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一、要点探究探究点1：不等式的性质1 问题1：比较-3与-5的大小.问题2：-3+2 -5+2；-3-2 -5-2. 问题3：由问题2，你能得到什么结论？问题4：3 5；3+a 5+a ；3-a 5-a. 问题5：由问题4，你能得到什么结论？问题6：根据以上探究，你能得出不等式有什么性质？(1)若x ＋3＞6，则x______3，根据______________； (2)若a －2＜3，则a______5，根据____________．探究点2：不等式的性质2、3 问题1：比较-4与6的大小.问题2：-4×2______6×2；-4÷2______6÷2 问题3：由问题2，你能得到什么结论？问题4：4 -8；4×（-4） -8×（-4）；4×（-4） -8×（-4）.】问题5：由问题4，你能得到什么结论？问题6：如何用符号语言表示问题3和问题5下的结论？”或“<”填空：（1）已知 a>b ，则3a 3b ； （2）已知 a>b ，则-a -b . （3）已知 a<b ，则2_____ 2.33a b-+-+ .（1） a - 7____b - 7；（2） a ÷6____b ÷6； （3） 0.1a____0.1b;（4） -4a____-4b ； （5） 2a+3____2b+3;（6）(m 2+1)a____ (m 2+1)b(m 为常数) 2.已知a ＜0，用“＜”“＞”填空： (1)a+2 ____2； (2)a-1 _____-1； (3)3a______0； (4)4a______0;(5)a 2_____0; (6)a 3______0; (7)a-1_____0； (8)|a|______0．（1）a +12 b +12 ； （2）b-10 a -10 .2. 把下列不等式化为x>a 或x<a 的形式： （1）5＞3+x ； （2）2x ＜x+6.3.利用不等式的性质解下列不等式,并在数轴上表示其解集． (1)x-5 > -1； (2)-2x > 3； (3)7x < 6x-6.“备课大师”全科【9门】：免注册，不收费！/。
不等式的性质（第一课时）学案设计学习目标1.通过实验探索发现并掌握不等式的三条基本性质；2.能熟练地运用不等式的性质进行不等式的变形。
3.初步体会不等式的性质与等式性质的异同。
学习重点探索并掌握不等式的三条性质，尤其是不等式的性质3.学习难点正确运用不等式的性质对不等式进行变形.学习过程一、创设情境导入新课活动1如何解方程2x+3=0呢每一步的依据是什么？活动2等式有哪些性质你能分别用文字语言和符号语言表示吗活动3那么把上面的方程中的等号换成“＞”号，怎么解呢这就是今天我们要探索的问题。
（引出课题）二、合作交流探究新知例如我有8元钱，你有5元钱，我们都花去3元钱，谁剩的钱多用不等式怎么表示若我们都得到了2元钱呢用不等式又怎么表示你发现了什么思考用“＞”、“＜”或“=”填空，你能发现其中的规律吗（1）∵5＞3（2）∵-1＜3∴5+23+2∴-1+23+2∴5-23-2∴-1-33-3∴5+03+0∴-1+03+0∴5+2a3+2a（a为实数）∴-1-c3-c（c为实数）猜想1：。
学生完成填空后，抽生口述猜想，师生共同纠正。
追问：猜想1是否正确呢如何验证小组合作：让学生各自再列举一些不等式，选取一些数和式子，加以演算，对猜想1进行验证。
从而获得一般性的结论。
试问：类比等式的性质1，你能叙述不等式的性质1吗不等式的性质1。
活动4继续探究:用“＞”、“＜”或“=”填空,并总结其中的规律。
（3）∵6＞2（2）∵-2＜3∴6×52×5∴（-2）×63×6∴6×（-5）2×（-5）∴（-2）×(-6)3×(-6)∴6×02×0∴（-2）×03×0猜想2：.猜想3：.小组合作：让学生各自再列举一些不等式，选取一些数和式子，加以演算，对猜想2、3进行验证。
从而获得一般性的结论。
不等式的性质2.用字母表示为不等式的性质3.用字母表示为活动5等式性质与不等式性质的主要区别是什么你认为哪些地方最值得你注意和同伴说一说。
一、 不等式的定义与性质 1．不等式的定义用不等号()<>≠，，≤，≥，表示不等关系的式子叫做不等式，记作()()()()f x g x f x g x >，≥．用“<”或“>”表示的不等式叫严格不等式；用“≤”或“≥”表示的不等式叫严格不等式；2．同向不等式和异向不等式按不等式的开口方向分：在不等式中，如果每一个的左边都大于右边，或每一个的左边都小于右边，这样的两个不等式叫做同向不等式． 3．实数的特征与实数的大小比较：（1）实数的特征：①任意实数的平方不小于０，即20a R a ∈⇔≥②任意两个实数都可以比较大小，反之，可以比较大小的两个数一定是实数．（复数不可以比较大小，这个我们以后会学到）（2）实数比较大小的依据：对于任意两个实数a b ，，对应数轴上的两点，右边的点对应的实数比左边点对应的实数大．可以看出a b ，具有以下的性质：0a b a b ->⇔>；0a b a b -<⇔<；0a b a b -=⇔=．4．比较两数大小的方法（1）作差比较法：将两个数做差后应变形为：①常数；②常数与几个平方和的形式；常用配方法或实数特征20a ≥判断差的符号；③几个因式积的形式，常用因式分解法． （2）作商比较法：：两个数是同号，即作商后看是大于1，等于1，还是小于1． （3）特殊值法知识内容不等式的性质及解法（4）函数的性质 5．不等式的性质性质1：（对称性）如果a b >，那么b a <；如果b a <，那么a b >． 性质2：（传递性）如果a b >，且b c >，则a c >． 性质3：（可加性）如果a b >，则a c b c +>+．推论1（移项法则）不等式中的任意一项都可以把它的符号变成相反的符号后，从不等式的一边移到另一边．推论2（同项可加性）如果a b c d >>，，则a c b d +>+． 说明：同向不等式的两边可以分别相加，所得的不等式与原不等式同向． 推广：几个同向不等式的两边分别相加，所得到的不等式与原不等式同向． 性质4：如果a b >，0c >，则ac bc >；如果a b >，0c <，则ac bc <．实数大小的作商比较法：当0b ≠时，若1ab >，且0b >，则a b >；若1a b>，且0b <，则a b <．推论1如果00a b c d >>>>，，则ac bd >． 推广：几个两边都是正数的同向不等式的两边分别相乘，所得到的不等式与原不等式同向．推论2如果0a b >>，则(1)n n a b n n +>∈>N ，．推论3如果0a b >>1)n n +>∈>N ，．二、 不等式的解法1. 一元一次不等式的解法一元一次不等式ax b >的解集为（1）当0a >时，解集为b x x a ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭；（2）当0a <时，解集为b x x a ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭．（3）当0a =时，若0b ≥，则x ∈∅；若0b <，则x R ∈． 2. 一元二次不等式的解法：3. 分式不等式的解法（1）()()()()()00()()0()0000()f x f x f x g x f x g x g x g x g x ⎧⎧⋅⎧⎪⎪⇔⇔⎨⎨⎨≠><⎪⎪⎩⎩⎩或≥≤≥≥ 2）()()()()00()0()()0()00f x f x f x f x g x g x g x g x ⎧>⎧<⎪⎪>⇔⋅>⇔⎨⎨><⎪⎪⎩⎩或 3）()()()(00()[()()]0()()f x f x ag x a a g x f x ag x g x g x ->≠⇔>⇔-> 4. 无理不等式的解法（1）2()0()()0()[()]f x g x g x f x g x ⎧≥⎪>⇔≥⎨⎪>⎩或()0()0f x g x ≥⎧⎨<⎩（2）2()0()()0()[()]f xg x g x f x g x ⎧≥⎪⇔≥⎨⎪⎩≤（3）()()()0,g x f x g x ⎧⎪⎨>⎪⎩≥5. 绝对值不等式1）绝对值的几何意义：①||x 是指数轴上点x 到原点的距离；②12||x x -是指数轴上12x x ，两点间的距离 2）当0c >时，||ax b c ax b c +>⇔+>或ax b c +<-，||ax b c c ax b c +<⇔-<+<； 当0c <时，||ax b c x R +>⇔∈，||ax b c x φ+<⇔∈．3）绝对值不等式的解法①公式法|()|()()()f x g x f x g x >⇔>或()()f x g x <-|()|()()()()f x g x g x f x g x <⇔-<<②平方法：()()()()22f x g x f x g x >⇔> ③分情况讨论法 6. 指数不等式：（a a f x g x ()()> (0a >且1)a ≠1）当1a >时，()()f x g x > 2）当01a <<时，()()f x g x <）7. 对数不等式log ()log ()a a f x g x >1）当1a >时，()0()0()()f x g x f x g x >⎧⎪>⎨⎪>⎩ 2）当01a <<时，()0()0()()f xg x f x g x >⎧⎪>⎨⎪<⎩ （8）高次不等式（穿线法：）一般高次不等式()0f x >用数轴穿根法（或称穿线法）求解，其步骤是： 1） 将()f x 最高次项的系数化为正数；2） 将()f x 分解为若干个一次因式的积或二次不可分因式之积；3） 将每个因式的标在数周上，从右上方依次通过每一点画曲线（注意重根，偶次方穿而不过， 奇次方根穿又过，即所谓的奇穿偶不穿）； 4） 根据曲线显现出来的()f x 值的符号变化规律，写出不等式的解集．1． 比较大小【例1】设实数a 、b 满足0a b <<，且1a b +=，则下列四数中最大的是（ ）A ．12B ．22a b +C ．2abD ．a【例2】已知102a -<<，试将下列各数按大小顺序排列：21A a =+，21B a =-，11C a=+，11D a=-．【例3】设x R ∈,比较11x +与1x -的大小【例4】已知324log 0.3log 3.4log 3.61555a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，，则（ ）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．a c b >>D ．c a b >>【例5】已知实数x 、y 、z 满足条件0x y z ++=，0xyz >，设111T x y z=++，则（ ） A ．0T > B ．0T = C ．0T < D ．以上都可能例题精讲【例6】已知x R ∉，试比较2233x x -+与222x x-+的大小【例7】若121200a a b b <<<<，，且12121a a b b +=+=，则下列代数式中值最大的是（ ）A ．1122a b a b +B ．1212a a b b +C ．1221a b a b +D ．12【例8】a 、b 、c 、d 均为正实数，且a b >，将b a 、a b 、bc a c ++与ad b d++按从小到大的顺序进行排列．【例9】已知a 、b 、c 、d 均为实数，且0ab >，c da b-<-，则下列各式恒成立的是（ ） A ．bc ad <B ．bc ad >C ．a bc d>D ．a b c d<【例10】设a b ∈R ，，且()10b a b ++<，()10b a b +-<，则（ ） A ．1a >B ．1a <-C ．11a -<<D ．1a >2． 不等式的解法【例11】已知关于x 的不等式20ax bx c ++<的解集为122x x x ⎧⎫<->-⎨⎬⎩⎭或，求关于x 的不等式20ax bx c -+>的解集．【例12】已知{}21023x ax bx c ⎛⎫++>=- ⎪⎝⎭，，则关于x 的不等式20cx bx a ++<的解集是【例13】01b a <<+，若关于x 的不等式22()()x b ax ->的解集中的整数恰有3个，则（ ）A ．10a -<<B ．01a <<C ．13a <<D ．36a <<【例14】求不等式22(1)40ax a x -++>的解集．【例15】解不等式()21410m x x +-+≤．【例16】设00a b >>，，解关于x 的不等式：|2|ax bx -≥．【例17】若不等式34x b -<的解集中的整数有且仅有123，，，则b 的取值范围为 ．【例18】已知函数()21010x x f x x ⎧+=⎨<⎩，≥，，则满足不等式()()212f x f x ->的x 的取值范围是 ．【例19】若函数212log 0()log ()0x x f x x x >⎧⎪=⎨-<⎪⎩，，，，若()()f a f a >-，则实数a 的取值范围是A ．(10)(01)-，， B ．(1)(1)-∞-+∞，，C ．(10)(1)-+∞，， D ．(1)(01)-∞-，，【例20】已知函数32,2()(1),2x f x x x x ⎧≥⎪=⎨⎪-<⎩，若关于x 的方程()f x k =有两个不同的实根，则实数k的取值范围是________．【例21】设m k ，为整数，方程220mx kx -+=在区间()01，内有两个不同的根，则m k +的最小值为（ ）A ．8-B ．8C ．12D ．13【例22】设二次函数()()20f x ax bx c a b c a =++∈≠R ，，，满足条件：（1）当x ∈R 时，()()42f x f x -=-，且()f x x ≥；（2）当()02x ∈，时，()212x f x +⎛⎫ ⎪⎝⎭≤ （3）()f x 在R 上的最小值为0．求最大的()1m m >，使得存在t ∈R ，只要[]1x m ∈，，就有()f x t x +≤．【例23】设a 为实数，函数()()22f x x x a x a =+--．（1）若()01f≥，求a的取值范围；（2）求()f x的最小值．（3）设函数()()()h x≥的，，，直接写出h x f x x a=∈+∞．．．．（不需给出演算步骤）不等式()1解集．【习题1】设a 、b 为非零实数，若a b <，则下列各式成立的是（ ）A ．22a b <B ．22ab a b <C ．2211ab a b <D ．b a a b<【习题2】正实数a 、b 、c 满足a d b c +=+，a d b c -<-，则（ ）A ．ad bc =B ．ad bc <C ．ad bc >D ．ad 与bc 大小不定【习题3】若2log 3a =，3log 2b =，13log 2c =，21log 3d =，则a b c d ，，，的大小关系是（ ） A ．a b c d <<< B ．d b c a <<< C ．d c b a <<< D ．c d a b <<<【习题4】（1）要使满足关于x 的不等式2290x x a -+<(解集非空)的每一个x 至少满足不等式2430x x -+<和2680x x -+<中的一个，则实数a 的取值范围是 ；（2）已知不等式20ax bx c ++>的解集是{}|x x αβ<<，其中1βα>>，则不等式 ()()220a ax bx c cx bx a ++++<的解集是 ．课后检测【习题5】解关于x 的不等式223()0x a a x a -++>．【习题6】设m ∈R ，解关于x 的不等式22230m x mx +-<．【习题7】解关于x 的不等式(1)1(1)2a x a x ->≠-。
不等式1、不等式的性质：（1）同向不等式可以相加；异向不等式可以相减：若,a b c d >>，则a c b d +>+（若,a b c d ><，则a c b d ->-），但异向不等式不可以相加；同向不等式不可以相减；（2）左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，但不能相乘：若0,0a b c d >>>>，则ac bd >（若0,0a b c d >><<，则a bc d>）；（3）左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方：若0a b >>，则n n a b >或>（4）若0ab >，a b >，则11a b <；若0ab <，a b >，则11a b>。
如（1）对于实数c b a ,,中，给出下列命题：①22,bc ac b a >>则若；②b a bc ac >>则若,22；③22,0b ab a b a >><<则若；④b a b a 11,0<<<则若；⑤b aa b b a ><<则若,0；⑥b a b a ><<则若,0；⑦b c b a c a b a c ->->>>则若,0；⑧11,a b a b>>若，则0,0a b ><。
其中正确的命题是______（答：②③⑥⑦⑧）；（2）已知11x y -≤+≤，13x y ≤-≤，则3x y -的取值范围是______（答：137x y ≤-≤）；（3）已知c b a >>，且,0=++c b a 则a c 的取值范围是______（答：12,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭）2. 不等式大小比较的常用方法：（1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；（2）作商（常用于分数指数幂的代数式）；（3）分析法；（4）平方法；（5）分子（或分母）有理化；（6）利用函数的单调性；（7）寻找中间量或放缩法 ；(8)图象法。
