法拉第电磁感应定律动力学、能量、电荷量的求法(最新整理)

一步减小，当感应电动势 E ' 与电池电动势 E 相等时，电路中电流为零，ab 所受安培力、加速度也为零，这
时 ab 的速度达到最大值，随后则以最大速度继续向右做匀速运动．
设最终达到的最大速度为
υm，根据上述分析可知： E
Bl m
0
所以m
E Bl
1.5 0.8 0.5
m/s=3.75m/s．
（2）如果 ab 以恒定速度 7.5 m/s 向右沿导轨运动，则 ab 中感应电动势
Q=I2Rt
⑦
设棒 ab 匀速运动的速度大小为 v，其产生的感应电动势
E=Blv
⑧
由闭合电路欧姆定律知
I E
⑨
2R
由运动学公式知在时间 t 内，棒 ab 沿导轨的位移
x=vt
⑩
力 F 做的功
W=Fx
○11
综合上述各式，代入数据解得
W=0.4J
○12
【答案】（1）1A 由 d 至 c （2）0.2N （3）0.4J
量 是指穿过某一面积末时刻的磁通量 2 与穿过这一面积初时刻的磁通量 1 之差，即 2 1
。在计算 时，通常只取其绝对值，如果 2 与 1 反向，那么 2 与 1 的符号相反。
线圈在匀强磁场中转动，产生交变电流，在一个周期内穿过线圈的磁通量的变化量 =0，故通过线
圈的电量 q=0。 穿过闭合电路磁通量变化的形式一般有下列几种情况：
②
由①②式，代入数据得
I=1A
③
根据楞次定律可知，棒 cd 中的电流方向由 d 至 c
（2）棒 ab 与棒 cd 受到的安培力大小相等
Fab=Fcd
④
对棒 ab，由共点力平衡知
F mg sin 30 IlB
⑤
代入数据解得
F=0.2N
⑥
（3）设在时间 t 内棒 cd 产生 Q=0.1J 热量，由焦耳定律知
【解析】ab 沿导轨下滑过程中受四个力作用，即重力 mg，支持力 FN 、摩擦力 Ff 和安培力 F 安，如图所示，ab
由静止开始下滑后，将是 v E I F安 a （ 为增大符号），所以这是个变加速过程，当
加速度减到 a=0 时，其速度即增到最大 v=vm，此时必将处于平衡状态，以后将以 vm 匀速下滑 ab 下滑时因
=0 ④
R
由④式可解得 vm
mgsin cos R
B 2 L2
【例 2】如图，两根足够长的金属导轨 ab、cd 竖直放置，导轨间距离为 L，电阻不计。在导轨上端并接两个 额定功率均为 P、电阻均为 R 的小灯泡。整个系统置于匀强磁场中，磁感应强度方向与导轨所在平面垂直。 现将一质量为 m、电阻可以忽略的金属棒 MN 从图示位置由静止开始释放。金属棒下落过程中保持水平， 且与导轨接触良好。已知某时刻后两灯泡保持正常发光。重力加速度为 g。求：
稳定状态时，杆 2 也以恒定速度沿导轨运动，导轨的电阻可忽略，求此 P
1N v0 Q
时杆 2 克服摩擦力做功的功率。
【解析】
解法一：设杆 2 的运动速度为 v，由于两杆运动时，两杆间和导轨构成的回路中的磁通量发生变化，产
生感应电动势
E Bl(v0 v)
①
感应电流
I
②
R1 R2
杆 2 作匀速运动，它受到的安培力等于它受到的摩擦力，则
匀强磁场竖直向下穿过导轨面．横跨在导轨上的直导线 ab 的质量 m =0.1kg、电阻 R =0.8Ω，导轨电阻不 计．导轨间通过开关 S 将电动势 E =1.5V、内电阻 r =0.2Ω 的电池接在 M、P 两端，试计算分析： （1）在开关 S 刚闭合的初始时刻，导线 ab 的加速度多大？随后 ab 的加速度、速度如何变化？ （2）在闭合开关 S 后，怎样才能使 ab 以恒定的速度 υ =7.5m/s 沿导轨向右运动？
【解析】（1）在 S 刚闭合的瞬间，导线 ab 速度为零，没有电磁感应现象，
由 a 到 b 的电流 I 0
E Rr
1.5A ，ab 受安培力水平向右，此时瞬时
加速度 a0
F0 m
BI 0 L m
6m / s2
ab 运动起来且将发生电磁感应现象．ab 向右运动的速度为 υ 时，感应电动势 E ' Blv ，根据右手定则，
会产生感应电流。设在时间 t 内通过导线截面的电量为 q ，则根据电流定义式 I q / t 及法拉第电磁感
应定律 E n / t ，得：
q I t E t n t n
R
Rt
R
如果闭合电路是一个单匝线圈（ n 1 ），则 q . R
上式中 n 为线圈的匝数， 为磁通量的变化量，R 为闭合电路的总电阻。
【例 5】如图，在水平面上有两条平行导电导轨 MN 、 PQ ,导轨间距离为 l ，匀强磁场垂直于导轨所在的平
面（纸面）向里，磁感应强度的大小为 B ，两根金属杆 1、2 摆在导轨上，与导轨垂直，它们的质量和电阻
分别为 m1、m2 和 R1 、 R2 ，两杆与导轨接触良好，与导轨间的动摩擦 M
2
因数为 ，已知：杆 1 被外力拖动，以恒定的速度 v0 沿导轨运动；达到
【例 1】如图所示，AB、CD 是两根足够长的固定平行金属导轨，两导轨间的距离为 L，导轨平面与水平面 的夹角为θ，在整个导轨平面内都有垂直于导轨平面斜向上方的匀强磁场，磁感应强度为 B，在导轨的 AC 端连接一个阻值为 R 的电阻，一根质量为 m、垂直于导轨放置的金属棒 ab，从静止开始沿导轨下滑，求此 过程中 ab 棒的最大速度。已知 ab 与导轨间的动摩擦因数为μ，导轨和金属棒的电阻都不计。
FN = mgcosθ
Ff= μmgcosθ
由①②③可得 F安
B 2 L2v R
以 ab 为研究对象，根据牛顿第二定律应有：
B 2 L2v
mgsinθ –μmgcosθ-
=ma
R
ab 做加速度减小的变加速运动，当 a=0 时速度达最大
因此，ab 达到 vm 时应有：
B 2 L2v
mgsinθ –μmgcosθ-
F ' BlI ' 0.8 0.5 1.5 N=0.6N 所以要使 ab 以恒定速度 v 7.5 m/s 向右运动，必须有水平向右的恒力 F 0.6 N 作用于 ab．
二、电磁感应中的能量问题
无论是使闭合回路的磁通量发生变化，还是使闭合回路的部分导体切割磁感线，都要消耗其它形式的 能量，转化为回路中的电能。这个过程不仅体现了能量的转化，而且保持守恒，使我们进一步认识包含电 和磁在内的能量的转化和守恒定律的普遍性。
面举例说明： 【例 6】如图所示，闭合导线框的质量可以忽略不计，将它从如图所示的位置匀速拉出匀强磁场。若第一次
用 0.3s 时间拉出，外力所做的功为 W1 ，通过导线截面的电量为 q ；第二次用 0.9s 时间拉出，外力所做的功 为 W2 ，通过导线截面的电量为 q2 ，则（ ）
A. W1 W2 ，q1 q2
ab 上的感应电动势（a 端电势比 b 端高）在闭合电路中与电池电动势相反．电路中的电流（顺时针方向，
I
E E' Rr
）将减小（小于
I0=1.5A），ab
所受的向右的安培力随之减小，加速度也减小．尽管加速度减小，
速度还是在增大，感应电动势 E 随速度的增大而增大，电路中电流进一步减小，安培力、加速度也随之进
B. W1 W2 ，q1 q2
C. W1 W2 ，q1 q2
D. W1 W2 ，q1 q2
解析：设线框长为 L1，宽为 L2，第一次拉出速度为 V1，第二次拉出速度为 V2，则 V1=3V2。匀速拉出磁 场时，外力所做的功恰等于克服安培力所做的功，有
W1 F1 L1 BI1L2 L1 B 2 L2 2 L1V1 / R ，
BlI m2 g
③
导体杆 2 克服摩擦力做功的功率 P m2 gv
④
解得
P
m2 g[v0
m2 g B2l 2
(R1
R2 )]
⑤
解法二：以 F 表示拖动杆 1 的外力，以 I 表示由杆 1、杆 2 和导轨构成的回路中的电流，达到稳定时
对杆 1 有
F m1g BIl 0
①
对杆 2 有
BIl m2 g 0
分析问题时，应当牢牢抓住能量守恒这一基本规律，分析清楚有哪些力做功，就可知道有哪些形式的 能量参与了相互转化，如有摩擦力做功，必然有内能出现；重力做功，就可能有机械能参与转化；安培力 做负功就将其它形式能转化为电能，做正功将电能转化为其它形式的能；然后利用能量守恒列出方程求解。
【例 4】如图所示，两根足够长的光滑平行金属导轨 MN、PQ 间距离为 l =0.5m，其电阻不计，两导轨及其构
联立①②③式得
B mg R
④
2L P
（2）设灯泡正常发光时，导体棒的速率为 v，由电磁感应定律与欧姆定律得
E BLv
⑤
E RI0
⑥
联立①②③④⑤⑥式得
v 2P
⑦
mg
mg R
2P
【答案】（1）
（2）
2L P
mg
【例 3】如图所示，长平行导轨 PQ、MN 光滑，相距 l 0.5 m，处在同一水平面中，磁感应强度 B=0.8T 的
切割磁感线，要产生感应电动势，根据电磁感应定律： E=BLv
①
闭合电路 AC ba 中将产生感应电流，根据闭合电路欧姆定律： I=E/R
②
据右手定则可判定感应电流方向为 aAC ba，再据左手定则判断它受的安培力 F 安方向如图示，其大小为：
F 安=BIL
③
取平行和垂直导轨的两个方向对 ab 所受的力进行正交分解，应有：
（1）闭合电路的面积在垂直于磁场方向上的分量 S 不变，磁感应强度 B 发生变化时， B S ； （2）磁感应强度 B 不变，闭合电路的面积在垂直于磁场方向上的分量 S 发生变化时， B S ； （3）磁感应强度 B 与闭合电路的面积在垂直于磁场方向的分量 S 均发生变化时， 2 1 。下