空间几何体的表面积与体积(重点高中)

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课时跟踪检测（三十八） 空间几何体的表面积与体积

(二)重点高中适用作业

A级——保分题目巧做快做

1．(2018·合肥一检)一个几何体的三视图如图所示(其中正视图的弧线为四分之一圆周)，则该几何体的表面积为(

)

A．72＋6π B．72＋4π

C．48＋6π D．48＋4π

解析：选A 由三视图知，该几何体由一个正方体的34部分与一个圆柱的14部分组合而成(如图所示)，其表面积为16×2＋(16－4＋π)×2＋4×(2＋2＋π)＝72＋6π.

2．如图是某四棱锥的三视图，则该几何体的表面积为(

)

A．34＋65 B．6＋65＋43

C．6＋65＋413 D．17＋65

解析：选A 由三视图得该几何体的直观图如图，其中，底面ABCD为矩形，AD＝6，AB＝2，平面PAD⊥平面ABCD，△PAD为等腰三角形，且此四棱锥的高为4，故该几何体的表面积等于6×2＋2×12第 2 页 共 7 页

×2×5＋12×6×25＋12×6×4＝34＋65.

3．某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为37，则侧视图中线段的长度x的值是(

)

A.7 B．27

C．4 D．5

解析：选C 分析题意可知，该几何体为如图所示的四棱锥P-ABCD，故其体积V＝13×32＋32×4×CP＝37，∴CP＝7，∴x＝32＋72＝4.

4．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为( )

A．64－16π3 B．64－32π3

C．64－16π D．64－64π3

解析：选A 由三视图可知，该几何体是一个正方体中间挖去两个顶点相接的圆锥，其中，两个圆锥的体积和是V锥＝13Sh＝13×π×22×4＝163π，∴V＝V正方体－V锥＝43－163π＝64－163π.

5．在三棱锥A -BCD中，侧棱AB，AC，AD两两垂直，△ABC，△ACD，△ADB的面积分别为22，32，62，则该三棱锥外接球的表面积为( )

A．2π B．6π 第 3 页 共 7 页

C．46π D．24π

解析：选B 设相互垂直的三条侧棱AB，AC，AD分别为a，b，c，则12ab＝22，12bc＝32，12ac＝62，解得a＝2，b＝1，c＝3.所以三棱锥A -BCD的外接球的直径2R＝a2＋b2＋c2＝6，则其外接球的表面积S＝4πR2＝6π.

6．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为________．

解析：由三视图可知该几何体是底面为等腰直角三角形的直三棱柱，如图．

则该几何体的表面积为S＝2×12×2×2＋4×2×2＋22×4＝20＋82.

答案：20＋82

7.已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三棱锥的体积是________．

解析：由正视图知三棱锥的形状如图所示，且AB＝AD＝BC＝CD＝2，BD＝23，设O为BD的中点，连接OA，OC，则OA⊥BD，OC⊥BD，结合正视图可知AO⊥平面BCD.

又OC＝CD2－OD2＝1，

∴V三棱锥A-BCD＝13×12×23×1×1＝33.

答案：33

8．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________． 第 4 页 共 7 页

解析：该几何体可视为正方体截去两个三棱锥所得，如图所示，所以其体积为23－13×12×2×2×2－13×12×1×1×1＝132.

答案：132

9．已知球的半径为R，在球内作一个内接圆柱，这个圆柱的底面半径与高为何值时，它的侧面积最大？侧面积的最大值是多少？

解：如图为其轴截面，令圆柱的高为h，底面半径为r，侧面积为S，

则h22＋r2＝R2，

即h＝2R2－r2.

因为S＝2πrh＝4πr·R2－r2＝

4πr2·R2－r2≤4πr2＋R2－r224＝2πR2，

当且仅当r2＝R2－r2，即r＝22R时，取等号，

即当内接圆柱底面半径为22R，高为2R时，其侧面积的值最大，最大值为2πR2.

10．已知A，B，C是球O的球面上三点，且AB＝AC＝3，BC＝33，D为该球面上的动点，球心O到平面ABC的距离为球半径的一半，求三棱锥D -ABC体积的最大值．

解：如图，在△ABC中，

∵AB＝AC＝3，BC＝33，

∴由余弦定理可得

cos A＝32＋32－3322×3×3＝－12， 第 5 页 共 7 页

∴sin A＝32.

设△ABC外接圆O′的半径为r，则3332＝2r，得r＝3.

设球的半径为R，连接OO′，BO′，OB，则R2＝R22＋32，解得R＝23.

由图可知，当点D到平面ABC的距离为32R时，三棱锥D -ABC的体积最大，

∵S△ABC＝12×3×3×32＝934，

∴三棱锥D -ABC体积的最大值为13×934×33＝274.

B级——拔高题目稳做准做

1.高为4的直三棱柱被削去一部分后得到一个几何体，它的直观图和三视图中的侧视图、俯视图如图所示，则该几何体的体积与原直三棱柱的体积的比值为( )

A.34

B.14

C.12 D.38

解析：选C 由侧视图、俯视图知该几何体是高为2、底面积为12×2×(2＋4)＝6的四棱锥，其体积为4.易知直三棱柱的体积为8，则该几何体的体积与原直三棱柱的体积的比值为12.

2．(2018·江西七校联考)如图，四边形ABCD是边长为23的正方形，点E，F分别为边BC，CD的中点，将△ABE，△ECF，△FDA分别沿AE，EF，FA折起，使B，C，D三点重合于点P，若四面体PAEF的四个顶点在同一个球面上，则该球的表面积是( )

A．6π B．12π

C．18π D．92π

解析：选C 因为∠APE＝∠EPF＝∠APF＝90°，所以可将四面体补成一个长方体(PA，第 6 页 共 7 页

PE，PF是从同一顶点出发的三条棱)，则四面体和补全的长方体有相同的外接球，设其半径为R，由题意知2R＝32＋32＋232＝32，故该球的表面积S＝4πR2＝4π3222＝18π.

3．设球O是正方体ABCD-A1B1C1D1的内切球，若平面ACD1截球O所得的截面面积为6π，则球O的半径为( )

A.32 B．3

C.32 D.3

解析：选B 如图，易知BD1过球心O，且BD1⊥平面ACD1，不妨设垂足为M，正方体棱长为a，则球半径R＝a2，易知DM＝13DB1，∴OM＝16DB1＝36a，∴截面圆半径r＝a22－OM2＝66a，由截面圆面积S＝πr2＝6π，得r＝66a＝6，a＝6，∴球O的半径为R＝a2＝3.

4.(2018·陕西西工大附中训练)如图，在四棱锥P -ABCD中，底面ABCD是边长为m的正方形，PD⊥底面ABCD，且PD＝m，PA＝PC＝2m，若在这个四棱锥内放一个球，则此球的最大半径是________．

解析：由PD⊥底面ABCD，得PD⊥AD.又PD＝m，PA＝2m，则AD＝m.设内切球的球心为O，半径为R，连接OA，OB，OC，OD，OP(图略)，易知VP -ABCD＝VO -ABCD＋VO -PAD＋VO -PAB＋VO -PBC＋VO -PCD，即13·m2·m＝13·m2×R＋13×12·m2·R＋13×12·2m2·R＋13×12·2m2·R＋13·12·m2·R，

解得R＝12(2－2)m，所以此球的最大半径是12(2－2)m.

答案：12(2－2)m

5.如图是一个以A1B1C1为底面的直三棱柱被一平面所截得到的几何体，截面为ABC，已知A1B1＝B1C1＝2，∠A1B1C1＝90°，AA1＝4，BB1＝3，CC1＝2，求：

(1)该几何体的体积；

(2)截面ABC的面积． 第 7 页 共 7 页

解：(1)过C作平行于A1B1C1的截面A2B2C，交AA1，BB1分别于点A2，B2.

由直三棱柱性质及∠A1B1C1＝90°可知B2C⊥平面ABB2A2，则该几何体的体积V＝1112222-ABCABCCABBAVV-＋

＝12×2×2×2＋13×12×(1＋2)×2×2＝6.

(2)在△ABC中，AB＝22＋4－32＝5，

BC＝22＋3－22＝5，

AC＝222＋4－22＝23.

则S△ABC＝12×23×52－32＝6.

6．已知矩形ABEF所在的平面与矩形ABCD所在的平面互相垂直，AD＝2，AB＝3，AF＝332，M为EF的中点，求多面体M -ABCD的外接球的表面积．

解：记多面体M -ABCD的外接球的球心为O，如图，过点O分别作平面ABCD和平面ABEF的垂线，垂足分别为Q，H，连接MH并延长，交AB于点N，连接OM，NQ，AQ，设球O的半径为R，球心到平面ABCD的距离为d，即OQ＝d，

∵矩形ABEF所在的平面与矩形ABCD所在的平面互相垂直，AF＝332，M为EF的中点，

∴MN＝332，又AB＝3，AD＝2，

∴AN＝NB＝32，NQ＝1，

∴R2＝22＋3222＋d2＝12＋332－d2，

∴d＝32，R2＝4，

∴多面体M -ABCD的外接球的表面积为4πR2＝16π.