黑龙江省高考数学一轮专题：第11讲 函数与方程

第11讲 指数与指数函数1．根式 (1)根式的概念①若 ，则x 叫做a 的n 次方根，其中n >1且n ∈N *.式子na 叫做根式，这里 叫做根指数， 叫做被开方数．②a 的n 次方根的表示：x n＝a ⇒⎩⎨⎧x ＝n a ，当n 为奇数且n ∈N *，n >1时，x ＝±n a ，当n 为偶数且n ∈N *时.(2)根式的性质①(na )n ＝a (n ∈N *，且n >1)． ②na n＝⎩⎨⎧a ，n 为奇数，|a |＝⎩⎨⎧a ，a ≥0，－a ，a <0，n 为偶数.2．有理数指数幂(1)幂的有关概念①正分数指数幂：a mn ＝na m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)； ②负分数指数幂：a －mn ＝1a m n＝1na m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)；③0的正分数指数幂等于 ，0的负分数指数幂 ． (2)有理数指数幂的运算性质 ①a r a s ＝a r ＋s (a >0，r ，s ∈Q )； ②a r a s ＝a r －s(a >0，r ，s ∈Q )； ③(a r )s ＝a rs (a >0，r ，s ∈Q )； ④(ab )r ＝a r b r (a >0，b >0，r ∈Q )． 3．指数函数的图象与性质 y ＝a x (a >0且 a ≠1)a >10<a <1图象定义域 值域性质过定点当x >0时，y >1； 当x <0时，0<y <1 当x >0时，0<y <1； 当x <0时，y >1 在R 上是增函数在R 上是减函数➢考点1 指数幂的运算[名师点睛]1．对于指数幂的运算，首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：(1)必须是同底数幂相乘，指数才能相加； (2)运算的先后顺序．2．当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数．3．运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数． 1．（2022·全国·高三专题练习）（1）计算120.75013110.027()81()369-----++-；（2）若11226x x -+22x x -+的值．2．（2022·全国·高三专题练习）化简下列各式(其中各字母均为正数)．（1）()211302270.00210528π---⎛⎫-+-+ ⎪⎝⎭； （2323211113342a b ab a b a b -⎛⎫ ⎪⎝⎭（3）22.53105330.06438π-⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦； （4）12112133265a b a b a b ---⎛⎫⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭⋅.[举一反三]1．（2022·全国·高三专题练习）计算：100.256361.5()87-⨯-+2．（2022·全国·高三专题练习）（1）计算：1111200.253473(0.0081)3()81(3)88------⨯⨯⎡⎤⎡⎤⎢⎣+⎥⎢⎥⎣⎦⎦；（2211113322a b ---3．（2022·全国·高三专题练习）已知11223a a -+=，求下列各式的值．（1）11a a -+；（2）22a a -+；（3）22111a a a a --++++.4．（2022·全国·高三专题练习）已知11223x x -+=，求22332223x x x x--+-+-的值．5．（2022·全国·高三专题练习）分别计算下列数值： （1）()110340.06416π----+ （2）已知16x x -+=，()01x <<，求221122x x x x---+.6．（2022·全国·高三专题练习）化简： （1）126016(2018)449-⎛⎫+--⨯ ⎪⎝⎭（2111332ab a b -⎫⎪⎭a >0，b >0). （3）312211122211111a a aa a a a a -+--++++-.➢考点2 指数函数的图象及应用[名师点睛]1．对于有关指数型函数的图像问题，一般是从最基本的指数函数的图像入手，通过平移、伸缩、对称变换得到．特别地，当底数a 与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．2．有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图像，数形结合求解． [典例]1．（2022·浙江·宁波诺丁汉附中模拟预测）函数()x x kf x a-=（0a >且1a ≠）的图象如图所示，则（ ）A ．1,1k a >>B ．1,1k a ><C ．01,1k a <<<D ．01,1k a <<>2．（2022·北京·高三专题练习）若函数()11x f x a -=-（0a >且1a ≠）的图像经过定点P ，则点P 的坐标是（ ） A ．(1,1)- B ．(1,0) C ．(0,0) D ．(0,1)-[举一反三]1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()25x f x a -=-（0a >且1a ≠）的图象过定点(),m n ，则不等式210x mx n +++<的解集为（ ） A ．()1,3B ．()3,1--C ．()(),31,-∞-⋃+∞D ．()3,1-2．（多选）（2022·全国·高三专题练习）已知函数()()()f x x a x b =--的图象如图所示，则()x g x a b =-的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．➢考点3 指数函数的性质及其应用[名师点睛]1．比较指数式的大小的方法：(1)能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小；(2)不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小．2．指数方程(不等式)的求解主要利用指数函数的单调性进行转化．3．涉及指数函数的综合问题，首先要掌握指数函数的相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断． 1．（2022·天津河西·一模）设0.3log 0.2a =，0.30.2b =，log b c a =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）． A ．a b c << B ．b a c << C ．c a b <<D ．c b a <<2．（多选）（2022·全国·高三专题练习）若指数函数x y a =在区间[1,1]-上的最大值和最小值的和为103，则a 的值可能是（ ） A ．12B ．13C ．3D ．23．（2022·辽宁·建平县实验中学模拟预测）已知函数()221010,231,2x x x f x x x --⎧-≤⎪=⎨-->⎪⎩，则不等式()()10f x f x +-<的解集为___________.4．（2022·北京·高三专题练习）设()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x ≤时，()2xf x -=，若对任意的[],1x m m ∈+，不等式()()2f x f x m -≥恒成立，则正数m 的取值范围为（ ）A ．m 1≥B ．1mC ．01m <<D ．01m <≤5．（2022·重庆市朝阳中学高三开学考试）已知函数4()2x x ag x -=是奇函数，()()lg 101x f x bx =++是偶函数.（1）求a 和b 的值； （2）设1()()2h x f x x =+，若存在[0,1]x ∈，使不等式()[lg(109)]g x h m >+成立，求实数m 的取值范围.[举一反三]1．（2022·天津·一模）设3ln 2a =，0.80.5b =，0.50.8-=c ，则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．c b a <<B ．b a c <<C ．a b c <<D ．c a b <<2．（2022·山西吕梁·二模）已知343344333,,444⎛⎫ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a b c ，则（ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．c b a <<3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数212,022()3,02x a a a x x f x a x +⎧-+-≥⎪⎪=⎨⎪<⎪⎩在()000x x >处取得最小值，且()03-<f x a ，则实数a 的取值范围（ ） A ．[2,3)B ．[1,3)C ．[1,2)D ．(1,3)4．（2022·上海市进才中学高三期中）设函数()2xf x =，若存在[]0,4x ∈使不等式()()22f a x f x +-≥成立，则实数a 的取值范围为______.5．（2022·全国·高三专题练习）设函数()322x x f x x -=-+，则使得不等式()()2130f x f -+<成立的实数x 的取值范围是________6．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()936=-⋅++x x f x m m ，若方程()()0f x f x 有解，则实数m 的取值范围是_________．7．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()x x f x a ka -=+（0a >且1a ≠）是定义在R 上的偶函数，且17(1)4f =. （1）求()f x 的解析式；（2）若函数()()22xxmg x f x m =-⋅+在[0,)+∞上的最小值是1，求m 的值.8．（2022·全国·高三专题练习）已知函数4()1(0,1)2x f x a a a a=->≠+且(0)0f =．（1）求a 的值；（2）若函数()(21)()x g x f x k =++有零点，求实数k 的取值范围． （3）当(0,1)x ∈时，()22x f x m >-恒成立，求实数m 的取值范围．9．（2022·北京·高三专题练习）定义在D 上的函数()f x ，如果满足:对任意,x D ∈存在常数0,M >都有()M f x M -≤≤成立，则称()f x 是D 上的有界函数，其中M 称为函数()f x 的上界.已知()422x xf x a =+⋅-.（1）当2a =-时，求函数()f x 在()0,∞+上的值域，并判断函数()f x 在()0,∞+上是否为有界函数﹐请说明理由﹔ （2）若函数()f x 在(),0-∞上是以2为上界的有界函数，求实数a 的取值范围第12讲 指数与指数函数1．根式 (1)根式的概念①若x n ＝a ，则x 叫做a 的n 次方根，其中n >1且n ∈N *.式子na 叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数．②a 的n 次方根的表示：x n＝a ⇒⎩⎨⎧x ＝n a ，当n 为奇数且n ∈N *，n >1时，x ＝±n a ，当n 为偶数且n ∈N *时.(2)根式的性质①(na )n ＝a (n ∈N *，且n >1)． ②na n＝⎩⎨⎧a ，n 为奇数，|a |＝⎩⎨⎧a ，a ≥0，－a ，a <0，n 为偶数.2．有理数指数幂(1)幂的有关概念①正分数指数幂：a mn ＝na m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)； ②负分数指数幂：a －mn ＝1a m n＝1na m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)；③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义． (2)有理数指数幂的运算性质 ①a r a s ＝a r ＋s (a >0，r ，s ∈Q )； ②a r a s ＝a r －s(a >0，r ，s ∈Q )； ③(a r )s ＝a rs (a >0，r ，s ∈Q )； ④(ab )r ＝a r b r (a >0，b >0，r ∈Q )． 3．指数函数的图象与性质 y ＝a x (a >0且 a ≠1)a >10<a <1图象定义域 R 值域(0，＋∞) 性质过定点(0，1)当x >0时，y >1； 当x <0时，0<y <1 当x >0时，0<y <1； 当x <0时，y >1 在R 上是增函数在R 上是减函数➢考点1 指数幂的运算[名师点睛]1．对于指数幂的运算，首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：(1)必须是同底数幂相乘，指数才能相加； (2)运算的先后顺序．2．当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数．3．运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数． 1．（2022·全国·高三专题练习）（1）计算120.75013110.027()81()369-----++-；（2）若11226x x -+22x x -+的值． 【解】（1）120.75013110.027()81()369-----++-=0.3﹣1﹣36+33+111033-=-36+27+113-=-5．（2）若11226x x -+∴x 1x ++2＝6，x 1x+=4，∴x 2+x ﹣2+2＝16，∴x 2+x ﹣2＝14．2．（2022·全国·高三专题练习）化简下列各式(其中各字母均为正数)．（1）()211302270.00210528π---⎛⎫-+-+ ⎪⎝⎭； （2323211113342a b ab a b a b -⎛⎫ ⎪⎝⎭（3）22.53105330.06438π-⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦； （4）12112133265a b a b a b ---⎛⎫⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭⋅. 【解】（1）原式()()21210523500125252-⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭-+416710*********=++=-；（2）原式11223233311111122633311233a b a b a a b b ab a b +-++---⎛⎫ ⎪⎝⎭===； （3）原式253112536427110008-⎧⎫⎡⎤⎪⎪⎪⎪⎛⎫⎛⎫⎢⎥=--⎨⎬ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎣⎦⎪⎪⎩⎭1521335233435311010222⎛⎫⨯-⨯ ⎪⎝⎭⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--=--=⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦；（4）原式111111111533223262361566a b a baba b-----+-⋅==⋅1a=. [举一反三]1．（2022·全国·高三专题练习）计算：100.256361.5()87-⨯-+【解】100.256361.5()87-⨯-+1111323334432()1(2)223()23-=⨯+⨯+⨯-， 113322()2427()33=++⨯-， 110=.2．（2022·全国·高三专题练习）（1）计算：1111200.253473(0.0081)3()81(3)88------⨯⨯⎡⎤⎡⎤⎢⎣+⎥⎢⎥⎣⎦⎦；（2211113322a b ---【解】（1）原式111123()4()4(0.25)34231310112101()[3()]31032333333-⨯-⨯--⨯-⎛⎫=-⨯+=-⨯+=-= ⎪⎝⎭； （2）原式11111111153322132623615661a b aba ba aa b-----+--⋅⋅==⋅==⋅. 3．（2022·全国·高三专题练习）已知11223a a -+=，求下列各式的值．（1）11a a -+；（2）22a a -+；（3）22111a a a a --++++. 【解】（1）将11223a a -+=两边平方得1129a a -++=，所以117a a -+=．（2）将117a a -+=两边平方得22249a a -++=，所以2247a a -+=． （3）由（1）（2）可得22114716.171a a a a --+++==+++ 4．（2022·全国·高三专题练习）已知11223x x -+=，求22332223x x x x--+-+-的值．【解】设12x t =，则121x t-=，所以13t t +=，于是，333222321111x xt t t t t t -⎛⎫⎛⎫+=+=++- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，而2224242112x x t t t t -⎛⎫+=+=+- ⎪⎝⎭，将13t t+=平方得22129t t ++=，于是2217t t +=，所以原式()2222221272471137131513t t t t t t ⎛⎫+- ⎪-⎝⎭===--⎛⎫⎛⎫++-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 5．（2022·全国·高三专题练习）分别计算下列数值： （1）()110340.06416π----+ （2）已知16x x -+=，()01x <<，求221122x x x x---+.【解】（1）原式()()()11034340.423ππ--=--++-，()110.4123π--=-++-， 1π=-，（2）∵()()()221116x x x xx x x x -----=+-=-， ∴()()2211432,x x x x ---=+-=∵01x <<， ∴1x x --=-∴()2216x x x x ---=-=-又∵21112228x x x x --⎛⎫+=++= ⎪⎝⎭，∵01x <<，∴1122x x -+= ∴221122x x x x---+=12-.6．（2022·全国·高三专题练习）化简： （1）126016(2018)449-⎛⎫+--⨯ ⎪⎝⎭（2111332ab a b -⎫⎪⎭a >0，b >0). （3）312211122211111a a aa a a a a -+--++++-.【解】（1）原式6614342717399πππ=⨯+--=⨯+-+-=+ （2）原式＝11121082232333354331127272333333a b a b a b a b a b ab a b a b a b -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭===.（3）原式1122313122221211111a a a a a a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫-⋅++ ⎪ ⎪-+--+-+⎝⎭⎝⎭=--++1122111a a a a -=--=-.➢考点2 指数函数的图象及应用1．（2022·浙江·宁波诺丁汉附中模拟预测）函数()x x kf x a-=（0a >且1a ≠）的图象如图所示，则（ ）A ．1,1k a >>B ．1,1k a ><C ．01,1k a <<<D ．01,1k a <<>【答案】D 【解析】因为(0)f k =-，由图得10k -<-<， 所以01k <<，所以排除AB ，因为由图象可知当x →+∞时，()0f x →， 所以1a >，所以排除C ， 故选：D2．（2022·北京·高三专题练习）若函数()11x f x a -=-（0a >且1a ≠）的图像经过定点P ，则点P 的坐标是（ ） A ．(1,1)- B ．(1,0) C ．(0,0) D ．(0,1)-【答案】B 【解析】因为01a =，所以当10x -=，即1x =时，函数值为定值0，所以点P 坐标为(1,0).另解：因为()11x f x a -=-可以由x y a =向右平移一个单位长度后，再向下平移1个单位长度得到，由x y a =过定点(0,1)，所以()11x f x a -=-过定点(1,0).故选：B[举一反三]1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()25x f x a -=-（0a >且1a ≠）的图象过定点(),m n ，则不等式210x mx n +++<的解集为（ ） A ．()1,3 B ．()3,1-- C ．()(),31,-∞-⋃+∞ D ．()3,1-【答案】D 【解析】当2x =时，()220255154f aa -=-=-=-=-，故2,4m n ==-，所以不等式为2230x x +-<，解得31x -<<，所以不等式的解集为()3,1-. 故选：D2．（多选）（2022·全国·高三专题练习）已知函数()()()f x x a x b =--的图象如图所示，则()x g x a b =-的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】AC【解析】解：令()()()0f x x a x b =--=，解得1x a =、2x b =，根据二次函数图形可知，a 、b 两个数一个大于1，一个大于0且小于1，①当1a >，01b <<时，则()x g x a b =-在定义域上单调递增，且()001g a b b =-=-，即()001g <<，所以满足条件的函数图形为C ；②当1b >，01a <<时，则()x g x a b =-在定义域上单调递减，且()0010g a b b =-=-<，所以满足条件的函数图形为A ； 故选：AC➢考点3 指数函数的性质及其应用1．（2022·天津河西·一模）设0.3log 0.2a =，0.30.2b =，log b c a =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）． A ．a b c << B ．b a c << C ．c a b << D ．c b a <<【答案】D【解析】由指数函数的性质，可得...030002021<<=，所以01b <<， 根据对数的运算性质，可得0.30.3log 0.2log 0.31a =>=，所以1a >， 由01b <<，1a >，所以log log 10b b c a =<=，即0c <， 所以c b a <<. 故选：D2．（多选）（2022·全国·高三专题练习）若指数函数x y a =在区间[1,1]-上的最大值和最小值的和为103，则a 的值可能是（ ）A ．12B ．13C ．3D ．2【答案】BC【解析】当1a >时，函数x y a =在区间[1,1]-上为单调递增函数，当1x =时，max y a =，当1x =-时，1min y a -=，所以1103a a -+=，即231030a a -+=，解得3a =或13a =， 因为1a >，所以3a =；当01a <<时，函数x y a =在区间[1,1]-上为单调递减函数，当1x =时，min y a =，当1x =-时，1max y a -=，所以1103a a -+=，即231030a a -+=，解得3a =或13a =， 因为01a <<，所以13a =.综上可得，实数a 的值为3或13.故选：BC3．（2022·辽宁·建平县实验中学模拟预测）已知函数()221010,231,2x x x f x x x --⎧-≤⎪=⎨-->⎪⎩，则不等式()()10f x f x +-<的解集为___________.【答案】9,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【解析】①当2x ≤时，11x -≤，()221010x x f x --=-在(],2-∞上单调递增，()()20f x f ∴≤=，又()()()1120f x f f -≤<=， ()()10f x f x ∴+-<恒成立；②当23x <≤时，112x <-≤，()3120f x x x =--=-<， 又()()120f x f -≤=，()()10f x f x ∴+-<恒成立；③当34x <≤时，213x <-≤，()314f x x x =--=-，()1413f x x x -=--=-；()()110f x f x ∴+-=-<恒成立；④当4x >时，13x ->，()314f x x x =--=-，()1415f x x x -=--=-，()()1290f x f x x ∴+-=-<，解得：92x <，942x ∴<<； 综上所述：不等式()()10f x f x +-<的解集为9,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭.故答案为：9,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭.4．（2022·北京·高三专题练习）设()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x ≤时，()2xf x -=，若对任意的[],1x m m ∈+，不等式()()2f x f x m -≥恒成立，则正数m 的取值范围为（ ）A ．m 1≥B ．1mC ．01m <<D ．01m <≤【答案】A【解析】因为函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x ≤时，()2xf x -=，则当0x ≥时，0x -≤，()()2xf x f x =-=，故对任意的R x ∈，()2x f x =， 对任意的[],1x m m ∈+，不等式()()2f x f x m -≥恒成立，即222x x m -≥，即2x x m ≥-对任意的[],1x m m ∈+恒成立，且m 为正数，则()2x x m ≥-，可得2x m ≤，所以，12m m +≤，可得m 1≥. 故选：A.5．（2022·重庆市朝阳中学高三开学考试）已知函数4()2x x ag x -=是奇函数，()()lg 101x f x bx =++是偶函数.（1）求a 和b 的值； （2）设1()()2h x f x x =+，若存在[0,1]x ∈，使不等式()[lg(109)]g x h m >+成立，求实数m 的取值范围.【解】解：（1）因为函数4()2x x ag x -=是奇函数，所以(0)0g =得1a =，则41()2x x g x -=，经检验()g x 是奇函数.又()()lg 101xf x bx =++是偶函数，所以(1)(1)f f -=得12b =-，则()1()lg 1012xf x x =+-，经检验()f x 是偶函数，∴112a b ==-，.（2）()()lg 101x h x =+，lg(109)(lg(109))lg[101lg(1010)m h m m +⎤+=+=+⎦，则由已知得，存在(]0,1x ∈，使不等式lg(1010)()m g x >+成立，因为411()222x x x x g x -==-，易知()g x 单调递增，∴max 3()(1)2g x g ==，∴323lg(1010)lg102m +<==∴1010m +<所以1m <，又109010100m m +>⎧⎨+>⎩，解得910m >-，所以9110m -<<.[举一反三]1．（2022·天津·一模）设3ln 2a =，0.80.5b =，0.50.8-=c ，则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．c b a <<B ．b a c <<C ．a b c <<D ．c a b <<【答案】C 【解析】3ln ln e 12<=，0.800.50.51<=，0.500.80.81->=，c a ∴>，c b >；31ln22==，0.8110.50.52>=，b a ∴>；a b c ∴<<.故选：C.2．（2022·山西吕梁·二模）已知343344333,,444⎛⎫ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a b c ，则（ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．c b a <<【答案】B【解析】因为函数34xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭单调递减，故3143344⎛⎫⎛⎫=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a b . 因为3433344433334444⎛⎫ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫<⇒> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以c b <.又34331443331444⎛⎫ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫<⇒< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以a c <.综上a c b <<， 故选B.3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数212,022()3,02x a a a x x f x a x +⎧-+-≥⎪⎪=⎨⎪<⎪⎩在()000x x >处取得最小值，且()03-<f x a ，则实数a 的取值范围（ ） A ．[2,3) B ．[1,3) C ．[1,2) D ．(1,3)【答案】C【解析】由函数()f x 在0(0,)x ∈+∞处取得最小值得()()0f x f x ≥，则0a >且002x a=> 当0x <时1233()2x a a f x +=>，又()20222a a f x f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，所以203222a a a >⎧⎪⎨-≤⎪⎩，得1a ≥．又()03-<f x a ，所以32af a ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，即12332a a a -+<，整理得1221a -+>，102a -+>，解得2a <． 综上，12a ≤<. 故选：C ．4．（2022·上海市进才中学高三期中）设函数()2xf x =，若存在[]0,4x ∈使不等式()()22f a x f x +-≥成立，则实数a 的取值范围为______.【答案】3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】解：由()()22f a x f x +-≥，得2222a x x +-≥，两边同除2x ， 即2222a x x -≥+⨯，又222x x -+⨯≥222x x -=⨯， 即12x =[]0,4∈时取等号,所以3222a ≥=，所以32a ≥.故答案为：3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭5．（2022·全国·高三专题练习）设函数()322x x f x x -=-+，则使得不等式()()2130f x f -+<成立的实数x 的取值范围是________ 【答案】(),1-∞-【解析】函数的定义域为R ，()()322x x f x x f x --=--=-，所以函数()f x 是奇函数，并由解析式可知函数()f x 是增函数，原不等式可化为()()213f x f -<-，所以213x -<-，解得1x <-，故x 的取值范围是(),1-∞-． 故答案为：(),1-∞-6．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()936=-⋅++x x f x m m ，若方程()()0f x f x 有解，则实数m 的取值范围是_________．【答案】4,)+∞【解析】由题意得：99(33)2120x x x x m m --+-+++=有解 令233(2),992x x x x t t t --+=≥+=-则22100t mt m ∴-++=有解，即2(2)10m t t -=+有解，显然2t =无意义2,2(0)t t y y ∴>-=>令2(2)101444y m y y y ++∴==++≥,当且仅当14y y =，即y4,)m ∴∈+∞故答案为：)4,∞⎡+⎣.7．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()x xf x a ka -=+（0a >且1a ≠）是定义在R 上的偶函数，且17(1)4f =. （1）求()f x 的解析式；（2）若函数()()22xxmg x f x m =-⋅+在[0,)+∞上的最小值是1，求m 的值. 【解】（1）因为函数()f x 是定义在R 上的偶函数， 所以()()x x x x f x a ka f x a ka ---=+==+，整理得()()10x xk a a ---=，所以1k =，又因为17(1)4f =，可得117(1)4f a a =+=，所以4a =或14a =， 所以()44x xf x -=+.（2）由（1）可知()4422x x xm g x m x-=+-⋅+211(2)(2)222x x x xm =---+ 令122xx u =-，则2()2h u u mu =-+. 因为函数122xxu =-在[0,)+∞上是增函数，所以0u ≥， 因为函数()()2[0,)2xxmg x f x m =-⋅++∞上的最小值是1， 所以函数()h u 在[0,)+∞上的最小值是1. 当0m ≥时，2min()()2124m m h u h ==-+=，解得2m =或2m =-（舍去）；当0m <时，min ()(0)21h u h ==≠，不合题意，舍去. 综上，2m =.8．（2022·全国·高三专题练习）已知函数4()1(0,1)2x f x a a a a=->≠+且(0)0f =．（1）求a 的值；（2）若函数()(21)()x g x f x k =++有零点，求实数k 的取值范围． （3）当(0,1)x ∈时，()22x f x m >-恒成立，求实数m 的取值范围． 【解】解：（1）对于函数4()1(0,1)2x f x a a a a=->≠+，由4(0)102f a =-=+， 解得2a =，故42()1122221xxf x =-=-++． （2）若函数()(21)()21221x x x g x f x k k k =++=+-+=-+ 有零点， 则函数2x y =的图象和直线1y k =-有交点，10k ∴->，解得1k <． （3）当(0,1)x ∈时，()22x f x m >-恒成立，即212221x xm ->-+恒成立． 令2x t =，则(1,2)t ∈，且323112(1)(1)1t m t t t t t t t +<-==++++．由于121t t ++ 在(1,2)上单调递减，∴1212712216t t +>+=++，76m ∴．即7,6m ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦ 9．（2022·北京·高三专题练习）定义在D 上的函数()f x ，如果满足:对任意,x D ∈存在常数0,M >都有()M f x M -≤≤成立，则称()f x 是D 上的有界函数，其中M 称为函数()f x 的上界.已知()422x xf x a =+⋅-.（1）当2a =-时，求函数()f x 在()0,∞+上的值域，并判断函数()f x 在()0,∞+上是否为有界函数﹐请说明理由﹔（2）若函数()f x 在(),0-∞上是以2为上界的有界函数，求实数a 的取值范围.【解】（1）当2a =-时，()24222(213)x x x f x =-⨯-=--，令2,x t =由(0,)x ∈+∞， 可得(1,)t ∈+∞，令()2)1(3g t t =--，有()3g t >-，可得函数()f x 的值域为(3,)-+∞ 故函数()f x 在(),0-∞上不是有界函数;（2）由题意有，当(),0x ∈-∞时，24222,x x a -≤+⋅-≤ 可化为0424x x a ≤+⋅≤ 必有20x a +≥且422x x a ≤-， 令2x k =，由(),0x ∈-∞，可得()0,1k ∈， 由20x a +≥恒成立，可得0a ≥， 令()()401h t t t t=-<<， 可知函数()h t 为减函数，有()413h t >-=， 由422x x a ≤-恒成立， 可得3,a ≤故若函数()f x 在(,0)-∞上是以2为上界的有界函数， 则实数a 的取值范围为[]0,3。

课时作业(十一) [第11讲 函数与方程](时间：45分钟 分值：100分)基础热身1．[2013·安庆四校联考] 图K11－1是函数f (x )的图象，它与x 轴有4个不同的公共点．给出下列四个区间之中，存在不能用二分法求出的零点的区间是( )图K11－1A ．[－2.1，－1]B ．[1.9，2.3]C ．[4.1，5]D ．[5，6.1]2．[2012·唐山期末] 设f (x )＝e x＋x －4，则函数f (x )的零点位于区间( ) A ．(－1，0) B ．(0，1) C ．(1，2) D ．(2，3)3．若x 0是方程lg x ＋x ＝2的解，则x 0属于区间( ) A ．(0，1) B ．(1， 1.25) C ．(1.25，1.75) D ．(1.75，2)4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1，x >0，－x 2－2x ，x ≤0，若函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，则实数m的取值范围是________．能力提升5．函数y ＝f (x )在区间(－2，2)上的图象是连续的，且方程f (x )＝0在(－2，2)上仅有一个实根0，则f (－1)·f (1)的值( )A ．大于0B ．小于0C ．等于0D ．无法确定6．[2013·诸城月考] 设函数y ＝x 2与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2的图象的交点为(x 0，y 0)，则x 0所在的区间是( )A ．(0，1)B ．(1，2)C ．(2，3)D ．(3，4)7．已知定义在R 上的函数f (x )＝(x 2－3x ＋2)g (x )＋3x －4，其中函数y ＝g (x )的图象是一条连续曲线，则方程f (x )＝0在下面哪个范围内必有实数根( )A ．(0，1)B ．(1，2)C ．(2，3)D ．(3，4)8．[2011·陕西卷] 方程|x |＝cos x 在(－∞，＋∞)内( ) A ．没有根 B ．有且仅有一个根 C ．有且仅有两个根 D ．有无穷多个根9．[2012·石家庄质检] 已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－sin x ，则f (x )在[0，2π]上的零点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．410．若方程2ax 2－x －1＝0在(0，1)内恰有一解，则a 的取值范围是________． 11．若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的两个零点是－2和3，则不等式af (－2x )>0的解集是________．12．[2012·盐城二模] 若y ＝f (x )是定义在R 上的周期为2的偶函数，当x ∈[0，1]时，f (x )＝2x－1，则函数g (x )＝f (x )－log 3|x |的零点个数为________．13．[2013·扬州中学月考] 已知函数f (x )＝|x 2－1|x －1－kx ＋2恰有两个零点，则k 的取值范围是________．14．(10分)已知函数f (x )＝4x ＋m ·2x＋1有且仅有一个零点，求m 的取值范围，并求出该零点．15．(13分)已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ，b ∈R ，a >0)，设方程f (x )＝x 的两个实数根为x 1和x 2.(1)如果x 1<2<x 2<4，设函数f (x )的对称轴为x ＝x 0，求证：x 0>－1； (2)如果|x 1|<2，|x 2－x 1|＝2，求b 的取值范围． 难点突破16．(12分)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x （0≤x ≤1），－25x ＋125（1<x ≤5）.(1)若函数y ＝f (x )的图象与直线kx －y －k ＋1＝0有两个交点，求实数k 的取值范围； (2)试求函数g (x )＝xf (x )的值域．课时作业(十一)【基础热身】1．B [解析] 能用二分法求出的零点，其两侧函数值必须异号．2．C [解析] 知f (x )在R 上为单调增函数，又因为f (1)＝e －3<0，f (2)＝e 2－2>0，故函数f (x )的零点位于区间(1，2)．故选C.3．D [解析] 构造函数f (x )＝lg x ＋x －2，知f (x )在(0，＋∞)上单调递增，由f (1.75)＝f 74＝－14＋lg 74<0及f (2)＝lg2>0知x 0属于区间(1.75，2)． 4．(0，1) [解析] 画出函数f (x )的图象如图，令g (x )＝f (x )－m ＝0，即f (x )与直线y ＝m 的图象的交点有3个，所以0<m <1.【能力提升】5．D [解析] 因为f (x )在(－2，2)上有一个零点，不能说明f (－2)·f (2)的符号；如f (x )＝x 2，更不能判断f (－1)·f (1)的值．故选D.6．B [解析] 令f (x )＝x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2，则该函数在(0，＋∞)上是增函数，计算可得f (1)<0，f (2)>0，所以函数f (x )的零点在区间(1，2)，即x 0∈(1，2)．故选B.7．B [解析] f (x )＝(x 2－3x ＋2)g (x )＋3x －4＝(x －1)(x －2)g (x )＋3x －4，因为函数y ＝g (x )的图象是一条连续曲线，所以函数f (x )的图象也是连续曲线，又因为f (1)＝－1＜0，f (2)＝2>0，故f (x )＝0在区间(1，2)内必有实数根，故选B.8．C [解析] 求解方程|x |＝cos x 在(－∞，＋∞)内根的个数问题，可转化为求解函数f (x )＝|x |和g (x )＝cos x 在(－∞，＋∞)内的交点个数问题．由f (x )＝|x |和g (x )＝cos x 的图象易知有两交点，即原方程有且仅有两个根．9．B [解析] 由12x －sin x ＝0得12x ＝sin x ，在同一坐标系中作出h (x )＝12x，g (x )＝sin x在[0，2π]上的图象，可以看出交点个数为2.故选B.10．(1，＋∞) [解析] 当Δ＝1＋8a ＝0时，a ＝－18，此时方程2ax 2－x －1＝0的解为x ＝－2∉(0，1)，不合题意，故Δ>0.令f (x )＝2ax 2－x －1，故必有f (0)f (1)<0，即(－1)· (2a －2)<0，所以a >1. 11.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x⎪⎪⎪ －32<x <1) [解析] 由于函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的两个零点是－2和3，即方程x 2＋ax ＋b ＝0的两个根是－2和3.因此⎩⎪⎨⎪⎧－2＋3＝－a ，－2×3＝b ，解得a ＝－1，b ＝－6，故f (x )＝x 2－x －6.所以不等式af (－2x )>0，变为－(4x 2＋2x －6)> 0，解得－32<x <1.12．4 [解析] 数形结合，作出y ＝f (x )与y ＝log 3|x |在y 轴右侧的图象，有2个交点，又这两个函数都是偶函数，根据对称性知有4个交点．13．(0，1)∪(1，4) [解析] 函数定义域为{x ∈R |x ≠1}，令g (x )＝|x 2－1|x －1，h (x )＝kx －2，化简得g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤－1或x >1，－x －1，－1<x <1，作出函数g (x )和h (x )的图象，如图，当k ∈(0，1)∪(1，4)时，图象有两个交点，即函数f (x )有两个零点．14．解：因为f (x )＝4x ＋m ·2x＋1有且仅有一个零点， 即方程(2x )2＋m ·2x＋1＝0仅有一个实根． 设2x ＝t (t >0)，则t 2＋mt ＋1＝0.当Δ＝0时，即m 2－4＝0，得m ＝－2或m ＝2，m ＝－2时，t ＝1；m ＝2时，t ＝－1不合题意，舍去，所以2x＝1，x ＝0符合题意．当Δ>0，即m >2或m <－2时，t 2＋mt ＋1＝0有两正根或两负根， f (x )有两个零点或无零点，不合题意，所以这种情况不可能．综上可知，m ＝－2时，f (x )有唯一零点，该零点为x ＝0. 【难点突破】15．解：设g (x )＝f (x )－x ＝ax 2＋(b －1)x ＋1，则g (x )＝0的两根为x 1和x 2.(1)由a >0及x 1<2<x 2<4，可得⎩⎪⎨⎪⎧g （2）<0，g （4）>0，即⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b －1<0，16a ＋4b －3>0， 即⎩⎪⎨⎪⎧3＋3·b 2a －34a <0，－4－2·b 2a ＋34a<0，两式相加得b 2a <1，所以x 0>－1.(2)由(x 1－x 2)2＝b －1a 2－4a，可得2a ＋1＝（b －1）2＋1. 又x 1x 2＝1a>0，所以x 1，x 2同号．∴|x 1|<2，|x 2－x 1|＝2等价于⎩⎨⎧0<x 1<2<x 2，2a ＋1＝（b －1）2＋1或⎩⎨⎧x 2<－2<x 1<0，2a ＋1＝（b －1）2＋1，即⎩⎨⎧g （2）<0，g （0）>0，2a ＋1＝（b －1）2＋1或⎩⎨⎧g （－2）<0，g （0）>0，2a ＋1＝（b －1）2＋1.解之得b <14或b >74.16．解：(1)函数y ＝f (x )的图象与直线kx －y －k ＋1＝0的图象有两个交点等价于直线kx －y －k ＋1＝0分别与线段y ＝2x (0≤x ≤1)和线段y ＝－25x ＋125(1<x ≤5)都相交．直线kx －y －k ＋1＝0与线段y ＝2x (0≤x ≤1)相交 ，则(－k ＋1)(－1)≤0，解得k ≤1. 直线kx －y －k ＋1＝0与线段y ＝－25x ＋125(1<x ≤5)相交，则⎝ ⎛⎭⎪⎫5k －25－k ＋1(－1)≤0，解得k ≥－320.故当－320≤k ≤1时，函数y ＝f (x )的图象与直线kx －y －k ＋1＝0有两个交点．(2)g (x )＝xf (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2（0≤x ≤1），－25x 2＋125x （1<x ≤5）.当0≤x ≤1时，g (x )是增函数，所以0≤g (x )≤2；当1<x ≤5时，g (x )＝－25x 2＋125x ＝－25(x －3)2＋185，在区间(1，3)上是增函数，在区间[3，5]上是减函数，所以2≤g (x )≤185.综上，函数g (x )＝xf (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，185.。

高考数学专题讲座 第11讲 直线与圆考纲要求：(1)理解直线斜率的概念,掌握两点的直线的斜率,掌握直线方程的点斜式\两点式\一般式,并能根据条件熟练地求出直线方程.(2)掌握两条直线平行于垂直的条件,两条直线所成的角和点到直线的距离公式.能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系.(3)了解二元一次不等式表示平面区域. (4)了解线性规划的意义,并会简单应用. (5)了解解析几何的基本思想,了解坐标法.(6)掌握圆的标准方程和一般方程.理解圆的参数方程. 基础达标1．若直线l 的倾斜角为π＋arctan(－12)，且过点(1，0)，则直线l 的方程为________________．x ＋2y －1=02．已知定点A （0，1），点B 在直线x ＋y ＝0上运动，当线段AB 最短时，点B 的坐标是________________． （－12，12）3．已知两条直线l 1：y ＝x ，l 2：ax －y ＝0，其中a 为实数．当这两条直线的夹角在(0，π12)内变动时，a 的取值X 围是 ( C ) A ．(0，1)B ．(33，3)C ．(33，1)∪(1，3) D ．(1，3) 4．过点A （1，－1）、B （－1，1）且圆心在直线x ＋y －2＝0上的圆的方程是 ( C )A ．(x －3)2＋(y ＋1)2＝4B ．(x ＋3)2＋(y －1)2＝4C ．(x －1)2＋(y －1)2＝4D ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝45．圆2x 2＋2y 2＝1与直线x sin θ＋y －1＝0(θ∈R ，θ≠π2＋k π，k ∈Z )的位置关系是 ( C )A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定6．已知圆C ：(x －a )2＋(y －2)2＝4（a ＞0）及直线l ：x －y ＋3＝0．当直线l 被C 截得的弦长为23时，则a ＝ （ C ） A ． 2 B ．2－2C ．2－1 D ．2＋1 例题选讲例1．（1）过点M (2,1)作直线l 与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点．① 若△AOB 的面积取得最小值,求直线l 的方程，并求出面积的最小值；② 直线l 在两条坐标轴上截距之和的最小值；③若|MA |·|MB |为最小，求直线l 的方程．解：(1)①由于已知直线l 在坐标轴上的截距,故选用直线的截距方程:1=+bya x （i ） 由已知a ＞0,b ＞0.故S △AOB ＝21ab （ii ） 由已知,直线(i)经过点(2,1).故112=+b a ,就是a ＋2b ＝ab ,a ＝12-b b (∵b ≠1) (iii) ∵a ＞0, b ＞0, ∴a ＞1. 将(iii)代入(ii),得S ＝12-b b ＝1112-+-b b ＝b ＋1＋11-b ＝(b －1)＋11-b ＋2.当b ＞1时 S ≥211)1(-⋅-b b ＋2＝4. 等号当且仅当 b －1＝11-b 即b ＝2时成立.代入(iii)得a ＝4. ∴所求的直线方程为24yx +＝1,即x②解一：a ＋b ＝2b b －1＋b ＝2(b －1)＋2b －1＋b ＝ ＝ 2b －1＋b －1＋当b ＞1时 , a ＋b ≥2(2b －1)(b －1)等号当且仅当 b －1＝2b －1， 即解二：a ＋b ＝(a ＋b )×1＝(a ＋b )(2a ＋1b )＝3等号当且仅当2b a ＝a b ，即a 2＝2b 2③由于直线l 绕点M 运动,故可选∠OAB 2θsin M y ＝1sin θ, |MB |＝θcos M x ＝2cos θ,|MA |·|MB |＝1sin θ×2cos θ＝4s in2θ，∴当sin2θ＝1时，|MA |·|MB |有最小值4， 此时tan θ＝1，所求直线l 的方程为x ＋y －3＝0.（2）已知圆C ：(x ＋2)2＋y 2＝1，P （x ，y ）为圆上任意一点．①求y －22x －2的最大值、最小值；②求x －2y的最大值、最小值．解：（1）令k ＝y －2x －1，则k 表示经过P 点和A （1，2）两点的直线的斜率，故当k 取最大值或最小值时，直线P A ：kx －y ＋2－k ＝0和圆相切，此时d ＝|－2k ＋2－k |1＋k 2＝1，解得k ＝3±34，所以y －22x －2的最大值为3＋38，最小值为3－38；（2）方法一：令x －2y ＝t ，可视为一组平行线系，由题意，直线应与圆C 有公共点，且当t 取最大值或最小值时，直线x －2y －t ＝0和圆相切，则d ＝|－2－t |5＝1，解得t ＝－2±5，所以x －2y 的最大值为－2＋5，最小值为－2－5；方法二：因为P （x ，y ）为圆C ：(x ＋2)2＋y 2＝1上的点，令x ＝－2＋cos θ，y ＝sin θ，θ∈[0，2π)，所以x －2y ＝－2＋cos θ－2 sin θ＝－2＋5cos(θ＋φ)( φ＝arctan2)，当θ＋φ＝2π，即θ＝2π－arctan2时，cos(θ＋φ)＝1，x －2y 取到最大值为－2＋5，当θ＋φ＝π，即θ＝π－arctan2时，cos(θ＋φ)＝－1，x －2y 取到最大值为－2＋5；例2．已知圆满足：①截y 轴所得弦长为2；②被x 轴分成两段圆弧，其弧长的比为3：1；③圆心到直线l ：x －2y ＝0的距离为55．求该圆的方程． 解：设圆P 的圆心为P (a ，b )，半径为γ，则点P 到x 轴，y 轴的距离分别为|b |，|a |．由题设知圆P 截x 轴所得劣弧对的圆心角为90º，知圆P 截x 轴所得的弦长为r 2．故r 2=2b 2又圆P 被y 轴所截得的弦长为2，所以有 r 2＝a 2+1．从而得2b 2－a 2＝1．又因为P (a ，b )到直线x －2y =0的距离为55，所以5552b a d -=， 即有 a －2b ＝±1， 由此有⎩⎨⎧=-=-121222b a a b ⎩⎨⎧-=-=-121222b a a b 解方程组得⎩⎨⎧-=-=11b a ⎩⎨⎧==11b a 于是r 2=2b 2=2，所求圆的方程是(x +1)2+(y +1)2=2，或(x －1)2+(y －1)2=2．思考：求在满足条件①、②的所有圆中，圆心到直线l ：x －2y ＝0的距离最小的圆的方程．解法一:设圆的圆心为P (a ，b )，半径为r ，则点P 到x 轴，y 轴的距离分别为│b │， │a │． 由题设知圆P 截x 轴所得劣弧对的圆心角为90°，知圆P 截X 轴所得的弦长为r 2，故r 2=2b 2， 又圆P 截y 轴所得的弦长为2，所以有 r 2=a 2+1．从而得2b 2－a 2=1．又点P (a ，b )到直线x －2y =0的距离为52b a d -=，所以5d 2=│a －2b │2 =a 2+4b 2－4ab≥a 2+4b 2－2(a 2+b 2)=2b 2－a 2=1，当且仅当a =b 时上式等号成立，此时5d 2=1，从而d 取得最小值． 由此有⎩⎨⎧=-=12,22a b b a 解此方程组得⎩⎨⎧==;1,1b a 或⎩⎨⎧-=-=.1,1b a 由于r 2=2b 2知2=r ．于是，所求圆的方程是(x －1) 2+(y －1) 2=2，或(x +1) 2+(y +1) 2=2． 解法二:同解法一，得52b a d -=∴d b a 52±=-得2225544d bd b a +±= ①将a 2=2b 2－1代入①式，整理得01554222=++±d db b②把它看作b 的二次方程，由于方程有实根，故判别式非负，即△=8(5d 2－1)≥0，得 5d 2≥1．∴5d 2有最小值1，从而d 有最小值55． 将其代入②式得2b 2±4b +2=0．解得b =±1．将b =±1代入r 2=2b 2，得r 2=2．由r 2=a 2+1得a =±1． 综上a =±1，b =±1，r 2=2． 由b a 2-=1知a ，b 同号． 于是，所求圆的方程是(x －1) 2+(y －1) 2=2，或(x +1) 2+(y +1) 2=2．例3．在以O 为原点的直角坐标系中，点A （4，－3）为△OAB 的直角顶点.已知|AB |＝2|OA |，且点B 的纵坐标大于零．（1）求向量AB →的坐标；（2）求圆x 2－6x ＋y 2＋2y ＝0关于直线OB 对称的圆的方程；（3）是否存在实数a ，使抛物线y ＝ax 2－1上总有关于直线OB 对称的两个点？若不存在，说明理由：若存在，求a 的取值X 围．[解]（1）设⎩⎨⎧=-=+⎪⎩⎪⎨⎧=⋅==,034100,0||||||2||},,{22v u v u OA AB OA AB v u AB 即则由得 },3,4{.86,86-+=+=⎩⎨⎧-=-=⎩⎨⎧==v u AB OA OB v u v u 因为或 所以v －3>0,得v =8,故AB ={6，8}.（2）由OB ={10，5}，得B （10，5），于是直线OB 方程：.21x y =由条件可知圆的标准方程为：(x －3)2+y(y+1)2=10, 得圆心（3，－1），半径为10. 设圆心（3，－1）关于直线OB 的对称点为（x,y ）则,31,231021223⎩⎨⎧==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-+=-⋅-+y x x y y x 得故所求圆的方程为(x －1)2+(y －3)2=10. （3）设P (x 1,y 1), Q (x 2,y 2) 为抛物线上关于直线OB 对称两点，则.23,022544,02252,,2252,202222222212212121212121>>-⋅-=∆=-++⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=+⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=+-+a aa a a ax a x x x a a x x ax x x x yy y y x x 得于是由的两个相异实根为方程即得 故当23>a 时，抛物线y=ax 2－1上总有关于直线OB 对称的两点.4．已知⊙M ：x 2＋(y －2)2＝1，Q 是x 轴上的动点，QA ，QB 分别切⊙M 于A ，B 两点，（1）如果|AB |＝423，求直线MQ 的方程；（2）求动弦AB 的中点P 的轨迹方程． 解:（1）由324||=AB ，可得,31)322(1)2||(||||2222=-=-=AB MA MP 由射影定理，得 ,3|||,|||||2=⋅=MQ MQ MP MB 得 在Rt △MOQ 中，523||||||2222=-=-=MO MQ OQ ，故55-==a a 或， 所以直线AB 方程是;0525205252=+-=-+y x y x 或 （2）连接MB ，MQ ，设),0,(),,(a Q y x P 由点M ，P ，Q 在一直线上，得(*),22xy a -=-由射影定理得|,|||||2MQ MP MB ⋅= 即(**),14)2(222=+⋅-+a y x 把（*）及（**）消去a ，并注意到2<y ，可得).2(161)47(22≠=-+y y x说明：适时应用平面几何知识，这是快速解答本题的要害所在。

课时作业(十一) [第11讲 函数与方程](时间：30分钟 分值：80分)1．[2013·青岛模拟] 函数f (x )＝1－x log 2x 的零点所在的区间是( )A ．(14，12)B ． (12，1) C ．(1，2) D ．(2，3) 2．x 0是函数f (x )＝2sin x －πln x (x ∈(0，π))的零点，x 1，x 2∈(0，π)，x 1<x 2，则下列结论正确的是( )①x 0∈(1，e)； ②x 0∈(e ，π)；③f (x 1)－f (x 2)<0； ④f (x 1)－f (x 2)>0.A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④3．若a >2，则函数f (x )＝13x 3－ax 2＋1在(0，2)内零点的个数为( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．04．[2013·北京西城区二模] 已知函数f (x )＝e |x |＋|x |.若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是( )A ．(0，1)B ．(1，＋∞)C ．(－1，0)D ．(－∞，－1)5．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －3，x ≤0，－2＋ln x ，x >0的零点的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．36．[2013·广州一模] 已知e 是自然对数的底数，函数f (x )＝e x ＋x －2的零点为a ，函数g (x )＝ln x ＋x －2的零点为b ，则下列不等式中成立的是( )A ．f (a )<f (1)<f (b )B ．f (a )<f (b )<f (1)C ．f (1)<f (a )<f (b )D ．f (b )<f (1)<f (a )7．[2013·泰安一检] 设函数f (x )＝x 3－4x ＋a (0<a <2)有三个零点x 1，x 2，x 3，且x 1<x 2<x 3则下列结论正确的是( )A ．x 1>－1B ．x 2<0C ．x 3>2D ．0<x 2<18．[2013·淮北一检] 方程|sin x |＝kx (k >0)有且仅有两个不同的非零实数解θ，φ(θ>φ)，则以下有关两根关系的结论正确的是( )A ．sin φ＝φcos θB ．sin φ＝－φcos θC ．cos φ＝θsin θD ．sin θ＝－θsin φ9．[2013·南京模拟] 在用二分法求方程x 3－2x －1＝0的一个近似解时，现已将一根锁定在区间(1，2)内，则下一步可断定该根所在的区间为________．10．[2013·北京朝阳区一模] 函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且满足f (x ＋2)＝f (x )，当x ∈[0，1]时，f (x )＝2x .若在区间[－2，3]上方程ax ＋2a －f (x )＝0恰有四个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是________．11．[2013·济南模拟] f (x )＝|2x －1|，f 1(x )＝f (x )，f 2(x )＝f [f 1(x )]，…，f n (x )＝f [f n －1(x )]，则函数y ＝f 4(x )的零点个数为________．12．(13分)已知a 是实数，函数f (x )＝2ax 2＋2x －3－a .若函数y ＝f (x )在区间[－1，1]上有零点，求实数a 的取值范围．13．(1)(6分)[2013·牡丹江地区六县市联考] 已知函数f (x )＝1＋x －x 22＋x 33－x 44＋…－x 20122012＋x 20132013，g (x )＝1－x ＋x 22－x 33＋x 44－…＋x 20122012－x 20132013.若函数f (x )有唯一零点x 1，函数g (x )有唯一零点x 2，则有( )A ．x 1∈(0，1)，x 2∈(0，1)B ．x 1∈(－1，0)，x 2∈(0，1)C ．x 1∈(0，1)，x 2∈(1，2)D ．x 1∈(－1，0)，x 2∈(1，2)(2)(6分)[2013·合肥一中测试] 函数f (x )的定义域为D ，若存在闭区间[a ，b ]⊆D ，使得函数f (x )满足：f (x )在区间[a ，b ]上是单调函数；f (x )在区间[a ，b ]上的值域为[2a ，2b ]，则称区间[a ，b ]为y ＝f (x )的“和谐区间”．下列函数中存在“和谐区间”的有________(只需填符合题意的函数序号)．①f (x )＝x 2(x ≥0)；②f (x )＝e x (x ∈R )；③f (x )＝4x x 2＋1(x ≥0)；④f (x )＝log a (a x －18)(a >0，a ≠1)．课时作业(十一)1．C 2．B 3．C 4．B 5．C 6．A 7．D 8．B9．(1.5，2) 10．(25，23) 11．8 12．⎩⎨⎧⎭⎬⎫a⎪⎪⎪ a >1或a ≤－3－72) 13．(1)D (2)①③④。

备考2020年高考数学一轮专题：第11讲函数与方程一、单选题（共12题；共24分）1. ( 2分) 函数f（x）=e x+x﹣3在区间（0，1）内的零点个数是（）A. 0B. 1C. 2D. 32. ( 2分) 函数的零点所在区间是( )A. B. C. D.3. ( 2分) 若函数f(x)＝(m－2)x2＋mx＋(2m＋1)的两个零点分别在区间(－1,0)和区间(1,2)内，则m的取值范围是( )A. B. C. D.4. ( 2分) 设a是方程2ln x－3＝－x的解，则a在下列哪个区间内( )A. (0,1)B. (3,4)C. (2,3)D. (1,2)5. ( 2分) 若函数有两个零点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.6. ( 2分) 已知在区间内有一个零点，若用二分法求的近似值(精确度为)，则最少需要将区间等分的次数为( )A. 3B. 4C. 5D. 67. ( 2分) 设函数f（x）=2a x﹣b x，其中b≥2a＞0，则f（x）的零点所在区间为（）A. （0，1）B. （0，1]C. （1，2）D. [1，2）8. ( 2分) 设f（x）= ，则函数y=f（f（x））的零点之和为（）A. 0B. 1C. 2D. 49. ( 2分) 设f（x）=3x+3x﹣8，用二分法求方程3x+3x﹣8=0在x∈（1，2）内近似解的过程中得f（1）＜0，f（1.5）＞0，f（1.25）＜0，则方程的根落在区间（）A. （1，1.25）B. （1.25，1.5）C. （1.5，2）D. 不能确定10. ( 2分) 函数的零点所在的区间是（）A. B. C. D.11. ( 2分) 已知a是函数的零点，若0＜x0＜a，则f（x0）的值满足（）A. f（x0）=0B. f（x0）＞0C. f（x0）＜0D. f（x0）的符号不确定12. ( 2分) 方程有解，则a的最小值为（）A. 2B.C. 1D.二、填空题（共4题；共4分）13. ( 1分) 设函数f（x）= ，若f（α）=5，则实数α的值为________．14. ( 1分) 若函数f（x）=2x+x﹣7在区间（k，k+1）（k∈Z）上存在零点，则k的值等于________．15. ( 1分) 已知函数f（x）=2x+x﹣5，那么方程f（x）=0的解所在区间是（n，n+1），则n=________．16. ( 1分) 已知函数f（x）=2x+ x﹣5在区间（n，n+1）（n∈N+）内有零点，则n=________．三、解答题（共6题；共55分）17. ( 5分) 关于x的方程2x2﹣3x﹣2k=0在（﹣1，1）内有一个实根，求实数k的取值范围．18. ( 5分) 已知函数．（Ⅰ）证明：y=f（x）在R上是增函数；（Ⅱ）当a=2时，方程f（x）=﹣2x+1的根在区间（k，k+1）（k∈Z）内，求k的值．19. ( 10分) 已知函数.（1）证明有且只有一个零点；（2）求这个零点所在的一个区间，使这个区间的长度不大于.20. ( 10分) 设函数f（x）=ax2+bx+b﹣1（a≠0）．（1）当a=1，b=﹣2时，求函数f（x）的零点；（2）若对任意b∈R，函数f（x）恒有两个不同零点，求实数a的取值范围．21. ( 10分) 已知函数f（x）=2a•4x﹣2x﹣1．（1）若a=1，求当x∈[﹣3，0]时，函数f（x）的取值范围；（2）若关于x的方程f（x）=0有实数根，求实数a的取值范围．22. ( 15分) 已知函数.（1）若，判断函数的零点个数；（2）若对任意实数，函数恒有两个相异的零点，求实数的取值范围；（3）已知R且，，求证：方程在区间上有实数根.答案解析部分一、单选题1.【答案】B【考点】二分法的定义【解析】【解答】解：∵函数f（x）=e x+x﹣2在区间（0，1）内单调递增，∵f（0）=1+1﹣3=﹣1＜0，且f（1）=e+1﹣3＞0，∴f（0）f（1）＜0，∴函数f（x）=e x+x﹣3在区间（0，1）内有唯一的零点，故答案为：B【分析】利用二分法的定义可得函数f（x）=e x+x﹣3在区间（0，1）内有唯一的零点。

2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结第11练对数与对数函数（精练）【A组在基础中考查功底】一、单选题⎝⎭．．．．【答案】A【分析】根据函数的奇偶性和函数值等知识确定正确答案.【详解】依题意ππ),,22y x x⎛⎫=∈- ⎪⎝⎭，cos x为偶函数，则ln(cos)x为偶函数，cos1x<<，则ln(cos)0x<.故选A．（2023春·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨市第十三中学校校考开学考试）已知函数()|f x=令1()44g b a b b b=+=+，根据对勾函数的图像与性质易得所以()(1)5g b g >=．故4a b +>故选：C.7．（2023·全国·高三专题练习）已知函数与坐标轴的正半轴相交，则mn 的最大值为（A ．12B ．14【答案】C【分析】求出A ，代入直线方程，再根据基本不等式可求出结果【详解】令11x -=，即2x =，得则21m n +=且0m >，0n >，由222122m n mn mn +≥⇒≥当且仅当14m =，12n =时，等号成立，故选：C【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最41+．．．．【答案】A【分析】先求出定义域，由)x 为偶函数，结合函数在结合函数图象的走势，排除【详解】()22ln 41x x x f x =+变形为，定义域为()(,00,∞-U )()22ln ln 2222x x x x x x ----==++为偶函数，关于y 轴对称．1x <<时，()0f x <，，排除BC ，→+∞时，()0f x →，故排除故选：A ．（2023·河南周口·统考模拟预测）若，21log 62b =，12c ⎛⎫= ⎪⎝⎭．b a c >>B ．c b a >>D ．【答案】A二、多选题当01a <<时，函数()lg f x x =在函数()πsin2x g x =在[]0,a 上单调递增，所以所以π1sin22a a a M m -==，解得当1a ≥时，函数()lg f x x =在[a 由图可知，函数()πsin2x g x =在所以11lg 2a a M m a -=-=，解得结合选项，实数a 可以是13和10故选：BD.三、填空题15．（2023·上海·高三专题练习）若实数x 、y 满足lg x m =、110m y -=，则xy =______________．【答案】10【分析】根据指数式与对数式的关系，将lg x m =转化为指数式，再根据指数运算公式求值.【详解】由lg x m =，得10m x =，所以1110101010m m m m xy -+-=⋅==，故答案为：10.16．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()1log 2(0a y x a =+->且1)a ≠的图像恒过定点P ，且点P 在圆220x y mx m +++=外，则符合条件的整数m 的取值可以为__________.（写出一个值即可）【答案】5（不唯一，取4m >的整数即可）【分析】先求定点P 的坐标，结合点在圆外以及圆的限制条件可得m 的取值.【详解】因为函数()1log 2a y x =+-的图像恒过定点()1,1，所以()1,1P ；因为点P 在圆220x y mx m +++=外，所以22110m m +++>且240m m ->，解得10m -<<或4m >；又m 为整数，所以m 的取值可以为5,6,7, .故答案为：5（不唯一，取4m >的整数即可）.【B组在综合中考查能力】一、单选题A ．14B ．15C ．16D ．【答案】D【分析】根据题意可得()10145n-%≤，两边取对数能求出冷轧机至少需要安装轧辊的对数【详解】厚度为10α=mm 的带钢从一端输入经过减薄率为4%的n 对轧辊后厚度为二、多选题三、填空题四、解答题【C组在创新中考查思维】一、解答题二、单选题则函数()y f x =的图象关于直线令()t f x =因为函数()()()2g x f x af x =+故当()1f x =时，方程()g x =所以，要使函数()()2g x f x =+所以，关于t 方程22t at b ++=所以，由韦达定理得1,a b =-=故选：B【点睛】本题解题的关键点在于数形结合，将问题转化为关于1,0a b =-=.三、多选题5．（2023春·辽宁·高三朝阳市第一高级中学校联考阶段练习）已知函数列说法正确的是（）四、填空题由题意可知，4cos 25θ=，所以22tan 3tan 2,1tan 4θθθ==-解得tan 因为θ为锐角，所以tan 3,1θ=由对称性，不妨取直线AD 进行研究，则直线π1tan tan tan()41tan k θαθθ+==+=-设切点A 的横坐标为1x ，切点e mx y m '=，所以1e 2mx AD k m ==。

高考数学复习考点知识与题型专题讲解函数的零点与方程的解考试要求1.理解函数的零点与方程的解的联系.2.理解函数零点存在定理，并能简单应用.3.了解用二分法求方程的近似解．知识梳理1．函数的零点与方程的解(1)函数零点的概念对于一般函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．(2)函数零点与方程实数解的关系方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)有零点⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有公共点．(3)函数零点存在定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．2．二分法对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数的零点就是函数的图象与x 轴的交点．(×)(2)连续函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点，则f (a )·f (b )<0.(×)(3)函数y ＝f (x )为R 上的单调函数，则f (x )有且仅有一个零点．(×)(4)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，若b 2－4ac <0，则f (x )无零点．(√) 教材改编题1．函数f (x )＝ax 2－x －1有且仅有一个零点，则实数a 的值为()A ．－14B ．0C.14D ．0或－14答案D解析当a ＝0时，f (x )＝－x －1，令f (x )＝0得x ＝－1，故f (x )只有一个零点为－1.当a ≠0时，则Δ＝1＋4a ＝0，∴a ＝－14. 综上有a ＝0或－14.2．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋x －2，x ≤0，－1＋ln x ，x >0，则f (x )的零点为________． 答案－2，e解析⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤0，x 2＋x －2＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x >0，－1＋ln x ＝0，解得x ＝－2或x ＝e.3．方程2x ＋x ＝k 在(1,2)内有解，则实数k 的取值范围是________．答案(3,6)解析设f (x )＝2x ＋x ，∴f (x )在(1,2)上单调递增，又f (1)＝3，f (2)＝6，∴3<k <6.题型一 函数零点所在区间的判定例1(1)函数f (x )＝x ＋ln x －3的零点所在的区间为()A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)答案C解析∵f (x )在(0，＋∞)上单调递增，且f (2)＝ln2－1<0，f (3)＝ln3>0，故f (x )在(2,3)上有唯一零点．(2)若a <b <c ，则函数f (x )＝(x －a )(x －b )＋(x －b )·(x －c )＋(x －c )(x －a )的两个零点分别位于区间()A ．(a ，b )和(b ，c )内B ．(－∞，a )和(a ，b )内C ．(b ，c )和(c ，＋∞)内D ．(－∞，a )和(c ，＋∞)内答案A解析函数y ＝f (x )是开口向上的二次函数，最多有两个零点，由于a <b <c ，则a －b <0，a －c <0，b －c <0，因此f (a )＝(a －b )(a －c )>0，f (b )＝(b －c )(b －a )<0，f (c )＝(c －a )(c －b )>0.所以f (a )f (b )<0，f (b )f (c )<0，即f (x )在区间(a ，b )和区间(b ，c )内各有一个零点． 教师备选(2022·湖南雅礼中学月考)设函数f (x )＝13x －ln x ，则函数y ＝f (x )() A ．在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1，(1，e)内均有零点 B ．在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1，(1，e)内均无零点 C ．在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1内有零点，在区间(1，e)内无零点 D ．在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1内无零点，在区间(1，e)内有零点 答案D解析f (x )的定义域为{x |x >0}，f ′(x )＝13－1x ＝x －33x ，令f ′(x )>0⇒x >3，f ′(x )<0⇒0<x <3，∴f (x )在(0,3)上单调递减，在(3，＋∞)上单调递增，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝13e ＋1>0，f (1)＝13>0， ∴f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1内无零点． 又f (e)＝e 3－1<0，∴f (x )在(1，e)内有零点．思维升华 确定函数零点所在区间的常用方法(1)利用函数零点存在定理：首先看函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是否连续，再看是否有f (a )·f (b )<0.若有，则函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内必有零点．(2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x 轴在给定区间上是否有交点来判断． 跟踪训练1(1)(2022·太原模拟)利用二分法求方程log 3x ＝3－x 的近似解，可以取的一个区间是()A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)答案C解析设f (x )＝log 3x －3＋x ，当x →0时，f (x )→－∞，f (1)＝－2，又∵f (2)＝log 32－1<0，f(3)＝log33－3＋3＝1>0，故f(2)·f(3)<0，故方程log3x＝3－x在区间(2,3)上有解，即利用二分法求方程log3x＝3－x的近似解，可以取的一个区间是(2,3)．(2)已知2<a<3<b<4，函数y＝log a x与y＝－x＋b的交点为(x0，y0)，且x0∈(n，n＋1)，n∈N*，则n＝________.答案2解析依题意x0为方程log a x＝－x＋b的解，即为函数f(x)＝log a x＋x－b的零点，∵2<a<3<b<4，∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增，又f(2)＝log a2＋2－b<0，f(3)＝log a3＋3－b>0，∴x0∈(2,3)，即n＝2.题型二函数零点个数的判定例2(1)已知函数y＝f(x)是周期为2的周期函数，且当x∈[－1，1]时，f(x)＝2|x|－1，则函数F(x)＝f(x)－|lg x|的零点个数是()A．9B．10C．11D．18解析由函数y ＝f (x )的性质，画出函数y ＝f (x )的图象，如图，再作出函数y ＝|lg x |的图象，由图可知，y ＝f (x )与y ＝|lg x |共有10个交点，故原函数有10个零点．(2)函数f (x )＝36－x 2·cos x 的零点个数为______．答案6解析令36－x 2≥0，解得－6≤x ≤6，∴f (x )的定义域为[－6,6]．令f (x )＝0得36－x 2＝0或cos x ＝0，由36－x 2＝0得x ＝±6，由cos x ＝0得x ＝π2＋k π，k ∈Z ，又x ∈[－6,6]，∴x 为－3π2，－π2，π2，3π2. 故f (x )共有6个零点．教师备选函数f (x )＝2x |log 2x |－1的零点个数为()A ．0B ．1C ．2D ．4解析令f (x )＝0，得|log 2x |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，分别作出y ＝|log 2x |与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的图象(图略)， 由图可知，y ＝|log 2x |与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的图象有两个交点，即原函数有2个零点． 思维升华 求解函数零点个数的基本方法(1)直接法：令f (x )＝0，方程有多少个解，则f (x )有多少个零点；(2)定理法：利用定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等；(3)图象法：一般是把函数拆分为两个简单函数，依据两函数图象的交点个数得出函数的零点个数．跟踪训练2(1)函数f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数，当0≤x <2时f (x )＝x 2－x ，则函数y ＝f (x )的图象在区间[－3,3]上与x 轴的交点个数为()A ．6B ．7C ．8D ．9答案B解析令f (x )＝x 2－x ＝0，所以x ＝0或x ＝1，所以f (0)＝0，f (1)＝0，因为函数的最小正周期为2，所以f (2)＝0，f (3)＝0，f (－2)＝0，f (－1)＝0，f (－3)＝0.所以函数y ＝f (x )的图象在区间[－3,3]上与x 轴的交点个数为7.(2)函数f (x )＝⎩⎨⎧ln x －x 2＋2x ，x >0，4x ＋1，x ≤0的零点个数是() A ．1B ．2C ．3D ．4答案C解析当x >0时，作出函数y ＝ln x 和y ＝x 2－2x 的图象，由图知，当x >0时，f (x )有2个零点；当x ≤0时，由f (x )＝0，得x ＝－14.综上，f (x )有3个零点．题型三 函数零点的应用命题点1根据函数零点个数求参数例3已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ ln (－x )，x <0，x ＋2x，x >0，若关于x 的方程f (x )－m －1＝0恰有三个不同的实数解，则实数m 的取值范围是()A ．(－∞，22]B ．(－∞，22－1)C ．(22－1，＋∞)D ．(22，＋∞)答案C解析恰有三个不同的实数解等价于函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝m ＋1有三个公共点． 作出f (x )的图象如图所示．由图可知，y ＝f (x )的图象与直线y ＝m ＋1有三个公共点时有m ＋1>22， 解得m >22－1，所以实数m 的取值范围为(22－1，＋∞)．命题点2根据函数零点范围求参数例4(2022·北京顺义区模拟)已知函数f (x )＝3x －1＋ax x .若存在x 0∈(－∞，－1)，使得f (x 0)＝0，则实数a 的取值范围是()A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，43B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，43 C ．(－∞，0) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫43，＋∞ 答案B解析由f (x )＝3x－1＋ax x ＝0， 可得a ＝3x －1x ，令g (x )＝3x －1x ，其中x ∈(－∞，－1)，由于存在x 0∈(－∞，－1)，使得f (x 0)＝0，则实数a 的取值范围即为函数g (x )在(－∞，－1)上的值域．由于函数y ＝3x ，y ＝－1x 在区间(－∞，－1)上均单调递增，所以函数g (x )在(－∞，－1)上单调递增．当x ∈(－∞，－1)时，g (x )＝3x －1x <3－1＋1＝43，又g (x )＝3x－1x >0， 所以函数g (x )在(－∞，－1)上的值域为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，43. 因此实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，43. 教师备选1．函数f (x )＝x x ＋2－kx 2有两个零点，则实数k 的值为________． 答案－1 解析由f (x )＝x x ＋2－kx 2＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2－kx ， 函数f (x )＝x x ＋2－kx 2有两个零点，即函数y ＝1x ＋2－kx 只有一个零点x 0，且x 0≠0. 即方程1x ＋2－kx ＝0有且只有一个非零实根． 显然k ≠0，即1k ＝x 2＋2x 有且只有一个非零实根．即二次函数y ＝x 2＋2x 的图象与直线y ＝1k 有且只有一个交点(横坐标不为零)．作出二次函数y ＝x 2＋2x 的图象，如图．因为1k ≠0，由图可知，当1k >－1时，函数y ＝x 2＋2x 的图象与直线y ＝1k 有两个交点，不满足条件．当1k ＝－1，即k ＝－1时满足条件．当1k <－1时，函数y ＝x 2＋2x 的图象与直线y ＝1k 无交点，不满足条件．2．若函数f (x )＝(m －2)x 2＋mx ＋2m ＋1的两个零点分别在区间(－1,0)和区间(1,2)内，则m 的取值范围是________．答案⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12 解析依题意，结合函数f (x )的图象分析可知，m 需满足⎩⎪⎨⎪⎧ m ≠2，f (－1)·f (0)<0，f (1)·f (2)<0，即⎩⎪⎨⎪⎧ m ≠2，(m －2－m ＋2m ＋1)(2m ＋1)<0，(m －2＋m ＋2m ＋1)·[4(m －2)＋2m ＋2m ＋1]<0，解得14<m <12.思维升华 已知函数有零点求参数值或取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的取值范围．(2)分离参数法：将参数分离，转化成求函数值域的问题加以解决．(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．跟踪训练3(1)已知函数f (x )＝e x －ax 2(a ∈R )有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是() A.⎝ ⎛⎭⎪⎫e 4，＋∞B.⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2，＋∞ C.⎝ ⎛⎭⎪⎫e 24，＋∞D.⎝ ⎛⎭⎪⎫e 22，＋∞ 答案C解析令f (x )＝e x －ax 2＝0，显然x ≠0，∴a ＝e xx 2，令g (x )＝e x x 2(x ≠0)，则问题转化为“若y ＝a 的图象与y ＝g (x )的图象有三个交点，求a 的取值范围”．∵g ′(x )＝(x －2)e xx 3，令g ′(x )＝0，解得x ＝2，∴当x <0或x >2时，g ′(x )>0，g (x )在(－∞，0)，(2，＋∞)上单调递增，当0<x <2时，g ′(x )<0，g (x )在(0,2)上单调递减，g (x )在x ＝2处取极小值g (2)＝e 24，作出y ＝g (x )的简图，由图可知，要使直线y ＝a 与曲线g (x )＝e x x 2有三个交点，则a >e 24，故实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫e 24，＋∞. (2)已知函数f (x )＝log 2(x ＋1)－1x ＋m 在区间(1,3]上有零点，则m 的取值范围为()A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－53，0 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－53∪(0，＋∞) C.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－53∪(0，＋∞) D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－53，0 答案D解析由于函数y ＝log 2(x ＋1)，y ＝m －1x 在区间(1,3]上单调递增，所以函数f (x )在(1,3]上单调递增，由于函数f (x )＝log 2(x ＋1)－1x ＋m 在区间(1,3]上有零点，则⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)<0，f (3)≥0，即⎩⎨⎧ m <0，m ＋53≥0，解得－53≤m <0. 因此，实数m 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－53，0. 课时精练1．函数f (x )＝x 3－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2的零点所在的区间为() A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3) D ．(3,4)答案B解析由题意知，f (x )＝x 3－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2， f (0)＝－4，f (1)＝－1，f (2)＝7，因为f (x )在R 上连续且在R 上单调递增，所以f (1)·f (2)<0，f (x )在(1,2)内有唯一零点．2．设函数f (x )＝4x 3＋x －8，用二分法求方程4x 3＋x －8＝0近似解的过程中，计算得到f (1)<0，f (3)>0，则方程的近似解落在区间()A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32B.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，52D.⎝ ⎛⎭⎪⎫52，3 答案A解析取x 1＝2，因为f (2)＝4×8＋2－8＝26>0，所以方程近似解x 0∈(1,2)，取x 2＝32，因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝4×278＋32－8＝7>0， 所以方程近似解x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32. 3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ e x －1－1，x <2，log 3x 2－13，x ≥2，则f (x )的零点为()A ．1,2B ．1，－2C ．2，－2D ．1,2，－2答案A解析当x <2时，令f (x )＝e x －1－1＝0，即e x －1＝1，解得x ＝1，满足x <2；当x ≥2时，令f (x )＝log 3x 2－13＝0，则x 2－13＝1，即x 2＝4，得x ＝－2(舍)或x ＝2.因此，函数y ＝f (x )的零点为1,2.4．若函数f (x )＝2x －2x －a 的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值范围是()A ．(1,3)B ．(1,2)C ．(0,3)D ．(0,2)答案C解析由条件可知f (1)·f (2)<0，即(2－2－a )(4－1－a )<0，即a (a －3)<0，解得0<a <3.5．若函数f (x )＝⎩⎨⎧ log 4(x －1)，x >1，－3x －m ，x ≤1存在2个零点，则实数m 的取值范围为() A ．[－3,0) B ．[－1,0)C ．[0,1)D ．[－3，＋∞)答案A解析因为函数f (x )在(1，＋∞)上单调递增，且f (2)＝0，即f (x )在(1，＋∞)上有一个零点，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 4(x －1)，x >1，－3x －m ，x ≤1存在2个零点， 当且仅当f (x )在(－∞，1]上有一个零点，x ≤1时，f (x )＝0⇔m ＝－3x ，即函数y ＝－3x 在(－∞，1]上的图象与直线y ＝m 有一个公共点，而y ＝－3x 在(－∞，1]上单调递减，且有－3≤－3x <0，则当－3≤m <0时，直线y ＝m 和函数y ＝－3x (x ≤1)的图象有一个公共点．6．(2022·重庆质检)已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －log 2x ，设0<a <b <c ，且满足f (a )·f (b )·f (c )<0，若实数x 0是方程f (x )＝0的一个解，那么下列不等式中不可能成立的是()A ．x 0<aB ．x 0>cC ．x 0<cD ．x 0>b答案B解析f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －log 2x 在(0，＋∞)上单调递减，由f (a )·f (b )·f (c )<0， 得f (a )<0，f (b )<0，f (c )<0或f (a )>0，f (b )>0，f (c )<0.∴x 0<a 或b <x 0<c ，故x 0>c 不成立．7．函数f (x )＝sin x ＋2|sin x |，x ∈[0,2π]的图象与直线y ＝k 的交点个数不可能是()A ．1B ．2C ．4D ．6答案D解析由题意知，f (x )＝sin x ＋2|sin x |，x ∈[0,2π]，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3sin x ，x ∈[0，π]，－sin x ，x ∈(π，2π]，在坐标系中画出函数f (x )的图象如图所示．由其图象知，直线y＝k与y＝f(x)的图象交点个数可能为0,1,2,3,4.8．(2022·北京西城区模拟)若偶函数f(x)(x∈R)满足f(x＋2)＝f(x)且x∈[0,1]时，f(x)＝x，则方程f(x)＝log3|x|的根的个数是()A．2B．3C．4D．多于4答案C解析f(x)＝log3|x|的解的个数，等价于y＝f(x)的图象与函数y＝log3|x|的图象的交点个数，因为函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，所以周期T＝2，当x∈[0,1]时，f(x)＝x，且f(x)为偶函数，在同一平面直角坐标系中画出函数y＝f(x)的图象与函数y＝log3|x|的图象，如图所示．显然函数y＝f(x)的图象与函数y＝log3|x|的图象有4个交点．9．若函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c是奇函数，且有三个不同的零点，写出一个符合条件的函数：f(x)＝________.答案x 3－x (答案不唯一)解析f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 为奇函数，故a ＝c ＝0，f (x )＝x 3＋bx ＝x (x 2＋b )有三个不同零点，∴b <0，∴f (x )＝x 3－x 满足题意．10．函数f (x )＝⎩⎨⎧2x ，x ≥0，－x 2－2x ＋1，x <0，若函数y ＝f (x )－m 有三个不同的零点，则实数m 的取值范围是________．答案(1,2)解析画出函数y ＝f (x )与y ＝m 的图象，如图所示，注意当x ＝－1时，f (－1)＝－1＋2＋1＝2，f (0)＝1，∵函数y ＝f (x )－m 有三个不同的零点，∴函数y ＝f (x )与y ＝m 的图象有3个交点，由图象可得m 的取值范围为1<m <2.11．(2022·枣庄模拟)已知函数f (x )＝|ln x |，若函数g (x )＝f (x )－ax 在区间(0，e 2]上有三个零点，则实数a 的取值范围是______________．答案⎣⎢⎡⎭⎪⎫2e 2，1e 解析∵函数g (x )＝f (x )－ax 在区间(0，e 2]上有三个零点，∴y ＝f (x )的图象与直线y ＝ax 在区间(0，e 2]上有三个交点，由函数y ＝f (x )与y ＝ax 的图象可知，k 1＝2－0e 2－0＝2e 2， f (x )＝ln x (x >1)，f ′(x )＝1x ，设切点坐标为(t ，ln t )，则ln t －0t －0＝1t ， 解得t ＝e.∴k 2＝1e .则直线y ＝ax 的斜率a ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫2e 2，1e . 12．(2022·安徽名校联盟联考)已知函数f (x )＝2x ＋x ＋1，g (x )＝log 2x ＋x ＋1的零点分别为a ，b ，则a ＋b ＝________.答案－1解析由已知得y ＝2x ，y ＝log 2x 的图象与直线y ＝－x －1的交点横坐标分别为a ，b ， 又y ＝2x ，y ＝log 2x 的图象关于直线y ＝x 对称，且y ＝－x －1与y ＝x 交点横坐标为－12，故a ＋b ＝－1.13．已知函数f (x )＝2x ＋x －1，g (x )＝log 2x ＋x －1，h (x )＝x 3＋x －1的零点分别为a ，b ，c ，则a ，b ，c 的大小为()A ．c >b >aB ．b >c >aC ．c >a >bD ．a >c >b答案B解析令f (x )＝0，则2x ＋x －1＝0，得x ＝0，即a ＝0，令g (x )＝0，则log 2x ＋x －1＝0，得x ＝1，即b ＝1，因为函数h (x )＝x 3＋x －1在R 上为增函数，且h (0)＝－1<0，h (1)＝1>0，所以h (x )在区间(0,1)上存在唯一零点c ，且c ∈(0,1)，综上，b >c >a .14．(2022·厦门模拟)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋1，x ≤0，log 2x ，x >0，则函数y ＝f (f (x ))的所有零点之和为________．答案12解析当x ≤0时，x ＋1＝0，x ＝－1，由f(x)＝－1，可得x＋1＝－1或log2x＝－1，∴x＝－2或x＝1 2；当x>0时，log2x＝0，x＝1，由f(x)＝1，可得x＋1＝1或log2x＝1，∴x＝0或x＝2；∴函数y＝f(f(x))的所有零点为－2，12，0,2，∴所有零点的和为－2＋12＋0＋2＝12.15．(2022·南京模拟)在数学中，布劳威尔不动点定理可应用到有限维空间，并是构成一般不动点定理的基石，它得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔(L.E.J.Brouwer)，简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数f(x)，存在一个点x0，使得f(x0)＝x0，那么我们称该函数为“不动点”函数，下列为“不动点”函数的是________．(填序号)①f(x)＝2x＋x；②g(x)＝x2－x－3；③f(x)＝12x＋1；④f(x)＝|log2x|－1.答案②③④解析对于①，若f(x0)＝x0，则02x＝0，该方程无解，故①中函数不是“不动点”函数；对于②，若g(x0)＝x0，则x20－2x0－3＝0，解得x0＝3或x0＝－1，故②中函数是“不动点”函数；对于③，若f (x 0)＝x 0，则120x ＋1＝x 0，可得x 20－3x 0＋1＝0，且x 0≥1，解得x 0＝3＋52，故③中函数是“不动点”函数；对于④，若f (x 0)＝x 0，则|log 2x 0|－1＝x 0，即|log 2x 0|＝x 0＋1，作出y ＝|log 2x |与y ＝x ＋1的函数图象，如图，由图可知，方程|log 2x |＝x ＋1有实数根x 0，即|log 2x 0|＝x 0＋1，故④中函数是“不动点”函数．16．已知M ＝{α|f (α)＝0}，N ＝{β|g (β)＝0}，若存在α∈M ，β∈N ，使得|α－β|<n ，则称函数f (x )与g (x )互为“n 度零点函数”．若f (x )＝32－x －1与g (x )＝x 2－a e x 互为“1度零点函数”，则实数a 的取值范围为________．答案⎝ ⎛⎦⎥⎤1e ，4e 2 解析由题意可知f (2)＝0，且f (x )在R 上单调递减，所以函数f (x )只有一个零点2，由|2－β|<1，得1<β<3，所以函数g (x )＝x 2－a e x 在区间(1,3)上存在零点．由g (x )＝x 2－a e x＝0，得a ＝x 2e x . 令h (x )＝x 2e x ，则h ′(x )＝2x －x 2e x ＝x (2－x )e x ，所以h (x )在区间(1,2)上单调递增，在区间(2,3)上单调递减，且h (1)＝1e ，h (2)＝4e 2，h (3)＝9e 3>1e ，要使函数g (x )在区间(1,3)上存在零点，只需a ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤1e ，4e 2.。

个性化教学辅导教案1．(2016·青岛模拟)若函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的单调减区间为(－1,3)，则b＋c＝________.2．(2016·衡水中学模拟)已知函数f(x)(x∈R)满足f(1)＝1，f(x)的导数f′(x)<12，则不等式f(x2)<x22＋12的解集为________________．3、已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处有极值10，则f(2)等于() A．11或18 B．11C．18 D．17或181、已知函数f （x ）=x -alnx ，当x ＞1时，f （x ）＞0恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．（1，+∞） B ．（-∞，1） C ．（e ，+∞） D ．（-∞，e ）2、已知函数f （x ）=（2-a ）lnx+x1+2ax（Ⅰ）当a=2时，求函数f （x ）的极值； （Ⅱ）当a ＜0时，讨论f （x ）的单调性3、定义在R 上的奇函数y=f （x ）满足f （3）=0，且当x ＞0时，不等式f （x ）＞﹣xf′（x ）恒成立，则函数g （x ）=xf （x ）+lg|x+1|的零点的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．44、已知函数f （x ）=x 3+3x 对任意的m∈[-2，2]，f （mx -2）+f （x ）＜0恒成立，则x∈ 。

学科分析：从近五年的考查情况来看,该讲一直是高考的重点和难点.一般以基本初等函数为载体,利用导数研究函数的单调性、极值、最值、零点问题,同时与解不等式关系最为密切,还可能与三角函数、数列等知识综合考查,一般出现在选择题和填空题的后两题中以及解答题的第21题,难度较大,复习备考的过程中应引起重视. 学生分析：1、学习风格（动觉型、视觉型、听觉型）2、知识点分析：（1）导数的分类讨论思想 （2）导数的恒成立问题【精准突破一】学习目标：分类讨论思想在求函数单调区间中的运用 目标分解：分类讨论思想在求函数单调区间中的运用 【目标：分类讨论思想在求函数单调区间中的运用 】利用导数求函数单调区间基本方法是先求导数'()0f x >，再解'()0f x >或'()0f x <得到单调递增或递减区间．纵观近几年的高考题，不难发现求函数单调区间问题是屡屡出现，它以导数为研究工具不断的出现在每年的高考题中，常考常新，试题类型也由最初的直接求单调区间问题逐步发展为要利用分类讨论思想才能完成的问题，也即利用分类讨论思想解决求单调区间问题已成为近几年高考的热点问题，这类试题出现频率高、函数类型变化大，对学生的综合能力要求高，但纵观其解题规律则不难看出其分类讨论的依据主要可分为三类：一、根据最高次项系数来分类：在解'()0f x >或'()0f x <得到单调递增或递减区间时，如果最高次项系数带有参数，且参数的取值不确定，则需要对参数的取值进行分类讨论，以此来确定导数在各区间上的符号，从而确定单调区间。

第11讲函数与方程学习目标1．结合二次函数的图像，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，了解函数的零点与方程根的联系．2根据具体函数的图像，能够用二分法求相应方程的近似解．学习疑问学习建议【相关知识点回顾】请注意1．函数y＝f(x)的零点即方程f(x)＝0的实根，易误认为函数图像与x轴的交点．2．由函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出f(a)·f(b)<0，如图所示．所以f(a)·f(b)<0是y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件．【预学能掌握的内容】1.函数零点的概念零点不是点！(1)从“数”的角度看：即是使f(x)＝0的实数x；(2)从“形”的角度看：即是函数f(x)的图像与x轴交点的横坐标．2.函数零点与方程根的关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图像与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．3.函数零点的判断如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图像是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0．那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．4.二分法的定义对于在[a，b]上连续不断，且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫6．下列函数图像与x轴均有公共点，其中能用二分法求零点的是( )【探究点一】零点个数: 函数零点个数的判定有下列几种方法(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，那么有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用该定理不仅要求函数在[a ，b]上是连续的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图像和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点．(3)画两个函数图像，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点． 〖典例解析〗例1.(1)函数f(x)＝2x＋x 3－2在区间(0，1)内的零点个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3(2)函数f(x)＝2x|log 0.5x|－1的零点个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4〖课堂检测〗(1)函数f(x)＝|x|－cosx 在(－∞，＋∞)内零点个数( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．无穷多个(2)函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2，x ≤0，2x －6＋lnx ，x>0的零点个数是________．【探究点二】确定零点所在区间〖典例解析〗例2.(1)设函数f(x)＝13x －lnx ，则函数y ＝f(x)( )A ．在区间(1e ，1)，(1，e)内均有零点B ．在区间(1e ，1)，(1，e)内均无零点C ．在区间(1e ，1)内有零点，在区间(1，e)内无零点D ．在区间(1e，1)内无零点，在区间(1，e)内有零点【层次一】(1)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－a ，x ≤0，2x －1，x>0(a∈R )，若函数f(x)在R 上有两个零点，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(－∞，－1]C ．[－1，0)D ．(0，1](2)用二分法研究函数f(x)＝x 3＋3x －1的零点时，第一次经计算f(0)<0，f(0.5)>0，可得其中一个零点x 0∈________，第二次应计算________．(3)在用二分法求方程x 3－2x －1＝0的一个近似解时，现在已经将根锁定在区间(1，2)内，则下一步可断定该根所在的区间为________．【层次二】 【层次三】【思维导图】（学生自我绘制）。