解方程组 ,0)4(),(0)4(2),(222⎩⎨⎧=---='=---='y x y x x y x f y x y x xy y x f xx 得唯一驻点),1,2(且,4)1,2(=f 再求),(y x f 在D 边界上得最值，在边界6=+y x 上，即,6x y -=于是),2)(6(),(2--=x x y x f由,02)6(42=+-='x x x fx 得4,021==x x ,264=-==x x y 而,64)2,4(-=f 所以4)1,2(=f 为最大值，64)2,4(-=f 为最小值.例8 求函数 32233),(x y x y x f -+=在区域16:22≤+y x D 上的最小值.解 先求),(y x f 在D 内的极值.由,36),(2x x y x f x -=',6),(y y x f y =' 解方程组⎩⎨⎧==-060362y x x 得驻点(0, 0), (2, 0). 由于,6)0,0(=''xxf ,0)0,0(=''xy f ,6)0,0(=''yy f ,6)0,2(-=''xxf ,0)0,2(=''xy f .6)0,2(=''yy f 所以, 在点 (0, 0) 处,0362<-=-AC B ,06>=A 故在 (0, 0) 处有极小值.0)0,0(=f 在点 (2, 0) 处,0362>=-AC B 故函数在点 (2, 0)处无极值.再求),(y x f 在边界1622=+y x 上的最小值.由于点),(y x 在圆周1622=+y x 上变化,故可解出),44(1622≤≤--=x x y 代入),(y x f 中，有z ),(y x f =32233x y x -+=348x -=),44(≤≤-x这时z 是x 的一元函数,求得在]4,4[-上的最小值.164-==x z 最后比较可得,函数32233),(x y x y x f -+=在闭区间D 上的最小值.16)0,4(-=f例9 求 122+++=y x yx z 的最大值和最小值.解 x z 22222)1()(2)1(+++-++=y x y x x y x ,0=y z 22222)1()(2)1(+++-++=y x y x y y x ,0=解得驻点 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21,21和,21,21⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-- 因为,01lim 22=+++∞→∞→y x y x y x 即边界上的值为零.又 ,2121,21=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛z ,2121,21-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--z 所以最大值为,21最小值为.21-例10 (E05) 某厂要用铁板做成一个体积为32m 的有盖长方体水箱. 问当长、宽、高各 取怎样的尺寸时, 才能使用料最省.解 设水箱的长为,xm 宽为,ym 则其高应为./2xym 此水箱所用材料的面积 A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⋅+=xy x xy y xy 222⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=y x xy 222).0,0(>>y x 此为目标函数.下面求使这函数取得最小值的点).,(y x 令,0222=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x y A x .0222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=y x A y 解这方程组,得唯一的驻点,23=x .23=y根据题意可断定,该驻点即为所求最小值点. 因此当水箱的长为m 32、宽为m 32、高为=⋅33222m 32时，水箱所用的材料最省.注: 体积一定的长方体中,以立方体的表面积为最小.例11 (E06) 设1q 为商品A 的需求量, 2q 为商品B 的需求量, 其需求函数分别为,10420,4216212211p p q p p q -+=+-=总成本函数为2123q q C +=，其中21,p p 为商品A 和B 的价格, 试问价格21,p p 取何值时可使利润最大?解 按题意，总收益函数为),10420()42216(2122112211p p p p p p q p q p R -+++--=+=于是总利润函数为)2()3(2211-+-=-=p q p q C R L).10420)(2()4216)(3(212211p p p p p p -+-++--=为使总利润最大，求一阶偏导数，并令其为零：,08414211=+-=∂∂p p p L )2(10)10420()3(422111---++-=∂∂p p p p p L ,02082821=-+=p p由此解得 ,14,26321==p p 又因 .0)20)(4(8)(22<---=''⋅''-''yy xx xy L L L 故取价格14,26321==p p 时利润可达最大，而此时得产量为.6,921==q q例12 求函数xyz u =在附加条件a z y x /1/1/1/1=++ ()0,0,0,0>>>>a z y x (1)下的极值.解 作拉格朗日函数),,,(λz y x L )./1/1/1/1(a z y x xyz -+++=λ由.3.3/.0)/1/1/1(30/0/0/222a x y x a xyz z y x xyz z xy L y xz L x yz L zy x ===⇒=⇒=++-⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-==-==-=λλλλλ故)3,3,3(a a a 是函数xyz u =在条件(1)下唯一驻点.把条件(1)确定的隐函数记作),,(y x z z =将目标函数看作),,(),(y x F y x z xy u =⋅=再应用二元函数极值的充分条件判断,知点,3,3(a a )3a 是函数xyz u =在条件(1)下的极小值点.而所求极值为.273a条件极值 拉格朗日乘数法例13 (E07) 求表面积为2a 而体积为最大的长方体的体积.解 设长方体的三棱长为,,,z y x 则问题就是在条件 ),,(z y x ϕ2222a xz yz xy -++=0=(1) 下, 求函数)0,0,0(>>>=z y x xyz V 的最大值.作拉格朗日函数),,,(λz y x L ),222(2a xz yz xy xyz -+++=λ 由..,0)(20)(20)(2z y x z x y x z y z y z x y x x y xy L z x xz L z y yz L zy x ==⇒++=++=⇒⎪⎩⎪⎨⎧=++==++==++=λλλ代入 (1) 式,得唯一可能的极值点:,6/6a z y x ===由问题本身意义知,此点就是所求最大值点.即,表面积为2a 的长方体中,以棱长为6/6a 的正方体的体积为最大,最大体积.3663a V =例14 在经济学中有个Cobb-Douglas 生产函数模型,),(1a a y cx y x f -=式中x 代 表劳动力的数量, y 为资本数量(确切地说是y 个单位资本), c 与)10(<<a a 是常数, 由各工厂的具体情形而定. 函数值表示生产量.现在已知某制造商的Cobb-Douglas 生产函数是=),(y x f ,1004143y x 每个劳动力与每单位资本的成本分别是150元及250元. 该制造商的总预算是50000元. 问他该如何分配这笔钱用于雇用劳动力与资本，以使生产量最高.解 这是个条件极值问题，求函数4143100),(y xy x f =在条件50000250150=+y x 下的最大值. 令)25015050000(100),,(413y x y x y x L --+=λλ，由方程组⎪⎩⎪⎨⎧=--==-==-=--0250150500000250250150754343141y x L yx L y x L xx x λλ 中的第一个方程解得,21411y x -=λ将其代入第二个方程中，得 ,0125254141343=---y x y x 在该式两边同乘,4341y x 有,012525=-y x 即.5y x =将此结果代入方程组的第三个方程得,50,250==y x 即该制造商应该雇用250个劳动力而把其余得部分作为资本投入，这时可获得最大产量.16719)50,250(=f例15 (E08) 设销售收入R (单位:万元)与花费在两种广告宣传的费用y x ,(单位:万元) 之间的关系为yy x x R +++=101005200 利润额相当五分之一的销售收入, 并要扣除广告费用. 已知广告费用总预算金是25万元, 试问如何分配两种广告费用使利润最大?解 设利润为,z 有 z y x R --=51.1020540y x y y x x --+++=,限制条件为.25=+y x 这是条件极值问题.令),,(λy x L )25(1020540-++--+++=y x y x yy x x λ 从,01)5(2002=+-+=λx L x 01)10(2002=+-+=λy L y22)10()5(y x +=+又,25x y -=解得,15=x .10=y 根据问题本身的意义及驻点的唯一性即知,当投入两种广告的费用分别为15万元和10万元时,可使利润最大.例16 设某电视机厂生产一台电视机的成本为c , 每台电视机的销售价格为p , 销售量为x .假设该厂的生产处于平衡状态, 即电视机的生产量等于销售量. 根据市场预测, 销售量x 与销售价格为p 之间有下面的关系:ap Me x -= )0,0(>>a M (1) 其中M 为市场最大需求量, a 是价格系数. 同时, 生产部门根据对生产环节的分析, 对每台电视机的生产成本c 有如下测算: x k c c ln 0-= (1,0>>x k ), (2) 其中0c 是只生产一台电视机时的成本, k 是规模系数. 根据上述条件, 应如何确定电视机的售价p , 才能使该厂获得最大利润?解 设厂家获得的利润为,u 每台电视机售价为,p 每台生产成本为,c 销售量为,x 则.)(x c p u -=于是问题化为利润函数x c p u )(-=在附加条件(1)、(2) 下的极值问题.利用拉格朗日乘数法,作拉格朗日函数:),,,,(μλc p x L ).ln ()()(0x k c c Me x x c p ap +-+-+-=-μλ令x L x k c p /)(μλ++-=,0=p L ap aMe x -+=λ,0=c L μ+-=x .0=将 (1) 代入 (2),得 ).(ln 0ap M k c c --= (3)由 (1) 及0=p L 知 ,1-=a λ即./1a -=λ (4)由0=c L 知,μ=x 即 .1/=μx将 (3)、(4)、(5) 代入,0=x L 得,0/1)(ln 0=+--+-k a ap M k c p由此得 *p .1/1ln 0akk a M k c --+-=由问题本身可知最优价格必定存在,故这个*p 就是电视机的最优价格.数学建模举例1．最小二乘法数理统计中常用到回归分析，也就是根据实际测量得到的一组数据来找出变量间的函数关系的近似表达式. 通常把这样得到的函数的近似表达式叫做经验公式. 这是一种广泛采用的数据处理方法. 经验公式建立后，就可以把生产或实践中所积累的某些经验提高到理论上加以分析，并由此作出某些预测. 下面我们通过实例来介绍一种常用的建立经验公式的方法.例17 (E09) 测定刀具的磨损速度，按每隔一小时测量一次刀具厚度的方式，得到如下 实测数据：8.243.257.251.263.265.268.260.27)(76543210)(76543210毫米刀具厚度小时时间顺序编号i i y t i试根据这组实测数据建立变量y 和t 之间的经验公式).(t f y =解 观察散点图，易发现所求函数)(t f y =可近似看作线性函数，因此可设,)(b at t f +=其中a 和b 是待定常数，但因为图中各点并不在同一条直线上，因此希望要使偏差)7,,2,1,0()(Λ=-i t f y i i 都很小.为了保证每个这个的偏差都很小，可考虑选取常数,,b a 使∑=+-=702)]([i i i b at yM 最小.这种根据偏差的平方和为最小的条件来选择常数b a ,的方法叫做最小二乘法.求解本例：可考虑选取常数,,b a 使∑=+-=702)]([i i i b at yM 最小.把M 看成自变量a和b 的一个二元函数，那么问题就可归结为求函数),(b a M M =在那些点处取得最小值.令,0)]([20)]([2707⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+--=∂∂=+--=∂∂∑∑==i i i i i i i b at y b M t b at y a M即 .0)]([0)]([77⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=+-∑∑==i i i i i i i b at y t b at y 整理得.871717171712⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+∑∑∑∑∑=====i i i i i i i i i i i y b t a t y t b t a (1) 计算，得.0.717,5.208,140,28717171271====∑∑∑∑====i ii i i iii ity ytt代入(1)，得 ⎩⎨⎧=+=+5.20882871728140b a b a.125.27,3036.0=-=b a于是，所求经验公式为 .125.273036.0)(+-==t t f y (2) 根据上式算出的)(i t f 与实测的i y 有一定的偏差，见下表：注：偏差的平方和,108165.0=M 其平方根.392.0=M 我们把M 称为均方误差，它的大小在一定程度上反映了用经验公式近似表达原来函数关系的近似程度的好坏.注：本例中实测数据的图形近似为一条直线，因而认为所求函数关系可近似看作线性函数关系，这类问题的求解比较简便.有些实际问题中，经验公式的类型虽然不是线性函数，但我们可以设法把它转化成线性函数的类型来讨论.2．线性规划问题求多个自变量的线性函数在一组线性不等式约束条件下的最大值最小值问题，是一类完全不同的问题，这类问题叫做线性规划问题. 下面我们通过实例来说明.例18 (E10) 一份简化的食物由粮和肉两种食品做成, 每份粮价值30分, 其中含有4单位醣, 5单位维生素和2单位蛋白质; 每一份肉价值50分, 其中含有1单位醣, 4单位维生素和4单位蛋白质. 对一份食物的最低要求是它至少要由8单位醣, 20单位维生素和10单位蛋白质组成, 问应当选择什么样的食物, 才能使价钱最便宜.解 设食物由x 份粮和y 份肉组成，其价钱为.5030y x C +=由食物的最低要求得到三个不等式约束条件，即：为了有足够的醣，应有;84≥+y x 为了有足够的维生素，应有;2045≥+y x为了有足够的蛋白质，应有;1042≥+y x 并且还有.0,0≥≥y x 上述五个不等式把问题的解限制在平面上如图的阴影区域中，现在考虑直线族.5030y x C +=当C 逐渐增加时，与阴影区域相交的第一条直线是通过顶点S 的直线，S 是两条直线 2045=+y x 和1042=+y x 的交点，所以点S 对应于C 的最小值的坐标是),65,310(即这种食物是由313份粮和65份肉组成. 代入y x C 5030+=即得到所要求的食物的最低价格32141655031030min =⨯+⨯=C 分.下面的例子是用几何方法来解决的.例19 (E11) 一个糖果制造商有500g 巧克力, 100g 核桃和50g 果料. 他用这些原料生产三种类型的糖果. A 类每盒用3g 巧克力, 1g 核桃和1g 果料, 售价10元. B 类每盒用4g 巧克力和1g 核桃, 售价6元. C 类每盒是5g 巧克力, 售价4元. 问每类糖果各应做多少盒, 才能使总收入最大?解 设制造商出售C B A ,,三类糖果各为z y x ,,盒，总收入是z y x R 4610++=(元). 不等式约束条件由巧克力、核桃和果料的存货限额给出，依次为 .50,100,500543≤≤+≤++x y x z y x当然，由问题的性质知，y x ,和z 也是非负的，所以 .0,0,0≥≥≥z y x 于是，问题化为：求R 的满足这些不等式的最大值.上述不等式把允许的解限制在Oxy 空间中的一个多面体区域之内(如图).在平行平面R z y x =++4610中只有一部分平面和这个区域相交，随着R 增大，平面离原点越来越远.显然，R 的最大值一定出现在这样的平面上，这种平面正好经过允许值所在多面体区域的由图可见，R 的最大值是920元，相应的点是，)30,50,50(所以A 类50盒，B 类30盒，C 类30盒时收入最多.课堂练习1.求函数)(2)(),(22222y x y x y x f --+=的极值.2.求函数)sin(sin sin ),(y x y x y x f z +-+==在由x 轴, y 轴及直线π2=+y x 所围成三角形中的最大值.3.某工厂生产两种产品A 与B, 出售单价分别为10元与9元, 生产x 单位的产品A 与生产y 单位的产品B 的总费用是:)()33(01.03240022元y xy x y x +++++求取得最大利润时, 两种产品的产量各多少?。

高中数学专题函数方程教案
一、教学目标
1. 了解函数方程的定义和基本概念；
2. 掌握函数方程的解法和计算方法；
3. 提高学生对函数方程的理解和运用能力。

二、教学重点和难点
重点：函数方程的定义和基本概念；
难点：解决函数方程的方法及计算过程。

三、教学准备
1. 教材：高中数学教材；
2. 工具：黑板、彩色粉笔、教学PPT等。

四、教学过程
1. 引入：通过几个实际问题引导学生认识函数方程的概念，引出本节课的主题；
2. 学习：结合具体例题，介绍函数方程的定义和基本性质，讲解解决函数方程的常见方法；
3. 练习：组织学生进行练习，巩固所学知识，培养学生的解题能力；
4. 拓展：引导学生应用函数方程解决更复杂的问题；
5. 总结：对本节课的内容进行总结，强调重点和难点，梳理知识结构，加深学生印象。

五、课后作业
1. 完成课后习题，巩固所学知识；
2. 总结本节课的重点内容，准备下节课的学习。

六、教学反思
教师根据学生学习情况和反馈，及时调整教学方法和内容，确保教学效果。

高三数学第一轮复习讲义一、函数与方程1. 函数的定义与性质函数是数学中非常重要的概念之一。

在高中数学中，我们常常遇到各种各样的函数问题，理解函数的定义与性质对于解决这些问题至关重要。

1.1 函数的定义函数是一个集合与集合之间的映射关系，它可以将一个自变量的值映射到一个唯一的因变量的值上。

通常表示为：f(x)，其中f表示函数名，x表示自变量，f(x)表示函数的值。

1.2 函数的性质•定义域：函数的自变量所能取到的值的集合。

•值域：函数的因变量所能取到的值的集合。

•单调性：函数在整个定义域内的增减关系。

•奇偶性：函数的对称性质。

2. 一元二次方程一元二次方程是高中数学中常见的一种方程类型，它的一般形式为ax2+bx+c=0。

解一元二次方程的方法有因式分解、配方法、求根公式等。

2.1 因式分解法当一元二次方程可以因式分解为两个一次因式的乘积时，我们可以通过解两个一次方程来求解原方程。

例如：x2−5x+6=0可以分解为(x−2)(x−3)=0，解方程得x=2或x=3。

2.2 配方法当一元二次方程的一次项系数为 2 或 -2 时，可以采用配方法来求解方程。

例如：2x2−7x−3=0。

我们可以通过将2x2−7x−3=0看作(ax+b)x+ c=0的形式，其中a、b、c分别表示方程的系数。

然后，我们将x的系数−7分解为两个数，使得这两个数相乘等于ac，即2∗(−3)=−6，并且这两个数的和等于b，即−7。

在这个例子中，可以写成−3和2。

然后将方程改写为(2x−3)(x+ 1)=0，解得 $x=\\frac{3}{2}$ 或x=−1。

2.3 求根公式当一元二次方程无法通过因式分解或配方法来求解时，我们可以使用求根公式来求解方程。

一元二次方程的求根公式为：$x=\\frac{-b\\pm\\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$。

通过代入方程的系数a、b、c到公式中，就可以得到方程的解。

3. 三角函数三角函数是解决与角相关问题的数学工具，广泛应用于物理、工程、计算机图形学等领域。

普通高中课程标准实验教科书—数学 [人教版]高三新数学第一轮复习教案（讲座6）—函数与方程一．课标要求：1．结合二次函数的图像，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系；2．根据具体函数的图像，能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解，了解这种方法是求方程近似解的常用方法。

二．命题走向函数与方程的理论是高中新课标教材中新增的知识点，特别是“二分法”求方程的近似解也一定会是高考的考点。

从近几年高考的形势来看，十分注重对三个“二次”（即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式）的考察力度，同时也研究了它的许多重要的结论，并付诸应用。

高考试题中有近一半的试题与这三个“二次”问题有关。

预计2008年高考对本讲的要求是：以二分法为重点、以二次函数为载体、以考察函数与方程的关系为目标来考察学生的能力。

（1）题型可为选择、填空和解答；（2）高考试题中可能出现复合了函数性质与函数零点的综合题，同时考察函数方程的思想。

三．要点精讲1．方程的根与函数的零点（1）函数零点概念：对于函数))((D x x f y ∈=，把使0)(=x f 成立的实数x 叫做函数))((D x x f y ∈=的零点。

函数零点的意义：函数)(x f y =的零点就是方程0)(=x f 实数根，亦即函数)(x f y =的图象与x 轴交点的横坐标。

即：方程0)(=x f 有实数根⇔函数)(x f y =的图象与x 轴有交点⇔函数)(x f y =有零点。

二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的零点：１）△＞０，方程02=++c bx ax 有两不等实根，二次函数的图象与x 轴有两个交点，二次函数有两个零点；２）△＝０，方程02=++c bx ax 有两相等实根（二重根），二次函数的图象与x 轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点；３）△＜０，方程02=++c bx ax 无实根，二次函数的图象与x 轴无交点，二次函数无零点。

函数概念教案函数概念教案1教学目标：1．进一步理解用集合与对应的语言来刻画的函数的概念，进一步理解函数的本质是数集之间的对应；2．进一步熟悉与理解函数的定义域、值域的定义，会利用函数的定义域与对应法则判定有关函数是否为同一函数；3．通过教学，进一步培养学生由具体逐步过渡到符号化，代数式化，并能对以往学习过的知识进行理性化思考，对事物间的联系的一种数学化的思考．教学重点：用对应来进一步刻画函数；求基本函数的定义域和值域．教学过程：一、问题情境1．情境．复述函数及函数的定义域的概念．2．问题．概念中集合A为函数的定义域，集合B的作用是什么呢？二、学生活动1．理解函数的值域的概念；2．能利用观察法求简单函数的值域；3．探求简单的复合函数f(f(x))的定义域与值域．三、数学建构1．函数的值域：（1）按照对应法则f，对于A中所有x的值的对应输出值组成的集合称之为函数的值域；（2）值域是集合B的子集．2．x g(x) f(x) f(g(x))，其中g(x)的值域即为f(g(x))的定义域；四、数学运用（一）例题．例1 已知函数f (x)＝x2＋2x，求 f (－2)，f (－1)，f (0)，f (1)．例2 根据不同条件，分别求函数f(x)＝(x-1)2＋1的值域．（1）x∈{－1，0，1，2，3}；（2）x∈R；（3）x∈[－1，3]；（4）x∈(－1，2]；（5）x∈(－1，1)．例3 求下列函数的值域：①＝；②＝．例4 已知函数f(x)与g(x)分别由下表给出：x1234x1234f(x)2341g(x)2143分别求f (f (1))，f (g (2))，g(f (3))，g (g (4))的值．（二）练习．（1）求下列函数的值域：①＝2－x2；②＝3－|x|．（2）已知函数f(x)＝3x2－5x＋2，求f(3)、f(－2)、f(a)、f(a＋1)．（3）已知函数f(x)＝2x＋1，g(x)＝x2－2x＋2，试分别求出g(f(x))和f(g(x))的值域，比较一下，看有什么发现．（4）已知函数＝f(x)的定义域为[－1，2]，求f(x)＋f(－x)的定义域．（5）已知f(x)的定义域为[－2，2]，求f(2x)，f(x2＋1)的定义域．五、回顾小结函数的对应本质，函数的定义域与值域；利用分解的思想研究复合函数．六、作业课本P31-5，8，9．函数概念教案2各位领导老师：大家好！今天我说课的内容是函数的近代定义也就是函数的第一课时内容。

第06讲 二次函数的应用-实际应用一、列二次函数解应用题列二次函数解应用题与列整式方程解应用题的思路和方法是一致的，不同的是，学习了二次函数后，表示量与量的关系的代数式是含有两个变量的等式．对于应用题要注意以下步骤：(1)审清题意，弄清题中涉及哪些量，已知量有几个，已知量与变量之间的基本关系是什么，找出等量关系(即函数关系)．(2)设出两个变量，注意分清自变量和因变量，同时还要注意所设变量的单位要准确．(3)列函数表达式，抓住题中含有等量关系的语句，将此语句抽象为含变量的等式，这就是二次函数．(4)按题目要求，结合二次函数的性质解答相应的问题。

(5)检验所得解是否符合实际：即是否为所提问题的答案．(6)写出答案．要点：常见的问题：求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模型问题等.解决这些实际问题关键是找等量关系，把实际问题转化为函数问题，列出相关的函数关系式.二、建立二次函数模型求解实际问题一般步骤：(1)恰当地建立直角坐标系；(2)将已知条件转化为点的坐标；(3)合理地设出所求函数关系式；(4)代入已知条件或点的坐标，求出关系式；(5)利用关系式求解问题．要点：(1)利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义.(2)对于本节的学习，应由低到高处理好如下三个方面的问题：①首先必须了解二次函数的基本性质；②学会从实际问题中建立二次函数的模型；③借助二次函数的性质来解决实际问题.例1．一台机器原价100万元，若每年的折旧率是x ，两年后这台机器约为y 万元，则y 与x 的函数关系式为（ ）A ．2100(1)y x =-B ．100(1)y x =-C ．2100y x =-D ．2100(1)y x =+例2．长为20cm ，宽为10cm 的矩形，四个角上剪去边长为cm x 的小正方形，然后把四边折起来，作成底面为2cm y 的无盖的长方体盒子，则y 与x 的关系式为（ ）A ．(10)(20)(05)y x x x =--<<B ．210204(05)y x x =⨯-<<C ．(102)(202)(05)y x x x =--<<D ．22004(05)y x x =+<<例3．重装专卖店销售一种童装，若这种童装每天获利y （元）与销售单价x （元）满足关系250500y x x =-+-，则要想获得最大利润每天必须卖出（ ）A ．25件B ．20件C ．30件D ．40件例4．在中考体育训练期间，小宇对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y（米）与水平距离x （米）之间的关系式为21381055y x x =-++，由此可知小宇此次实心球训练的成绩为（ ）A ．85米B ．8米C ．10米D ．2米例5．如图，某农场拟建一间矩形奶牛饲养室，打算一边利用房屋现有的墙（墙足够长），其余三边除大门外用栅栏围成，栅栏总长度为50m ，门宽为2m ．若饲养室长为x m ，占地面积为y 2m ，则y 关于x 的函数表达式为（ ）A ．y ＝﹣12x 2+26x （2≤x ＜52）B ．y ＝﹣12x 2+50x （2≤x ＜52）C ．y ＝﹣x 2+52x （2≤x ＜52）D ．y ＝﹣12x 2+27x ﹣52（2≤x ＜52）例6．下表所列为某商店薄利多销的情况，某商品原价为560元，随着不同幅度的降价，日销量（单位为件）发生相应的变化．如果售价为500元时，日销量为（ ）件．降价（元）5 10 15 20 25 30 35 日销量（件）780 810 840 870 900 930 960A ．1200B ．750C ．1110D ．1140例7．一位运动员在距篮筐正下方水平距离4m 处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5m 时，达到最大高度3.5m ，然后准确落入篮筐．如图所示，建立平面直角坐标系，已知篮筐中心到地面的距离为3.05m ，该运动员身高1.9m ，在这次跳投中，球在头顶上方0.25m 处出手，球出手时，他跳离地面的高度是( )A ．0.1mB ．0.2mC ．0.3mD ．0.4m例8．如图，花坛水池中央有一喷泉，水管OP=3m ，水从喷头P 喷出后呈抛物线状先向上至最高点后落下，若最高点距水面4m ，P 距抛物线对称轴1m ，则为使水不落到池外，水池半径最小为（ ）A ．1B ．1.5C ．2D ．3例9．小明周末前往游乐园游玩，他乘坐了摩天轮，摩天轮转一圈，他离地面高度(m)y 与旋转时(s)x 之间的关系可以近似地用2140y x bx c =-++来刻画．如图记录了该摩天轮旋转时(s)x 和离地面高度(m)y 的三组数据，根据上述函数模型和数据，可以推断出：当小明乘坐此摩天轮离地面最高时，需要的时间为（ ）A ．172sB ．175sC ．180sD ．186s例10．在某种病毒的传播过程中，每轮传染平均1人会传染x 个人，若最初2个人感染该病毒，经过两轮传染，共有y 人感染．则y 与x 的函数关系式为（ ）A ．()221y x =+B ．()22y x =+C ．222y x =+D ．()212y x =+例11．一人一盔安全守规，一人一带平安常在！某商店销售一批头盔，售价为每顶80元，每月可售出200顶．在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价1元，每月可多售出20顶．已知头盔的进价为每顶50元，则该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为（ ）元．A ．60B ．65C ．70D ．75例12．某公司销售一种藜麦，成本价为30元/千克，若以35元/千克的价格销售，每天可售出450千克．当售价每涨0.5元/千克时，日销售量就会减少15千克．设当日销售单价为x （元/千克）（30x ≥，且x 是按0.5的倍数上涨），当日销售量为y （千克）．有下列说法：①当36x =时，420y =②y 与x 之间的函数关系式为301500y x =-+③若使日销售利润为2880元，且销售量较大，则日销售单价应定为42元/千克④若使日销售利润最大，销售价格应定为40元/千克其中正确的是（ ）A ．①②B ．①②④C ．①②③D ．②④一、单选题 1．一台机器原价100万元，若每年的折旧率是x ，两年后这台机器约为y 万元，则y 与x 的函数关系式为（ ） A ．2100(1)y x =- B ．100(1)y x =- C ．2100y x =- D ．2100(1)y x =+ 2．重装专卖店销售一种童装，若这种童装每天获利y （元）与销售单价x （元）满足关系250500y x x =-+-，则要想获得最大利润每天必须卖出（ ）A ．25件B ．20件C ．30件D ．40件3．长为20cm ，宽为10cm 的矩形，四个角上剪去边长为cm x 的小正方形，然后把四边折起来，作成底面为2cm y 的无盖的长方体盒子，则y 与x 的关系式为（ ）A ．(10)(20)(05)y x x x =--<<B ．210204(05)y x x =⨯-<<C ．(102)(202)(05)y x x x =--<<D ．22004(05)y x x =+<<4．在中考体育训练期间，小宇对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y （米）与水平距离x （米）之间的关系式为21381055y x x =-++，由此可知小宇此次实心球训练的成绩为（ ）A ．85米 B ．8米 C ．10米 D ．2米 5．某市新建一座景观桥．如图，桥的拱肋ADB 可视为抛物线的一部分，桥面AB 可视为水平线段，桥面与拱肋用垂直于桥面的杆状景观灯连接，拱肋的跨度AB 为40米，桥拱的最大高度CD 为16米（不考虑灯杆和拱肋的粗细），则与CD 的距离为5米的景观灯杆MN 的高度为（ ）A ．13米B ．14米C ．15米D ．16米6．西安大雁塔音乐喷泉是西安的一张名片，许多人慕名前往．若其中一组喷泉水型可近似看成抛物线族，如图出立坐标系后，可由函数()221120y t x tx =-++确定，其中1为实数．若其中某个喷泉水柱的最大高度是4，则此时对应的t 值为（ ）A ．2B ．4C ．2或2-D ．4成4-7．如图，一个滑道由滑坡（AB 段）和缓冲带（BC 段）组成，如图所示，滑雪者在滑坡上滑行的距离1y （单位：m ）和滑行的时间1t （单位：s ）满足二次函数关系，并测得相关数据：滑雪者在缓冲带上滑行的距离2y （单位：m ），和在缓冲带上滑行时间2t （单位：s ）满足：2222562y t t =-，滑雪者从A 出发在缓冲带BC 上停止，一共用了24s ，则滑坡AB 的长度为（ ）滑行时间 0 1 2 3 4滑行距离 0 4.5 14 28.5 48A ．275米B ．384米C ．375米D ．270米8．足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度h （单位：m ）与足球被踢出后经过的时间t （单位：s ）之间的关系如下表： t 0 1 2 3 4 5 6 7 ……h 0 8 14 18 20 20 18 14 ……下列结论：①足球距离地面的最大高度为20.25m ；②足球飞行路线的对称轴是直线92t =；③足球被踢出8s 时落地；④足球被踢出1.5s 时，距离地面的高度是45m 4，其中正确的结论有（ ）个A ．1B ．2C ．3D ．49．根据防疫的相关要求，学生入校需晨检，体温超标的同学须进入临时隔离区进行留观．某校要建一个长方形临时隔离区，隔离区的一面利用学校边墙（墙长5米），其它三面用防疫隔离材料搭建，但要开一扇1米宽的进出口（不需材料），共用防疫隔离材料10米搭建的隔离区的面积最大为（ ）平方米．A ．252B ．25C ．1218D ．15 10．某池塘的截面如图所示，池底呈抛物线形，在图中建立平面直角坐标系，并标出相关数据（单位：m ）．有下列结论：①24m AB =； ②池底所在抛物线的解析式为21545y x =-； ③池塘最深处到水面CD 的距离为1.8m ；④若池塘中水面的宽度减少为原来的一半，则最深处到水面的距离减少为原来的14． 其中结论正确的是（ ）A ．①②B ．②④C ．③④D ．①④二、填空题11．加工爆米花时，爆开且不糊的颗粒的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率y 与加工时间x （单位：min ）满足函数表达式20.2 1.52y x x =-+-，则最佳加工时间为________min ．12．如图，以地面为x 轴，一名男生推铅球，铅球行进高度y （单位：米）与水平距离x （单位：米）之间的关系是21251233y x x =-++．则他将铅球推出的距离是___米．13．如图，某单位的围墙由一段段形状相同的抛物线形栅栏组成，为了牢固，每段栅栏间隔0.2米设置一根立柱（即AB 间间隔0.2米的7根立柱）进行加固，若立柱EF 的长为0.28米，则拱高OC 为_____米14．在东京奥运会跳水比赛中，中国小花全红婵的表现，令人印象深刻．在正常情况下，跳水运动员进行10米跳台训练时，必须在距水面5米之前完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则容易出现失误．假设某运动员起跳后第t 秒离水面的高度为h 米，且2255106h t t =-++．那么为了避免出现失误，这名运动员最多有_____秒时间，完成规定的翻腾动作．15．如图所示，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小都相同．正常水位时，大孔水面宽度AB 为20m ，顶点M 距水面6m （即6m MO =），小孔顶点N 距水面4m （即4m NC =）．当水位上涨到刚好淹没小孔时，借助图中的直角坐标系，可以得出此时大孔的水面宽度EF 是_________m ．16．小刚家装有一种可调节淋浴喷头高度的淋浴器，完全开启后，水流近似呈抛物线状，升降器AB 和淋浴喷头BC 所成∠ABC ＝135°，其中AB ＝10cm ，BC ＝102cm ．刚开始时，OA ＝140cm ，水流所在的抛物线恰好经过点A ，抛物线落地点D 和点O 相距70cm ．为了方便淋浴，淋浴器仍需完全处于开启的状态，且要求落地点和点O 的距离增加10cm ，则小刚应把升降器AB 向上平移____________cm ．17．一个玻璃杯竖直放置时的纵向截面如图1所示，其左右轮廓线AD ，BC 为同一抛物线的一部分，AB ，CD 都与水平地面平行，当杯子装满水后4cm AB =，8cm CD =，液体高度12cm ，将杯子绕C 倾斜倒出部分液体，当倾斜角=45ABE ∠︒时停止转动，如图2所示，此时液面宽度BE =________cm ，液面BE 到点C 所在水平地面的距离是________cm ．18．“水晶晶南浔”的美食文化中以特有的双交画出名，盛面的瓷碗截面图如图1所示，碗体DEC 呈抛物线状（碗体厚度不计），点E 是抛物线的顶点，碗底高EF ＝1cm ，碗底宽AB ＝23cm ，当瓷碗中装满面汤时，液面宽CD ＝83cm ，此时面汤最大深度EG ＝6cm ，将瓷碗绕点B 缓缓倾斜倒出部分面汤，如图2，当∠ABK ＝30°时停止，此时液面CH 宽 _____cm ；碗内面汤的最大深度是 _____cm ．三、解答题 19．如图，若被击打的小球飞行高度h （单位：m ）与飞行时间t （单位：s ）之间具有的关系为2205h t t =-，请根据要求解答下列问题：(1)在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是多少?(2)在飞行过程中，小球飞行高度何时最大?最大高度是多少?20．某架飞机着陆后滑行的距离y （单位：m ）与滑行时间x （单位：s ）近似满足函数关系()20y ax bx a =+≠．由电子监测获得滑行时间x 与滑行距离y 的几组数据如下：滑行时间x/s0 2 4 6 8 10 滑行距离y/m 0 114 216 306 384 450(1)根据上述数据，求出满足的函数关系式()20y ax bx a =+≠；(2)飞机着陆后滑行多远才能停下来？此时滑行的时间是多少？21．某游乐场的圆形喷水池中心O 有一雕塑OA ，从A 点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同。

专题06二次函数与一元二次方程重难点专练（教师版）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．某同学在利用描点法画二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ＝0）的图象时，先取自变量x 的一些值，计算出相应的函数值y ，如下表所示：接着，他在描点时发现，表格中有一组数据计算错误，他计算错误的一组数据是（ ）A ．03x y =⎧⎨=-⎩B ．21x y =⎧⎨=-⎩C ．30x y =⎧⎨=⎩D ．43x y =⎧⎨=⎩【答案】B 【解析】 【分析】除了x =2，y =﹣1，其它四组对应值可能为抛物线的对称点，由于表格中有一组数据计算错误，从而可判断x =2，y =﹣1错误． 【详解】由表中数据得x =0和x =4时，y =3；x =1和x =3时，y =0，它们为抛物线上的对称点，而表格中有一组数据计算错误，所以只有x =2时y =﹣1错误，因为x=2为对称轴，则其所对的纵坐标必为最值，题中的-1不符合要求． 故选B ． 【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点：把求二次函数y =ax 2+bx +c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）与x 轴的交点坐标问题转化为解关于x 的一元二次方程．也考查了二次函数的性质． 2．若方程x 2+（m+2）x+m+5=0的一个根大于1，另一个根小于1，则m 的取值范围是（ ） A ．4m <- B ．4m >-C ．4m <D ．4m >【答案】A 【分析】将方程解的条件化为函数的取值，从而求出m 的取值范围．【详解】∵方程x 2+（m+2）x+m+5=0的一个根大于1，另一个根小于1， 令f （x ）=x 2+（m+2）x+m+5， 则f （1）=1+m+2+m+5＜0， 解得，m ＜-4． 故选A ． 【点睛】本题考查了函数与方程之间的互相转化，属于基础题． 3．抛物线()21+5y x =--与y 轴的交点坐标是（ ）A ．（0，4）B ．（1，4）C ．（0，5）D ．（4，0）【答案】A 【分析】根据y 轴上点的坐标特征把x ＝0代入y ＝-（x−1）2＋5，然后计算出对应的y 的值，即可确定抛物线与y 轴的交点坐标． 【详解】把x ＝0代入得y ＝-（-1）2+5，即y ＝4，∵抛物线()21+5y x =--与y 轴的交点坐标是（0，4）．故选：A ． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a≠0）图象上点的坐标满足其解析式．4．如图，抛物线2y ax bx c =++（0a ≠）经过点()2,0，对称轴为直线1x =-．下列结论：①0abc >；①80a c +=；①对于任意实数m ，总有()()2110a m b m -++≤；①对于a 的每一个确定值，若一元二次方程2ax bx c p ++=（P 为常数，且0P ＞）的根为整数，则P 的值有且只有三个，其中正确的结论是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D 【分析】由抛物线的开口方向判断a 与0的关系，由抛物线与y 轴的交点判断c 与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】∵抛物线开口向下， a ＜0；∵抛物线的对称轴为直线x 2ba=-=-1＜0， ∵b ＜0；∵抛物线与y 轴的交点在x 轴上方， ∵c ＞0，∵abc ＞0，故∵正确；∵抛物线的对称轴为直线x ＝-1， ∵2ba-=-1， ∵b ＝2a ， ∵经过点()2,0∵当x ＝2时，y ＝4a +2b +c ＝0， ∵4a +4a +c ＝0， ∵8a +c ＝0， 故∵正确；∵当x ＝-1时，y 最大，即对于任意实数m 有a -b +c ≥am 2+bm +c ， ∵am 2+bm ≤a -b ，∵()()2110a m b m -++≤故∵正确；∵抛物线的对称轴是直线x ＝-1，与x 轴的一个交点是（2，0）， ∵抛物线与x 轴的另个交点是（﹣4，0）， ∵b ＝2a ，8a +c ＝0∵y ＝ax 2+2ax ﹣8a ＝a （x +1）2﹣9a （a ＜0）， ∵顶点坐标为（-1，﹣9a ），由图象得当0＜y ≤﹣9a 时，﹣4＜x ＜2，其中x 为整数时，x ＝-3，-2，-1，0，1， 又∵x ＝-3与x ＝1时，关于直线x ＝-1轴对称 ∵存在P 使得根为x ＝-3与x ＝1；又∵x ＝-2与x ＝0时，关于直线x ＝-1轴对称 ∵存在P 使得根为x ＝-2与x ＝0；当x ＝-1时，直线y ＝p 恰好过抛物线顶点． 存在P 使得根为x ＝-1所以P 值可以有3个．故∵正确； 故选：D ． 【点睛】本题考查的是抛物线与x 轴的交点，熟知二次函数的图象与系数的关系、x 轴上点的坐标特点等知识是解答此题的关键． 5．如图，抛物线21(6)22y x =--与x 轴交于点A B 、，把抛物线在x 轴及其下方的部分记作1C ，将1C 向左平移得到22,C C 与x 轴交于点B O 、，若直线12y x m =+与12C C 、共有3个不同的交点，则m 的取值范围是（ ）A ．32m -≤<-B ．4128m -<<- C ．52m -≤<- D ．2528m -<<- 【答案】D 【分析】首先求出点A 和点B 的坐标，然后求出C 2解析式，分别求出直线12y x m =+与抛物线C 2相切时m 的值以及直线12y x m =+过点B 时m 的值，结合图形即可得到答案． 【详解】 解：∵抛物线211(6)2(4)(8)22y x x x =--=--与x 轴交于点A 、B ， ∵B （4，0），A （8，0）． ∵抛物线向左平移4个单位长度． ∵平移后解析式21(2)22y x =--． 当直线12y x m =+过B 点，有2个交点， ∵1402m ⨯+=． 解得m =-2．当直线12y x m =+与抛物线C 2相切时，有2个交点， ∵211(2)222x m x +=--． 整理，得x 2-5x -2m =0． ∵∵=25+8m =0． ∵m =258-． 如图，∵若直线12y x m =+与C 1、C 2共有3个不同的交点， ∵258-＜m ＜-2． 故选：D ． 【点睛】本题主要考查抛物线与x 轴交点以及二次函数图象与几何变换的知识，解答本题的关键是正确地画出图形，利用数形结合进行解题，此题有一定的难度．6．已知抛物线2y ax bx c =++（,,a b c 是常数，0a ≠）经过点(1,1),(0,1)--，当2x =-时，与其对应的函数值1y >．有下列结论：①0abc >；①关于x 的方程230ax bx c ++-=有两个不等的实数根；①7a b c ++>．其中，正确结论的个数是（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】D 【分析】根据函数与点的关系,一元二次方程根的判别式,不等式的性质，逐一计算判断即可 【详解】∵抛物线2y ax bx c =++（,,a b c 是常数，0a ≠）经过点(1,1),(0,1)--，当2x =-时，与其对应的函数值1y >． ∵c =1＞0，a -b +c = -1,4a -2b +c ＞1， ∵a -b = -2,2a -b ＞0， ∵2a -a -2＞0， ∵a ＞2＞0， ∵b =a +2＞0， ∵abc ＞0，∵230ax bx c ++-=,∵∵=24(3)b a c --=28b a +＞0,∵230ax bx c ++-=有两个不等的实数根； ∵b =a +2，a ＞2，c =1， ∵a +b +c =a +a +2+1=2a +3， ∵a ＞2， ∵2a ＞4， ∵2a +3＞4+3＞7， 故选D ． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，一元二次方程根的判别式，不等式的基本性质，熟练掌握二次函数的性质，灵活使用根的判别式，准确掌握不等式的基本性质是解题的关键．7．将二次函数2y x 2x 3=-++的图象在x 轴上方的部分沿x 轴翻折后，所得新函数的图象如图所示．当直线y x b =+与新函数的图象恰有3个公共点时，b 的值为（ ）A ．214-或3- B ．134-或3- C ．214或3- D ．134或3- 【答案】A 【分析】由二次函数解析式2y x 2x 3=-++，可求与x 轴的两个交点A 、B ，直线y x b =+表示的图像可看做是直线y x =的图像平移b 个单位长度得到，再结合所给函数图像可知，当平移直线y x =经过B 点时，恰与所给图像有三个交点，故将B 点坐标代入即可求解；当平移直线y x =经过C 点时，恰与所给图像有三个交点，即直线y x b =+与函数2y x 2x 3=-++关于x 轴对称的函数223y x x =--图像只有一个交点，即联立解析式得到的方程的判别式等于0，即可求解． 【详解】解：由2y x 2x 3=-++知，当0y =时，即2230x x -++=解得：121,3x x =-=()()1,0,3,0A B ∴-作函数y x =的图像并平移至过点B 时，恰与所给图像有三个交点，此时有：03b =+3b ∴=-平移图像至过点C 时，恰与所给图像有三个交点，即当13x -≤≤时，只有一个交点 当13x -≤≤的函数图像由2y x 2x 3=-++的图像关于x 轴对称得到∴当13x -≤≤时对应的解析式为223y x x =--即{223y x by x x =+=--，整理得：2330x x b ---=()()234132140b b ∴∆=--⨯⨯--=+= 214b ∴=-综上所述3b =-或214- 故答案是：A ．【点睛】本题主要考察二次函数翻折变化、交点个数问题、函数图像平移的性质、二次函数与一元二次方程的关系等知识，属于函数综合题，中等难度．解题的关键是数形结合思想的运用，从而找到满足题意的条件．8．已知二次函数1y ＝a 2x +ax ﹣1，2y ＝2x +bx +1，令h ＝b ﹣a ，（ ） A ．若h ＝1，a ＜1，则2y ＞1y B ．若h ＝2，a ＜12，则2y ＞1y C ．若h ＝3，a ＜0，则2y ＞1y D ．若h ＝4，a ＜﹣12，则2y ＞1y【答案】B 【分析】先利用2y 减去y 1，整理，然后由二次函数的二次项系数及二次函数图象与x 轴的交点个数与对应的一元二次方程判别式的关系，可得1﹣a ＞0，∵＝2()b a -﹣8（1﹣a ）＜0，据此对各个选项计算分析即可． 【详解】解：2y ﹣1y ＝（1﹣a ）2x +（b ﹣a ）x +2， 由2y ＞y 1得2y ﹣1y ＞0，∵1﹣a ＞5，∵＝2()b a -﹣8（1﹣a ）＜0，A 、若h ＝1，a ＜1，则b ﹣a ＝1，1﹣a ＞0∵∵＝2()b a -﹣8（1﹣a ）＝1﹣8（1﹣a ）＝﹣7+8a ，无法判断∵与0的大小关系, 故A 错误； B 、若 h ＝2，a ＜12，则b ﹣a ＝2，8a ＜4, ∵∵＝2()b a -﹣8（1﹣a ）＝4﹣8（1﹣a ）＝﹣4+8a ＜0， 故B 正确；C 、若h ＝3，则b ﹣a ＝3，a ＜0,∵∵＝2()b a -﹣8（1﹣a ）＝9﹣8（1﹣a ）＝1+8a ， 无法判断∵与0的大小关系, 故C 错误； D 、若h ＝4，a ＜﹣12，则b ﹣a ＝4，1﹣a ＞32, ∵∵＝2()b a -﹣8（1﹣a ）＝16﹣8（1﹣a ）＝8+8a ＜4， 无法判断∵与0的大小关系, 故D 错误； 故选：B ． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，一元二次方程根的判别式，不等式的基本性质，熟练掌握二次函数的性质，灵活运用根的判别式和不等式的性质是解题的关键．9．二次函数2y ax bx c =++（a ，b ，c 是常数，0a ≠）的自变量x 与函数值y 的部分对应值如表：且当12x =-时，与其对应的函数值0y <．则下列结论中，正确的是（ ）①0abc <；①2-和3是关于x 的方程2ax bx c t ++=的两个根；①203m n +<-． A ．①① B ．①①①C ．①①D ．①①【答案】B 【分析】由表知，当x =0和1时，函数值均为2，从而可得关于a 、b 、c 的方程组，可得a 与b 的关系及c 的值，再当12x =-时，与其对应的函数值0y <，可得关系a 的不等式，可判断a 的符号且可得a 的取值范围，从而可判断b 的符号，因而可对∵作出判断；根据抛物线的对称性，当x =-2和x =3时，其函数值相等，从而可对∵作出判断；根据抛物线的对称性，当x =-1和x =2时，其函数值相等，即n =m ，再根据n 的值及a 的取值范围，即可对∵作出判断． 【详解】由表得：22c a b c =⎧⎨++=⎩ ，即2b ac =-⎧⎨=⎩∵22y ax ax =-+当12x =-时，与其对应的函数值0y <即112042a a ++< ∵83a <-∵b >0 ∵abc <0 故∵正确 ∵1222b a a a --=-= 即抛物线的对称轴为直线12x = ∵11(2)322--=- ∵根据抛物线的对称性，当x =-2和x =3时，其函数值相等且为t 表明方程2ax bx c t ++=的两个根分别为x =-2和x =3 故∵正确 ∵11(1)222--=- ∵根据抛物线的对称性，当x =-1和x =2时，其函数值相等，即n =m 当x =-1时，n =a +a +2=2a +2 ∵n +m =2n =4a +4 ∵83a <- ∵n +m 203<-故∵正确 故选：B ． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求函数解析式，难点是∵和∵的判断，关键是抛物线的对称性及a 的取值范围．10．二次函数2y ax bx c =++（a ，b ，c 是常数，0a ≠）的自变量x 与函数值y 的部分对应值如下表：且当12x =-时，与其对应的函数值0y <．有以下结论：①0abc <；①2-和3是关于x的方程2ax bx c t ++=的两个根；①83a <-；①203m n +>-．其中，正确结论的个数是（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】D 【分析】将（0，2），（1，2）代入y ＝ax 2+bx +c 得2b ac =-⎧⎨=⎩，可得二次函数为：y ＝ax 2﹣ax +2，根据当12x =-时，对应的函数值y ＜0，有a 83-＜，b 83＞，即得a ＜0，b ＞0，c ＞0，故∵∵正确；由抛物线过（0，2），（1，2），得抛物线对称轴为x 12=，由抛物线过（-2，t ）而得必经过（3，t ），关于x 的方程ax 2+bx +c ＝t 的实数根为2-和3，故∵正确；由m ＝2a +2，n ＝2a +2，结合a 83-＜，可得m +n 203-＜，故∵不正确； 【详解】解：将（0，2），（1，2）代入y ＝ax 2+bx +c 得：22c a b c =⎧⎨=++⎩，解得2b ac =-⎧⎨=⎩， ∵二次函数为：y ＝ax 2﹣ax +2， ∵当12x =-时，对应的函数值y ＜0，∵1412a +a +2＜0，∵a83-＜，∵﹣a83＞，即b83＞，∵a＜0，b＞0，c＞0，∵abc＜0，故∵∵正确；∵抛物线过（0，2），（1，2），∵抛物线对称轴为x12 =，∵抛物线过（-2，t），∵根据对称性：抛物线过经过（3，t），∵关于x的方程ax2+bx+c＝t的实数根为2-和3，故∵正确；∵x＝﹣1时y＝m，x＝2时y＝n，∵m＝a+a+2＝2a+2，n＝4a﹣2a+2＝2a+2，∵m+n＝4a+4，∵a83-＜，∵m+n203-＜，故∵不正确，故选：D．【点睛】本题考查二次函数的综合应用，题目综合性较强，解题的关键是熟练掌握二次函数基本性质及图象特征，根据已知列方程或不等式．二、填空题11．抛物线y＝x2+3x+2与y轴的交点坐标是_______.【答案】（0，2）【分析】令x=0求出y值，即可得答案.【详解】∵当x＝0时，y＝2，∵抛物线y＝x2+3x+2与y轴的交点坐标是（0，2）．故答案为：（0，2）【点睛】此题考查了二次函数与x轴、y轴的交点坐标，当x=0时，求得二次函数与y轴的交点，当y=0时，求得二次函数与x 轴的交点.12．二次函数y ＝x 2x y 轴的交点坐标是_____．【答案】（0． 【分析】根据图象与y 轴的相交的特点可求出坐标． 【详解】由图象与y 轴相交则x ＝0，代入得：y∵与y 轴交点坐标是（0；故答案为（0）． 【点睛】考查了图象与坐标轴相交的特点，一元二次方程的解，是基础题． 13．已知抛物线y ＝x 2﹣（k+3）x+9的顶点在坐标轴上，则k ＝______． 【答案】3，﹣9，﹣3 【分析】由于抛物线的顶点在坐标轴上，故应分在x 轴上与y 轴上两种情况进行讨论． 【详解】解：当抛物线y ＝x 2﹣（k+3）x+9的顶点在x 轴上时，∵＝0， 即∵＝[－（k+3）]2﹣4×9＝0，解得k ＝3或k ＝﹣9； 当抛物线y ＝x 2﹣（k+3）x+9的顶点在y 轴上时，x ＝3022bk a ，解得k ＝﹣3．故答案为：3，﹣9，﹣3． 【点睛】本题考查的是二次函数的性质，解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解． 14．如图，一段抛物线：(2)(02)y x x x =--≤≤记为1C ，它与x 轴交于点1,O A ；将1C 绕点1A 旋转180︒得2C ，交x 轴于点2A ；将2C 绕点2A 旋转180︒得3C ，交x 轴于点3A ⋯如此进行下去，则2020C 的顶点坐标是_______．【答案】（4039，-1） 【分析】，当n 时偶数时，抛物线C n 顶点纵坐标为：-1；横坐标的表达式为：2n -1，当n=2020时，对应的横坐标为：2×2020-1=4039，即可求解． 【详解】解：(2)(02)y x x x =--≤≤，令 y=0，则x=0或2， ∵A 1（2，0），从点O 到点A 2是一个完整周期，OA 1=2，故：OA 2=4， 当n 时偶数时，抛物线C n 顶点纵坐标为：-1；抛物线C n 横坐标的表达式为：2n -1，当n=2020时，对应的横坐标为：2×2020-1=4039， 故答案为：（4039，-1）． 【点睛】本题为二次函数综合运用题，涉及到函数与坐标轴交点、图形旋转，关键是通过找规律的方式确定C 2020的位置．15．抛物线22+31y x x =--与x 轴的交点坐标是__________． 【答案】（12，0）或（1，0） 【分析】根据抛物线与x 轴的交点坐标特点，令y =0求解x 的值，即可求得坐标． 【详解】∵x 轴上点的纵坐标为0， ∵−2x 2+3x −1=0， 解得：x 1=12，x 2=1， ∵抛物线y =−2x 2+3x −1与x 轴的交点坐标是（12，0）或（1，0）， 故答案为：（12，0）或（1，0）．【点睛】本题考查的是抛物线与x 轴的交点问题，熟知x 轴上点的坐标特点是解答此题的关键． 16．己知抛物线()229y x a x =-++的顶点在x 轴上，则a =__________．【答案】4或－8 【分析】接利用二次函数的性质，得出∵＝b 2−4ac ＝0，进而得出答案． 【详解】∵抛物线y ＝x 2−（a ＋2）x ＋9的顶点在x 轴上， ∵∵＝b 2−4ac ＝[−（a ＋2）]2−36＝（a ＋2）2−36＝0， 解得：a ＝4或−8． 故答案为：4或−8． 【点睛】此题主要考查了二次函数的性质，正确得出判别式的符号是解题关键． 17．在平面直角坐标系中，已知抛物线2222y x tx t t =-+-++． （1）若该抛物线过原点，则t 的值为________．（2）已知点(4,2)A --与点(2,2)B -，若该抛物线与线段AB 只有一个交点，则t 的范围是__．【答案】1-或2 43,05t t -≤<-<≤ 【分析】(1)把（0，0）代入抛物线解析式即可；(2) 把点(4,2)A --与点(2,2)B -分别代入解析式，求出t 的值,再根据抛物线开口确定t 的范围． 【详解】解：(1) 把（0，0）代入抛物线2222y x tx t t =-+-++得，202t t =-++，解得，11t =-，22t =；故答案为：1-或2(2) 由解析式可知抛物线的对称轴是直线x t =；把点(4,2)A --代入解析式得，221682t t t -=---++，解得，13t =-，24t =-；当13t =-时，抛物线与线段刚好有两个交点(4,2)--和(2,2)--，当24t =-时，抛物线与线段只有一个交点，故t 的范围是43t -≤<-；把点(2,2)B -代入解析式得，22442t t t -=-+-++，解得，10t =，25t =；当10t =时，抛物线与线段刚好有两个交点(2,2)--和(2,2)-，当25t =时，抛物线与线段只有一个交点，故t 的范围是05t <≤； 故答案为：43,05t t -≤<-<≤ 【点睛】本题考查了二次函数的性质和它与一元二次方程的联系，解题关键是熟练运用二次函数和一元二次方程的知识，准确进行计算和正确进行推理．18．已知二次函数2y ax bx c =++的图像经过点(3,0)与(1,0)-，关于x 的方程20(0)ax bx c m m +++=>有两个根，其中一个根是5，若关于x 的方程20(0)ax bx c n n m +++=<<有两个整数根，则这两个整数根分别是______．【答案】4或-2 【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数与一元二次方程的关系，可以得到关于x 的方程ax 2+bx +c +n =0 （0＜n ＜m ）的两个整数根，从而可以解答本题． 【详解】∵二次函数2y ax bx c =++的图像经过点(3,0)与(1,0)-，∵ax 2+bx +c =0的两个根为3和-1，函数y =ax 2+bx +c 的对称轴是直线x =1， ∵关于x 的方程ax 2+bx +c +m =0（m ＞0）有两个根，∵方程ax 2+bx +c +m =0（m ＞0）的两个根为函数y =ax 2+bx +c 与直线y =-m 的两个交点的横坐标，∵方程ax 2+bx +c +m =0（m ＞0）一个根是5，函数y =ax 2+bx +c 的对称轴是直线x =1， ∵方程ax 2+bx +c +m =0（m ＞0）的另一个根为-3，函数y =ax 2+bx +c 的图象开口向下， ∵方程ax 2+bx +c +n =0 （0＜n ＜m ）两个根是函数y =ax 2+bx +c 与直线y =-n 的两个交点的横坐标，∵方程ax 2+bx +c +n =0 （0＜n ＜m ）两个根，一个在在5和3之间，另一个在-3和-1之间， ∵关于x 的方程20(0)ax bx c n n m +++=<<的两个整数根是4或-2， 故答案为： 4或-2． 【点睛】本题考查抛物线与x 轴的交点、二次函数与一元二次方程的关系，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的关系解答．19．二次函数2y ax bx c =++（a ，b ，c 是常数，0a ≠）的自变量x 与函数值y 的部分对应值如表：且当12x =-时，与其对应的函数值0y >，有下列结论：①0abc <；①2-和3是关于x的方程2ax bx c q ++=的两个根；①当0x >时，y 随x 的增大而增大；①43m n +>．其中所有正确结论的序号是_____． 【答案】∵∵ 【分析】根据表格信息和二次函数性质逐条判断即可． 【详解】解：∵由表格可知函数的对称轴为：x ＝12（-1+2）＝12，即122b a -=，=-b a ， ∵ab ＜0， ∵c ＝﹣2＜0， ∵abc ＞0，故∵错误； ∵∵函数的对称轴为：x ＝12，点（﹣2，q ）关于对称轴的对称点为（3，q ）， ∵﹣2和3是关于x 的方程ax 2+bx +c ＝q 的两个根，故∵正确； ∵由∵得，b ＝﹣a ， 当x ＝﹣12时，y ＝14a ﹣12b ﹣2＞0， 解得：3a ﹣8＞0，∵a ＞83，抛物线的对称轴为直线12x =，当12x >时，y 随x 的增大而增大；当102x <<时，y 随x 的增大而减小；故∵错误；∵当1x =-时，m ＝a ﹣b ﹣2，当1x =时，n ＝a +b ﹣2， ∵m +n ＝2a ﹣4 ∵a ＞83， ∵m +n ＞43，故∵正确；故答案为∵∵． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数图象上点的特征，能够从表格中获取信息确定出对称轴是解题的关键．20．关于抛物线221(0)y ax x a =-+≠，给出下列结论：①当0a <时，抛物线与直线22y x =+没有交点；①若抛物线与x 轴有两个交点，则其中一定有一个交点在点（0，0）与（1，0）之间；①若抛物线的顶点在点（0，0），（2，0），（0，2）所围成的三角形区域内（包括边界），则1a ．其中正确结论的序号是________． 【答案】∵∵ 【分析】先联立方程组，得到2410ax x --=，根据判别式即可得到结论；∵先求出a ＜1，分两种情况：当0＜a ＜1时，当a ＜0时，进行讨论即可；∵求出抛物线221(0)y ax x a =-+≠的顶点坐标为：11a a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭，，进而即可求解．【详解】解：联立22122y ax x y x ⎧=-+⎨=+⎩，得2410ax x --=，∵∆=()()2441164a a --⨯-⨯=+，当0a <时，∆有可能≥0， ∵抛物线与直线22y x =+有可能有交点，故∵错误； 抛物线221(0)y ax x a =-+≠的对称轴为：直线x =1a， 若抛物线与x 轴有两个交点，则∆=()2240a -->，解得：a ＜1， ∵当0＜a ＜1时，则1a ＞1，此时，x ＜1a，y 随x 的增大而减小， 又∵x =0时，y =1＞0，x =1时，y =a -1＜0，∵抛物线有一个交点在点（0，0）与（1，0）之间， ∵当a ＜0时，则1a ＜0，此时，x ＞1a，y 随x 的增大而减小， 又∵x =0时，y =1＞0，x =1时，y =a -1＜0，∵抛物线有一个交点在点（0，0）与（1，0）之间，综上所述：若抛物线与x 轴有两个交点，则其中一定有一个交点在点（0，0）与（1，0）之间，故∵正确；抛物线221(0)y ax x a =-+≠的顶点坐标为：11a a a -⎛⎫⎪⎝⎭，，∵111a a a-=+， ∵抛物线的顶点所在直线解析式为：x +y =1，即：y =-x +1，∵抛物线的顶点在点（0，0），（2，0），（0，2）所围成的三角形区域内（包括边界），∵1010a a a⎧≥⎪⎪⎨-⎪≥⎪⎩，解得：1a ，故∵正确．故答案是：∵∵． 【点睛】本题主要考查二次函数的图像和性质，掌握二次函数与二次方程的联系，熟练应用判别式判断一元二次方程根的情况，是解题的关键．21．抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ，b ，c 是常数，a ＞0）的对称轴是直线x ＝1，图象与x 轴交于点（－1，0）．下列四个结论： ①方程ax 2＋bx ＋c ＝0的解为121,3x x =-=； ①3a ＋c ＝0；①对于任意实数t ，总有2at bt a b ++；①不等式2()0ax b k x c k +-+-（k 为常数）的解集为1x <-或3kx a>+． 其中正确的结论是_________（填写序号）． 【答案】∵∵∵ 【分析】由抛物线与x 轴的交点坐标和对称轴对称即可判断∵；根据图象与x 轴交点的坐标和对称轴即可判断∵；先根据题意确定抛物线的最小值为a +b +c ，再由抛物线的性质可得at 2+bt +c ≥a +b +c 恒成立，即可判断∵；由∵得c =-3a ，b =-2a ，即y =ax 2-（2a +k ）x -3a -k ，再由图象与x 轴交于点（－1，0）和对称轴x =1，可得y =ax 2-（2a +k ）x -3a -k 与x 轴的另一交点，再分情况讨论即可判断∵． 【详解】解：∵抛钱与x 轴交于点（-1，0），且抛物线的对称轴：x =1， ∵抛物线与x 轴的另一交点为（3，0），∵方程ax 2+bx +c =0的解即就是抛物线与x 轴交点的横坐标：x 1=-1，x 2=3，则∵正确；将（-1，0）代入抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 得：a -b +c =0 又∵抛物线的对称轴x =2ba-=1，即：2a +b =0， ∵3a +c =0，则∵正确； ∵抛物线的对称轴x =1且a >0， ∵抛物线开口向上， ∵物物线的最小值为a +b +c ，∵对任意t ，at 2+bt +c ≥a +b +c ，即at 2+b ≥a +b ，则故∵正确； 由∵可得：c =-3a ，b =-2a ，∵y =ax 2+（b -k ）x +c -k =ax 2-（2a +k ）x -3a -k 对称轴(2)122a k kx a a-+=-=+当x =-1时，y =0，设y =ax 2-（2a +k ）x -3a -k 与x 轴另一交点横坐标为t ，则1122t k a -=+得：3k t a=+ 当3k a +<-1，即k <-4a 时， ax 2-（2a +k ）x -3a -k ≥0的解集为：x ≤3ka+或x ≥-1， 当k ≥-4a 时，ax 2-（2a +k ）x -3a -k ≥0的解集为：x ≥3ka+或x ≤-1，则∵错误． 故填：∵∵∵． 【点睛】本题主要考查了二次函数与不等式的应用，正确理解题意、掌握二次函数与一元二次方程和不等式的关系成为解答本题的关键．22．若关于x 的函数()()22454y a x a x a =---+的图象与坐标轴有两个交点，则a的值为_________．【答案】25208，， 【分析】根据函数这一条件分两种情况讨论：一次函数和二次函数，又因为与纵轴必有一个交点，再根据与坐标轴有两个交点分情况讨论，即可得出结论． 【详解】解：∵当a=2时，原函数解析式为 y=-3x+8 此时b=8≠0故一次函数图象不过原点，则该函数与坐标轴有两个交点∵当a≠2时，原函数为二次函数故该函数一定与y 轴有一个交点，且仅有一个交点，其坐标为(0，4a) 当该交点是原点时，a=0，此时函数解析式为225=-+y x x方程2250x x -+=的判别式∵=25＞0故此时函数图象与x 轴有两个交点，其中一个点是原点，即与坐标轴有两个交点 当该交点不是原点时，a≠0因为该函数图象与坐标轴有两个交点 所以该函数与x 轴有且仅有一个交点则方程()()224540a x a x a ---+=有两个相等的实数根，可得∵=()()2454?2?40a a a ---= 整理，得 8a -25=0 解，得 a=258综上可知a=2，0，258． 故答案为：2,0，258． 【点睛】本题考查一次函数和二次函数的性质，分类讨论的思想解决本题，需要注意两个词：∵函数，∵与坐标轴的交点．23．已知抛物线2y ax bx c =++（a ，b ，c 是常数），0a b c ++=，下列四个结论： ①若抛物线经过点()3,0-，则2b a =；①若b c =，则方程20cx bx a ++=一定有根2x =-； ①抛物线与x 轴一定有两个不同的公共点；①点()11,A x y ，()22,B x y 在抛物线上，若0a c <<，则当121x x <<时，12y y >． 其中正确的是__________（填写序号）． 【答案】∵∵∵【分析】∵将()3,0-代入解析式即可判定；∵由b =c ，可得a =-2c ，cx 2+bx +a =0可得cx 2+cx -2c =0，则原方程可化为x 2+x -2=0，则一定有根x =-2；∵当b 2-4ac ≤0时，图像与x 轴少于两个公共点，只有一个关于a ，b ，c 的方程，故存在a 、b 、c 使b 2-4ac ≤0≤0，故∵错误；∵若0<a <c ，则有b <0且|b |>|c |>|a |，|b |>2|a |，所以对称轴12ba->，因为a >0在对称轴左侧，函数单调递减，所以当x 1<x 2<1时，y 1>y 2，故∵正确． 【详解】解：∵抛物线经过点()3,0-∵()2033a b c =--+，即9a -3b +c =0 ∵0a b c ++= ∵b =2a 故∵正确；∵b =c ，0a b c ++= ∵a =-2c ， ∵cx 2+bx +a =0∵cx 2+cx -2c =0，即x 2+x -2=0 ∵一定有根x =-2 故∵正确；当b 2-4ac ≤0时，图像与x 轴少于两个公共点，只有一个关于a 、b 、c 的方程，故存在a 、b 、c 使b 2-4ac ≤0，故∵错误；若0<a <c ，则有b <0且|b |>|c |>|a |，|b |>2|a |，所以对称轴12ba->，因为a >0在对称轴左侧，函数单调递减，所以当x 1<x 2<1时，y 1>y 2，故∵正确． 故填：∵∵∵． 【点睛】本题主要考查二次函数的图像与性质以及二元一次方程，灵活运用二次函数的图像与性质成为解答本题的关键．三、解答题24．已知:如图，反比例函数的图象经过点A 、P ，点A(6,43)，点P 的横坐标是2．抛物线y =ax 2+bx +c(a ≠0)经过坐标原点，且与x 轴交于点B ，顶点为P ． 求:（1）反比例函数的解析式；（2）抛物线的表达式及B 点坐标．【答案】(1) 反比例函数的解析式为：y=8x；(2) y=﹣（x﹣2）2+4，B点的坐标为：（4，0）．【解析】【分析】（1）设反比例函数的解析式为：y=kx ，把点A（6，43）代入，得到关于k的一元一次方程，解之得到k的值，即可得到答案；（2）把x=2代入（1）的解析式，得到点P的坐标，根据抛物线过坐标原点，利用待定系数法，求得抛物线的表达式，把y=0代入抛物线的表达式，解之即可得到答案．【详解】（1）设反比例函数的解析式为：y=kx ，把点A（6，43）代入得：43=k6，解得：k=8，即反比例函数的解析式为：y=8x；（2）把x=2代入y=8x 得：y=82=4，即点P的坐标为：（2，4），设抛物线的表达式为：y=a（x﹣2）2+4，把点O（0，0）代入得：4a+4=0，解得：a=﹣1，即抛物线的表达式为：y=﹣（x﹣2）2+4，把y=0代入得：﹣（x﹣2）2+4=0，解得：x1=0，x2=4，即B点的坐标为：（4，0）．【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数解析式，抛物线与x 轴的交点．解题的关键：（1）正确掌握待定系数法求反比例函数解析式；（2）正确掌握待定系数法求二次函数解析式，根据抛物线解析式，求抛物线与x轴的交点．25．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣23x2+bx+c与x轴交于点A（﹣3，0）和点B，与y轴交于点C（0，2）．（1）求抛物线的表达式，并用配方法求出顶点D的坐标；（2）若点E 是点C 关于抛物线对称轴的对称点，求tan①CEB 的值．【答案】（1）y ＝﹣23x 2﹣43x +2，顶点D 的坐标为（﹣1，83）；（2）tan∵CEB 的值是23． 【详解】（1）∵抛物线y ＝﹣23x 2+bx +c 与x 轴交于点A （﹣3，0）和点B ，与y 轴交于点C （0，2），∵()()2233032b c c ⎧-⨯-+⨯-+=⎪⎨⎪=⎩， 得432b c ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， ∵y ＝﹣23x 2﹣43x+2＝()228133x -++， ∵抛物线顶点D 的坐标为（﹣1，83），即该抛物线的解析式为y ＝﹣23x 2﹣43x+2，顶点D 的坐标为（﹣1，83）；（2）∵y ＝()228133x -++，∵该抛物线的对称轴为直线x ＝﹣1，∵点E 是点C 关于抛物线对称轴的对称点，点C （0，2）， ∵点E 的坐标为（﹣2，2）， 当y ＝0时，0＝()228133x -++，得x 1＝﹣3，x 2＝1， ∵点B 的坐标为（1，0），设直线BE 的函数解析式为y ＝kx +n ，022k n k n +=⎧⎨-+=⎩，得2323k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∵直线BE 的函数解析式为y ＝﹣23x +23，当x ＝0时，y ＝23， 设直线BE 与y 轴交于点F ，则点F 的坐标为（0，23）， ∵OF ＝23， ∵点C （0，2），点E （﹣2，2）， ∵OC ＝2，CE ＝2，∵CF ＝2﹣23＝43， ∵tan∵CEF ＝42323CE CF ==，即tan∵CEB 的值是23．【点睛】本题考查抛物线与x 轴的交点、二次函数的性质、待定系数法求二次函数解析式和一次函数解析式、锐角三角函数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 26．如图，已知二次函数2y x bx c =++的图象经过点()4,5A 与点()0,3B -，且与x 轴交于点C 、D ．（1）求该二次函数的表达式，以及与x 轴的交点坐标． （2）若点(),Q m n 在该二次函数图象上， ①求n 的最小值；①若点Q 到x 轴的距离小于3，请结合函数图象直接写出m 的取值范围．【答案】（1）223y x x =--，()1,0-C ，()3,0D ；（2）∵-4，∵10m <<或21m <<【分析】（1）用待定系数法求函数的表达式，进而求解； （2）∵由2223(1)44y x x x =--=---，即可求解；∵令2|||23|3y x x =--=，解得2x =或1 【详解】（1）将点A 、B 的坐标代入抛物线表达式得51643b cc =++⎧⎨=-⎩，解得23b c =-⎧⎨=-⎩，故抛物线的表达式为223y x x =--， 令2230y x x =--=，解得3x =或1-， 故抛物线与x 轴的交点坐标为(3,0)、(1,0)-； （2）∵2223(1)44y x x x =--=---， 故n 的最小值为4-；∵令2|||23|3y x x =--=，解得x =0、2x =或1故m 的取值范围的10m <<或21m <<． 【点睛】本题考查的是抛物线与x 轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征、点的对称性等，利用轴对称确定最短路线是解题的关键．27．在平面直角坐标系xOy 中，已知二次函数248(0)y mx mx m =-+-≠． （1）若0m >，当14x -≤≤时，函数图象的最低点M 的纵坐标为-18，求m 的值； （2）若该函数图象上有两点()()1122,,A x y B x y ，设12n x n ≤≤+，当26x ≥时，总有12y y ≤，求n 的取值范围；（3）已知(4,0)A -和(6,0)B ，若抛物线与线段AB 只有一个公共点，求m 的取值范围．【答案】（1）m =2;（2）2≤n ≤ 4;（3）当m =2或2134m --≤≤时抛物线与线段AB 有一个交点． 【分析】（1）根据m ＞0，判断函数图像的开口向下，再根据对称轴：4222b m x a m=-=-=-，那么依据题意可知当x =-1时，y =-18，则1848m m -=---，解之即可得到答案； （2）因为当26x ≥时，总有12y y ≤，那么根据函数的增减性可得当x ＞2时y 随x 的增大而增大，根据题意判断A 、B 两点的位置得到n ≥-2或n +2≤6，解得:-2≤n ≤ 4; （3）物线与线段有一个交点，且对称轴x = 2,-mx 2+ 4mx -8=0，当∵=0时，抛物线顶点在线段上，解得: m = 2;又因为抛物线过点(0,-8)，且对称轴x =2，那么点B (6，0)关于x =2的对称点为M (-2,0)，抛物线仅在线段AM 上有一个交点，根据当x =-4时，y ≥0，当x =-2时，y <0，即可解得:2134m --≤≤ ，即可得到答案． 【详解】 解：（1）∵m ＞0 ∵-m ＜0，∵抛物线开口向下，∵14x -≤≤，且对称轴4222b m x a m=-=-=- ∵当x =-1时，y =-18，则1848m m -=---解得:m =2; （2）∵当26x ≥时，总有12y y ≤， ∵当x ＞2时y 随x 的增大而增大，如图，x =6,关于x =2的对称的直线为x =-2,过交点P 作x 轴的平行线， ∵26x ≥∵点B 在x=6右侧，∵当26x ≥时，总有12y y ≤， ∵点()11,A x y 在x =-2与x =6之间， n ≥-2或n +2≤6 解得:-2≤n ≤ 4;（3）∵抛物线与线段有一个交点，且对称轴x = 2,令-mx 2+ 4mx -8=0，当∵=0时，抛物线顶点在线段上，解得: m = 2；又∵抛物线过点(0,-8)，且对称轴x =2，如图，点B (6，0)关于x =2的对称点为M (-2,0)，抛物线仅在线段AM 上有一个交点，当x =―4时，y ≥0，当x =-2时，y <0， 解得:2134m --≤≤ 综上所述:当m =2或2134m --≤≤时抛物线与线段AB 有一个交点． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，函数的最值、交点问题等知识，注意分类讨论思想和方程思想的运用，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．28．已知二次函数2y ax bx c =++的图象开口向上，且经过点30,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，12,2B ⎛⎫- ⎪⎝⎭． （1）求b 的值（用含a 的代数式表示）；（2）若二次函数2y ax bx c =++在13x ≤≤时，y 的最大值为1，求a 的值；（3）将线段AB 向右平移2个单位得到线段A B ''．若线段A B ''与抛物线241y ax bx c a =+++-仅有一个交点，求a 的取值范围．【答案】（1）21(0)b a a =-->；（2）56；（3）1344a ≤≤ 【分析】（1）利用待定系数法将点A 、B 的坐标代入即可（2）根据抛物线图像分析得在13x ≤≤范围内，y 的最大值只可能在1x =或3x =处取得，进行分类讨论∵若12y y <时，∵若12y y =，∵12y y >，计算即可（3）先利用待定系数法写出直线AB 的解析式，再写出平移后的解析式，若线段A B ''与抛物线241y ax bx c a =+++-仅有一个交点，即方程。

高一数学函数与方程【本讲主要内容】函数与方程方程的根与函数的零点；二分法的定义；用二分法求零点的近似值的步骤【知识掌握】 【知识点精析】1. 方程的根与函数的零点：（1）零点；（2）根与零点。

（1）方程的根与函数的零点：方程0)(=x f 有实数根⇔函数)(x f y =的图象与x 轴有交点⇔函数)(x f y =有零点。

（2）零点判断法：如果函数)(x f u =在区间[a ，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有0)()(<⋅b f a f ，那么，函数)(x f y =在区间（a ，b ）内有零点，即存在∈c （a ，b ），使得0)(=c f 。

这个c 也就是方程0)(=x f 的根。

2. 二分法的定义：对于在区间[a ，b]上连续不断，且0)()(<⋅b f a f 的函数)(x f y =，通过不断地把函数)(x f 的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法（bisection ）。

3. 用二分法求零点的近似值的步骤：第1步：确定区间[a ，b]，验证0)()(<⋅b f a f ，给定精确度ε； 第2步：求区间（a ，b ）的中点1x ； 第3步：计算)(1x f ；（1）若0)(1=x f ，则1x 就是函数的零点；（2）若0)x (f )a (f 1<⋅，则令1x b =[此时零点),(10x a x ∈]； （3）若0)()(1<⋅b f x f ，则令1x a =[此时零点),(10b x x ∈]；第4步：判断是否达到精确度ε：即若ε<-b a ，则得到零点近似值a （或b ）；否则重复（2）～（4）。

【解题方法指导】例1. 判断下列函数是否有零点，若有，有几个零点？ （1）)(1)(R a ax x f ∈+=； （2）1)(2++=x x x f ； （3）12)(2-+-=x x x f ； （4）24)(x x x f +-=； （5）1)(3-=x x f解析：判断函数的零点，可以从两个方面进行，一是看方程0)(=x f 的实根的个数，二是看)(x f y =的图象与x 轴的公共点的个数。

函数与方程
李涛
【期刊名称】《青海教育》
【年(卷),期】2005(000)008
【摘要】在中学数学教学中,运用函数理论解答方程问题的主要理论依据是:①函数y=f(x)与y=g(x)图像交点的横坐标是方程f(x)=g(x)的实根;②一元二次方程实根的分布规律,其载体是一元二次函数、一元二次方程和一元二次不等式.……
【总页数】1页(P74-)
【作者】李涛
【作者单位】
【正文语种】中文
【中图分类】G4
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学科教师辅导讲义学员编号：年级：中考课时数：3学员姓名：辅导科目：数学学科教师：授课主题第06讲-平面直角坐标系及一次函数授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结教学目标①会画平面直角坐标系，掌握坐标平面内点的坐标特征；②理解一次函数的概念，会利用待定系数法确定一次函数的表达式；③体会一次函数与二元一次方程的关系，能用一次函数解决简单实际问题。

授课日期及时段T（Textbook-Based）——同步课堂一、知识梳理(一)、平面直角坐标系与点的坐标特征1．平面直角坐标系如图，在平面内，两条互相垂直的数轴的交点O称为原点，水平的数轴叫x轴（或横轴）_，竖直的数轴叫y轴（或纵轴）__，整个坐标平面被x轴、y轴分割成四个象限．2．各象限内点的坐标特征点P(x，y)在第一象限x＞0，y＞0；点P(x，y)在第二象限x＜0，y＞0；点P(x，y)在第三象限x＜0，y＜0；点P(x，y)在第四象限x＞0，y＜0.3．坐标轴上的点的坐标特征点P(x，y)在x轴上y＝0，x为任意实数；点P(x，y)在y轴上x＝0，y为任意实数；体系搭建点P (x ，y )在坐标原点x ＝0，y ＝0.(二)、特殊点的坐标特征1．对称点的坐标特征点P (x ，y )关于x 轴的对称点P 1的坐标为(),x y -；关于y 轴的对称点P 2的坐标为(),x y -；关于原点的对称点P 3的坐标为(),x y --．2．与坐标轴平行的直线上点的坐标特征平行于x 轴：横坐标_不同 _，纵坐标__相同___；平行于y 轴：横坐标__相同__，纵坐标_不同 _． 3．各象限角平分线上点的坐标特征第一、三象限角平分线上的点横坐标与纵坐标___相同_____， 第二、四象限角平分线上的点横坐标与纵坐标___互为相反数_____． 4．点的平移将点P(x ，y)向右(或向左)平移a 个单位，可以得到对应点(x ＋a ，y)[或(x －a ，y)]；将点P(x ，y)向上(或向下)平移b 个单位，可以得到对应点(x ，y ＋b)[或(x ，y －b)]． (三)、距离与点的坐标的关系1．点与原点、点与坐标轴的距离点P (x ，y )到x 轴和y 轴的距离分别是|y |和|x |，点P (x ，y )到坐标原点的距离为x 2＋y 2. 2．坐标轴上两点间的距离(1)在x 轴上两点P 1(x 1,0)，P 2(x 2,0)间的距离|P 1P 2|＝12x x -. (2)在y 轴上两点Q 1(0，y 1)，Q 2(0，y 2)间的距离|Q 1Q 2|＝12y y -.(3)在x 轴上的点P 1(x 1,0)与y 轴上的点Q 1(0，y 1)之间的距离|P 1Q 1|＝x 12＋y 12. (四)、函数有关的概念及图象1．函数的概念一般地，在某一变化过程中有两个变量x 和y ，如果对于x 的每一个值，y 都有__唯一_确定的值与它对应，那么就说y 是x 的函数，x 是自变量．2．常量和变量在某一变化过程中，保持一定数值不变的量叫做常量；可以取不同数值的量叫做变量． 3．函数的表示方法函数主要的表示方法有三种：(1)解析法；(2)___列表法_____；(3)图象法． 4．函数图象的画法(1) 列表_：在自变量的取值范围内取值，求出相应的函数值；(2) 描点_：以x 的值为横坐标，对应y 的值作为纵坐标，在坐标平面内描出相应的点；(3) _连线_：按自变量从小到大的顺序用光滑曲线连接所描的点．(五)、函数自变量取值范围的确定1．自变量以分式形式出现，它的取值范围是使分母____不为零______的实数． 2．当自变量以二次方根形式出现，它的取值范围是使被开方数为_____非负数_____． 3．当自变量出现在零次幂或负整数次幂的底数中，它的取值范围是使底数不为零的实数．4．在一个函数关系式中，同时有几种代数式，函数自变量的取值范围应是各种代数式中自变量取值范围的公共部分．(六)、一次函数和正比例函数的定义一般地，如果y ＝kx ＋b (k ，b 是常数，k ≠0)，那么y 叫做x 的一次函数．特别地，当b ＝_0_时，一次函数y ＝kx ＋b 就为y ＝kx (k 是常数，k ≠0)，这时y 叫做x 的正比例函数． (七)、一次函数的图象与性质1．一次函数的图象(1)一次函数y ＝kx ＋b(k≠0)的图象是经过点(0，b)和⎝ ⎛⎭⎪⎫－b k ，0的一条直线．(2)正比例函数y ＝kx(k≠0)的图象是经过点(0,0)和(1，k)的一条直线．(3)因为一次函数的图象是一条直线，由两点确定一条直线可知画一次函数图象时，只要取两个点即可． 2．一次函数图象的性质函数系数取值大致图象经过的象限函数性质y＝kx(k≠0)k＞0 _一_、三_ y随x增大而增大k＜0 __二、四_ y随x增大而减小y＝kx＋b (k≠0)k＞0，b＞0 一、_二、三y随x增大而增大k＞0，b＜0 一、三、四k＜0，b＞0 一、二、四y随x增大而减小k＜0，b＜0 二、三、四一次函数y＝kx＋b的图象可由正比例函数y＝kx的图象平移得到，b＞0，上移b个单位；b＜0，下移|b|个单位．(八)、利用待定系数法求一次函数的解析式因为在一次函数y ＝kx ＋b(k≠0)中有两个未知数k 和b ，所以，要确定其关系式，一般需要两个条件，常见的是已知两点坐标P 1(a 1，b 1)，P 2(a 2，b 2)代入得⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝a 1k ＋b ，b 2＝a 2k ＋b，求出k ，b 的值即可，这种方法叫做__待定系数法_ ．(九)、一次函数与方程、方程组及不等式的关系1．y ＝kx ＋b 与kx ＋b ＝0直线y ＝kx ＋b 与x 轴交点的横坐标是方程kx ＋b ＝0的解，方程kx ＋b ＝0的解是直线y ＝kx ＋b 与x 轴交点的横坐标．2．y ＝kx ＋b 与不等式kx ＋b ＞0从函数值的角度看，不等式kx ＋b ＞0的解集为使函数值大于零(即kx ＋b ＞0)的x 的取值范围；从图象的角度看，由于一次函数的图象在x 轴上方时，y ＞0，因此kx ＋b ＞0的解集为一次函数在x 轴上方的图象所对应的x 的取值范围．3．一次函数与方程组两个一次函数图象的交点坐标就是它们的解析式所组成的二元一次方程组的解；以二元一次方程组的解为坐标的点是两个二元一次方程所对应的一次函数图象的交点．考点一：平面直角坐标系内点的坐标特征例1、 若点P(a ，a －2)在第四象限，则a 的取值范围是( )A ．－2＜a ＜0B ．0＜a ＜2C ．a ＞2D ．a ＜0【解析】故选B ．例2、在平面直角坐标系中，如果mn ＞0，那么点(m ，|n|)一定在( )A ．第一象限或第二象限B ．第一象限或第三象限C ．第二象限或第四象限D ．第三象限或第四象限【解析】故选A.考点二：图形的变换与坐标例1、 在如图所示的方格纸中，把每个小正方形的顶点称为“格点”，以格点为顶点的三角形叫做“格点三角形”．根据图形，解决下面的问题： (1)请描述图中的格点△A′B′C′是由格点△ABC 通过哪些变换方式得到的？ (2)若以直线a ，b 为坐标轴建立平面直角坐标系后，点C 的坐标为(－3,1)，请写出格点△DEF 各顶点的坐标，并求出△DEF 的面积．【解析】(1)先将△ABC 绕点C 按顺时针方向旋转90°，再向右平移5个单位得到△A′B′C′(或先平移再旋转也可)．(2)D(0，－2)，E(－4，－4)，F(2，－3)． S △DEF ＝6×2－12×4×2－12×2×1－12×6×1＝4.例2、在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形(顶点是网格线的交点的三角形)ABC 的顶点A ，C 的坐标分别为(－4,5)，(－1,3)．(1)请在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系；(2)请作出△ABC 关于y 轴对称的△A′B′C′；(3)写出点B′的坐标． 【解析】(1)(2)如图所示．(3)B′(2,1)．考点三：函数图象的应用例1、如图，一只蚂蚁从O点出发，沿着扇形OAB的边缘匀速爬行一周，设蚂蚁的运动时间为t，蚂蚁到O 点的直线距离为s，则s关于t的函数图象大致为( )【解析】 C 本题是典型的数形结合问题，通过对图形的观察，可以看出s与t的函数图象应分为三段：(1)当蚂蚁从点O到点A时，s与t成正比例函数关系；(2)当蚂蚁从点A到点B时，s不变；(3)当蚂蚁从点B回到点O时，s与t成一次函数关系，且回到点O时，s为零．例2、在全民健身环城越野赛中，甲、乙两选手的行程y(千米)随时间(时)变化的图象(全程)如图所示．有下列说法：①起跑后1小时内，甲在乙的前面；②第1小时两人都跑了10千米；③甲比乙先到达终点；④两人都跑了20千米．其中正确的说法有( )A．1个 B．2个C．3个 D．4个【解析】 C 因为利用图象可判断①②④正确，③错误，故选C.考点四：函数自变量取值范围的确定例1、已知函数关系式y＝x－1，则自变量x的取值范围是__________．【解析】x≥1 ，由题意得x－1≥0，所以x≥1.例2、函数y＝13－x中自变量x的取值范围是( )A．x≤3 B．x＜3C．x≠3 D．x＞3【解析】B，因为由题意得3－x＞0，所以x＜3.考点五：一次函数的图象与性质例1、已知一次函数y＝mx＋n－2的图象如图所示，则m，n的取值范围是( ) A．m＞0，n＜2 B．m＞0，n＞2C．m＜0，n＜2 D．m＜0，n＞2【解析】 D 因为从图象上知，图象自左而右是“下降”的，交y轴于正半轴，所以m＜0，n－2＞0，即m＜0，n＞2.例2、如图，三个正比例函数的图象分别对应表达式：①y=ax，②y=bx，③y=cx，将a，b，c从小到大排列并用“＜”连接为a＜c＜b．【解析】根据三个函数图象所在象限可得a＜0，b＞0，c＞0，再根据直线越陡，|k|越大，则b＞c．则b＞c＞a，故答案为：a＜c＜b．考点六：确定一次函数的解析式例1、如图，已知一次函数y＝kx＋b的图象经过A(－2，－1)，B(1,3)两点，并且交x轴于点C，交y轴于点D．(1)求该一次函数的解析式；(2)试求△DOC的面积．【解析】(1)把A ，B 点代入得⎩⎪⎨⎪⎧－1＝－2k ＋b ，3＝k ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝43，b ＝53.，∴y＝43x ＋53.(2)由(1)得C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－54，0，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，53，则OC ＝54，OD ＝53.∴△DOC 的面积＝12×54×53＝2524.例2、如图，已知直线y=x +3的图象与x ，y 的轴交于B ，A 两点，直线l 经过A 点，与线段OB 交于点C 且把△AOB 面积分为2：1两部分． （1）求线段OA ，OB 的长； （2）求直线l 的解析式．【解析】（1）∵令x=0，则y=3；令y=0，则x=﹣3，∴A （0，3），B （﹣3，0）；（2）∵△ABC 与△AOC 的高相等，B （﹣3，0），线段OB 交于点C 且把△AOB 面积分为2：1两部分， ∴C （﹣1，0）或（﹣2，0）． 设直线l 的解析式为y=kx +b （k ≠0），当C （﹣1，0）时，，解得；当C （﹣2，0）．时，，解得．故直线l 的解析式为y=3x +3或y=x +3．考点七、一次函数与方程(组)、不等式的关系例1、如图，已知函数y ＝ax ＋b 和y ＝kx 的图象交于点P ，则根据图象可得二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ax ＋b ，y ＝kx 的解是__________．【解析】⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y ＝－2如图所示，二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ax ＋b ，y ＝kx 的解就是直线y ＝ax ＋b 与直线y ＝kx 的交点，所以点P 的坐标就是方程组的解，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y ＝－2.例2、如图，直线y 1＝kx ＋b 过点A(0,2)，且与直线y 2＝mx 交于点P(1，m)，则不等式组mx ＞kx ＋b ＞mx －2的解集是__________．【解析】 1＜x ＜2，由图象可知，当x ＞1时，mx ＞kx ＋b ，把(1，m)和(0,2)代入y 1＝kx ＋b ，得b ＝2，m ＝k ＋2，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，y ＝mx －2，得x ＝2，因为y 3＝mx －2平行于y 2＝mx ，所以当x ＜2时，kx ＋b ＞mx －2，故原不等式组的解集为1＜x ＜2.考点八：一次函数的应用例1、小聪和小明沿同一条路同时从学校出发到宁波天一阁查阅资料，学校与天一阁的路程是4千米，小聪骑自行车，小明步行，当小聪从原路回到学校时，小明刚好到达天一阁，图中折线O —A —B —C 和线段OD 分别表示两人离学校的路程s(千米)与所经过的时间t(分)之间的函数关系，请根据图象回答下列问题：(1)小聪在天一阁查阅资料的时间为__________分钟，小聪返回学校的速度为__________千米/分； (2)请你求出小明离开学校的路程s(千米)与所经过的时间t(分)之间的函数关系； (3)当小聪与小明迎面相遇时，他们离学校的路程是多少千米？【解析】(1)15，415；(2)由图象可知，s 是t 的正比例函数． 设所求函数的解析式为s ＝kt(k≠0)，代入(45,4)，得4＝45k ，解得k ＝445.∴s 与t 的函数关系式为s ＝445t(0≤t≤45)． (3)由图象可知，小聪在30≤t≤45的时段内s 是t 的一次函数，设函数解析式为s ＝mt ＋n(m≠0)．代入(30,4)，(45,0)，得⎩⎪⎨⎪⎧30m ＋n ＝4，45m ＋n ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－415，n ＝12.∴s＝－415t＋12(30≤t≤45)．令－415t＋12＝445t，解得t＝1354.当t＝1354时，s＝445×1354＝3.答：当小聪与小明迎面相遇时，他们离学校的路程是3千米．例2、一次函数y=﹣2x+4的图象如图，图象与x轴交于点A，与y轴交于点B．（1）求A、B两点坐标．（2）求图象与坐标轴所围成的三角形的面积是多少．【解析】（1）对于y=﹣2x+4，令y=0，得﹣2x+4=0，∴x=2；∴一次函数y=﹣2x+4的图象与x轴的交点A的坐标为（2，0）；令x=0，得y=4．∴一次函数y=﹣2x+4的图象与y轴的交点B的坐标为（0，4）；（2）S△AOB=•OA•OB=×2×4=4．∴图象与坐标轴所围成的三角形的面积是4．P(Practice-Oriented)——实战演练➢课堂狙击1．在平面直角坐标系中，点(－3,3)所在的象限是( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解析】 B2．下列函数中，自变量x的取值范围是x≥3的是( )A．y＝1x－3B．y＝1x－3实战演练②以B为直角顶点，可过B作直线垂直于AB，与y轴交于一点，这一点也符合P点的要求；③以P为直角顶点，与y轴共有2个交点．所以满足条件的点P共有4个．故选B．6、已知一次函数y=kx+b，y随着x的增大而减小，且kb＜0，则在直角坐标系内它的大致图象是（）A． B． C． D．【解析】∵一次函数y=kx+b，y随着x的增大而减小∴k＜0，又∵kb＜0，∴b＞0，∴此一次函数图象过第一，二，四象限．故选A．7．函数y＝x－4的自变量x的取值范围是__________．【解析】x≥4由x－4≥0，得x≥4.8．如果一次函数y＝mx＋3的图象经过第一、二、四象限，则m的取值范围是__________．【解析】m＜09．一次函数y＝x＋2的图象不经过第__________象限．【解析】四∵k＝1＞0，b＝2＞0，∴图象经过第一、二、三象限．10．已知一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象过点(0,2)，且与两坐标轴围成的三角形面积为2，求此一次函数的解析式．【解析】将点(0,2)代入解析式y＝kx＋b(k≠0)中，得b＝2.则一次函数y ＝kx ＋b(k≠0)与x 轴的交点横坐标为－b k ＝－2k.由题意可得12×⎪⎪⎪⎪⎪⎪－2k ×2＝2，则k ＝±1. 所以一次函数的解析式为y ＝x ＋2或y ＝－x ＋2.11. 如图，一次函数y=ax +b 的图象经过点（1，2），点（﹣1，6），且与x 轴交于点B ，与y 轴交于点A ． （1）求出这个一次函数的解析式；（2）求出一次函数图象与两坐标轴围成的图形的面积．【解析】（1）∵一次函数y=ax +b 的图象经过点（1，2），点（﹣1，6）， ∴，解得，∴这个一次函数的解析式为y=﹣2x +4；（2）∵当x=0时，y=4，∴y 轴交于点A （0，4）， ∵当y=0时，x=2，∴与x 轴交于点B （2，0）， ∴一次函数图象与两坐标轴围成的图形的面积：×2×4=4．➢ 课后反击1．在平面直角坐标系中，点A(2,3)与点B 关于x 轴对称，则点B 的坐标为( )A ．(3,2)B ．(－2，－3)C ．(－2,3)D ．(2，－3) 【解析】 D2．下列函数中，自变量x 的取值范围为x ＜1的是( )A ．y ＝11－xB ．y ＝1－1xC ．y ＝1－xD ．y ＝11－x ＋1－x【解析】 D3．一次函数y=x﹣1的图象向上平移2个单位后，不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解析】因为一次函数y=x﹣1的图象向上平移2个单位后的解析式为：y=x+1，所以图象不经过四象限，故选D4．若点P(a，a－b)在第四象限，则点Q(b，－a)在( )A．第四象限B．第三象限C．第二象限 D．第一象限【解析】A 由题意，得a＞0，a－b＜0，所以a＜b，所以b＞a＞0，－a＜0.5．在一次“寻宝”游戏中，“寻宝”人找到了如图所标示的两个标志点A(2,3)，B(4,1)，A，B两点到“宝藏”点的距离都是10，则“宝藏”点的坐标是( )A．(1,0) B．(5,4)C．(1,0)或(5,4) D．(0,1)或(4,5)【解析】 C6．函数y=|2x|的图象是（）A．B．C．D．【解析】函数y=|2x|，当x≥0时，y=2x；当x≤0时，y=﹣2x，故图象C符合，故选C7、若直线y=kx+b经过第一、二、四象限，则直线y=bx+k的图象大致是（）A．B．C．D．【解析】故选：D．8．已知直线y＝kx＋b经过点(k,3)和(1，k)，则k的值为( )A． 3 B．± 3 C． 2 D．± 2【解析】 B9．在平面直角坐标系中，把直线y＝x向左平移一个单位长度后，其直线解析式为( ) A．y＝x＋1 B．y＝x－1 C．y＝x D．y＝x－2【解析】A10．一辆汽车和一辆摩托车分别从A，B两地去同一城市，它们离A地的路程随时间变化的图象如图所示．则下列结论错误的是( )A．摩托车比汽车晚到1 h B．A，B两地的路程为20 kmC．摩托车的速度为45 km/h D．汽车的速度为60 km/h【解析】C ∵摩托车的速度为(180－20)÷4＝40(km/h)，∴C错误．11．如图，直线y=x﹣2分别交x轴、y轴于A、B两点，O是原点．（1）求△AOB的面积．（2）过△AOB的顶点B画一条直线把△AOB分成面积相等的两部分，求出直线解析式．【解析】（1）令y=x﹣2中x=0，则y=﹣2，∴点B（0，﹣2）；令y=x﹣2中y=0，则x﹣2=0，解得：x=3，∴点A（3，0）．S△AOB=OA•OB=×2×3=3．（2）作出线段AO的中点C，连接BC，如图所示．∵点A（3，0），∴点C（，0）．设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），将点B（0，﹣2）、C（，0）代入y=kx+b中，得：，解得：，∴直线BC的解析式为y=x﹣2．12．为了提高身体素质，有些人选择到专业的健身中心锻炼身体，某健身中心的消费方式如下：普通消费：35元/次；白金卡消费：购卡280元/张，凭卡免费消费10次再送2次；钻石卡消费：购卡560元/张，凭卡每次消费不再收费．以上消费卡使用年限均为一年，每位顾客只能购买一张卡，且只限本人使用．（1）李叔叔每年去该健身中心健身6次，他应选择哪种消费方式更合算？（2）设一年内去该健身中心健身x次（x为正整数），所需总费用为y元，请分别写出选择普通消费和白金卡消费的y与x的函数关系式；（3）王阿姨每年去该健身中心健身至少18次，请通过计算帮助王阿姨选择最合算的消费方式．【解析】（1）35×6=210（元），210＜280＜560，∴李叔叔选择普通消费方式更合算．（2）根据题意得：y普通=35x．当x≤12时，y白金卡=280；当x＞12时，y白金卡=280+35（x﹣12）=35x﹣140．∴y白金卡=．（3）当x=18时，y普通=35×18=630；y白金卡=35×18﹣140=490；令y白金卡=560，即35x﹣140=560，解得：x=20．当18≤x≤19时，选择白金卡消费最合算；当x=20时，选择白金卡消费和钻石卡消费费用相同；当x≥21时，选择钻石卡消费最合算．1．在平面直角坐标系中，点P （﹣20，a ）与点Q （b ，13）关于原点对称，则a+b 的值为（ ）A ．33B ．﹣33C ．﹣7D ．7【解析】选：D ．2．已知函数y=ax+b 经过（1，3），（0，﹣2），则a ﹣b=（ ）A ．﹣1B ．﹣3C ．3D ．7【解析】选：D ．3．深圳某科技公司在甲地、乙地分别生产了17台、15台同一种型号的检测设备，全部运往大运赛场A 、B 两馆，其中运往A 馆18台、运往B 馆14台；运往A 、B 两馆的运费如表1：出发地目的地甲地乙地A 馆 800元/台 700元/台B 馆500元/台600元/台（1）设甲地运往A 馆的设备有x 台，请填写表2，并求出总运费元y （元）与x （台） 的函数关系式； （2）要使总运费不高于20200元，请你帮助该公司设计调配方案，并写出有哪几种方案； （3）当x 为多少时，总运费最小，最小值是多少？【解析】（1）根据题意得：甲运往A 馆有x 台，乙运往A 馆的有（18﹣x ）台，甲地运往B 馆的设备有（17﹣x ）台，乙地运往B 馆的设备有14﹣（17﹣x ）=（x ﹣3）台， ∴y=800x+700（18﹣x ）+500（17﹣x ）+600（x ﹣3），=200x+19300（3≤x ≤17）；出发地目的地甲地乙地A 馆x 台（台）B 馆（台） （台） 直击中考（1）、特殊点的坐标特征1．对称点的坐标特征点P (x ，y )关于x 轴的对称点P 1的坐标为(),x y -；关于y 轴的对称点P 2的坐标为(),x y -；关于原点的对称点P 3的坐标为(),x y --．2．与坐标轴平行的直线上点的坐标特征平行于x 轴：横坐标_不同 _，纵坐标__相同___；平行于y 轴：横坐标__相同__，纵坐标_不同 _． 3．点的平移将点P(x ，y)向右(或向左)平移a 个单位，可以得到对应点(x ＋a ，y)[或(x －a ，y)]；将点P(x ，y)向上(或向下)平移b 个单位，可以得到对应点(x ，y ＋b)[或(x ，y －b)]．（2）、一次函数的图象与性质1．一次函数的图象(1)一次函数y ＝kx ＋b(k≠0)的图象是经过点(0，b)和⎝ ⎛⎭⎪⎫－b k ，0的一条直线．(2)正比例函数y ＝kx(k≠0)的图象是经过点(0,0)和(1，k)的一条直线．重点回顾(3)因为一次函数的图象是一条直线，由两点确定一条直线可知画一次函数图象时，只要取两个点即可（3）、一次函数与方程、方程组及不等式的关系1．y＝kx＋b与kx＋b＝0直线y＝kx＋b与x轴交点的横坐标是方程kx＋b＝0的解，方程kx＋b＝0的解是直线y＝kx＋b与x 轴交点的横坐标．2．y＝kx＋b与不等式kx＋b＞0从函数值的角度看，不等式kx＋b＞0的解集为使函数值大于零(即kx＋b＞0)的x的取值范围；从图象的角度看，由于一次函数的图象在x轴上方时，y＞0，因此kx＋b＞0的解集为一次函数在x轴上方的图象所对应的x的取值范围．名师点拨1、自变量的取值必须使含自变量的代数式有意义，主要体现在以下几种：①含自变量的解析式是整式：自变量的取值范围是全体实数；②含自变量的解析式是分式：自变量的取值范围是使得分母不为0的实数；③含自变量的解析式是二次根式：自变量的取值范围是使被开方式为非负的实数；④含自变量的解析式既是分式又是二次根式时：自变量的取值范围是它们的公共解，一般列不等式组求解；⑤当函数解析式表示实际问题时：自变量的取值必须使实际问题有意义．2、一次函数的k值决定直线的方向，如果k＞0，直线就从左往右上升，y随x的增大而增大；如果k＜0，直线就从左往右下降，y随x的增大而减小；而b值决定直线和y轴的交点，如果b＞0，则与y轴的正半轴相交；如果b＜0，则与y轴交于负半轴；当b＝0时，一次函数就变成正比例函数，图象过原点. 学霸经验➢本节课我学到➢我需要努力的地方是。

高考数学复习压轴题归类解析 第06讲妙用洛必达法则【典型例题典型例题】】 例1．已知()(1)f x x lnx =+． （1）求()f x 的单调区间；（2）若对任意1x …，不等式()[]01f x x ax a x −++…恒成立，求a 的取值范围． 【解析】解：（1）()f x 的定义域为(0,)+∞，1()1f x lnx x′=++，令1()1(0)g x lnx x x=++>，则22111()x g x xx x−′=−= 所以当01x <<时，()0g x ′<；当1x >时，()0g x ′>，所以()g x 在(0,1)单调递减，在(1,)+∞单调递增，所以0x >时，()g x g >（1）20=>， 即()f x 在(0,)+∞上单调递增，所以()f x 的增区间为(0,)+∞，无减区间．（2）对任意1x …，不等式()[]01f x x ax a x −++…恒成立等价于对任意1x …，1(0lnx a x x−−…恒成立．当1x =，a R ∈对任意1x >，不等式()[]01f x x ax a x −++…恒成立等价于对任意1x >，21xlnx a x −…恒成立．记2()(1)1xlnx m x x x =>−，则22222222222212(1)(1)(1)21(1)11()(1)(1)(1)lnx lnx x x lnx x x lnx x x m x x x x −−+−−−−+++′===−−−，记22()1(1)1t x lnx x x =−−>+， 则22222222222414(1)(1)()0(1)(1)(1)x x x x t x x x x x x x −+−′=−==−<+++，所以()t x 在(1,)+∞单调递减，又t （1）0=， 所以，1x >时，()0t x <，即()0m x ′<， 所以()m x 在(1,)+∞单调递减．所以1122110111()(1)lim lim ()||111(1)2maxx x x x xlnxxlnx xlnx x lnx x m x m x x x x ′==→→−+−+<=====−−++， 综上所述，a 的取值范围是1[,)2+∞．例2．设函数2()(1)()f x ln x a x x =++−，其中a R ∈．（1）1a =时，求曲线()y f x =在点(1，f （1）)处的切线方程； （2）讨论函数()f x 极值点的个数，并说明理由； （3）若0x ∀>，()0f x …成立，求a 的取值范围． 【解析】解：（1）当1a =时，切点为(1,2)ln ，则1()211f x x x ′=+−+，所以3(1)2f ′=， 切线方程为32(1)2y ln x −=−，即322230x y ln −+−=， 所以切线方程为：322230x y ln −+−=；（2）由题意可知，函数()f x 的定义域为(1,)−+∞，则2121()(21)11ax ax a f x a x x x +−+′=+−=++，令2()21g x ax ax a =+−+，(1,)x ∈−+∞， ①当0a =时，()0f x ′>，函数()f x 在(1,)−+∞上单调递增，无极值点， ②当0a >时，△(98)a a =−，当809a <…时，△0…，()0g x …，()0f x ′…， 所以()f x 在(1,)−+∞上单调递增，无极值点，当89a >时，△0>，设方程2210ax ax a +−+=的两个根，1x ，2x ，且1x =，2x =，此时12x x <，因为1212x x +=−，114x <−，214x >−，(1)10g −=>，所以1114x −<<−， 因为1(1,)x x ∈−，2(x ，)+∞时，()0g x >，()0f x ′>，函数()f x 单调递增，1(x x ∈，2)x 时，()0g x <，()0f x ′<，函数()f x 单调递减，所以函数有两个极值点，当0a <时，△0>，设方程2210ax ax a +−+=的两个根，1x ，2x ，且1x =，2x =，此时12x x >，因为(1)10g −=>，所以21x <−，所以，1(1,)x x ∈−时，()0g x >，()0f x ′>，函数()f x 单调递增， 当2(x x ∈，)+∞时，()0g x <，()0f x ′<，函数()f x 单调递减， 所以函数有一个极值点，综上可知，当0a <时，函数()f x 有一个极值点； 当809a剟时，函数()f x 无极值点； 当89a >时，函数()f x 有两个极值点；（3）当809a剟时，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，因为(0)0f =，所以(0,)x ∈+∞时，()0f x >，符合题意， 当819a <…时，(0)0g >，得20x <， 所以函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，又因为(0)0f =，所以(0,)x ∈+∞时，()0f x >，符合题意， 当1a >时，由(0)0g <，得20x >， 所以2(0,)x x ∈时，函数()f x 单调递减，因为(0)0f =，所以2(0,)x x ∈时，()0f x <时，不符合题意， 当0a <时，设()(1)h x x ln x =−+， 因为(0,)x ∈+∞时，1()1011x h x x x ′=−=>++，所以()h x 在(0,)+∞上单调递增， 所以当(0,)x ∈+∞时，()(0)0h x h >=，即(1)h x x +<， 可得22()()(1)f x x a x x ax a x <+−=+−，当11x a>−时，2(1)0ax a x +−<，此时()0f x <，不合题意， 综上，a 的取值范围为[0，1]． 例3．已知函数2()1x f x x mx e =−−+．（1）若函数()f x 在点(1，f （1）)处的切线l 经过点(2,4)，求实数m 的值； （2）若关于x 的方程|()|f x mx =有唯一的实数解，求实数m 的取值范围．【解析】解：（1）()2x f x x m e ′=−−，∴在点(1，f （1）)处的切线l 的斜率k f ′=（1）2e m =−−，又f （1）2e m =−−，∴切线l 的方程为(2)(2)(1)y e m e m x −−−=−−−， 即:(2)l y e m x =−−，由l 经过点(2,4)， 可得42(2)e m m e =−−⇒=−．（2）证明：易知|(0)|000f m x ==×⇒=为方程的根， 由题只需说明当0x >和0x <时原方程均没有实数解即可．①当0x >时，若0m <，显然有0mx <，而|()|0f x …恒成立，此时方程显然无解， 若0m =，2()1()2x x f x x e f x x e ′=−+⇒=−，()2x f x e ′′=−，令()02f x x ln ′′>⇒<，故()f x ′在(0,2)ln 单调递增，在(2,)ln +∞单调递减， 故()(2)2220()f x f ln ln f x ′′<=−<⇒在(0,)+∞单调递减()(0)0f x f ⇒<=， 从而|()|0f x >，00mx x =×=，此时方程|()|f x mx =也无解．若0m >，由1|()|||xe f x mx m x m x x =⇒=+−−，记1()x e g x x m x x=+−−，则2(1)(1)()x x x e g x x −+−′=， 设()1x h x x e =+−，则()10x h x e ′=−<有(0,)+∞恒成立，()(0)0h x h ∴<=恒成立，故令()001()g x x g x ′>⇒<<⇒在(0,1)上递增，在(1,)+∞上递减()g x g ⇒…（1）20|()|2e m g x e m m =−−<⇒−+>…，可知原方程也无解，由上面的分析可知0x >时，m R ∀∈，方程|()|f x mx =均无解．②当0x <时，若0m >，显然有0mx <，而|()|0f x …恒成立，此时方程显然无解， 若0m =，和①中的分析同理可知此时方程|()|f x mx =也无解．若0m <，由1|()|||xe f x mx m x m x x =⇒−=+−−，记1()x e g x x m x x =+−−，则2(1)(1)()x x x e g x x −+−′=，由①中的分析知()10x h x x e =+−<，故()0g x ′>在(,0)−∞恒成立，从而()g x 在(,0)−∞上单调递增，当0x →时，200012()lim ()lim lim 11x xx x x x e x e g x g x m m m x−−−→→→+−−→=−=−=−−， 如果10m −−…，即1m −…，则|()|1g x m >+，要使方程无解，只需112m m m −+⇒−剠，即有102m −<…如果10m −−>，即1m <−，此时|()|[0g x ∈，)+∞，方程|()|m g x −=一定有解，不满足． 由上面的分析知0x <时，1[,)2m ∀∈−+∞，方程|()|f x mx =均无解，综合①②可知，当且仅当1[,)2m ∈−+∞时，方程|()|f x mx =有唯一解，m ∴的取值范围为1[,)2−+∞．【同步练习同步练习】】1．设函数2()1x f x e x ax =−−−， （1）若0a =，求()f x 的单调区间； （2）若当0x ≥时()0f x ≥，求a 的取值范围． 【解析】（1）0a =时，()1x f x e x =−−，'()1x f x e =−．当(,0)x ∈−∞时，'()0f x <；当(0,)x ∈+∞时，'()0f x >．故()f x 在(,0)−∞单调减少，在(0,)+∞单调增加．（2）当0x =时，()0f x =，对于任意实数a ，()0f x ≥恒成立；当0x >时，()0f x ≥等价于21x e x a x−−≤， 令21()(0)x e x g x x x −−=>，则322()x x xe e x g x x −++′=， 令()22(0)x x h x xe e x x =−++>，则()1x x h x xe e ′=−+，()0x h x xe ′′=>， 所以()h x ′在(0,)+∞上为增函数，()(0)0h x h ′′>=，所以()h x 在(0,)+∞上为增函数，()(0)0h x h >=， 所以()0g x ′>，()g x 在(0,)+∞上为增函数．而0lim (1)0x x e x +→−−=，20lim ()0x x +→=，由洛必达法则知，2000111lim lim lim 222x x x x x x e x e e x x +++→→→−−−===，故21≤a ． 综上得a 的取值范围为1(,2−∞．2．设函数2()ln(1)()f x x a x x =++−，其中a R ∈． （1）讨论函数()f x 极值点的个数，并说明理由； （2）若0x ∀>，()0f x ≥成立，求a 的取值范围． 【解析】（1）2()ln(1)()f x x a x x =++−，定义域为(1,)−+∞21(21)(1)121()(21)111a x x ax ax af x a x x x x −++++−′=+−==+++， 当0a =时，1()01f x x ′=>+，函数()f x 在(1,)−+∞为增函数，无极值点． 设222()21,(1)1,8(1)98g x ax ax a g a a a a a =++−−=∆=−−=−，当0a ≠时，根据二次函数的图像和性质可知()0g x =的根的个数就是函数()f x 极值点的个数．若(98)0a a ∆=−≤，即809a <≤时，()0g x ≥，()0f x ′≥函数在(1,)−+∞为增函数，无极值点．若(98)0a a ∆=−>，即89a >或0a <，而当0a <时(1)0g −≥此时方程()0g x =在(1,)−+∞只有一个实数根，此时函数()f x 只有一个极值点；当89a >时方程()0g x =在(1,)−+∞都有两个不相等的实数根，此时函数()f x 有两个极值点；综上可知当809a ≤≤时()f x 的极值点个数为0；当0a <时()f x 的极值点个数为1；当89a >时，()f x 的极值点个数为2．（2）函数2()ln(1)()f x x a x x =++−，0x ∀>，都有()0f x ≥成立，即2ln(1)()0x a x x ++−≥恒成立，设()2ln 1()x h x x x−+=−，则2222221(21)ln(1)()(21)ln(1)(21)(1)1()()()x x x x x x x x x x x h x x x x x −−−++ −−+−+−+ +′==−−， 设2()ln(1)(21)(1)x x x x x x ϕ−=−++−+，则222()(41)()(21)(1)x x x x x x ϕ−+′=−+，所以1(0,)2x ∈和1(,1)2x ∈时，()0x ϕ′<，所以()x ϕ在对应区间递减，(1,)x ∈+∞时，()0x ϕ′>，所以()x ϕ在对应区间递增，因为(0)0ϕ=，212lim 0(21)(1)x x x x x →+−−>−+，(1)ln 20ϕ=>， 所以(0,1)x ∈和(1,)x ∈+∞时，()0h x ′>，所以()h x 在(0,1)与(1,)+∞上递增． 当()0,1x ∈时，20x x −<，所以()2ln 1x a x x−+≤−，由()h x 的单调性得，()()()20001ln 111lim lim lim 121211x x x x x a x xx x x →→→−−+−+≤===−−−+； 当1x =时，()0f x =，恒成立； 当()1,x ∈+∞时，20x x −>，所以()2ln 1x a x x −+≥−，由()h x 的单调性得，所以()()()()221ln 1ln 111lim lim lim 021211x x x x x x a x x x xx x x →+∞→+∞→+∞−−+−+−+≥====−−−−+，综上，[]1,0∈a3．已知函数()x f x e =，()1g x bx =+，若()()f x g x ≥对于任意x R ∈恒成立，求b 的取值集合． 【解析】1x e bx ≥+恒成立，即1x e bx −≥． 当0x =时显然成立，即b R ∈．当0x >时，1x e b x −<，令1()x e F x x −=，则2(1)1()x e x F x x−+′=，令()(1)1x G x e x =−+， 则()0x G x xe ′=>，所以()G x 递增，所以()(0)0G x G >=，所以()F x ′在(0,)+∞上恒成立． 所以()F x 在(0,)+∞上递增，根据洛必达法则得，001lim lim 11x xx x e e x ++→→−==，所以1b ≤． 同理，当0x <时，1b ≥． 综上所述，b 的取值集合为{}1．4．设函数()ln(1)f x x =+，()()g x xf x ′=，0x ≥，其中()f x ′是()f x 的导函数，若()()f x ag x ≥恒成立，求实数a 的取值范围．【解析】已知()()f x ag x ≥恒成立，即ln(1)1axx x +≥+恒成立． 当0x =时，a 为任意实数，均有不等式恒成立． 当时0x >，不等式变形为(1)ln(1)x x a x++≤恒成立． 令(1)ln(1)()x x h x x ++=，则2ln(1)()x x h x x −+′=，再令()ln(1)x x x ϕ=−+，则()1xx x ϕ′=+．因为0x >，所以()0x ϕ′>，所以()x ϕ在(0,)+∞上递增，从而有()(0)0x ϕϕ>=． 进而有()0h x ′>，所以()h x 在(0,)+∞上递增． 当0x +→时，有(1)ln(1)0x x ++→，0x →， 由洛必达法则得000(1)ln(1)ln(1)1lim ()limlim 11x x x x x x h x x +++→→→++++===，所以当0x +→时，()1h x →．所以(1)ln(1)x x a x++≤恒成立，则1a ≤． 综上，实数的取值范围为(,1]−∞．5．若不等式3sin x x ax >−对于0,2x π∈ 恒成立，求a 的取值范围．【解析】当0,2x π ∈时，原不等式等价于3sin x x a x −>．记3sin ()x x f x x −=，则43sin cos 2()x x x x f x x′−−=． 记()3sin cos 2g x x x x x =−−，则()2cos sin 2g x x x x ′=+−． 因为()cos sin cos (tan )g x x x x x x x ′′=−=−，()sin 0g x x x ′′′=−<，所以()g x ′′在0,2π上单调递减，且()0g x ′′<，所以()g x ′在0,2π上单调递减，且()0g x ′<．因此()g x 在0,2π上单调递减， 且()0g x <，故4()()0g x f x x ′=<，因此3sin ()x x f x x −=在0,2π上单调递减．由洛必达法则有320000sin 1cos sin cos 1lim ()limlim lim lim 3666x x x x x x x x x x f x x x x →→→→→−−===== 即当0x →时，1()6g x →，即有1()6f x <． 故16a ≥时，不等式3sin x x ax >−对于0,2x π ∈恒成立．。

第06讲 极值点偏移:乘积型参考答案与试题解析一．解答题（共17小题）1．（2021春•汕头校级月考）已知，函数()f x lnx ax =-，其中a R ∈． （1）讨论函数()f x 的单调性； （2）若函数()f x 有两个零点， ()i 求a 的取值范围；()ii 设()f x 的两个零点分别为1x ，2x ，证明：212x x e >．【解答】解：（1）函数的定义域为(0,)+∞， 11()axf x a x x-'=-=， ①当0a 时，()0f x '，()f x 在(0,)+∞单调递增； ②当0a >时，由()0f x '=得1x a=， 则当10x a <<时，()0f x '<，()f x 在1(0,)a单调递增； 当1x a <时，()0f x '>，()f x 在1(,)a+∞单调递减． （2）()i 法1：函数()f x 有两个零点即方程0lnx ax -=在(0,)+∞有两个不同根， 转化为函数y lnx =与函数y ax =的图象在(0,)+∞上有两个不同交点，如图： 可见，若令过原点且切于函数y lnx =图象的直线斜率为k ， 只须0a k <<，设切点0(A x ，0)lnx ，所以0001|x x k y x x =='==， 又00lnx k x =，所以0001lnxx x =，解得0x e =， 于是1k e=，所以10a e <<，法2：由（1）当0a 时，()f x 在(0,)+∞单调递增，不可能有两个零点， 0a ∴>，此时11()()1max f x f ln a a ==-，需110ln a ->解得10a e<<，从而1e a >，211a a> 又1()10e f e a =--<故()f x 在1(0,)a 有一个零点；2211111()2f ln ln a a a a a=-=-，设()2g x lnx x =-，x e >，则2()10g x x'=-< 故()g x 在(,)e +∞单调递减∴211()()()20()f g g e e f x a a =<=-<∴在1(,)a+∞有一个零点故a 的取值范围为1(0,)e． ()ii 原不等式212122x x e lnx lnx >⇔+>，不妨设120x x >>， 1()0f x =，2()0f x =， 110lnx ax ∴-=，220lnx ax -=，1212()lnx lnx a x x ∴+=+，1212()lnx lnx a x x -=-，12112121212122122()22()2lnx lnx x x x lnx lnx a x x ln x x x x x x x --∴+>⇔+>⇔>⇔>-++， 令12x t x =，则1t >，于是1122122()2(1)1x x x t ln x x x t -->>++，设函数2(1)()1t g t lnt t -=-+(1)t >，求导得：22214(1)()0(1)(1)t g t t t t t -'=-=>++，故函数()g t 是(1,)+∞上的增函数， ()g t g ∴>（1）0=，即不等式2(1)1t lnt t ->+成立，故所证不等式212x x e >成立．2．（2021•攀枝花模拟）已知函数()(,)bf x lnx a a R b R x=+-∈∈有最小值M ，且0M ． （Ⅰ）求11a e b --+的最大值；（Ⅱ）当11a e b --+取得最大值时，设F （b ）1()a m m R b-=-∈，()F x 有两个零点为1x ，212()x x x <，证明：2312x x e ⋅>．【解答】解：（Ⅰ）有题意221()(0)b x bf x x x x x-'=-=>， 当0b 时，()0f x '，()f x 在(0,)+∞上单增，此时显然不成立， 当0b >时，令()0f x '=，得x b =，此时()f x 在(0,)b 上单减，在(,)b +∞上单增，M f ∴=（b ）10lnb a =+-，即1lnb a -，所以1a b e -，10a e b --．所以11a e b --+的最大值为1．（Ⅱ）证明：当11a e b --+取得最大值时，1a lnb -=，1()a lnbF b m m b b-=-=-， ()F x 的两个零点为1x ，2x ，则12120;0lnx lnxm m x x -=-=，即11lnx mx =，22lnx mx =， 不等式2312x x e ⋅>恒成立等价于12121222(2)3lnx lnx mx mx m x x +=+=+>， 两式相减得11212212()x lnx x ln m x x m x x x =-⇒=-，带入上式得11211221211221223(1)3()(2)322x xlnx x x x x x x ln x x x x x x x --+⋅>⇔<=-++， 令12(01)x t t x =<<，则3(1)(),(01)2t g t lnt t t -=-<<+，2(1)(4)()0(2)t t g t t t --'=>+， 所以函数()g t 在(0,1)上单调递增，()g t g ∴<（1）0=，得证． 3．（2021•张家口二模）已知函数()(x alnxf x e a e x=--是自然对数的底数）有两个零点． （1）求实数a 的取值范围；（2）若()f x 的两个零点分别为1x ，2x ，证明：12212x x e x x e +>．【解答】解：（1）由题意可得，()()0x x x h x xe alnx ax xe aln xe =--=-=有2个零点， 令()x t x xe =，则()(1)0x t x x e '=+>在0x >时恒成立， 故()x t x xe =在(0,)+∞上单调递增，所以()h x 有2个零点可转化为()g t t alnt =-有2个零点， 因为()1ag t t'=-， 0a 时，()0g t '>，()g t 单调递增，不可能有2个零点，当0a >时，由()0g t '>可得1t >，()g t 单调递增；()0g t '<可得0t a <<，()g t 单调递减，()min g t g =（a ）a alna =-，若0a e <<，则g （a ）0>，此时()0g t >恒成立，没有零点， 若a e =，则g （a ）0=，有一个零点， 若a e >，则g （a ）0<，因为g （1）10=>，2()0a a g e e a ->，所以()g t 在(1,)e ，(,)a e e 上各有1个零点，符合题意， 综上，a 的范围(,)e +∞； （2）证明：要证12212x x e x x e +>，只要证12212x x x x e e +>，即证1212()()2x x ln x e ln x e +>， 由（1）可知，111x t x e =，222x t x e =，所以2121()a lnt lnt t t -=-，2121()a lnt lnt t t +=+，所以22211112212211(1)()1t t ln t t t t lnt lnt lnt lnt t t t t +++=-=--，只要证221121(1)21t t ln t t t t +>-，设120t t <<，令21t t t =，1t >， 所以只要证2(1)1t lnt t ->+即证4201lnt t +->+， 令4()21h t lnt t =+-+，1t >， 则22214(1)()0(1)(1)t h t t t t t -'=-=>++，()h t h ∴>（1）0=，即当1t >时，4)201lnt t =+->+， 所以122lnt lnt +>即12212()()x x x e x e e >，故12212x x e x x e +>．4．（2021•武进区校级月考）已知函数21()2f x lnx x ax =+-．（1）若函数()f x 在1x =处的切线与x 轴平行，求a 的值；（2）若存在[1t ∈-，1]，使不等式()(1)f x tx a lnx --对于[1x ∈，]e 恒成立，求a 的取值范围； （3）若方程21()2f x x =有两个不等的实数根1x 、2x ，试证明212x x e >． 【解答】（1）解：1()f x x a x'=+-，函数()f x 在1x =处的切线与x 轴平行， f ∴'（1）20a =-=，解得2a =．（2）解：[1x ∈，]e ，不等式()(1)f x tx a lnx --化为：1(1)2lnx x a t x--，存在[1t ∈-，1]，使不等式()(1)f x tx a lnx --对于[1x ∈，]e 恒成立， ∴1(1)12lnx x a x--，化为：212()x xag x x lnx -=-． 21(1)(1)2()()x x lnx g x x lnx -+-'=-， 令1()12h x x lnx =+-，111()022x h x x x-'=-=>， ∴函数()h x 在[1x ∈，]e 上单调递增，()h x h （1）11002=+->． ()0g x ∴'，因此函数()g x 在[1x ∈，]e 上单调递增．a g ∴（e ）2222e ee -=-． a ∴的取值范围是22[,)22e ee -+∞-．（3）证明：方程21()2f x x =，即0ax lnx -=，0x >． 令()h x ax lnx =-，1()1()a x a h x a x x-'=-=． 可得：函数()h x 在1x a >时单调递增，在10x a<<时单调递减． 1x a∴=时，函数()h x 取得极大值即最大值． 1()1h lna a=+．方程21()2f x x =有两个不等的实数根1x 、2x ． 121212()()lnx lnx a x x ln x x ∴+=+=，要证明：212x x e >．只要证明：12()2a x x +>即可．不妨设1210x x a <<<，则121x a a->，由于函数()h x 在1x a >时单调递增，因此只要证明：1122()()0ln x a x a a --->即可得出212x x a >-，设函数22()()()()g x ln x a x lnx ax a a =-----，2112(1)()22(2)ax g x a x x ax x a-'=+-=--．可得在2(0,)a 上()0g x '<，且1()0g a=．∴110x a <<，1()0g x >，即111122()()()0ln x a x lnx ax a a----->， 即1122()()0ln x a x a a--->．∴212x x a>-， 212x x e ∴>．5．（2021•和平区校级模拟）已知函数21()2f x x x xlnx =+-的导函数为()f x '． （Ⅰ）判断()f x 的单调性；（Ⅱ）若关于x 的方程()f x m '=有两个实数根1x ，212()x x x <，求证：2122x x <． 【解答】解：（Ⅰ）()1(1)(0)f x x lnx x lnx x '=+-+=->， 令()g x x lnx =-，由11()1(0)x g x x x x-'=-=>， 可得()g x 在(0,1)上单调递减，(1,)+∞上单调递增， ()()f x g x g '∴=（1）10=>，()f x ∴在(0,)+∞上单调递增 ⋯（4分）（Ⅱ）依题意，1122x lnx m x lnx m-=⎧⎨-=⎩，相减得2121xx x ln x -=，令21(1)x t t x =>，则有11lntx t =-，21tlnt x t =-， 欲证2122x x <成立，只需证222()21(1)lnt t lnt t t <--成立，即证3322(1)()t lnt t-<成立， 即证13232(1)t lnt t-<成立，令13(1)t x x =>，只需证13212()30x lnx x-->成立， 令1321()2()3(1)F x x lnx x x=-->， 即证1x >时，()0F x >成立11323333232(2)3()2(1)x x F x x x x+-'=+-=， 令1323()2(2)3(1)h x x x x =+->，则11233()2(3)63(22)(1)h x x x x x x '=-=->， 可得()h x 在23(1,2)内递减，在23(2,)+∞内递增，∴23()(2)0h x h =，()0F x '∴，()F x ∴在(1,)+∞上单调递增，()F x F ∴>（1）0=成立，故原不等式成立．6．（2021春•邵东市校级期中）已知函数()sin f x x a x mlnx =-+，()()sin g x f x a x =+． （1）求函数()y g x =的极值；（2）若存在1x ，2(0,)x ∈+∞，且当12x x ≠时，12()()f x f x =，当01a <<1ma -． 【解答】解：（1）由()g x x mlnx =+，∴()1(0)m x mg x x x x+'=+=>， 当0m ，()0g x '>，()g x 在(0,)+∞上为增函数，无极值，当0m <，0x m <<-，()0g x '<；x m >-，()0g x '>，()g x 在(0,)m -上为减函数，在(,)m -+∞上为增函数，x m ∴=-，()g x 有极小值()m mln m -+-，无极大值，综上知：当0m ，()g x 无极值，当0m <，()g x 有极小值()m mln m -+-，无极大值．（2）证明：()sin h x x a x =-，()1cos h x a x '∴=-，1cos 1x -，01a ∴<<，()1cos 0h x a x '=-， 所以，当01a <<，()sin h x x a x =-在(0,)+∞上为增函数， 所以当(0,)x ∈+∞时，恒有()(0)0h x h >=，即sin x a x >成立； 当0m ，()g x 在(0,)+∞上为增函数，当01a <<，()sin h x x a x =-在(0,)+∞上为增函数， 这时，()y f x =在(0,)+∞上为增函数， 所以不可能存在1x ，2(0,)x ∈+∞， 满足当12x x ≠时，12()()f x f x =， 所以有0m <． 设120x x <<，12()()f x f x =得：111222sin sin x a x mlnx x a x mlnx -+=-+，212121()()(sin sin )m lnx lnx x x a x x ∴--=---①，1122sin sin x x x x -<-，2121(sin sin )()a x x a x x ∴-->--②，由①②式可得：212121()()()m lnx lnx x x a x x -->---， 即2121()(1)()m lnx lnx a x x -->--，又12lnx lnx <，210lnx lnx ->，∴2121(1)0x x m a lnx lnx -->-⨯>-③，1ma <-④，所以由③式知，只需证明：2121x x lnx lnx ->-21211x x x ln x ->设211x t x =>，只需证1t lnt ->0(1)lnt t ->>，令()(1)h t lnt t ->，由()0(1)h t t '=>>，()h t 在(1,)+∞上为增函数，()h t h ∴>（1）0=，∴2121x x lnx lnx ->-所以由③1ma <-成立． 7．（2021•海安县校级模拟）设函数()()x f x e ax a a R =-+∈． （1）当1a =时，求函数()f x 在点(0，(0))f 处的切线方程；（2）若函数()f x 的图象与x 轴交于1(A x ，0)，2(B x ，0)两点，且12x x <，求a 的取值范围； （3）证明：0(()f f x ''<为函数()f x 的导函数）． 【解答】解：（1）()1x f x e x =-+的导数为()1x f x e '=-， 可得()f x 在0x =处的切线斜率为0，切点为(0,2)， 可得切线方程为2y =；（2）()f x 的导数为()x f x e a '=-，当0a 时，()0f x '>恒成立，()f x 在R 上递增，与题意不符； 当0a >时，由()0f x '=，可得x lna =，当x lna >时，()0f x '>，()f x 递增；当x lna <时，()0f x '<，()f x 递减， 可得x lna =处()f x 取得极小值(2)a lna -，函数()f x 的图象与x 轴交于1(A x ，0)，2(B x ，0)两点，且12x x <， 可得(2)0a lna -<，即2a e >，存在1lna <，f （1）0e =>， 存在a lna >，332(3)330f lna a alna a a a a =-+>-+>，又()f x 在(,)lna -∞，(,)lna +∞的单调性和()f x 的图象在R 上不间断， 可得2a e >为所求取值范围；（3）证明：110x e ax a -+=，220x e ax a -+=，两式相减可得2121x x e e a x x -=-，设21(0)2x x s s -=>，则121221212221()[2()]22x x x x x x s s x x e e ef es e e x x s++-+-'=-=---，设()2()s s g s s e e -=--，()2()0s s g s e e -'=-+<，可得()g s 在(0,)+∞递减，即有()(0)0g s g <=，而12202x x es+>，可得12()02x x f +'<，由()x f x e a '=-为递增函数，122x x +可得12()02x x f f +'<'<， 即原不等式成立．8．（2021•鄱阳县校级月考）设函数()()x f x e ax a a R =-+∈其图象与x 轴交于1(A x ，0)，2(B x ，0)两点，且12x x <．（1）求()f x 的单调区间和极值点；（2）证明：0(()f f x '<'是()f x 的导函数）； （3）证明：1212x x x x <+．【解答】解：（1）设函数()()x f x e ax a a R =-+∈其图象与x 轴交于1(A x ，0)，2(B x ，0)两点，所以函数()f x 不单调，()0x f x e a '=-=有实数解，所以0a >，解得x lna =，因为x lna <，()0f x '<，()f x 单调递减， x lna >时，()0f x '>，()f x 单调递增，且lna 是极小值点；()()22lna f lna e alna a a lna =-+=-极小值，由题意得，()0f lna <，所以2a e >，所以函数()f x 的单调递增区间(,)lna -∞，单调递减区间(,)lna +∞， 极小值点是lna ，无极大值点，且2a e >． （2）证明：12120xx e ax a e ax a ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩， 两式相减可得，2121x x e e a x x -=-，令212(0)x x s e s -=>，则122112221()2x x x x x x e e f e x x ++-=--， 122[2()]2x x s s es e e s+-=--，令()2()s s g s s e e -=--， 则()2()0s s g s e e -'=-+<，所以()g s 单调递减，()(0)0g s g <=，而12202x x es+>，12()02x x f +∴<，又122x x +>∴0f '<；（3）证明：由121200x x e ax a e ax a ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩，可得212111x x x e x --=-，∴21(1)(1)2111x x x e x ----=-， 令11m x =-，21n x =-，则01m n <<<，∴n m n e m-=， 设nt m=，则1t >，n mt =， (1)t m e t -∴=， 1lnt m t ∴=-，1tlntn t =-， 22()(1)t lnt mn t ∴=-， 要证明：1212x x x x <+，等价于证明：12(1)(1)1x x --<，即证1mn <， 即证22()1(1)t lnt t <-，即证1lnt t <-，即证lnt <，令1()2g t lnt t t=-+，(1)t >，22221(1)()10t g t t t t --'=--=<，()g t ∴在(1,)+∞上单调递减，1>，故0g <， 120lnt t t∴-+<，lnt ∴<从而有：1212x x x x <+．9．（2021•泉州二模）已知函数()f x alnx x a =++，()x g x xe =． （1）当1a =时，求函数()()()F x g x f x =-的最小值；（2）若()f x 存在两个零点1x ，2x ，求a 的取值范围，并证明121x x >． 【解答】解：（1）当1a =时，()1(0)x F x xe lnx x x =--->，则11()1(1)()x x x F x e xe x e x x'=+--=+-， 令1()(0)x x e x x ϕ=->，则21()0x x e xϕ'=+>，()x ϕ∴在(0,)+∞单调递增，又1()20,(1)102e ϕϕ<=->，故存在唯一01(,1)2x ∈，使得0()0x ϕ=，即001x e x =，00lnx x =-，且当0(0,)x x ∈时，()0x ϕ<，()0F x '<，当0(x x ∈，)+∞时，()0x ϕ>，()0F x '>， ()F x ∴在0(0,)x 单调递减，在0(x ，)+∞单调递增，∴0000000()()1110x min F x F x x e lnx x x x ==---=+--=；（2）()1(0)a x af x x x x+'=+=>， ①当0a 时，()0f x '>，()f x 在(0,)+∞上单调递增，()f x 至多有一个零点，不合题意；②当0a <时，当(0,)x a ∈-时，()0f x '<，()f x 单调递减，当(,)x a ∈-+∞时，()0f x '>，()f x 在(0,)+∞上单调递增，则()()()0min f x f a aln a =-=-<，解得1a <-，注意此时11()0f e e=>，()i 当21a -<-时，33()40f e e a =+>，此时31a e e<-<，则()f x 在(0,)a -和(,)a -+∞分别存在一个零点；()ii 当2a <-时，2()a a a a f e alne e a e a a ----=++=-+，设g （a ）2a e a a -=-+，2a <-，则g '（a ）21a e a -=--+，g ''（a ）20a e -=->， g ∴'（a ）在(,2)-∞-单调递增，则g '（a ）2(2)50g e <'-=-+<，g ∴（a ）在(,2)-∞-单调递减，则g （a ）2(2)60g e >-=->，即()0a f e ->， 此时1a a e e-<-<，则()f x 在(0,)a -和(,)a -+∞分别存在一个零点；综上，若()f x 有两个零点，则a 的取值范围为(,1)-∞-；下证明121x x >，不妨设120x a x <<-<，由12()()0f x f x ==得，11220alnx x a alnx x a ++=⎧⎨++=⎩，两式相减得，1212x x a lnx lnx --=-，两式相加得，12121212122()2x x x xlnx lnx lnx lnx a x x +++=-=----， 要证121x x >，只需证120lnx lnx +>，即证112121211222110221x lnx lnx x x x x ln x x x x x ----=-<++，令11(),(0,1]21t h t lnt t t -=-∈+，则22212(1)()02(1)2(1)t h t t t t t -'=-=++， ()h t ∴在(0，1]单调递增，则()h t h （1）0=，又12(0,1)x x ∈，故等号不成立，即得证． 10．（2021•未央区校级月考）已知函数2()()2a f x xlnx x x a a R =--+∈，在其定义域内有两个不同的极值点． （1）求a 的取值范围；（2）记两个极值点为1x ，2x ，且12x x <，当1λ时，求证：不等式112x x e λλ+>恒成立． 【解答】解：（1）由题意知，函数()f x 的定义域为(0,)+∞， 方程()0f x '=在(0,)+∞有两个不同根； 即方程0lnx ax -=在(0,)+∞有两个不同根；转化为函数y lnx =与函数y ax =的图象在(0,)+∞上有两个不同交点，如右图．可见，若令过原点且切于函数y lnx =图象的直线斜率为k ，只须0a k <<． 令切点0(A x ，0)lnx ， 故001|x x k y x ='==，又00lnx k x =，故001lnx x x =， 解得，0x e =， 故1k e=，故a 的取值范围为1(0,)e；（2）证明：欲证112x x e λλ+> 两边取对数等价于要证：121lnx lnx λλ+<+， 由（1）可知1x ，2x 分别是方程0lnx ax -=的两个根， 即11lnx ax =，22lnx ax =所以原式等价于12121()ax ax a x x λλλ+<+=+，因为0λ>，120x x <<， 所以原式等价于要证明121a x x λλ+>+．又由11lnx ax =，22lnx ax =作差得，1122()x ln a x x x =-，即1212x lnx a x x =-．所以原式等价于1212121x lnx x x x x λλ+>-+，令12x t x =，(0,1)t ∈， 则不等式(1)(1)t lnt t λλ+-<+在(0,1)t ∈上恒成立．令(1)(1)()t h t lnt t λλ+-=-+，又22221(1)(1)()()()()t t h t t t t t λλλλ+--'=-=++， 当1λ时，可见(0,1)t ∈时，()0h t '>， 所以()h t 在(0,1)t ∈上单调增， 又h （1）0=，()0h t < 所以112212(1)()x x x lnx x x λλ+-<+在(0,1)t ∈恒成立，所以原不等式成立． 11．（2021•浙江模拟）已知函数2()()2a f x xlnx x x a a R =--+∈在其定义域内有两个不同的极值点． （1）求a 的取值范围；（2）记两个极值点分别为1x ，2x ，且12x x <，已知0λ>，若不等式112e x x λλ+<恒成立，求λ的取值范围．【解答】解：（1）由题意知，函数()f x 的定义域为(0,)+∞， 方程()0f x '=在(0,)+∞有两个不同根；即方程0lnx ax -=在(0,)+∞有两个不同根；转化为函数y lnx =与函数y ax =的图象在(0,)+∞上有两个不同交点， 如图．可见，若令过原点且切于函数y lnx =图象的直线斜率为k ，只须0a k <<． 令切点0(A x ，0)lnx ， 故001|x x k y x =='=，又00lnx k x =，故001lnx x x =，解得，0x e =， 故1k e=，故10a e<<； （2）112e x x λλ+<等价于121lnx lnx λλ+<+． 由（1）可知1x ，2x 分别是方程0lnx ax -=的两个根， 即11lnx ax =，22lnx ax =∴原式等价于12121()ax ax a x x λλλ+<+=+，0λ>，120x x <<， ∴原式等价于121a x x λλ+>+．又由11lnx ax =，22lnx ax =作差得，1122()x ln a x x x =-，即1212x lnx a x x =-．∴原式等价于1212121x lnx x x x x λλ+>-+． 120x x <<，原式恒成立，即112212(1)()x x x lnx x x λλ+-<+恒成立． 令12x t x =，(0,1)t ∈， 则不等式(1)(1)t lnt t λλ+-<+在(0,1)t ∈上恒成立．令(1)(1)()t h t lnt t λλ+-=-+，又22221(1)(1)()()()()t t h t t t t t λλλλ+--'=-=++， 当21λ时，可见(0,1)t ∈时，()0h t '>，()h t ∴在(0,1)t ∈上单调增，又h （1）0=，()0h t <在(0,1)t ∈恒成立，符合题意．当21λ<时，可见2(0,)t λ∈时，()0h t '>，2(t λ∈，1)时()0h t '<， ()h t ∴在2(0,)t λ∈时单调增，在2(t λ∈，1)时单调减，又h （1）0=， ()h t ∴在(0,1)t ∈上不能恒小于0，不符合题意，舍去．综上所述，若不等式112e x x λλ+<恒成立，只须21λ，又0λ>，1λ∴． 12．（2021•柳州月考）已知函数2()()f x lnx x a =+-．（1）若函数()f x 在点(1，f （1）)处切线的斜率等于1，求a 的值； （2）讨论函数()f x 的单调性；（3）若函数()f x 有两个极值点分别为1x ，212()x x x <，证明：121212[()]2ln f x x x x -+>． 【解答】解：（1）函数2()()f x lnx x a =+-，(0,)x ∈+∞． 1()2()f x x a x'=+-， 函数()f x 在点(1，f （1）)处切线的斜率等于1， f ∴'（1）12(1)1a =+-=，解得1a =．（2）21221()2()x ax f x x a x x-+'=+-=，令2()221u x x ax =-+，0a ，或△2480a =-，解得2a，2a∴时，()0f x '，函数()f x 在(0,)x ∈+∞上单调递增．a 时，△2480a =->，方程22210x ax -+=有两个不等实数根1x ，2x ．设12x x <．可得：函数()f x 在1(0,)x ，2(x ，)+∞上单调递增；在1(x ，2)x 上单调递减． 综上可得：2a时，函数()f x 在(0,)x ∈+∞上单调递增．a 时，方程22210x ax -+=有两个不等实数根1x ，2x ．设12x x <．可得：函数()f x 在1(0,)x ，2(x ，)+∞上单调递增；在1(x ，2)x 上单调递减．（3）由（2）可得：a 时，方程22210x ax -+=有两个不等实数根1x ，2x ．即函数()f x 有两个极值点1x ，2x ．12x x a +=，1212x x =． 证明：12121212[()]()222ln a ln f x x x x f --+>⇔>． 即证明212242a a ln ln -+>． 由函数g （a ）224a a ln =+在)+∞上单调递增，21112224222a a ln ln g ln -∴+>=-+=， 因此结论成立，即121212[()]2ln f x x x x -+>． 13．（2021•南昌月考）已知函数2()f x ln x x mlnx =-+有两个极值点1x ，2x ． （1）求实数m 的取值范围； （2）证明：124x x <．【解答】解：（1）22()1m lnx x m f x lnx x x x-+'=-+=，令()2g x lnx x m =-+，(0)x >，则22()1xg x x x-'=-=， 故()g x 在(0,2)递增，在(2,)+∞递减，故()max g x g =（2）2220ln m =+->，故222m ln >-， 又(0)g +→-∞，()g +∞→-∞， 故实数m 的取值范围是(222,)ln -+∞；（2）证明：先证明1212x x lnx lnx ->-12x x >，即证12lnx lnx-<=t=，即证21(1)lnt t tt<->，令1()2(1)F t lnt t tt=-+>，2221()0t tF tt-+-'=，故()F t为减函数，故()F t F<（1）0=，即21lnt tt<-，故1212x xlnx lnx->-由112222lnx x mlnx x m=-⎧⎨=-⎩，两式相减得12122x xlnx lnx-=>-故124x x<．14．（2021春•龙凤区校级期末）已知函数122()()()xef x a lnx a Rx x-=-+∈．若()f x在(0,2)上有两个极值点1x、212()x x x<．（1）求实数a的取值范围；（2）求证：121x x<．【解答】解：（1）13(2)()()(0)xx e axf x xx---'=>，要使得()f x在(0,2)上有两个极值点1x，2x，则1()xg x e ax-=-在(0,2)上有两个不同的零点，①1a时，由（1）知，11()x xg x e ax e x--=--，令1()xS x e x-=-，所以在(0,1)上，()0S x'<，()S x为减函数，在(1,2)上，()0S x'>，()S x为增函数，所以()S x S（1）0=，故()0g x，所以()g x 在(0,2)上没有两个零点，舍，②当a e 时，因为(0,2)x ∈，11(x e e-∈，)e ，1()0x g x e a -'=-<，则()g x 在(0,2)上单调递减，所以()g x 最多只有一个零点，不合题意，舍去， ③当1a e <<时，1()x g x e a -'=-，当01x lna <<+时，()0g x '<，()g x 单调递减， 当12lna x +<<时，()0g x '>，()g x 单调递增， 所以()(1)min g x g lna alna =+=-，要使1(0)0(1)0(2)20g e g lna alna g e a ⎧=>⎪⎪+=-<⎨⎪=->⎪⎩，解得12e a <<， 综上所述，a 的取值范围为(1,)2e．（2）证明：由（1）知，12()()0g x g x ==，12012x lna x <=+<<，1212x x lnx lnx --，其中1202x x <<<，即证12lnx lnx ->=即12x lnx >令(0,1)t =，即证12(01)lnt t t t>-<<， 构造函数1()2t lnt t tϕ=-+，则22221(1)()10t t t t tϕ-'=--=-<，所以，函数()t ϕ'在区间(0,1)上单调递减， 故()t ϕϕ>（1）0=，由已知可得121112x x e ax eax --⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以112211x lna lnx x lna lnx -=+⎧⎨-=+⎩，所以1212x x lnx lnx -=-， 则12121x x lnx lnx -=-，12121x x lnx lnx -=-，所以121x x <．15．（2021春•瑶海区月考）已知函数21()2f x xlnx mx x =--，m R ∈．（1）若()()g x f x ='，(()f x '为()f x 的导函数），求函数()g x 在区间[1，]e 上的最大值； （2）若函数()f x 有两个极值点1x ，2x ，求证：122x x e >．【解答】解：（1）函数21()2f x xlnx mx x =--的定义域为R ，()()g x f x lnx mx ='=-，11()mx g x m x x-'=-=，①当1me时，显然()0g x '在(1,)e 上恒成立，所以()g x 在(1,)e 上单调递增， 所以()g x 在区间[1，]e 上的最大值为()max g x g =（e ）1=； ②当11m e <<时，令()0f x '=，解得1(1,)x e m=∈，当11x m<<时，()0g x '>，()g x 单调递增， 当1x e m<<时，()0g x '<，()g x 单调递减， 所以()g x 在区间[1，]e 上的最大值为1()()1max g x g lnm m==--；③当1m 时，显然()0g x '在(1,)e 上恒成立，所以()g x 在(1,)e 上单调递减， 所以()g x 在区间[1，]e 上的最大值为()max g x g =（1）m =-． 综上所述，当1me时，最大值为1；当11m e <<时，最大值为1lnm --；当1m 时，最大值为m -．（2）证明：()11f x lnx mx lnx mx '=+--=-，有题意可知()0f x '= 至少有两个零点，所以0m >． 由11lnx mx =，22lnx mx =，可得1212()lnx x m x x =+，1212()lnx lnx m x x -=-．所以221211212221111()1x lnx lnx xx lnx x x x ln x x x x x +-=+=⋅--，不妨设21x x >，令211x t x =>，则121,11t lnx x lnt t t +=⋅>-，下面证明122lnx x >． 令2(1)(),11t h t lnt t t -=->+，则222212(1)2(1)14(1)()0(1)(1)(1)t t t h t t t t t t t +---'=-=-=>+++， 所以()h t 在(1,)+∞单调递增，()h t h >（1）0=，即121t lnt t +⋅>-． 于是，122lnx x >，即212x x e >．16．（2021•龙岩模拟）已知函数2()x f x e ax x =--． （1）当1a =时，求曲线()y f x =在点(1，f （1）)处的切线方程；（2）若函数()()F x f x x =+有两个极值点1x ，2x ，求证：212((2))x x ln a <．【解答】解：（1）当1a =时，2()x f x e x x =--，则()21x f x e x '=--， 所以k f ='（1）3e =-，又f （1）2e =-，所以切线方程为(3)(1)2y e x e =--+-，即(3)1y e x =-+．（2）证明：由题意得2()x F x e ax =-，则()2x F x e ax '=-， 因为函数()F x 有两个极值点1x ，2x ，所以()0F x '=有两个不相等的实数根1x ，2x ，令()2x h x e ax =-，则()2x h x e a '=-，①当0a 时，()0h x '>恒成立，则函数()h x 为R 上的增函数， 故()h x 在R 上至多有一个零点，不符合题意；②当0a >时，令()0h x '=，得(2)x ln a =，当(x ∈-∞，(2))ln a 时，()0h x '<，故函数()h x 在(-∞，(2))ln a 上单调递减； 当((2)x ln a ∈，)+∞时，()0h x '>，故函数()h x 在((2)ln a ，)+∞上单调递增， 因为函数()0h x =有两个不相等的实数根1x ，2x ，所以()((2))22(2)0min h x h ln a a aln a ==-<，得2e a >， 不妨设12x x <，则1(2)x ln a <，2(2)1x ln a >>，又(0)10h =>，所以1(0x ∈，(2))ln a ， 令24()()(2(2))44(2)xx a G x h x h ln a x e ax aln a e =--=--+， 则2244()4240xx x x a a G x e a e a e e '=+-⨯-=，所以函数()G x 在R 上单调递增， 由2(2)x ln a >，可得2()((2))0G x G ln a >=，即22()(2(2))h x h ln a x >-， 又1x ，2x 是函数()h x 的两个零点，即12()()h x h x =， 所以12()(2(2))h x h ln a x >-，因为2(2)x ln a >，所以22(2)(2)ln a x ln a -<， 又1(2)x ln a <，函数()h x 在(-∞，(2))ln a 上单调递减，所以122(2)x ln a x <-，即122(2)x x ln a +<，又12x x +>2(2)ln a <，因此212((2))x x ln a <．17．（2021•松山区校级三模）已知函数22()22(0)f x xlnx ax x a a =--+>在其定义域内有两个不同的极值点．（Ⅰ）求a 的取值范围；（Ⅱ）设()f x 两个极值点分别为1x ，2x e >．【解答】解：（Ⅰ）由题意得()f x 的定义域是(0,)+∞，22()22(0)f x xlnx ax x a a =--+>， 则()2222f x lnx ax '=+--，令()0f x '=，得0lnx ax -=， 问题转化为方程0lnx ax -=在(0,)+∞上有2个异根， 令()g x lnx ax =-，问题转化为函数()g x 有2个不同的零点， 而11()(0)ax g x a x x x-'=-=>， 0a >，当10x a <<时，()0g x '>，当1x a >时，()0g x '<， 故()g x 在1(0,)a 单调递增，在1(a，)+∞单调递减， 故11()1g x g ln a a ⎛⎫==- ⎪⎝⎭极大值， 又当0x →时，()g x →-∞，当x →+∞时，()g x →-∞，于是只需()0g x >极大值，即110ln a ->，故10a e<<， 即a 的取值范围是1(0,)e； （Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知1x ，2x 分别是方程0lnx ax -=的两个根， 即11lnx ax =，22lnx ax =，设12x x >，作差得1122()x ln a x x x =-，即1212x lnx a x x =-，e >等价于212x x e ⋅>，21212121122()2()2x x x lnx lnx a x x ln x x x -+>⇔+>⇔>+， 令12x t x =，则1t >，2121122()2(1)1x x x t ln lnt x x x t -->⇔>++， 设2(1)()(1)1t g t lnt t t -=->+，则22(1)()0(1)t g t t t -'=>+， ∴函数()g t 在(1,)+∞上单调递增， ()g t g ∴>（1）0=，即不等式2(1)1t lnt t ->+成立， 故所证不等式成立．。