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空间几何体的表面积与体积教案一、教学目标：1. 让学生掌握空间几何体的表面积和体积的计算公式。
2. 培养学生运用空间几何知识解决实际问题的能力。
3. 提高学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
二、教学内容：1. 空间几何体的表面积和体积的定义。
2. 常见空间几何体的表面积和体积计算公式。
3. 空间几何体表面积和体积的求解方法。
4. 空间几何体表面积和体积在实际问题中的应用。
三、教学重点与难点：1. 教学重点：空间几何体的表面积和体积的计算公式，求解方法及实际应用。
2. 教学难点：空间几何体表面积和体积的求解方法，实际问题的解决。
四、教学方法：1. 采用讲解法，引导学生掌握空间几何体的表面积和体积的计算公式。
2. 采用案例分析法，让学生通过实际问题，运用空间几何知识解决问题。
3. 采用讨论法，激发学生思考，提高学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
五、教学过程：1. 导入：通过展示生活中常见空间几何体，引导学生思考空间几何体的表面积和体积的计算方法。
2. 新课导入：讲解空间几何体的表面积和体积的定义及计算公式。
3. 案例分析：分析实际问题，运用空间几何体的表面积和体积计算公式解决问4. 课堂练习：让学生独立完成练习题，巩固所学知识。
6. 课后作业：布置作业，让学生进一步巩固空间几何体的表面积和体积的计算方法。
7. 课后反思：教师反思教学过程，针对学生的掌握情况，调整教学策略。
六、教学评价：1. 评价学生对空间几何体表面积和体积计算公式的掌握程度。
2. 评价学生运用空间几何知识解决实际问题的能力。
3. 评价学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
七、教学拓展：1. 引导学生研究空间几何体的表面积和体积在实际工程中的应用。
2. 引导学生探索空间几何体表面积和体积的求解方法的创新。
八、教学资源：1. 教学课件：制作课件，展示空间几何体的表面积和体积的计算公式及实际问题。
2. 练习题库：整理空间几何体表面积和体积的练习题，供学生课堂练习及课后巩固。
空间几何体的表面积与体积教学内容球的体积和表面积教学目标知识与技能1.球的表面积和体积公式的应用.2.通过对球体的研究，掌握球的表面积和体积的求法。
3.培养学生空间想象能力和思维能力。
过程与方法通过对球的表面积及体积的研究，培养学生学会观察、分析、推理、论证的思维方法，培养学生空间想象能力，领悟数形结合的数学思想。
情感、态度与价值观通过对生活中事物联系课本知识，培养学生主动探索、勇于发现的求知精神；养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯.教学重点球的表面积和体积公式的应用.教学难点关于球的组合体的计算教学方法自主学习、分组讨论法、师生互动法。
教学准备导学、课件。
教学步骤教什么怎样教如何组织教学一、温故（情境导入）(5分钟)复习球的相关概念新课引入，通过对球及球的相关概念的回顾，引出球的表面积及体积公式。
（出示《课件1》）1. 球的概念（1）球面：半圆以它的直径为旋转轴，旋转一周所形的曲面。
（2）球体：球面所围成的几何体注意：球面和球体的区别：球面仅仅是指球的表面，而球体不仅包括球的表面，而且还包括球面所围成的几何空间。
（3）球面的另一种定义：（类似于圆的定义）到一定点距离等于定长的所有点的集合。
球心：大圆的圆心.球的半径：连接球心与球面上任一点的线段。
（如OA、OB）球的直径：连接球面上两点，且过球心的线段.（如AB）球的表示：用它的球心字母来表示。
（球O）同学们，我们已经学习了球面、球体、及球的相关知识，要求大家掌握求得概念、加深对球心、截面、半径的理解，利用转化为直角三角形的方法找到它们之间的关系，看多媒体（出示《课件1》）大家从所给的球的图形上能得到什么启发呢？二、知新（自主学习合作探究展示能力）(35分钟)球心到截面的距离看书两分钟，掌握球半径、球心到截面的距离、截面半径之间的关系。
出示课件2-1球的性质:(1)球心和截面圆心的连线垂直于截面。
（如上左图）(2)22dRr-=讨论：（１）若d=0则r=R.这时截得的圆叫大圆；（２）若0<d<R,则这时截得的圆叫小圆；（３）若d=R，则r=0，和球只有一个公共点，此平面与球相切。
关于空间几何体的表面积和体积一、教学目标：1. 让学生掌握常见空间几何体的表面积和体积的计算公式。
2. 培养学生运用空间几何知识解决实际问题的能力。
3. 提高学生对数学知识的兴趣，培养学生的空间想象力。
二、教学内容：1. 立方体、立方体的表面积和体积计算。
2. 圆柱体、圆柱体的表面积和体积计算。
3. 球体、球体的表面积和体积计算。
4. 锥体、锥体的表面积和体积计算。
5. 空间几何体表面积和体积在实际问题中的应用。
三、教学重点与难点：重点：掌握常见空间几何体的表面积和体积计算公式。
难点：空间几何体表面积和体积在实际问题中的应用。
四、教学方法：1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究空间几何体的表面积和体积计算方法。
2. 利用多媒体课件，展示空间几何体的形状，增强学生的空间想象力。
3. 通过实例分析，让学生学会将空间几何知识应用于实际问题。
五、教学过程：1. 导入新课：回顾平面几何知识，引出空间几何体的概念。
2. 讲解立方体的表面积和体积计算公式，让学生动手计算实例。
3. 讲解圆柱体的表面积和体积计算公式，让学生动手计算实例。
4. 讲解球体的表面积和体积计算公式，让学生动手计算实例。
5. 讲解锥体的表面积和体积计算公式，让学生动手计算实例。
6. 分析空间几何体表面积和体积在实际问题中的应用，让学生尝试解决实际问题。
7. 课堂练习：布置练习题，让学生巩固所学知识。
9. 布置课后作业，要求学生运用所学知识解决实际问题。
六、教学评价：1. 通过课堂问答、练习题和课后作业，评估学生对空间几何体表面积和体积计算公式的掌握情况。
2. 观察学生在解决实际问题时是否能灵活运用所学知识，评价其运用能力。
3. 结合学生的课堂表现和作业完成情况，对学生的学习态度、合作精神和创新能力进行评价。
七、教学资源：1. 多媒体课件：用于展示空间几何体的形状，增强学生的空间想象力。
2. 练习题：用于巩固学生对空间几何体表面积和体积计算公式的掌握。
《空间几何体的表面积与体积》教学设计
【教学目标】
一、知识技能：
1.通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的表面积的求法
2.能运用公式求解柱体、锥体和台体表面积，并且熟悉台体与柱体和锥体之间的转换关系
3.培养学生空间想象能力和思维能力
二、教学方法：
1.通过展开空间几何体来让同学感知几何体的形状
2.通过比较来联系柱体、锥体和台体之间表面积的关系
三、解决问题：
空间想象能力联系立体几何表面积公式的证明
四、态度情感：
通过学习加强学生的空间想象能力，并且加强同学们对空间图形的感知力和思考能力
【教学对象】
高二学生
【教学重点】
柱体、锥体、台体的表面积
【教学难点】
柱体、椎体、台体表面积公式的推导
【教学策略】
将讲课与现实以及课题练习相结合
【教学资源与工具】
纸制立体图形，PPT投影仪
【教学过程设计】1、教学流程
2.教学过程
将提前准备好的空间几何体的实物给同
学们展示，并将其展开来
根据上图来引导同学对该直棱柱的表面
积进行分析和讲解
对正棱锥和正棱台的概念进行讲解
让同学们根据之前对正棱柱的分析来自
【板书设计】。
关于空间几何体的表面积和体积数学教案一、教学目标：1. 知识与技能：使学生掌握空间几何体的表面积和体积的计算方法，能够熟练运用这些方法解决实际问题。
2. 过程与方法：通过观察、操作、推理等过程，培养学生空间想象能力和逻辑思维能力。
3. 情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的创新精神和合作意识。
二、教学内容：1. 立方体的表面积和体积计算。
2. 圆柱体的表面积和体积计算。
3. 圆锥体的表面积和体积计算。
4. 球的表面积和体积计算。
5. 空间几何体表面积和体积的综合应用。
三、教学重点与难点：1. 教学重点：空间几何体的表面积和体积的计算方法。
2. 教学难点：空间几何体表面积和体积的综合应用。
四、教学方法：1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究空间几何体的表面积和体积计算方法。
2. 利用实物模型和多媒体辅助教学，帮助学生直观理解空间几何体的特点和计算方法。
3. 组织小组讨论和动手实践，培养学生的合作意识和解决问题的能力。
五、教学过程：1. 导入新课：通过展示各种空间几何体模型，引导学生观察和思考空间几何体的特点。
2. 讲解与示范：讲解立方体、圆柱体、圆锥体、球体的表面积和体积计算方法，并进行示范。
3. 练习与讨论：学生独立完成练习题，小组内讨论解题思路和方法。
4. 拓展与应用：引导学生运用所学知识解决实际问题，如计算实际物体的表面积和体积。
6. 作业布置：布置相关练习题，巩固所学知识。
六、教学评价：1. 课堂参与度：观察学生在课堂上的积极参与情况，包括提问、回答问题、小组讨论等。
2. 练习完成情况：检查学生完成练习题的情况，评估学生对知识点的理解和掌握程度。
3. 作业质量：评估学生作业的完成质量，包括解题的正确性、步骤的清晰性等。
4. 学生互评：组织学生进行互相评价，鼓励学生相互学习、相互帮助。
七、教学反思：2. 学生反馈：收集学生的反馈意见，了解学生的学习需求和困惑。
3. 教学内容：评估教学内容的难易程度，根据学生的实际情况进行调整。
⾼中数学必修2《空间⼏何体的表⾯积与体积》教案 ⾼中数学必修2《空间⼏何体的表⾯积与体积》教案 1教学⺫标 1.知道柱体、锥体、台体侧⾯展开图，弄懂柱体、锥体、台体的表⾯积的求法. 2.能运⽤公式求解柱体、锥体和台体的表⾯积，并知道柱体、锥体和台体表⾯积之间的关系. 2学情分析 通过学习空间⼏何体的结构特征，空间⼏何体的三视图和直观图，了解了空间⼏何体和平⾯图形之间的关系，从中反映出⼀个思想⽅法，即平⾯图形和空间⼏何体的互化，尤其是空间⼏何问题向平⾯问题的转化。
该部分内容中有些是学⽣已经熟悉的，在解决这些问题的过程中，⾸先要对学⽣已有的知识进⾏再认识，提炼出解决问题的⼀般思想——化归的思想，总结出⼀般的求解⽅法，在此基础上通过类⽐获得解决新问题的思路，通过化归解决问题，深化对化归、类⽐等思想⽅法的应⽤。
3重点难点 重点：知道柱体、锥体、台体侧⾯展开图，弄懂柱体、锥体、台体的表⾯积公式。
难点：会求柱体、锥体和台体的表⾯积，并知道柱体、锥体和台体表⾯积之间的关系. 4教学过程 4.1 第⼀学时教学活动活动1【导⼊】第1课时 柱体、锥体、台体的表⾯积 (⼀)、基础⾃测： 1.棱⻓为a的正⽅体表⾯积为__________. 2.⻓、宽、⾼分别为a、b、c的⻓⽅体，其表⾯积为___________________. 3.⻓⽅体、正⽅体的侧⾯展开图为__________. 4.圆柱的侧⾯展开图为__________. 5.圆锥的侧⾯展开图为__________. (⼆).尝试学习 1.柱体的表⾯积 (1)侧⾯展开图：棱柱的侧⾯展开图是____________，⼀边是棱柱的侧棱，另⼀边等于棱柱的__________，如图①所⽰;圆柱的侧⾯展开图是_______，其中⼀边是圆柱的⺟线，另⼀边等于圆柱的底⾯周⻓，如图②所⽰. (2)⾯积：柱体的表⾯积S表=S侧+2S底.特别地，圆柱的底⾯半径为r，⺟线⻓为l，则圆柱的侧⾯积S侧=__________，表⾯积S表=__________. 2.锥体的表⾯积 (1)侧⾯展开图：棱锥的侧⾯展开图是由若干个__________拼成的，则侧⾯积为各个三⾓形⾯积的_____，如图①所⽰;圆锥的侧⾯展开图是_______，扇形的半径是圆锥的______，扇形的弧⻓等于圆锥的__________，如图②所⽰. (2)⾯积：锥体的表⾯积S表=S侧+S底.特别地，圆锥的底⾯半径为r，⺟线⻓为l，则圆锥的侧⾯积S侧=__________，表⾯积S表=__________. 3.台体的表⾯积 (1)侧⾯展开图：棱台的侧⾯展开图是由若干个__________拼接⽽成的，则侧⾯积为各个梯形⾯积的______，如图①所⽰;圆台的侧⾯展开图是扇环，其侧⾯积可由⼤扇形的⾯积减去⼩扇形的⾯积⽽得到，如图②所⽰. (2)⾯积：台体的表⾯积S表=S侧+S上底+S下底.特别地，圆台的上、下底⾯半径分别为r′，r，⺟线⻓为l，则侧⾯积S侧=____________，表⾯积S表=________________________. (三).互动课堂 例1：在三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=a，∠AA1B1=∠AA1C1=60°，∠BB1C1=90°，侧棱⻓为b，则其侧⾯积为( ) A. B.ab C.(+)ab D.ab 例2:(1)若⼀个圆锥的轴截⾯是等边三⾓形，其⾯积为，则这个圆锥的侧⾯积是( )A.2πB.C.6πD.9π (2)已知棱⻓均为5，底⾯为正⽅形的四棱锥S-ABCD，如图，求它的侧⾯积、表⾯积. 例3：⼀个四棱台的上、下底⾯都为正⽅形，且上底⾯的中⼼在下底⾯的投影为下底⾯中⼼(正四棱台)两底⾯边⻓分别为1,2，侧⾯积等于两个底⾯积之和，则这个棱台的⾼为( ) A. B.2 C. D. (四).巩固练习： 1.⼀个棱柱的侧⾯展开图是三个全等的矩形，矩形的⻓和宽分别为6 cm,4 cm，则该棱柱的侧⾯积为________. 2.已知⼀个四棱锥底⾯为正⽅形且顶点在底⾯正⽅形射影为底⾯正⽅形的中⼼(正四棱锥)，底⾯正⽅形的边⻓为4 cm，⾼与斜⾼的夹⾓为30°，如图所⽰，求正四棱锥的侧⾯积________和表⾯积________(单位：cm2). 3.如图所⽰，圆台的上、下底半径和⾼的⽐为1：4：4，⺟线⻓为10，则圆台的侧⾯积为( )A.81πB.100πC.14πD.169π (五)、课堂⼩结： 求柱体表⾯积的⽅法 (1)直棱柱的侧⾯积等于它的底⾯周⻓和⾼的乘积;表⾯积等于它的侧⾯积与上、下两个底⾯的⾯积之和. (2)求斜棱柱的侧⾯积⼀般有两种⽅法：⼀是定义法;⼆是公式法.所谓定义法就是利⽤侧⾯积为各侧⾯⾯积之和来求，公式法即直接⽤公式求解. (3)求圆柱的侧⾯积只需利⽤公式即可求解. (4)求棱锥侧⾯积的⼀般⽅法：定义法. (5)求圆锥侧⾯积的⼀般⽅法：公式法：S侧=πrl. (6)求棱台侧⾯积的⼀般⽅法：定义法. (7)求圆台侧⾯积的⼀般⽅法：公式法S侧=2(r+r′)l. 五、当堂检测 1.(2011·北京)某四棱锥的三视图如图所⽰，该四棱锥的表⾯积是( )A.32B.16+16C.48D.16+32 ⺴] 2.(2013·重庆)某⼏何体的三视图如图所⽰，则该⼏何体的表⾯积为( )A.180B.200C.220D.240 3.(2013⼲东)若⼀个圆台的正视图如图所⽰，则其侧⾯积等于( )A.6B.6πC.3πD.6π 六、作业：(1)课时闯关(今晚交) 七、课后反思：本节课你会哪些?还存在哪些问题? 1.3 空间⼏何体的表⾯积与体积 课时设计课堂实录 1.3 空间⼏何体的表⾯积与体积 1第⼀学时教学活动活动1【导⼊】第1课时 柱体、锥体、台体的表⾯积 (⼀)、基础⾃测： 1.棱⻓为a的正⽅体表⾯积为__________. 2.⻓、宽、⾼分别为a、b、c的⻓⽅体，其表⾯积为___________________. 3.⻓⽅体、正⽅体的侧⾯展开图为__________. 4.圆柱的侧⾯展开图为__________. 5.圆锥的侧⾯展开图为__________. (⼆).尝试学习 1.柱体的表⾯积 (1)侧⾯展开图：棱柱的侧⾯展开图是____________，⼀边是棱柱的侧棱，另⼀边等于棱柱的__________，如图①所⽰;圆柱的侧⾯展开图是_______，其中⼀边是圆柱的⺟线，另⼀边等于圆柱的底⾯周⻓，如图②所⽰. (2)⾯积：柱体的表⾯积S表=S侧+2S底.特别地，圆柱的底⾯半径为r，⺟线⻓为l，则圆柱的侧⾯积S侧=__________，表⾯积S表=__________. 2.锥体的表⾯积 (1)侧⾯展开图：棱锥的侧⾯展开图是由若干个__________拼成的，则侧⾯积为各个三⾓形⾯积的_____，如图①所⽰;圆锥的侧⾯展开图是_______，扇形的半径是圆锥的______，扇形的弧⻓等于圆锥的__________，如图②所⽰. (2)⾯积：锥体的表⾯积S表=S侧+S底.特别地，圆锥的底⾯半径为r，⺟线⻓为l，则圆锥的侧⾯积S侧=__________，表⾯积S表=__________. 3.台体的表⾯积 (1)侧⾯展开图：棱台的侧⾯展开图是由若干个__________拼接⽽成的，则侧⾯积为各个梯形⾯积的______，如图①所⽰;圆台的侧⾯展开图是扇环，其侧⾯积可由⼤扇形的⾯积减去⼩扇形的⾯积⽽得到，如图②所⽰. (2)⾯积：台体的表⾯积S表=S侧+S上底+S下底.特别地，圆台的上、下底⾯半径分别为r′，r，⺟线⻓为l，则侧⾯积S侧=____________，表⾯积S表=________________________. (三).互动课堂 例1：在三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=a，∠AA1B1=∠AA1C1=60°，∠BB1C1=90°，侧棱⻓为b，则其侧⾯积为( ) A. B.ab C.(+)ab D.ab 例2:(1)若⼀个圆锥的轴截⾯是等边三⾓形，其⾯积为，则这个圆锥的侧⾯积是( )A.2πB.C.6πD.9π (2)已知棱⻓均为5，底⾯为正⽅形的四棱锥S-ABCD，如图，求它的侧⾯积、表⾯积. 例3：⼀个四棱台的上、下底⾯都为正⽅形，且上底⾯的中⼼在下底⾯的投影为下底⾯中⼼(正四棱台)两底⾯边⻓分别为1,2，侧⾯积等于两个底⾯积之和，则这个棱台的⾼为( ) A. B.2 C. D. (四).巩固练习： 1.⼀个棱柱的侧⾯展开图是三个全等的矩形，矩形的⻓和宽分别为6 cm,4 cm，则该棱柱的侧⾯积为________. 2.已知⼀个四棱锥底⾯为正⽅形且顶点在底⾯正⽅形射影为底⾯正⽅形的中⼼(正四棱锥)，底⾯正⽅形的边⻓为4 cm，⾼与斜⾼的夹⾓为30°，如图所⽰，求正四棱锥的侧⾯积________和表⾯积________(单位：cm2). 3.如图所⽰，圆台的上、下底半径和⾼的⽐为1：4：4，⺟线⻓为10，则圆台的侧⾯积为( )A.81πB.100πC.14πD.169π (五)、课堂⼩结： 求柱体表⾯积的⽅法 (1)直棱柱的侧⾯积等于它的底⾯周⻓和⾼的乘积;表⾯积等于它的侧⾯积与上、下两个底⾯的⾯积之和. (2)求斜棱柱的侧⾯积⼀般有两种⽅法：⼀是定义法;⼆是公式法.所谓定义法就是利⽤侧⾯积为各侧⾯⾯积之和来求，公式法即直接⽤公式求解. (3)求圆柱的侧⾯积只需利⽤公式即可求解. (4)求棱锥侧⾯积的⼀般⽅法：定义法. (5)求圆锥侧⾯积的⼀般⽅法：公式法：S侧=πrl. (6)求棱台侧⾯积的⼀般⽅法：定义法. (7)求圆台侧⾯积的⼀般⽅法：公式法S侧=2(r+r′)l. 五、当堂检测 1.(2011·北京)某四棱锥的三视图如图所⽰，该四棱锥的表⾯积是( )A.32B.16+16C.48D.16+32 ⺴] 2.(2013·重庆)某⼏何体的三视图如图所⽰，则该⼏何体的表⾯积为( )A.180B.200C.220D.240 3.(2013⼲东)若⼀个圆台的正视图如图所⽰，则其侧⾯积等于( )A.6B.6πC.3πD.6π 六、作业：(1)课时闯关(今晚交) 七、课后反思：本节课你会哪些?还存在哪些问题? ⼩编推荐各科教学设计： 、、、、、、、、、、、、 ⼩编推荐各科教学设计： 、、、、、、、、、、、、。
关于空间几何体的表面积和体积数学教案教案章节一：引言与立方体教学目标：1. 让学生了解空间几何体的概念。
2. 引导学生通过观察立方体来理解表面积和体积的定义。
教学内容：1. 介绍空间几何体的基本概念，如立方体、球体、圆柱体等。
2. 通过观察立方体的实物或模型，让学生理解表面积和体积的定义。
教学步骤：1. 引入空间几何体的概念，展示立方体的实物或模型。
2. 引导学生观察立方体的特征，如六个面、八个顶点等。
3. 解释表面积和体积的定义，让学生理解它们是描述空间几何体大小的重要指标。
作业布置：1. 让学生绘制一个立方体，并标注出它的表面积和体积。
教案章节二：立方体的表面积和体积计算教学目标：1. 让学生掌握立方体的表面积和体积的计算方法。
2. 培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
教学内容：1. 介绍立方体的表面积和体积的计算公式。
2. 通过实例讲解如何运用公式计算立方体的表面积和体积。
1. 回顾立方体的特征，引导学生理解表面积和体积的计算方法。
2. 介绍立方体的表面积和体积的计算公式，如表面积=6a²，体积=a³。
3. 通过实例讲解如何运用公式计算立方体的表面积和体积，如给定边长a，计算表面积和体积。
作业布置：1. 让学生运用公式计算不同边长的立方体的表面积和体积，并进行比较。
教案章节三：球体的表面积和体积计算教学目标：1. 让学生掌握球体的表面积和体积的计算方法。
2. 培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
教学内容：1. 介绍球体的表面积和体积的计算公式。
2. 通过实例讲解如何运用公式计算球体的表面积和体积。
教学步骤：1. 引导学生回顾立方体的表面积和体积计算方法，引出球体的概念。
2. 介绍球体的表面积和体积的计算公式，如表面积=4πr²，体积=4/3πr³。
3. 通过实例讲解如何运用公式计算球体的表面积和体积，如给定半径r，计算表面积和体积。
作业布置：1. 让学生运用公式计算不同半径的球体的表面积和体积，并进行比较。
空间几何体表面积体积教案（一）柱体、锥体、台体、球的表面积备用图：图1 正方体及其展开图 图2 长方体及其展开图图3 圆柱及其展开图 图4 圆锥及其展开图图 5 圆台及其展开图1、棱柱的表面积：侧面积与两底面积之和=S C h ∙直棱柱侧，其中，C 为直棱柱底面周长，h 为垂直于直棱柱的高。
()=2S ab bc ca ++长方体，其中a ，b ，c 分别为长方体的长宽高 2=6S a 正方体，a 为正方体的边长。
2=22S r rl ππ+圆柱。
其中，=2S rl π圆柱侧，r 为圆柱底面圆的半径，l 为圆柱的母线长。
1.已知棱长为a ，各面均为等边三角形的正四面体S-ABC 的表面积2.一个三棱柱的底面是正三角形，边长为4，侧棱与底面垂直，侧棱长10,求其表面积.2、椎体的表面积：侧面积和底面积之和1=2S C h ∙’正棱锥侧，其中，底面周长为C ，斜高为h ’()2=+S =S S rl r r l r πππ+=+圆锥圆锥侧底其中，1=2S Cl rl π=圆锥侧，r 为底面圆的半径，l 为圆锥母线长。
例题1. 已知底面为正方形，侧棱长均是边长为5的正三角形的四棱锥S-ABCD ，求其表面积.2. ，求这个圆锥的表面积.3. 圆锥的底面半径为2cm ，高为4cm ，求圆锥的内接圆柱的侧面积的最大值.3、台体的表面积：侧面积与两底面积之和()''1=2S C C h +∙正棱台侧面积,其中，C 、'C 为上下两底面周长，'h 为斜高。
()'=S r r l π+圆台侧，其中'r r 、为上下两底面圆的半径。
l 为其母线长()'2'2=S rl r l r r π+++圆台例题1、一圆台形花盆，盘口直径20cm ，盘底直径15cm ，底部渗水圆孔直径1.5cm ，盘壁长15cm.. 为美化外表而涂油漆，若每平方米用100毫升油漆，涂200个这样的花盘要多少油漆？2、粉碎机的上料斗是正四棱台性，它的上、下底面边长分别为80mm 、440mm ，高是200mm, 计算制造这样一个下料斗所需铁板的面积.4、球体的表面积2=4S R π球,其中R 为球体的半径例题1、 在球心同侧有相距9的两个平行截面，它们的面积分别为49π和400π，求球的表面积。
空间几何体的表面积与体积教案一、教学目标：1. 让学生掌握空间几何体的表面积和体积的计算方法。
2. 培养学生空间想象能力和思维能力。
3. 培养学生解决实际问题的能力。
二、教学内容：1. 空间几何体的表面积和体积的定义。
2. 常见空间几何体的表面积和体积的计算公式。
3. 空间几何体表面积和体积的计算方法。
三、教学重点与难点：1. 教学重点：空间几何体的表面积和体积的计算方法。
2. 教学难点：空间几何体的表面积和体积的计算公式的推导和应用。
四、教学方法：1. 采用讲解法，讲解空间几何体的表面积和体积的定义及计算方法。
2. 采用案例分析法，分析常见空间几何体的表面积和体积的计算。
3. 采用练习法，巩固所学知识。
五、教学过程：1. 导入新课：通过生活中的实例，引入空间几何体的表面积和体积的概念。
2. 讲解新课：讲解空间几何体的表面积和体积的定义，介绍常见空间几何体的表面积和体积的计算公式，讲解计算方法。
3. 案例分析：分析常见空间几何体的表面积和体积的计算，如正方体、长方体、圆柱体等。
4. 课堂练习：布置练习题，让学生巩固所学知识。
5. 总结与拓展：总结本节课的主要内容，布置课后作业，引导学生进行拓展学习。
六、课后作业：1. 复习本节课所学内容，整理笔记。
2. 完成课后练习题，巩固所学知识。
3. 探索空间几何体表面积和体积的计算规律，进行拓展学习。
七、教学评价：1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况，了解学生的学习状态。
2. 课后作业：检查学生作业完成情况，评估学生对知识的掌握程度。
3. 单元测试：进行单元测试，了解学生对本节课知识的掌握情况。
八、教学资源：1. 教案、课件、教学素材。
2. 练习题、测试题。
3. 空间几何体模型、图片等。
九、教学时间安排：1. 课时：本节课计划用2课时完成。
2. 教学时间安排：第一课时讲解空间几何体的表面积和体积的定义及计算方法，分析常见空间几何体的表面积和体积的计算；第二课时进行案例分析、课堂练习、总结与拓展。
空间几何体的表面积与体积教案第一章：引言1.1 教学目标让学生了解空间几何体的概念让学生理解表面积与体积的意义让学生掌握空间几何体的表面积与体积的计算方法1.2 教学内容空间几何体的定义与分类表面积与体积的概念空间几何体的表面积与体积的计算方法1.3 教学方法采用多媒体课件进行讲解配合实物模型进行演示引导学生进行分组讨论与实践1.4 教学步骤引入空间几何体的概念，分类介绍常见的空间几何体讲解表面积与体积的定义，引导学生理解其意义演示空间几何体的表面积与体积的计算方法引导学生进行分组讨论与实践，巩固所学知识第二章：立方体2.1 教学目标让学生掌握立方体的表面积与体积的计算方法让学生能够应用立方体的表面积与体积解决实际问题2.2 教学内容立方体的定义与性质立方体的表面积与体积的计算公式立方体表面积与体积的应用实例2.3 教学方法采用多媒体课件进行讲解配合实物模型进行演示引导学生进行分组讨论与实践2.4 教学步骤引入立方体的定义与性质，讲解立方体的特点讲解立方体的表面积与体积的计算公式给出立方体表面积与体积的应用实例，引导学生进行实践引导学生进行分组讨论与练习，巩固所学知识第三章：球体3.1 教学目标让学生掌握球体的表面积与体积的计算方法让学生能够应用球体的表面积与体积解决实际问题3.2 教学内容球体的定义与性质球体的表面积与体积的计算公式球体表面积与体积的应用实例3.3 教学方法采用多媒体课件进行讲解配合实物模型进行演示引导学生进行分组讨论与实践3.4 教学步骤引入球体的定义与性质，讲解球体的特点讲解球体的表面积与体积的计算公式给出球体表面积与体积的应用实例，引导学生进行实践引导学生进行分组讨论与练习，巩固所学知识第四章：圆柱体4.1 教学目标让学生掌握圆柱体的表面积与体积的计算方法让学生能够应用圆柱体的表面积与体积解决实际问题4.2 教学内容圆柱体的定义与性质圆柱体的表面积与体积的计算公式圆柱体表面积与体积的应用实例4.3 教学方法采用多媒体课件进行讲解配合实物模型进行演示引导学生进行分组讨论与实践4.4 教学步骤引入圆柱体的定义与性质，讲解圆柱体的特点讲解圆柱体的表面积与体积的计算公式给出圆柱体表面积与体积的应用实例，引导学生进行实践引导学生进行分组讨论与练习，巩固所学知识第五章：圆锥体5.1 教学目标让学生掌握圆锥体的表面积与体积的计算方法让学生能够应用圆锥体的表面积与体积解决实际问题5.2 教学内容圆锥体的定义与性质圆锥体的表面积与体积的计算公式圆锥体表面积与体积的应用实例5.3 教学方法采用多媒体课件进行讲解配合实物模型进行演示引导学生进行分组讨论与实践5.4 教学步骤引入圆锥体的定义与性质，讲解圆锥体的特点讲解圆锥体的表面积与体积的计算公式给出圆锥体表面积与体积的应用实例，引导学生进行实践引导学生进行分组讨论与练习，巩固所学知识第六章：圆台体6.1 教学目标让学生掌握圆台体的表面积与体积的计算方法让学生能够应用圆台体的表面积与体积解决实际问题6.2 教学内容圆台体的定义与性质圆台体的表面积与体积的计算公式圆台体表面积与体积的应用实例6.3 教学方法采用多媒体课件进行讲解配合实物模型进行演示引导学生进行分组讨论与实践6.4 教学步骤引入圆台体的定义与性质，讲解圆台体的特点讲解圆台体的表面积与体积的计算公式给出圆台体表面积与体积的应用实例，引导学生进行实践引导学生进行分组讨论与练习，巩固所学知识第七章：椭球体7.1 教学目标让学生掌握椭球体的表面积与体积的计算方法让学生能够应用椭球体的表面积与体积解决实际问题7.2 教学内容椭球体的定义与性质椭球体的表面积与体积的计算公式椭球体表面积与体积的应用实例7.3 教学方法采用多媒体课件进行讲解配合实物模型进行演示引导学生进行分组讨论与实践7.4 教学步骤引入椭球体的定义与性质，讲解椭球体的特点讲解椭球体的表面积与体积的计算公式给出椭球体表面积与体积的应用实例，引导学生进行实践引导学生进行分组讨论与练习，巩固所学知识第八章：锥台的表面积与体积8.1 教学目标让学生掌握锥台的表面积与体积的计算方法让学生能够应用锥台的表面积与体积解决实际问题8.2 教学内容锥台的定义与性质锥台的表面积与体积的计算公式锥台表面积与体积的应用实例8.3 教学方法采用多媒体课件进行讲解配合实物模型进行演示引导学生进行分组讨论与实践8.4 教学步骤引入锥台的定义与性质，讲解锥台的特点讲解锥台的表面积与体积的计算公式给出锥台表面积与体积的应用实例，引导学生进行实践引导学生进行分组讨论与练习，巩固所学知识第九章：空间多面体的表面积与体积9.1 教学目标让学生掌握空间多面体的表面积与体积的计算方法让学生能够应用空间多面体的表面积与体积解决实际问题9.2 教学内容空间多面体的定义与性质空间多面体的表面积与体积的计算方法空间多面体表面积与体积的应用实例9.3 教学方法采用多媒体课件进行讲解配合实物模型进行演示引导学生进行分组讨论与实践9.4 教学步骤引入空间多面体的定义与性质，讲解空间多面体的特点讲解空间多面体的表面积与体积的计算方法给出空间多面体表面积与体积的应用实例，引导学生进行实践引导学生进行分组讨论与练习，巩固所学知识第十章：空间几何体的表面积与体积的综合应用10.1 教学目标让学生能够综合运用空间几何体的表面积与体积解决实际问题培养学生解决复杂问题的能力10.2 教学内容空间几何体表面积与体积在实际问题中的应用空间几何体表面积与体积的综合练习题10.3 教学方法采用多媒体课件进行讲解配合实物模型进行演示引导学生进行分组讨论与实践10.4 教学步骤讲解空间几何体表面积与体积在实际问题中的应用实例给出空间几何体表面积与体积的综合练习题，引导学生进行实践引导学生进行分组讨论与练习，巩固所学知识第十一章：空间几何体的表面积与体积的数学理论基础11.1 教学目标让学生了解空间几何体表面积与体积的数学理论基础让学生理解空间几何体表面积与体积的公式的推导过程11.2 教学内容空间几何体表面积与体积的数学理论基础空间几何体表面积与体积公式的推导过程11.3 教学方法采用多媒体课件进行讲解配合实物模型进行演示引导学生进行分组讨论与实践11.4 教学步骤讲解空间几何体表面积与体积的数学理论基础推导空间几何体表面积与体积的公式的过程引导学生进行分组讨论与练习，巩固所学知识第十二章：空间几何体的表面积与体积在工程中的应用12.1 教学目标让学生了解空间几何体表面积与体积在工程中的应用培养学生解决实际问题的能力12.2 教学内容空间几何体表面积与体积在工程中的应用实例12.3 教学方法采用多媒体课件进行讲解配合实物模型进行演示引导学生进行分组讨论与实践12.4 教学步骤讲解空间几何体表面积与体积在工程中的应用实例引导学生进行分组讨论与实践，巩固所学知识第十三章：空间几何体的表面积与体积在建筑设计中的应用13.1 教学目标让学生了解空间几何体表面积与体积在建筑设计中的应用培养学生解决实际问题的能力13.2 教学内容空间几何体表面积与体积在建筑设计中的应用实例13.3 教学方法采用多媒体课件进行讲解配合实物模型进行演示引导学生进行分组讨论与实践13.4 教学步骤讲解空间几何体表面积与体积在建筑设计中的应用实例引导学生进行分组讨论与实践，巩固所学知识第十四章：空间几何体的表面积与体积在物理中的应用14.1 教学目标让学生了解空间几何体表面积与体积在物理中的应用培养学生解决实际问题的能力14.2 教学内容空间几何体表面积与体积在物理中的应用实例14.3 教学方法采用多媒体课件进行讲解配合实物模型进行演示引导学生进行分组讨论与实践14.4 教学步骤讲解空间几何体表面积与体积在物理中的应用实例引导学生进行分组讨论与实践，巩固所学知识第十五章：空间几何体的表面积与体积的拓展与研究15.1 教学目标激发学生对空间几何体表面积与体积的拓展与研究的兴趣培养学生创新思维与研究能力15.2 教学内容空间几何体表面积与体积的拓展与研究实例15.3 教学方法采用多媒体课件进行讲解配合实物模型进行演示引导学生进行分组讨论与实践15.4 教学步骤讲解空间几何体表面积与体积的拓展与研究实例引导学生进行分组讨论与实践，巩固所学知识鼓励学生进行创新思维与研究重点和难点解析本文主要介绍了空间几何体的表面积与体积的概念、计算方法以及在各个领域的应用。
41 中高三 数学第一轮复习—空间几何体的表面积和体积一．命题走向由于本讲公式多反映在考题上，预测 008 年高考有以下特色： （1）用选择、填空题考查本章的基本性质和求积公式；（ 2）考题可能为：与多面体和旋转体的面积、体积有关的计算问题；与多面体和旋转 体中某些元素有关的计算问题；．要点精讲1．多面体的面积和体积公式表中 S 表示面积， c ′、 c 分别表示上、 下底面周长， h 表斜高， h ′表示斜高， l 表示侧棱长。
2．旋转体的面积和体积公式表中 l 、h 分别表示母线、 高，r 表示圆柱、 圆锥与球冠的底半径， r 1 、r 2 分别表示圆台 上、下底面半径， R 表示半径。
四．典例解析题型 1：柱体的体积和表面积例 1．一个长方体全面积是 20cm 2，所有棱长的和是 24cm ，求长方体的对角线长解：设长方体的长、宽、高、对角线长分别为 xcm 、ycm 、zcm 、 lcm4(x y z) 24 (2)由( 2)2 得： x 2+y 2+z 2+2xy+2yz+2xz=36 (3) 由( 3)－( 1)得 x 2+y 2+z 2=16 即 l 2=16 所以 l=4(cm) 。
依题意得： 2(xy yz zx) 20 (1)点评： 涉及棱柱面积问题的题目多以直棱柱为主， 而直棱柱中又以正方体、 长方体的表 面积多被考察。
我们平常的学习中要多建立一些重要的几何要素（对角线、内切）与面积、 体积之间的关系。
例 2．如图，三棱柱 ABC — A 1B 1C 1中，若 E 、 F 分别为 AB 、AC 的中点，平面 EB 1C 1将三棱柱分 成体积为 V 1、V 2的两部分，那么 V 1∶ V 2= 。
解：设三棱柱的高为 h ，上下底的面积为 ∵E 、F 分别为 AB 、AC 的中点，1∴ S △ AEF = S,41 1 1 7 V 1= h （S+ S+ S ）= Sh344 12V 2=Sh-V 1= 5 Sh ，12∴V 1∶V 2=7∶5。
空间几何体的表面积和体积教案例1：已知直三棱柱底面各边的比为17∶10∶9，侧棱长为16 cm ，全面积为1440 cm 2，求底面各边之长.分析：这是一道跟直棱柱侧面积有关的问题，从结论出发，欲求底面各边之长，而各边之比已知，可分别设为17a 、10a 、 9a ，故只须求出参数a 即可，那么如何利用已知条件去求 a 呢？［生］设底面三边长分别是17a 、10a 、9a , S 侧＝（17a ＋10a ＋9a ）·16＝576a 设17a 所对三角形内角α，则cos α＝（10a ）2＋（9a ）2－（17a ）22×10a ×9a ＝－35 ，sin α＝45S 底＝12 ·10a ·9a ·45 ＝36a 2∴576a ＋72a 2＝1440 解得：a ＝2 ∴三边长分别为34 cm ，20 cm ，18 cm.［师］此题中先设出参数a ，再消去参数，很有特色.例2：正三棱锥底面边长为a ，侧棱与底面成45°角，求此棱锥的侧面积与全面积.分析：可根据正棱锥的侧面积与全面积公式求得. 解：如图所示，设正三棱锥S —ABC 的高为SO ，斜高为SD ，在Rt △SAO 中，∴AO ＝SA ·cos45°∵AO ＝23 AD ＝23 32a ∴SA ＝63a 在Rt △SBD 中 SD ＝a a a 615)21()36(22=- ∴S 侧＝12 ·3a ·SD ＝154a 2. ∵S 底＝34a 2∴S 全＝（154＋34）a 2例3：从一个正方体中，如图那样截去4个三棱锥后，得到一个正三棱锥A —BCD ，求它的体积是正方体体积的几分之几？ 分析：在准确识图的基础上，求出所截得的每个三棱锥的体积和正三棱锥A —BCD 的体积即可.解：设正方体体积为Sh ,则每个截去的三棱锥的体积为 13 ·12 Sh ＝16 Sh . ∵三棱锥A —BCD 的体积为 Sh －4·16 Sh ＝13 Sh .∴正三棱锥A —BCD 的体积是正方体体积的13 .例4：假设正棱锥的底面边长为a ，侧棱长为2a ，求对角面的面积和侧面积.解：如图所示，在正四棱锥P —ABCD 中，AB ＝a ，PB ＝2a ，作PO ⊥底面ABCD 于O .连结BD ，则O ∈BD ，且PO ⊥BC ，由AB ＝a ，得BD ＝ 2 a ，在Rt △P AB 中， PO 2＝PB 2－BO 2＝（2a ）2－（22a ）2 ∴PO ＝142a ，S 对角面＝12 PO ·BD ＝72a 2. 又作PE ⊥BC 于E ，这时E 是BC 的中点 ∴PE 2＝PB 2－BE 2＝（2a ）2－（12 a ）2∴PE ＝152a ∴S 侧＝4×21PE ·BC ＝15 a 2∴对角面面积为72a 2,侧面积为 15 a 2.例5：如图，圆柱的底面直径与高都等于球的直径，求证： （1）球的表面积等于圆柱的侧面积； （2）球的表面积等于圆柱全面积的23证明：（1）设球的半径为R ，则圆柱的底面半径为R ， 高为2R ，得S 球＝4πR 2，S 圆柱侧＝2πR ·2R ＝4πR 2 ∴S 球＝S 圆柱侧 （2）∵S 圆柱全＝4πR 2+2πR 2＝6πR 2 S 球＝4πR 2 ∴S 球＝23 S 圆柱全例6：有三个球，第一个球内切于正方体的六个面，第二个球与这个正方体各条棱都相切，第三个球过这个正方体的各顶点，求这三个球的表面积之比.解：设正方体的棱长为a ，则第一个球的半径为 a2 ，第二个球的半径是22a ，第三个球的半径为32a .∴r 1∶r 2∶r 3＝1∶ 2 ∶ 3 ∴S 1∶S 2∶S 3＝1∶2∶3例7：已知圆锥的全面积是它内切球表面积的2倍，求圆锥侧面积与底面积之比.解：过圆锥的轴作截面截圆锥和内切球分别得轴截面SAB 和球的大圆⊙O ，且⊙O 为△SAB 的内切圆.设圆锥底面半径为r ,母线长为l ;内切圆半径为R ，则 S 锥全＝πr 2＋πrl ，S 球＝4πR 2，∴r 2＋rl ＝8R 2①又∵△SOE ∽△S A O 1 ∴r l rl rl r l r R +-=--=22②由②得：R 2＝r 2·rl rl +-代入①得：r 2＋rl ＝8r 2·rl rl +-，得： l ＝3r∴32===rlr rl S S ππ底锥侧 ∴圆锥侧面积与底面积之比为3∶1. 练习：1.已知球面上A 、B 、C 三点的截面和球心的距离等于球的半径的一半，且AB =BC =CA =2，求球的体积.2.一个体积为8的正方体的各个顶点都在球面上，求此球的体积. 例8：求球与它的外切圆柱、外切等边圆锥的体积之比.解：如图所示，等边△SAB 为圆锥的轴截面，此截面截圆柱得正方形C 1CDD 1，截球面得球的大圆圆O 1.设球的半径O 1O ＝R ，则它的外切圆柱的高为2R ，底面半径为R ，则有OB ＝O 1O ·cot30°＝ 3 RSO ＝OB ·tan60°＝ 3 R · 3 ＝3R ∴V 球＝43 πR 3,V 柱＝πR 2·2R ＝2πR 3 V 锥＝13 π（ 3 R ）2·3R ＝3πR 3 ∴V 球∶V 柱∶V 锥＝ 4∶6∶9［师］以上题目，通过作球及外切圆柱、等边圆锥的公共截面暴露这些几何体之间的相互关系.让我们继续体会有关球的相接切问题.例9：半径为R 的球的内接四面体内有一内切球，求这两球的体积比？解：如图所示，大球O 的半径为R ；设正四面体A —BCD 的棱长为a ，它的内切球半径为r ，依题意BO 1＝23 32a ＝33a ， AO 1＝AB 2－BO 12＝a 2－（33a ）2＝63a又∵BO 2＝BO 12＋OO 12， ∴R 2＝（22)36()33R a a -+ ∴a ＝362R连结OA ，OB ，OC ，OD ，内切球球心到正四面体各面距离为r , V O —BCD ＝V O —ABC ＋V O —ACD ＋V O —AOB ＋V O —BCD ∴r S AO S BCD BCD ⋅⋅⋅=⋅⋅∆∆314311∴r ＝41AO ∴r ＝R R a 31362126126=⋅=∴V 小球∶V 大球＝34π·（31R ）3∶34π·R 3＝1∶27∴内切球与外接球的体积比为1∶27.空间几何体的表面积和体积教案例1：已知直三棱柱底面各边的比为17∶10∶9，侧棱长为16 cm ，全面积为1440 cm 2，求底面各边之长.分析：这是一道跟直棱柱侧面积有关的问题，从结论出发，欲求底面各边之长，而各边之比已知，可分别设为17a 、10a 、 9a ，故只须求出参数a 即可，那么如何利用已知条件去求 a 呢？［生］设底面三边长分别是17a 、10a 、9a , S 侧＝（17a ＋10a ＋9a ）·16＝576a 设17a 所对三角形内角α，则cos α＝（10a ）2＋（9a ）2－（17a ）22×10a ×9a ＝－35 ，sin α＝45S 底＝12 ·10a ·9a ·45 ＝36a 2∴576a ＋72a 2＝1440 解得：a ＝2 ∴三边长分别为34 cm ，20 cm ，18 cm.［师］此题中先设出参数a ，再消去参数，很有特色.例2：正三棱锥底面边长为a ，侧棱与底面成45°角，求此棱锥的侧面积与全面积.分析：可根据正棱锥的侧面积与全面积公式求得. 解：如图所示，设正三棱锥S —ABC 的高为SO ，斜高为SD ，在Rt △SAO 中，∴AO ＝SA ·cos45°∵AO ＝23 AD ＝23 32a ∴SA ＝63a 在Rt △SBD 中 SD ＝a a a 615)21()36(22=- ∴S 侧＝12 ·3a ·SD ＝154a 2. ∵S 底＝34a 2∴S 全＝（154＋34）a 2例3：从一个正方体中，如图那样截去4个三棱锥后，得到一个正三棱锥A —BCD ，求它的体积是正方体体积的几分之几？ 分析：在准确识图的基础上，求出所截得的每个三棱锥的体积和正三棱锥A —BCD 的体积即可.解：设正方体体积为Sh ,则每个截去的三棱锥的体积为 13 ·12 Sh ＝16 Sh . ∵三棱锥A —BCD 的体积为 Sh －4·16 Sh ＝13 Sh .∴正三棱锥A —BCD 的体积是正方体体积的13 .例4：假设正棱锥的底面边长为a ，侧棱长为2a ，求对角面的面积和侧面积.解：如图所示，在正四棱锥P —ABCD 中，AB ＝a ，PB ＝2a ，作PO ⊥底面ABCD 于O .连结BD ，则O ∈BD ，且PO ⊥BC ，由AB ＝a ，得BD ＝ 2 a ，在Rt △P AB 中， PO 2＝PB 2－BO 2＝（2a ）2－（22a ）2 ∴PO ＝142a ，S 对角面＝12 PO ·BD ＝72a 2. 又作PE ⊥BC 于E ，这时E 是BC 的中点 ∴PE 2＝PB 2－BE 2＝（2a ）2－（12 a ）2∴PE ＝152a ∴S 侧＝4×21PE ·BC ＝15 a 2∴对角面面积为72a 2,侧面积为 15 a 2.例5：如图，圆柱的底面直径与高都等于球的直径，求证： （1）球的表面积等于圆柱的侧面积； （2）球的表面积等于圆柱全面积的23证明：（1）设球的半径为R ，则圆柱的底面半径为R ， 高为2R ，得S 球＝4πR 2，S 圆柱侧＝2πR ·2R ＝4πR 2 ∴S 球＝S 圆柱侧 （2）∵S 圆柱全＝4πR 2+2πR 2＝6πR 2 S 球＝4πR 2 ∴S 球＝23 S 圆柱全例6：有三个球，第一个球内切于正方体的六个面，第二个球与这个正方体各条棱都相切，第三个球过这个正方体的各顶点，求这三个球的表面积之比.解：设正方体的棱长为a ，则第一个球的半径为 a2 ，第二个球的半径是22a ，第三个球的半径为32a .∴r 1∶r 2∶r 3＝1∶ 2 ∶ 3 ∴S 1∶S 2∶S 3＝1∶2∶3例7：已知圆锥的全面积是它内切球表面积的2倍，求圆锥侧面积与底面积之比.解：过圆锥的轴作截面截圆锥和内切球分别得轴截面SAB 和球的大圆⊙O ，且⊙O 为△SAB 的内切圆.设圆锥底面半径为r ,母线长为l ;内切圆半径为R ，则 S 锥全＝πr 2＋πrl ，S 球＝4πR 2，∴r 2＋rl ＝8R 2①又∵△SOE ∽△S A O 1 ∴r l rl rl r l r R +-=--=22②由②得：R 2＝r 2·rl rl +-代入①得：r 2＋rl ＝8r 2·rl rl +-，得： l ＝3r∴32===r l r rl S S ππ底锥侧 ∴圆锥侧面积与底面积之比为3∶1.练习：1.已知球面上A 、B 、C 三点的截面和球心的距离等于球的半径的一半，且AB =BC =CA =2，求球的体积.2.一个体积为8的正方体的各个顶点都在球面上，求此球的体积. 例8：求球与它的外切圆柱、外切等边圆锥的体积之比.解：如图所示，等边△SAB 为圆锥的轴截面，此截面截圆柱得正方形C 1CDD 1，截球面得球的大圆圆O 1.设球的半径O 1O ＝R ，则它的外切圆柱的高为2R ，底面半径为R ，则有OB ＝O 1O ·cot30°＝ 3 RSO ＝OB ·tan60°＝ 3 R · 3 ＝3R∴V 球＝43 πR 3,V 柱＝πR 2·2R ＝2πR 3V 锥＝13 π（ 3 R ）2·3R ＝3πR 3∴V 球∶V 柱∶V 锥＝ 4∶6∶9［师］以上题目，通过作球及外切圆柱、等边圆锥的公共截面暴露这些几何体之间的相互关系.让我们继续体会有关球的相接切问题.例9：半径为R 的球的内接四面体内有一内切球，求这两球的体积比？解：如图所示，大球O 的半径为R ；设正四面体A —BCD 的棱长为a ，它的内切球半径为r ，依题意BO 1＝23 32a ＝33a ， AO 1＝AB 2－BO 12 ＝a 2－（33a ）2 ＝63a 又∵BO 2＝BO 12＋OO 12，∴R 2＝（22)36()33R a a -+ ∴a ＝362R连结OA ，OB ，OC ，OD ，内切球球心到正四面体各面距离为r , V O —BCD ＝V O —ABC ＋V O —ACD ＋V O —AOB ＋V O —BCD∴r S AO S BCD BCD ⋅⋅⋅=⋅⋅∆∆314311 ∴r ＝41AO ∴r ＝R R a 31362126126=⋅= ∴V 小球∶V 大球＝34π·（31R ）3∶34π·R 3＝1∶27 ∴内切球与外接球的体积比为1∶27.圆与方程教案例1：已知两点P 1（4，9）和P 2（6，3），求以P 1P 2为直径的圆的方程，并且判断点M （6，9），N （3，3），Q （5，3）是在圆上，在圆内，还是在圆外。
空间几何体的表面积和体积》课时教学设计空间几何体的表面积和体积》课时教学设计第一课时1.3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积（一）教学要求：学生要了解柱、锥、台的表面积计算公式，并能够应用公式解决实际问题。
教学重点：学生要能够应用公式解决实际问题。
教学难点：学生要理解计算公式的由来。
教学过程：一、复准备：1.讨论：正方体、长方体的侧面展开图？→正方体、长方体的表面积计算公式？2.讨论：圆柱、圆锥的侧面展开图？→圆柱的侧面积公式？圆锥的侧面积公式？二、讲授新课：1.教学表面积计算公式的推导：①讨论：如何求棱柱、棱锥、棱台等多面体的表面积？（展开成平面图形，各面面积和）②练：求各面都是边长为10的等边三角形的正四面体S-ABC的表面积。
另外，一个三棱柱的底面是正三角形，边长为4，侧棱与底面垂直，侧棱长10，求其表面积。
③讨论：如何求圆柱、圆锥、圆台的侧面积及表面积？（图→侧→表）圆柱：侧面展开图是矩形，长是圆柱底面圆周长，宽是圆柱的高（母线），S圆柱侧=2πrl，S圆柱表=2πr(r+l)，其中r 为圆柱底面半径，l为母线长。
圆锥：侧面展开图为一个扇形，半径是圆锥的母线，弧长等于圆锥底面周长，侧面展开图扇形中心角为θ=1/2×360，S 圆锥侧=πrl，S圆锥表=πr(r+l)，其中r为圆锥底面半径，l为母线长。
圆台：侧面展开图是扇环，内弧长等于圆台上底周长，外弧长等于圆台下底周长，侧面展开图扇环中心角为θ=（R-r）/l×360.S圆台侧=π(R+r)l，S圆台表=π(r^2+rl+Rl+R^2)，其中R 和r分别为圆台上下底面的半径，l为母线长。
④练：一个圆台，上、下底面半径分别为10、20，母线与底面的夹角为60°，求圆台的表面积。
（变式：求切割之前的圆锥的表面积）2.教学表面积公式的实际应用：①出示例：一圆台形花盆，盘口直径20cm，盘底直径15cm，底部渗水圆孔直径1.5cm，盘壁长15cm。
关于空间几何体的表面积和体积数学教案教案章节一：绪言教学目标：1. 使学生了解空间几何体的表面积和体积的概念及意义。
2. 培养学生对空间几何体的直观认识和空间想象能力。
教学内容：1. 空间几何体的定义及分类。
2. 表面积和体积的概念及意义。
教学步骤：1. 引入空间几何体的概念，通过实物模型展示，让学生感受和认识各种空间几何体，如正方体、长方体、圆柱体、圆锥体等。
2. 讲解空间几何体的分类，明确各种几何体的特征。
3. 引入表面积和体积的概念，解释其意义。
4. 通过实例计算，让学生掌握计算空间几何体表面积和体积的方法。
教学评价：1. 检查学生对空间几何体概念的理解。
2. 评估学生对表面积和体积概念的掌握。
教案章节二：正方体和长方体的表面积和体积教学目标：1. 使学生掌握正方体和长方体的表面积和体积的计算方法。
2. 培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
教学内容：1. 正方体和长方体的特征。
2. 正方体和长方体表面积和体积的计算公式。
教学步骤：1. 回顾正方体和长方体的特征，通过实物模型展示，让学生加深对这两种几何体的认识。
2. 讲解正方体和长方体表面积的计算公式，示例计算。
3. 讲解正方体和长方体体积的计算公式，示例计算。
4. 布置练习题，让学生运用所学知识解决实际问题。
教学评价：1. 检查学生对正方体和长方体特征的掌握。
2. 评估学生对正方体和长方体表面积和体积计算方法的运用。
教案章节三：圆柱体和圆锥体的表面积和体积教学目标：1. 使学生掌握圆柱体和圆锥体的表面积和体积的计算方法。
2. 培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
教学内容：1. 圆柱体和圆锥体的特征。
2. 圆柱体和圆锥体表面积和体积的计算公式。
教学步骤：1. 回顾圆柱体和圆锥体的特征，通过实物模型展示，让学生加深对这两种几何体的认识。
2. 讲解圆柱体表面积的计算公式，示例计算。
3. 讲解圆柱体体积的计算公式，示例计算。
4. 讲解圆锥体表面积的计算公式，示例计算。
空间几何体的表面积与体积1.3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积【教学目标】（1）通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的表面积和体积的求法。
（2）能运用公式求解，柱体、锥体和台全的全积，并且熟悉台体与术体和锥体之间的转换关系。
（3）培养学生空间想象能力和思维能力。
【教学重点难点】【教学重点】：柱体、锥体、台体的表面积和体积计算【教学难点】：台体体积公式的推导【学前准备】：多媒体，预习例题（3）初中时，我们已经学习了计算特殊的柱体——正方体、长方体以及圆柱的体积公式：如图，把正方体截去四个角，得到一个体比2a和积此圆柱的底面在圆锥的底面上，圆柱的高等于圆锥底面半径，且圆柱的全面积：圆锥的底面积3:2=．）求圆锥母线与底面多成的角的正切值；（2）圆锥的侧面积参考答案：1. B 2. C 3. 1 , 3 4. A 5. B 6. B 7. 1:3 3a π或32aπ9．已知圆锥有一个内接圆柱此圆柱的底面在圆锥的底面上，圆柱. 三棱锥的外接球问题【教学目标】⑴通过对球的体积和面积公式的推导，了解推导过程中所用的基本数学思想方法：“分割——求和——化为准确和”，有利于同学们进一步学习微积分和近代数学知识。
⑵能运用球的面积和体积公式灵活解决实际问题。
⑶培养学生的空间思维能力和空间想象能力。
【教学重难点】【教学重点】：引导学生了解推导球的体积和面积公式所运用的基本思想方法。
【教学难点】：推导体积和面积公式中空间想象能力的形成。
【学前准备】：多媒体，预习例题4：如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为.类型四：一条测棱垂直底面，底面为非直角三角形的四面体的外接球问题5已知点A,B,C,D,四点在同一个球面上，DA⊥平面ABC,DA=AB=AC=3,∠ABC=60，则球半径是类型五：正三棱锥的外接球问题6：已知正三棱锥底面边长为1，侧棱长为2，求外接球半径。
第45讲空间几何体的表面积和体积
一．复习目标：
1.了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式）.
2.会应用公式求几何体的表面积和体积。
二．知识回顾：
V
题型一、求几何体的表面积
例1［2010年高考安徽卷］一个几何体的三视图如图，该几何体的表面积为( ) A.280 B.292 C.360 D.372
练习：（2010福建文数）若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示,则其侧面积等于 ( ) A ． B ．2 C ． D ．6
题型二、求几何体的体积
例2（2010浙江文数）（8）若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是（ ）
（A ） （B ） （C ） （D ）
练习：［2010年高考天津卷］一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为
题型三、等体积问题
例3（2010湖北文数）.圆柱形容器内盛有高度为8cm 的水，若放入三个相同的珠（球的半么与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示），则球的半径是____cm
四、课堂小结：
160322433203352
3
通过三视图求体积和表面积是高考的重点。
这节课我们对其进行了基本的讲解，怎么样看三视图确定几何体的结构，再合理的应用公式求解。
五、课后作业：
练习一张。
空间⼏何体的表⾯积与体积教案空间⼏何体的表⾯积与体积⼀、柱体、锥体、台体的表⾯积A .多⾯体的表⾯积1.多⾯体的表⾯积求法：求平⾯展开图的⾯积注：把多⾯体的各个⾯平铺在平⾯上，所得图形称之为多⾯体的平⾯积展开图.2.直棱柱的侧⾯积与全⾯积（1）侧⾯积①求法：侧⾯展开（如图）；②公式：S cl =（其中c 为底⾯周长，l 为侧棱长）；（2）表⾯积：侧⾯积＋两底⾯积. （3）推论：①正棱柱的侧⾯积：S cl =（其中c 为底⾯周长，l 为侧棱长）.②长⽅体的表⾯积：2()S ab bc ca =++.（其中,,a b c 分别为长⽅体的长宽⾼）③正⽅体的表⾯积：26S a =（a 为正⽅体的棱长）. 3.斜棱柱侧⾯积与全⾯积（1）侧⾯积：①求法：作出直截⾯（如图）；注：这种处理⽅法蕴含着割补思想.②公式：S cl =（其中c 为直截⾯周长，l 为侧棱长）；（2）表⾯积：侧⾯积＋两底⾯积. 4.正棱锥的侧⾯积与全⾯积（1）侧⾯积①求法：侧⾯展开（如图）；②公式：12S ch '=（其中c 为底⾯周长，h '为斜⾼）；（2）表⾯积：侧⾯积＋底⾯积.5.正棱台的侧⾯积与全⾯积（1）侧⾯积①求法：侧⾯展开（如图）；②公式：1()2S c c h ''=+（其中c 、c '为底⾯周长，h '为斜⾼）；（2）表⾯积：侧⾯积＋两底⾯积.6.正棱柱、正棱锥、正棱台的侧⾯积公式间的内在联系：B .旋转体的表⾯积2r πlr①求法：侧⾯展开（如图）；②公式：2S rl π=（r 为两底半径，l 为母线长）；（2）表⾯积：2()S r r l π=+.2.圆锥的侧⾯积与表⾯积（1）侧⾯积①求法：侧⾯展开（如图）；②公式：S rl π=；（2）表⾯积：()S r r l π=+（r 为两底半径，l 为母线长）.事实上：圆锥侧⾯展开图为扇形，扇形弧长为2r π，半径为圆锥母线l ，故⾯积为122r l rl ππ??=.3.圆台的侧⾯积与表⾯积（1）侧⾯积①求法：侧⾯展开（如图）；②公式：()S r R l π=+；事实上：圆台侧⾯展开图为扇环，扇环的弧长分别为2r π、2R π，半径分别为x 、x l +，故圆台侧⾯积为112()2()22S R x l r x R r x Rl ππππ=??+-??=-+，∵()x l R r x rl r R r=?-=-，∴()S r R l π=+.（2）表⾯积：22()r R r R l πππ+++.（r 、R 分别为上、下底⾯半径，l 为母线长） 4.圆柱、圆锥、圆台的侧⾯积公式间的内在联系：⼆、柱体、锥体、台体的体积A .棱柱、棱锥、棱台的体积1.棱柱体积公式：V Sh =（h 为⾼，S 为底⾯⾯积）；2.棱锥体积公式：13V Sh =（h 为⾼，S 为底⾯⾯积）；3.棱台体积公式：121()3V S S h =棱台（h 为⾼，1S 、2S 分别为两底⾯⾯积）.事实上，设⼩棱锥⾼为x ，则⼤棱锥⾼为x h +.于是212211111()()3333V S x h S x S h S S x =+-=+-.∵V S h x S h S S h =+=+=.4.棱柱、棱锥、棱台体积公式间的内在联系：2r πllrh2Sx1S2R π2rπ xRrxlB .圆柱、圆锥、圆台的体积1.圆柱的体积：2V r h π=（h 为⾼，r 为底⾯半径）.2.圆锥的体积：213V R h π=（h 为⾼，R 为底⾯半径）.3.圆台的体积：221()3事实上，设⼩圆锥⾼为x ，则⼤圆锥⾼为x h +（如图）.于是2221111()()()3333V R x h r h R r R r x R h ππππ=+-=+-+.∵()x r x r R r x rh x h R h R r =?=?-=+-，∴222111()()333V R r rh R h r rR R h πππ=++=++. 4.圆柱、圆锥、圆台体积公式间的内在联系：三、球的体积与表⾯积1.球的体积 343V R π=.2.球的表⾯积 24S R π=.四、题型⽰例A.直⽤公式求⾯积、求体积例1 （1）⼀个正三棱柱的底⾯边长为4，侧棱长为10，求其侧⾯积、表⾯积和体积；侧⾯积：120；表⾯积：120+；体积（2）⼀个圆台，上、下底⾯半径分别为10、20，母线与底⾯的夹⾓为60°，求圆台的侧⾯积、表⾯积和体积；侧⾯积：600π；表⾯积：1100π. （3）已知球的表⾯积是64π，求它的体积. 结果：2563π.（4）在长⽅体1111ABCD A B C D -中，⽤截⾯截下⼀个棱锥11C A DD -，求棱锥11C A DD -的体积与剩余部分的体积之⽐.结果1:5.练习：Rrx lh1.已知正四棱锥底⾯正⽅形的边长为4cm ，⾼与斜⾼的夹⾓为30，求正四棱锥的侧⾯积和表⾯积. 结果：232cm ，2结果：.3.正⽅体1111ABCD A B C D -的棱长为1，则沿⾯对⾓线AC 、1AB 、1CB 截得的三棱锥1B ACB -的体积为 CA .12B .13C .16D .1 4.已知正四棱台两底⾯均为正⽅形，边长分别为4cm 、8cm ，求它的侧⾯积和体积.结果：侧⾯积：33. 5.正四棱锥S ABCD -各侧⾯均为正三⾓形，侧棱长为5，求它的侧⾯积、表⾯积和体积.结果：侧⾯积：25(1. 6.，则以该正⽅体各个⾯的中⼼为顶点的凸多⾯体的体积为 .B.根据三视图求⾯积、体积例3 ⼀空间⼏何体的三视图如图所⽰，则该⼏何体的体积为A.2π+ B.4π+ C.2π+D练习：1.⼀个底⾯为正三⾓形，侧棱于底⾯垂直的棱柱的三视图如图所⽰，则这个棱柱的体积为 .结果：2.下图是⼀个空间⼏何体的正视图、侧视图、俯视图，如果直⾓三⾓形的直⾓边长均为1，那么这个⼏何体的体积为 A .1 B .1 2C .13D .16答案：C.俯视图22正（主）视图2 侧（左）视图222正视图侧视图俯视图4正视图侧视图俯视图3.如图是某⼏何体的三视图，其中正视图是腰长为3的等腰三⾓形，俯视图是半径为1的半圆，该⼏何体的体积是 A .2π B .22π C .π D .434.已知⼀个组合体的三视图如图所⽰，请根据具体的数据，计算该组合体的体积.提⽰：该组合体结构为：上部是⼀个圆锥，中部是⼀个圆柱，下部也是⼀个圆柱. 结果：1763π.5.下图是⼀个⼏何体的三视图，根据图中数据，可得该⼏何体的表⾯积是 DA .9πB .10πC .11πD .12πC.⼏何体表⾯上最短距离问题例三棱锥P ABC -的侧棱长均为1，且侧棱间的夹⾓都是40?，动点M 在PB 上移动，动点N 在PC 上移动，求AM MN NA ++的最⼩值. 结果：3.D.与球有关的组合问题例1（1）若棱长为3的正⽅体的顶点都在同⼀球⾯上，则该球的表⾯积为 . 结果:27π.（2）若⼀个球内切于棱长为3的正⽅体，则该球的体积为 . 结果:92π.例2 有⼀个倒圆锥形容器，它的轴截⾯是⼀个正三⾓形，在容器内放⼀个半径为的铁球，并注⼊⽔，使球浸没在⽔中并使⽔⾯正好与球相切，然后将球取出，求这时容器中⽔的深度.结果：315r .变式训练：1.长⽅体1111ABCD A B C D -中，3AB =，4AD =，15AA =，则其外接球的体积为 .2.求棱长为1的正四⾯体的外接球、内切球的表⾯积.注：棱长为的正四⾯体中常⽤数据：（1）⾼：6a ，中⼼到顶点距离：6a ，中⼼到⾯距离：6a ，中⼼到顶点距离：中⼼到⾯的距离=3：1. （2）全⾯积：23a ，体积：32a .（3）对棱距离：2a . （4）棱⾯⾓：3aiccosa 或6aicsin ，⾯⾯⾓：1aiccos 3或22aicsin .正视图侧视图俯视图俯视图10110142E.⼏个重要结论的补充及应⽤结论1 锥体平⾏截⾯性质锥体平⾏截⾯与锥体底⾯相似，且与底⾯积⽐等于两锥侧⾯积⾯积⽐，等于两锥全⾯积⾯积⽐，等于两锥对应线段（对应⾼、对应斜⾼、对应对⾓线、对应底边长）⽐的平⽅.结论2 若圆锥母线长为l ，底⾯半径为r ，侧⾯展开图扇形圆⼼⾓为θ，则2rlπθ=. 结论 3 若圆台母线长为l ，上、下底⾯半径分别为r 、R ，侧⾯展开图扇环圆⼼⾓为θ，则2R rlθπ-=?. 证明：设⼩圆锥母线长为x ，则有22r x r x πθπθ=?=.∵x r x r rlx x l R l R r R r=?=?=+--，∴22()2r r R r R rx rl lππθπ--===?. 应⽤1.⼀个圆锥的侧⾯积是底⾯积的2倍，则圆锥侧⾯展开图扇形的圆⼼⾓度数为 B A .120? B .180? C .240? D .300?2.⼀个圆锥的⾼是10cm ，侧⾯展开图是半圆，求圆锥的侧⾯积.解：设圆锥底⾯半径为r ，圆锥母线长为l ，则扇形弧长为222lr ππ=，∴2l r =.在Rt SOA △中，22210l r =+，有此得r，l .∴圆锥侧⾯积为2003S rl π的半径为1．扇形的圆⼼⾓等于120°，则此扇形的半径为 CA .13BC .3D .64.圆台的上、下底⾯半径分别为10cm 和20cm ，它的侧⾯展开图的扇环的圆⼼⾓是180，那么圆台的表⾯积是多少？结果：21100cm π.5.圆锥母线长为1，侧⾯展开图的圆⼼⾓为240?，则圆锥体积为 C AB .881π CD .1081π 6.若圆锥的侧⾯展开图是圆⼼⾓为120?、半径为l 的扇形，则这个圆锥的表⾯积与侧⾯积的⽐是 A .3:2 B .2:1 C .4:3 D .5:3结果：C.F.空间⼏何体体积求法例析 A .公式法例1 四棱锥P ABCD -的顶点P 在底⾯中的射影恰好是A ，其三视图如图，则四棱锥P ABCD -的体积为 .解：根据三视图可已将四棱锥P ABCD -的底⾯是边长为a 的正⽅形，⾼为a ，利⽤锥体体积公式231133P ABCD V a a a -=?=.点评：1.计算⼏何体体积需要区别锥体、柱体、台体、球体.它们的体积各⾃有不同的特征，注意准确运⽤体积公式.BDAP2.如果是只求体积，根据“长对正，宽相等，⾼平齐”分别求出⼏何体的底⾯积和⾼，直接计算体积即可，若⼏何体⽐较复杂或涉及⾯积等计算时，则需复原⼏何体（本⼏何体复原后的图形如图）.例2 ⼀个⼏何体的俯视图是⼀个圆，正视图和侧视图是全等的矩形，它们⽔平放置时（⼀边在⽔平位置上），它们的斜⼆测直观图是边长为6和4的平⾏四边形，则该⼏何体的体积为 .例3 ⽤⼀块长3m ，宽2m 的矩形⽊板，在墙⾯互相垂直的墙⾓处，围出⼀个直三棱柱形⾕仓，在下⾯的四种设计中，容积最⼤的是 A解：略.B .分割法例4 已知⼀个多⾯体的表⾯积为36，它的内切球的半径为2，求该多⾯体的体积.解：设多⾯体有n 个⾯，每个⾯的⾯积分别为12,,,n S S S ，则1236n S S S +++=.∵多⾯体内切球的球⼼到多⾯体个个⾯的距离都等于球的半径R ，运⽤分割法，以内切球球⼼为顶点，多⾯体的每个⾯为底⾯，将多⾯体分割成n 个棱锥，于是多⾯体的体积等于这个棱锥的体积和，即1111211111()3622433333n V S R S R S R R S S S =+++=+++=??=.例5 如图3，在多⾯体ABCDEF 中，已知⾯ABCD 是边长为3的正⽅形，//EF AB ，32EF =，EF 与AC ⾯的距离为2，则该多⾯体的体积为 .解：取AB 、CD 边的中点M 、N ，将多⾯体分割成斜三棱柱和四棱锥，利⽤三棱柱体积公式及四棱锥体积公式，不难求得多⾯体积：13131532222322V ??=+??=. 点评：本题中的⼏何体是不规则的，设法将⼏何体分割（或补）成规则的常见的⼏何体，是解题的关键，由于//EF AB ，并没有说明ADE 的确切位置，因此可以将其位置特殊化，从⽽得到直三棱柱ADB MNF -和四棱锥F MNCB -，这是本题解法⼀个巧妙之处.C .补形法例6 已知三棱柱的⼀个侧⾯⾯积为S ，相对的棱距离该侧⾯的距离是h ，求证：该三棱柱的体积是12V Sh =.证明：设三棱柱111ABC A BC -的侧⾯11ABB A 的⾯积为S ，侧棱1CC 到该侧⾯的距离为h . 以三棱柱的侧⾯11ABB A 为底⾯，将三棱柱补形得到四棱柱，如图.则四棱柱的⾼恰等于h .四棱柱的体积为V Sh =，它的⼀半，即为三棱柱的体积12V Sh =.∴三棱柱的体积为12V Sh =.点评：本体的结论可以作为结论⽤.例7 已知PA 、PB 、PC 两两互相垂直，且PAB △、PAC △、PBC △的⾯积分别为21.5cm ，2 2 2 23 3 3 3 30?45?30?ABCD1D1C1B1ABCDFEMNABCDAFE22cm ，62cm ，则过P 、A 、B 、C 四点的外接球的体积为 2cm .解：PA 、PB 、PC 两两互相垂直，则以它们为基础，补形成为⼀个长⽅体，长⽅体的对⾓线是外接球的直径.设三条棱长分别为,,x y z ，则3xy =，4xz =，12yz =，解得12xyz =，1x =，3y =，4z =.从⽽2222(2)134r =++，2426r =，26r =. ∴334426132633V r r πππ??. 点评：对于三条棱两两互相垂直或者3个侧⾯两两互相垂直的三棱柱以及正四⾯体或对棱分别相等的三棱锥，都可以补形成为长⽅体或者正⽅体，它们有共同的外接球，外接球的直径正好是长⽅体或正⽅体的体对⾓线，这样就很容易将球体和三棱锥联系起来.D .特殊化法例8 如图，直三棱柱111ABC A B C -体积为V ，点P 、Q 分别在侧棱1AA 、1DD 上，1AP D Q =，则四棱锥B APQD -的体积为 .解：将条件1AP DQ =特殊化，使得P 和1A 重合，Q 和D 重合，四棱锥B APQD -就变成三棱锥1B ADA -，它和直三棱柱等底等⾼，∴四棱锥B APQD -的体积等于1133ABD S h V ?=△.E .等体积转化（变换⾓度）例9 如图，在长⽅体1111ABCD A B C D -中，如果分别过BC 、11A D 的2个平⾏平⾯将长⽅体分成体积相等的3部分，那么11C NND = . 解：将长⽅体站⽴放置，从⽽更容易观察到相关的⼏何体分别是直三棱柱、直四棱柱、直三棱柱.∵长⽅体被分成体积相等的三部分，即111111D HD AGA D NCH A MBG NC C MB B V V V ---==.由于它们的等⾼且等体积，∴底⾯积也相等，就是说111AGA A MBG MB B S S S ==△△△，即1112AG AA GB AA ?=?，∴2AG GB =，∴112C N ND =.例10 如图，已知E 、F 分别是棱长为a 的正⽅体1111ABCD A B C D -的棱1AA 、1CC 的中点，求三棱锥11C B EF -的体积.解：1111311312C B EF E B FCB C F V V S AB a --==?=△. 点评：在三棱锥求体积问题中，变换⾓度就是换顶点、换底⾯，它是计算三棱锥体积问题长见的转化策略之⼀，它的基本依据是变换前后等体积.转换的标准是相应的底⾯和⾼是否容易求解.显然本题直接按照题中所给的⾓度或者转换成三棱锥都不便于求底⾯和⾼.练习：1.正六棱锥P ABCDEF -中，G 为PB 的中点，则三棱锥D GAC -与三棱锥P GAC -体积之⽐为 CA .1:1B .1:2C .2:1D .3:22.如图，在多⾯体ABCDEF 中，已知ABCD 是边长为1的正⽅形，且ADE △、BCF △均为正三⾓形，//EF AB ，2EF =，则该多⾯体的体积为 AA .2B .3C .43D .32EF 1BD1D 1C A1A BCHM1B D 1D1C A1A BCNP1BD1DA1AB3.某⼏何体的三视图如下，根据图中标出的尺⼨（单位：cm ），则这个⼏何体的体积是BA .34000cm 3 B .38000cm 3C .32000cmD .34000cm 4.⼀个棱锥的三视图如图，则该棱锥的表⾯积为 AA.48+B.48+C.36+ D.36+5.若正⽅体外接球的体积是323π，则正⽅体的棱长为 A. BCD选D7.如图，已知多⾯体ABC DEFG -，AB ，AC ，AD 两两垂直，平⾯//ABC 平⾯DEFG ，平⾯//BEF 平⾯ADGC ，2AB AD DG ===，1AC EF ==，则该多⾯体的体积为A .2B .4C .6D .89.⼀个长⽅体的某3则这个长⽅体的体积是 .10.设等边三⾓形ABC △的边长为a ，P 是ABC △内的任意⼀点，且P 到三边AB ，BC ，CA 的距离分别为1d ，2d ，3d ，则有123d d d ++⾯体ABCD 的棱长为a ，P 是正四⾯体ABCD 内的任意⼀点，且P 到四个⾯的距离分别为1d ，2d ，3d ，4d ，则有1234d d d d +++为定值是 .. 11.某球的外切圆台上下底⾯半径分别为r ，R ，则该球的体积是 .12.在三棱锥A BCD -中，6AB CD ==，5AC BD AD BC ====，则该三棱锥的外接球的表⾯积为 .解：依题意得，该三棱锥的三组对棱分别相等，因此可将该三棱锥补成长⽅体，设该长⽅体的长、宽、⾼分别为,,a b c ，且其外接球的半径为R ，则2222222226,5,5a b b c c a ?+=?+=??+=?，得22243a b c ++=，即2222(2)43R a b c =++=.∴三棱锥外接球的表⾯积为2443S R ππ==.俯视图侧视图66侧视图俯视图正视图13.各顶点都在⼀个球⾯上的正四棱柱的⾼为4，体积为16，则球的体积是 . 结果：86π.11.体积为8的⼀个正⽅体，其全⾯积与球O 的表⾯积相等，则球O 的体积等于 . 结果：86ππ.14.如图是⼀个⼏何体的三视图，若它的体积是33，则a =_____.结果：3.15.三棱锥的顶点为P ，PA ，PB ，PC 为三条侧棱，PA ，PB ，PC 两两互相垂直，⼜2PA =，3PB =，4PC =，则三棱锥P ABC -的体积为_____. 结果：4.14.半径为R 的球的外切圆柱的表⾯积为，体积为 . 结果：26R π；32R π.16.直三棱柱111ABC A B C -的各顶点都在同⼀球⾯上，若12AB AC AA ===，120BAC ?∠=，则此球的表⾯积等于 .结果：20π.17.三个球的半径123,,R R R ，满⾜12323R R R +=，则它们的表⾯积123,,S S S ，满⾜的关系是 .结果：12323S S S +=.18.如图，已知底⾯半径为r 的圆柱被⼀个平⾯所截，剩下部分母线长的最⼤值为a ，最⼩值为b ，那么圆柱被截后剩下部分的体积是 .解：补形（如图），结果：2()2r a b π+.19.某⾼速公路收费站⼊⼝处的安全标识墩如图4所⽰.墩的上半部分是正四棱锥P EFGH -，下半部分是长⽅体ABCD EFGH -.图5、图6分别是该标识墩的正视图和俯视图.（1）请画出该安全标识墩的侧视图；（2）求该安全标识墩的体积.结果：（1）与正视图⼀样；（2）364000cm .P2 侧视图正视图俯视图1rbara b -b。
1.3 空间几何体的表面积与体积1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积整体设计教学分析本节一开始的“思考”从学生熟悉的正方体和长方体的展开图入手，分析展开图与其表面积的关系，目的有两个：其一，复习表面积的概念，即表面积是各个面的面积的和；其二，介绍求几何体表面积的方法，把它们展成平面图形，利用平面图形求面积的方法，求立体图形的表面积.接着，教科书安排了一个“探究”，要求学生类比正方体、长方体的表面积，讨论棱柱、棱锥、棱台的表面积问题，并通过例1进一步加深学生的认识.教学中可以引导学生讨论得出：棱柱的展开图是由平行四边形组成的平面图形，棱锥的展开图是由三角形组成的平面图形，棱台的展形图是由梯形组成的平面图形.这样，求它们的表面积的问题就可转化为求平行四边形、三角形和梯形的面积问题.教科书通过“思考”提出“如何根据圆柱、圆锥的几何结构特征，求它们的表面积？”的问题.教学中可引导学生回忆圆柱、圆锥的形成过程及其几何特征，在此基础上得出圆柱的侧面可以展开成为一个矩形，圆锥的侧面可以展开成为一个扇形的结论，随后的有关圆台表面积问题的“探究”，也可以按照这样的思路进行教学.值得注意的是，圆柱、圆锥、圆台都有统一的表面积公式，得出这些公式的关键是要分析清楚它们的底面半径、母线长与对应的侧面展开图中的边长之间的关系，教学中应当引导学生认真分析，在分别学习了圆柱、圆锥、圆台的表面积公式后，可以引导学生用运动、变化的观点分析它们之间的关系.由于圆柱可看成上下两底面全等的圆台；圆锥可看成上底面半径为零的圆台，因此圆柱、圆锥就可以看成圆台的特例.这样，圆柱、圆锥的表面积公式就可以统一在圆台的表面积公式之下.关于体积的教学.我们知道，几何体占有空间部分的大小，叫做几何体的体积.这里的“大小”没有比较大小的含义，而是要用具体的“数”来定量的表示几何体占据了多大的空间，因此就产生了度量体积的问题.度量体积时应知道：①完全相同的几何体，它的体积相等；②一个几何体的体积等于它的各部分体积的和.体积相等的两个几何体叫做等积体.相同的两个几何体一定是等积体，但两个等积体不一定相同.体积公式的推导是建立在等体积概念之上的.柱体和锥体的体积计算，是经常要解决的问题.虽然有关公式学生已有所了解，但进一步了解这些公式的推导，有助于学生理解和掌握这些公式，为此，教科书安排了一个“探究”，要求学生思考一下棱锥与等底等高的棱柱体积之间的关系.教学中，可以引导学生类比圆柱与圆锥之间的体积关系来得出结论.与讨论表面积公式之间的关系类似，教科书在得出柱体、锥体、台体的体积公式后，安排了一个“思考”，目的是引导学生思考这些公式之间的关系，建立它们之间的联系.实际上，这几个公式之间的关系，是由柱体、锥体和台体之间的关系决定的.这样，在台体的体积公式中，令S′=S，得柱体的体积公式；令S′=0，得锥体的体积公式.值得注意的是在教学过程中，要重视发挥思考和探究等栏目的作用，培养学生的类比思维能力，引导学生发现这些公式之间的关系，建立它们的联系.本节的重点应放在公式的应用上，防止出现：教师在公式推导过程中“纠缠不止”，要留出“空白”，让学生自己去思考和解决问题.如果有条件，可以借助于信息技术来展示几何体的展开图.对于空间想象能力较差的学生，可以通过制作实物模型，经过操作确认来增强空间想象能力.三维目标1.了解柱体、锥体、台体的表面积和体积计算公式（不要求记忆），提高学生的空间想象能力和几何直观能力，培养学生的应用意识，增加学生学习数学的兴趣.2.掌握简单几何体的体积与表面积的求法，提高学生的运算能力，培养学生转化、化归以及类比的能力.重点难点教学重点：了解柱体、锥体、台体的表面积和体积计算公式及其应用.教学难点：表面积和体积计算公式的应用.课时安排1课时教学过程导入新课思路1.在过去的学习中，我们已经接触过一些几何体的面积和体积的求法及公式，哪些几何体可以求出表面积和体积？（引导学生回忆，互相交流，教师归类）几何体的表面积等于它的展开图的面积，那么，柱体、锥体、台体的侧面展开图是怎样的？你能否计算？思路2.被誉为世界七大奇迹之首的胡夫大金字塔，在1889年巴黎埃菲尔铁塔落成前的四千多年的漫长岁月中，胡夫大金字塔一直是世界上最高的建筑物.在四千多年前生产工具很落后的中古时代，埃及人是怎样采集、搬运数量如此之多，每块又如此之重的巨石垒成如此宏伟的大金字塔，真是一个十分难解的谜.胡夫大金字塔是一个正四棱锥外形的建筑，塔底边长230米，塔高146.5米，你能计算建此金字塔用了多少石块吗？推进新课新知探究提出问题①在初中，我们已经学习了正方体和长方体的表面积，以及它们的展开图（图1），你知道上述几何体的展开图与其表面积的关系吗？正方体及其展开图(1) 长方体及其展开图(2)图1②棱柱、棱锥、棱台也是由多个平面图形围成的几何体，它们的展开图是什么？如何计算它们的表面积？③如何根据圆柱、圆锥的几何结构特征，求它们的表面积？④联系圆柱、圆锥的侧面展开图，你能想象圆台侧面展开图的形状，并且画出它吗？如果圆台的上、下底面半径分别是r′,r，母线长为l，你能计算出它的表面积吗？⑤圆柱、圆锥和圆台的表面积之间有什么关系？活动：①学生讨论和回顾长方体和正方体的表面积公式.②学生思考几何体的表面积的含义，教师提示就是求各个面的面积的和.③让学生思考圆柱和圆锥的侧面展开图的形状.④学生思考圆台的侧面展开图的形状.⑤提示学生用动态的观点看待这个问题.讨论结果：①正方体、长方体是由多个平面图形围成的几何体，它们的表面积就是各个面的面积的和.因此，我们可以把它们展成平面图形，利用平面图形求面积的方法，求立体图形的表面积.②棱柱的侧面展开图是平行四边形，其表面积等于围成棱柱的各个面的面积的和；棱锥的侧面展开图是由多个三角形拼接成的，其表面积等于围成棱锥的各个面的面积的和；棱台的侧面展开图是由多个梯形拼接成的，其表面积等于围成棱台的各个面的面积的和.③它们的表面积等于侧面积与底面积的和，利用它们的侧面展开图来求得它们的侧面积，由于底面是圆面，其底面积直接应用圆的面积公式即得.其中，圆柱的侧面展开图是矩形，圆锥的侧面展开图是扇形.我们知道，圆柱的侧面展开图是一个矩形（图2）.如果圆柱的底面半径为r,母线长为l ，那么圆柱的底面面积为πr 2,侧面面积为2πrl.因此，圆柱的表面积S=2πr 2+2πrl=2πr(r+l).图2 图3圆锥的侧面展开图是一个扇形（图3）.如果圆锥的底面半径为r,母线长为l ，那么它的表面积S=πr 2+πrl=πr(r+l).点评：将空间图形问题转化为平面图形问题，是解决立体几何问题基本的、常用的方法. ④圆台的侧面展开图是一个扇环（图4），它的表面积等于上、下两个底面的面积和加上侧面的面积，即S=π(r 2+r′2+rl+r′l).图4⑤圆柱、圆锥、圆台侧面积的关系：圆柱和圆锥都可以看作是圆台退化而成的几何体.圆柱可以看作是上下底面全等的圆台，圆锥可看作是上底面退化成一点的圆台，观察它们的侧面积，不难发现：S 圆柱表=2πr(r+l)−−−←==r r r 21S 圆台表=π(r 1l+r 2l+r 12+r 22)−−−→−==rr r 21,0S 圆锥表=πr(r+l). 从上面可以很清楚地看出圆柱和圆锥的侧面积公式都可以看作由圆台侧面积公式演变而来. 提出问题①回顾长方体、正方体和圆柱的体积公式，你能将它们统一成一种形式吗？并依次类比出柱体的体积公式？②比较柱体、锥体、台体的体积公式：V 柱体=Sh(S 为底面积，h 为柱体的高)；V 锥体=Sh 31(S 为底面积，h 为锥体的高)； V 台体=)''(31S SS S ++h(S′,S 分别为上、下底面积，h 为台体的高). 你能发现三者之间的关系吗？柱体、锥体是否可以看作“特殊”的台体？其体积公式是否可以看作台体体积公式的“特殊”形式？活动：①让学生思考和讨论交流长方体、正方体和圆柱的体积公式.②让学生类比圆柱、圆锥和圆台的表面积的关系？讨论结果：①棱长为a 的正方体的体积V=a 3=a 2a=Sh ；长方体的长、宽和高分别为a,b,c ，其体积为V=abc=(ab)c=Sh ；底面半径为r 高为h 的圆柱的体积是V=πr 2h=Sh ，可以类比，一般的柱体的体积也是V=Sh ，其中S 是底面面积，h 为柱体的高.圆锥的体积公式是V=Sh 31(S 为底面面积，h 为高)，它是同底等高的圆柱的体积的31. 棱锥的体积也是同底等高的棱柱体积的31,即棱锥的体积V=Sh 31 (S 为底面面积，h 为高). 由此可见，棱柱与圆柱的体积公式类似，都是底面面积乘高；棱锥与圆锥的体积公式类似，都是底面面积乘高的31. 由于圆台（棱台）是由圆锥（棱锥）截成的，因此可以利用两个锥体的体积差，得到圆台（棱台）的体积公式V=31(S′+S S '+S)h, 其中S′，S 分别为上、下底面面积，h 为圆台（棱台）高.注意：不要求推导公式，也不要求记忆.②柱体可以看作是上、下底面相同的台体，锥体可以看作是有一个底面是一个点的台体.因此柱体、锥体可以看作“特殊”的台体.当S′=0时，台体的体积公式变为锥体的体积公式;当S′=S 时，台体的体积公式变为柱体的体积公式，因此，柱体、锥体的体积公式可以看作台体体积公式的“特殊”形式.柱体和锥体可以看作由台体变化得到，柱体可以看作是上、下底面相同的台体，锥体可以看作是有一个底面是一个点的台体，因此很容易得出它们之间的体积关系,如图5：图5应用示例思路1例1 已知棱长为a ，各面均为等边三角形的四面体S —ABC （图6），求它的表面积.图6活动：回顾几何体的表面积含义和求法.分析：由于四面体S —ABC 的四个面是全等的等边三角形，所以四面体的表面积等于其中任何一个面面积的4倍.解：先求△SBC 的面积，过点S 作SD ⊥BC ，交BC 于点D.因为BC=a,SD=a a a BD SB 23)2(2222=-=-,所以S △SBC =21BC·SD=2432321a a a =⨯. 因此，四面体S —ABC 的表面积S=4×22343a a =. 点评：本题主要考查多面体的表面积的求法.变式训练1.已知圆柱和圆锥的高、底面半径均分别相等.若圆柱的底面半径为r ，圆柱侧面积为S ，求圆锥的侧面积.解：设圆锥的母线长为l ，因为圆柱的侧面积为S ，圆柱的底面半径为r ，即S 圆柱侧=S ，根据圆柱的侧面积公式可得：圆柱的母线（高）长为r S π2，由题意得圆锥的高为rS π2，又圆锥的底面半径为r ，根据勾股定理，圆锥的母线长l=22)2(rS r π+，根据圆锥的侧面积公式得 S 圆锥侧=πrl=π·r·24)2(24222S r r S r +=+ππ. 2.两个平行于圆锥底面的平面将圆锥的高分成相等的三段，那么圆锥被分成的三部分的体积的比是（ ）A.1∶2∶3B.1∶7∶19C.3∶4∶5D.1∶9∶27 分析：因为圆锥的高被分成的三部分相等，所以两个截面的半径与原圆锥底面半径之比为1∶2∶3，于是自上而下三个圆锥的体积之比为(h r 23π)∶［2)2(3r π·2h ］∶［2)3(3r π·3h ］=1∶8∶27，所以圆锥被分成的三部分的体积之比为1∶（8－1）∶（27－8）=1∶7∶19. 答案：B3.三棱锥V —ABC 的中截面是△A 1B 1C 1，则三棱锥V —A 1B 1C 1与三棱锥A —A 1BC 的体积之比是（ ）A.1∶2B.1∶4C.1∶6D.1∶8分析：中截面将三棱锥的高分成相等的两部分，所以截面与原底面的面积之比为1∶4，将三棱锥A —A 1BC 转化为三棱锥A 1—ABC ，这样三棱锥V —A 1B 1C 1与三棱锥A 1—ABC 的高相等，底面积之比为1∶4，于是其体积之比为1∶4.答案：B例2 如图7，一个圆台形花盆盆口直径为20 cm ，盆底直径为15 cm ，底部渗水圆孔直径为1.5 cm ，盆壁长为15 cm.为了美化花盆的外观，需要涂油漆.已知每平方米用100毫升油漆，涂100个这样的花盆需要多少毫升油漆？（π取3.14，结果精确到1毫升，可用计算器）图7活动：学生思考和讨论如何转化为数学问题.只要求出每个花盆外壁的表面积，就可以求出油漆的用量.而花盆外壁的表面积等于花盆的侧面积加上底面积，再减去底面圆孔的面积. 解：如图7，由圆台的表面积公式得一个花盆外壁的表面积S=π［1522015215)215(2⨯+⨯+］-π(25.1)2≈1 000(cm 2)=0.1(m 2). 涂100个这样的花盆需油漆：0.1×100×100=1 000（毫升）.答：涂100个这样的花盆需要1 000毫升油漆.点评：本题主要考查几何体的表面积公式及其应用.变式训练1.有位油漆工用一把长度为50 cm ，横截面半径为10 cm 的圆柱形刷子给一块面积为10 m 2的木板涂油漆，且圆柱形刷子以每秒5周的速度在木板上匀速滚动前进，则油漆工完成任务所需的时间是多少?（精确到0.01秒）解：圆柱形刷子滚动一周涂过的面积就等于圆柱的侧面积，∵圆柱的侧面积为S 侧=2πrl=2π·0.1·0.5=0.1π m 2，又∵圆柱形刷子以每秒5周匀速滚动，∴圆柱形刷子每秒滚过的面积为0.5π m 2，因此油漆工完成任务所需的时间t=ππ205.01022=mm ≈6.37秒. 点评：本题虽然是实际问题，但是通过仔细分析后，还是归为圆柱的侧面积问题.解决此题的关键是注意到圆柱形刷子滚动一周所经过的面积就相当于把圆柱的侧面展开的面积，即滚动一周所经过的面积等于圆柱的侧面积.从而使问题迎刃而解.2.（2007山东滨州一模，文14）已知三棱锥O —ABC 中，OA 、OB 、OC 两两垂直，OC=1,OA=x ，OB=y ，且x+y=4，则三棱锥体积的最大值是___________.分析：由题意得三棱锥的体积是61)4(612131-=-=⨯x x xy (x-2)2+32，由于x ＞0，则当x=2时，三棱锥的体积取最大值32. 答案：32 例3 有一堆规格相同的铁制（铁的密度是7.8 g/cm 3）六角螺帽（图8）共重5.8 kg,已知底面是正六边形，边长为12 mm,内孔直径为10 mm,高为10 mm ，问这堆螺帽大约有多少个?（π取3.14）图8活动：让学生讨论和交流如何转化为数学问题.六角帽表示的几何体是一个组合体，在一个六棱柱中间挖去一个圆柱，因此它的体积等于六棱柱的体积减去圆柱的体积.解：六角螺帽的体积是六棱柱体积与圆柱体积的差，即V=43×122×6×10-3.14×(210)2×10≈2956(mm 3)=2.956(cm 3).所以螺帽的个数为5.8×1 000÷(7.8×2.956)≈252(个).答：这堆螺帽大约有252个.点评：本题主要考查几何体的体积公式及其应用.变式训练如图9，有个水平放置圆台形容器，上、下底面半径分别为2分米，4分米，高为5分米，现以每秒3立方分米的速度往容器里面注水，当水面的高度为3分米时，求所用的时间.（精确到0.01秒）图9解：如图10，设水面的半径为r ，则EH=r-2分米，BG=2分米，图10在△ABG 中，∵EH ∥BG ， ∴BG EH AG AH =.∵AH=2分米, ∴2252-=r .∴r=514分米. ∴当水面的高度为3分米时，容器中水的体积为V 水=π31·3［(514)2+514×4+42］=25876π立方分米, ∴所用的时间为25292325876ππ=≈36.69秒. 答：所用的时间为36.69秒.思路2例1 （2007山东烟台高三期末统考，理8）如图11所示，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为1，那么这个几何体的体积为（ ）图11A.1B.21C.31D.61 活动：让学生将三视图还原为实物图，讨论和交流该几何体的结构特征.分析：根据三视图，可知该几何体是三棱锥，图12所示为该三棱锥的直观图，并且侧棱PA ⊥AB ，PA ⊥AC ，AB ⊥AC.则该三棱锥的高是PA ，底面三角形是直角三角形，所以这个几何体的体积为V=611213131=⨯⨯=∆PA S ABC .图12答案：D点评：本题主要考查几何体的三视图和体积.给出几何体的三视图，求该几何体的体积或面积时，首先根据三视图确定该几何体的结构特征，再利用公式求得.此类题目成为新课标高考的热点，应引起重视.变式训练1.（2007山东泰安高三期末统考，理8）若一个正三棱柱的三视图如图13所示，则这个正三棱柱的表面积为（ ）图13A.318B.315C.3824+D.31624+ 分析：该正三棱柱的直观图如图14所示，且底面等边三角形的高为32，正三棱柱的高为2，则底面等边三角形的边长为4，所以该正三棱柱的表面积为3×4×2+2×21×4×32=24+38.图14答案：C2.（2007山东潍坊高三期末统考，文3）如果一个空间几何体的正视图与侧视图均为全等的等边三角形，俯视图为一个半径为1的圆及其圆心，那么这个几何体的体积为（ ） A.33π B.332π C.π3 D.3π 分析：由三视图知该几何体是圆锥，且轴截面是等边三角形，其边长等于底面直径2，则圆锥的高是轴截面等边三角形的高为3，所以这个几何体的体积为V=3331312ππ=⨯⨯⨯. 答案：A 3.（2007广东高考，文17）已知某几何体的俯视图是如图15所示的矩形，正视图（或称主视图）是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图（或称左视图）是一个底边长为6、高为4的等腰三角形.图15（1）求该几何体的体积V ；（2）求该几何体的侧面积S.解：由三视图可知该几何体是一个底面边长分别为6、8的矩形，高为4的四棱锥.设底面矩形为ABCD.如图16所示，AB=8，BC=6，高VO=4.图16（1）V=31×(8×6)×4=64. (2)设四棱锥侧面V AD 、VBC 是全等的等腰三角形，侧面V AB 、VCD 也是全等的等腰三角形，在△VBC 中，BC 边上的高为h 1=24)28(4)2(2222=+=+AB VO , 在△V AB 中，AB 边上的高为h 2=2222)26(4)2(+=+BC VO =5. 所以此几何体的侧面积S=)582124621(2⨯⨯+⨯⨯=40+224. 点评：高考试题中对面积和体积的考查有三种方式，一是给出三视图，求其面积或体积；二是与的组合体有关的面积和体积的计算；三是在解答题中，作为最后一问.例2 图17所示的几何体是一棱长为4 cm的正方体，若在它的各个面的中心位置上，各打一个直径为2 cm、深为1 cm的圆柱形的孔，求打孔后几何体的表面积是多少?（π取3.14）图17活动：因为正方体的棱长为4 cm，而孔深只有1 cm，所以正方体没有被打透.这样一来打孔后所得几何体的表面积，等于原来正方体的表面积，再加上六个完全一样的圆柱的侧面积，这六个圆柱的高为1 cm，底面圆的半径为1 cm.解：正方体的表面积为16×6=96（cm2），一个圆柱的侧面积为2π×1×1=6.28（cm2），则打孔后几何体的表面积为96＋6.28×6=133.68（cm2）.答：几何体的表面积为133.68 cm2.点评：本题主要考查正方体、圆柱的表面积.求几何体的表面积问题，通常将所给几何体分成基本的柱、锥、台，再通过这些基本柱、锥、台的表面积，进行求和或作差，从而获得几何体的表面积.本题中将几何体的表面积表达为正方体的表面积与六个圆柱侧面积的和是非常有创意的想法，如果忽略正方体没有被打透这一点，思考就会变得复杂，当然结果也会是错误的.变式训练图18所示是由18个边长为1 cm的小正方体拼成的几何体，求此几何体的表面积.图18分析：从图18中可以看出，18个小正方体一共摆了三层，第一层2个，第二层7个，因为18-7-2=9，所以第三层摆了9个.另外，上、下两个面的表面积是相同的，同样，前、后,左、右两个面的表面积也是分别相同的.解：因为小正方体的棱长是1 cm，所以上面的表面积为12×9=9（cm2），前面的表面积为12×8=8（cm2），左面的表面积为12×7=7（cm2），则此几何体的表面积为9×2+8×2+7×2=48( cm2).答：此几何体的表面积为48 cm2.知能训练1.正方体的表面积是96，则正方体的体积是（）48 B.64 C.16 D.96A.6分析：设正方体的棱长为a，则6a2=96，解得a=4，则正方体的体积是a3=64.答案：B2.（2007山东临沂高三期末统考，文2）如图19所示，圆锥的底面半径为1，高为3，则圆锥的表面积为（）A.πB.2πC.3πD.4π分析：设圆锥的母线长为l ，则l=13+=2，所以圆锥的表面积为S=π×1×(1+2)=3π. 答案：C3.正三棱锥的底面边长为3，侧棱长为32，则这个正三棱锥的体积是（ ）A.427B.49 C.4327 D.439 分析：可得正三棱锥的高h=22)3()32(-=3，于是V=4393343312=⨯⨯⨯. 答案：D4.若圆柱的高扩大为原来的4倍，底面半径不变，则圆柱的体积扩大为原来的_________倍；若圆柱的高不变，底面半径扩大为原来的4倍，则圆柱的体积扩大为原来的_________倍. 分析：圆柱的体积公式为V 圆柱=πr 2h ，底面半径不变，高扩大为原来的4倍，其体积也变为原来的4倍；当圆柱的高不变，底面半径扩大为原来的4倍时，其体积变为原来的42=16倍. 答案：4 165.图20是一个正方体，H 、G 、F 分别是棱AB 、AD 、AA 1的中点.现在沿△GFH 所在平面锯掉正方体的一个角，问锯掉部分的体积是原正方体体积的几分之几?图20分析：因为锯掉的是正方体的一个角，所以HA 与AG 、AF 都垂直，即HA 垂直于立方体的上底面，实际上锯掉的这个角，是以三角形AGF 为底面，H 为顶点的一个三棱锥. 解：设正方体的棱长为a ，则正方体的体积为a 3.三棱锥的底面是Rt △AGF ，即∠FAG 为90°，G 、F 又分别为AD 、AA 1的中点，所以AF=AG=a 21.所以△AGF 的面积为281212121a a a =⨯⨯.又因AH 是三棱锥的高，H 又是AB 的中点，所以AH=a 21.所以锯掉的部分的体积为32481812131a a a =⨯⨯. 又因48148133=÷a a ,所以锯掉的那块的体积是原正方体体积的481. 6.（2007山东临沂高三期末考试，理13）已知一圆锥的侧面展开图为半圆，且面积为S ，则圆锥的底面面积是____________.分析：如图21，设圆锥底面半径为r ，母线长为l ，由题意得⎪⎩⎪⎨⎧==,2,22r l S l πππ解得r=π2S ，所以圆锥的底面积为πr 2=22S S =⨯ππ.图21答案：2S 7.如图22，一个正三棱柱容器，底面边长为a ，高为2a ，内装水若干，将容器放倒，把一个侧面作为底面，如图23，这时水面恰好为中截面，则图22中容器内水面的高度是_________.图22 图23分析：图22中容器内水面的高度为h ，水的体积为V ，则V=S △ABC h.又图23中水组成了一个直四棱柱，其底面积为ABC S ∆43，高度为2a ，则V=ABC S ∆43·2a ，∴h=a S a S ABC ABC 23243=•∆∆. 答案：a 23 8.圆台的两个底面半径分别为2、4，截得这个圆台的圆锥的高为6，则这个圆台的体积是_____________.分析：设这个圆台的高为h ，画出圆台的轴截面，可得6642h -=，解得h=3，所以这个圆台的体积是3π(22+2×4+42)×3=28π. 答案：28π9.已知某个几何体的三视图如图24，根据图中标出的尺寸（单位：cm ）,可得这个几何体的体积是（ ）图24 A.34000 cm 3 B.38000cm 3 C.2 000 cm 3 D.4 000 cm 3 分析：该几何体是四棱锥，并且长为20 cm 的一条侧棱垂直于底面，所以四棱锥的高为20 cm,底面是边长为20 cm 的正方形（如俯视图），所以底面积是20×20=400 cm 2，所以该几何体的体积是31×400×20=38000cm 3. 答案：B拓展提升 问题：有两个相同的直三棱柱，高为a2，底面三角形的三边长分别为3a,4a,5a(a ＞0).用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，表面积最小的是一个四棱柱，则a 的取值范围是___________.探究：两个相同的直三棱柱并排放拼成一个三棱柱或四棱柱，有三种情况：四棱柱有一种，就是边长为5a 的边重合在一起，表面积为24a 2+28，三棱柱有两种，边长为4a 的边重合在一起，表面积为24a 2+32，边长为3a 的边重合在一起，表面积为24a 2+36，两个相同的直三棱柱竖直放在一起，有一种情况，表面积为12a 2+48,最小的是一个四棱柱，这说明24a 2+28＜12a 2+48⇒12a 2＜20⇒0＜a ＜315. 答案：0＜a ＜315 课堂小结本节课学习了：1.柱体、锥体、台体的表面积和体积公式.2.应用体积公式解决有关问题.作业习题1.3 A 组 第1、2、3题.设计感想新课标对本节内容的要求是了解棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式），也就是说对体积和面积公式的推导、证明和记忆不作要求，按通常的理解是会求体积和面积，以及很简单的应用即可.因此本节教学设计中就体现了这一点，没有过多地在公式的推导上“纠缠不休”，把重点放在了对公式的简单应用上.由于本节图形较多，建议在使用时，尽量结合信息技术.。
