空间几何体表面积和体积练习题
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空间几何体的表面积和体积练习题
题1 一个圆锥与一个球的体积相等,圆锥的底面半径是球的半径的3倍,则圆锥的高与底面半径之比为( )
A.49
B.94
C.427
D.274
题2 正四棱锥P —ABCD 的五个顶点在同一个球面上,若该正四棱锥的底面边长为2,侧棱长为6,则此球的体积为________.
题3 一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )
A .2π+2 3
B .4π+2 3
C .2π+233
D .4π+233
题4 如图,正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为2.动点E ,F 在棱A 1B 1上,点Q 是棱CD 的中点,动点P 在棱AD 上.若EF =1,DP =x ,A 1E =y (x ,y 大于零),则三棱锥P -EFQ 的体积.( )
A .与x ,y 都有关
B .与x ,y 都无关
C .与x 有关,与y 无关
D .与y 有关,与x 无关
题5 直角梯形的一个底角为45°,下底长为上底长的32
,这个梯形绕下底所在直线旋转一周所成的旋转体的表面积是(5+2)π,求这个旋转体的体积.
题6 设三棱柱的侧棱垂直于底面,所有棱的长都为a ,顶点都在一个球面上,则该球的表面积为( )
A .πa 2 B.73πa 2 C.113πa 2 D .5πa 2
题7 在球心同侧有相距9 cm 的两个平行截面,它们的面积分别为49π cm 2和400π cm 2,求球的表面积.
题8 正四棱台的高为12cm ,两底面的边长分别为2cm 和12cm .(Ⅰ)求正四棱台的全面积;(Ⅱ)求正四棱台的体积.
题9 如图,已知几何体的三视图(单位:cm).(1)画出这个几何体的直观图(不要求写画法);(2)求这个几何体的表面积及体积.
题10 如图,在长方体ABCD A B C D ''''-中,用截面截下一个棱锥C A DD ''-,求棱锥C A DD ''-的体积与剩余部分的体积之比.
题11 已知一个棱长为2的正方体,被一个平面截后所得几何体的三视图如图所
示,求该几何体的体积.
题12 如图所示,在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,底面为直角三角形,∠ACB =90°,AC =6,
BC =CC 1
= ,P 是BC 1上一动点,则CP +P A 1的最小值是__________.
课后练习详解
题1 答案:C
详解:设圆锥底面半径为1R ,高为h ,球的半径为2R ,则圆锥体积为2113R h π,球的体积为3243
R π.由题意知圆锥的底面半径是球的半径的3倍,即1R =32R .由圆锥与球的体积相等有
2113R h π=3243R π,将2R =13R 代入,有21R h =31
343R ⨯,故1h R =433=427
. 题2 答案:92
π 详解:如图所示,设底面中心为O ′,球心为O ,设球半径为R ,∵AB =2,则AO ′=2,PO ′=P A 2-AO ′2=2,
OO ′=PO ′-PO =2-R .在Rt △AOO ′中,AO 2=AO ′2+OO ′2?R 2=(2)2+(2-R )2,∴R =32,∴V 球=43πR 3=92
π. 题3 答案:C
详解:由几何体的三视图可知,该几何体是由一个底面直径和高都是2的圆柱和一个底面边长为2,侧棱长为2的正四棱锥叠放而成.故该几何体的体积为
V =π×12×2+13×(2)2×3=2π+23
3,故选C. 题4 答案:C
详解:设P 到平面EFQ 的距离为h ,则V P -EFQ =13×S △EFQ
·h ,由于Q 为CD 的中点,∴点Q 到直线EF 的距离为定值2,又EF =1,∴S △EFQ 为定值,而P 点到平面EFQ 的距离,即P 点到平面A 1B 1CD 的距离,显然与x 有关、与y 无关,故选C.
题5 答案:73
π. 详解:
如图所示,在梯形ABCD 中,AB ∥CD ,∠A =90°,∠B =45°,绕AB 边旋转一周后形成一圆柱和一圆锥的组合体.
设CD =x ,则AB =32x ,AD =AB -CD =x 2,BC =22
x . S 表=S 柱底圆+S 柱圆侧+S 圆锥侧=π·AD 2+2π·AD ·CD +π·AD ·BC
=π·x 24+2π·x 2·x +π·x 2·22x =5+24
πx 2. 根据题设,5+24
πx 2=(5+2)π,则x =2.
所以旋转体体积
V =π·AD 2·CD +π3AD 2·(AB -CD )=π×12×2+π3×12×(3-2)=73
π. 题6 答案:B
详解:
如图,O 1,O 分别为上、下底面的中心,D 为O 1O 的中点,则DB 为球的半径,有
r =DB =OD 2+OB 2=a 24+a 23=7a 212
, ∴S 表=4πr 2=4π×7a 212=73
πa 2. 题7 答案:2500πcm 2.
详解:如图为球的轴截面,由球的截面性质知,AO 1∥BO 2,且O 1、O 2分别为两截面圆的圆心,则OO 1⊥AO 1,OO 2⊥BO 2
.设球的半径为R . ∵π·O 2B 2=49π,∴O 2B =7 cm ,同理π·O 1A 2=400π,∴O 1
A =20 cm . 设OO 1=x cm ,则OO 2=(x +9) cm.在Rt △OO 1
A 中,R 2=x 2+202, 在Rt △OO 2
B 中,R 2=(x +9)2+72,∴x 2+202=72+(x +9)2,解得x =15. ∴R 2=x 2+202=252,∴R =25 cm .∴S
球
=4πR 2=2500π cm 2. ∴球的表面积为2500π cm 2.
题8 答案:512 cm 2; 688 cm 3
详解:(Ⅰ)斜高'13h == cm S 正四棱台=S 上+S 下+S 侧=22+122+ 12×(2+12)×13=512 cm 2
(Ⅱ)V= 13()h= 13(22+122)×12=688 cm 3
题9 答案:(1)见详解.
(2) 表面积22+4 2 cm 2,体积10 cm 3.
详解: (1)这个几何体的直观图如图所示.
(2)这个几何体可看成是由正方体AC 1及直三棱柱B 1C 1Q —A 1D 1P 的组合体. 由P A 1=PD 1=2,A 1D 1=AD =2,可得P A 1⊥PD 1.
故所求几何体的表面积为: S =5×22+2×2×2+2×12×(2)2=22+4 2 cm 2,所求几何体的体积V =23+12
×(2)2×2 =10 cm 3.
题10 答案:15∶