3.1不等式的性质

3.1 不等式的基本性质

目标：不等式的基本性质

一.不等式的性质

不等式的证明和不等式的求解都离不开对不等式的性质的灵活运用，在不等式这一章中，不等式的性质有着极其重要的地位，不等式的性质归纳起来，主要有下面八条性质和三条推论：

性质1.（对称性）abba；

性质2.（传递性）若ba，cbca；

性质3.（移项法则）若bacbca；

性质4. 若ba，0cbcac；

若ba，0cbcac；

性质5.（同向不等式可以相加）若ba，

dcdbca；

性质6.（正的同向不等式可以相乘）若0ba，

0dcbdac；

性质7. 若0bannba， )2,(*nNn；

性质8. 若0bannba，)2,(*nNn；

二.典型例题

1.若cba，且0cba，则 （ ）

A.acab B.bcac C.bcab D.不同于A,B,C的结论

2.已知0a，01b，则 （ ）

A.2ababa B.aabab2 C.2abaab D.aabab2

3.若0ba，则下列不等式中不能成立的是 （ ）

A.ba11 B.aba11 C.||||ba D.ba)21()21(

4.给出下列命题：

①如果ba，那么cbca ②如果ba，那么cbca

③如果bcac，那么ba ④如果22bcac，那么ba

其中真命题的个数是 （ ）

3.1不等式的性质

1．掌握作差法比较两个实数（代数式）大小的基本方法；掌握不等式的基本性质；熟练运用不等式的基本性质进行不等式的变形、运算和证明．

2．通过不等式性质的运用，提高学生数学运算能力和数学建模能力．

重点：不等式的基本性质的灵活运用；使用综合法和分析法证明不等式；

难点：运用不等式的基本性质进行不等式的变形、运算和证明．

PPT课件

一、问题导入

问题1：一天，同学甲问同学乙：“你今年多少岁了？”乙回答说：“16岁了，你呢？”“我满15岁了，哈哈！再过一年，明年我们就一样大了！”乙默然.这个对话里面包含了什么数学知识呢？

问题2：

高速路上的限速标志，上面的数字是什么意思？ ◆ 教学过程 ◆ 课前准备 ◆ 教学重难点 ◆ 教学目标

师生活动：学生分别用不等式表达，若有表达不准确，或表达困难的，引导学生先用符号表示题中的量，再用不等号表示问题中的不等关系．

预设的答案：

（1）两人相差1岁，过一年，两人的年龄同时加1，不可能相等.

（2）车速为𝑣，行车道上的车速应该满足100𝑘𝑚/ℎ≤𝑣≤120𝑘𝑚/ℎ.

设计意图：提炼生活中的不等关系式，让学生学会从现实问题中抽象出不等式，提升学生的学习兴趣.

问题3：今天我们来学习不等式的性质．因为不等式和等式一样，都是大小关系的刻画，所以我们可以从等式性质及其研究方法出发，通过类比研究不等式性质．首先梳理一下，等式都有哪些性质？

师生活动：学生自主思考，教师通过提问，对等式性质不断完善．在提问过程中，让学生明白每一个性质反映出不等式的特性．学生容易回答出等式的性质3至5，对于性质1和2需要教师借助问题引导：“等式自身还有哪些特性？”

★资源名称： 【数学探究】等式的性质1 【数学探究】等式的性质2

★使用说明：本资源适用于等式的性质的教学，供教师备课和授课使用.可以形象地表达事物的动态变化过程.直观具体、生动形象、表现力强，吸引学生的学习兴趣，增加教学效果，提高教学效率.

3.1 不等式的基本性质

学 习 目 标 核 心 素 养

1．结合已有的知识，理解不等式的6个基本性质．(重点)

2．会用不等式的性质证明(解)不等式．(重点)

3．会用不等式的性质比较数(或式)的大小和求取值范围．(难点) 通过不等式性质的应用，培养逻辑推理素养．

和你的同桌做个游戏：假设有四只盛满水的圆柱形水桶A，B，C，D，桶A，B的底面半径均为a，高分别为a和b，桶C，D的底面半径为b，高分别为a和b(其中a≠b)．你们各自从中取两只水桶，得水多者为胜．如果让你先取，你有必胜的把握吗？

1．不等式

(1)不等式的定义

用数学符号“>”“<”“≥”“≤”“≠”连接两个数或代数式，这些含有这些不等号的式子叫做不等式．

(2)关于a≥b和a≤b的含义

①不等式a≥b应读作：“a大于或等于b”，其含义是a>b或a＝b，等价于“a不小于b”，即若a>b或a＝b中有一个正确，则a≥b正确．

②不等式a≤b应读作：“a小于或等于b”，其含义是a

(3)不等式中常用符号语言 大于 小于 大于或等于 小于或等于 至多 至少 不少于 不多于

> < ≥

≤ ≤ ≥ ≥ ≤

2．两个实数的大小比较

(1)如果a－b是正数，那么a>b；即a－b>0⇔a>b；

(2)如果a－b等于0，那么a＝b；即a－b＝0⇔a＝b；

(3)如果a－b是负数，那么a

3．不等式的基本性质

性质1: 若a>b，则bb⇔b

性质2：若a>b，b>c，则a>c；(传递性)

性质3：若a>b，则a＋c>b＋c；(加法保号性)

性质4：若a>b，c>0，则ac>bc；(乘正保号性)

若a>b，c<0，则ac

性质5：若a>b，c>d，则a＋c>b＋d；(同向可加性)

性质6：若a>b>0，c>d>0，则ac>bd；(全正可乘性)

性质7：如果a>b>0，那么an>bn(n∈N*)．(拓展)

提醒：不等式的基本性质是不等式变形的依据，也是解不等式的根据，同时还是证明不等式的理论基础．

高中不等式知识点总结

1. 不等式的定义和基本性质

不等式是数学中用来表示大小关系的符号。一般地，设a、b是实数，可以有以下四种不等式关系：

• $ a < b $ ：表示a小于b，即a严格小于b；

• $ a > b $ ：表示a大于b，即a严格大于b；

• $ a b $ ：表示a小于等于b，即a小于或等于b；

• $ a b $ ：表示a大于等于b，即a大于或等于b。

基本性质：

• 对于不等式的加减运算：若a小于等于b，则a+c小于等于b+c，a-c小于等于b-c（c为实数）；

• 对于不等式的乘法运算：若a小于等于b且c大于0，则ac小于等于bc，若c小于0，则ac大于等于bc；

• 对于不等式的除法运算：若a小于等于b且c大于0，则a/c小于等于b/c，若c小于0，则a/c大于等于b/c（c不等于0）。

2. 一元一次不等式

2.1 不等式的解集表示

一元一次不等式的解集可以用数轴上的区间表示。对于形如𝑎𝑥+𝑏>0或𝑎𝑥+𝑏<0的一元一次不等式，可以先求出方程的零点x=-b/a，再根据a的正负判断不等式的解集：

• 当a>0时，不等式的解集为𝑥<−𝑏/𝑎或𝑥>−𝑏/𝑎；

• 当a<0时，不等式的解集为𝑥>−𝑏/𝑎或𝑥<−𝑏/𝑎。

2.2 一元一次不等式的性质

• 当且仅当不等式两边同时加上（或减去）同一个正数时，不等号的方向不变；

• 当且仅当不等式两边同时乘以（或除以）同一个正数时，不等号的方向不变；

• 当且仅当不等式两边同时乘以（或除以）同一个负数时，不等号的方向改变。 3. 一元二次不等式

3.1 不等式的解集表示

一元二次不等式的解集可以用数轴上的区间表示。对于形如𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐>0或𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐<0的一元二次不等式，可以先求出抛物线的顶点和判别式D的值，再根据D的正负判断不等式的解集。

• 当a>0时，不等式的解集为抛物线顶点的左右两侧；