高考数学复习第二单元第11讲函数与方程练习文(含解析)新人教A版

2.8函数与方程必备知识预案自诊知识梳理1.函数的零点(1）函数零点的定义对于函数y=f（x)(x∈D),把使成立的实数x叫做函数y=f（x)（x∈D)的零点。

(2）与函数零点有关的等价关系方程f(x)=0有实数根⇔函数y=f(x）的图象与有交点⇔函数y=f(x)有.（3）函数零点的判定（零点存在性定理）2。

二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与零点的关系图象3.二分法函数y=f（x)的图象在区间［a,b]上连续不断，且，通过不断地把它的零点所在区间，使所得区间的两个端点逐步逼近,进而得到零点近似值的方法叫做二分法.1.若y=f（x)在闭区间[a,b]上的图象连续不断，且有f(a)f （b）<0,则函数y=f（x)一定有零点.2。

f（a)f(b）<0是y=f（x）在闭区间［a，b]上有零点的充分不必要条件.3.若函数f(x）在［a，b］上是单调函数,且f(x）的图象连续不断,则f（a)f(b)<0⇒函数f(x)在区间[a,b］上有且只有一个零点。

考点自诊1.判断下列结论是否正确，正确的画“√",错误的画“×”。

(1）函数f（x）=x2—1的零点是（—1,0）和(1，0).(）(2)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0）在b2—4ac〈0时没有零点。

() (3）只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的近似值。

()（4）已知函数f（x）在(a,b）内图象连续且单调，若f（a）f（b)〈0,则函数f（x）在[a，b］上有且只有一个零点.（)（5)函数y=2sin x—1的零点有无数多个.() 2。

(2020云南玉溪一中二模)函数f(x）=2x+3x的零点所在的一个区间是（）A。

(—2，—1)B.（—1，0)C。

（0,1）D。

（1，2)3.（2020山东济南二模,2）函数f（x)=x3+x—4的零点所在的区间为()A.（—1，0）B.(0,1）C。

专题2——函数与方程一、 函数概念与性质1．奇偶性 )(x f 偶函数⇔()()f x f x -=⇔)(x f 图象关于y 轴对称)(x f 奇函数⇔()()f x f x -=-⇔)(x f 图象关于原点对称注 ：① )(x f 有奇偶性⇒定义域关于原点对称 ② )(x f 奇函数,在x=0有定义⇒f(0)=0③“奇+奇=奇”（公共定义域内）2．单调性 (1)设[]2121,,x x b a x x ≠∈⋅那么[]1212()()()0x x f x f x -->⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔>--上是增函数；[]1212()()()0x x f x f x --<⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔<--上是减函数. (2)设函数)(x f y =在某个区间内可导，如果0)(>'x f ，则)(x f 为增函数；如果0)(<'x f ，则)(x f 为减函数.注：①判断单调性必须考虑定义域②)(x f 单调性判断：定义法、图象法、性质法“增+增=增”③奇函数在对称区间上单调性相同；偶函数在对称区间上单调性相反④.如果函数)(x f 和)(x g 都是减函数,则在公共定义域内,和函数)()(x g x f +也是减函数; 如果函数)(u f y =和)(x g u =在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数)]([x g f y =是增函数（同增异减） 3．周期性（1）)()(a x f x f +=，则)(x f 的周期a T =； （2）0)()(=++a x f x f ，或)0)(()(1)(≠=+x f x f a x f ，或1()()f x a f x +=-(()0)f x ≠,a T 2= 4.二次函数三种解析式：(1)一般式2()(0)f x ax bx c a =++≠;(2)顶点式2()()(0)f x a x h k a =-+≠;(3)零点式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠.对称轴（针对一般式）：a bx 2-= 顶点：)44,2(2a b ac a b --单调性：0φa ，]2,(a b--∞递减，),2[+∞-a b 递增，当a b x 2-=，min )(x f a b ac 442-= 0πa ，]2,(a b--∞递增，),2[+∞-a b 递减，当a b x 2-=，max )(x f a b ac 442-=奇偶性：2()(0)f x ax bx c a =++≠是偶函数⇔b=0；注：一次函数b ax x f +=)(奇函数⇔b=0 闭区间上最值：配方法、图象法、讨论法---注意对称轴与区间的位置关系二．基本初等函数1.分数指数幂：)0(10≠=a a ， nnaa 1=- ，m n mna a =，1m n m na a -= 2.根式的性质（1）()nn a a =.（2）当n 为奇数时，n n a a =；当n 为偶数时，,0||,0n n a a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩.3.有理指数幂的运算性质(1) (0,,)rsr sa a aa r s Q +⋅=>∈. (2) ()(0,,)r s rs a a a r s Q =>∈.(3)()(0,0,)rr rab a b a b r Q =>>∈.4.指数式与对数式的互化式： log b a N b a N =⇔=(0,1,0)a a N >≠>.5.对数的换底公式log log log m a m NN a=(0a >,且1a ≠,0m >,且1m ≠, 0N >).推论 log log m na a nb b m =(0a >,且1a >,,0m n >,且1m ≠,1n ≠, 0N >).6.对数的四则运算法则：NM MN a a a log log log +=N M NMa a alog log log -= M n M a n a log log = a b b m m a log log log =a blg lg =n a a b b n log log =a b log 1=注：性质01log =a 1log =a a N aNa =log常用对数N N 10log lg =，15lg 2lg =+ 自然对数N N e log ln =，1ln =e7.指数与对数函数 xa y = x y a log =定义域、值域、过定点、单调性？注：xa y =与x y a log =图象关于x y =对称（互为反函数）8.幂函数12132,,,-====xyxyxyxy，xy=（画出简图）αxy=在第一象限图象如下：α>101<<αα<0三．函数图象与方程1．描点法函数化简→定义域→讨论性质（奇偶、单调），取特殊点如零点、最值点等2．图象变换平移：“左加右减，上加下减”)()(hxfyxfy+=→=伸缩：)1()(xfyxfyϖϖ=−−−−−−−−→−=倍来的每一点的横坐标变为原对称：“对称谁，谁不变，对称原点都要变”)()()()()()(xfyxfyxfyxfyxfyxfyyx--=−−→−=-=−→−=-=−→−=原点轴轴注：)(xfy=ax=→直线)2(xafy-=翻折：→=)(xfy|()|y f x=保留x轴上方部分，并将下方部分沿x轴翻折到上方y=f(x)cba oyxy=|f(x)|cba oyx→=)(xfy(||)y f x=保留y轴右边部分，并将右边部分沿y轴翻折到左边3.零点定理若0)()(<b f a f ，则)(x f y =在),(b a 内有零点（条件：)(x f 在],[b a 上图象连续不间断） 注：①)(x f 零点：0)(=x f 的实根②在],[b a 上连续的单调函数)(x f ，0)()(<b f a f ，则)(x f 在),(b a 上有且仅有一个零点 ③二分法判断函数零点---0)()(<b f a f ？ 4.平均增长率的问题如果原来产值的基础数为N ，平均增长率为p ，则对于时间x 的总产值y ，有(1)xy N p =+.练习题： 一、选择题1．判断下列各组中的两个函数是同一函数的为（ ）⑴3)5)(3(1+-+=x x x y ，52-=x y ；⑵111-+=x x y ，)1)(1(2-+=x x y ；⑶x x f=)(，2)(x x g =；⑷()f x =()F x =⑸21)52()(-=x x f ，52)(2-=x x f 。

一、知识梳理１．函数的零点函数零点的概念对于函数y ＝f（x）（x∈D），把使f（x）＝0成立的实数x叫做函数y ＝f（x）（x∈D）的零点方程的根与函数零点的关系方程f（x）＝0有实数根⇔函数y＝f（x）的图象与x轴有交点⇔函数y＝f（x）有零点函数零点的存在性定理函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，若f（a）·f （b）<0，则y＝f（x）在（a，b）内存在零点２．二次函数y＝ax２＋bx＋c（a＞0）的图象与零点的关系Δ＞0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax２＋bx＋c（a＞0）的图象与x轴的交点（x１，0），（x２，0）（x１，0）无交点零点个数两个一个零个有关函数零点的结论（１）若连续不断的函数f（x）在定义域上是单调函数，则f（x）至多有一个零点．（２）连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．（３）连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．二、习题改编１．（必修１P9２A组T５改编）函数f（x）＝ln x—错误!的零点所在的大致范围是（）Ａ．（１，２）Ｂ．（２，３）Ｃ．错误!和（３，４）Ｄ．（４，＋∞）答案：B２．（必修１P88例１改编）f（x）＝e x＋３x的零点个数是（）Ａ．0 Ｂ．１Ｃ．２Ｄ．３答案：B３．（必修１P9２A组T４改编）函数f（x）＝x错误!—错误!错误!的零点个数为．答案：１一、思考辨析判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）（１）函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．（）（２）函数y＝f（x）在区间（a，b）内有零点（函数图象连续不断），则f（a）·f（b）<0．（）（３）二次函数y＝ax２＋bx＋c（a≠0）在b２—４ac<0时没有零点．（）（４）若函数f（x）在（a，b）上单调且f（a）·f（b）<0，则函数f（x）在[a，b]上有且只有一个零点．（）答案：（１）×（２）×（３）√（４）√二、易错纠偏错误!（１）忽略限制条件致误；（２）错用零点存在性定理致误．１．函数f（x）＝（x—１）ln（x—２）的零点个数为（）Ａ．0 Ｂ．１Ｃ．２Ｄ．３解析：选Ｂ．由x—２>0，得x>２，所以函数f（x）的定义域为（２，＋∞），所以当f（x）＝0，即（x—１）ln（x—２）＝0时，解得x＝１（舍去）或x＝３．２．已知函数f（x）＝２ax—a＋３，若∃x0∈（—１，１），使得f（x0）＝0，则实数a的取值范围是．解析：依题意可得f（—１）·f（１）<0，即（—２a—a＋３）（２a—a＋３）<0，解得a<—３或a>１．答案：（—∞，—３）∪（１，＋∞）函数零点所在区间的判断（师生共研）（一题多解）函数f（x）＝log３x＋x—２的零点所在的区间为（）Ａ．（0，１）Ｂ．（１，２）Ｃ．（２，３）Ｄ．（３，４）【解析】法一（定理法）：函数f（x）＝log３x＋x—２的定义域为（0，＋∞），并且f（x）在（0，＋∞）上单调递增，图象是一条连续曲线．由题意知f（１）＝—１<0，f（２）＝log３２>0，f（３）＝２>0，根据零点存在性定理可知，函数f（x）＝log３x＋x—２有唯一零点，且零点在区间（１，２）内．法二（图象法）：函数f（x）的零点所在的区间转化为函数g（x）＝log３x，h（x）＝—x＋２图象交点的横坐标所在的范围．作出两个函数的图象如图所示，可知f（x）的零点所在的区间为（１，２）．故选Ｂ．【答案】B错误!判断函数零点所在区间的方法方法解读适合题型定理法利用函数零点的存在性定理进行判断能够容易判断区间端点值所对应函数值的正负图象法画出函数图象，通过观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断容易画出函数的图象设f（x）＝３x—x２，则在下列区间中，使函数f（x）有零点的区间是（）Ａ．[0，１] Ｂ．[１，２]Ｃ．[—２，—１] Ｄ．[—１，0]解析：选Ｄ．因为f（x）＝３x—x２，所以f（—１）＝３—１—１＝—错误!<0，f（0）＝３0—0＝１>0，所以f（—１）·f（0）<0．函数零点个数的判断（师生共研）（一题多解）函数f（x）＝错误!的零点个数为（）Ａ．３Ｂ．２Ｃ．１Ｄ．0【解析】法一（方程法）：由f（x）＝0，得错误!或错误!解得x＝—２或x＝e.因此函数f（x）共有２个零点．法二（图形法）：函数f（x）的图象如图所示，由图象知函数f（x）共有２个零点．【答案】B错误!判断函数零点个数的３种方法（１）方程法：令f（x）＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．（２）定理法：利用定理不仅要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f（a）·f（b）<0，还必须结合函数的图象与性质（如单调性、奇偶性、周期性、对称性）才能确定函数有多少个零点．（３）图形法：转化为两个函数的图象的交点个数问题．先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．已知函数f（x）＝错误!则f（x）的零点个数为（）Ａ．0 Ｂ．１Ｃ．２Ｄ．３解析：选Ｃ．当x>１时，令f（x）＝ln（x—１）＝0，得x＝２；当x≤１时，令f（x）＝２x—１—１＝0，得x＝１．故选Ｃ．函数零点的应用（师生共研）设函数f（x）＝错误!（１）若a＝１，则f（x）的最小值为；（２）若f（x）恰有２个零点，则实数a的取值范围是．【解析】（１）若a＝１，则f（x）＝错误!作出函数f（x）的图象如图所示．由图可得f（x）的最小值为—１．（２）当a≥１时，要使f（x）恰有２个零点，需满足２１—a≤0，即a≥２，所以a≥２；当a<１时，要使f（x）恰有２个零点，需满足错误!解得错误!≤a<１．综上，实数a的取值范围为错误!∪[２，＋∞）．【答案】（１）—１（２）错误!∪[２，＋∞）错误!利用函数零点求参数取值范围的方法及步骤（１）常用方法（２）一般步骤１．函数f（x）＝２x—错误!—a的一个零点在区间（１，２）内，则实数a的取值范围是（）Ａ．（１，３）Ｂ．（１，２）Ｃ．（0，３）Ｄ．（0，２）解析：选Ｃ．由题意，知函数f（x）在（１，２）上单调递增，又函数一个零点在区间（１，２）内，所以错误!即错误!解得0<a<３，故选Ｃ．２．已知函数f（x）＝错误!若函数g（x）＝f（x）—m有３个零点，则实数m的取值范围是．解析：画出函数f（x）＝错误!的图象，如图所示．由于函数g（x）＝f（x）—m有３个零点，结合图象得0<m<１，即m∈（0，１）．答案：（0，１）３．若函数f（x）＝４x—２x—a，x∈[—１，１]有零点，则实数a的取值范围是．解析：因为函数f（x）＝４x—２x—a，x∈[—１，１]有零点，所以方程４x—２x—a＝0在[—１，１]上有解，即方程a＝４x—２x在[—１，１]上有解．方程a＝４x—２x可变形为a＝错误!错误!—错误!，因为x∈[—１，１]，所以２x∈错误!，所以错误!错误!—错误!∈错误!.所以实数a的取值范围是错误!.答案：错误!核心素养系列５直观想象——用图形快速解决的常见几类题直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用空间形式特别是图形，理解和解决数学问题的素养．主要包括：借助空间形式认识事物的位置关系、形态变化与运动规律；利用图形描述分析数学问题，建立形与数的联系，构建数学问题的直观模型，探索解决问题的思路．一、利用图形研究函数的性质【解析】由已知条件得f（x＋２）＝f（x），则y＝f（x）是以２为周期的周期函数，１正确；当—１≤x≤0时，0≤—x≤１，f（x）＝f（—x）＝错误!错误!，函数y＝f（x）的部分图象如图所示：由图象知２正确，３不正确；当３<x<４时，—１<x—４<0，f（x）＝f（x—４）＝错误!错误!，因此４正确，故正确命题的序号为１２４．【答案】１２４错误!作出函数图象，由图象观察可得函数的定义域、值域、最值、单调性、奇偶性、极值点等性质，并将这些性质用于转出条件求得结论．二、利用图形解不等式使log２（—x）<x＋１成立的x的取值范围是．【解析】在同一直角坐标系内作出y＝log２（—x），y＝x＋１的图象，知满足条件的x∈（—１，0）．【答案】（—１，0）错误!f（x），g（x）之间大小不等关系表现为图象中的上下位置关系，画出两个函数的图象，根据函数图象的交点和图象的相对位置确定所求不等式的解集．三、利用图形求解不等式中的参数范围若不等式|x—２a|≥错误!x＋a—１对x∈R恒成立，则a的取值范围是．【解析】作出y＝|x—２a|和y＝错误!x＋a—１的简图，依题意知应有２a≤２—２a，故a≤错误!.【答案】错误!错误!对含有参数的函数不等式问题，一般将不等式化简，整理、重组、构造两个函数，一个含有参数，一个不含参数，研究两个函数的性质，画出两个函数的图象，观察参数的变化如何带动含参函数图象的变化，根据两函数图象的相对位置确定参数满足的不等式，解不等式得出参数a的取值范围．四、利用图形研究零点问题已知函数f（x）＝２x＋x，g（x）＝log３x＋x，h（x）＝x—错误!的零点依次为a，b，c，则（）Ａ．a<b<cＢ．c<b<aＣ．c<a<bＤ．b<a<c【解析】在同一直角坐标系下分别画出函数y＝２x，y＝log３x，y＝—错误!的图象，如图，观察它们与y＝—x的交点可知a<b<c，故选Ａ．【答案】A错误!零点的个数等价于两函数图象交点的个数，零点的范围、大小可以转化为交点的横坐标的范围、大小，参数的取值范围通过图象的变化寻找建立不等式求解．１．函数f（x）＝|x—２|—ln x在定义域内的零点的个数为（）A．0 Ｂ．１Ｃ．２Ｄ．３解析：选Ｃ．由题意可知f（x）的定义域为（0，＋∞），在同一直角坐标系中画出函数y１＝|x—２|（x>0），y２＝ln x（x>0）的图象，如图所示．由图可知函数f（x）在定义域内的零点个数为２．２．已知函数f（x）＝错误!若f（a２）<f（２—a），则实数a的取值范围是．解析：函数f（x）的图象如图所示，由图象知函数f（x）在（—∞，＋∞）上单调递增，所以a２<２—a，解得—２<a<１，故实数a的取值范围是（—２，１）．答案：（—２，１）[基础题组练]１．（２0２0·福州期末）已知函数f（x）＝错误!则函数y＝f（x）＋３x的零点个数是（）Ａ．0 Ｂ．１Ｃ．２Ｄ．３解析：选Ｃ．令f（x）＋３x＝0，则错误!或错误!解得x＝0或x＝—１，所以函数y＝f（x）＋３x 的零点个数是２．故选Ｃ．２．下列函数中，在（—１，１）内有零点且单调递增的是（）Ａ．y＝log错误!xＢ．y＝２x—１Ｃ．y＝x２—错误!Ｄ．y＝—x３解析：选Ｂ．函数y＝log错误!x在定义域上单调递减，y＝x２—错误!在（—１，１）上不是单调函数，y＝—x３在定义域上单调递减，均不符合要求．对于y＝２x—１，当x＝0∈（—１，１）时，y＝0且y＝２x—１在R上单调递增．故选Ｂ．３．（２0２0·甘肃酒泉敦煌中学一诊）方程log４x＋x＝7的解所在区间是（）Ａ．（１，２）Ｂ．（３，４）Ｃ．（５，6）Ｄ．（6，7）解析：选Ｃ．令函数f（x）＝log４x＋x—7，则函数f（x）是（0，＋∞）上的单调递增函数，且是连续函数．因为f（５）<0，f（6）>0，所以f（５）·f（6）<0，所以函数f（x）＝log４x＋x—7的零点所在区间为（５，6），所以方程log４x＋x＝7的解所在区间是（５，6）．故选Ｃ．４．（２0２0·内蒙古月考）已知函数f（x）＝x２—２|x|—m的零点有两个，则实数m的取值范围为（）Ａ．（—１，0）Ｂ．{—１}∪（0，＋∞）Ｃ．[—１，0）∪（0，＋∞）Ｄ．（0，１）解析：选Ｂ．在同一直角坐标系内作出函数y＝x２—２|x|的图象和直线y＝m，可知当m>0或m＝—１时，直线y＝m与函数y＝x２—２|x|的图象有两个交点，即函数f（x）＝x２—２|x|—m有两个零点．故选Ｂ．５．已知函数f（x）＝x e x—ax—１，则关于f（x）的零点叙述正确的是（）Ａ．当a＝0时，函数f（x）有两个零点B．函数f（x）必有一个零点是正数Ｃ．当a<0时，函数f（x）有两个零点Ｄ．当a>0时，函数f（x）只有一个零点解析：选Ｂ．f（x）＝0⇔e x＝a＋错误!（x≠0），在同一直角坐标系中作出y＝e x与y＝错误!的图象，观察可知A，C，D选项错误，选项B正确．6．已知函数f（x）＝错误!＋a的零点为１，则实数a的值为．解析：由已知得f（１）＝0，即错误!＋a＝0，解得a＝—错误!.答案：—错误!7．（２0２0·新疆第一次适应性检测）设a∈Z，函数f（x）＝e x＋x—a，若x∈（—１，１）时，函数有零点，则a的取值个数为．解析：根据函数解析式得到函数f（x）是单调递增的．由零点存在性定理知若x∈（—１，１）时，函数有零点，需要满足错误!⇒错误!—１<a<e＋１，因为a是整数，故可得到a的可能取值为0，１，２，３．答案：４8．已知f（x）＝x２＋（a２—１）x＋（a—２）的一个零点比１大，一个零点比１小，则实数a的取值范围是．解析：法一：设方程x２＋（a２—１）x＋（a—２）＝0的两根分别为x１，x２（x１<x２），则（x１—１）（x２—１）<0，所以x１x２—（x１＋x２）＋１<0，由根与系数的关系，得（a—２）＋（a２—１）＋１<0，即a２＋a—２<0，所以—２<a<１．故实数a的取值范围为（—２，１）．法二：函数f（x）的图象大致如图，则有f（１）<0，即１＋（a２—１）＋a—２<0，得a２＋a—２<0，所以—２<a<１．故实数a的取值范围是（—２，１）．答案：（—２，１）9．设函数f（x）＝ax２＋bx＋b—１（a≠0）．（１）当a＝１，b＝—２时，求函数f（x）的零点；（２）若对任意b∈R，函数f（x）恒有两个不同的零点，求实数a的取值范围．解：（１）当a＝１，b＝—２时，f（x）＝x２—２x—３，令f（x）＝0，得x＝３或x＝—１．所以函数f（x）的零点为３或—１．（２）依题意，f（x）＝ax２＋bx＋b—１＝0有两个不同的实根，所以b２—４a（b—１）>0恒成立，即对于任意b∈R，b２—４ab＋４a>0恒成立，所以有（—４a）２—４×（４a）<0⇒a２—a<0，解得0<a<１，因此实数a的取值范围是（0，１）．１0．已知函数f（x）＝ax２＋bx＋c（a≠0），满足f（0）＝２，f（x＋１）—f（x）＝２x—１．（１）求函数f（x）的解析式；（２）若函数g（x）＝f（x）—mx的两个零点分别在区间（—１，２）和（２，４）内，求m的取值范围．解：（１）由f（0）＝２得c＝２，又f（x＋１）—f（x）＝２x—１，得２ax＋a＋b＝２x—１，故错误!解得a＝１，b＝—２，所以f（x）＝x２—２x＋２．（２）g（x）＝x２—（２＋m）x＋２，若g（x）的两个零点分别在区间（—１，２）和（２，４）内，则满足错误!⇒错误!解得１<m<错误!.所以m的取值范围为错误!.[综合题组练]１．（一题多解）函数f（x）＝２x—错误!零点的个数为（）Ａ．0 Ｂ．１Ｃ．２Ｄ．３解析：选Ｂ．法一：当x<0时，f（x）＝２x—错误!>0恒成立，无零点；又易知f（x）＝２x—错误!在（0，＋∞）上单调递增，最多有一个零点．又f错误!＝错误!—２<0，f（１）＝２—１>0，所以有一个零点．故选Ｂ．法二：在同一平面直角坐标系中，作出函数y＝２x和y＝错误!的图象，如图所示．函数f（x）＝２x—错误!的零点等价于２x＝错误!的根等价于函数y＝２x和y＝错误!的交点．由图可知，有一个交点，所以有一个零点．故选Ｂ．２．已知命题p：“m＝２”是“幂函数f（x）＝（m２—m—１）x m在区间（0，＋∞）上为增函数”的充要条件；命题q：已知函数f（x）＝ln x＋３x—8的零点x0∈[a，b]，且b—a＝１（a，b∈N*），则a＋b＝５．则下列命题为真命题的是（）Ａ．p∧qＢ．（﹁p）∧qＣ．﹁qＤ．p∧（﹁q）解析：选Ａ．对于命题p，若幂函数f（x）＝（m２—m—１）x m在区间（0，＋∞）上为增函数，则错误!解得m＝２，所以命题p是真命题，﹁p是假命题．对于命题q，函数f（x）＝ln x＋３x—8在（0，＋∞）上单调递增，且f（２）＝ln ２—２<0，f（３）＝ln ３＋１>0，所以零点x0∈[a，b]，且b—a＝１（a，b∈N*），则a＝２，b＝３，a＋b＝５，所以命题q为真命题，﹁q为假命题．所以p∧q 是真命题，（﹁p）∧q，﹁q，p∧（﹁q）都是假命题．故选Ａ．３．设函数f（x）＝错误!（x>0）．（１）作出函数f（x）的图象；（２）当0<a<b，且f（a）＝f（b）时，求错误!＋错误!的值；（３）若方程f（x）＝m有两个不相等的正根，求m的取值范围．解：（１）如图所示．（２）因为f（x）＝错误!＝错误!故f（x）在（0，１]上是减函数，而在（１，＋∞）上是增函数，由0<a<b且f（a）＝f（b），得0<a<１<b，且错误!—１＝１—错误!，所以错误!＋错误!＝２．（３）由（１）中函数f（x）的图象可知，当0<m<１时，方程f（x）＝m有两个不相等的正根．所以m的取值范围是（0，１）．４．（创新型）已知函数f（x）＝—x２—２x，g（x）＝错误!（１）求g（f（１））的值；（２）若方程g（f（x））—a＝0有４个实数根，求实数a的取值范围．解：（１）利用解析式直接求解得g（f（１））＝g（—３）＝—３＋１＝—２．（２）令f（x）＝t，则原方程化为g（t）＝a，易知方程f（x）＝t在t∈（—∞，１）上有２个不同的解，则原方程有４个解等价于函数y＝g（t）（t<１）与y＝a的图象有２个不同的交点，作出函数y＝g （t）（t<１）的图象，如图，由图象可知，当１≤a<错误!时，函数y＝g（t）（t<１）与y＝a有２个不同的交点，即所求a的取值范围是错误!.。

2014届高考一轮复习收尾精炼：　函数与方程 一、选择题 1．方程2x－1＋x－5＝0的解所在的区间是( )． A．(0, 1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4) 2．若函数f(x)＝2ax2－x－1在(0,1)内恰有一个零点，则a的取值范围是( )． A．(－1,1) B．[1，＋∞) C．(1，＋∞) D．(2，＋∞) 3．函数f(x)＝的零点的个数是( )． A．0 B．1 C．2 D．3 4．设函数f(x)＝4sin(2x＋1)－x，则在下列区间中函数f(x)不存在零点的是( )． A． [－4，－2] B．[－2,0] C．[0,2] D．[2,4] 5．在用二分法求方程的近似解时，若初始区间的长度为1，精确度要求是0.05，则取中点的次数是( )． A．3 B．4 C． 5 D．6 6．函数f(x)＝ex＋2x－6(e≈2.718)的零点属于区间(n，n＋1)(nZ)，则n＝( )． A．0 B．1C．2 D．3 7．已知a是函数f(x)＝2x－的零点，若0＜x0＜a，则f(x0)的值满足( )． A．f(x0)＝0B．f(x0)＜0 C．f(x0)＞0D． f(x0)的符号不确定 二、填空题 8．已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，则实数m的取值范围是__________． 9．(2012上海高考)方程4x－2x＋1－3＝0的解是__________． 10．用二分法求方程x3－2x－5＝0在区间(2,3)上的近似解，取区间中点x0＝2.5，那么下一个有解区间为__________． 三、解答题 11．判断方程3x－x2＝0的负实数根的个数，并说明理由． 12．(1)m为何值时，f(x)＝x2＋2mx＋3m＋4. 有且仅有1个零点； 有2个零点且均比－1大； (2)若函数f(x)＝|4x－x2|＋a有4个零点，求实数a的取值范围．参考答案 一、选择题 1．C　解析：令f(x)＝2x－1＋x－5，f(2)＝－1＜0，f(3)＝2＞0. ∴方程的解在(2,3)内． 2． C　解析：当a＝0时，函数的零点是x＝－1； 当a≠0时，若Δ＞0，f(0)·f(1)＜0，则a＞1； 若Δ＝0，即a＝－，函数的零点是x＝－2，故选C. 3． D　解析：由题可知，当x＞0时，y＝ln x与y＝－2x＋6的图象有1个交点；当x≤0时，函数y＝－x(x＋1)的图象与x轴有2个交点，所以函数f(x)有3个零点． 4．A　解析：对于B， ∵f(0)＝4sin 1＞0， f＝4sin(－π＋1)＋ ＝－4sin 1＜－4sin ＝－2＜0， ∴在该区间上存在零点． 对于C，∵f(2)＝4sin 5－2＝4sin(5－2π)－2＜0，∴在该区间上存在零点． 对于D，∵f(3.5)＝4sin 8－3.5＝4sin(8－2π)－3.5＞0， ∴在该区间上也存在零点． 5．C　解析：设经过n次取中点，则n满足＜0.05，即2n＞20，由于24＝16＜20，25＝32＞20，故要经过5次取中点． 6．B　解析：令f(x)＝ex＋2x－6＝0，则ex＝6－2x，故函数f(x)的零点即是函数y1＝ex，y2＝6－2x的图象交点的横坐标． 在同一直角坐标系内分别作出y1＝ex，y2＝6－2x的图象，如图． 当x＝1时，y1＝e≈2.718，y2＝4，y1＜y2； 当x＝2时，y1＝e2≈7.4，y2＝2，y1＞y2， 故两函数图象交点的横坐标在区间(1,2)内，故n＝1. 7．B　解析：分别作出y＝2x与y＝的图象如图， 当0＜x0＜a时，y＝2x的图象在y＝图象的下方， 所以，f(x0)＜0. 二、填空题 8．(0,1)　解析：在坐标系内作出函数f(x)＝的图象，如下： 发现当0＜m＜1时，函数f(x)的图象与直线y＝m有3个交点， 即函数g (x)＝f(x)－m有3个零点． 9．log23　解析：原方程可化为(2x)2－2×2x－3＝ (2x－3)(2x＋1)＝0，所以2x＝3，x＝log23. 10．(2,2.5)　解析：记f(x)＝x3－2x－5， ∵f (2)＝－1＜0， f(2.5)＝f＝－10＞0， ∴下一个有解区间为(2,2.5)． 三、解答题 11．解：设f(x)＝3x－x2， ∵f(－1)＝－＜0，f(0)＝1＞0， 又∵函数f(x)的图象在[－1,0]上是连续不断的， ∴函数f(x)在(－1,0)内有零点． 又∵在(－∞，0)上，函数y＝3x递增，y＝x2递减， ∴f(x)在(－∞，0)上是单调递增的． ∴f(x)在(－1,0)内只有一个零点． 因此方程3x－x2＝0只有一个负实数根． 12．解：(1)①f(x)＝x2＋2mx＋3m＋4有且仅有1个零点方程f(x)＝0有2个相等实根Δ＝0，即4m2－4(3m＋4)＝0，即m2－3m－4＝0，∴m＝4或m＝－1. ②由题意，知 即 ∴－5＜m＜－1. ∴m的取值范围为(－5，－1)． (2)令f(x)＝0，得|4x－x2|＋a＝0， 即|4x－x2|＝－a. 令g(x)＝|4x－x2|，h(x)＝－a. 作出g(x)，h(x)的图象． 由图象可知，当0＜－a＜4， 即－4＜a＜0时，g(x)与h(x)的图象有4个交点，即f(x)有4个零点． 故a的取值范围为(－4,0)．。

考点11 函数与方程1．（江苏省连云港市2025届高三上学期期中考试）已知为正常数，，若使，则实数的取值范围是_______.【答案】（2，＋∞）【解析】由于，函数在上单调递增，当时有最小值为.在时，函数为增函数，要使存在，使得，则需，解得.2．（江苏省徐州市2025届高三上学期期中质量抽测）已知函数，若有三个零点，则实数的取值范围是______．【答案】【解析】（1）＝0时，，只有一个零点，不合题意；（2）＜0时，，＞0，在R上单调递增，所以，不行能有3个解，也不合题意。

（3）＞0时，，得画出函数：的图象，如图：当时有三个零点，其中有唯一的零点，有两个零点，即在有两个零点.，＝0，得x=x 在（0，）递减，在（，）递增，＜0，解得：3．（江苏省南通市2025届高三模拟练习卷）已知()f x 是定义在R上且周期为32的周期函数，当30,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()121f x x =--．若函数()log a y f x x =-(1a >)在()0,∞+上恰有4个互不相同的零点，则实数a的值__． 【答案】72【解析】当30,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，得12,02()1211322,22x x f x x x x ⎧<<⎪⎪=--=⎨⎪-≤≤⎪⎩ ，且()f x 是定义在R 上且周期为32的周期函数， 函数()log a y f x x =-(a ＞1)在(0，+∞)上恰有4个互不相同的零点，∴函数()y f x =与log a y x =(a ＞1)在(0，+∞)上恰有4个不同的交点，分别画出两函数图象如图所示，由图可知，当x ＝72时，有72log a ＝1，所以a =72.故答案为：724．（江苏省镇江市2025届高三考前三模）已知函数ln ,0()21,0xx x f x x >⎧=⎨+≤⎩，若函数()y f x x a =+-有且只有一个零点，则实数a 的取值范围为_______. 【答案】()2,+∞【解析】由()0y f x x a =+-=得：()f x x a =-+∴函数()0y f x x a =+-=有且只有一个零点等价于：()y f x =与y x a =-+的图象且只有一个交点画出函数()ln ,021,0x x x f x x >⎧=⎨+≤⎩的图象如下图：y x a =-+的图象经过点()0,2A 时有2个交点，平移y x =-，由图可知，直线与y 轴的交点在A 点的上方时，两图象只有1个交点， 在A 点下方时，两图象有2个交点2a ∴>，即()2,a ∈+∞本题正确结果：()2,+∞5．（2024年江苏省高考数学试卷）设(),()f x g x 是定义在R 上的两个周期函数，()f x 的周期为4，()g x 的周期为2，且()f x 是奇函数.当(0,2]x ∈时，2()1(1)f x x =--，(2),01()1,122k x x g x x +<≤⎧⎪=⎨-<≤⎪⎩，其中k >0.若在区间(0，9]上，关于x 的方程()()f x g x =有8个不同的实数根，则k 的取值范围是_____.【答案】12,34⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭.【解析】当(]0,2x ∈时，()2()11,f x x =--即()2211,0.x y y -+=≥又()f x 为奇函数，其图象关于原点对称，其周期为4，如图，函数()f x 与()g x 的图象，要使()()f x g x =在(0,9]上有8个实根，只需二者图象有8个交点即可.当1g()2x =-时，函数()f x 与()g x 的图象有2个交点； 当g()(2)x k x =+时，()g x 的图象为恒过点（-2，0）的直线，只需函数()f x 与()g x 的图象有6个交点.当()f x 与()g x 图象相切时，圆心（1，0）到直线20kx y k -+=的距离为1，2211k kk +=+，得24k =，函数()f x 与()g x 的图象有3个交点；当g()(2)x k x =+过点（1,1）时，函数()f x 与()g x 的图象有6个交点，此时13k =，得13k =. 综上可知，满意()()f x g x =在(0,9]上有8个实根的k 的取值范围为1234⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭，. 6．（江苏省扬州中学2025届高三4月考试）已知函数31,0()2,0ax x f x x ax x x -≤⎧=⎨-+->⎩的图象恰好经过三个象限，则实数a 的取值范围______. 【答案】0a <或2a >【解析】（1）当0a <时，()f x 在(,0]-∞上单调递减，又(0)1f =-，所以函数()f x 的图象经过其次、三象限，当0x >时，33(1)2,2()(1)2,02x a x x f x x a x x ⎧---=⎨-++<<⎩，所以223(1),2()3(1),,02x a x f x x a x ⎧--=⎨-+<<⎩'，①若1a -时，()0f x '>恒成立，又当0x +→时，()2f x →，所以函数()f x 图象在0x >时，经过第一象限，符合题意；②若10a -<<时，()0f x '>在[2,)+∞上恒成立，当02x <<时，令()0f x '=，解13x =<，所以()f x 在⎛ ⎝上单调递减，在2⎫⎪⎪⎭上单调递增，又(2210f a ⎛=+=-> ⎝ 所以函数()f x 图象在0x >时，经过第一象限，符合题意；（2）当0a =时，()f x 的图象在(,0)-∞上，只经过第三象限，()0f x '>在(0,)+∞上恒成立，所以()f x 的图象在(0,)+∞上，只经过第一象限，故不符合题意；（3）当0a >时，()f x 在(,0)-∞上单调递增，故()f x 的图象在(,0)-∞上只经过第三象限，所以()f x 在(0,)+∞上的最小值min ()0f x <，当02x <<时，令()0f x '=，解得x =2<时，即11a <时，()f x 在(0,)+∞上的最小值为21f ⎛= ⎝，令2102211f a a ⎛=<⇒>∴<< ⎝.211a ≥⇒≥时，则()f x 在02x <<时，单调递减，当2x ≥时，令()0f x '=，解得x =21113a <⇒≤<，()f x 在(2,)+∞上单调递增，故()f x 在(0,)+∞上的最小值为(2)82f a =-，令8204a a -<⇒>，所以1113a ≤<；若12133a a -≥⇒≥，()f x 在12,3a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,3a ⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，故()f x 在(0,)+∞上的最小值为12(1)12333a a a f ⎛⎫---=-- ⎪ ⎪⎝⎭， 明显2(1)12033a a ----<，故13a ≥；结上所述：0a <或2a >.7．（江苏省七市2025届(南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港)高三其次次调研考试）定义在R 上的奇函数满意，且在区间上，则函数的零点的个数为___．【答案】5 【解析】由题知函数的周期为4，又函数为奇函数，∴，即故f(x)关于（2,0）中心对称，又g(x)=为偶函数，则画出f(x)与g(x)在同一个坐标系的图像如图所示：故交点有5个 故答案为58．（江苏省南通市通州区2024-2025学年第一学期高三年级期末考试）已知函数若函数有且只有一个零点，则实数k 的取值范围是______．【答案】【解析】由数有且只有一个零点，等价为数，即有且只有一个根，即函数与，只有一个交点，作出函数的图象如图：，，要使函数与，只有一个交点，则，故答案为：．9．（江苏省南通市基地学校2025届高三3月联考）已知函数有三个不同的零点，则实数m的取值范围是____．【答案】【解析】当时，且在上单调递增有且仅有一个零点当时，须要有两个零点当时，当时，恒成立，即单调递增，不合题意；当时，令，解得：当时，，此时单调递增；当时，，此时单调递减，本题正确结果：.10．（江苏省南通市三县（通州区、海门市、启东市)2025届高三第一学期期末联考）函数有3个不同零点，则实数a的取值范围____【答案】【解析】解：当x＜﹣1时，由f（x）＝0得x2﹣2ax＝0,得a，∵x＜﹣1，∴a且此时函数f（x）只有一个零点，要使f（x）有3个不同零点，则等价为当x≥﹣1时，f（x）＝0有且只有2个不同的零点，由f（x）＝e x﹣|x﹣a|＝0得e x＝|x﹣a|，作出函数g（x）＝e x和h（x）＝|x﹣a|在x≥﹣1的图象如图，当x≥a时，h（x）＝x﹣a，当h（x）与g（x）相切时，g′（x）＝e x，由g′（x）＝e x＝1得x＝0，此时g（0）＝1，即切点坐标为A（0，1），此时h（0）＝0﹣a＝1，得a＝﹣1，当x＝﹣1时，g（﹣1），当直线h（x）＝x﹣a经过点B（﹣1，）时，﹣1﹣a，则a＝﹣1，要使e x＝|x﹣a|在x≥﹣1时，有两个不同的交点，则直线h（x）＝x﹣a应当在过A和B的直线之间，则﹣1a＜﹣1，即实数a的取值范围是[﹣1，﹣1），故答案为：[﹣1，﹣1）.11．（江苏省扬州市2024-2025学年度第一学期期末检测试题）已知函数有且仅有三个零点，并且这三个零点构成等差数列，则实数a的值为_______．【答案】或【解析】函数0，得|x+a|a＝3，设g（x）＝|x+a|a，h（x）＝3，则函数g（x），不妨设f（x）＝0的3个根为x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，当x＞﹣a时，由f（x）＝0，得g（x）＝3，即x3，得x2﹣3x﹣4＝0，得（x+1）（x﹣4）＝0，解得x＝﹣1，或x＝4；若①﹣a≤﹣1，即a≥1，此时x2＝﹣1，x3＝4，由等差数列的性质可得x1＝﹣6，由f（﹣6）＝0，即g（﹣6）＝3得62a＝3，解得a，满意f（x）＝0在（﹣∞，﹣a]上有一解．若②﹣1＜﹣a≤4，即﹣4≤a＜1，则f（x）＝0在（﹣∞，﹣a]上有两个不同的解，不妨设x1，x2，其中x3＝4，所以有x1，x2是﹣x2a＝3的两个解，即x1，x2是x2+（2a+3）x+4＝0的两个解．得到x1+x2＝﹣（2a+3），x1x2＝4，又由设f（x）＝0的3个根为x1，x2，x3成差数列，且x1＜x2＜x3，得到2x2＝x1+4，解得：a＝﹣1（舍去）或a＝﹣1．③﹣a＞4，即a＜﹣4时，f（x）＝0最多只有两个解，不满意题意；综上所述，a或﹣1．12．（江苏省苏州市2025届高三上学期期末学业质量阳光指标调研）设函数，若对随意(，0)，总存在[2，)，使得，则实数a的取值范围_______．【答案】【解析】由题意，对随意(，0)，总存在[2，)，使得，即当随意(，0)，总存在[2，)，使得，当时，，当时，函数，当，此时，符合题意；当时，时，，此时最小值为0，而当时，的导数为，可得为微小值点，可得的最小值为或，均大于0，不满意题意；当时，时，的最小值为0或，当时，的导数为，可得为微小值点，且为最小值点，可得的最小值为，由题意可得，解得，综上可得实数的范围是.13．（江苏省苏州市2025届高三上学期期末学业质量阳光指标调研）设函数，若方程有三个相异的实根，则实数k的取值范围是_______．【答案】【解析】由题意，若方程，即有三个相异的实根，即函数和的图象由三个不同的交点，如图所示，又由直线和必有一个交点，所以0>，则与的图象有两个交点，联立方程组，整理得，由，解得或，所以实数的取值范围是.14．（江苏省无锡市2025届高三上学期期末考试）已知直线与函数的图象恰有四个公共点，，，，则__________．【答案】-2【解析】直线y＝a(x+2)过定点（－2,0），如下图所示，由图可知，直线与余弦函数图象在x4处相切，且∈，即a(x4+2)＝－cos，所以，a＝又，即直线的斜率为：a＝，因此a＝＝，即＋＝＋＝－－2＝－2.故答案为：－2.15．（江苏省南通市2025届高三年级阶段性学情联合调研）已知函数，若函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是__________.【答案】【解析】函数有三个不同的零点等价于的图象与直线有三个不同交点，作出函数的图象：由图易得：故答案为：.16．（江苏省常州市2025届高三上学期期中教学质量调研）已知函数，若关于x的函数有6个不同的零点，则实数m的取值范围是______．【答案】【解析】作出的函数图象如右：设，则当或时，方程只有1解，当或时，方程有2解，当时，方程有3解，当时，方程无解．关于的函数有6个不同的零点，关于的方程在上有两解，，解得．故答案为17．（江苏省镇江市2025届高三上学期期中考试）已知函数，若函数有6个不同的零点，则实数m的取值范围是__________．【答案】m＜﹣3【解析】令t=f（x），则原函数等价为y=2t2+3mt+1﹣2m，作出函数f（x）的图象如图，图象可知：当t＜0时，函数t=f（x）有一个零点；当t=0时，函数t=f（x）有三个零点；当0＜t＜1时，函数t=f（x）有四个零点；当t=1时，函数t=f（x）有三个零点；当t＞1时，函数t=f（x）有两个零点．要使关于x的函数y=2f2（x）+3mf（x）+1﹣2m有6个不同的零点，则方程2t2+3mt+1﹣2m=0有两个根t1，t2，且0＜t1＜1，t2＞1或t1=0，t2=1，令g（t）=2t2+3mt+1﹣2m，则由根的分布可得，将t=1，代入g（t）=0得m=﹣3，此时2t2﹣9t+7=0的另一个根为t=，不满意t1=0，t2=1，若0＜t1＜1，t2＞1，则即解得m＜﹣3，故答案为：m＜﹣3.18．（盐城市2025届高三年级第一学期期中模拟考试）已知函数，若在区间上有且只有2个零点，则实数的取值范围是_________.【答案】【解析】当0⩽x⩽1时,=0，易知x=0不是方程=0的解，故m=−x在(0,1]上是减函数，故m−1=−；即m时,方程f(x)=0在[0,1]上有且只有一个解，当x>1时，令mx+2=0得,m=−，故−2<m<0，即当−2<m<0时,方程f(x)=0在(1,+∞)上有且只有一个解，综上所述,若f(x)在区间[0,+∞)上有且只有2个零点，则实数m的取值范围是．19．已知函数f(x)＝x m－2x且f(4)＝72.(1)求m的值；(2)判定f(x)的奇偶性；(3)推断f(x)在(0，＋∞)上的单调性，并赐予证明．【答案】（1）m＝1（2）奇函数（3）见解析【解析】解：(1)∵f(4)＝72，∴4m－24＝72，∴m＝1.(2)由(1)知f(x)＝x－2x，∴函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．又f(－x)＝－x ＋2x ＝－(x －2x)＝－f(x)， 所以函数f(x)是奇函数．(3)函数f(x)在(0，＋∞)上是单调增函数，证明如下：设x 1>x 2>0， 则f(x 1)－f(x 2)＝x 1－12x －(x 2－22x )＝(x 1－x 2)(1＋122x x )，因为x 1>x 2>0， 所以x 1－x 2>0,1＋122x x >0. 所以f(x 1)>f(x 2)．所以函数f(x)在(0，＋∞)上为单调递增函数．20．（江苏省苏州市2025届高三上学期期末学业质量阳光指标调研）已知函数(a ，bR)．（1）当a ＝b ＝1时，求的单调增区间；（2）当a≠0时，若函数恰有两个不同的零点，求的值；（3）当a ＝0时，若的解集为(m ，n)，且(m ，n)中有且仅有一个整数，求实数b 的取值范围．【答案】（1）f （x ）的单调增区间是和（2）（3）【解析】（1）当a ＝b ＝1时，，令，解得或所以f （x ）的单调增区间是和（2）法一：，令，得或， 因为函数f （x ）有两个不同的零点，所以或，当时，得a ＝0，不合题意，舍去： 当时，代入得即，所以.法二：由于，所以，由得，，设，令，得，当时，，h(x)递减：当时，,递增当时，，单调递增当时, 的值域为R故不论取何值，方程有且仅有一个根；当时，，所以时，方程恰有一个根－2，此时函数恰有两个零点-2和1．（3）当时，因为，所以设，则，当时，因为，所以在上递增，且，所以在上，，不合题意：当时，令，得，所以在递增，在递减，所以，要使有解，首先要满意，解得. ①又因为，，要使的解集（m,n）中只有一个整数，则即解得. ②设,则,当时，,递增：当时，,递减所以,所以,所以由①和②得，.21．（江苏省苏州市2025届高三调研测试）已知函数（1）当时，求函数的单调区间；（2）若方程在区间(0,+)上有实数解，求实数a的取值范围；（3）若存在实数，且，使得，求证：．【答案】（1）函数的单调减区间为和，单调增区间为．（2）（3）见解析【解析】（1）当时，当时，，则，令，解得或（舍），所以时，，所以函数在区间上为减函数.当时，，，令，解得，当时，，当时，，所以函数在区间上为减函数，在区间上为增函数，且.综上，函数的单调减区间为和，单调增区间为．（2）设，则，所以，由题意，在区间上有解，等价于在区间上有解.记，则，令，因为，所以，故解得，当时，，当时，，所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，故函数在处取得最小值.要使方程在区间上有解，当且仅当，综上，满意题意的实数a的取值范围为.（3）由题意，，当时，，此时函数在上单调递增，由，可得，与条件冲突，所以. 令，解得，当时，，当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增.若存在，，则介于m，n之间，不妨设，因为在上单调递减，在上单调递增，且，所以当时，，由，，可得，故，又在上单调递减，且，所以．所以，同理．即解得，所以.。

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课堂达标（十一）函数与方程［A基础巩固练]1．（2018·荆门调研）已知函数y＝f(x)的图象是连续不间断的曲线，且有如下的对应值：x123456y124.435－7414.5－56.7－123.6则函数A．2个B．3个C．4个D．5个［解析］依题意,f(2)·f（3)＜0，f（3)·f(4)＜0，f(4)·f（5)＜0，故函数y＝f（x)在区间［1,6］上的零点至少有3个，故选B.[答案］B2．（2018·郑州质检)已知函数f(x）＝错误!x－cos x，则f（x）在错误!上的零点个数为( )A．1 B．2C．3 D．4［解析]作出g（x）＝错误!x与h（x)＝cos x的图象如图所示，可以看到其在［0，2π]上的交点个数为3，所以函数f(x）在［0,2π]上的零点个数为3，故选C。

［答案]C3．(2018·宁夏育才中学第四次月考)已知函数f(x)＝错误!(a∈R)，若函数f（x)在R上有两个零点，则a的取值范围是（）A．（－∞,－1) B．(－∞，0）C．（－1，0) D．［－1，0)[解析]当x＞0时，f(x)＝3x－1有一个零点x＝错误!,所以只需要当x≤0时，e x＋a＝0有一个根即可，即e x＝－a。

2025届高考数学一轮复习人教A 版多选题专题练：第二章 一元二次函数、方程和不等式A.()(){}210x x x -+< B.102x xx ⎧+⎫<⎨⎬-⎩⎭C.{1x x <-或}2x > D.()1,2-6．下列不等式解集为空集的有( )A.2220x x ++≤ B.221x x ++≤12x ++<+12x<7．已知关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为()(),23,-∞-+∞ 则( )A.0a <B.不等式0bx c ->的解集为{}|6x x <C.420a b c ++<C.函数y =D.若0x >，0y >，且114x y x y ⎛⎫+=++⎪⎝⎭，则xy 的取值范围为(1,3+12．已知0a >,0b >,且2a b +=,则下列说法正确的是( )A.ab 的最大值为1B.22a b +的最大值为22b +的最小值为113．已知(),,a a b b c c >>∈R ,且320a b c ++=,则( )2-12<-14．已知,0a b ≥且满足2a b +=，则以下是真命题的有( )2≥ B.224a b +≥ C.224a b +≤ D.2233a b +≥15．下述正确的是( )A.若x ∈R ,则()10x x -的最大值是25B.若x >3C.若π0,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦,则sin x +D.若π0,2x ⎛∈ ⎝22cos x -16．下列选项正确的是( )A.若06x <<,则()6x x -的最大值为9B.若x ∈R ,则2x +C.若x ,0y >且26x y xy ++=,则xy 的最大值为2D.若x ,0y >且44x y xy ++=,则2x y +的最小值为1717．已知,,a b c ∈R ，则下列结论中正确的有( )A.若22ac bc >，则a b >B.若0a b <<，则2a ab>b c b <-1b-11+=，m x y =+，111()()22x y n -=+，则( )A.0x <且1y <-B.m 的最大值为3-C.n 的最小值为7D.22m n ⋅<19．下列结论中，正确的是( )A.若3x <-，则函数y x =1B.若0xy >，2x y xy +=，则2x y +的最小值为8参考答案1．答案：BD解析：当0b ≤时，由2(3)()0ax x b +-≤得到30ax +≤在(0,)x ∈+∞上恒成立，则a 不存在，当0b >时，由2(3)()0ax x b +-≤可设()3f x ax =+，2()g x x b =-，又()g x 的大致图象如下，那么由题意可知：03aa<⎧⎪⎨-=⎪⎩1,9a b =-=或3,1,a b =-=⎧⎨⎩因此8a b +=或-2.故选：BD 2．答案：BCD解析：当0a <时，不等式等价于()()10x x a --<，解得1a x <<；当0a =时，不等式的解集是∅；当01a <<时，不等式等价于()()10x x a -->，解得1x >或x a <；当1a =时，不等式的解集为{}1x x ≠；当1a >时，不等式等价于()()10x x a -->，解得x a >或1x <.故选：BCD.3．答案：ABD解析：因为不等式20ax bx c ++>的解集为()1,2-，所以0a <，b a -=2=-，故b a =-，2c a =-，此时20a b c a ++=->，所以A 正确,B 正确；22230230230bx cx a ax ax a x x ++>⇔--+>⇔+->，解得：3x <-或1x >.所以D 正确；C 错误.故选：ABD.4．答案：ABC解析：因为不等式20ax bx c ++≥的解集是{}12x x -≤≤，对于D 选项，()1,2-等价于{}12x x -<<，故D 正确.故选：ABD.6．答案：ACD解析：对于A ，因为2222(1)10x x x ++=++≥，所以2220x x ++≤无解，解集为∅；对于B ，2221(1)0x x x ++=+≤的解集为{}1-；12(1)(2)x x x +++≥+-+=121x +++<的解集为∅；11x x x =+≥12x<的解集为∅；故选：ACD.7．答案：BC解析：因为关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为()(),23,-∞-+∞ ，所以0a >，2-，3是方程20ax bx c ++=，所以A 错误，2323⎧-+⎪⎪⎨⎪-⨯=⎪⎩6b a c a =-=-，对于B ，由0bx c ->，得60ax a -+>，因为0a >，所以6x <，所以不等式0bx c ->的解集为{}|6x x <，所以B 正确，对于C ，因为0a >，6b ac a =-⎧⎨=-⎩，所以4242()(6)40a b c a a a a ++=+-+-=-<，所以C 正确，对于D ，不等式20cx bx a -+≥可化为260ax ax a -++≥，因为0a >，所以2610x x --≤，解得13x -≤≤11,32⎤-⎥⎦，所以D 错误，故选：BC.8．答案：ACD解析：由题设，2(1)(3)22320a x x ax ax a -++=+-+>的解集为()12,x x ，0a <，则12122230x x x x a +=-⎧⎪⎨=-<⎪⎩，1220x x ++=，12230x x a+=<，则A 、D 正确；原不等式可化为()(1)(3)2f x a x x =-+>-的解集为()12,x x ，而()f x 的零点分别为3-，1且开口向下，又12x x <，如下图示，11．答案：BCD解析：A.当0x <时，函数40y x x=+<，所以该选项错误；B.22222222221414sin 4cos ()(sin cos )14cos sin cos sin cos sin x x y x x x x x x x x=+=++=+++59≥+=，当且仅当sin 2cos x x =±，即tan 2x =±时取等号，所以函数21cos y x =+C.函数y ==,(t t =≥，设()g t t =t ≥，由于函数()g t 在)+∞单调递增，所以min ()g t ==y =D.4x y +=+1()(1)4x y xy +-=，0x > ，0y >，110,xy∴->，1xy ∴>.因为x y +≥x y =时等号成立），所以11()(1x y xy xy+-≥-，14xy∴≥-，所以10xy --≤.11∴-≤≤+1<≤13xy ∴<≤+故选：BCD 12．答案：AC解析：A:2a b +=≥1≤,当且仅当1a b ==时取等号,最大值为1,对;B:222()22a b a b ++≥=,当且仅当1a b ==时取等号,最小值为2,错;11111()21222b a a b b a b a b ⎛⎫⎛⎫=++=++≥= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,当且仅当1a b ==时取等号,最小值为2,对;D:222122a b a a a ⎛⎫+=-+=-+ ⎪⎝⎭2a <<,故2a b +≥==故选:AC13．答案：ABD解析：对于A,a b c+<++=,故A正确;a c ab c++=,所以33320a b c>>,320对于B,a b ca>,同理可得0c<,>++=,可得0>>,320a b c++=,所以6320a ab c则222+--4+==，2)a a a a f a(2)4(由二次函数性质得()f a在(0,1)单调递减，在(1,2)单调递增，故()(1)2f=，f=，(2)4≥=，(0)4f a f可得()4f a≤，即224+≤，故C正确;a b由已知得2a≤，=-≥，2a b+=，20b a故2223(2)4(4)a a a a g a +--4+==，1(,2)2单调递增，故选：BCD 15．答案：ABD解析：选项A,0x ≤或10x ≥时,(10)0x x -≤,因此最大值在010x <<时取得,此时210(10)(252x x x x +--≤=,当且仅当5=时等号成立,A 正确；4()1x x=-++,由于0x >,44x x +≥,当且仅当x =2x =时等号成立,413≤-+=-,最大值为3-,B 正确；选项C,π(0,]2x ∈,0sin 1x <≤,4sin 4sin x x +≥,当且仅当sin x =2x =时等号成立,由于0sin 1x <≤等号不成立,C 错误；选项D,π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,则0sin 1x <<,0cos 1x <<,22222924914sin cos cos sin cos cos cos 1x x x x x x x+-=++-22222911(sin cos )()(2)4sin cos cos x x x x x=+++--,22222222919cos sin (sin cos )()101016sin cos sin cos x x x x x x x x ++=++≥+=,=x =1(2)cos x -综上,cos x 0412+-=,D 正确.16．答案：ACD解析：对于A ：06x << ,()26692x x x x +-⎛⎫∴-≤= ⎪⎝⎭,当且仅当6x x =-,即3x =时,原式取最大值9,故A 正确;对于B ：x ∈R ,2330x ∴+≥>,∴()222211333133x x x x +=++-≥-=-++,当且仅当23x +=即22x =-不成立,故原式取不到最小值-1,故B 错误;对于C ：,0x y > ,∴62x y xy xy =++≥+,∴6xy ≥+,令0t =>,则26t ≥+,解得：t =≤2xy ≤,当且仅当2x y =,原式取到最大值2,故选：ABD.18．答案：ABD解析：因为1221x y ++=，若0x ≥，则21x ≥，又120y +>，显然不成立，即0x <，同理可得10y +<，所以1y <-，即0x <且1y <-，故A 正确；又1122x y +=+≥=122x y ++-≤，所以3x y +≤-，当且仅当122x y +==1x =-，2y =-时取等号，即m 的最大值为3-，故B 正确；又()111111114422222222x y x y x y x y n +-++⎛⎫=+=+=+⋅+ ⎪⎝⎭1145522229y x x y ++⋅+≥=+=+，=2log 3=-，22log 13y =-时取等号，故C 错误；对于D ：()111112()(22222222m x y x y x y x y y x n -+--+++⎡⎤⋅=+⋅=+⋅=+⎢⎥⎣⎦，因为1221x y ++=，所以()12222x y ++=，即12222x y +++=，即12422x y ++⨯=，即122322x y y +++⨯=，因为302y ⨯>，所以1222x y ++<，即22m n ⋅<，故D 正确；故选：ABD.19．答案：BCD 解析：A.()()1113333333y x x x x x x ⎡⎤=+=++-=--++-⎢⎥++-+⎣⎦，因为3x <-，所以()30x -+>，则()()13332353x x ⎡⎤--++-≤--=--=-⎢⎥-+⎣⎦，当()3x -+=4x =-时，等号成立，所以函数y x =5，故A 错误；B.因为20x y xy +=>，所以0x >，y >11x +=，那么()21422448x y x y x y y x y x ⎛⎫+=+⋅+=++≥+= ⎪⎝⎭，=2y =11x+=，解得2x =，4y =时，等号成立，所以2x y +的最小值为8，故B 正确；C.因为(),0,x y ∈+∞，所以x y +≥3x y xy xy ++=≥，当x y =时，等号成t =，则2230t t +-≤，解得：31t -≤≤，因为0t >，所以01t <≤，所以t =最大值是1，即xy 的最大值为1，故C 正确；D.因为0x >，y >212xy x +=+1=，。