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[第11讲 函数与方程](时间：35分钟 分值：80分)基础热身1．[教材改编试题] 函数f (x )＝2x＋3x 的零点所在的一个区间是( ) A ．(－2，－1) B ．(－1，0) C ．(0，1) D ．(1，2)2．函数f (x )＝－1x＋log 2x 的一个零点落在下列哪个区间( )A ．(0，1)B ．(1，2)C ．(2，3)D ．(3，4)3．[2013·东北名校二模] 若a >2，则函数f (x )＝13x 3－ax 2＋1在(0，2)内零点的个数为( )A ．3B ．2C ．1D ．04．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x （x >0），3x （x ≤0），且关于x 的方程f (x )＋x －a ＝0有且只有一个实根，则实数a 的范围是( )A ．(－∞，0)B ．(0，1)C ．(1，2)D ．(1，＋∞)能力提升5．[2013·海口一模] 函数f (x )＝e x＋x －2的零点所在的一个区间是( ) A ．(－2，－1) B ．(－1，0) C ．(0，1) D ．(1，2) 6．[2013·厦门模拟] 已知函数f (x )＝1＋x －x 22＋x 33－x 44＋…＋x 2 0112 011，则下列结论正确的是( )A ．f (x )在(－1，0)上恰有一个零点B ．f (x )在(0，1)上恰有一个零点C ．f (x )在(－1，0)上恰有两个零点D ．f (x )在(0，1)上恰有两个零点7．定义在R 上的函数f (x )既是奇函数，又是周期函数，T 是它的一个正周期．若将方程f (x )＝0在闭区间[－T ，T ]上的根的个数记为n ，则n 可能为( )A ．0B ．1C ．3D ．58．[2013·天津卷] 对实数a 和b ，定义运算“⊗”：a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a －b ≤1，b ，a －b >1.设函数f (x )＝(x 2－2)⊗(x －x 2)，x ∈R ，若函数y ＝f (x )－c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是( )A ．(－∞，－2]∪⎝⎛⎭⎪⎫－1，32B ．(－∞，－2]∪⎝⎛⎭⎪⎫－1，－34 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，14∪⎝ ⎛⎭⎪⎫14，＋∞ D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－34∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，＋∞ 9．已知对于任意实数x ，函数f (x )满足f (－x )＝－f (x )．若方程f (x )＝0有2 013个实数解，则这2 013个实数解之和为________．10．在用二分法求方程x 3－2x －1＝0的一个近似解时，已经将一根锁定在区间(1，2)内，则下一步可断定该根所在的区间为________．11．[2013·温州质检] 对于函数y ＝f (x )，若存在区间[a ，b ]，当x ∈[a ，b ]时的值域为[ka ，kb ](k >0)，则称y ＝f (x )为k 倍值函数．若f (x )＝ln x ＋x 是k 倍值函数，则实数k 的取值范围是________．12．(13分)已知a 是实数，函数f (x )＝2ax 2＋2x －3－a ，如果函数y ＝f (x )在区间[－1，1]上有零点，求a 的取值范围．难点突破13．(1)(6分)已知二次函数f (x )＝x 2－(m －1)x ＋2m 在[0，1]上有且只有一个零点，则实数m 的取值范围为( )A ．(－2，0)B ．(－1，0)C ．[－2，0]D ．(－2，－1)(2)(6分)设函数f (x )＝4sin(2x ＋1)－x ，则在下列区间中函数f (x )不存在零点的是( )A ．[－4，－2]B ．[－2，0]C ．[0，2]D ．[2，4]课时作业(十一)【基础热身】1．B [解析] 因为f (－1)f (0)<0，所以区间(－1，0)是函数f (x )＝2x＋3x 的零点所在的一个区间，故选B.2．B [解析] 根据函数的零点存在定理得到f (1)f (2)＝(－1)×12<0，故函数的一个零点在区间(1，2)内．3．C [解析] f ′(x )＝x 2－2ax ，由a >2可知，f ′(x )在x ∈(0，2)恒为负，即f (x )在(0，2)内单调递减，又f (0)＝1>0，f (2)＝83－4a ＋1<0，∴f (x )在(0，2)内只有一个零点．故选C.4．D [解析] 在同一坐标系内分别作出y 1＝f (x )，y 2＝－x ＋a 的图象，其中a 表示直线在y 轴的截距，结合图形可知当a >1时，直线y 2＝－x ＋a 与y 1＝log 2x 只有一个交点，即a ∈(1，＋∞)．【能力提升】5．C [解析] ∵f (－1)＝e －1－1－2<0，f (0)＝1－2<0，f (1)＝e ＋1－2>0，∴函数的零点所在区间为(0，1)．6．A [解析] 因为f ′(x )＝1－x ＋x 2－x 3＋…＋x 2 010>0，x ∈(－1，0)，所以函数f (x )＝1＋x －x 22＋x 33－x 44＋…＋x 2 0112 011在(－1，0)单调增，f (0)＝1>0，f (－1)<0，选A.7．D [解析] 定义在R 上的函数f (x )是奇函数，f (0)＝0，又是周期函数，T 是它的一个正周期，∴f (T )＝f (－T )＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－T 2＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫T 2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－T2＋T ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫T 2，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－T 2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫T 2＝0，则n 可能为5.8．B [解析] f (x )＝⎩⎨⎧x 2－2，x 2－2－()x －x 2≤1，x －x 2，x 2－2－()x －x 2>1＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2，－1≤x ≤32，x －x 2，x <－1，或x >32，则f ()x 的图象如图．∵y ＝f (x )－c 的图象与x 轴恰有两个公共点， ∴y ＝f (x )与y ＝c 的图象恰有两个公共点，由图象知c ≤－2，或－1<c <－34.9．0 [解析] 由奇函数的性质得f (0)＝0，其余2 012个实数解互为相反数，则这2 013个实数解之和为0.10.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2 [解析] 计算函数f (x )＝x 3－2x －1在x ＝1，32，2处的函数值，根据函数零点的存在定理进行判断．f (1)<0，f (2)>0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝278－3－1<0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32f (2)<0，故下一步断定该根在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2内． 11.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1＋1e [解析] 因为f (x )＝ln x ＋x 是k 倍值函数，且f (x )在[a ，b ]上单调递增，所以⎩⎪⎨⎪⎧ln a ＋a ＝ka ，ln b ＋b ＝kb ，则g (x )＝ln x ＋(1－k )x 在(0，＋∞)上有两个零点，即y ＝ln x 与y＝(k －1)x 相交于两点，所以k －1>0.当k ＝1＋1e 时相切，所以1<k <1＋1e.12．解：(1)若a ＝0，f (x )＝2x －3，显然在[－1，1]上没有零点，所以a ≠0.(2)若a ≠0，①令Δ＝4＋8a (3＋a )＝8a 2＋24a ＋4＝0，解得a ＝－3±72.当a ＝－3－72时，y ＝f (x )恰有一个零点在[－1，1]上；②当f (－1)·f (1)＝(a －1)(a －5)<0，即1<a <5时， y ＝f (x )在[－1，1]上也恰有一个零点．③当y ＝f (x )在[－1，1]上有两个零点时，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝8a 2＋24a ＋4>0，－1≤－12a ≤1，af （1）≥0，af （－1）≥0.解得a ≥5或a <－3－72.综上，所求实数a 的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪⎪a >1或a ≤－3－72. 【难点突破】13．(1)C (2)A [解析] (1)①当方程x 2－(m －1)x ＋2m ＝0在[0，1]上有两个相等实根时，Δ＝(m －1)2－8m ＝0且0≤m －12≤1，此时无解．②当方程x 2－(m －1)x ＋2m ＝0有两个不相等的实根时，(i)有且只有一根在[0，1]上时，有f (0)f (1)<0，即2m (m ＋2)<0，解得－2<m <0；(ii)有两根在[0，1]上时有⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，0<m －12<1，f （0）>0，f （1）>0，此时无解； (iii)当f (0)＝0时，m ＝0，方程可化为x 2＋x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝－1，符合题意；(iv)当f (1)＝0时，m ＝－2，方程可化为x 2＋3x －4＝0，解得x 1＝1，x 2＝－4，符合题意．综上所述，实数m 的取值范围为[－2，0]．(2)f (0)＝4sin1>0，f (2)＝4sin5－2，由于π<5<2π，所以sin5<0，故f (2)<0，故函数在[0，2]上存在零点；由于f (－1)＝4sin(－1)＋1，－π2<－1<－π6，所以sin(－1)<－12，故f (－1)<0，故函数在[－1，0]上存在零点，也在[－2，0]上存在零点；令x ＝5π－24∈[2，4]，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π－24＝4sin 5π2－5π－24＝4－5π－24＝18－5π4>0，而f (2)<0，所以函数在[2，4]上存在零点．排除法知函数在[－4，－2]上不存在零点．。
第11讲函数与方程1.函数的零点(1)函数零点的定义对于函数y=f(x)(x∈D),把使的实数x叫作函数y=f(x)(x∈D)的零点.(2)等价关系方程f(x)=0有实数根⇔函数y=f(x)的图像与有交点⇔函数y=f(x)有.(3)函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图像是连续不断的一条曲线,并且有,那么函数y=f(x)在区间内有零点,即存在c∈(a,b),使得,这个也就是方程f(x)=0的根.2.二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图像与零点的关系常用结论1.在区间D上单调的函数在该区间内至多有一个零点.2.周期函数如果存在零点,则必有无穷个零点.题组一常识题1.[教材改编]函数f(x)=ln x+2x-6的零点的个数是.2.[教材改编]如果函数f(x)=e x-1+4x-4的零点在区间(n,n+1)(n为整数)内,则n= .3.[教材改编]函数f(x)=x3-2x2+x的零点是.4.[教材改编]若函数f(x)=x2-4x+a存在两个不同的零点,则实数a的取值范围是.题组二常错题◆索引:错用零点存在性定理;误解函数零点的定义;忽略限制条件;二次函数在R上无零点的充要条件(判别式小于零).5.函数f(x)=x+的零点个数是.6.函数f(x)=x2-3x的零点是.7.若二次函数f(x)=x2-2x+m在区间(0,4)上存在零点,则实数m的取值范围是.8.若二次函数f(x)=x2+kx+k在R上无零点,则实数k的取值范围是.探究点一函数零点所在区间的判断例1 (1)函数f(x)=e x-x-2在下列哪个区间上必有零点 ()A.(-1,0)B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3)(2)已知函数f(x)=lg x+x-5在区间(n,n+1)(n∈Z)上存在零点,则n= .[总结反思] 判断函数零点所在区间的方法:(1)解方程法,当对应方程易解时,可直接解方程;(2)零点存在性定理;(3)数形结合法,画出相应函数图像,观察与x轴交点来判断,或转化为两个函数的图像在所给区间上是否有交点来判断.变式题 [2018·南昌模拟]函数f(x)=ln(x+1)-的零点所在的区间为()A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)探究点二函数零点个数的讨论例2 (1)已知f(x)是定义在R上的奇函数,且满足f-+x=f,当x∈时,f(x)=ln(x2-x+1),则函数f(x)在区间[0,6]上的零点个数是()A.3B.5C.7D.9(2)[2018·河南中原名校模拟]函数f(x)=sin2x+-log3πx的零点个数为.[总结反思] 函数零点个数的讨论,基本解法有:(1)直接法,令f(x)=0,有多少个解则有多少个零点;(2)定理法,利用定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等;(3)图像法,一般是把函数分拆为两个简单函数,依据两函数图像的交点个数得出函数的零点个数.变式题 (1)[2018·重庆巴蜀中学月考]函数f(x)=-2e-x的零点个数为()A.0B.1C.2D.3(2)已知函数f(x)=则函数g(x)=[f(x)]2-3f(x)+2的零点个数为.探究点三函数零点的应用例3 (1)设函数f(x)=e x+x-2,g(x)=ln x+x2-3,若实数a,b满足f(a)=g(b)=0,则() A.f(b)<0<g(a) B.g(a)<0<f(b)C.0<g(a)<f(b)D.f(b)<g(a)<0若函数g(x)=f(x)-m(x-1) (2)[2019·安徽肥东高级中学调研]已知函数f(x)=--有两个零点,则实数m的取值范围是 ()A.(-2,0)B.(-1,0)C.(-2,0)∪(0,+∞)D.(-1,0)∪(0,+∞)[总结反思] 函数零点的应用主要体现在三类问题中:一是函数中不含参数,零点又不易直接求出,考查各零点的和或范围问题;二是函数中含有参数,根据零点情况求函数中参数的范围;三是函数中有参数,但不求参数,仍是考查零点的范围问题.这三类问题一般是通过数形结合或分离参数求解.变式题 (1)[2018·山东、湖北部分重点中学二模]若函数f(x)=cos x+2|cos x|-m,x∈[0,2π]恰有两个零点,则m的取值范围为()A.(0,1]B.{1}C.{0}∪(1,3]D.[0,3](2)若x1,x2分别是函数f(x)=x-2-x,g(x)=x log2x-1的零点,则下列结论成立的是()A.x1=x2B.x1>x2C.x1+x2=1D.x1x2=1第11讲函数与方程考试说明结合二次函数的图像,了解函数的零点与方程根的联系,判断一元二次方程根的存在性及根的个数.【课前双基巩固】知识聚焦1.(1)f(x)=0(2)x轴零点(3)f(a)·f(b)<0(a,b)f(c)=0c2.(x1,0),(x2,0)(x1,0)210对点演练1.1[解析] 函数f(x)单调递增,且f(2)<0,f(3)>0,故存在唯一零点.2.0[解析] 函数f(x)单调递增,且f(0)<0,f(1)>0,故其零点在区间(0,1)内,则n=0.3.0,1[解析] 由f(x)=x3-2x2+x=0,解得x1=0,x2=1,所以函数的零点是0,1.4.(-∞,4)[解析] Δ=16-4a>0,解得a<4.5.0[解析] 函数的定义域为{x|x≠0},当x>0时,f(x)>0,当x<0时,f(x)<0,所以函数没有零点.6.0,3[解析] 由f(x)=x2-3x=0,得x=0或x=3.7.(-8,1][解析] 二次函数f(x)图像的对称轴方程为x=1.若在区间(0,4)上存在零点,只需f(1)≤0且f(4)>0即可,即-1+m≤0且8+m>0,解得-8<m≤1.8.(0,4)[解析] Δ=k2-4k<0,解得0<k<4.【课堂考点探究】例1[思路点拨] (1)利用零点存在性定理判断即可;(2)利用函数的单调性和零点存在性定理即可求出n.(1)C(2)3[解析] (1)f(-1)=-1<0,f(0)=-1<0,f(1)=e-3<0,f(2)=e2-4>0,故选C.(2)f(x)=lg x+x-5是定义在(0,+∞)上的增函数,根据零点存在性定理,可得因为f(1)=-5<0,f(2)=lg 2+-5<0,f(3)=lg 3+-5<0,f(4)=lg 4+5-5=lg 4>0,所以函数f(x)在(3,4)上存在零点,故n=3.变式题B[解析] f(x)=ln(x+1)-在(0,+∞)上单调递增,且f(1)=ln 2-2<0,f(2)=ln3->0,则f(1)·f(2)<0,所以函数f(x)=ln(x+1)-的零点所在的区间为(1,2).例2[思路点拨] (1)由已知可得函数是奇函数,周期为3,且f-=f(-1)=f(0)=f(1)=f=0,即可得函数f(x)在区间[0,6]上的零点个数;(2)函数f(x)=sin-log3πx的零点个数即为y=log3πx与y=cos 2x(x>0)图像的交点个数,利用数形结合可得结果.(1)D(2)6[解析] (1)∵f(x)是定义在R上的奇函数,且满足f-=f,∴f-+x+=f+x+,可得f(x+3)=f(x),则函数f(x)的周期为3.当x∈时,f(x)=ln(x2-x+1),令f(x)=0,则x2-x+1=1,解得x=0(舍去)或1,又∵函数f(x)是定义域为R的奇函数,∴在区间-上,有f(-1)=-f(1)=0,f(0)=0.由f-=f,取x=0,得f-=f,又f=-f-,∴f=f-=0,∴f-=f(-1)=f(0)=f(1)=f=0.又∵函数f(x)是周期为3的周期函数,∴函数f(x)在区间[0,6]上的零点有0,1,,2,3,4,,5,6,共9个.(2)函数f(x)=sin-log3πx=cos 2x-log3πx的零点个数就是y=log3πx与y=cos 2x(x>0)图像的交点个数.在同一坐标系内作出y=log3πx与y=cos 2x(x>0)的图像,如图,由图可知,y=log3πx与y=cos 2x(x>0)的图像有6个交点,所以函数f(x)=sin-log3πx的零点个数为6.变式题(1)B(2)3[解析] (1)∵y=单调递增,y=-2e-x单调递增,∴f(x)=-2e-x单调递增.∵f(0)=-2<0,f(8)=2->0,∴由零点存在性定理可得,f(x)=-2e-x的零点个数为1,故选B.(2)函数g(x)=[f(x)]2-3f(x)+2的零点个数即为方程[f(x)]2-3f(x)+2=0的解的个数,解方程得f(x)=1或f(x)=2.由f(x)=1得ln x=1(x>0)或e x=1(x≤0),解得x=e或x=0;同理,由f(x)=2得ln x=2(x>0)或e x=2(x≤0),解得x=e2.所以函数g(x)共有3个零点.例3[思路点拨] (1)首先确定函数f(x)和g(x)的单调性,然后结合函数的性质计算即可;(2)先转化为函数y=f(x)的图像与y=m(x-1)的图像有且仅有两个交点,数形结合即可得答案.(1)B(2)D[解析] (1)易知f(x)是增函数,g(x)在(0,+∞)上也是增函数.由于f(0)=-1<0,f(1)=e-1>0,所以0<a<1.又g(1)=-2<0,g(2)=ln 2+1>0,所以1<b<2,所以f(b)>f(1)>0,g(a)<g(1)<0,据此可知g(a)<0<f(b).(2)若函数g(x)=f(x)-m(x-1)有两个零点,则函数y=f(x)的图像与y=m(x-1)的图像有且仅有两个交点.在同一坐标系内画出函数y=f(x)的图像与y=m(x-1)的图像,如图所示.由图像可得,当m>0时,满足条件;当m=-1时,直线y=m(x-1)与y=2-e x(x≤1)的图像相切,可得当-1<m<0时,满足条件.故m∈(-1,0)∪(0,+∞).变式题(1)C(2)D[解析] (1)f(x)=cos x+2|cos x|-m,x∈[0,2π]的零点个数就是y=cos x+2|cosx|=∈-∈的图像与y=m的图像的交点个数.作出y=cos x+2|cos x|,x∈[0,2π]的图像,如图,由图像可知,当m=0或1<m≤3时,函数y=cos x+2|cos x|,x∈[0,2π]的图像与y=m的图像有两个交点,即函数f(x)=cos x+2|cos x|-m,x∈[0,2π]恰有两个零点,故m的取值范围为{0}∪(1,3],故选C.(2)因为f(0)≠0,所以x1≠0.当x≠0时,由x-2-x=0,得2x=,则x1就是曲线y=与曲线y=2x交点的横坐标.由x log2x-1=0,得log2x=,则x2就是曲线y=(x>0)与曲线y=log2x交点的横坐标.因为曲线y=关于直线y=x对称,且曲线y=2x与曲线y=log2x关于直线y=x对称,所以点与点关于直线y=x对称,所以--=-1,可得x1x2=1,故选D.【备选理由】例1考查将函数的零点问题转化为两函数图像的交点问题,通过分析交点横坐标得零点所在区间;例2结合函数的奇偶性、周期性,考查函数的零点个数,需要数形结合处理,综合性强;例3为有关方程的解的问题,考查换元法、数形结合思想等.例1[配合例1使用] [2018·运城二模]已知x0是函数f(x)=2sin x-πln x(x∈(0,π))的零点,则()A.x0∈(0,1)B.x0∈(1,e)C.x0∈(e,3)D.x0∈(e,π)[解析] B设h(x)=2sin x(x∈(0,π)),g(x)=πln x(x∈(0,π)),则g(1)=0,g(e)=π>2,作出函数h(x)与g(x)的图像(图略)可知,交点在区间(1,e)内,即x0∈(1,e).例2[配合例2使用][2018·茂名模拟]已知定义在R上的函数y=f(x+2)的图像关于直线x=-2对称,且函数f(x+1)是偶函数.若当x∈[0,1]时,f(x)=sin x,则函数g(x)=f(x)-e-|x|在区间[-2018,2018]上的零点个数为()A.2017B.2018C.4034D.4036[解析] D函数g(x)=f(x)-e-|x|在区间[-2018,2018]上的零点个数,就是y=f(x)的图像与y=e-|x|的图像在区间[-2018,2018]上的交点个数.∵函数y=f(x+2)的图像关于直线x=-2对称,∴函数y=f(x)的图像的对称轴为直线x=0,故y=f(x)是偶函数,即f(-x)=f(x).又函数f(x+1)是偶函数,∴f(x+1)=f(-x+1),故f(x+2)=f(-x)=f(x),∴函数f(x)是周期为2的偶函数.又当x∈[0,1]时,f(x)=sin x,画出y=f(x)与y=的部分图像如图所示,由图像可知,在每个周期内两函数的图像有2个交点,∴函数g(x)=f(x)-e-|x|在区间[-2018,2018]上的零点个数为2018×2=4036.故选D.例3[配合例3使用] 函数y=g(x)(x∈R)的图像如图所示,若关于x的方程[g(x)]2+m·g(x)+2m+3=0有三个不同的实数解,则m的取值范围是. [答案] --[解析] 设g(x)=t,∵关于x的方程[g(x)]2+m·g(x)+2m+3=0有三个不同的实数解,∴关于t的方程t2+mt+2m+3=0有两个实数根,且一个在(0,1)上,一个在[1,+∞)上.设h(t)=t2+mt+2m+3,①当有一个根为1时,h(1)=1+m+2m+3=0,解得m=-,此时另一个根为,符合题意;②当没有根为1时,则解得-<m<-.综上可得,m的取值范围是--.。
§2.1函数的概念及其表示考试要求 1.了解函数的含义.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.3.了解简单的分段函数，并会简单的应用．知识梳理1．函数的概念给定两个非空实数集A与B，以及对应关系f，如果对于集合A中每一个实数x，在集合B中都有唯一确定的实数y与x对应，则称f为定义在集合A上的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A. 2．函数的三要素(1)函数的三要素：定义域、对应关系、值域．(2)如果两个函数表达式表示的函数定义域相同，对应关系也相同，则称这两个函数表达式表示的就是同一个函数．3．函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．4．分段函数如果一个函数，在其定义域内，对于自变量的不同取值区间，有不同的对应方式，则称其为分段函数．常用结论1．直线x＝a与函数y＝f(x)的图象至多有1个交点．2．在函数的定义中，非空数集A，B，A即为函数的定义域，值域为B的子集．3．分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若两个函数的定义域和值域相同，则这两个函数是同一个函数．(×)(2)函数y ＝f (x )的图象可以是一条封闭曲线．(×)(3)y ＝x 0与y ＝1是同一个函数．(×)(4)函数f (x )－1，x ≥0，2，x <0的定义域为R .(√)教材改编题1．(多选)下列所给图象是函数图象的是()答案CD 解析A 中，当x >0时，每一个x 的值对应两个不同的y 值，因此不是函数图象；B 中，当x ＝x 0时，y 的值有两个，因此不是函数图象；CD 中，每一个x 的值对应唯一的y 值，因此是函数图象．2．下列各组函数表示同一个函数的是()A ．y ＝x －1与y ＝x 2－1x ＋1B ．y ＝x －1与y ＝－1xC ．y ＝2x 2与y ＝2xD ．y ＝2x －1与v ＝2t －1答案D 解析y ＝x －1的定义域为R ，y ＝x 2－1x ＋1的定义域为{x |x ≠－1}，定义域不同，不是同一个函数，故选项A 不正确；y ＝x －1＝1x 与y ＝－1x的对应关系不同，不是同一个函数，故选项B 不正确；y ＝2x 2＝2|x |与y ＝2x 的对应关系不同，不是同一个函数，故选项C 不正确；y ＝2x －1与v ＝2t －1的定义域都是(－∞，1)∪(1，＋∞)，对应关系也相同，所以是同一个函数，故选项D 正确．3．已知函数f (x )x ，x >0，x ，x ≤0，则函数f ()A ．3B ．－3 C.13D ．－13答案C解析由题意可知，f ln 13＝－ln 3，所以f f (－ln 3)＝e －ln 3＝13.题型一函数的定义域例1(1)函数y ＝ln (x ＋1)－x 2－3x ＋4的定义域为()A ．(－4，－1)B ．(－4,1)C ．(－1,1)D ．(－1,1]答案C解析＋1>0，x 2－3x ＋4>0，解得－1<x <1，故定义域为(－1,1)．(2)已知函数f (x )的定义域为(－4，－2)，则函数g (x )＝f (x －1)＋x ＋2的定义域为________．答案[－2，－1)解析∵f (x )的定义域为(－4，－2)，要使g (x )＝f (x －1)＋x ＋2有意义，4<x －1<－2，＋2≥0，解得－2≤x <－1，∴函数g (x )的定义域为[－2，－1)．思维升华(1)无论抽象函数的形式如何，已知定义域还是求定义域，均是指其中的x 的取值集合；(2)若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，则复合函数f (g (x ))的定义域由不等式a ≤g (x )≤b 求出；(3)若复合函数f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则函数f (x )的定义域为g (x )在[a ，b ]上的值域．跟踪训练1(1)函数f (x )＝1ln (x －1)＋3－x 的定义域为()A ．(1,3]B ．(1,2)∪(2,3]C ．(1,3)∪(3，＋∞)D ．(－∞，3)答案B解析－1>0，－1≠1，－x ≥0，所以1<x <2或2<x ≤3，所以函数的定义域为(1,2)∪(2,3]．(2)(2023·南阳检测)已知函数f (x )＝lg 1－x 1＋x ，则函数g (x )＝f (x －1)＋2x －1的定义域是()A ．{x |x >2或x <0}|12≤x <2C ．{x |x >2}|x ≥12答案B 解析要使f (x )＝lg 1－x 1＋x 有意义，则1－x 1＋x>0，即(1－x )(1＋x )>0，解得－1<x <1，所以函数f (x )的定义域为(－1,1)．要使g (x )＝f (x －1)＋2x －1有意义，1<x －1<1，x －1≥0，解得12≤x <2，所以函数g (x )|12≤x <2题型二函数的解析式例2(1)已知f (1－sin x )＝cos 2x ，求f (x )的解析式；(2)已知f x 2＋1x2，求f (x )的解析式；(3)已知f (x )是一次函数且3f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋17，求f (x )的解析式．(4)已知f (x )满足2f (x )＋f (－x )＝3x ，求f (x )的解析式．解(1)(换元法)设1－sin x ＝t ，t ∈[0,2]，则sin x ＝1－t ，∵f (1－sin x )＝cos 2x ＝1－sin 2x ，∴f (t )＝1－(1－t )2＝2t －t 2，t ∈[0,2]．即f (x )＝2x －x 2，x ∈[0,2]．(2)(配凑法)∵f x 2＋1x2＝－2，∴f (x )＝x 2－2，x ∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)．(3)(待定系数法)∵f (x )是一次函数，可设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，∴3[a (x ＋1)＋b ]－2[a (x －1)＋b ]＝2x ＋17.即ax ＋(5a ＋b )＝2x ＋17，＝2，a ＋b ＝17，＝2，＝7.∴f(x)的解析式是f(x)＝2x＋7.(4)(解方程组法)∵2f(x)＋f(－x)＝3x，①∴将x用－x替换，得2f(－x)＋f(x)＝－3x，②由①②解得f(x)＝3x.思维升华函数解析式的求法(1)配凑法；(2)待定系数法；(3)换元法；(4)解方程组法．跟踪训练2(1)已知f(x－1)＝x2＋4x－5，则f(x)的解析式是() A．f(x)＝x2＋6x B．f(x)＝x2＋8x＋7C．f(x)＝x2＋2x－3D．f(x)＝x2＋6x－10答案A解析f(x－1)＝x2＋4x－5，设x－1＝t，x＝t＋1，则f(t)＝(t＋1)2＋4(t＋1)－5＝t2＋6t，故f(x)＝x2＋6x.(2)若f ＝x1－x，则f(x)＝________.答案1x－1(x≠0且x≠1)解析f(x)＝1x1－1x＝1x－1(x≠0且x≠1)．(3)已知函数f(x)满足f(x)＋2f3x，则f(2)等于()A．－3B．3C．－1D．1答案A解析f(x)＋2f3x，①则f2f(x)＝－3x，②联立①②解得f(x)＝－2x－x，则f(2)＝－22－2＝－3.题型三分段函数例3(1)已知函数f(x)x－1)，x>0，ln(x＋e)＋2，x≤0，则f(2024)的值为() A．－1B．0C．1D．2答案C解析因为f (x )x －1)，x >0，ln (x ＋e )＋2，x ≤0，所以f (2024)＝f (2023)＝f (2022)＝…＝f (1)，又f (1)＝f (1－1)＝f (0)＝－ln(0＋e)＋2＝－1＋2＝1，所以f (2024)＝1.(2)已知函数f (x )x 2－3x ＋2，x <－1，x －3，x ≥－1，若f (a )＝4，则实数a 的值是________；若f (a )≥2，则实数a 的取值范围是________．答案－2或5[－3，－1)∪[4，＋∞)解析若f (a )＝4，<－1，a 2－3a ＋2＝4≥－1，a －3＝4，解得a ＝－2或a ＝5.若f (a )≥2，<－1，a 2－3a ＋2≥2≥－1，a －3≥2，解得－3≤a <－1或a ≥4，∴a 的取值范围是[－3，－1)∪[4，＋∞)．思维升华分段函数求值问题的解题思路(1)求函数值：当出现f (f (a ))的形式时，应从内到外依次求值．(2)求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验．跟踪训练3(1)已知函数f (x )＋2，x ≤0，＋1x ，x >0，若f (f (a ))＝2，则a 等于()A ．0或1B ．－1或1C ．0或－2D ．－2或－1答案D 解析令f (a )＝t ，则f (t )＝2，可得t ＝0或t ＝1，当t ＝0时，即f (a )＝0，显然a ≤0，因此a ＋2＝0⇒a ＝－2，当t ＝1时，即f (a )＝1，显然a ≤0，因此a ＋2＝1⇒a ＝－1，综上所述，a ＝－2或－1.(2)(2023·重庆质检)已知函数f (x )2x ，x >1，2－1，x ≤1，则f (x )<f (x ＋1)的解集为________．答案－12，＋∞解析当x ≤0时，x ＋1≤1，f (x )<f (x ＋1)等价于x 2－1<(x ＋1)2－1，解得－12<x ≤0；当0<x ≤1时，x ＋1>1，此时f (x )＝x 2－1≤0，f (x ＋1)＝log 2(x ＋1)>0，∴当0<x ≤1时，恒有f (x )<f (x ＋1)；当x >1时，x ＋1>2，f (x )<f (x ＋1)等价于log 2x <log 2(x ＋1)，此时也恒成立．综上，不等式f (x )<f (x ＋1)－12，＋课时精练1．函数f (x )＝lg(x －2)＋1x －3的定义域是()A ．(2，＋∞)B ．(2,3)C ．(3，＋∞)D ．(2,3)∪(3，＋∞)答案D 解析∵f (x )＝lg(x －2)＋1x －3，－2>0，－3≠0，解得x >2，且x ≠3，∴函数f (x )的定义域为(2,3)∪(3，＋∞)．2．(2023·北京模拟)已知集合A ＝{x |－2<x ≤1}，B ＝{x |0<x ≤4}，则下列对应关系中是从集合A 到集合B 的函数是()A ．y ＝x ＋1B ．y ＝e xC ．y ＝x 2D ．y ＝|x |答案B 解析对于A ，当x ＝－1时，由y ＝x ＋1得y ＝0，但0∉B ，故A 错误；对于B ，因为从A ＝{x |－2<x ≤1}中任取一个元素，通过y ＝e x 在B ＝{x |0<x ≤4}中都有唯一的元素与之对应，故B 正确；对于C ，当x ＝0时，由y ＝x 2得y ＝0，但0∉B ，故C 错误；对于D ，当x ＝0时，由y ＝|x |得y ＝0，但0∉B ，故D 错误．3．已知f (x 3)＝lg x ，则f (10)的值为()A ．1 B.310 C.13 D.1310答案C 解析令x 3＝10，则x ＝1310，∴f (10)＝lg 1310＝13.4.图中的文物叫做“垂鳞纹圆壶”，是甘肃礼县出土的先秦时期的青铜器皿，其身流线自若、纹理分明，展现了古代中国精湛的制造技术．科研人员为了测量其容积，以恒定的流速向其内注水，恰好用时30秒注满，设注水过程中，壶中水面高度为h ，注水时间为t ，则下面选项中最符合h 关于t 的函数图象的是()答案A 解析水壶的结构：底端与上端细、中间粗，所以在注水恒定的情况下，开始水的高度增加的快，中间增加的慢，最后又变快，由图可知选项A 符合．5．函数y ＝1＋x －1－2x 的值域为()－∞，32D.32，＋∞答案B解析设1－2x ＝t ，则t ≥0，x ＝1－t 22所以y ＝1＋1－t 22－t ＝12(－t 2－2t ＋3)＝－12(t ＋1)2＋2，因为t ≥0，所以y ≤32.所以函数y ＝1＋x －1－2x ∞，32.6．已知函数f (x )x 2＋2x ＋3，x ≤2，＋log a x ，x >2(a >0且a ≠1)，若函数f (x )的值域是(－∞，4]，则实数a 的取值范围是()B.22，C ．(1，2]D ．(1，2)答案B 解析当x ≤2时，f (x )＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4，当x ＝1时，f (x )＝－x 2＋2x ＋3取得最大值4，所以当x ≤2时，函数f (x )的值域是(－∞，4]，所以当x >2时，函数f (x )＝6＋log a x 的值域为(－∞，4]的子集，当a >1时，f (x )＝6＋log a x 在(2，＋∞)上单调递增，此时f (x )>f (2)＝6＋log a 2>6，不符合题意，当0<a <1时，f (x )＝6＋log a x 在(2，＋∞)上单调递减，此时f (x )<f (2)＝6＋log a 2≤4，即log a 2≤－2，所以a 2≥12，可得22≤a <1，所以实数a 的取值范围是22，7．(多选)下列四个函数，定义域和值域相同的是()A ．y ＝－x ＋1B ．133,0,1,0x x y x x⎧≤⎪=⎨⎪>⎩C ．y ＝ln|x |D ．y ＝2x －1x －2答案ABD 解析对A ，函数的定义域和值域都是R ；对B ，根据分段函数和幂函数的性质，可知函数的定义域和值域都是R ；对C ，函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，值域为R ；对D ，因为函数y ＝2x －1x －2＝2＋3x －2，所以函数的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)，值域为(－∞，2)∪(2，＋∞)．所以ABD 是定义域和值域相同的函数．8．(多选)函数概念最早是在17世纪由德国数学家莱布尼茨提出的，后又经历了贝努利、欧拉等人的改译.1821年法国数学家柯西给出了这样的定义：在某些变数存在着一定的关系，当一经给定其中某一变数的值，其他变数的值可随着确定时，则称最初的变数叫自变量，其他的变数叫做函数．德国数学家康托尔创立的集合论使得函数的概念更严谨．后人在此基础上构建了高中教材中的函数定义：“一般地，设A ，B 是两个非空的数集，如果按某种对应法则f ，对于集合A 中的每一个元素x ，在集合B 中都有唯一的元素y 和它对应，那么这样的对应叫做从A 到B 的一个函数”，则下列对应法则f 满足函数定义的有()A ．f (x 2)＝|x |B ．f (x 2)＝xC ．f (cos x )＝xD ．f (e x )＝x 答案AD 解析令t ＝x 2(t ≥0)，f (t )＝|±t |＝t ，故A 符合函数定义；令t ＝x 2(t ≥0)，f (t )＝±t ，设t ＝4，f (t )＝±2，一个自变量对应两个函数值，故B 不符合函数定义；设t ＝cos x ，当t ＝12时，x 可以取±π3等无数多个值，故C 不符合函数定义；令t ＝e x (t >0)，f (t )＝ln t ，故D 符合函数定义．9．已知函数f (x )x ，x <0，x －π)，x >0，则f ________.答案12解析由已知得f f f f f ＝12.10．已知f (x )＝x －1，则f (x )＝________.答案x 2－1(x ≥0)解析令t ＝x ，则t ≥0，x ＝t 2，所以f (t )＝t 2－1(t ≥0)，即f (x )＝x 2－1(x ≥0)．11．已知函数f (x )的定义域为[－2,2]，则函数g (x )＝f (2x )＋1－2x 的定义域为__________．答案[－1,0]解析2≤2x ≤2，－2x ≥0，解得－1≤x ≤0，所以函数g (x )的定义域是[－1,0]．12．已知f (x )x ＋3，x >0，2－4，x ≤0，若f (a )＝5，则实数a 的值是__________；若f (f (a ))≤5，则实数a 的取值范围是__________．答案1或－3[－5，－1]解析①当a >0时，2a ＋3＝5，解得a ＝1；当a ≤0时，a 2－4＝5，解得a ＝－3或a ＝3(舍)．综上，a ＝1或－3.②设t ＝f (a )，由f (t )≤5得－3≤t ≤1.由－3≤f (a )≤1，解得－5≤a ≤－1.13．(2022·广州模拟)已知定义在R 上的函数f (x )满足，f (1－x )＋2f (x )＝x 2＋1，则f (1)等于()A ．－1B ．1C ．－13 D.13答案B解析∵定义在R 上的函数f (x )满足，f (1－x )＋2f (x )＝x 2＋1，∴当x ＝0时，f (1)＋2f (0)＝1，①当x ＝1时，f (0)＋2f (1)＝2，②②×2－①，得3f (1)＝3，解得f (1)＝1.14．(2023·南昌模拟)已知函数f (x )3，x ≤0，x >0，若f (a －3)＝f (a ＋2)，则f (a )等于()A ．2 B.2C ．1D ．0答案B解析作出函数f (x )的图象，如图所示．因为f (a －3)＝f (a ＋2)，且a －3<a ＋2，－3≤0，＋2>0，即－2<a ≤3，此时f (a －3)＝a －3＋3＝a ，f (a ＋2)＝a ＋2，所以a ＝a ＋2，即a 2＝a ＋2，解得a ＝2或a ＝－1(不满足a ＝a ＋2，舍去)，则f (a )＝ 2.15．∀x∈R，用M(x)表示f(x)，g(x)中最大者，M(x)＝{|x|－1,1－x2}，若M(n)<1，则实数n 的取值范围是()A．(－2,2)B．(－2,0)∪(0,2)C．[－2,2]D．(－2，2)答案B解析当x≥0时，若x－1≥1－x2，则x≥1，当x<0时，若－x－1≥1－x2，则x≤－1，所以M(x)||－1，x≥1或x≤－1，1－x2，－1<x<1，若M(n)<1，则当－1<n<1时，1－n2<1⇒－n2<0⇒n≠0，即－1<n<0或0<n<1，当n≥1或n≤－1时，|n|－1<1，解得－2<n≤－1或1≤n<2，综上，－2<n<0或0<n<2.16．(多选)德国数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名字命名的函数F(x)＝1，x为有理数，0，x为无理数被称为狄利克雷函数．关于狄利克雷函数，下列说法正确的是() A．F(F(x))＝0B．对任意x∈R，恒有F(x)＝F(－x)成立C．任取一个不为0的实数T，F(x＋T)＝F(x)对任意实数x均成立D．存在三个点A(x1，F(x1))，B(x2，F(x2))，C(x3，F(x3))，使得△ABC为等边三角形答案BD解析∵当x为有理数时，F(x)＝1，当x为无理数时，F(x)＝0，当x为有理数时，F(F(x))＝F(1)＝1，当x为无理数时，F(F(x))＝F(0)＝1，所以F(F(x))＝1恒成立，故A错误；因为有理数的相反数是有理数，无理数的相反数是无理数，所以对任意x∈R，恒有F(x)＝F(－x)成立，故B正确；若x是有理数，T是有理数，则x＋T是有理数；若x是有理数，T是无理数，则x＋T是无理数；若x是无理数，则x＋T是无理数或有理数，所以任取一个不为0的实数T，F(x＋T)＝F(x)不恒成立，故C错误；取x1＝－33，x2＝0，x3＝33，可得F(x1)＝0，F(x2)＝1，F(x3)＝0，所以A－33，0，B(0,1)，C33，0△ABC为等边三角形，故D正确．。
[第52讲 曲线与方程](时间：45分钟 分值：100分)基础热身1．与两圆x 2＋y 2＝1及x 2＋y 2－8x ＋12＝0都外切的圆的圆心在( ) A ．一个椭圆上 B ．双曲线的一支上 C ．一条抛物线上 D ．一个圆上2．[2013·北京朝阳区一模] 已知中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的离心率e ＝62，其焦点到渐近线的距离为1，则此双曲线的方程为( )A.x 22－y 2＝1 B.x 22－y 23＝1 C.x 24－y 2＝1 D ．x 2－y 2＝1 3．已知点O (0，0)，A (1，－2)，动点P 满足|PA |＝3|PO |，则P 点的轨迹方程是( )A ．8x 2＋8y 2＋2x －4y －5＝0B ．8x 2＋8y 2－2x －4y －5＝0C ．8x 2＋8y 2＋2x ＋4y －5＝0D ．8x 2＋8y 2－2x ＋4y －5＝04．[2013·皖北协作区联考] 正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点M 在棱AB 上，AM ＝13，点P 是平面ABCD 内的动点，且点P 到直线A 1D 1的距离与点P 到M 的距离的平方差为89，则P 点的轨迹是________．能力提升5．已知两定点F 1(－1，0)，F 2(1，0)且|F 1F 2|是|PF 1|与|PF 2|的等差中项，则动点P 的轨迹方程是( )A.x 216＋y 29＝1 B.x 216＋y 212＝1 C.x 24＋y 23＝1 D.x 23＋y 24＝1 6．[2013·德州模拟] 已知两点M (－2，0)，N (2，0)，点P 为坐标平面内的动点，满足|MN →|·|MP →|＋MN →·NP →＝0，则动点P (x ，y )的轨迹方程是( )A ．y 2＝8xB ．y 2＝－8xC ．y 2＝4xD ．y 2＝－4x7．已知两定点A (1，1)，B (－1，－1)，动点P (x ，y )满足PA →·PB →＝x22，则点P 的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．拋物线8．[2013·南平适应性测试] 已知点M (－3，0)，N (3，0)，B (1，0)，圆C 与直线MN 切于点B ，过M ，N 与圆C 相切的两直线相交于点P ，则P 点的轨迹方程为( )A ．x 2－y 28＝1(x <－1)B ．x 2－y 28＝1(x >1)C ．x 2＋y 28＝1(x >0)D ．x 2－y 210＝1(x >1)9．已知A (0，7)，B (0，－7)，C (12，2)，以C 为一个焦点作过A ，B 的椭圆，椭圆的另一个焦点F 的轨迹方程是( )A ．y 2－x 248＝1(y ≤－1)B ．y 2－x 248＝1C ．y 2－x 248＝－1D ．x 2－y 248＝110．已知直线l ：2x ＋4y ＋3＝0，P 为l 上的动点，O 为坐标原点．若2OQ →＝QP →，则点Q 的轨迹方程是________．11．F 1，F 2为椭圆x 24＋y 23＝1的左，右焦点，A 为椭圆上任一点，过焦点F 1向∠F 1AF 2的外角平分线作垂线，垂足为D ，则点D 的轨迹方程是________．12．设过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，且AB 中点为M ，则点M 的轨迹方程是________．13．[2013·北京卷] 曲线C 是平面内与两个定点F 1(－1，0)和F 2(1，0)的距离的积等于常数a 2(a ＞1)的点的轨迹，给出下列三个结论：①曲线C 过坐标原点；②曲线C 关于坐标原点对称；③若点P 在曲线C 上，则△F 1PF 2的面积不大于12a 2.其中，所有正确结论的序号是________．14．(10分)[2013·安徽卷] 如图K52－1，设λ>0，点A 的坐标为(1，1)，点B 在抛物线y ＝x 2上运动，点Q 满足BQ →＝λQA →，经过点Q 与x 轴垂直的直线交抛物线于点M ，点P满足QM →＝λMP →，求点P 的轨迹方程．图K52－115．(13分)[2013·茂名二模] 如图K52－2，已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左，右焦点分别是F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，离心率为12，椭圆上的动点P 到直线l ：x ＝a 2c的最小距离为2，延长F 2P 至Q 使得|F 2Q →|＝2a ，线段F 1Q 上存在异于F 1的点T 满足PT →·TF 1→＝0.(1)求椭圆的方程；(2)求点T 的轨迹C 的方程；(3)求证：过直线l ：x ＝a 2c上任意一点必可以作两条直线与T 的轨迹C 相切，并且过两切点的直线经过定点．图K52－2难点突破16．(12分)已知圆C 1的圆心在坐标原点O ，且恰好与直线l 1：x －y －22＝0相切． (1)求圆的标准方程；(2)设点A 为圆上一动点，AN ⊥x 轴于N ，若动点Q 满足OQ →＝mOA →＋(1－m )ON →(其中m 为非零常数)，试求动点Q 的轨迹方程C 2；(3)在(2)的结论下，当m ＝32时，得到曲线C ，与l 1垂直的直线l 与曲线C 交于B ，D两点，求△OBD 面积的最大值．课时作业(五十二)【基础热身】1．B [解析] 圆x 2＋y 2－8x ＋12＝0的圆心为(4，0)，半径为2，动圆的圆心到(4，0)减去到(0，0)的距离等于1，由此可知，动圆的圆心在双曲线的一支上．2．A [解析] 设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，双曲线的焦距为2c ，双曲线的渐近线方程为bx ±ay ＝0.根据已知c a ＝62，|bc |a 2＋b2＝1，解得b ＝1，a ＝2，c ＝3，故所求的双曲线方程是x 22－y 2＝1.3．A [解析] 设P 点的坐标为(x ，y )，则（x －1）2＋（y ＋2）2＝3x 2＋y 2，整理，得8x 2＋8y 2＋2x －4y －5＝0.4．抛物线 [解析] 如图．以点设P (x ，y )，则P 到A 1D 1的距离为1＋x 2，P 到点M 的距离为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －132＋y 2，根据已知得1＋x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －132－y 2＝89，化简即得y 2＝23x ，故点P 的轨迹为抛物线．【能力提升】5．C [解析] 由|F 1F 2|是|PF 1|与|PF 2|的等差中项知|PF 1|＋|PF 2|＝4，故动点P 的轨迹是以定点F 1(－1，0)，F 2(1，0)为焦点，长轴长为4的椭圆，故其方程为x 24＋y 23＝1.6．B [解析] 根据|MN →|·|MP →|＋MN →·NP →＝0得4（x ＋2）2＋y 2＋4(x －2)＝0，即(x ＋2)2＋y 2＝(x －2)2，即y 2＝－8x .7．B [解析] 点P (x ，y )，则PA →＝(1－x ，1－y )，PB →＝(－1－x ，－1－y )．所以PA →·PB →＝(1－x )(－1－x )＋(1－y )(－1－y )＝x 2＋y 2－2. 由已知x 2＋y 2－2＝x 22，即x 24＋y 22＝1，所以点P 的轨迹为椭圆，故选B.8．B [解析] 如图，由切线长定理知|AM |＝|MB |，|PD |＝|PA |，|DN |＝|NB |，所以|PM |－|PN |＝|PA |＋|AM |－|PD |－|DN |＝|MB |－|NB |＝2，由双曲线的定义知点P 的轨迹是以M ，N 为焦点，实轴长为2的双曲线的右支(除去点B )．9．A [解析] 由题意|AC |＝|AF |＋|AC |＝|BF |＋|BC |， 所以|AF |－|BF |＝|BC |－|AC |＝2.故F 点的轨迹是以A ，B 为焦点，实轴长为2的双曲线下支．又c ＝7，a ＝1，b 2＝48， 所以轨迹方程为y 2－x 248＝1(y ≤－1)．10．2x ＋4y ＋1＝0 [解析] 设点Q 的坐标为(x ，y )，点P 的坐标为(x 1，y 1)．根据2OQ →＝QP →得2(x ，y )＝(x 1－x ，y 1－y )，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝3x ，y 1＝3y .∵点P 在直线l 上，∴2x 1＋4y 1＋3＝0，把x 1＝3x ，y 1＝3y 代入上式并化简，得2x ＋4y ＋1＝0，为所求轨迹方程．11．x 2＋y 2＝4 [解析] 延长F 1D 与F 2A 交于B ，连接DO ，可知|DO |＝12|F 2B |＝2，∴动点D 的轨迹方程为x 2＋y 2＝4.12．y 2＝2(x －1) [解析] F (1，0)，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x ，y )，则x 1＋x 2＝2x ，y 1＋y 2＝2y ，y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，后两式相减并将前两式代入得(y 1－y 2)y ＝2(x 1－x 2)，当x 1≠x 2时，y 1－y 2x 1－x 2×y ＝2，又A ，B ，M ，F 四点共线，y 1－y 2x 1－x 2＝y x －1，代入得y 2＝2(x －1)，当x 1＝x 2时，M (1，0)，也适合这个方程，即y 2＝2(x －1)是所求的轨迹方程．13．②③ [解析] ①曲线C 经过原点，这点不难验证是错误的，如果经过原点，那么a ＝1，与条件不符；②曲线C 关于原点对称，这点显然正确，如果在某点处|PF 1||PF 2|＝a 2，关于原点的对称点处也一定符合|PF 1||PF 2|＝a 2；③三角形的面积S △F 1F 2P 2≤a 22，很显然S△F 1F 2P ＝12|PF 1||PF 2|sin ∠F 1PF 2≤12|PF 1||PF 2|＝a22.所以②③正确．14．解：由QM →＝λMP →知Q ，M ，P 三点在同一条垂直于x 轴的直线上，故可设P (x ，y )，Q (x ，y 0)，M (x ，x 2)，则x 2－y 0＝λ(y －x 2)，则y 0＝(1＋λ)x 2－λy .①再设B (x 1，y 1)，由BQ →＝λQA →，即(x －x 1.y 0－y 1)＝λ(1－x ，1－y 0)，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝（1＋λ）x －λ，y 1＝（1＋λ）y 0－λ.② 将①式代入②式，消去y 0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝（1＋λ）x －λ，y 1＝（1＋λ）2x 2－λ（1＋λ）y －λ.③ 又点B 在抛物线y ＝x 2上，所以y 1＝x 21，再将③式代入y 1＝x 21，得(1＋λ)2x 2－λ(1＋λ)y －λ＝((1＋λ)x －λ)2，(1＋λ)2x 2－λ(1＋λ)y －λ＝(1＋λ)2x 2－2λ(1＋λ)x ＋λ2， 2λ(1＋λ)x －λ(1＋λ)y －λ(1＋λ)＝0.因λ>0，两边同除以λ(1＋λ)，得2x －y －1＝0. 故所求点P 的轨迹方程为y ＝2x －1.15．解：(1)依题意得⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝12，a2c－a ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝1，a ＝2，∴b 2＝a 2－c 2＝3，所求椭圆方程为x 24＋y 23＝1.(2)方法一：设点T 的坐标为(x ，y )．当P ，T 重合时，点T 坐标为(2，0)和点(－2，0)，当P ，T 不重合时，由PT →·TF 1→＝0，得PT →⊥TF 1→.由|F 2Q →|＝2a ＝4及椭圆的定义，|PQ →|＝|QF 2→|－|PF 2→|＝2a －|PF 2→|＝|PF 1→|， 所以PT 为线段F 1Q 的垂直平分线，T 为线段F 1Q 的中点．在△QF 1F 2中，|OT →|＝12|F 2Q →|＝a ＝2，所以有x 2＋y 2＝4.综上所述，点T 的轨迹C 的方程是x 2＋y 2＝4. 方法二：设点T 的坐标为(x ，y )．当P ，T 重合时，点T 坐标为(2，0)和点(－2，0)，当P ，T 不重合时，由PT →·TF 1→＝0，得PT →⊥TF 1→.由|F 2Q →|＝2a ＝4及椭圆的定义，|PQ →|＝|QF 2→|－|PF 2→|＝2a －|PF 2→|＝|PF 1→|， 所以PT 为线段F 1Q 的垂直平分线，T 为线段F 1Q 的中点．设点Q 的坐标为(x ′，y ′)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′－12，y ＝y ′2，因此⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ＋1，y ′＝2y .①由|F 2Q →|＝2a ＝4，得(x ′－1)2＋y ′2＝16，②将①代入②，可得x 2＋y 2＝4.综上所述，点T 的轨迹C 的方程为x 2＋y 2＝4.③(3)直线l ：x ＝a 2c＝4与x 2＋y 2＝4相离，过直线上任意一点M (4，t )可作圆x 2＋y 2＝4的两条切线ME ，MF ， 所以OE ⊥ME ，OF ⊥MF ，所以O ，E ，M ，F 四点都在以OM 为直径的圆上，其方程(x －2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －t 22＝4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫t 22.④ EF 为两圆的公共弦，③－④得EF 的方程为4x ＋ty －4＝0，显然无论t 为何值，直线EF 经过定点(1，0)．【难点突破】16．解：(1)设圆的半径为r ，圆心到直线l 1距离为d ，则d ＝|－22|12＋12＝2，圆C 1的方程为x 2＋y 2＝4.(2)设动点Q (x ，y )，A (x 0，y 0)，AN ⊥x 轴于N ，N (x 0，0)，由题意，(x ，y )＝m (x 0，y 0)＋(1－m )(x 0，0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0，y ＝my 0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ，y 0＝1my ，将A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，1m y 代入x 2＋y 2＝4，得x 24＋y 24m 2＝1.(3)m ＝32时，曲线C 方程为x 24＋y23＝1，设直线l 的方程为y ＝－x ＋b ，设直线l 与椭圆x 24＋y 23＝1交点为B (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋b ，3x 2＋4y 2＝12，得7x 2－8bx ＋4b 2－12＝0，因为Δ＝48(7－b 2)>0，解得b 2<7，且x 1＋x 2＝8b 7，x 1x 2＝4b 2－127.∵点O 到直线l 的距离d ＝|b |2，BD ＝2（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝4677－b 2，∴S △OBD ＝12·|b |2·4677－b 2＝237b 2（7－b 2）≤3当且仅当b 2＝7－b 2即b 2＝72<7时取到最大值，∴△OBD 面积的最大值为 3.。
2.11 函数的应用●知识梳理解函数应用问题的基本步骤： 第一步：阅读理解，审清题意. 读题要做到逐字逐句，读懂题中的文字叙述，理解叙述所反映的实际背景，在此基础上，分析出已知什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题.第二步：引进数学符号，建立数学模型.一般地，设自变量为x ，函数为y ，必要时引入其他相关辅助变量，并用x 、y 和辅助变量表示各相关量，然后根据问题已知条件，运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知识建立关系式，在此基础上将实际问题转化为一个函数问题，实现问题的数学化，即所谓建立数学模型.第三步：利用数学的方法将得到的常规函数问题（即数学模型）予以解答，求得结果. 第四步：将所得结果再转译成具体问题的解答. ●点击双基1.某一种商品降价10%后，欲恢复原价，则应提价A.10%B.9%C.11%D.1191% 解析：设提价x %，则a （1－10%）（1+x %）=a ，∴x =1191. 答案：D现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是 A.v =log 2tB.v =log 21tC.v =212-tD.v =2t －2解析：特值检验，如：当t =4时，v =212-t =7.5.答案：C3.用长度为24的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为A.3B.4C.6D.12解析：设隔墙的长为x （0＜x ＜6），矩形面积为y ，y =x ×2424x-=2x （6－x ），∴当x =3时，y 最大.答案：A4.已知镭经过100年剩留原来质量的95.76%，设质量为1的镭经过x 年后剩量为y ，则x 、y 之间的函数关系式为______________.答案：y =0.9576100x5.建筑一个容积为8000 m 3、深6 m 的长方体蓄水池（无盖），池壁造价为a 元／米2，池底造价为2a 元／米2，把总造价y 元表示为底的一边长x m 的函数，其解析式为___________，定义域为___________.底边长为___________ m 时总造价最低是___________元.解析：设池底一边长x （m ），则其邻边长为x 68000（m ），池壁面积为2·6·x ＋2·6·x68000＝12（x ＋x 68000）（m 2），池底面积为x ·x 68000＝68000（m 2），根据题意可知蓄水池的总造价y （元）与池底一边长x （m ）之间的函数关系式为y ＝12a （x ＋x 68000）＋38000a .定义域为（0，＋∞）. x ＋x 68000≥2xx 68000 ＝34030（当且仅当x =x 68000即x =32030时取“=”）.∴当底边长为32030 m 时造价最低，最低造价为（16030a ＋38000a ）元. 答案：y =12a （x +x 68000）+38000a （0，+∞） 32030 16030a +38000a●典例剖析【例1】 （1）一种产品的年产量原来是a 件，在今后m 年内，计划使年产量平均每年比上一年增加p %，写出年产量随经过年数变化的函数关系式.（2）一种产品的成本原来是a 元，在今后m 年内，计划使成本平均每年比上一年降低p %，写出成本随经过年数变化的函数关系式.解：（1）设年产量经过x 年增加到y 件，则y ＝a （1＋p %）x （x ∈Ｎ*且x ≤m ）. （2）设成本经过x 年降低到y 元，则y ＝a （1－p %）x （x ∈Ｎ*且x ≤m ）. 特别提示增长率问题是一重要的模型.【例2】 “依法纳税是每个公民应尽的义务”.国家征收个人所得税是分段计算的，总收入不超过800元，免征个人所得税，超过800元部分需征税，设全月纳税所得额为x ，x =全月总收入－800元，税率见下表：级 数 全月纳税所得额 税 率 1 不超过500元部分 5% 2 超过500元至2000元部分 10% 3 超过2000元至5000元部分15% … … (9)超过10000元部分45%（1）若应纳税额为f （x ），试用分段函数表示1~3级纳税额f （x ）的计算公式； （2）某人2000年10月份总收入3000元，试计算该人此月份应缴纳个人所得税多少元； （3）某人一月份应缴纳此项税款26.78元，则他当月工资总收入介于 A.800~900元 B.900~1200元 C.1200~1500元 D.1500~2800元 （1）解：依税率表，有第一段：x ·5%，0＜x ≤500， 第二段：（x －500）×10%+500×5%，500＜x ≤2000，第三段：（x －2000）×15%+1500×10%+500×5%，2000＜x ≤5000，即f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧+-+-⨯175)2000(15.025)500(1.005.0x x x).50002000(),2000500(),5000(≤<≤<≤<x x x（2）解：这个人10月份应纳税所得额x =3000－800=2200，f （2200）=0.15×（2200－2000）+175=205，即这个人10月份应缴纳个人所得税205元.（3）解法一：（估算法）由500×5%=25元，100×10%=10元，故某人当月工资应在1300~1400元之间，故选C.解法二：（逆推验证法）设某人当月工资为1200元或1500元，则其应纳税款分别为400×5%=20（元），500×5%+200×10%=45（元）.可排除A 、B 、D ，故选C.答案：C评述：本题也可以根据纳税额计算公式直接计算. 特别提示分段函数在新课标中占有重要地位.【例3】 某地区上年度电价为0.8元/（千瓦·时），年用电量为a 千瓦·时.本年度计划将电价降到0.55元／（千瓦·时）至0.75元／（千瓦·时）之间，而用户期望电价为0.4元／（千瓦·时）.经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比（比例系数为k ）.该地区电力的成本价为0.3元／（千瓦·时）.（1）写出本年度电价下调后，电力部门的收益y 与实际电价x 的函数关系式； （2）设k ＝0.2a ，当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%? 〔注：收益＝实际用电量×（实际电价－成本价）〕解：（1）设下调后的电价为x 元／（千瓦·时），依题意知用电量增至4.0-x k＋a ，电力部门的收益为y ＝（4.0-x k＋a ）（x －0.3）（0.55≤x ≤0.75）.（2）依题意有⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+-⨯≥-+-.75.055.0%),201)](3.08.0([)3.0)(4.02.0(x a x a x a整理得⎩⎨⎧≤≤≥+-.75.055.0,03.01.12x x x解此不等式得0.60≤x ≤0.75.答：当电价最低定为0.60元／（千瓦·时）时，仍可保证电力部门的收益比去年至少增长20%.深化拓展 某商场预计全年分批购入每台价值为2000元的电视机共3600台，每批都购入x 台（x ∈N *），且每批均需付运费400元，贮存购入的电视机全年所付的保管费与每批购入电视机的总价值（不含运费）成正比.若每批购入400台，则全年需用去运输和保管总费用43600元.现全年只有24000元资金可以用于支付这笔费用.试问：能否恰当安排每批进货的数量，使资金够用？写出你的结论，并说明理由.提示：设全年的运输和保管总费用为y 元，则y =x3600×400+k ·（2000x ）.据题设，x =400时，y =43600，解得k =5%. ∴y =x4003600⨯+100x ≥2x x 1004003600⋅⨯=2400（元）.因此只需每批购入120台电视机就可以使预定资金够用.答案：每批购入120台可使资金够用.【例4】 （2003年春季上海）在一次人才招聘会上，有A 、B 两家公司分别开出它们的工资标准：A 公司允诺第一年月工资数为1500元，以后每年月工资比上一年月工资增加230元；B 公司允诺第一年月工资数为2000元，以后每年月工资在上一年的月工资基础上递增5%.设某人年初被A 、B 两家公司同时录取，试问：（1）若该人分别在A 公司或B 公司连续工作n 年，则他在第n 年的月工资收入分别是多少？（2）该人打算连续在一家公司工作10年，仅从工资收入总量较多作为应聘的标准（不计其他因素），该人应该选择哪家公司，为什么？（3）在A 公司工作比在B 公司工作的月工资收入最多可以多多少元（精确到1元）？并说明理由.剖析：第（1）问可通过第2、3年月工资归纳出所求结果.第（2）问应注意的是年工资总量.第（3）问难度较大，是求月工资之差的最大值，转化为c n =1270+230n －2000×1.05n －1，需要转化为c n ＞c n －1，c n ＞c n +1，则c n 最大.解：（1）此人在A 、B 公司第n 年的月工资数分别为a n =1500+230×（n －1）（n ∈N *），b n =2000·（1+5%）n －1（n ∈N *）.（2）若该人在A 公司连续工作10年，则他的工资收入总量为12（a 1+a 2+…+a 10）=304200（元）； 若该人在B 公司连续工作10年，则他的工资收入总量为12（b 1+b 2+…+b 10）≈301869（元）. 因为在A 公司收入的总量高些，因此该人应该选择A 公司.（3）问题等价于求c n =a n －b n =1270+230n －2000×1.05n －1（n ∈N *）的最大值.当n ≥2时，c n －c n －1=230－100×1.05n －2.当c n －c n －1＞0，即230－100×1.05n －2＞0时，1.05n －2＜2.3，得n ＜19.1. 因此，当2≤n ≤19时，c n －1＜c n ；当n ≥20时，c n ≤c n －1. ∴c 19是数列{c n }的最大项，c 19=a 19－b 19≈827（元），即在A 公司工作比在B 公司工作的月工资收入最多可以多827元.●闯关训练 夯实基础1.某学生离家去学校，为了锻炼身体，一开始跑步前进，跑累了再走余下的路程.用纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，则下列四个图形中较符合该学生的走法的是A BC D答案：D2.某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入客运，据市场分析，每辆客车营运的总利润y万元与营运年数x（x∈N）的关系为y=－x2+12x－25，则每辆客车营运______________年可使其营运年平均利润最大.A.2B.4C.5D.6解析：设年平均利润为g（x），则g（x）=xxx25122-+-=12－（x+x25）.∵x+x25≥2xx25⋅=10，∴当x=x25，即x=5时，g（x）max=2.答案：C3.某县计划十年内产值翻两番，则产值平均每年增长的百分率为___________________.（lg2=0.3010，lg11.49=1.0602）解析：设产值平均年增长率为x，则（1+x）10=4.两边同取以10为底的对数得10lg（1+x）=2lg2.∴lg（1+x）=103010.02⨯=0.0602.∴1+x=100.0602.又∵lg11.49=1.0602，∴11.49=101.0602=10·100.0602.∴100.0602=1.149.因此1+x=1.149，x=0.149=14.9%.答案：14.9%4.某工厂生产某种产品的固定成本为200万元，并且生产量每增加一单位产品，成本增加1万元，又知总收入R是单位产量Q的函数：R（Q）=4Q－2001Q2，则总利润L（Q）的最大值是___________万元，这时产品的生产数量为___________.（总利润=总收入－成本）解析：L（Q）=4Q－2001Q2－（200+Q）=－2001（Q－300）2+250.答案：250 3005.（2003年福州市质量检测题）沿海地区某农村在2002年底共有人口1480人，全年工农业生产总值为3180万元.从2003年起计划10年内该村的总产值每年增加60万元，人口每年净增a人，设从2003年起的第x年（2003年为第一年）该村人均产值为y万元.（1）写出y与x之间的函数关系式；（2）为使该村的人均产值年年都有增长，那么该村每年人口的净增不能超过多少人？ 分析：本小题主要考查函数知识、函数的单调性，考查数学建模，运用所学知识解决实际问题的能力.（1）解：依题意得第x 年该村的工农业生产总值为（3180+60x ）万元， 而该村第x 年的人口总数为（1480+ax ）人，∴y =axx++1480603180（1≤x ≤10）.（2）解法一：为使该村的人均产值年年都有增长，则在1≤x ≤10内，y =f （x ）为增函数.设1≤x 1＜x 2≤10，则f （x 1）－f （x 2）=111480603180ax x ++－221480603180ax x ++=)1480)(1480()(3180)(148060211221ax ax x x a x x ++-+-⨯=)1480)(1480())(318088800(2121ax ax x x a ++--.∵1≤x 1＜x 2≤10，a ＞0， ∴由f （x 1）＜f （x 2），得88800－3180a ＞0.∴a ＜318088800≈27.9.又∵a ∈N *，∴a =27. 解法二：∵y =a60（x a x++148053）=a60［1+a x a 1480148053+-］，依题意得53－a 1480＜0，∴a ＜531480≈27.9.∵a ∈N *，∴a =27.答：该村每年人口的净增不能超过27人. 培养能力6.（2005年春季北京，19）经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量y （千辆/时）与汽车的平均速度v （km/h ）之间的函数关系为y =160039202++v v v（v ＞0）. （1）在该时段内，当汽车的平均速度v 为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？（精确到0.1千辆/时）（2）若要求在该时段内车流量超过10千辆/时，则汽车的平均速度应在什么范围内？解：（1）依题意，y =)1600(3920vv ++≤160023920+=83920，当且仅当v =v 1600，即v =40时，上式等号成立，所以y max =83920≈11.1（千辆/时）. （2）由条件得160039202++v v v＞10，整理得v 2－89v +1600＜0， 即（v －25）（v －64）＜0.解得25＜v ＜64.∴当v =40 km/h 时，车流量最大，最大车流量约为11.1千辆/时.如果要求在该时段内车流量超过10千辆/时，则汽车的平均速度应大于25 km/h 且小于64 km/h.7.（2003年石家庄市一模题）某工厂有216名工人接受了生产1000台GH 型高科技产品的总任务，已知每台GH 型产品由4个G 型装置和3个H 型装置配套组成.每个工人每小时能加工6个G 型装置或3个H 型装置.现将工人分成两组同．时开始．．．加工，每组分别加工一种装置.设加工G 型装置的工人有x 人，他们加工完G 型装置所需时间为g （x ），其余工人加工完H 型装置所需时间为h （x ）（单位：小时，可不为整数）.（1）写出g （x ），h （x ）的解析式；（2）比较g （x ）与h （x ）的大小，并写出这216名工人完成总任务的时间f （x ）的解析式；（3）应怎样分组，才能使完成总任务用的时间最少？ 解：（1）由题意知，需加工G 型装置4000个，加工H 型装置3000个，所用工人分别为x 人，（216－x ）人.∴g （x ）=x 64000，h （x ）=3)216(3000⋅-x ， 即g （x ）=x 32000，h （x ）=x-2161000（0＜x ＜216，x ∈N *）. （2）g （x ）－h （x ）=x 32000－x -2161000=)216(3)5432(1000x x x --⋅. ∵0＜x ＜216，∴216－x ＞0.当0＜x ≤86时，432－5x ＞0，g （x ）－h （x ）＞0，g （x ）＞h （x ）； 当87≤x ＜216时，432－5x ＜0，g （x ）－h （x ）＜0，g （x ）＜h （x ）.∴f （x ）=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈<≤-∈≤<.,21687,2161000,,860,32000**N N x x xx x x（3）完成总任务所用时间最少即求f （x ）的最小值.当0＜x ≤86时，f （x ）递减， ∴f （x ）≥f （86）=8632000⨯=1291000. ∴f （x ）min =f （86），此时216－x =130. 当87≤x ＜216时，f （x ）递增， ∴f （x ）≥f （87）=872161000-=1291000.∴f （x ）min =f （87），此时216－x =129.∴f （x ）min =f （86）=f （87）=1291000. ∴加工G 型装置，H 型装置的人数分别为86、130或87、129. 探究创新8.现代社会对破译密文的难度要求越来越高，有一种密码把英文的明文（真实文）按两个字母一组分组（如果最后剩一个字母，则任意添一个字母，拼成一组），例如：Wish you success ，分组为Wi ，sh ，yo ，us ，uc ，ce ，ss 得到⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛923,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛819,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1525,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1921,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛53,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1919, 其中英文的a ，b ，c ，…，z 的26个字母（不论大小写）依次对应的1，2，3，…，26给出如下一个变换公式⎩⎨⎧+='+='.43,2y x y y x x 将明文转换为密文.如⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛53→⎩⎨⎧=⨯+⨯='=⨯+='29543313523y x →⎪⎪⎭⎫⎝⎛313，即ce 变成mc （说明：29÷26余数为3）. 又如⎪⎪⎭⎫⎝⎛923→⎩⎨⎧=⨯+⨯='=⨯+='10594233419223y x →⎪⎪⎭⎫⎝⎛115，即wi 变成oa （说明：41÷26余数为15，105÷26余数为1）.（1）按上述方法将明文star 译成密文；（2）若按上述方法将某明文译成的密文是kcwi ，请你找出它的明文.解：（1）将star 分组：st ，ar ，对应的数组分别为⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛181,2019， 由⎩⎨⎧+='+=',43,2y x y y x x 得⎩⎨⎧⨯+⨯='⨯+='20419320219y x →⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛77，⎩⎨⎧⨯+⨯='⨯+='184131821y x →⎪⎪⎭⎫⎝⎛2311. ∴star 翻译成密文为ggkw.（2）由⎩⎨⎧+='+=',43,2y x y y x x 得⎪⎩⎪⎨⎧'-'='+'-='.223,2y x y y x x 将kcwi 分组：kc ，wi ，对应的数组分别为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛311，⎪⎪⎭⎫⎝⎛923,由⎪⎩⎪⎨⎧'-'='+'-=,223,2y x y y x x 得⎪⎩⎪⎨⎧-⨯=+⨯-=2311233112y x →⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1519→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛157，⎪⎩⎪⎨⎧-⨯=+⨯-=2923239232y x →⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛415. ∴密文kcwi 翻译成明文为good.●思悟小结1.数学的应用问题实际上是数学模型方法的应用问题，也就是把实际问题加以抽象概括，建立相应的数学模型，利用这些模型来研究实际问题.2.所谓数学模型，简单地说，就是把实际问题用数学语言抽象概括，再从数学角度来反映或近似地反映实际问题时，所得出的关于实际问题的数学描述.数学模型的形式是多样的，它们可以是几何图形，也可以是方程式、函数解析式等等.实际问题越复杂，相应的数学模型也就越复杂.●教师下载中心 教学点睛1.在教学过程中要注意引导学生从数学的角度理解分析问题、把握问题，特别要强调自主地、独立地分析、研究、探讨活动，这样才有利于培养阅读理解、分析和解决实际问题的能力；有利于对数学思想方法的应用；有利于培养学生的用数学意识.2.用数学模型方法解决问题的步骤可用框图表示如下：拓展题例【例1】 （2002年春季高考）用一张钢板制作一个容积为4 m 3的无盖长方体水箱.可用的长方形钢板有四种不同的规格（长×宽的尺寸如各选项所示，单位均为m ），若既要够用，又要所剩最少，则应选钢板的规格是A.2×5B.2×5.5C.2×6.1D.3×5 解析：设水箱底长a ，宽b ，高h ，则abh =4，∴h =ab 4.∴S =ab +2ah +2bh =ab +b 8+a8≥3388a b ab ⨯⨯=12，当且仅当a =b 时等号成立. ∴至少要钢板12 m 2. 答案：C评述：若a 、b 、c ∈R +，则有a +b +c ≥33abc ，当且仅当a =b =c 时等号成立.【例2】 （2001年春季高考）某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元／辆，出厂价为1.2万元／辆，年销售量为1000辆.本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本.若每辆车投入成本增加的比例为x （0＜x ＜1），则出厂价相应地提高比例为0.75x ，同时预计年销售量增加的比例为0.6x .已知年利润＝（出厂价－投入成本）×年销售量.（1）写出本年度预计的年利润y 与投入成本增加的比例x 的关系式；（2）为使本年度的年利润比上年有所增加，问投入成本增加的比例x 应在什么范围内? 解：（1）由题意得y ＝［1.2×（1＋0.75x ）－1×（1＋x ）］×1000（1＋0.6x ）（0＜x ＜1）， 整理得y ＝－60x 2＋20x ＋200（0＜x ＜1）.（2）要保证本年度的利润比上年有所增加，必须⎩⎨⎧<<>⨯--,10,01000)12.1(x y即⎩⎨⎧<<>+-.110,020602x x 解得0＜x ＜31.∴为保证本年度的年利润比上年有所增加，投入成本增加的比例x 应满足0＜x ＜0.33.评述：本题主要考查建立函数关系、运用不等式的性质和解法等数学知识解决实际问题的能力.。
2010年高考数学一轮复习精品学案（人教版A 版）---函数与方程一．【课标要求】1．结合二次函数的图像，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系；2．根据具体函数的图像，能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解，了解这种方法是求方程近似解的常用方法。
二．【命题走向】函数与方程的理论是高中新课标教材中新增的知识点，特别是“二分法”求方程的近似解也一定会是高考的考点。
从近几年高考的形势来看，十分注重对三个“二次”（即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式）的考察力度，同时也研究了它的许多重要的结论，并付诸应用。
高考试题中有近一半的试题与这三个“二次”问题有关预计2010年高考对本讲的要求是：以二分法为重点、以二次函数为载体、以考察函数与方程的关系为目标来考察学生的能力（1）题型可为选择、填空和解答；（2）高考试题中可能出现复合了函数性质与函数零点的综合题，同时考察函数方程的思想。
三．【要点精讲】1．方程的根与函数的零点（1）函数零点概念：对于函数))((D x x f y ∈=，把使0)(=x f 成立的实数x 叫做函数))((D x x f y ∈=的零点。
函数零点的意义：函数)(x f y =的零点就是方程0)(=x f 实数根，亦即函数)(x f y =的图象与x 轴交点的横坐标。
即：方程0)(=x f 有实数根⇔函数)(x f y =的图象与x 轴有交点⇔函数)(x f y =有零点。
二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的零点：１）△＞０，方程02=++c bx ax 有两不等实根，二次函数的图象与x 轴有两个交点，二次函数有两个零点；２）△＝０，方程02=++c bx ax 有两相等实根（二重根），二次函数的图象与x 轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点；３）△＜０，方程02=++c bx ax 无实根，二次函数的图象与x 轴无交点，二次函数无零点。
第九节函数与方程[知识能否忆起]1．函数的零点(1)定义：对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0成立的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．(2)函数的零点与相应方程的根、函数的图象与x轴交点间的关系：方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．(3)函数零点的判定(零点存在性定理)：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．[小题能否全取]1．(教材习题改编)下列图象表示的函数中能用二分法求零点的是()答案：C2．若函数f(x)＝ax＋b有一个零点是2，那么函数g(x)＝bx2－ax的零点是()A ．0,2B ．0，12C ．0，－12D ．2，－12解析：选C ∵2a ＋b ＝0，∴g (x )＝－2ax 2－ax ＝－ax (2x ＋1)． ∴零点为0和－12.3．(教材习题改编)根据表格中的数据，可以判定方程e x －x －2＝0的一个根所在的区间为( )A.(－1,0) C ．(1,2)D ．(2,3)解析：选C 设函数f (x )＝e x －x －2，从表中可以看出f (1)·f (2)<0，因此方程e x －x －2＝0的一个根所在的区间为(1,2)．4．用二分法求函数y ＝f (x )在区间(2,4)上的近似解，验证f (2)·f (4)<0，给定精确度ε＝0.01，取区间(2,4)的中点x 1＝2＋42＝3，计算得f (2)·f (x 1)<0，则此时零点x 0∈________(填区间)．解析：由f (2)·f (3)<0可知x 0∈(2,3)． 答案：(2,3)5．已知函数f (x )＝x 2＋x ＋a 在区间(0,1)上有零点，则实数a 的取值范围是________． 解析：∵函数f (x )＝x 2＋x ＋a 在(0,1)上有零点． ∴f (0)f (1)<0.即a (a ＋2)<0，解得－2<a <0. 答案：(－2,0)1.函数的零点不是点：函数y ＝f (x )的零点就是方程f (x )＝0的实数根，也就是函数y ＝f (x )的图象与x 轴交点的横坐标，所以函数的零点是一个数，而不是一个点．在写函数零点时，所写的一定是一个数字，而不是一个坐标．2．对函数零点存在的判断中，必须强调： (1)f (x )在[a ，b ]上连续； (2)f (a )·f (b )<0；(3)在(a ，b )内存在零点．这是零点存在的一个充分条件，但不必要．3．对于定义域内连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．典题导入[例1] (2012·唐山统考)设f (x )＝e x ＋x －4，则函数f (x )的零点位于区间( ) A ．(－1,0) B ．(0,1) C ．(1,2)D ．(2,3)[自主解答] ∵f (x )＝e x ＋x －4，∴f ′(x )＝e x ＋1>0.∴函数f (x )在R 上单调递增．f (－1)＝e －1＋(－1)－4＝－5＋e －1<0，f (0)＝－3<0，f (1)＝e ＋1－4＝e －3<0，f (2)＝e 2＋2－4＝e 2－2>0，f (1)f (2)<0，故零点x 0∈(1,2)．[答案] C由题悟法利用函数零点的存在性定理判断零点所在的区间时，首先看函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是否连续不断，再看是否有f (a )·f (b )<0.若有，则函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内必有零点．以题试法1．(2013·衡水模拟)设函数y ＝x 3与y ＝⎝⎛⎭⎫12x －2的图象交点为(x 0，y 0)，则x 0所在的区间是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)解析：选B 设函数f (x )＝x 3－⎝⎛⎭⎫12x －2，f (1)·f (2)<0，且f (x )为单调函数，则x 0∈(1,2)．典题导入[例2] (1)(2012·北京高考)函数f (x )＝x 12－⎝⎛⎭⎫12x 的零点的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3(2)(2012·北京东城区模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，log 2x ，x >0，则函数y ＝f (f (x ))＋1的零点个数是( )A ．4B ．3C ．2D ．1[自主解答] (1)在同一平面直角坐标系内作出y1＝x 12与y 2＝⎝⎛⎭⎫12x 的图象如图所示，易知，两函数图象只有一个交点，因此函数f (x )＝x 12－⎝⎛⎭⎫12x只有1个零点．(2)由f (f (x ))＋1＝0可得f (f (x ))＝－1， 又由f (－2)＝f ⎝⎛⎭⎫12＝－1. 可得f (x )＝－2或f (x )＝12.若f (x )＝－2，则x ＝－3或x ＝14；若f (x )＝12，则x ＝－12或x ＝2，综上可得函数y ＝f (f (x ))＋1有4个零点． [答案] (1)B (2)A由题悟法判断函数零点个数的常用方法(1)解方程法：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理法：利用定理不仅要判断函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点．(3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题．先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的个数，就是函数零点的个数．以题试法2．(2012·湖北高考)函数f (x )＝x cos x 2在区间[0,4]上的零点个数为( ) A ．4 B ．5 C ．6D ．7解析：选C 令x cos x 2＝0，则x ＝0，或x 2＝k π＋π2，又x ∈[0,4]，因此x k ＝k π＋π2(k＝0,1,2,3,4)，共有6个零点．典题导入[例3] (2011·辽宁高考改编)已知函数f (x )＝e x －x ＋a 有零点，则a 的取值范围是________．[自主解答] ∵f (x )＝e x －x ＋a ， ∴f ′(x )＝e x －1.令f ′(x )＝0，得x ＝0.当x <0时，f ′(x )<0，函数f (x )在(－∞，0)上是减函数； 当x >0时，f ′(x )>0，函数f (x )在(0，＋∞)上是增函数． 故f (x )min ＝f (0)＝1＋a .若函数f (x )有零点，则f (x )min ≤0， 即1＋a ≤0，得a ≤－1. [答案] (－∞，－1]若函数变为f (x )＝ln x －2x ＋a ，其他条件不变，求a 的取值范围． 解：∵f (x )＝ln x －2x ＋a ，∴f ′(x )＝1x －2.令f ′(x )＝0，得x ＝12.当0<x ≤12时f ′(x )≥0，∴f (x )为增函数；当x >12时，f ′(x )<0，∴f (x )为减函数．∴f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫12＝ln 12－1＋a . 若f (x )有零点，则f (x )max ≥0，即ln 12－1＋a ≥0.解得a ≥1－ln 12，a 的取值范围为[)1＋ln 2，＋∞.由题悟法已知函数有零点(方程有根)求参数取值常用的方法(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围． (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．以题试法3．已知函数f (x )满足f (x ＋1)＝f (x －1)，且f (x )是偶函数，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，若在区间[－1,3]上函数g (x )＝f (x )－kx －k 有4个零点，则实数k 的取值范围是______．解析：由f (x ＋1)＝f (x －1)得，f (x ＋2)＝f (x )，则f (x )是周期为2的函数．∵f (x )是偶函数，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，∴当x ∈[－1,0]时，f (x )＝－x ，易得当x ∈[1,2]时，f (x )＝－x ＋2，当x ∈[2,3]时，f (x )＝x －2.在区间[－1,3]上函数g (x )＝f (x )－kx －k 有4个零点，即函数y ＝f (x )与y ＝kx ＋k 的图象在区间[－1,3]上有4个不同的交点．作出函数y ＝f (x )与y ＝kx ＋k 的图象如图所示，结合图形易知，k ∈⎝⎛⎦⎤0，14. 答案：⎝⎛⎦⎤0，141．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1，x ≤1，1＋log 2x ，x >1，则函数f (x )的零点为( )A.12，0 B ．－2,0 C.12D ．0解析：选D 当x ≤1时，由f (x )＝2x －1＝0，解得x ＝0；当x >1时，由f (x )＝1＋log 2x ＝0，解得x ＝12，又因为x >1，所以此时方程无解．综上函数f (x )的零点只有0.2．设f (x )＝x 3＋bx ＋c 是[－1,1]上的增函数，且f ⎝⎛⎭⎫－12·f ⎝⎛⎭⎫12<0，则方程f (x )＝0在[－1,1]内( )A ．可能有3个实数根B ．可能有2个实数根C ．有唯一的实数根D ．没有实数根解析：选C 由f (x )在[－1,1]上是增函数，且f ⎝⎛⎭⎫－12·f ⎝⎛⎭⎫12<0，知f (x )在⎣⎡⎦⎤－12，12上有唯一零点，所以方程f (x )＝0在[－1,1]上有唯一实数根．3．(2012·长沙模拟)已知函数f (x )的图象是连续不断的，x 、f (x )的对应关系如下表：A ．区间[1,2]和[2,3]B ．区间[2,3]和[3,4]C ．区间[2,3]、[3,4]和[4,5]D ．区间[3,4]、[4,5]和[5,6]解析：选C 因为f (2)>0，f (3)<0，f (4)>0，f (5)<0，所以在区间[2,3]，[3,4]，[4,5]内有零点．4．(2013·北京西城二模)执行如图所示的程序框图，若输入如下四个函数： ①y ＝2x ； ②y ＝－2x ； ③f (x )＝x ＋x －1；④f (x )＝x －x －1.则输出函数的序号为( )A ．①B ．②C ．③D ．④解析：选D 由图可知输出结果为存在零点的函数，因2x >0，所以y ＝2x 没有零点，同样y ＝－2x 也没有零点；f (x )＝x ＋x －1，当x >0时，f (x )≥2，当x <0时，f (x )≤－2，故f (x )没有零点；令f (x )＝x －x －1＝0得x ＝±1，故选D.5．(2012·北京朝阳统考)函数f (x )＝2x －2x －a 的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值范围是( )A ．(1,3)B ．(1,2)C ．(0,3)D ．(0,2)解析：选C 由条件可知f (1)f (2)<0，即(2－2－a )(4－1－a )<0，即a (a －3)<0，解之得0<a <3.6．(2013·哈师大模拟)若定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，且x ∈[－1,1]时，f (x )＝1－x 2，函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x >0，0，x ＝0，－1x ，x <0，则函数h (x )＝f (x )－g (x )在区间[－5,5]内的零点个数是( )A ．5B ．7C ．8D ．10解析：选C 依题意得，函数f (x )是以2为周期的函数，在同一坐标系下画出函数y ＝f (x )与函数y ＝g (x )的图象，结合图象得，当x ∈[－5,5]时，它们的图象的公共点共有8个，即函数h (x )＝f (x )－g (x )在区间[－5,5]内的零点个数是8.7．用二分法研究函数f (x )＝x 3＋3x －1的零点时，第一次经计算f (0)<0，f (0.5)>0可得其中一个零点x 0∈______，第二次应计算________．解析：因为f (x )＝x 3＋3x －1是R 上的连续函数，且f (0)<0，f (0.5)>0，则f (x )在x ∈(0,0.5)上存在零点，且第二次验证时需验证f (0.25)的符号．答案：(0,0.5) f (0.25)8．若函数f (x )＝a x －x －a (a >0且a ≠1)有两个零点，则实数a 的取值范围是________． 解析：函数f (x )的零点个数就是函数y ＝a x 与函数y ＝x ＋a 的图象交点的个数，易知当a >1时，两图象有两个交点；当0<a <1时，两图象有一个交点．答案：(1，＋∞)9．(2013·南通质检)已知函数f (x )＝x 2＋(1－k )x －k 的一个零点在(2,3)内，则实数k 的取值范围是________．解析：因为Δ＝(1－k )2＋4k ＝(1＋k )2≥0对一切k ∈R 恒成立，又k ＝－1时，f (x )的零点x ＝－1∉(2,3)，故要使函数f (x )＝x 2＋(1－k )x －k 的一个零点在(2,3)内，则必有f (2)·f (3)<0，即2<k <3.答案：(2,3)10．已知函数f (x )＝x 3－x 2＋x 2＋14.证明：存在x 0∈⎝⎛⎭⎫0，12，使f (x 0)＝x 0. 证明：令g (x )＝f (x )－x .∵g (0)＝14，g ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫12－12＝－18，∴g (0)·g ⎝⎛⎭⎫12<0.又函数g (x )在⎣⎡⎦⎤0，12上连续， ∴存在x 0∈⎝⎛⎭⎫0，12，使g (x 0)＝0，即f (x 0)＝x 0.11．关于x 的二次方程x 2＋(m －1)x ＋1＝0在区间[0,2]上有解，求实数m 的取值范围． 解：设f (x )＝x 2＋(m －1)x ＋1，x ∈[0,2]， ①若f (x )＝0在区间[0,2]上有一解， ∵f (0)＝1>0，则应有f (2)<0，又∵f (2)＝22＋(m －1)×2＋1，∴m <－32.②若f (x )＝0在区间[0,2]上有两解，则 ⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，0<－m －12<2，f (2)≥0，∴⎩⎪⎨⎪⎧(m －1)2－4≥0，－3<m <1，4＋(m －1)×2＋1≥0.∴⎩⎪⎨⎪⎧m ≥3或m ≤－1，－3<m <1，m ≥－32.∴－32≤m ≤－1.由①②可知m 的取值范围(－∞，－1]．12．若函数f (x )＝ax 2－x －1有且仅有一个零点，求实数a 的取值范围．解：(1)当a ＝0时，函数f (x )＝－x －1为一次函数，则－1是函数的零点，即函数仅有一个零点．(2)当a ≠0时，函数f (x )＝ax 2－x －1为二次函数，并且仅有一个零点，则一元二次方程ax 2－x －1＝0有两个相等实根．则Δ＝1＋4a ＝0，解得a ＝－14.综上，当a ＝0或a ＝－14时，函数仅有一个零点．1．(2012·“江南十校”联考)已知关于x 的方程|x 2－6x |＝a (a >0)的解集为P ，则P 中所有元素的和可能是( )A ．3,6,9B ．6,9,12C ．9,12,15D ．6,12,15解析：选B 如图，函数y ＝|x 2－6x |的图象关于直线x ＝3对称，将直线y ＝a 从下往上移动可知：P 中所有元素的和可能是6,9,12.2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2，x >0，－x 2＋bx ＋c ，x ≤0满足f (0)＝1，且f (0)＋2f (－1)＝0，那么函数g (x )＝f (x )＋x 的零点个数为________．解析：∵f (0)＝1，∴c ＝1.又∵f (0)＋2f (－1)＝0，∴f (－1)＝－1－b ＋1＝－12，得b ＝12.∴当x >0时，g (x )＝2x －2＝0有唯一解x ＝1；当x ≤0时，g (x )＝－x 2＋32x ＋1，令g (x )＝0，得x ＝2(舍去)或x ＝－12，即g (x )＝0有唯一解．综上可知，g (x )＝f (x )＋x 有2个零点．答案：23．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c .(1)若a >b >c ，且f (1)＝0，试证明f (x )必有两个零点；(2)若对x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2，f (x 1)≠f (x 2)，方程f (x )＝12[f (x 1)＋f (x 2)]有两个不等实根，证明必有一个实根属于(x 1，x 2)．证明：(1)∵f (1)＝0，∴a ＋b ＋c ＝0，又∵a >b >c ，∴a >0，c <0，即ac <0.又∵Δ＝b 2－4ac ≥－4ac >0，∴方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个不等实根，∴函数f (x )有两个零点．(2)令g (x )＝f (x )－12[f (x 1)＋f (x 2)]，则g (x 1)＝f (x 1)－12[f (x 1)＋f (x 2)]＝f (x 1)－f (x 2)2，g (x 2)＝f (x 2)－12[f (x 1)＋f (x 2)]＝f (x 2)－f (x 1)2，∴g (x 1)·g (x 2)＝f (x 1)－f (x 2)2·f (x 2)－f (x 1)2＝－14[f (x 1)－f (x 2)]2. ∵f (x 1)≠f (x 2)，∴g (x 1)·g (x 2)<0. ∴g (x )＝0在(x 1，x 2)内必有一实根．即f (x )＝12[f (x 1)＋f (x 2)]在(x 1，x 2)内必有一实根．1．对于定义域为D 的函数f (x )，若存在区间M ＝[a ，b ]⊆D (a <b )，使得{y |y ＝f (x )，x ∈M }＝M ，则称区间M 为函数f (x )的“等值区间”．给出下列四个函数：①f (x )＝2x ；②f (x )＝x 3；③f (x )＝sin x ；④f (x )＝log 2x ＋1. 则存在“等值区间”的函数是________．(把正确的序号都填上)解析：问题等价于方程f (x )＝x 在函数的定义域内是否存在至少两个不相等的实根，由于2x >x ，故函数f (x )＝2x 不存在等值区间；由于x 3＝x 有三个不相等的实根x 1＝－1，x 2＝0，x 3＝1，故函数f (x )＝x 3存在三个等值区间[－1,0]，[0,1]，[－1,1]；由于sin x ＝x 只有唯一的实根x ＝0，结合函数图象，可知函数f (x )＝sin x 不存在等值区间；由于log 2x ＋1＝x 有实根x 1＝1，x 2＝2，故函数f (x )＝log 2x ＋1存在等值区间[1,2]．答案：②④2．m 为何值时，f (x )＝x 2＋2mx ＋3m ＋4.京翰教育高考辅导——专业对高中学生开设高三数学辅导补习班京翰教育北京家教辅导-开设全国中小学一对一课外辅导班 (1)有且仅有一个零点；(2)有两个零点且均比－1大．解：(1)若函数f (x )＝x 2＋2mx ＋3m ＋4有且仅有一个零点， 则等价于Δ＝4m 2－4(3m ＋4)＝0，即m 2－3m －4＝0，解得m ＝4或m ＝－1.(2)设两零点分别为x 1，x 2，且x 1>－1，x 2>－1，x 1≠x 2.则x 1＋x 2＝－2m ，x 1·x 2＝3m ＋4，故只需⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝4m 2－4(3m ＋4)>0，(x 1＋1)＋(x 2＋1)>0，(x 1＋1)(x 2＋1)>0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－3m －4>0，－2m ＋2>0，3m ＋4＋(－2m )＋1>0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ m <－1或m >4，m <1，m >－5.故m 的取值范围是{m |－5<m <－1}．。
必刷小题4函数与方程一、单项选择题1．函数f(x)＝e x＋2x－5的零点所在的区间是()A．(0,1)B．(1,2)C．(2,3)D．(3,4)答案B解析函数f(x)＝e x＋2x－5在R上单调递增，而f(1)＝e－3<0，f(2)＝e2－1>0，由函数零点存在定理知，函数f(x)的唯一零点在区间(1,2)内．2.如图，公园里有一处扇形花坛，小明同学从A点出发，沿花坛外侧的小路顺时针方向匀速走了一圈(路线为AB→BO→OA)，则小明到O点的直线距离y与他从A点出发后运动的时间t之间的函数图象大致是()答案DAB走时，与O点的直线距离保持不变，解析小明沿沿BO走时，随时间增加与O点的距离越来越小，沿OA走时，随时间增加与O点的距离越来越大，故结合选项可知D正确．3．函数y＝lg|x－1|的图象大致是()x－1答案D 解析因为y ＝lg|－x |－x＝－lg|x |x ，x ≠0，故y ＝lg|x |x 为奇函数，图象关于原点成中心对称，将函数图象向右平移1个单位长度可得y ＝lg|x －1|x －1的图象，所以y ＝lg|x －1|x －1的图象关于点(1,0)成中心对称，排除A ，B ；又当y ＝lg|x －1|x －1＝0时，x ＝0或x ＝2，故y ＝lg|x －1|x －1的图象与x 轴有2个交点，排除C.4．在使用二分法计算函数f (x )＝lg x ＋x －2的零点的近似解时，现已知其所在区间为(1,2)，如果要求近似解的精确度为0.1，则接下来需要计算________次区间中点的函数值()A ．2B ．3C ．4D ．5答案C 解析因为区间(1,2)的长度为1，每次二等分都使区间长度变为原来的12，3次取中间值后，区间(1,2)的长度变为12＝18>0.1，不满足题意，4次取中间值后，区间(1,2)的长度变为12＝116<0.1，满足题意．5．信号在传输介质中传播时，将会有一部分能量转化为热能或被传输介质吸收，从而造成信号强度不断减弱，这种现象称为衰减．在试验环境下，超声波在某种介质的传播过程中，声压的衰减过程可以用指数模型：P (s )＝P 0e －Ks 描述声压P (s )(单位：帕斯卡)随传播距离s (单位：米)的变化规律，其中P 0为声压的初始值，常数K 为试验参数．若试验中声压初始值为900帕斯卡，传播5米声压降低为400帕斯卡，据此可得试验参数K 的估计值约为(参考数据：ln 2≈0.69，ln 3≈1.10)()A ．0.162B ．0.164C ．0.166D ．0.168答案B 解析由题意知，400＝900e －5K ，两边取自然对数，则ln 4＝ln 9－5K ，所以K ＝ln 9－ln 45＝2(ln 3－ln 2)5≈2×0.415＝0.164.6．已知f (x )(－x )，x <0，－x ，x ≥0，则函数y ＝3f 2(x )－2f (x )的零点个数为()A ．1B ．2C ．3D ．4答案C 解析由题设，当x <0时，f (x )∈R 且单调递减，当x ≥0时，f (x )∈(0,1)且单调递减，令t ＝f (x )，则y ＝3t 2－2t ＝0，可得t ＝0或t ＝23，作出函数f (x )的图象，如图所示，由图知，当t ＝0时有一个零点，当t ＝23时有两个零点，故共有3个零点．7．已知函数f (x )＝2x ＋log 2x ，且实数a >b >c >0，满足f (a )f (b )f (c )<0，若实数x 0是函数y ＝f (x )的一个零点，那么下列不等式中一定不成立的是()A ．x 0<aB ．x 0>aC ．x 0<bD ．x 0<c 答案D 解析由函数的单调性可得，函数f (x )＝2x ＋log 2x 在(0，＋∞)上单调递增，由f (a )f (b )f (c )<0,则f (a )，f (b )，f (c )为负数的个数为奇数，选项A ，B ，C 可能成立；对于选项D ，当x 0<c 时，由函数的单调性可得f (a )>0，f (b )>0，f (c )>0，即不满足f (a )f (b )f (c )<0，故选项D 不可能成立．8．(2022·西安模拟)已知函数f (x )x －2)，x >1，|－1，－1≤x ≤1，若函数g (x )＝f (x )－log a (x ＋1)恰有3个零点，则实数a 的取值范围为()A.15，D.16，答案B解析令g (x )＝f (x )－log a (x ＋1)＝0，可得f (x )＝log a (x ＋1)，所以曲线y ＝f (x )与曲线y ＝log a (x ＋1)有三个交点，当a >1时，曲线y ＝f (x )与曲线y ＝log a (x ＋1)只有一个交点，不符合题意；当0<a <1时，若使得曲线y ＝f (x )与曲线y ＝log a (x ＋1)有三个交点，a 3>－1，a 5<－1，a <1，解得15<a <13.二、多项选择题9．净水机通过分级过滤的方式使自来水逐步达到纯净水的标准，其中第一级过滤一般由孔径为5微米的PP 棉滤芯(聚丙烯熔喷滤芯)构成，其结构是多层式，主要用于去除铁锈、泥沙、悬浮物等各种大颗粒杂质．假设每一层PP 棉滤芯可以过滤掉三分之一的大颗粒杂质，过滤前水中大颗粒杂质含量为50mg/L ，若要满足过滤后水中大颗粒杂质含量不超过2.5mg/L ，则PP 棉滤芯层数不可能为()(参考数据：lg 2≈0.30，lg 3≈0.48)A ．5B ．6C ．7D ．8答案ABC解析由题意得，经n 层棉滤芯过滤后水中大颗粒杂质含量为＝50，n ∈N +，则50≤2.5得，20≤1，所以lg 20＋≤0，lg 10＋lg 2＋n (lg 2－lg 3)≤0，所以1＋0.3＋(0.3－0.48)n ≤0,1.3≤0.18n ，得n ≥659，因为n 为正整数，所以n 的最小值为8.10．设函数f (x )2＋2x ，x ≤0，x －x ，x >0，则g (x )＝f (x )－m 的零点个数可能是()A ．1B ．2C ．3D ．4答案AB解析由函数f (x )2＋2x ，x ≤0，x －x ，x >0，得f (－1)＝f (1)＝－1，则函数g (x )＝f (x )－m 的零点个数就是函数y ＝f (x )的图象与y ＝m 的交点个数，画出y ＝f (x )和y ＝m 的图象，如图所示，由图可知，当m >0时，两个函数的图象有1个交点，当m ≤0时，两个函数的图象有2个交点，所以函数g (x )＝f (x )－m 的零点可能有1个或2个．11.某医药研究机构开发了一种新药，据监测，如果患者每次按规定的剂量注射该药物，注射后每毫升血液中的含药量y (微克)与时间t (小时)之间的关系近似满足如图所示的曲线．据进一步测定，当每毫升血液中含药量不少于0.125微克时，治疗该病有效，则()A ．a ＝3B ．注射一次治疗该病的有效时间长度为6小时C ．注射该药物18小时后每毫升血液中的含药量为0.4微克D ．注射一次治疗该病的有效时间长度为53132小时答案AD解析由函数图象可知y 0≤t <1，－a ，t ≥1，当t ＝1时，y ＝4，即－a ＝4，解得a ＝3，∴y 0≤t <1，3，t ≥1，故A 正确，药物刚好起效的时间，当4t ＝0.125，即t ＝132，药物刚好失效的时间3＝0.125，解得t ＝6，故药物有效时长为6－132＝53132(小时)，注射一次治疗该病的有效时间长度不到6个小时，故B 错误，D 正确；注射该药物18小时后每毫升血液含药量为4×18＝0.5(微克)，故C 错误．12．已知定义域为R 的偶函数f (x )有4个零点x 1，x 2，x 3，x 4(x 1<x 2<x 3<x 4)，并且当x ≥0时，f (x )＝x 2－ax ＋1，则下列说法中正确的是()A ．实数a 的取值范围是(－∞，－2)∪(2，＋∞)B ．当x <0时，f (x )＝x 2＋ax ＋1C ．x 1x 2x 3x 4＝1D ．x 1＋2x 2＋3x 3＋4x 4的取值范围是[23，＋∞)答案BC 解析因为f (x )为偶函数且有4个零点，则当x >0时f (x )有2个零点，＝a 2－4>0，－－a 2>0，解得a >2，A 不正确；当x <0时，－x >0，则f (x )＝f (－x )＝x 2＋ax ＋1，B 正确；偶函数f (x )的4个零点满足：x 1<x 2<x 3<x 4，则x 3，x 4是方程x 2－ax ＋1＝0的两个根，则有x 3>0，x 3x 4＝1且x 1＝－x 4，x 2＝－x 3，于是得x 1x 2x 3x 4＝(x 3x 4)2＝1，C 正确；由C 选项知，x 1＋2x 2＋3x 3＋4x 4＝x 3＋3x 4＝x 3＋3x 3，且0<x 3<1，而函数y ＝x ＋3x在(0,1)上单调递减，从而得x 3＋3x 3∈(4，＋∞)，D 不正确．三、填空题13．为了预防信息泄露，保证信息的安全传输，在传输过程中都需要对文件加密，有一种加密密钥密码系统(Private Key Cryptosystem)，其加密、解密原理为：发送方由明文→密文(加密)，接收方由密文→明文．现在加密密钥为y ＝kx 3，如“4”通过加密后得到密文“2”，若接收方接到密文“1256”，则解密后得到的明文是________．答案12解析由题可知，加密密钥为y ＝kx 3，由已知可得，当x ＝4时，y ＝2，所以2＝k ×43，解得k ＝243＝132，故y ＝132x 3，显然令y ＝1256，即1256＝132x 3，解得x 3＝18，即x ＝12.14．若函数f (x )＝e －x －ln(x ＋a )在(0，＋∞)上存在零点，则实数a 的取值范围是________．答案(－∞，e)解析由题意可得，函数y ＝e －x 与g (x )＝ln(x ＋a )的图象在(0，＋∞)上有交点，当a >0时，g (x )＝ln(x ＋a )的图象是由函数y ＝ln x 的图象向左平移得到的，由图象可得，若想两函数图象在(0，＋∞)上有交点只需要g (0)＝ln a <1，即0<a <e ；当a ≤0时，g (x )＝ln(x ＋a )的图象是由函数y ＝ln x 的图象向右平移得到的，此时两函数图象在(0，＋∞)上恒有交点，满足条件．综上可得a <e.15．已知函数y ＝f (x )的表达式为f (x )，x ≤0，2x ，x >0，则函数y ＝f (f (x ))的所有零点之和为________．答案3解析∵f (x )＝0⇒x ＝0或x ＝1，∴f (f (x ))＝0⇒f (x )＝0或f (x )＝1，由f (x )＝0⇒x ＝0或x ＝1，由f (x )＝1⇒x ＝2，∴0,1,2为函数y ＝f (f (x ))的零点，∴函数y ＝f (f (x ))的零点之和为3.16．渔民出海打鱼，为了保证获得的鱼新鲜，鱼被打上船后，要在最短的时间内将其分拣、冷藏，若不及时处理，打上来的鱼会很快失去新鲜度．已知某种鱼失去的新鲜度h 与其出水后时间t (分钟)满足的函数关系式为h ＝m ·a t .若出水后10分钟，这种鱼失去的新鲜度为10%，出水后20分钟，这种鱼失去的新鲜度为20%，那么若不及时处理，打上来的这种鱼在________分钟后开始失去全部新鲜度．(已知lg 2≈0.3，结果取整数)答案43解析·a10＝0.1，·a20＝0.2，m＝120，＝110，所以h＝120×102t，令h＝120×102t＝1，可得102t＝20，所以t＝10log220＝10lg20lg2＝10(lg10＋lg2)lg2＝10(1＋lg2)lg2≈10×1.30.3≈43(分钟)．因此，打上来的这种鱼在43分钟后开始失去全部新鲜度．。
§2.11函数的零点与方程的解考试要求 1.理解函数的零点与方程的解的联系.2.理解函数零点存在定理，并能简单应用.3.了解用二分法求方程的近似解．知识梳理1．函数的零点与方程的解(1)函数零点的概念一般地，如果函数y＝f(x)在实数α处的函数值等于零，即f(α)＝0，则称α为函数y＝f(x)的零点．(2)函数零点与方程实数解的关系方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)有零点⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有公共点．(3)函数零点存在定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的，并且f(a)f(b)<0(即在区间两个端点处的函数值异号)，则函数y＝f(x)在区间(a，b)中至少有一个零点，即∃x0∈(a，b)，f(x0)＝0. 2．二分法对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．常用结论1．若连续不断的函数f(x)是定义域上的单调函数，则f(x)至多有一个零点．2．连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．(×)(2)连续函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，则f(a)·f(b)<0.(×)(3)函数y＝f(x)为R上的单调函数，则f(x)有且仅有一个零点．(×)(4)用二分法求函数零点的近似值适合于变号零点．(√)教材改编题1．观察下列函数的图象，判断能用二分法求其零点的是()答案A解析由图象可知，B ，D 选项中函数无零点，A ，C 选项中函数有零点，C 选项中函数零点两侧函数值符号相同，A 选项中函数零点两侧函数值符号相反，故A 选项中函数零点可以用二分法求近似值，C 选项不能用二分法求零点．2．函数y ＝3x －ln x 的零点所在区间是()A ．(3,4)B ．(2,3)C ．(1,2)D ．(0,1)答案B解析因为函数的定义域为(0，＋∞)，且函数y ＝3x在(0，＋∞)上单调递减；y ＝－ln x 在(0，＋∞)上单调递减，所以函数y ＝3x －ln x 为定义在(0，＋∞)上的连续减函数，又当x ＝2时，y ＝32－ln 2>0；当x ＝3时，y ＝1－ln 3<0，两函数值异号，所以函数y ＝3x －ln x 的零点所在区间是(2,3)．3．函数f (x )＝e x ＋3x 的零点个数是()A ．0B ．1C ．2D ．3答案B解析由f ′(x )＝e x ＋3>0，所以f (x )在R 上单调递增，又f (－1)＝1e－3<0，f (0)＝1>0，因此函数f (x )有且只有一个零点．题型一函数零点所在区间的判定例1(1)函数f (x )＝ln x ＋2x －6的零点所在的区间是()A ．(1,2)B ．(2,3)C ．(3,4)D ．(4,5)答案B解析由题意得，f (x )＝ln x ＋2x －6，在定义域内单调递增，f (2)＝ln 2＋4－6＝ln 2－2<0，f (3)＝ln 3＋6－6＝ln 3>0，则f (2)f (3)<0，∴零点在区间(2,3)上．延伸探究用二分法求函数f (x )＝ln x ＋2x －6在区间(2,3)内的零点近似值，至少经过________次二分后精确度达到0.1()A ．2B ．3C ．4D ．5答案C解析∵开区间(2,3)的长度等于1，每经过一次操作，区间长度变为原来的一半，经过n 次操作后，区间长度变为12n ，故有12n ≤0.1，解得n ≥4，∴至少需要操作4次．(2)(2023·蚌埠模拟)已知x 1＋12x＝0，x 2＋log 2x 2＝0,33x -－log 2x 3＝0，则()A ．x 1<x 2<x 3B ．x 2<x 1<x 3C ．x 1<x 3<x 2D ．x 2<x 3<x 1答案A解析设函数f (x )＝x ＋2x ，易知f (x )在R 上单调递增，f (－1)＝－12，f (0)＝1，即f (－1)f (0)<0，由函数零点存在定理可知，－1<x 1<0.设函数g (x )＝x ＋log 2x ，易知g (x )在(0，＋∞)上单调递增，＝－12，g (1)＝1，即(1)<0，由函数零点存在定理可知，12<x 2<1，设函数h (x )－log 2x ，易知h (x )在(0，＋∞)上单调递减，h (1)＝13，h (x 3)＝0，因为h (1)>h (x 3)，由函数单调性可知，x 3>1，即－1<x 1<0<x 2<1<x 3.思维升华确定函数零点所在区间的常用方法(1)利用函数零点存在定理：首先看函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是否连续，再看是否有f (a )·f (b )<0.若有，则函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内必有零点．(2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x 轴在给定区间上是否有交点来判断．跟踪训练1(1)(多选)函数f (x )＝e x －x －2在下列哪个区间内必有零点()A ．(－2，－1)B ．(－1,0)C ．(0,1)D ．(1,2)答案AD解析f (－2)＝1e 2>0，f (－1)＝1e－1<0，f (0)＝－1<0，f (1)＝e －3<0，f (2)＝e 2－4>0，因为f (－2)·f (－1)<0，f (1)·f (2)<0，所以f (x )在(－2，－1)和(1,2)内存在零点．(2)若a <b <c ，则函数f (x )＝(x －a )·(x －b )＋(x －b )(x －c )＋(x －c )(x －a )的两个零点分别位于区间()A ．(a ，b )和(b ，c )内B ．(－∞，a )和(a ，b )内C ．(b ，c )和(c ，＋∞)内D ．(－∞，a )和(c ，＋∞)内答案A解析函数y ＝f (x )是开口向上的二次函数，最多有两个零点，由于a <b <c ，则a －b <0，a －c <0，b －c <0，因此f (a )＝(a －b )(a －c )>0，f (b )＝(b －c )(b －a )<0，f (c )＝(c －a )(c －b )>0.所以f (a )f (b )<0，f (b )f (c )<0，即f (x )在区间(a ，b )和区间(b ，c )内各有一个零点．题型二函数零点个数的判定例2(1)若函数f (x )＝|x |，则函数y ＝f (x )－12log |x |的零点个数是()A ．5B ．4C ．3D ．2答案D解析在同一平面直角坐标系中作出f(x)＝|x|，g(x)＝12log|x|的图象如图所示，则y＝f(x)－12log|x|的零点个数，即f(x)与g(x)图象的交点个数，由图可知选D.(2)已知在R上的函数f(x)满足对于任意实数x都有f(2＋x)＝f(2－x)，f(7＋x)＝f(7－x)，且在区间[0,7]上只有x＝1和x＝3两个零点，则f(x)＝0在区间[0,2023]上根的个数为() A．404B．405C．406D．203答案C解析因为f(2＋x)＝f(2－x)，f(x)关于直线x＝2对称且f(5＋x)＝f(－x－1)；因为f(7＋x)＝f(7－x)，故可得f(5＋x)＝f(－x＋9)；故可得f(－x－1)＝f(－x＋9)，则f(x)＝f(x＋10)，故f(x)是以10为周期的函数．又f(x)在区间[0,7]上只有x＝1和x＝3两个零点，根据函数对称性可知，f(x)在一个周期[0,10]内也只有两个零点，又区间[0,2023]内包含202个周期，故f(x)在[0,2020]上的零点个数为202×2＝404，又f(x)在(2020,2023]上的零点个数与在(0,3]上的零点个数相同，有2个．故f(x)在[0,2023]上有406个零点，即f(x)＝0在区间[0,2023]上有406个根．思维升华求解函数零点个数的基本方法(1)直接法：令f(x)＝0，方程有多少个解，则f(x)有多少个零点；(2)定理法：利用定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等；(3)图象法：一般是把函数拆分为两个简单函数，依据两函数图象的交点个数得出函数的零点个数．跟踪训练2(1)(2022·泉州模拟)设定义域为R的函数f(x)x|，x>0，x2－2x，x≤0，则关于x的函数y＝2f2(x)－3f(x)＋1的零点的个数为() A．3B．7C．5D．6答案B解析根据题意，令2f2(x)－3f(x)＋1＝0，得f (x )＝1或f (x )＝12.作出f (x )的简图如图所示，由图象可得当f (x )＝1和f (x )＝12时，分别有3个和4个交点，故关于x 的函数y ＝2f 2(x )－3f (x )＋1的零点的个数为7.(2)函数f (x )＝36－x 2·cos x 的零点个数为______．答案6解析令36－x 2≥0，解得－6≤x ≤6，∴f (x )的定义域为[－6,6]．令f (x )＝0得36－x 2＝0或cos x ＝0，由36－x 2＝0得x ＝±6，由cos x ＝0得x ＝π2＋k π，k ∈Z ，又x ∈[－6,6]，∴x 的取值为－3π2，－π2，π2，3π2.故f (x )共有6个零点．题型三函数零点的应用命题点1根据零点个数求参数例3(2023·黄冈模拟)函数f (x )－x 2，x ≤2，3(x －1)，x >2，g (x )＝kx －3k ，若函数f (x )与g (x )的图象有三个交点，则实数k 的取值范围为()A ．(22－6,0)B ．(23－6,0)C ．(－2,0)D ．(25－6,0)答案D解析作出函数f (x )－x 2，x ≤2，3(x －1)，x >2的图象，如图所示，设与y ＝4－x 2相切的直线为l ，且切点为P (x 0,4－x 20)，因为y ′＝－2x ，所以切线的斜率为k ＝－2x 0，则切线方程为y －4＋x 20＝－2x 0(x －x 0)，因为g (x )＝kx －3k 过定点(3,0)，且在切线l 上，代入切线方程求得x 0＝3－5或x 0＝3＋5(舍去)，所以切线的斜率为k ＝25－6，因为函数f (x )与g (x )的图象有三个交点，由图象知，实数k 的取值范围为(25－6,0)．命题点2根据函数零点的范围求参数例4(2023·北京模拟)已知函数f (x )＝3x －1＋axx .若存在x 0∈(－∞，－1)，使得f (x 0)＝0，则实数a 的取值范围是()A.－∞，43 B.0，43C ．(－∞，0) D.43，＋∞答案B解析由f (x )＝3x －1＋ax x＝0，可得a ＝3x －1x ，令g (x )＝3x －1x ，其中x ∈(－∞，－1)，由于存在x 0∈(－∞，－1)，使得f (x 0)＝0，则实数a 的取值范围即为函数g (x )在(－∞，－1)上的值域．由于函数y ＝3x ，y ＝－1x 在区间(－∞，－1)上均单调递增，所以函数g (x )在(－∞，－1)上单调递增．当x ∈(－∞，－1)时，g (x )＝3x －1x <g (－1)＝3－1＋1＝43，又g (x )＝3x －1x>0，所以函数g (x )在(－∞，－1)因此实数a 思维升华根据函数零点的情况求参数的三种常用方法(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解.跟踪训练3(1)函数f (x )＝2x －2x－a 的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值范围是()A ．0<a <3B ．1<a <3C ．1<a <2D ．a ≥2答案A解析因为函数y ＝2x ，y ＝－2x 在(0，＋∞)上单调递增，所以函数f (x )＝2x －2x－a 在(0，＋∞)上单调递增，由函数f (x )＝2x －2x －a 的一个零点在区间(1,2)内得，f (1)×f (2)＝(2－2－a )(4－1－a )＝(－a )×(3－a )<0，解得0<a <3.(2)(2023·唐山模拟)已知函数f (x )x >0，2x ，x ≤0，若g (x )＝f (x )－a 有3个零点，则实数a的取值范围为()A ．(－1,0)1C.0{－1}答案B解析设h (x )＝ln xx(x >0)，则h ′(x )＝1－ln xx 2，令h ′(x )>0，得0<x <e ，令h ′(x )<0，得x >e ，所以函数h (x )在(0，e)上单调递增，在(e ，＋∞)上单调递减．所以h (x )max ＝h (e)＝1e.因为函数g (x )＝f (x )－a 有3个零点，所以方程f (x )＝a 有3个解．作出函数y ＝f (x )和y ＝a 的图象如图所示，所以a 1课时精练1．(2022·焦作模拟)设函数f (x )＝2x ＋x3的零点为x 0，则x 0所在的区间是()A ．(－4，－2)B ．(－2，－1)C ．(1,2)D ．(2,4)答案B解析易知f (x )在R 上单调递增且连续，f (－2)＝14－23，f (－1)＝12－13>0，所以x 0∈(－2，－1)．2．用二分法研究函数f (x )＝x 5＋8x 3－1的零点时，第一次经过计算得f (0)<0，f (0.5)>0，则其中一个零点所在区间和第二次应计算的函数值分别为()A ．(0,0.5)，f (0.125)B ．(0,0.5)，f (0.375)C ．(0.5,1)，f (0.75)D ．(0,0.5)，f (0.25)答案D解析因为f (0)f (0.5)<0，由函数零点存在定理知，零点x 0∈(0,0.5)，根据二分法，第二次应计算f f (0.25)．3．函数f (x )2－2x －3，x ≤0，2x －3x ＋4，x >0的零点个数为()A ．1B ．2C ．3D ．4答案C解析当x ≤0时，令f (x )＝x 2－2x －3＝0，得x ＝－1(x ＝3舍去)，当x >0时，令f (x )＝0，得log 2x ＝3x －4，作出y ＝log 2x 与y ＝3x －4的图象，如图所示，由图可知，y ＝log 2x 与y ＝3x －4有两个交点，所以当x >0时，f (x )＝0有两个零点，综上，f (x )有3个零点．4．已知函数f (x )＝log 2(x ＋1)－1x ＋m 在区间(1,3]上有零点，则实数m 的取值范围为()－53，(0，＋∞)－∞，－53∪(0，＋∞)D.－53，答案D解析由于函数y ＝log 2(x ＋1)，y ＝m －1x在区间(1,3]上单调递增，所以函数f (x )在(1,3]上单调递增，由于函数f (x )＝log 2(x ＋1)－1x ＋m 在区间(1,3]上有零点，1)<0，3)≥0，<0，＋53≥0，解得－53≤m <0.因此，实数m 的取值范围是－53，5．已知函数f (x )－x ，x <0，＋|x －1|，x ≥0，若函数g (x )＝f (x )－m 有三个零点，则实数m 的取值范围是()A ．(1,2]B ．(1,2)C ．(0,1)D ．[1，＋∞)答案A 解析因为函数g (x )＝f (x )－m 有三个零点，所以函数f (x )的图象与直线y ＝m 有三个不同的交点，作出函数f (x )的图象，如图所示，由图可知，1<m ≤2，即m 的取值范围是(1,2]．6．已知函数f (x )＝x －x (x >0)，g (x )＝x ＋e x ，h (x )＝x ＋ln x (x >0)的零点分别为x 1，x 2，x 3，则()A ．x 1<x 2<x 3B ．x 2<x 1<x 3C ．x 2<x 3<x 1D ．x 3<x 1<x 2答案C 解析函数f (x )＝x －x (x >0)，g (x )＝x ＋e x ，h (x )＝x ＋ln x (x >0)的零点，即为y ＝x 与y ＝x (x >0)，y ＝－e x ，y ＝－ln x (x >0)的交点的横坐标，作出y ＝x 与y ＝x (x >0)，y ＝－e x ，y ＝－ln x (x >0)的图象，如图所示．可知x 2<x 3<x 1.7．(多选)函数f (x )＝sin x ＋2|sin x |，x ∈[0,2π]的图象与直线y ＝k 的交点个数可能是()A ．1B ．2C ．4D ．6答案ABC 解析由题意知，f (x )＝sin x ＋2|sin x |，x ∈[0,2π]，f (x )x ，x ∈[0，π]，sin x ，x ∈ π，2π]，在坐标系中画出函数f (x )的图象如图所示．由其图象知，直线y＝k与y＝f(x)的图象交点个数可能为0,1,2,3,4.8．(多选)(2023·南京模拟)在数学中，布劳威尔不动点定理可应用到有限维空间，是构成一般不动点定理的基石，它得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔(L.E.J.Brouwer)，简单地讲，就是对于满足一定条件的连续函数f(x)，存在一个点x0，使得f(x0)＝x0，那么我们称该函数为“不动点”函数，下列函数是“不动点”函数的是()A．f(x)＝2x＋x B．f(x)＝x2－x－3C．f(x)＝12x＋1D．f(x)＝|log2x|－1答案BCD解析选项A，若f(x0)＝x0，则02x＝0，该方程无解，故该函数不是“不动点”函数；选项B，若f(x0)＝x0，则x20－2x0－3＝0，解得x0＝3或x0＝－1，故该函数是“不动点”函数；选项C，若f(x0)＝x0，则12x＋1＝x0，可得x20－3x0＋1＝0，且x0≥1，解得x0＝3＋52，故该函数是“不动点”函数；选项D，若f(x0)＝x0，则|log2x0|－1＝x0，即|log2x0|＝x0＋1，作出y＝|log2x|与y＝x＋1的函数图象，如图，由图可知，方程|log2x|＝x＋1有实数根x0，即存在x0，使|log2x0|－1＝x0，故该函数是“不动点”函数．9．已知指数函数为f(x)＝4x，则函数y＝f(x)－2x＋1的零点为________．答案1解析由f(x)－2x＋1＝4x－2x＋1＝0，得2x(2x－2)＝0，x＝1.10．(2023·苏州质检)函数f (x )满足以下条件：①f (x )的定义域为R ，其图象是一条连续不断的曲线；②∀x ∈R ，f (x )＝f (－x )；③当x 1，x 2∈(0，＋∞)且x 1≠x 2时，f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0；④f (x )恰有两个零点，请写出函数f (x )的一个解析式________．答案f (x )＝x 2－1(答案不唯一)解析因为∀x ∈R ，f (x )＝f (－x )，所以f (x )是偶函数，因为当x 1，x 2∈(0，＋∞)且x 1≠x 2时，f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增，因为f (x )恰有两个零点，所以f (x )图象与x 轴只有2个交点，所以函数f (x )的一个解析式可以为f (x )＝x 2－1(答案不唯一)．11．已知函数f (x )2x ，x >0，x ，x ≤0，且关于x 的方程f (x )＋x －a ＝0有且只有一个实根，则实数a 的取值范围是________．答案(1，＋∞)解析方程f (x )＋x －a ＝0有且只有一个实根，即f (x )＝－x ＋a 有且只有一个实根，即函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝－x ＋a 有且只有一个交点．如图，在同一直角坐标系中分别作出y ＝f (x )与y ＝－x ＋a 的图象，其中a 表示直线y ＝－x ＋a 在y轴上的截距．由图可知，当a ≤1时，直线y ＝－x ＋a 与y ＝f (x )有两个交点，当a >1时，直线y ＝－x ＋a 与y ＝f (x )只有一个交点．故实数a 的取值范围是(1，＋∞)．12．已知函数f (x )x －1|，x ≤1，－2)2，x >1，函数y ＝f (x )－a 有四个不同的零点x 1，x 2，x 3，x 4，且x 1<x 2<x 3<x 4，则123422x x x x ++＝________.答案12解析y ＝f (x )－a 有四个不同的零点x 1，x 2，x 3，x 4，即方程f (x )＝a 有四个不同的解，即y ＝f (x )的图象与直线y ＝a 有四个交点．在同一平面直角坐标系中分别作出y ＝f (x )与y ＝a的图象，如图所示，由二次函数的对称性可得，x 3＋x 4＝4.因为1－12x ＝22x－1，所以12x ＋22x ＝2，故123422x x x x ++＝12.13．已知函数f (x )＝|e x －1|＋1，若函数g (x )＝f 2(x )＋(a －2)f (x )－2a 有三个零点，则实数a 的取值范围是()A ．(－2，－1)B ．(－1,0)C ．(0,1)D ．(1,2)答案A 解析令t ＝f (x )，则函数g (t )＝t 2＋(a －2)t －2a ，由t 2＋(a －2)t －2a ＝0得，t ＝2或t ＝－a .f (x )＝|e x －1|＋1x ，x ≥0，－e x ，x <0，作出函数f (x )的图象，如图所示，由图可知，当t ＝2时，方程f (x )＝|e x －1|＋1＝2有且仅有一个根，则方程f (x )＝|e x －1|＋1＝－a 必有两个不同的实数根，此时由图可知，1<－a <2，即－2<a <－1.14．已知函数f (x )＝x ＋1x －sin x －1，x ∈[－4π，0)∪(0,4π]，则函数f (x )的所有零点之和为________．答案0解析因为函数f (x )＝x ＋1x－sin x －1＝1x －sin x ，所以f (x )的对称中心是(0,0)，令f (x )＝0，得1x＝sin x ，在同一平面直角坐标系中作出函数y ＝1x，y ＝sin x 的图象，如图所示，由图象知，两个函数图象有8个交点，即函数f (x )有8个零点，由对称性可知，零点之和为0.15．(2023·南昌模拟)定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x )＝f (2－x )，且当x ∈[0,1]时，f (x )＝e x －1，若关于x 的方程f (x )＝m (x ＋1)(m >0)恰有5个实数解，则实数m 的取值范围为()D ．(0，e －1)答案B 解析∵f (x )＝f (2－x )，∴函数f (x )关于直线x ＝1对称，又f (x )为定义在R 上的偶函数，∴函数f (x )关于直线x ＝0对称，作出函数y ＝f (x )与直线y ＝m (x ＋1)的图象，如图所示，要使关于x 的方程f (x )＝m (x ＋1)(m >0)恰有5个实数解，则函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝m (x ＋1)有5个交点，m >e －1，m <e －1，即e －16<m <e －14.16．已知M ＝{α|f (α)＝0}，N ＝{β|g (β)＝0}，若存在α∈M ，β∈N ，使得|α－β|<n ，则称函数f (x )与g (x )互为“n 度零点函数”．若f (x )＝32－x －1与g (x )＝x 2－a e x 互为“1度零点函数”，则实数a 的取值范围为________．答案，4e 2解析由题意可知f (2)＝0，且f (x )在R 上单调递减，所以函数f (x )只有一个零点2，由|2－β|<1，得1<β<3，所以函数g (x )＝x 2－a e x 在区间(1,3)上存在零点．由g (x )＝x 2－a e x ＝0，得a ＝x 2ex .令h (x )＝x 2ex ，则h ′(x )＝2x －x 2e x ＝x (2－x )e x，所以h (x )在区间(1,2)上单调递增，在区间(2,3)上单调递减，且h (1)＝1e h (2)＝4e2，h (3)＝9e 3>1e，要使函数g (x )在区间(1,3)上存在零点，只需a ，4e 2.。
[时间：45分钟 分值：100分]基础热身1．若函数f (x )＝x 2＋2x ＋3a 没有零点，则实数a 的取值范围是( )A ．a ＜13B ．a ＞13C ．a ≤13D ．a ≥132．[2011·课标全国卷] 在下列区间中，函数f (x )＝e x＋4x －3的零点所在的区间为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14C.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，34 3．设f (x )＝x 3＋bx ＋c (b >0)，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<0，则方程f (x )＝0在[－1,1]内( )A ．可能有3个实数根B ．可能有2个实数根C ．有唯一的实数根D ．没有实数根4．若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的两个零点是－2和3，则不等式af (－2x )＞0的解集是________．5A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个6．[2011·上海八校联考] 设a ，b ，k 是实数，二次函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 满足：f (k －1)与f (k )异号，f (k ＋1)与f (k )异号．在以下关于f (x )的零点的命题中，真命题是( )A ．该二次函数的零点都小于kB ．该二次函数的零点都大于kC ．该二次函数的两个零点之差一定大于2D ．该二次函数的零点均在区间(k －1，k ＋1)内7．已知三个函数f (x )＝2x＋x ，g (x )＝x －2，h (x )＝log 2x ＋x 的零点依次为a ，b ，c ，则( )A ．a <b <cB ．a <c <bC ．b <a <cD ．c <a <b8．已知[x ]表示不超过实数x 的最大整数，g (x )＝[x ]为取整函数，x 0是函数f (x )＝ln x －2x的零点，则g (x 0)等于( )A ．1B ．2C ．3D ．49．[2012·淄博模拟] 函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －3，x ≤0，－2＋ln x ，x >0，的零点个数为( )A ．3B ．2C ．1D ．010．[2011·山东卷] 已知函数f (x )＝log a x ＋x －b (a ＞0，且a ≠1)．当2＜a ＜3＜b ＜4时，函数f (x )的零点x 0∈(n ，n ＋1)，n ∈N *，则n ＝________.11．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2，x >0，－x 2＋bx ＋c ，x ≤0，若f (0)＝－2，f (－1)＝1，则函数g (x )＝f (x )＋x 的零点的个数为________．12．[2011·辽宁卷] 已知函数f (x )＝e x－2x ＋a 有零点，则a 的取值范围是________． 13．已知函数f (x )＝|x |＋|2－x |，若函数g (x )＝f (x )－a 的零点个数不为0，则a 的最小值为________．14．(10分)已知函数f (x )＝x 3－3x ＋2. (1)求f (x )的零点；(2)求分别满足f (x )＜0，f (x )＝0，f (x )＞0的x 的取值范围； (3)画出f (x )的大致图象．15．(13分)若函数f (x )＝ax 3－bx ＋4，当x ＝2时，函数f (x )有极值－43.(1)求函数的解析式；(2)若函数g (x )＝f (x )－k 有三个零点，求实数k 的取值范围．难点突破16．(12分)(1)已知关于x 的二次方程x 2＋(m －1)x ＋1＝0在区间[0,2]上有解，求实数m 的取值范围；(2)已知函数f (x )＝4x ＋m ·2x＋1有且仅有一个零点，求m 的取值范围，并求出该零点．课时作业(十一)【基础热身】1．B [解析] 由题意，函数f (x )＝x 2＋2x ＋3a 没有零点，即方程x 2＋2x ＋3a ＝0无解，即方程的判别式小于零，解不等式Δ＝22－4×3a ＜0，得a ＞13.2．C [解析] 因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝e 14－2<0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝e 12－1>0，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<0， 又因为函数y ＝e x是单调增函数，y ＝4x －3也是单调增函数，所以函数f (x )＝e x＋4x －3是单调增函数，所以函数f (x )＝e x＋4x －3的零点在⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12内．3．C [解析] ∵f (x )＝x 3＋bx ＋c (b >0)，∴f ′(x )＝3x 2＋b >0，∴f (x )在区间[－1,1]上为增函数．又∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<0， ∴f (x )在[－1,1]上有实数根，且只有一个． 4.⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫－32<x <1 [解析] ∵f (x )＝x 2＋ax ＋b 的两个零点是－2,3. ∴－2,3是方程x 2＋ax ＋b ＝0的两根，由根与系数的关系知⎩⎪⎨⎪⎧－2＋3＝－a ，－2×3＝b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－6，∴f (x )＝x 2－x －6.∵不等式af (－2x )＞0，即－(4x 2＋2x －6)＞0⇒2x 2＋x －3＜0，解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫－32<x <1.【能力提升】5．C [解析] 在区间[2,3]、[3,4]、[4,5]上至少各有一个零点．6．D [解析] 由题意f (k －1)·f (k )<0，f (k )·f (k ＋1)<0，由零点的存在性定理可知区间(k －1，k )，(k ，k ＋1)内各有一个零点，零点可能是区间内的任何一个值，故D 正确．7．B [解析] 由于f (－1)＝12－1＝－12<0，f (0)＝1>0，故f (x )＝2x＋x 的零点a ∈(－1,0)．因为g (2)＝0，故g (x )的零点b ＝2.因为h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－1＋12＝－12<0，h (1)＝1>0， 故h (x )的零点c ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，因此a <c <b . 8．B [解析] 因为f (2)＝ln2－1<0，f (3)＝ln3－23>0，故x 0∈(2,3)，g (x 0)＝[x 0]＝2.9．B [解析] 作出函数图象(图略)可知，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －3，x ≤0，－2＋ln x ，x >0的图象与x 轴有两个交点，故选B.10．2 [解析] 因为2＜a ＜3，所以log a 2＜1＝log a a ＜log a 3，因为3＜b ＜4，所以b －2>1>log a 2，b －3＜1＜log a 3，所以f (2)·f (3)＝(log a 2＋2－b )·(log a 3＋3－b )＜0，所以函数的零点在(2,3)上，所以n ＝2.11．3 [解析] f (0)＝－2，即－02＋b ·0＋c ＝－2，c ＝－2；f (－1)＝1，即－(－1)2＋b ·(－1)＋c ＝1，故b ＝－4.故f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2，x >0，－x 2－4x －2，x ≤0，g (x )＝f (x )＋x ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2＋x ，x >0，－x 2－3x －2，x ≤0.令g (x )＝0，则－2＋x ＝0，解得x ＝2；－x 2－3x －2＝0，解得x ＝－2或－1，故函数g (x )有3个零点．12．(－∞，2ln2－2] [解析] 由于f (x )＝e x －2x ＋a 有零点，即e x－2x ＋a ＝0有解，所以a ＝－e x＋2x .令g (x )＝－e x ＋2x ，由于g ′(x )＝－e x＋2，令g ′(x )＝－e x＋2＝0，解得x ＝ln2.当x ∈(－∞，ln2)时，g ′(x )＝－e x＋2>0，此时g (x )为增函数；当x ∈(ln2，＋∞)时，g ′(x )＝－e x＋2<0，此时g (x )为减函数．所以，当x ＝ln2时，函数g (x )＝－e x ＋2x 有最大值2ln2－2，即g (x )＝－e x＋2x 的值域为(－∞，2ln2－2]，所以a ∈(－∞，2ln2－2]．13．2 [解析] 由于f (x )＝|x |＋|2－x |＝⎩⎪⎨⎪⎧2－2x ，x ≤0，2，0<x <2，2x －2，x ≥2，所以f (x )的最小值等于2，要使f (x )－a ＝0有解，应a ≥2，即a 的最小值为2.14．[解答] f (x )＝x 3－3x ＋2＝x (x －1)(x ＋1)－2(x －1)＝(x －1)(x 2＋x －2)＝(x －1)2(x ＋2)．(1)令f (x )＝0，得函数f (x )(2)令f (x )＜0，得x ＜－2；令f (x )＝0得x ＝1或x ＝－2；令f (x )＞0， 得－2＜x ＜1或x ＞1.所以满足f (x )＜0的x 的取值范围是(－∞，－2)； 满足f (x )＝0的x 的取值范围是{1，－2}；满足f (x )＞0的x 的取值范围是(－2,1)∪(1，＋∞)． (3)函数f (x )的大致图象如图所示．15．[解答] (1)由题意可知f ′(x )＝3ax 2－b ，于是⎩⎪⎨⎪⎧f ′2＝12a －b ＝0，f 2＝8a －2b ＋4＝－43，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝13，b ＝4.故所求的解析式为f (x )＝13x 3－4x ＋4.(2)由(1)可知f ′(x )＝x 2－4＝(x －2)(x ＋2)， 令f ′(x )＝0，得x ＝2或x ＝－2.x (－∞，－2) －2 (－2,2) 2(2，＋∞)f ′(x ) ＋ 0 －0 ＋f (x )283－43因此，当x ＝－2时，f (x )有极大值3；当x ＝2时，f (x )有极小值－43.所以函数的大致图象如图．故要使g (x )＝f (x )－k 有三个零点，实数k 的取值范围是－43＜k ＜283.【难点突破】16．[解答] (1)设f (x )＝x 2＋(m －1)x ＋1，x ∈[0,2]， ①若f (x )＝0在区间[0,2]上有一解， ∵f (0)＝1>0，则应有f (2)<0，即f (2)＝22＋(m －1)×2＋1<0，∴m <－32.②若f (x )＝0在区间[0,2]上有两解，则⎩⎪⎨⎪⎧ Δ≥0，0≤－m －12≤2，f 2≥0，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －12－4≥0，－3≤m ≤1，4＋m －1×2＋1≥0.∴⎩⎪⎨⎪⎧m ≥3或m ≤－1，－3≤m ≤1，m ≥－32.∴－32≤m ≤－1，由①②可知m ≤－1.(2)∵f (x )＝4x ＋m ·2x＋1有且仅有一个零点，即方程(2x )2＋m ·2x＋1＝0仅有一个实根，设2x ＝t (t >0)，则t 2＋mt ＋1＝0.当Δ＝0时，即m 2－4＝0，m ＝－2时，t ＝1，m ＝2时，t ＝－1不合题意，舍去， ∴2x＝1，x ＝0符合题意． 当Δ>0，即m >2或m <－2时， t 2＋mt ＋1＝0有一正一负两根， 则t 1t 2<0，这与t 1t 2＝1>0矛盾． ∴这种情况不可能，综上可知：m ＝－2时，f (x )有唯一零点，该零点为x ＝0.。
专题11 函数与方程1.考查函数零点的个数和取值范围；2.利用函数零点求解参数的取值范围；3.利用二分法求方程近似解；4.与实际问题相联系，考查数学应用能力． 1．函数的零点(1)定义：如果函数y ＝f (x )在实数α处的值等于零，即f (α)＝0，则α叫做这个函数的零点．(2)变号零点：如果函数图象经过零点时穿过x 轴，则称这样的零点为变号零点． (3)几个等价关系方程f (x )＝0有实数根⇔函数y ＝f (x )的图象与x 轴有交点⇔函数y ＝f (x )有零点． 2．零点存在性定理如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值异号，即f (a )f (b )<0，则这个函数在这个区间上，至少有一个零点，即存在一点x 0∈(a ，b )，使f (x 0)＝0.3．用二分法求函数f (x )零点近似值的步骤 第一步，确定区间[a ，b ]，验证f (a )f (b )<0； 第二步，求区间(a ，b )的中点c 1； 第三步，计算f (c 1)：(1)若f (c 1)＝0，则c 1就是函数的零点；(2)若f (a )f (c 1)<0，则令b ＝c 1(此时零点x 0∈(a ，c 1))； (3)若f (b )f (c 1)<0，则令a ＝c 1(此时零点x 0∈(c 1，b ))；第四步，判断x 0是否满足给定的精确度；否则重复第二、三、四步． 高频考点一 函数零点个数的判断例1、(1)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2，x ≤0，2x －6＋ln x ，x >0的零点个数是________．(2)函数f (x )＝2x|log 0.5x |－1的零点个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4图象有两个交点，因此函数f (x )有2个零点． 【答案】 (1)2 (2)B【方法规律】函数零点个数的判断方法：(1)直接求零点，令f (x )＝0，有几个解就有几个零点；(2)零点存在性定理，要求函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )<0，再结合函数的图象与性质确定函数零点个数；(3)利用图象交点个数，作出两函数图象，观察其交点个数即得零点个数.【变式探究】f (x )＝2sin x sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2－x 2的零点个数为________．【解析】 f (x )＝2sin x cos x －x 2＝sin 2x －x 2，则函数的零点即为函数y ＝sin 2x 与函数y ＝x 2图象的交点，如图所示，两图象有2个交点，则函数有2个零点．【答案】 2高频考点二、函数零点所在区间的判断例2、(1)若a <b <c ，则函数f (x )＝(x －a )(x －b )＋(x －b )(x －c )＋(x －c )(x －a )的两个零点分别位于区间( ) A ．(a ，b )和(b ，c )内B ．(－∞，a )和(a ，b )内C ．(b ，c )和(c ，＋∞)内D ．(－∞，a )和(c ，＋∞)内(2)设f (x )＝ln x ＋x －2，则函数f (x )的零点所在的区间为( ) A ．(0，1) B ．(1，2) C ．(2，3)D ．(3，4)范围．作图如下：可知f (x )的零点所在的区间为(1，2)．法二 易知f (x )＝ln x ＋x －2在(0，＋∞)上为增函数， 且f (1)＝1－2＝－1<0，f (2)＝ln 2>0.所以根据函数零点存在性定理可知在区间(1，2)内函数存在零点． 【答案】 (1)A (2)B【方法规律】确定函数f (x )的零点所在区间的常用方法(1)利用函数零点的存在性定理：首先看函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是否连续，再看是否有f (a )·f (b )<0.若有，则函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内必有零点．(2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x 轴在给定区间上是否有交点来判断．【变式探究】 已知函数f (x )＝ln x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2的零点为x 0，则x 0所在的区间是( )A ．(0，1)B ．(1，2)C ．(2，3)D ．(3，4)【解析】 ∵f (x )＝ln x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2在(0，＋∞)上是增函数，又f (1)＝ln 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝ln 1－2<0，f (2)＝ln 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫120＝ln 2－1<0，f (3)＝ln 3－12>0. 故f (x )的零点x 0∈(2，3)． 【答案】 C高频考点三、 函数零点的应用例3、已知定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x －4)＝f (x )，且在区间[0，2]上f (x )＝x ，若关于x 的方程f (x )＝log a x 有三个不同的实根，求a 的取值范围． 故a 的取值范围是(6，10)．【方法规律】已知函数有零点(方根有根)求参数值常用的方法：(1)直接法，直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法，先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后观察求解．【变式探究】(1)(已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x＋a ，x ≤0，3x －1，x >0(a ∈R )，若函数f (x )在R 上有两个零点，则a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1)B ．(－∞，0)C ．(－1，0)D ．[－1，0)(2)(2016·山东卷)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x |，x ≤m ，x 2－2mx ＋4m ，x >m ，其中m >0.若存在实数b ，使得关于x 的方程f (x )＝b 有三个不同的根，则m 的取值范围是________．【答案】 (1)D (2)(3，＋∞) 高频考点四、 二次函数的零点问题例4、已知f(x)＝x2＋(a2－1)x ＋(a －2)的一个零点比1大，一个零点比1小，求实数a 的取值范围．解 方法一 设方程x2＋(a2－1)x ＋(a －2)＝0的两根分别为x1，x2(x1<x2)，则(x1－1)(x2－1)<0，∴x1x2－(x1＋x2)＋1<0，由根与系数的关系，得(a －2)＋(a2－1)＋1<0， 即a2＋a －2<0，∴－2<a<1.方法二 函数图象大致如图，则有f(1)<0， 即1＋(a2－1)＋a －2<0，∴－2<a<1. 故实数a 的取值范围是(－2,1)．【感悟提升】解决与二次函数有关的零点问题：(1)可利用一元二次方程的求根公式；(2)可用一元二次方程的判别式及根与系数之间的关系；(3)利用二次函数的图象列不等式组． 【变式探究】若函数f(x)＝(m －2)x2＋mx ＋(2m ＋1)的两个零点分别在区间(－1,0)和区间(1,2)内，则m 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，14B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，12 【答案】 C1.【2016高考新课标1卷】函数22xy x e =-在[]2,2-的图像大致为（A ）（B ）（C ）（D ）【答案】 D2.【2016高考天津理数】已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间（-∞，0）上单调递增.若实数a 满足1(2)(2)a f f ->-，则a 的取值范围是______.【答案】13(,)22【解析】由题意()f x 在(0,)+∞上单调递减，又()f x 是偶函数，则不等式1(2)(2)a f f ->-可化为1(2)(2)a f f ->，则122a -<，112a -<，解得1322a <<．3.【2016高考天津理数】已知函数f （x ）=2(4,0,log (1)13,03)a x a x a x x x ⎧+<⎨++≥-+⎩（a >0,且a ≠1）在R 上单调递减，且关于x 的方程|()|2f x x =-恰好有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是（ ） （A ）（0，23] （B ）[23，34] （C ）[13，23]{34}（D ）[13，23）{34} 【答案】C2y x =-相切，也符合题意，∴实数的去范围是123[,]{}334，故选C.4.【2016年高考北京理数】设函数33,()2,x x x af x x x a⎧-≤=⎨->⎩.①若0a =，则()f x 的最大值为______________； ②若()f x 无最大值，则实数a 的取值范围是________. 【答案】2，(,1)-∞-.【解析】如图，作出函数3()3g x x x =-与直线2y x =-的图象，它们的交点是(1,2),(0,0),(1,2)A O B --，由2'()33g x x =-，知1x =是函数()g x 的极小值点， ①当0a =时，33,0()2,0x x x f x x x ⎧-≤=⎨->⎩，由图象可知()f x 的最大值是(1)2f -=；②由图象知当1a ≥-时，()f x 有最大值(1)2f -=；只有当1a <-时，332a a a -<-，()f x 无最大值，所以所求的取值范围是(,1)-∞-．【2015高考湖南，理15】已知32,(),x x af x x x a⎧≤=⎨>⎩，若存在实数b ，使函数()()g x f x b=-有两个零点，则a 的取值范围是 . 【答案】),1()0,(+∞-∞ .0<a ，综上，实数a 的取值范围是),1()0,(+∞-∞ .【2015高考江苏，13】已知函数|ln |)(x x f =，⎩⎨⎧>--≤<=1,2|4|10,0)(2x x x x g ，则方程1|)()(|=+x g x f 实根的个数为【解析】由题意得：求函数()y f x =与1()y g x =-交点个数以及函数()y f x =与1()y g x =--交点个数之和，因为221,011()7,21,12x y g x x x x x <≤⎧⎪=-=-≥⎨⎪-<<⎩，所以函数()y f x =与1()y g x =-有两个交点，又221,011()5,23,12x y g x x x x x -<≤⎧⎪=--=-≥⎨⎪-<<⎩，所以函数()y f x =与1()y g x =--有两个交点，因此共有4个交点（2014·湖南卷）已知函数f (x )＝x 2＋e x －12(x <0)与g (x )＝x 2＋ln(x ＋a )的图像上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，1e) B ．(－∞，e) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1e ，e D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－e ，1e【答案】B（2014·天津卷）已知函数f (x )＝|x 2＋3x |，x ∈R.若方程f (x )－a |x －1|＝0恰有4个互异的实数根，则实数a 的取值范围为________． 【答案】(0，1)∪(9，＋∞)【解析】在同一坐标系内分别作出y ＝f (x )与y ＝a |x －1|的图像如图所示．当y ＝a |x －1|与y ＝f (x )的图像相切时，由⎩⎪⎨⎪⎧－ax ＋a ＝－x 2－3x ，a >0，整理得x 2＋(3－a )x ＋a ＝0，则Δ＝(3－a )2－4a ＝a 2－10a ＋9＝0，解得a ＝1或a ＝9.故当y ＝a |x －1|与y ＝f (x )的图像有四个交点时，0<a <1或a >9.（2014·浙江卷）已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，且0<f (－1)＝f (－2)＝f (－3)≤3，则( )A ．c ≤3 B．3<c ≤6 C ．6<c ≤9 D．c >9【解析】由f (－1)＝f (－2)＝f (－3)得⎩⎪⎨⎪⎧－1＋a －b ＋c ＝－8＋4a －2b ＋c ，－8＋4a －2b ＋c ＝－27＋9a －3b ＋c ⇒⎩⎪⎨⎪⎧－7＋3a －b ＝0，19－5a ＋b ＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6，b ＝11，则f (x )＝x 3＋6x 2＋11x ＋c ，而0<f (－1)≤3，故0<－6＋c ≤3， ∴6<c ≤9，故选C.（2013·新课标全国卷Ⅰ] 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x≤0，ln （x ＋1），x ＞0.若|f(x)|≥ax，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，0]B ．(－∞，1]C ．[－2，1]D ．[－2，0] 【答案】Dg′(x)＝－x（x ＋1）2<0，故g(x)在(0，＋∞)上单调递减，所以g(x)<g(0)＝0，可得h′(x)＝xx ＋1－ln （x ＋1）x 2<0，故h(x)在(0，＋∞)上单调递减，x→＋∞时，h(x)→0， 所以h(x)>0，a≤0.综上可知，－2≤a≤0，故选D.方法二：数形结合：画出函数|f(x)|＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x≤0，ln （x ＋1），x>0与直线y ＝ax 的图像，如下图，要使|f(x)|≥ax 恒成立，只要使直线y ＝ax 的斜率最小时与函数y ＝x 2－2x ，x≤0在原点处的切线斜率相等即可，最大时与x 轴的斜率相等即可， 因为y′＝2x －2，所以y′|x ＝0＝－2，所以－2≤a≤0.（2013·安徽卷）若函数f(x)＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 有极值点x 1，x 2，且f(x 1)＝x 1，则关于x 的方程3(f(x))2＋2af(x)＋b ＝0的不同实根个数是( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6（2013·安徽卷）函数y ＝f(x)的图像如图1－2所示，在区间[a ，b]上可找到n(n≥2)个不同的数x 1，x 2，…，x n ，使得f （x 1）x 1＝f （x 2）x 2＝…＝f （x n ）x n，则n 的取值范围是( ) 图1－2A ．{3，4}B ．{2，3，4}C ．{3，4，5}D ．{2，3} 【答案】B【解析】问题等价于直线y ＝kx 与函数y ＝f(x)图像的交点个数，从图中可以看出交点个数可以为2，3，4，故n 的取值范围是{2，3，4}．（2013·湖南卷）函数f(x)＝2ln x 的图像与函数g(x)＝x 2－4x ＋5的图像的交点个数为( )A ．3B ．2C ．1D ．0 【答案】B【解析】法一：作出函数f(x)＝2ln x ，g(x)＝x 2－4x ＋5的图像如图： 可知，其交点个数为2，选B. 法二：也可以采用数值法：可知它们有2个交点，选B.（2013·山东卷）设函数f(x)＝xe 2x ＋c(e ＝2.718 28…是自然对数的底数，c∈R)．(1)求f(x)的单调区间、最大值；(2)讨论关于x 的方程|ln x|＝f(x)根的个数． ①当x∈(1，＋∞)时，lnx>0，则g(x)＝lnx －xe －2x－c ，所以g′(x)＝e－2xe2xx＋2x －1.因为2x －1>0，e2xx >0，所以g′(x)>0.因此g(x)在(1，＋∞)上单调递增．②当x∈(0，1)时，lnx<0，则g(x)＝－lnx －xe －2x－c ，所以g′(x)＝e－2x－e2xx＋2x －1.因为e 2x∈(1，e 2)，e 2x>1>x>0，所以－e2xx<－1.又2x －1<1，所以－e2xx＋2x －1<0，即g′(x)<0.(ⅱ)当x∈(0，1)时，由(1)知g(x)＝－lnx －xe －2x－c≥－lnx －12e －1＋c>－lnx －1－c ，要使g(x)>0，只需－lnx －1－c>0，即x∈(0，e －1－c)；所以c>－e －2时，g(x)有两个零点， 故关于x 的方程|lnx|＝f(x)根的个数为2. 综上所述，当c<－e －2时，关于x 的方程|lnx|＝f(x)根的个数为0； 当c ＝－e －2时，关于x 的方程|lnx|＝f(x)根的个数为1； 当c>－e －2时，关于x 的方程|lnx|＝f(x)根的个数为2.（2013·四川卷）已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋a ，x<0，lnx ，x>0，其中a 是实数．设A(x 1，f(x 1))，B(x 2，f(x 2))为该函数图像上的两点，且x 1<x 2. (1)指出函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)的图像在点A ，B 处的切线互相垂直，且x 2<0，求x 2－x 1的最小值； (3)若函数f(x)的图像在点A ，B 处的切线重合，求a 的取值范围．【解析】解：(1)函数f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)，单调递增区间为[－1，0)，(0，＋∞)．(2)由导数的几何意义可知，点A 处的切线斜率为f′(x 1)，点B 处的切线斜率为f′(x 2)，故当点A 处的切线与点B 处的切线垂直时，有f′(x 1)f′(x 2)＝－1.当x<0时，对函数f(x)求导，得f′(x)＝2x ＋2.因为x 1<x 2<0，所以，(2x 1＋2)(2x 2＋2)＝－1，所以2x 1＋2<0，2x 2＋2>0.因此x 2－x 1＝12[－(2x 1＋2)＋2x 2＋2]≥[－（2x 1＋2）]（2x 2＋2）＝1， 当且仅当－(2x 1＋2)＝2x 2＋2＝1，即x 1＝－32且x 2＝－12时等号成立． 所以，函数f(x)的图像在点A ，B 处的切线互相垂直时，x 2－x 1的最小值为1.由①及x 1<0<x 2，知－1<x 1<0.由①②得，a ＝x 21＋ln 12x 1＋2－1＝x 21－ln(2x 1＋2)－1. 设h(x 1)＝x 21－ln(2x 1＋2)－1(－1<x 1<0)，则h′(x 1)＝2x 1－1x 1＋1<0. 所以，h(x 1)(－1<x 1<0)是减函数．则h(x 1)>h(0)＝－ln 2－1，所以a>－ln 2－1.又当x 1∈(－1，0)且趋近于－1时，h(x 1)无限增大，所以a 的取值范围是(－ln 2－1，＋∞)．故当函数f(x)的图像在点A ，B 处的切线重合时，a 的取值范围是(－ln 2－1，＋∞)． （2013·天津卷）函数f(x)＝2x |log 0.5x|－1的零点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】f(x)＝2x |log 0.5 x|－1＝⎩⎪⎨⎪⎧2x log 0.5 x －1，0<x≤1，－2x log 0.5 x －1，x>1＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x log 2 x －1，0<x≤1，2x log 2 x －1，x>1. ∵f(x)＝－2xlog 2x －1在(0，1]上递减且x 接近于0时，f(x)接近于正无穷大，f(1)＝－1<0，∴f(x)在(0，1]上有一零点；又∵f(x)＝2x log 2x －1在(1，＋∞)上递增，且f(2)＝22×log 2 2－1＝3>0，∴f(x)在(1，＋∞)上有一零点．故f(x)共有2个零点．1．函数f (x )＝3x －x 2的零点所在区间是( )A ．(0，1)B ．(1，2)C ．(－2，－1)D ．(－1，0) 【解析】 由于f (－1)＝－23<0，f (0)＝30－0＝1>0， ∴f (－1)·f (0)<0.则f (x )在(－1，0)内有零点．【答案】 D2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1，x ≤1，1＋log 2x ，x >1，则函数f (x )的零点为( ) A.12，0 B ．－2，0 C.12D ．0 【答案】 D3．函数f (x )＝2x －2x－a 的一个零点在区间(1，2)内，则实数a 的取值范围是( ) A ．(1，3) B ．(1，2) C ．(0，3) D ．(0，2)【解析】 因为函数f (x )＝2x －2x －a 在区间(1，2)上单调递增，又函数f (x )＝2x －2x－a 的一个零点在区间(1，2)内，则有f (1)·f (2)<0，所以(－a )(4－1－a )<0，即a (a －3)<0，所以0<a <3.【答案】 C4．已知f (x )是奇函数且是R 上的单调函数，若函数y ＝f (2x 2＋1)＋f (λ－x )只有一个零点，则实数λ的值是( )A.14B.18C ．－78D ．－38 【解析】 令y ＝f (2x 2＋1)＋f (λ－x )＝0，则f (2x 2＋1)＝－f (λ－x )＝f (x －λ)，因为f (x )是R 上的单调函数，所以2x 2＋1＝x －λ，只有一个实根，即2x 2－x ＋1＋λ＝0只有一个实根，则Δ＝1－8(1＋λ)＝0，解得λ＝－78. 【答案】 C5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0，x ≤0，e x ，x >0，则使函数g (x )＝f (x )＋x －m 有零点的实数m 的取值范围是( )A ．[0，1)B ．(－∞，1)C ．(－∞，1]∪(2，＋∞)D ．(－∞，0]∪(1，＋∞)【解析】 函数g (x )＝f (x )＋x －m 的零点就是方程f (x )＋x ＝m 的根，画出h (x )＝f (x )＋x ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≤0，e x ＋x ，x >0的大致图象(图略)．观察它与直线y ＝m 的交点，得知当m ≤0或m >1时，有交点，即函数g (x )＝f (x )＋x －m 有零点．【答案】 D6．已知f (x )＝⎩⎨⎧ e －x ，x ≤0，x ，x >0，g (x )＝f (x )－12x －b 有且仅有一个零点时，b 的取值范围是________． 【答案】：(－∞，0]∪[1，＋∞)∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫12 7．若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－x －1，x ≥2或x ≤－1，1，－1<x <2，则函数g (x )＝f (x )－x 的零点为________．【解析】：要求函数g (x )＝f (x )－x 的零点，即求f (x )＝x 的根，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥2或x ≤－1，x 2－x －1＝x 或⎩⎪⎨⎪⎧ －1<x <2，1＝x .解得x ＝1＋2或x ＝1.∴g (x )的零点为1＋2，1.【答案】：1＋2，18．已知0<a <1，k ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ a x ，x ≥0，kx ＋1，x <0，若函数g (x )＝f (x )－k 有两个零点，则实数k 的取值范围是______．【解析】：函数g (x )＝f (x )－k 有两个零点，即f (x )－k ＝0有两个解，即y ＝f (x )与y ＝k 的图象有两个交点．分k >0和k <0作出函数f (x )的图象．当0<k <1时，函数y ＝f (x )与y ＝k 的图象有两个交点；当k ＝1时，有一个交点；当k >1或k <0时，没有交点，故当0<k <1时满足题意．【答案】：(0,1)9．已知函数f (x )＝x 3－x 2＋x 2＋14，证明：存在x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，使f (x 0)＝x 0. 10．已知二次函数f (x )＝x 2＋(2a －1)x ＋1－2a .(1)判断命题：“对于任意的a ∈R，方程f (x )＝1必有实数根”的真假，并写出判断过程；(2)若y ＝f (x )在区间(－1,0)及⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12内各有一个零点，求实数a 的取值范围． 解：(1)“对于任意的a ∈R，方程f (x )＝1必有实数根”是真命题；依题意f (x )＝1有实根，即x 2＋(2a －1)x －2a ＝0有实根，因为Δ＝(2a －1)2＋8a ＝(2a ＋1)2≥0对于任意的a ∈R 恒成立，即x 2＋(2a －1)x －2a ＝0必有实根，从而f (x )＝1必有实根， (2)依题意知，要使y ＝f (x )在区间(－1,0)及⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12内各有一个零点， 只需⎩⎪⎨⎪⎧ f －1>0，f 0<0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12>0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 3－4a >0，1－2a <0，34－a >0，解得12<a <34. 故实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，34. 11．已知二次函数f (x )＝x 2＋(2a －1)x ＋1－2a ，(1)判断命题：“对于任意的a ∈R ，方程f (x )＝1必有实数根”的真假，并写出判断过程； (2)若y ＝f (x )在区间(－1，0)及⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12内各有一个零点，求实数a 的取值范围． 故实数a 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪⎪12<a <34.。
课时作业(十一) [第11讲 函数与方程](时间：30分钟 分值：80分)基础热身1．若函数f(x)＝x 2－ax ＋1有且仅有一个零点，则实数a 的值为( )A ．0B ．2或－2C ．－2D ．22．[2014·某某一模] 已知函数f(x)＝3x ＋x －9的零点为x 0，则x 0所在区间为( )A .⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，－12B .⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12 C .⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，32D .⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，52 3．[2014·某某师大附中月考] 已知函数y ＝f(x)的图像在区间(－2，2)上是连续的，且方程f(x)＝0在区间(－2，2)上仅有一个实根0，则f(－1)·f(1)的值( )A ．大于0B ．小于0C ．等于0D ．无法确定4．设f(x)是区间[－1，1]上的增函数，且f(－12)·f(12)<0，则方程f(x)＝0在区间[－1，1]内( )A ．可能有3个实数根B ．可能有2个实数根C ．有唯一实数根D ．没有实数根5．若函数f(x)＝ax ＋6的零点为1，则函数g(x)＝x 2＋5x ＋a 的零点是________．能力提升6．若函数f(x)＝2x －2x－a 的一个零点在区间(1，2)内，则实数a 的取值X 围是( ) A ．(1，3) B ．(1，2) C ．(0，3) D ．(0，2)7．函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧（12）x －2，x<0，x －1，x ≥0的所有零点的和等于( )A ．2B ．1C ．0D ．－1图K 1118．执行如图K 111所示的程序框图，若输入如下四个函数：①f(x)＝2x ；②f(x)＝－2x ；③f(x)＝x ＋x －1；④f(x)＝x －x －1.则输出函数的序号为( )A ．①B ．②C ．③D ．④9．[2014·某某模拟] 设函数f 1(x)＝log 2x －(12)x ，f 2(x)＝log 12x －(12)x 的零点分别为x 1，x 2，则( )A ．0<x 1x 2<1B ．x 1x 2＝1C ．1<x 1x 2<2D ．x 1x 2≥210．[2014·某某某某一中月考] 已知f(x)是定义在区间(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递减，且f(12)>f(－3)>0，则方程f(x)＝0的根的个数为________．11．[2014·某某某某中学期中] 若函数f(x)＝x 2＋2a|x|＋4a 2－3的零点有且只有一个，则实数a ＝________．12．(13分)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－a ，x ≤0，x 2－3ax ＋a ，x>0有三个不同的零点，某某数a 的取值X 围．难点突破13．(1)(6分)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧（12）x ＋34，x ≥2，log 2x ，0<x<2.若函数g(x)＝f(x)－k 有两个不同的零点，则实数k 的取值X 围是________．(2)(6分)[2014·某某武昌区检测] 已知函数f (x)(x∈R )满足f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[－1，1]时，f (x )＝1－|x |.若函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x >0，e x ，x ≤0，则函数h (x )＝f (x )－g (x )在区间[－4，4]内的零点个数是________．课时作业(十一)1．B 2.D 3.D 4.C 5.1或－66．C 7.C 8.D 9.A10．2 11.32 12.49<a ≤1 13．(1)(34，1) (2)7。
课时作业(十二) [第12讲 函数模型及其应用](时间：45分钟 分值：100分)图K12－11．“红豆生南国，春来发几枝？”，图K12－1给出了红豆生长时间t (月)与枝数y (枝)的散点图，那么红豆生长时间与枝数的关系用下列哪个函数模型拟合最好？( )A ．y ＝t 2B ．y ＝log 2tC ．y ＝2tD ．y ＝2t 22．等边三角形的边长为x ，面积为y ，则y 与x 之间的函数关系式为( ) A ．y ＝x 2B ．y ＝12x 2C ．y ＝32x 2 D ．y ＝34x 2 3．某工厂第三年的产量比第一年的产量增长44%，若每年的平均增长率相同(设为x )，则以下结论正确的是( )A ．x >22%B ．x <22%C ．x ＝22%D ．x 的大小由第一年的产量确定4．某种储蓄按复利计算利息，若本金为a 元，每期利率为r ，存期是x ，本利和(本金加利息)为y 元，则本利和y 随存期x 变化的函数关系式是________．5．某电视新产品投放市场后第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好地反映销量y 与投放市场的月数x 之间关系的是( )A ．y ＝100xB ．y ＝50x 2－50x ＋100 C ．y ＝50×2xD ．y ＝100log 2x ＋1006．[2012·华南师大附中模拟] 在股票买卖过程中，经常用到两种曲线，一种是即时价格曲线y ＝f (x )，一种是平均价格曲线y ＝g (x )(如f (2)＝3表示开始交易后第2小时的即时价格为3元；g (2)＝4表示开始交易后两个小时内所有成交股票的平均价格为4元)．下面所给出的四个图象中，实线表示y ＝f (x )，虚线表示y ＝g (x )，其中可能正确的是( )图K12－27．[2012·商丘一模] 某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L 1＝5.06x －0.15x 2和L 2＝2x ，其中x 为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为( )A ． 45.606万元B ．45.6万元C ．45.56万元D ．45.51万元8．[2013·荆州中学一检] 下列所给4个图象中，与所给3件事吻合最好的顺序为( ) (a)我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是立刻返回家里取了作业本再上学； (b)我骑着车一路以常速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间； (c)我出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速．A ．(1)(2)(4)B ．(4)(2)(3)C ．(4)(1)(3)D ．(4)(1)(2)9．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x 件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( )A ．60件B ．80件C ．100件D ．120件图K12－410．一位设计师在边长为3的正方形ABCD 中设计图案，他分别以A ，B ，C ，D 为圆心，以b ⎝ ⎛⎭⎪⎫0<b ≤32为半径画圆，由正方形内的圆弧与正方形边上线段(圆弧端点在正方形边上的连线)构成了丰富多彩的图形，则这些图形中实线部分总长度的最小值为________．图K12－511．某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析每辆客车营运的总利润y (单位：10万元)与营运年数x (x ∈N )为二次函数关系(如图K12－5所示)，若每辆客车营运的年平均利润最大，则营运的年数为________年．12．某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3 km(不超过3 km 按起步价收费)；超过3 km 但不超过8 km 时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8 km 时，超过的部分按每千米2.85元收费，每次乘车需付燃油附加费1元，现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了________千米．图K12－613．[2013·上海南汇一中月考] 为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y (mg)与时间t (h)成正比；药物释放完毕后，y 与t 的函数关系式为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫116t －a(a 为常数)，如图K12－6所示，据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25 mg 以下时，学生方可进教室，那从药物释放开始，至少需要经过________h 后，学生才能回到教室．14．(10分)某地上年度电价为0.8元，年用电量为1亿千瓦时．本年度计划将电价调至0.55元～0.75元之间，经测算，若电价调至x 元，则本年度新增用电量y (亿千瓦时)与(x －0.4)元成反比例．又当x ＝0.65时，y ＝0.8.(1)求y 与x 之间的函数关系式；(2)若每千瓦时电的成本价为0.3元，则电价调至多少时，本年度电力部门的收益将比上年增加20%？[收益＝用电量×(实际电价－成本价)]15．(13分)[2013·重庆北江中学月考] 围建一个面积为360 m 2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧墙需维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2 m 的进出口，如图K12－7所示．已知旧墙的维修费为45元/m ，新墙的造价为180元/m.设利用的旧墙长度为x (单位：m)，修建此矩形场地围墙的总费用为y (单位：元)．(1)将y 表示为x 的函数；(2)试确定x ，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用．16．(12分)江苏省环保研究所对市中心每天环境放射性污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合放射性污染指数f (x )与时刻x (时)的关系为f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x x 2＋1－a ＋2a ＋23，x ∈[0，24]，其中a 是与气象有关的参数，且a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12.若用每天f (x )的最大值为当天的综合放射性污染指数，并记作M (a )．(1)令t ＝xx 2＋1，x ∈[0，24]，求t 的取值范围；(2)省政府规定，每天的综合放射性污染指数不得超过2，试问目前市中心的综合放射性污染指数是否超标？课时作业(十二)【基础热身】1．A [解析] 由函数的图象知B 显然不符，将t ＝6代入发现C 不符，将t ＝2代入发现D 不符，故选A.本题也可取几个特殊点代入验证．2．D [解析] y ＝12·x ·x ·sin60°＝34x 2.故选D.3．B [解析] (1＋x )2＝1＋44%，解得x ＝0.2<0.22.故选B.4．y ＝a (1＋r )x (x ∈N *) [解析] 按复利的计算方法得y ＝a (1＋r )x (x ∈N *)，注意不要忘记定义域． 【能力提升】5．C [解析] 根据函数模型的增长差异和题目中的数据可知，应为指数型函数模型．6．C [解析] 开始交易时，即时价格和平均价格应该相等，A 错误；开始交易后，平均价格应该跟随即时价格变动，在任何时刻其变化幅度应该小于即时价格变化幅度，B ，D 均错误，故选C.7．B [解析] 依题意可设甲地销售x 辆，则乙地销售(15－x )辆，所以总利润S ＝5.06x －0.15x 2＋2(15－x )＝－0.15x 2＋3.06x ＋30(0≤x ≤15，x ∈N )．所以当x ＝10时，S max ＝45.6(万元)．8．D [解析] 图(4)中有一段时间显示离开家的距离为零，与(a)吻合；图(1)中有一段时间显示离开家的距离没有变化，与(b)吻合；图(2)显示离开家的距离在不断加快，图(3)显示离开家的距离在增加，但是增加的速度越来越慢．故选D.9．B [解析] 仓储费用x 8×x ×1＝x 28，每件产品的生产准备费用与仓储费用之和y ＝x 28＋800x ＝x 8＋800x≥2x 8·800x＝20， 当且仅当x 8＝800x，即x ＝80时等号成立，所以每批应生产产品80件，故选B.10．3π [解析] 由题意实线部分的总长度为l ＝4(3－2b )＋2πb ＝(2π－8)b ＋12，l 关于b 的一次函数的一次项系数2π－8<0，故l 关于b 为单调减函数，因此，当b 取最大值时，l 取得最小值，结合图形知，b 的最大值为32，代入上式得l 最小＝(2π－8)×32＋12＝3π.11．5 [解析] 依题意设二次函数的解析式为y ＝a (x －6)2＋11，将点(4，7)代入，解得a ＝－1，所以y ＝－(x －6)2＋11＝－x 2＋12x －25，则年平均利润为y x ＝－x 2＋12x －25x ＝12－x ＋25x≤12－2x ·25x＝2，当且仅当x ＝5时，年平均利润达到最大值．12．9 [解析] 设乘客每次乘坐出租车需付费用为f (x )元，由题意得， f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧8＋1，0<x ≤3，9＋（x －3）×2.15，3<x ≤8，9＋5×2.15＋（x －8）×2.85，x >8，令f (x )＝22.6，解得x ＝9.13．0.6 [解析] 由图可知，当t ＝0.1时，y ＝1，代入y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫116t －a得a ＝0.1，所以y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫116t －0.1.依题意得⎝ ⎛⎭⎪⎫116t －0.1<0.25，即⎝ ⎛⎭⎪⎫116t －0.1<14，解得t >0.6. 14．解：(1)因为y 与(x －0.4)成反比例，所以设y ＝kx －0.4(k ≠0)．把x ＝0. 65，y ＝0.8代入上式， 得0.8＝k0.65－0.4，k ＝0.2.所以y ＝0.2x －0.4＝15x －2， 即y 与x 之间的函数关系式为y ＝15x －2(0.55≤x ≤0.75)． (2)根据题意，得⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋15x －2·(x －0.3)＝1×(0.8－0.3)×(1＋20%)． 整理，得x 2－1.1x ＋0.3＝0，解得x 1＝0.5，x 2＝0.6. 经检验x 1＝0.5，x 2＝0.6都是所列方程的根． 因为x 的取值范围是0.55～0.75，故x ＝0.5不符合题意，应舍去．所以x ＝0.6.所以当电价调至0.6元时，本年度电力部门的收益将比上年度增加20%. 15．解：(1)设矩形的另一边长为a m ，则y ＝45x ＋180(x －2)＋180·2a ＝225x ＋360a －360， 由已知xa ＝360，得a ＝360x.所以y ＝225x ＋3602x－360(x >0)．(2)∵x >0，∴225x ＋3602x≥2225×3602＝10 800.∴y ＝225x ＋3602x －360≥10 440.当且仅当225x ＝3602x时，等号成立．即当x ＝24 m 时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10 440元． 【难点突破】16．解：(1)当x ＝0时，t ＝0；当0<x ≤24时，x ＋1x≥2(当x ＝1时取等号)，所以t ＝xx 2＋1＝1x ＋1x∈0，12， 即t 的取值范围是0，12.(2)当a ∈0，12时，记g (t )＝|t －a |＋2a ＋23，则g (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧－t ＋3a ＋23，0≤t ≤a ，t ＋a ＋23，a <t ≤12.因为g (t )在[0，a ]上单调递减，在a ，12上单调递增，且g (0)＝3a ＋23，g 12＝a ＋76，g (0)－g 12＝2a －14.故M (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧g 12，0≤a ≤14，g （0），14<a ≤12，即M (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧a ＋76，0≤a ≤14，3a ＋23，14<a ≤12.所以当且仅当a ≤49时，M (a )≤2.故当0≤a ≤49时不超标，当49<a ≤12时超标．。
函数与方程【学习目标】1．结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程的根的联系.2．理解并会用函数在某个区间上存在零点的判定方法3体会高中数学中数形结合的思想。
4以极度的热情投入学习，体会成功的快乐。
【学习重点】函数与方程的相互转化【学习难点】函数与方程的相互转化[自主学习]1．一元二次函数与一元二次方程一元二次函数与一元二次方程（以后还将学习一元二次不等式）的关系一直是高中数学函数这部分内容中的重点，也是高考必考的知识点．我们要弄清楚它们之间的对应关系：一元二次函数的图象与x 轴的交点的横坐标是对应一元二次方程的解；反之，一元二次方程的解也是对应的一元二次函数的图象与x 轴的交点的横坐标．2．函数与方程两个函数()y f x =与()y g x =图象交点的横坐标就是方程()()f x g x =的解；反之，要求方程()()f x g x =的解，也只要求函数()y f x =与()y g x =图象交点的横坐标．3．二分法求方程的近似解1.若函数在某区间内存在零点，则函数在该区间上的图象是 （间断／连续）；含零点的某一较小区间中以零点左右两边的实数为自变量，它们各自所对应的函数值的符号是 （相同／互异）2.用二分法求函数零点近似值步骤.1.确定区间[a ,b ]，验证f (a )·f (b )<0,给定精确度ε；2.求区间(a ,b )的中点c ；3.计算f(c)；（1）若f (c )=0，则c 就是函数的零点；（2）若f (a )· f (c )<0，则令b = c （此时零点x 0∈(a , c ) );（3）若f (c )· f (b )<0，则令a = c （此时零点x 0∈( c , b ) ).4.判断是否达到精确度ε:即若|a -b |<ε,则得到零点近似值a (或b );否则重复步骤2——4．口 诀定区间，找中点， 中值计算两边看.同号去，异号算， 零点落在异号间.周而复始怎么办? 精确度上来判断[典型例析]例1（1）关于x 的方程 22(28)160x m x m --+-=的两个实根 1x 、2x 满足1232x x <<，则实数m 的取值范围 （2）若对于任意[1,1]a ∈-，函数2()(4)42f x x a x a =+-+-的值恒大于零, 则x 的取值范围是（3）当01x ≤≤时，函数1y ax a =+-的值有正值也有负值，则实数a 的取值范围是_____________例2已知二次函数2()(,f x ax bx a b =+为常数，且0)a ≠ 满足条件：(1)(3)f x f x -=-，且方程()2f x x =有等根.（1）求()f x 的解析式；（2）是否存在实数m 、n ()m n <，使()f x 定义域和值域分别为［m ，n ］和［4m ，4n ］，如果存在，求出m 、n 的值；如果不存在，说明理由.变式训练1：已知函数11()f x a x =- ((0,0)a x >>.（1）求证：()f x 在(0,+∞)上是增函数；（2）若()2f x x ≤在(0,+∞)上恒成立，求a 的取值范围；（3）若()f x 在［m ，n ］上的值域是［m ，n ］(m ≠n)，求a 的取值范围.例3对于函数()f x ，若存在0x ∈R,使00()f x x ＝成立，则称0x 为()f x 的不动点.已知函数2()(1)1(0)f x ax b x b a =+++-≠（1）当1,2a b ==-时，求()f x 的不动点；（2）若对任意实数b ，函数()f x 恒有两个相异的不动点，求a 的取值范围；[当堂检测]1. 1. 用二分法求方程0523=--x x 在区间[2，3]内的实根，取区间中点5.20=x ，那么下一个有根区间是______________。
课时作业(一)A [第1讲集合及其运算](时间：35分钟分值： 80分)基础热身1．[2012·潍坊月考] 设集合A＝{x|2x－2<1}，B＝{x|1－x≥0}，则A∩B等于( ) A．{x|x≤1} B．{x|1≤x<2}C．{x|0<x≤1} D．{x|0<x<1}2．[2012·商丘模拟] 设全集U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A＝{1，2，3，5}，B＝{2，4，6}，则图K1－1中的阴影部分表示的集合为( )图K1－1A．{2} B．{4，6}C．{1，3，5} D．{4，6，7，8}3．设非空集合M，N满足：M＝{x|f(x)＝0}，N＝{x|g(x)＝0}，P＝{x|f(x)g(x)＝0}，则集合P恒满足的关系为( )A．P＝M∪N B．P⊆(M∪N)C．P≠∅ D．P＝∅4．[2012·上海卷] 若集合A＝{x|2x－1>0}，B＝{x||x|<1}，则A∩B＝________．能力提升5．已知集合A＝{x|x2－4x－12<0}，B＝{x|x<2}，则A∪(∁R B)＝( )A．{x|x<6} B．{x|－2<x<2}C．{x|x>－2} D．{x|2≤x<6}6．设集合A＝{1，2}，则满足A∪B＝{1，2，3}的集合B的个数为( )A．1 B．3C．4 D．87．[2012·开封模拟] 设全集U＝{x|x≤7，x∈N*}，集合A＝{1，3}，B＝{2，6}，则∁U(A∪B)＝( )A．{2，3，6} B．{1，2，7}C．{2，5，7} D．{4，5，7}8．[2012·北京卷] 已知集合A＝{x∈R|3x＋2>0}，B＝{x∈R|(x＋1)(x－3)>0}，则A∩B ＝( )A ．(－∞，－1) B.⎝⎛⎭⎪⎫－1，－23 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，3 D ．(3，＋∞)9．已知集合A ＝{(x ，y )|x ，y 为实数，且x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|x ，y 为实数，且y ＝x }，则A ∩B 的元素个数为________．10．集合A ＝{x |ax －1＝0}，B ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，且A ∪B ＝B ，则实数a 的值为________．11．已知x ∈R ，y >0，集合A ＝{x 2＋x ＋1，－x ，－x －1}，集合B ＝－y ，－y 2，y ＋1，若A ＝B ，则x 2＋y 2的值为____________________．12．(13分)集合A ＝{x |x 2－ax ＋a 2－19＝0}，B ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}，C ＝{x |x 2＋2x －8＝0}，满足A ∩B ≠∅，A ∩C ＝∅，求实数a 的值．难点突破13．(12分)集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}．(1)若B ⊆A ，求实数m 的取值范围；(2)当x ∈Z 时，求A 的非空真子集的个数；(3)当x ∈R 时，若A ∩B ＝∅，求实数m 的取值范围．课时作业(一)B [第1讲 集合及其运算](时间：35分钟 分值：80分)基础热身1．S ＝{y |y ＝3x ，x ∈R }，T ＝{y |y ＝x 2－1，x ∈R }，则S ∩T 是( )A ．SB ．TC ．∅D ．有限集2．[2012·浙江卷] 设全集U ＝{1，2，3，4，5，6}，集合P ＝{1，2，3，4}，Q ＝{3，4，5}，则P ∩(∁U Q )＝( )A ．{1，2，3，4，6}B ．{1，2，3，4，5}C ．{1，2，5}D ．{1，2}3．若集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪log 12x ≥12，则∁R A ＝( ) A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，＋∞ B.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，＋∞ C ．(－∞，0]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，＋∞ D ．(－∞，0]∪⎝ ⎛⎭⎪⎫22，＋∞ 4．[2012·淮阴模拟] 已知全集U ＝{1，2，3，4，5}，集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B＝{x |x ＝2a ，a ∈A }，则集合∁U (A ∪B )＝________．能力提升5．[2012·驻马店模拟] 集合A ＝{x |x 2－2x ＋a >0}，1∉A ，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，0]B ．[0，＋∞)C ．[1，＋∞)D ．(－∞，1]6．定义集合运算：A⊙B＝{z|z＝xy(x＋y)，x∈A，y∈B}，设集合A＝{0，1}，B＝{2，3}，则集合A⊙B的所有元素之和为( )A．0 B．6C．12 D．187．已知A，B均为集合U＝{1，3，5，7，9}的子集，且A∩B＝{3}，(∁U B)∩A＝{9}，则A等于( )A．{1，3} B．{3，7，9}C．{3，5，9} D．{3，9}8．已知集合A，B，A＝{x|－2≤x<2}，A∪B＝A，则集合B不可能．．．为( ) A．∅ B．{x|0≤x≤2}C．{x|0<x<2} D．{x|0≤x<2}9．已知集合M＝{(x，y)|x＋y＝1}，N＝{(x，y)| x－y＝1}，则M∩N＝________．10．设集合A＝{5，log2(a＋3)}，B＝{a，b}，若A∩B＝{2}，则A∪B＝________．11．集合A＝{(x，y)|y＝1－x2}，B＝{(x，y)|y＝x＋b}，若A∩B的子集有4个，则b的取值范围是________．12．(13分)设关于x的不等式x(x－a－1)<0(a∈R)的解集为M，不等式x2－2x－3≤0的解集为N.(1)当a＝1时，求集合M；(2)若M⊆N，求实数a的取值范围．难点突破13．(1)(6分)[2012·北京西城区模拟] 已知集合A＝{a1，a2，…，a20}，其中a k>0(k ＝1，2，…，20)，集合B＝{(a，b)|a∈A，b∈A，a－b∈A}，则集合B中的元素至多有( ) A．210个 B．200个C．190个 D．180个(2)(6分)[2012·北京朝阳区模拟] 已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤4}，集合B＝{(x，y)|y≥m|x|，m为正常数}．若O为坐标原点，M，N为集合A所表示的平面区域与集合B所表示的平面区域的边界的交点，则△MON的面积S与m的关系式为________．参考答案课时作业(一)A【基础热身】1．A [解析] A ＝{x |x <2}，B ＝{x |x ≤1}，故A ∩B ＝{x |x ≤1}．2．B [解析] 由图知即求(∁U A )∩B ，而∁U A ＝{4，6，7，8}，B ＝{2，4，6}，所以(∁U A )∩B ＝{4，6}．故选B.3．B [解析] 集合M 中的元素为方程f (x )＝0的根，集合N 中的元素为方程g (x )＝0的根．但有可能M 中的元素会使得g (x )＝0没有意义，同理N 中的元素也有可能会使得f (x )＝0没有意义．如：f (x )＝x －2，g (x )＝1－x ，f (x )·g (x )＝x －2·1－x ＝0解集为空集．这里容易错选A 或C.4.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 [解析] A ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞，B ＝(－1，1)，A ∩B ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1. 【能力提升】5．C [解析] A ＝{x ∈R |－2<x <6}，∁R B ＝{x ∈R |x ≥2}，所以A ∪∁R B ＝{x |x >－2}．故选C.6．C [解析] 依题意，集合B 可以是{3}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}，故选C.7．D [解析] 由题知U ＝{1，2，3，4，5，6，7}，A ∪B ＝{1，2，3，6}，故∁U (A ∪B )＝{4，5，7}，故选D.8．D [解析] A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x >－23，利用二次不等式的解法可得B ＝{x |x >3或x <－1}，画出数轴易得A ∩B ＝{x |x >3}．故选D.9．2 [解析] 依题意即求单位圆x 2＋y 2＝1与直线y ＝x 的交点个数，可解得交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，－22，所以A ∩B 中有2个元素． 10．0或1或12[解析] B ＝{1，2}，当a ＝0时，A ＝∅，满足题设条件；当A 中元素分别为1和2时，得a ＝1，a ＝12.所以a 的值为0或1或12. 11．5 [解析] 由x ∈R ，y >0，则x 2＋x ＋1>0，－y <0，－y 2<0，y ＋1>0，且－x －1<－x ，－y <－y2.因为A ＝B ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ＋1＝y ＋1，－x －1＝－y ，－x ＝－y 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2. 所以A ＝{3，－1，－2}，B ＝{－2，－1，3}，符合条件， 故x 2＋y 2＝12＋22＝5.12．解：B ＝{x |(x －2)(x －3)＝0}＝{2，3}，C ＝{x |(x ＋4)(x －2)＝0}＝{－4，2}，因为A ∩B ≠∅，所以2，3至少有一个元素在A 中，又A ∩C ＝∅，∴2∉A ，3∈A ，即9－3a ＋a 2－19＝0，得a ＝5或－2，而a ＝5时A ＝C ，与A ∩C ＝∅矛盾，所以a ＝－2.【难点突破】13．解：(1)当m ＋1>2m －1，即m <2时，B ＝∅，满足B ⊆A .当m ＋1≤2m －1，即m ≥2时，要使B ⊆A 成立，需⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≥－2，2m －1≤5，可得2≤m ≤3， 综上，m 的取值范围是m ≤3.(2)当x ∈Z 时，A ＝{－2，－1，0，1，2，3，4，5}，所以A 的非空真子集个数为28－2＝254.(3)因为x ∈R ，且A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，A ∩B ＝∅. 则①若B ＝∅，即m ＋1>2m －1，得m <2时满足条件．②若B ≠∅，则要满足的条件是⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤2m －1，m ＋1>5或⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤2m －1，2m －1<－2，解得m >4. 综上，m 的取值范围是m <2或m >4.课时作业(一)B【基础热身】1．A [解析] S ＝{y |y >0}，T ＝{y |y ≥－1}，所以S ∩T ＝{y |y >0}＝S .故选A.2．D [解析] 因为Q ＝{3，4，5}，所以∁U Q ＝{1，2，6}，所以P ∩(∁U Q )＝{1，2}．故选D.3．D [解析] 由log 12x ≥12得log 12x ≥log 1212，所以0<x ≤22，所以∁R A ＝(－∞，0]∪⎝ ⎛⎭⎪⎫22，＋∞.故选D. 4．{3，5} [解析] ∵A ＝{1，2}，∴B ＝{2，4}，∴A ∪B ＝{1，2，4}，∴∁U (A ∪B )＝{3，5}．【能力提升】5．D [解析] 因为1∉A ，所以当x ＝1时，x 2－2x ＋a ≤0，即12－2×1＋a ≤0，所以a ≤1.故选D.6．D [解析] 当x ＝0时，z ＝0，当x ＝1，y ＝2时，z ＝6，当x ＝1，y ＝3时，z ＝12，故所有元素之和为18，选D.7．D [解析] 由韦恩图可得A ＝{3，9}．故选D.8．B [解析] 若x ＝2，由四个选项知B ＝{x |0≤x ≤2}，此时，A ∪B ≠A .所以集合B 不可能是{x |0≤x ≤2}，故选B.9．{(1，0)} [解析] 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，x －y ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝0，所以M ∩N ＝{(1，0)}． 10．{1，2，5} [解析] 由A ∩B ＝{2}得log 2(a ＋3)＝2，所以a ＝1，b ＝2，所以A ∪B ＝{1，2，5}．11．1≤b < 2 [解析] 由题意可知，A ∩B 中有两个元素，所以B 中的直线与A 中的半圆要有两个不同的交点，结合图形可以求出b 的范围为1≤b < 2.12．解：(1)当a ＝1时，由已知得x (x －2)<0.解得0<x <2.所以M ＝{x |0<x <2}．(2)由已知得N ＝{x |－1≤x ≤3}．①当a <－1时，因为a ＋1<0，所以M ＝{x |a ＋1<x <0}．因为M ⊆N ，所以－1≤a ＋1<0，解得－2≤a <－1.②若a ＝－1时，M ＝∅，显然有M ⊆N ，所以a ＝－1成立．③若a >－1时，因为a ＋1>0，所以M ＝{x |0<x <a ＋1}．又M ⊆N ，所以0<a ＋1≤3，解得－1<a ≤2.综上所述，a 的取值范围是[－2，2]．【难点突破】13．(1)C (2)4m 1＋m 2 [解析] (1)因为集合中的元素是互异的，不妨设a 1>a 2>…>a 20，则满足条件的(a 1，b )中，b 最多可取19个值；满足条件的(a 2，b )中，b 最多可取18个值；以此类推，满足条件的(a 19，b )中，b 最多可取1个值，所以集合B 中元素至多有19＋18＋17＋…＋1＝190个．故选C.(2)依题意即求图中△MON 的面积，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝4，y ＝mx 得点N 坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋m 2，2m 1＋m 2，根据对称性知，△MON 的面积为S ＝12·2x ·y ＝4m 1＋m2.。
高考数学一轮复习 函数与方程课时作业11 理 北师大版一、选择题1．(2010年天津高考)函数 f (x )＝2x＋3x 的零点所在的一个区间是( ) A ．(－2，－1) B ．(－1,0) C ．(0,1)D ．(1,2)解析：∵f (－1)＝2－1＋3×(－1)＝－52<0，f (0)＝20＋0＝1>0，∴f (－1) f (0)<0.∴ f (x )＝2x＋3x 的零点所在的一个区间为(－1,0)． 答案：B2．(2010年浙江高考)设函数 f (x )＝4sin(2x ＋1)－x ，则在下列区间中函数 f (x )不存在零点的是( )A ．[－4，－2]B ．[－2,0]C ．[0,2]D ．[2,4]解析：对于B ，∵f (0)＝4sin1>0，f (－π2)＝4sin(－π＋1)＋π2＝π2－4sin1<π2－4sinπ6＝π2－2<0， ∴在该区间上存在零点．对于C ，∵f (2)＝4sin5－2＝4sin(5－2π)－2<0， ∴在该区间上存在零点．对于D ，∵f (3.5)＝4sin8－3.5＝4sin(8－2π)－3.5>8sin 2π3－3.5＝43－3.5>0∴在该区间上也存在零点． 答案：A3．设 f (x )＝3x－x 2，则在下列区间中，使函数 f (x )有零点的区间是( ) A ．[0,1] B ．[1,2] C ．[－2，－1]D ．[－1,0]解析：∵f (－1)＝3－1－(－1)2＝13－1＝－23<0，f (0)＝30－02＝1>0，∴f (－1)·f (0)<0，∴有零点的区间是[－1,0]． 答案：D4．(2011年四川省平武中学高三一诊模拟)设函数 f (x )＝ln x －12x 2＋1(x >0)，则函数 y＝f (x )( )A ．在区间(0,1)，(1,2)内均有零点B ．在区间(0,1)内有零点，在区间(1,2)内无零点C ．在区间(0,1)，(1,2)内均无零点D ．在区间(0,1)内无零点，在区间(1,2)内有零点解析： f (1e )＝ln 1e －12(1e )2＋1<0， f (1)＝ln1－12＋1>0， f (2)＝ln2－1<0，选A.答案：A5．方程|x 2－2x |＝a 2＋1(a ∈R ＋)的解的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：∵a ∈R ＋，∴a 2＋1>1.而y ＝|x 2－2x |的图象如图，∴y ＝|x 2－2x |的图象与y ＝a 2＋1的图象总有两个交点．∴方程有两解． 答案：B6．（2011年天津高考） 对实数a 和b ，定义运算“⊗”：a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a －b ≤1，b ，a －b >1.设函数f (x )＝(x 2－2)⊗(x －x 2)，x ∈R ，若函数y ＝f (x )－c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是( )A ．(－∞，－2]∪⎝⎛⎭⎪⎫－1，32B ．(－∞，－2]∪⎝⎛⎭⎪⎫－1，－34 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，14∪⎝ ⎛⎭⎪⎫14，＋∞ D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－34∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，＋∞ 解析：f (x )＝⎩⎨⎧x 2－2，x 2－2－()x －x 2≤1，x －x 2，x 2－2－()x －x 2>1＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2，－1≤x ≤32，x －x 2，x <－1，或x >32，则f ()x 的图象如图1－4.图1－4∵y ＝f (x )－c 的图象与x 轴恰有两个公共点， ∴y ＝f (x )与y ＝c 的图象恰有两个公共点，由图象知c ≤－2，或－1<c <－34.答案：B 二、填空题7．x 0是方程a x＝log a x (0<a <1)的解，则x 0,1，a 这三个数的大小关系是________．解析：在同一坐标系中作出函数y ＝a x和y ＝log a x 的图象， 可以看出：x 0<1，log a x 0<1，∴x 0>a ，∴a <x 0<1. 答案：a <x 0<18．已知函数 f (x )＝{ 2x－1，x >0，－x 2－2x ，x ≤0，若函数 g (x )＝ f (x )－m 有3个零点，则实数m 的取值范围是________．解析：在坐标系内作出函数 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1，x >0，－x 2－2x ，x ≤0的图象，如下：发现当0<m <1时，函数 f (x )的图象与直线y ＝m 有三个交点， 即函数g (x )＝ f (x )－m 有三个零点． 答案：(0,1)9．已知函数 f (x )＝－x 2－2x ，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋14x，x >0x ＋1，x ≤0，(1)g [ f (1)]＝__________ ；(2)若方程g [ f (x )]－a ＝0的实数根的个数有4个，则a 的取值范围是__________ . 解析：(1)g [ f (1)]＝g (－3)＝－2；(2)g [ f (x )]＝⎩⎪⎨⎪⎧f x ＋14f x ， f x >0 f x ＋1， f x ≤0＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－2x ＋14－x 2＋2x ，－2<x <0－x 2－2x ＋1，x ≤－2或x ≥0作出g [ f (x )]的图象，由直线y ＝a 与g [ f (x )]的图象交点情况，可得a 的取值范围是[1，54)．答案：(1)－2 (2)[1，54)三、解答题10．已知a 、b 是不全为0的实数，求证：方程3ax 2＋2bx －(a ＋b )＝0在(0,1)内至少有一个根．证明：若a ＝0时，则b ≠0，此时方程的根为x ＝12，满足题意．当a ≠0时，令 f (x )＝3ax 2＋2bx －(a ＋b )．(1)若a (a ＋b )<0，则f (0)·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－(a ＋b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫－14a ＝14a (a ＋b )<0，所以 f (x )＝0在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12内有一实根．(2)若a (a ＋b )≥0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12f (1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－14a (2a ＋b )＝－14a 2－14a (a ＋b )<0， 所以 f (x )＝0在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1内有一实根．综上 f (x )＝0在区间(0,1)内至少有一根．11．关于x 的二次方程x 2＋(m －1)x ＋1＝0在区间[0,2]上有解，求实数m 的取值范围． 解：设 f (x )＝x 2＋(m －1)x ＋1，x ∈[0,2]， ①若 f (x )＝0在区间[0,2]上有一解， ∵f (0)＝1>0，则应有f (2)≤0， 又∵f (2)＝22＋(m －1)×2＋1，∴m ≤－32.②若 f (x )＝0在区间[0,2]上有两解，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥00≤－m －12≤2f 2≥0，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －12－4≥0－3≤m ≤14＋m －1×2＋1≥0∴⎩⎪⎨⎪⎧m ≥3或m ≤－1－3≤m ≤1m ≥－32， ∴－32≤m ≤－1，由①②可知m ≤－1.12．(2010年湖南高考)已知函数 f (x )＝3sin2x －2sin 2x . (1)求函数 f (x )的最大值； (2)求函数 f (x )的零点的集合．解：(1)因为 f (x )＝3sin2x －(1－cos2x ) ＝2sin(2x ＋π6)－1，所以，当2x ＋π6＝2k π＋π2，即x ＝k π＋π6(k ∈Z )时，函数 f (x )取得最大值1.(2)解法一：由(1)及 f (x )＝0得sin(2x ＋π6)＝12，所以2x ＋π6＝2k π＋π6，或2x ＋π6＝2k π＋5π6，即x ＝k π，或x ＝k π＋π3.故函数 f (x )的零点的集合为{x |x ＝k π，或x ＝k π＋π3，k ∈Z }．解法二：由 f (x )＝0得23sin x cos x ＝2sin 2x 于是sin x ＝0，或3cos x ＝sin x ，即tan x ＝ 3. 由sin x ＝0可知x ＝k π；由tan x ＝3可知x ＝k π＋π3.故函数 f (x )的零点的集合为{x |x ＝k π，或x ＝k π＋π3，k ∈Z }．。
课时作业(十一) [第11讲 函数与方程](时间：45分钟 分值：100分)基础热身1．[2013·安庆四校联考] 图K11－1是函数f (x )的图象，它与x 轴有4个不同的公共点．给出下列四个区间之中，存在不能用二分法求出的零点的区间是( )图K11－1A ．[－2.1，－1]B ．[1.9，2.3]C ．[4.1，5]D ．[5，6.1]2．[2012·唐山期末] 设f (x )＝e x＋x －4，则函数f (x )的零点位于区间( ) A ．(－1，0) B ．(0，1) C ．(1，2) D ．(2，3)3．若x 0是方程lg x ＋x ＝2的解，则x 0属于区间( ) A ．(0，1) B ．(1， 1.25) C ．(1.25，1.75) D ．(1.75，2)4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1，x >0，－x 2－2x ，x ≤0，若函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，则实数m的取值范围是________．能力提升5．函数y ＝f (x )在区间(－2，2)上的图象是连续的，且方程f (x )＝0在(－2，2)上仅有一个实根0，则f (－1)·f (1)的值( )A ．大于0B ．小于0C ．等于0D ．无法确定6．[2013·诸城月考] 设函数y ＝x 2与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2的图象的交点为(x 0，y 0)，则x 0所在的区间是( )A ．(0，1)B ．(1，2)C ．(2，3)D ．(3，4)7．已知定义在R 上的函数f (x )＝(x 2－3x ＋2)g (x )＋3x －4，其中函数y ＝g (x )的图象是一条连续曲线，则方程f (x )＝0在下面哪个范围内必有实数根( )A ．(0，1)B ．(1，2)C ．(2，3)D ．(3，4)8．[2011·陕西卷] 方程|x |＝cos x 在(－∞，＋∞)内( ) A ．没有根 B ．有且仅有一个根 C ．有且仅有两个根 D ．有无穷多个根9．[2012·石家庄质检] 已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－sin x ，则f (x )在[0，2π]上的零点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．410．若方程2ax 2－x －1＝0在(0，1)内恰有一解，则a 的取值范围是________． 11．若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的两个零点是－2和3，则不等式af (－2x )>0的解集是________．12．[2012·盐城二模] 若y ＝f (x )是定义在R 上的周期为2的偶函数，当x ∈[0，1]时，f (x )＝2x－1，则函数g (x )＝f (x )－log 3|x |的零点个数为________．13．[2013·扬州中学月考] 已知函数f (x )＝|x 2－1|x －1－kx ＋2恰有两个零点，则k 的取值范围是________．14．(10分)已知函数f (x )＝4x ＋m ·2x＋1有且仅有一个零点，求m 的取值范围，并求出该零点．15．(13分)已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ，b ∈R ，a >0)，设方程f (x )＝x 的两个实数根为x 1和x 2.(1)如果x 1<2<x 2<4，设函数f (x )的对称轴为x ＝x 0，求证：x 0>－1； (2)如果|x 1|<2，|x 2－x 1|＝2，求b 的取值范围． 难点突破16．(12分)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x （0≤x ≤1），－25x ＋125（1<x ≤5）.(1)若函数y ＝f (x )的图象与直线kx －y －k ＋1＝0有两个交点，求实数k 的取值范围； (2)试求函数g (x )＝xf (x )的值域．课时作业(十一)【基础热身】1．B [解析] 能用二分法求出的零点，其两侧函数值必须异号．2．C [解析] 知f (x )在R 上为单调增函数，又因为f (1)＝e －3<0，f (2)＝e 2－2>0，故函数f (x )的零点位于区间(1，2)．故选C.3．D [解析] 构造函数f (x )＝lg x ＋x －2，知f (x )在(0，＋∞)上单调递增，由f (1.75)＝f 74＝－14＋lg 74<0及f (2)＝lg2>0知x 0属于区间(1.75，2)． 4．(0，1) [解析] 画出函数f (x )的图象如图，令g (x )＝f (x )－m ＝0，即f (x )与直线y ＝m 的图象的交点有3个，所以0<m <1.【能力提升】5．D [解析] 因为f (x )在(－2，2)上有一个零点，不能说明f (－2)·f (2)的符号；如f (x )＝x 2，更不能判断f (－1)·f (1)的值．故选D.6．B [解析] 令f (x )＝x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2，则该函数在(0，＋∞)上是增函数，计算可得f (1)<0，f (2)>0，所以函数f (x )的零点在区间(1，2)，即x 0∈(1，2)．故选B.7．B [解析] f (x )＝(x 2－3x ＋2)g (x )＋3x －4＝(x －1)(x －2)g (x )＋3x －4，因为函数y ＝g (x )的图象是一条连续曲线，所以函数f (x )的图象也是连续曲线，又因为f (1)＝－1＜0，f (2)＝2>0，故f (x )＝0在区间(1，2)内必有实数根，故选B.8．C [解析] 求解方程|x |＝cos x 在(－∞，＋∞)内根的个数问题，可转化为求解函数f (x )＝|x |和g (x )＝cos x 在(－∞，＋∞)内的交点个数问题．由f (x )＝|x |和g (x )＝cos x 的图象易知有两交点，即原方程有且仅有两个根．9．B [解析] 由12x －sin x ＝0得12x ＝sin x ，在同一坐标系中作出h (x )＝12x，g (x )＝sin x在[0，2π]上的图象，可以看出交点个数为2.故选B.10．(1，＋∞) [解析] 当Δ＝1＋8a ＝0时，a ＝－18，此时方程2ax 2－x －1＝0的解为x ＝－2∉(0，1)，不合题意，故Δ>0.令f (x )＝2ax 2－x －1，故必有f (0)f (1)<0，即(－1)· (2a －2)<0，所以a >1. 11.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x⎪⎪⎪ －32<x <1) [解析] 由于函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的两个零点是－2和3，即方程x 2＋ax ＋b ＝0的两个根是－2和3.因此⎩⎪⎨⎪⎧－2＋3＝－a ，－2×3＝b ，解得a ＝－1，b ＝－6，故f (x )＝x 2－x －6.所以不等式af (－2x )>0，变为－(4x 2＋2x －6)> 0，解得－32<x <1.12．4 [解析] 数形结合，作出y ＝f (x )与y ＝log 3|x |在y 轴右侧的图象，有2个交点，又这两个函数都是偶函数，根据对称性知有4个交点．13．(0，1)∪(1，4) [解析] 函数定义域为{x ∈R |x ≠1}，令g (x )＝|x 2－1|x －1，h (x )＝kx －2，化简得g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤－1或x >1，－x －1，－1<x <1，作出函数g (x )和h (x )的图象，如图，当k ∈(0，1)∪(1，4)时，图象有两个交点，即函数f (x )有两个零点．14．解：因为f (x )＝4x ＋m ·2x＋1有且仅有一个零点， 即方程(2x )2＋m ·2x＋1＝0仅有一个实根． 设2x ＝t (t >0)，则t 2＋mt ＋1＝0.当Δ＝0时，即m 2－4＝0，得m ＝－2或m ＝2，m ＝－2时，t ＝1；m ＝2时，t ＝－1不合题意，舍去，所以2x＝1，x ＝0符合题意．当Δ>0，即m >2或m <－2时，t 2＋mt ＋1＝0有两正根或两负根， f (x )有两个零点或无零点，不合题意，所以这种情况不可能．综上可知，m ＝－2时，f (x )有唯一零点，该零点为x ＝0. 【难点突破】15．解：设g (x )＝f (x )－x ＝ax 2＋(b －1)x ＋1，则g (x )＝0的两根为x 1和x 2.(1)由a >0及x 1<2<x 2<4，可得⎩⎪⎨⎪⎧g （2）<0，g （4）>0，即⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b －1<0，16a ＋4b －3>0， 即⎩⎪⎨⎪⎧3＋3·b 2a －34a <0，－4－2·b 2a ＋34a<0，两式相加得b 2a <1，所以x 0>－1.(2)由(x 1－x 2)2＝b －1a 2－4a，可得2a ＋1＝（b －1）2＋1. 又x 1x 2＝1a>0，所以x 1，x 2同号．∴|x 1|<2，|x 2－x 1|＝2等价于⎩⎨⎧0<x 1<2<x 2，2a ＋1＝（b －1）2＋1或⎩⎨⎧x 2<－2<x 1<0，2a ＋1＝（b －1）2＋1，即⎩⎨⎧g （2）<0，g （0）>0，2a ＋1＝（b －1）2＋1或⎩⎨⎧g （－2）<0，g （0）>0，2a ＋1＝（b －1）2＋1.解之得b <14或b >74.16．解：(1)函数y ＝f (x )的图象与直线kx －y －k ＋1＝0的图象有两个交点等价于直线kx －y －k ＋1＝0分别与线段y ＝2x (0≤x ≤1)和线段y ＝－25x ＋125(1<x ≤5)都相交．直线kx －y －k ＋1＝0与线段y ＝2x (0≤x ≤1)相交 ，则(－k ＋1)(－1)≤0，解得k ≤1. 直线kx －y －k ＋1＝0与线段y ＝－25x ＋125(1<x ≤5)相交，则⎝ ⎛⎭⎪⎫5k －25－k ＋1(－1)≤0，解得k ≥－320.故当－320≤k ≤1时，函数y ＝f (x )的图象与直线kx －y －k ＋1＝0有两个交点．(2)g (x )＝xf (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2（0≤x ≤1），－25x 2＋125x （1<x ≤5）.当0≤x ≤1时，g (x )是增函数，所以0≤g (x )≤2；当1<x ≤5时，g (x )＝－25x 2＋125x ＝－25(x －3)2＋185，在区间(1，3)上是增函数，在区间[3，5]上是减函数，所以2≤g (x )≤185.综上，函数g (x )＝xf (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，185.。
